Estudio de un tipo de campos de killing

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL Ca los Cu ás Bosch Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Ba celona ESTUDIO DE UN TIPODE CAMPOS DE KILLING ABSTRACT .-We s udy he Killing ec o ields such ha i s unipa ame ic g oup is closed in he g oup o isome ias o he Riemannian,mani old (M .g) .These ec o ields a e associa ed o p ope and ee ac ions o R in o M . We gi e he se o all Riemannian me ics in which a ec o ield in he same condi ions ha abo e can be Killing,and we gene alise i o p ope and ee ac ions o any Lie g oups . Finally we s udy some p ope ies o hese Riemannian mani olds when A X (A =L X -O X ) is ze o . §1 .INTROD000ION Dada (M,g) a iedad Riemanniana comple a y cualquie campo de KillingX,conside emos su g upo unipa amé ico{0 } que es un subg upo de G,g upo de isome ias de la a iedad ;su adhe encia en G se á un subg upoabeliano y ce ado,luego se á de la o ma Rk xT q . Es ácil e ( éase  (1 )),que es a adhe encia debe se de la o ma R o T q .En el p ime caso odas las ó bi as son di eomo as a R,p e- sen ándose el segundo caso cuando al menos una ó bi a es ela i a- men ecompac a . El esul ado in e so es cie o en el sen ido siguien e :Lynge ( éase (3)),p obó que si X=c i Xi ,con Xi campos ales que sus lujos son pe iódicos y  (X j ,XJ =0,4j,k ;exis e po lo menos una mé ica g, pa a la que es de Killing .Si conside amos {~ } acciónp opia y lib e,es ácilp oba ( éase (1)) que (M,M/{~ }) es un ib ado . 21 p incipal y como la ib a es R es i ial,po an oM-RXM/{O }, y omando el p oduc o de cualquie mé ica en N=M/{~ } y una mé i- ca in a ian e po la izquie da en R,X es de Killing en dichamé ica . El mismo esul ado es álido si conside amos H g upo de Lie ope ando p opia y lib emen e,en onces (M,M/H) es un ib adop in- cipal,no hay más que oma un ecub imien o abie o de M/5localmen- e ini o y i ializan e pa a el ib ado p incipal {U i },una mé i- ca gi en cada U i ;{ i } una pa ición de la unidad subo dinada a {U i } y ~ una mé icain a ian e po la izquie da en H ;en onces a E(T x i )( T g i x0) es una mé ica Riemanniana espec o a la cual H es un g upo de isome ias . 42 .ESTUDIO DE LAS METRICAS . Vamos a es udia el conjun o de mé icas espec o de las cuales X,campo al que su g upo unipa amé ico {~ } ac úap opia y lib e- men e,es de Killing ;o H,que ac úap opia y lib emen e,gs un g upo de isome ias . CasoX .-Como M=RxN, odocampo en M se puedeexp esa como (ñ,Y),con XET(R),YET(N) .Si g es una de las mé icasbuscadas ( ) g((a,Y),(u,z))-( ,n)-g((a, ),(u,z))(O,n)=au (n)+a~(z)+PO(Y)+ +g'(Y,Z) . Donde es una unción en N, (n)=g((1,0),(1,0))(0 n)' , ~(Y)=g((1,0),(O,Y))(0,n) es una 1- o ma en N,y g'(Y,Z) es la . es icción de g a N . Pa iendo de ,~,y g',de ini emos g a pa i de la exp esión ('*),y pa a que g sea una mé ica es ácil e que se necesi a >0 y ~YES n (N)(ci cun e encia unidad en Tn (N), espec o a la mé ica g') O(Y) 2n)/, (n) . De hecho ~ y de inen una 1- o ma w en M, al que L X w=0,po medio de w(Z)=w(aX+SY)=a (n)+S0(Y),siendo YIT(N) . Po lo que podemoses ablece : 1 .1 .