Pub
.
Ma
.
UAB
N°
21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
Ca los
Cu ás
Bosch
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidad
de
Ba celona
ESTUDIO
DE
UN TIPODE
CAMPOS
DE
KILLING
ABSTRACT
.-We
s udy
he
Killing
ec o
ields
such ha
i s
unipa ame ic
g oup
is
closed
in
he
g oup
o
isome ias
o
he
Riemannian,mani old
(M .g)
.These
ec o
ields
a e
associa ed
o
p ope
and
ee
ac ions
o
R
in o
M
.
We
gi e
he
se
o
all
Riemannian
me ics
in
which
a
ec o
ield
in
he
same
condi ions
ha
abo e
can
be
Killing,and
we
gene alise
i
o
p ope
and
ee
ac ions
o
any Lie
g oups
.
Finally
we
s udy
some
p ope ies
o
hese
Riemannian
mani olds
when
A
X
(A
=L
X
-O
X
)
is
ze o
.
§1
.INTROD000ION
Dada
(M,g)
a iedad
Riemanniana
comple a
y
cualquie
campo
de
KillingX,conside emos
su
g upo
unipa amé ico{0
}
que
es un
subg upo
de
G,g upo
de
isome ias
de la
a iedad
;su
adhe encia
en
G
se á
un
subg upoabeliano
y
ce ado,luego
se á
de la
o ma
Rk
xT
q
.
Es
ácil
e
( éase

(1
)),que
es a
adhe encia
debe
se
de la
o ma
R o T
q
.En
el
p ime
caso
odas
las
ó bi as
son
di eomo as
a
R,p e-
sen ándose
el
segundo
caso
cuando
al
menos
una
ó bi a
es
ela i a-
men ecompac a
.
El
esul ado
in e so
es
cie o
en el
sen ido
siguien e
:Lynge
( éase
(3)),p obó
que
si
X=c
i
Xi
,con
Xi
campos
ales
que sus
lujos
son
pe iódicos
y

(X
j
,XJ
=0,4j,k
;exis e
po
lo
menos
una
mé ica
g,
pa a
la
que
es
de
Killing
.Si
conside amos
{~
}
acciónp opia
y
lib e,es
ácilp oba
( éase
(1))
que
(M,M/{~
})
es un
ib ado
.
21
p incipal
y
como
la
ib a
es
R es
i ial,po
an oM-RXM/{O
},
y
omando
el
p oduc o
de
cualquie
mé ica
en
N=M/{~
}
y
una
mé i-
ca
in a ian e
po
la
izquie da
en
R,X
es de
Killing
en
dichamé ica
.
El
mismo
esul ado
es
álido
si
conside amos
H
g upo
de
Lie
ope ando
p opia
y
lib emen e,en onces
(M,M/H)
es un
ib adop in-
cipal,no
hay más que
oma
un
ecub imien o
abie o
de
M/5localmen-
e
ini o
y
i ializan e
pa a
el
ib ado
p incipal
{U i
},una
mé i-
ca
gi
en
cada
U
i
;{ i
}
una
pa ición
de la
unidad
subo dinada
a
{U
i }
y
~
una
mé icain a ian e
po
la
izquie da
en
H
;en onces
a
E(T
x
i
)(
T g
i
x0)
es
una
mé ica
Riemanniana
espec o
a la
cual
H
es
un
g upo
de
isome ias
.
42
.ESTUDIO
DE
LAS
METRICAS
.
Vamos
a
es udia
el
conjun o
de
mé icas
espec o
de
las
cuales
X,campo
al que
su
g upo
unipa amé ico
{~
}
ac úap opia
y
lib e-
men e,es
de
Killing
;o
H,que
ac úap opia
y
lib emen e,gs
un
g upo
de
isome ias
.
CasoX
.-Como
M=RxN, odocampo
en
M
se
puedeexp esa
como
(ñ,Y),con
XET(R),YET(N)
.Si
g es
una
de
las
mé icasbuscadas
( )
g((a,Y),(u,z))-( ,n)-g((a, ),(u,z))(O,n)=au (n)+a~(z)+PO(Y)+
+g'(Y,Z)
.
Donde
es
una
unción
en
N, (n)=g((1,0),(1,0))(0
n)'
,
~(Y)=g((1,0),(O,Y))(0,n)
es
una
1- o ma
en
N,y
g'(Y,Z)
es la
.
es icción
de
g a N
.
Pa iendo
de
,~,y
g',de ini emos
g
a
pa i
de
la
exp esión
('*),y
pa a
que
g
sea una
mé ica
es
ácil
e que
se
necesi a
>0
y
~YES
n
(N)(ci cun e encia
unidad
en
Tn
(N), espec o
a
la
mé ica
g')
O(Y)
2n)/, (n)
.
De
hecho
~
y
de inen
una
1- o ma
w en
M, al
que
L
X
w=0,po
medio
de
w(Z)=w(aX+SY)=a (n)+S0(Y),siendo
YIT(N)
.
Po
lo
que
podemoses ablece
:
1
.1
.-Dada
g
-
mé ica
en N y
w,1- o ma
al
.
que
LX
w=0
y
w(X)>O
.E1
en-
so
g
de e minado
es
una
mé ica
pa a
la
cual
X
es de
Killing
si
y
solo
si

