Pub
.
Ma
.
UAB
N°
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CORRESPONDENCIASALGEBRAICAS
SOBRE
LA
CURVA
GENERICA
José
Ma
MuñozPo as
Dp o
.
d
e Algeb ay
Fundamen os
Uni e sidad
de
Salamanca
RESUMEN
:
El
esul ado
cen al
de
es e
abajo
es el
siguien e
eo ema
:
Las
cu as
lisas
de
géne o
g
sob e
un
cue po
k (de
ca ac e ís ica
a bi a-
ia)
cuya
álgeb a
de
co espondencias
algeb aicas
es
isomo a
a
a
,
son
un
abie o
denso
del
esquema
de
Hilbe
que
pa ame iza
las
cu as
de
géne-
o
,
g
.
Como
Co ola io
esul a
que
las
cu as de géne o

g
,3

de
mdduli
ge
ne al
no
ienen
au omo ismos
.
Deseo
ag adece
los
consejos
ecibidos
po
el
P o
.
Juan
B
.
Sancho
Guime á
a
quien
se debe
la
idea de
ealiza
es e
abajo
.
Fija emos
un
cue po
base
k
algeb aicamen e
ce ado
de
ca ac e ís ica
p
.
Las
cu as
i educibles,
no
singula es
yde
géne o
g
sob e
k
inme sas
en el
espacio
p oyec i o
IP
g-1 po
su
haz
canónico,
o man
una
amilia
con
inua
de
cu as
pa ame izada
po
un
esquema
noe he iano
HO
(el
esquema
de
Hilbe
de
las
cu as
lisas
canónicas
de
géne o
g)
;
po
consiguien e,
se
iene
una ib aci6nuni e sal
de
cu as
de
géne o
g :
O
---+H
O
.
El
g upo
g
g
p oyec i o PGL(g-1,k) ac úa sob e
el
esquema
11
0 .
El
esul ado
cen al
de la eo ía
geomé ica
de
in a ían es
es la
exis encia
e
i educibilidad
del
cocien e
H
°
/PGL
:
la
a iedad
de mdduli de
las
cu as de
gené o
g
(*)
.
g
Po
an o
exis i á
un
único pun o gené ico

p
---Ho

y
end á
sen ido
ha-
bla de
la
cu a
gené ica
de
géne o
g
sob e
k
:
se á la
ib a
del mo is
mo

8
-
Hg

sob e
el
pun o

p
.
El
es udio
de la
i educibilidad
de
la
a
iedad
de
mdduli
conduce
de modo
na u al
al
concep ode
cu a
es able
:
una
cu a
es able
de géne o
g
sob e
un
esquema
S es
esencialmen e
una
ami-
(*)
Es e
esul adoe a
conocido
en el caso
clásico
k=T po
la
Escuela
I alí_a
na
.
Recien emen e
ha sido
demos adosob e
cue pos
de
ca ac e ís ica
a bi a
ía po
Deligne
y
Mum o d
:
"The
i educibli y
o he
space
o
cu es
o a
gi
en
genus"
-
Publ
.
Ma h
.
I .H
.E .S
.,
36
(1969)
.
lia
plana
de
cu as,
C11 S
,
de
géne o
a i mé ico
g
cuyas
únicas
posi-
bles
singula idadesson
nodos
.
Del
mismo
modo
que
en
el
caso de
las
cu as
lisas,
se
e i ica
que
las
cu as
es ables
de
géne o
g
do adas
de
su
in-
me sión
ican6nica
o manuna
amilia
con inua,

Pg
-
7T
>H
g
,
pa ame i-zada
po una
a iedadi educible

H
g
.
La
a iedad

lí
g

de
cu as
es ables
es
una
compac í icacíón
de
la
a iedad
de cu as
lisas
.
En
el
es udio
de la
geome ía
de la
cu a gené ica
de
géne o
g
es unda-
men al
la
a iedad
H
g
,
que
pe mi e
de o ma la
a
las
cu as
acionales
con
g
nodos
educiendo,
po
de o mación,
las
p opiedades
de la
cu a
gené ica
al
es udio
de
la
geome ía
de
una
cu a acional
con
nodos
.
Las
p oposiciones
geomá ícas
que
se
es udien
end án
la
siguien e
p opie-
dad
:
si
es
cie a
pa a
una
cu a,
ambién
lo
es
pa a
cualquie
gene aliza-
ción
de
dicha cu a
.
Po
an o,
si la
cu a
gené ica
iene
una
p opiedad,
dicha-p opiedad
se á
cie a
pa a
odas
las
cu as de un
abie o
denso
de la
a iedad
de
módulí
.
En es e
abajo
se
es udia án
algunas
p opiedades
de
las
cu as de
m6duli
gene al
:
Sean
C
l
y
C
z
dos
cu as no
singula essob e
k
,
si
a
cada
pun o
de
C
l
se
le
hacen
co esponde
n
z
pun os de
C
z
y a
cada
pun o
de
C z
n
l
pun-
os
de C
l
,
se end á
una
co espondencia
en e
C
l
y C
z
de
g ados
n
l
y

n
z
.
Asignando
a
cada
co espondencia
su
g á ica
en

C
1
x
C
2
,
se pueden
iden i ica
las
co espondencias
algeb aicasen e
pun os de
C
l
y C
z
con
los
di iso es
de