-Dada g - mé ica en N y w,1- o ma al . que LX w=0 y w(X)>O .E1 en- so g de e minado es una mé ica pa a la cual X es de Killing si y solo si  w(Y) <w(X),-VY6S(N) . Si conside amos una 1- o ma w en M al que w(X)>O y L X (w)=0, omando cualquie mé ica g'en N,se puede encon a una unción de inidaposi i a adecuada F,a in de que el enso g de e minado po w y Fg' sea una mé icag,cumpliéndose LX g=O . Así pues : 1 .2 .-Dada w 1- o ma en M cumpliendo L x w=0 y w(X)>O,exis en mé icas g que e i ican L X g=O y i x g=w . Caso H .-Sabemos que (M,M/H) es un ib ado p incipal sob e M/H=N . Tomando una conexión en es e ib ado p incipal,si ges una mé ica Riemanniana en M de las que buscamos,po azonamien os simila es a los an e io es se llega a e que g(U,V)=g'(T (U),T (V))+~(T (V)',A)+~(u(U),B)+X(A,B),siendo U=h(U)+A * , V=h(V)+B < ,(h(U)=componen e ho izon al de U),g' es una mé ica Riemanniana en N,~ es una 1- o ma en NXL(H) in a ian e po ad(H) (L(H)=álgeb a de Lie de H),y X es una unción sob e N que oma alo es en el conjun o de mé icas de L(H) in a ian es po ad(H) . Igual que en el caso X e íamos que dadas g',~ y X,nos de e - minan una mé ica g espec o de la cual H es un g upo de isome- ias si y solo si (Y  A) <- XCA,A), Y Y¿S(N) . Siguiendo lo hecho en el caso an e io , emos que ¢ y Xde inen una 1- o ma en M,in a ian e po H,que oma alo es en L(H)',~,y cumple que «AY,A)>O,yA* e ical .(A =campo undamen al asociado a A) . En esumen enemos : 1,3 . - Dada g' mé ica Riemanniana en 'N y ~ 1- o ma en M, alo ada en L(H)',in a ian e po H,cumpliendo ~( .A # ,A)>014A * e icaly ~(Z,A)L ~(A i ,A),~z ho izon al al que T (Z)ES(N) .E1 enso g de e - minado,es una mé ica Riemanniana, espec o de la cual H es un g upo de isome ias, ---- -- ------------- -- §3 . .BREYE ESTUDIO DEL . CASO AX=0 Empecemos obse ando . . qué elación hay en e w y A x, Pa a lo cual conside emos 2g(VZX,Y)=-2g(AxZ,Y)=X(g(Y,Z))+7(g(X,Y))- -Y(g(Z,X))-g«X,Y),Z)+g(X,(Y,Z» -g(Y,(X,Z» . Como A X es enso ial podemos supone (X,Y)=O=(X,Z), esul ando : -2g(AXZ,Y)=Z(w(Y))-Y(w(Z))-w«Z,Y» =2dw(Z,Y) .Po an o -¡A X !=dw . Si w es exac a,A X =0,lo que equi ale a que X sea pa alelo .En es e caso es ácil e que la dis ibución pe pendicula a X es in olu i a .Sea 'P - la a iedadin eg al maximal conexa de es a dis ibución po m M,es ácil e que P es un espacio ecub ido de N y que P es di eomo o a N si y solo si w es exac a,encuyo caso M es el p oduc o Riemanniano " de R po P . Po úl imopuede obse a se que si (M,g) iene una inme sión isomé ica equi a ian e en un espacioeuclideo,X se á la es icción de una isome ia in ini esimal de dicho espacio euclideo y si w no es exac a AX no pod á se ce o,ya que de se así X=(1,0, . . . , . . .,0) y las .i .m .c . de la dis ibuciónpe pendicula a X son hipe planos,po lo que cada a iedad del ipo P se encon a á en a2 (x1 +x2)+ . . .+b2(x2k-1+x2k)+1=C . --------------------- BIBLIOGRÁFIA (1) Cu ásBosch,Ca los  "A necessa y and su icien condi ion o a . . o be Killing" .Coll.Ma h . (,po apa ece ) . ( .2)Koszul,J .L .  "Lec u es on g oups o ans o ma ions" . Ta a Ins i u e 1965 . (3)Lynge,W .C .  "su icien condi ions o pe iodici y o a Killing ec o ield" .P oc . .Ame . Ma h .Soc . 38(3),614-616,May 1973 . uno de es os hipe planos po consiguien e P=N,lo que es absu do . Luego X se á de la o ma (-ax25ax1 . . . . . . bx2k-1,bx2k,1,0,  _0), y como es cons an e en M,M debe á encon a se en