Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
ALGUNAS
CARACTERIZACIONES
DE
LA
CUADRICACOMPLEJA
POR
EL ESPEC-
TRO
DE
SU
LAPLACIANO
Manuel
Ba os
Dp o
.
de
Geome íay Topología
Uni e sidad
de
G anada
in oducción
.
Sea
(CP
n+q
~J
o
'9
0
)
el
espacio
p oyec i o
complejo
de
dimensión
compleja
n+q
con
la
es uc u a
compleja
na u al
J
o y
la
mé ica
de
Fubini-S udygo
de
cu a-
u a
seccionalholomo a
cons an e
1 .
Se
de ineQ
n =
{(zo,
. .
.,zn+q) CPn+q/zo+
.
. .
. .
.z

=0}
Jonde
{z,
.
.
.,z
n+
}
es~un
.
sis ema
de
coo denadashomogéneas
sob e
n+q

o
q
cp
n+
q
.
Es
bien
conocido
quecon
espec o
a la
mé ica
inducida
g
o
,
Q
n
es
una a-
iedad
Kaehle iana
Eins ein
y
usualmen e
es
llamada
la
cuád icacompleja
de
di-
mensión
compleja
n
.
Se
conside a
el
siguien e
p oblema
:"Sea
-
(M,J,g)
una
a iedad
Kaehle iana
compac a
de
dimensión
compleja
n,

supongamos
que
pa a
algún
p
ijo
(0
_<p
_<n)

se
e i ica
que
Spec
p
(M,g)

=
Specp(Q
n'go
),

en onces
¿Es

(M,J,g)

holomó icamen e
isomé ica
a

(Q
n
,J
o'
go
)
.
En
es ano ase
dan
algunas
espues as
pa ciales
ob enidas
po
el
.
au o
y
B
.Y
.Chen
al
p oblema
an e io ,[
11
J21
131
y
[41
El
p oblema
gene al
sigue
abie -
o
.Tambien
que emos
señala
que
es
la
p ime a
ezque
un
espacio
que
no
iene
cu a u a
cons an e
(cu a u a
seccional
holomo a
cons an e)
se
ca ac e iza
po
el
espec o
de su
Laplaciano
.
Resul adosex ínsecos
.
En
es a
sección
se
conside an undamen almen esub a iedades
complejas
y
compac as
del
espaciop oyec i o
complejo
.
T
eo ema
I
.-
Sea
(b1,J,g)
una
sub a iedad
compleja
y
compac a
de
dimensión
compleja
n
en

(CP
n+q
,J
o
9
o
)
.

Supongamos
que
Specp(M,g)=
=
Spec
p
(Q
n
,g
o
),
donde
g
es
la
mé ica
inducida
sob e
M
.
En onces,
(M,J,g)
es
holomó icamen e
i
.somé ica
a
(Q
n
,J
o
,g
o
)
en los
siguien-
es
casos
:
(1)
Si
.
p=1 y
8
Sn
X15,
[31
(2)
Si
p=1,
8_<n
y
(M,J,g)
es
cohomológicamen e
Eins ein,[3]
(3)

Si
p=2
y n
>
5,
[21
(4)
Si
p=n
y
n>3,[31
(5)
Pa a odo
p
y
pa a odo
n, si
M
es á
embebida
en CP
n+
q,[21
Un
esul ado
in ínseco
.
El
siguien e esul ado
ha
sido
anunciado
en
[2],
y
noso os
da emos
un
es-
quema
de
una
demos ación
del
mismo
.
Teo ema
II .-
Sea (M,J,g)una
supe icie
Kaehle iana
y
compac a
con
Spec
0
(M,g)
=
Spec
0
(Q
2
,g
o
)
.
Si
x(M)
_>4,
en onces
(M,J
;g)
es
holo-
mó icamen e
isomé ica
a
(Q
2
,J
o
,g
o
) .
Donde
x(M)
ep esen a
la ca-
ac e is i
.c
a
de
Eule
de M
.
Demos ación
.
-
Si
Spec
o
(M,g)=Spec
o
(Q
2
,9
o
),
se ienen
las
siguien es
igualdades
:
(I)

ol(M,9)

=

ol(Q
2
,g
o
)

(II)

J

P

*
l

=


p
0

>
:1
(111)

JM{211112-2ISI2+5p2}

;
:l

=

{2111,1
2
-2IS
o
1
2
+5po}
Q2
donde
ol,p,S
yRson
espec i amen e
el
olumen,
la
cu a u a
escala ,
el
enso
de
Ricci
y
el
enso
cu a u a
Riemanniano
de
(M,g)
y
análogamen e
pa a
(Q2'go)
Además
como
X(M)
%4,
se
iene
que
(IV)
j
M
{IRI
2
-4ISI
2
+p
2}
;
;1

(
Q
{IR
o
1
2
-4IS
o
1
2
+p
2
}41
Combinando
(III)
y
(IV),
se
iene
que
(M,J,g)
es
una
supe icie
Kaehle iana
y
Eins ein
.
Además
po
(II),
ella
iene
cu a u a
escala
igual
a
la
de
Q
2
y
po
an o
su
enso de
Ricci
es
de inido
posi i o
.
U ilizando
el
e ce
coe icien e
a3
del
desa ollo
asin ó ico
de
Minakshi-
sunda an-Pleijel-Ga ney
pa a
Spec
o
(M,q)
el
cual
ha
sido
calculado
po
Sakai,[71,
no es
di icil
e que
(M,q)
es un
espacio
localmen e
simé ico
.
Aho a
se
u iliza
un
esul ado
bienconocidode
S
.Kobayashi,[61,
y
se
iene
que
M
debe
se
simple-
men e,conexa
.
Después
de odo
es o,
(M,J,q)
es un
espacio
simé ico
He mí ico
el
cual
debe
se
educible
pues
en
casocon a iose ía
el
plano
p oyec i o
complejo
lo
cual
con adice
po
ejemplo
(II)
.
Así
se
concluye
que
(M,J,g)
debe
se
holomó ica-
men e
isomé ica
a
(Q
2
,J
o
,g
o
)
.
Re e encias
.
[11M
.Ba os,"Cha ac e iza ion
o
he
complex
sphe e
by
i s
spec um",
Di e en-
ial
Geome y
Semina ,
Michigan
S a e
Uni e si y
.Sep
.(1979)
.
[21M
.Ba os
and
B
.Y
.Chen,"Complex
quad ics
and
Spec al
Geome y"
Geome iae
Dedica a
(a
apa ece )
.
[31M
.Ba os,"Some
ex insic
cha ac e iza io 6
o
complex
quad ics
by
i s
spec-
um"
(a
apa ece )
.
[41M
.Ba os,"Somecha ac e iza ions
o
complex
imme sions
in
hla
complex
p o-
jec i e
space
by
i s
spec um",Con
.Uni
.
de
Limoges
.Mayo
(1980)
.
[5]S
.Helgason,"Di e en ial
Geome y,Lie
g oups
and
symme ic
spaces"
Academic
p ess,N
.Y
.,1978
.
(61
S
.Kobayashi,"0n
compac Kaehle
mani olds
wi h
de ini e
Ricci
enso "
Ann
.
o Ma h
.
74
(1961),570-574
.
(71T.Sakai,"0n
eigen alues
o
Laplacian
and
cu a u e
o
Riemannian
mani olds"
Tohoku
Ma h
.J
.
23
(1971),589-603
.