C
l
x
C
z
,
Se
de ine
el
álgeb a
de
clases
de
co espondencias
de
una
cu a
C
,
A(C)
,
como
las
co espondencias
módulo
las
que son
de o mables
linealmen e
a
co-
espondencias
i iales
( ep esen adaspo
cu as
e icales
y
ho izon a-
les
en

Cx C)
.
El
p oduc o
de
dos
co espondencias
posi i as
e
i educibles
T y T'
,
se
de ine
po
el
p oduc o
ib ado
:
256
En
A(C)
se
de inen
una
in olución
*
(la
sime ía espec o
de
la
diago-
nal)
y
una
aza
:
(T)
=
n
l
(T)
+n2(T)
-T(1
Con
es as no aciones
se
e i
ica
que

A(C)

es
una
7L-
álgeb a
ini o=gé ie ada
y "la
mé ica
(T
1
,T
z
)e--
,
(T
1
"TZ)

es
de inida
posi i a
(Desigualdad
de
Cas elnuo o)
.
Si
T
es
una co espondencia
posi i a
y p
l ,
p
z
las
p oyecciones
en
los
ac o es,
en onces
la
composición
de
mo ismos
pz*
"
pi
de ine
un
homo-
mo ismo
de g upos Pic(C)
T
Píc(C)
.
Asignando
a
cadaco espondencia
el
endomo ísmo
que
de ine
en e
los
di iso es
de
la
cu a,
esul a
que las
clases
de
co espondencias
algeb aicas
se
iden i ican
con
los
endomo ísmos
de
la
jacobiana
de la
cu a
.
Si J

es el
núcleo
de
mul iplica
po
n
en
la
jacobiana
de
C
J
,
se
n
de ine
el
módulo
I-ádico
de

J

(1
=núme o
p imo
~
p)
po
:
T~(J)

=
lím
J
m

(se
p uebaque

T~(J)=
7L
2g

siendo

g

el
géne o
de

C
)
m
1
Si T es
una
co espondencia
sob e
C
,
de ine
un
endomo ísmo
en
cada
Ji
.
y
po
an o
se
iene
un
mo ismo
A(C)
-
End
M
,
TI(J)
que
es
inyec i o,
es
deci
una
co espondencia
algeb aica
sob e
C
queda
de e minada
po
su ac
uación
sob e
los
elemen os
de
o sión
de
la
jacobiana
.
A
con inuación
amos
a
e
que
oda
co espondencia
algeb aica
sob e
una
cu a
de ipo
gene al
es
de o mable
linealmen e
a
un
múl iplo
en e o
de
la
diagonal
(*)
:
Teo ema
:
El
conjun o
de
cu as
no
singula es
de géne o
g
cuya
álgeb a
de
co espondencias
es
isomo a
a
2E
es
un
abie o
denso
de la
a iedad
de mó
duli
que
pa ame íza
las
cu as
de géne o
g
.
Es
deci
:
las
unciones
abe-
lianasasociadas
a
una
cu a
de
ipo
gene al
no ienen
mul iplicaciones
com
plejas
.
Demos ación
:
Sea
C la
cu a
gené ica
de
géne o
dencía
sob e
C
.
La
co espondencia
T
induci á
que
segui emosdesignando
po
T
,
sob e
P
g
/H
g
.
nodos,
C
o
,
T
se
de o ma á
a
una
a
acional
con
en
p ime
luga
que

T
o
-
n,~
C0
:
se
puede
cons ui
una
Zg
-->
S =
[(ip
1
x7P1)
/S,
x
g
)
.
x
(7P
1
-]P')//S--
{di
sc íminan-
que
pa ame íza odas
las
mane as
de
do a
de g
nodos
aFk
;
exis
un
mo ismo