w(Y)
<w(X),-VY6S(N)
.
Si
conside amos
una
1- o ma
w en
M
al
que
w(X)>O
y
L
X
(w)=0,
omando
cualquie mé ica
g'en N,se
puede
encon a
una
unción
de inidaposi i a
adecuada
F,a in
de
que
el
enso
g
de e minado
po
w y
Fg'
sea
una
mé icag,cumpliéndose
LX
g=O
.
Así
pues
:
1
.2
.-Dada
w
1- o ma
en
M
cumpliendo
L
x
w=0
y
w(X)>O,exis en
mé icas
g
que
e i ican
L
X
g=O
y
i
x
g=w
.
Caso
H
.-Sabemos
que
(M,M/H)
es un
ib ado
p incipal
sob e
M/H=N
.
Tomando
una
conexión
en
es e
ib ado
p incipal,si
ges
una
mé ica
Riemanniana
en
M de
las que
buscamos,po azonamien os
simila es
a
los
an e io es
se
llega
a
e que
g(U,V)=g'(T (U),T (V))+~(T (V)',A)+~(u(U),B)+X(A,B),siendo
U=h(U)+A
*
,
V=h(V)+B
<
,(h(U)=componen e
ho izon al
de
U),g'
es
una
mé ica
Riemanniana
en
N,~
es
una
1- o ma
en
NXL(H)
in a ian e
po
ad(H)
(L(H)=álgeb a
de
Lie
de
H),y
X
es
una
unción
sob e
N
que
oma
alo es
en el
conjun o
de
mé icas
de
L(H)
in a ian es
po
ad(H)
.
Igual
que
en el
caso
X
e íamos
que
dadas
g',~
y
X,nos de e -
minan
una
mé ica
g
espec o
de
la
cual
H
es
un
g upo
de
isome-
ias
si
y
solo
si
(Y

A)
<-
XCA,A),
Y
Y¿S(N)
.
Siguiendo
lo
hecho
en el
caso
an e io , emos
que
¢ y
Xde inen
una
1- o ma
en
M,in a ian e
po
H,que
oma
alo es
en
L(H)',~,y
cumple
que
«AY,A)>O,yA*
e ical
.(A
=campo
undamen al
asociado
a
A)
.
En
esumen
enemos
:
1,3
.
-
Dada
g'
mé ica
Riemanniana
en
'N
y ~
1- o ma
en
M, alo ada
en
L(H)',in a ian e
po
H,cumpliendo
~(
.A
#
,A)>014A
*
e icaly
~(Z,A)L
~(A
i
,A),~z
ho izon al
al
que
T (Z)ES(N)
.E1
enso
g
de e -
minado,es
una
mé ica
Riemanniana, espec o
de
la
cual
H es
un
g upo
de
isome ias,
----
--
-------------
--
§3
.
.BREYE
ESTUDIO
DEL
.
CASO
AX=0
Empecemos
obse ando
. .
qué
elación
hay
en e
w y
A
x,
Pa a
lo
cual
conside emos
2g(VZX,Y)=-2g(AxZ,Y)=X(g(Y,Z))+7(g(X,Y))-
-Y(g(Z,X))-g«X,Y),Z)+g(X,(Y,Z»
-g(Y,(X,Z»
.
Como
A
X
es
enso ial
podemos
supone
(X,Y)=O=(X,Z), esul ando
:
-2g(AXZ,Y)=Z(w(Y))-Y(w(Z))-w«Z,Y»
=2dw(Z,Y)
.Po
an o
-¡A
X
!=dw
.
Si
w es
exac a,A
X
=0,lo
que
equi ale
a
que
X
sea
pa alelo
.En
es e
caso
es
ácil
e
que
la
dis ibución
pe pendicula
a
X
es
in olu i a
.Sea
'P
-
la
a iedadin eg al
maximal
conexa
de
es a
dis ibución
po
m M,es ácil
e
que
P
es un
espacio
ecub ido
de
N y
que
P
es
di eomo o
a N si
y
solo
si w
es
exac a,encuyo
caso
M es el
p oduc o
Riemanniano
"
de
R
po
P
.
Po
úl imopuede
obse a se
que
si
(M,g) iene
una
inme sión
isomé ica
equi a ian e
en un
espacioeuclideo,X
se á
la
es icción
de
una
isome ia
in ini esimal
de
dicho
espacio
euclideo
y
si
w
no
es
exac a
AX
no
pod á
se
ce o,ya
que
de
se
así
X=(1,0,
. .
.
,
.
.
.,0)
y
las
.i
.m .c
.
de
la
dis ibuciónpe pendicula
a X
son
hipe planos,po
lo
que
cada
a iedad
del
ipo
P
se
encon a á
en
a2
(x1
+x2)+
. .
.+b2(x2k-1+x2k)+1=C
.
---------------------
BIBLIOGRÁFIA
(1)
Cu ásBosch,Ca los

"A
necessa y
and
su icien condi ion
o
a
.
. o
be
Killing"
.Coll.Ma h
.
(,po
apa ece )
.
(
.2)Koszul,J
.L
.

"Lec u es
on
g oups
o
ans o ma ions"
.
Ta a
Ins i u e
1965
.
(3)Lynge,W
.C
.

"su icien condi ions
o
pe iodici y
o
a
Killing ec o
ield"
.P oc
.
.Ame
.
Ma h
.Soc
.
38(3),614-616,May
1973
.
uno
de
es os
hipe planos
po
consiguien e
P=N,lo
que
es
absu do
.
Luego
X
se á
de la
o ma
(-ax25ax1
. .
.
. .
.
bx2k-1,bx2k,1,0,

_0),
y
como
es
cons an e
en
M,M
debe á
encon a se
en