Algunas caracterizaciones de la cuadrica compleja por el espectro de su laplaciano

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL ALGUNAS CARACTERIZACIONES DE LA CUADRICACOMPLEJA POR EL ESPEC- TRO DE SU LAPLACIANO Manuel Ba os Dp o . de Geome íay Topología Uni e sidad de G anada in oducción . Sea (CP n+q ~J o '9 0 ) el espacio p oyec i o complejo de dimensión compleja n+q con la es uc u a compleja na u al J o y la mé ica de Fubini-S udygo de cu a- u a seccionalholomo a cons an e 1 . Se de ineQ n = {(zo, . . .,zn+q) CPn+q/zo+ . . . . . .z  =0} Jonde {z, . . .,z n+ } es~un . sis ema de coo denadashomogéneas sob e n+q  o q cp n+ q . Es bien conocido quecon espec o a la mé ica inducida g o , Q n es una a- iedad Kaehle iana Eins ein y usualmen e es llamada la cuád icacompleja de di- mensión compleja n . Se conside a el siguien e p oblema :"Sea - (M,J,g) una a iedad Kaehle iana compac a de dimensión compleja n,  supongamos que pa a algún p ijo (0 _<p _<n)  se e i ica que Spec p (M,g)  = Specp(Q n'go ),  en onces ¿Es  (M,J,g)  holomó icamen e isomé ica a  (Q n ,J o' go ) . En es ano ase dan algunas espues as pa ciales ob enidas po el . au o y B .Y .Chen al p oblema an e io ,[ 11 J21 131 y [41 El p oblema gene al sigue abie - o .Tambien que emos señala que es la p ime a ezque un espacio que no iene cu a u a cons an e (cu a u a seccional holomo a cons an e) se ca ac e iza po el espec o de su Laplaciano . Resul adosex ínsecos . En es a sección se conside an undamen almen esub a iedades complejas y compac as del espaciop oyec i o complejo . T eo ema I .- Sea (b1,J,g) una sub a iedad compleja y compac a de dimensión compleja n en  (CP n+q ,J o 9 o ) .  Supongamos que Specp(M,g)= = Spec p (Q n ,g o ), donde g es la mé ica inducida sob e M . En onces, (M,J,g) es holomó icamen e i .somé ica a (Q n ,J o ,g o ) en los siguien- es casos : (1) Si . p=1 y 8 Sn X15, [31 (2) Si p=1, 8_<n y (M,J,g) es cohomológicamen e Eins ein,[3] (3)  Si p=2 y n > 5, [21 (4) Si p=n y n>3,[31 (5) Pa a odo p y pa a odo n, si M es á embebida en CP n+ q,[21 Un esul ado in ínseco . El siguien e esul ado ha sido anunciado en [2], y noso os da emos un es- quema de una demos ación del mismo . Teo ema II .- Sea (M,J,g)una supe icie Kaehle iana y compac a con Spec 0 (M,g) = Spec 0 (Q 2 ,g o ) . Si x(M) _>4, en onces (M,J ;g) es holo- mó icamen e isomé ica a (Q 2 ,J o ,g o ) . Donde x(M) ep esen a la ca- ac e is i .c a de Eule de M . Demos ación . - Si Spec o (M,g)=Spec o (Q 2 ,9 o ), se ienen las siguien es igualdades : (I)  ol(M,9)  =  ol(Q 2 ,g o )  (II)  J  P  * l  =   p 0  > :1 (111)  JM{211112-2ISI2+5p2}  ; :l  =  {2111,1 2 -2IS o 1 2 +5po} Q2 donde ol,p,S yRson espec i amen e el olumen, la cu a u a escala , el enso de Ricci y el enso cu a u a Riemanniano de (M,g) y análogamen e pa a (Q2'go) Además como X(M) %4, se iene que (IV) j M {IRI 2 -4ISI 2 +p 2} ; ;1  ( Q {IR o 1 2 -4IS o 1 2 +p 2 }41 Combinando (III) y (IV), se iene que (M,J,g) es una supe icie Kaehle iana y Eins ein . Además po (II), ella iene cu a u a escala igual a la de Q 2 y po an o su enso de Ricci es de inido posi i o . U ilizando el e ce coe icien e a3 del desa ollo asin ó ico de Minakshi- sunda an-Pleijel-Ga ney pa a Spec o (M,q) el cual ha sido calculado po Sakai,[71, no es di icil e que (M,q) es un espacio localmen e simé ico . Aho a se u iliza un esul ado bienconocidode S .Kobayashi,[61, y se iene que M debe se simple- men e,conexa . Después de odo es o, (M,J,q) es un espacio simé ico He mí ico el cual debe se educible pues en casocon a iose ía el plano p oyec i o complejo lo cual con adice po ejemplo (II) . Así se concluye que (M,J,g) debe se holomó ica- men e isomé ica a (Q 2 ,J o ,g o ) . Re e encias . [11M .Ba os,"Cha ac e iza ion o he complex sphe e by i s spec um", Di e en- ial Geome y Semina , Michigan S a e Uni e si y .Sep .(1979) . [21M .Ba os and B .Y .Chen,"Complex quad ics and Spec al Geome y" Geome iae Dedica a (a apa ece ) . [31M .Ba os,"Some ex insic cha ac e iza io 6 o complex quad ics by i s spec- um" (a apa ece ) . [41M .Ba os,"Somecha ac e iza ions o complex imme sions in hla complex p o- jec i e space by i s spec um",Con .Uni . de Limoges .Mayo (1980) . [5]S .Helgason,"Di e en ial Geome y,Lie g oups and symme ic spaces" Academic p ess,N .Y .,1978 . (61 S .Kobayashi,"0n compac Kaehle mani olds wi h de ini e Ricci enso " Ann . o Ma h . 74 (1961),570-574 . (71T.Sakai,"0n eigen alues o Laplacian and cu a u e o Riemannian mani olds" Tohoku Ma h .J . 23 (1971),589-603 .