S
-
H
g
 al
que

Zg = Pg x H S

y
po
an o
g
co espondencia

T

de

Zg/S
,
la
co espondencia
especiales
de
T
.
La
jacobiana
de
una
cu a
con
g
nodos
es
amilia
de
cu as
e}
i á
g
sob e
C
o
;
eamos
g
y T
una
co espon-
una
única
co espondencia
Al
de o ma
C a
una
cu
co espondencia
T
T
induce
una
T
o
es
una
de
las
ib as
(*)
En
el
caso
clásico

k
=a
;

es e
eo ema
ué
demos ado
po
Hu wi z
y
Se-
e ¡
.
Una
demos ación
esencialmen e
geomé ica
puede
e se
en
el
a ado
de
En iques-Chisini
.
1
;
m
x
g)
.
x
~m
,
luego
su
módulo
1-ádico
es

TI(~m)
x
g),
xT
I
(T
M
)=
7Z,
;
cada
ac o
p o iene
de un
nodo
y T
o
se á
mul iplica
po
n
i
en
el
ac o
í-ésimo
.
.Como
S
es
una
pa ame izaci6n
nodos
de
C
o
en e
sí,
esul a á
que
el
J(Z
g/S) es
conexo
sob e
S
;
de aquí
se
n,=
.
.
.
=
n
g
y
po
an o

T
o
=
nACO
"
Pa a
concluí
.
bas a á
con
p oba
bien,
si

T
o
= 0
,
en ondes
mo plano,
la
aza
se á
cons an e
en
ib as,
desigualdad
de
Cas elnuo o
se
concluye
.
Co ola io
1
:
Las
cu as
lisas
de géne o
g
sob e
k
cuyos
únicos
au omo
iden idad
son
un
abie o
denso
de la
a iedad
de
móduli
.
ismos
son
la
Demos ación
:
que
si

T
o=
0
,
(T
. .
T*
o)
=0

y
como
i educible
qué
pe mu a
odos
núcleo
de
mul iplica
sigue
ácilmen e
que
los
po
nen
en onces

T
=_0
;
aho a
g
----+H
9

es un
mo is-
luego

(T
"
T*) = 0

y
po
la
Obse emos
que
si g>,2
y
.
T
es
una co espondenciabi a-
cíonal
de
una
cu a
lisa
C
necesa ia
y
su icien e
pa a
que
T
que
C
sea
hie jlíp ica
.
Po
an o
el
Co ola io
se
sigue
del
Teo ema
eniendoen
cuen a
que
si
g>,3 la
cu agené ica
de
géne o
g no es
hipe elíp ica
:
pues
las cu as
de
géne o
g
dependen
de
3g-3
pa áme os,mien as
que
las
cu as
hipe elíp ícas
de
.g
.
._,
._

cue o

g

s6l
.amen e
depenad~ ,
,d~ ,
de

2g-1

pa a ue os
.
,la
condición
sea una
co espondencia
con
alencia
es
Co ola io
2
:
Las
cu as
lisas
de
géne o
g>,2
sin
in oluciones
í aciona-
les
(es
deci
:
cuyos
cue pos
de
unciones
acionales
no
ienen
subcue poj
de
géne o

g > 0)

son
un
abie o
denso
de la
a iedad
de
móduli
.
REFERENCIAS
:
[2]

En iques-Chisini
-
Tea ía
geomU
,
íca
deUe
equazíon,i
.
e
delle
6uncíoní
A2geb~ c :ehe
.
Ed
.
Zaníchelli,
1924
.
P
.
Deligne
and
D
.
Mum o d
-
The
.ú Aeducí
.b
.í,Zí y
o6
Vhe
apace
ob
cun e i
ob
a
gí en
genue
.
Publ
.
Ma h
.
I.H .E
.S .,
36,
1969
.
J.I
.
Igusa
-
Fíbhe
Syb, eme
o6
Jaeobían
Va i
í
.e
;
íu
.
Ame
.
Ma h
.
Jou nal,
78,
1956
.
[4]

S
.
Le sche z
-
A
heonem
on
co"espondencea
on
aegebnaíc
cun eÁ
.
Ame
.
J
.
Ma h
.,
50,
1928
.
D
.
Mum o d
-
Abelían
VaAíe ,íR,b
.
Ox o d
Uni
.
P éss, 1974
.
[6]

D
.H
.
Ruipé ez
-
CoAAeepondencí"
d
.í dsoAíaIu
6ob e,
e,6que ,

e2a
-
oó
.
En
es a
Con e encia
.
F
.
Se e i
-
Tha a 0
cíí
Geome ~Lía
A2gebn
.c
:ca
.
Vol
.
I,
Pa e
I,
Ed
.
Zani
chellí,
1926
.
[8]

S G
A
IV
1/2
- L
.id
.M
.,
Vol
.
569,
Sp ínge -Ve lag
.
[9]

S
G
A
VII
- L .N.M
.,
Vols
.
288
y
340,
Sp inge -Ve lag
.
[10]
A
.
Weil
-
.Couxbu Algební
.quez
e
Vaxu
;e U
AbeUennea
.
He mann,
1948
.