Correspondencias algebraicas sobre la curva genérica

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL CORRESPONDENCIASALGEBRAICAS SOBRE LA CURVA GENERICA José Ma MuñozPo as Dp o . d e Algeb ay Fundamen os Uni e sidad de Salamanca RESUMEN : El esul ado cen al de es e abajo es el siguien e eo ema : Las cu as lisas de géne o g sob e un cue po k (de ca ac e ís ica a bi a- ia) cuya álgeb a de co espondencias algeb aicas es isomo a a a , son un abie o denso del esquema de Hilbe que pa ame iza las cu as de géne- o , g . Como Co ola io esul a que las cu as de géne o  g ,3  de mdduli ge ne al no ienen au omo ismos . Deseo ag adece los consejos ecibidos po el P o . Juan B . Sancho Guime á a quien se debe la idea de ealiza es e abajo . Fija emos un cue po base k algeb aicamen e ce ado de ca ac e ís ica p . Las cu as i educibles, no singula es yde géne o g sob e k inme sas en el espacio p oyec i o IP g-1 po su haz canónico, o man una amilia con inua de cu as pa ame izada po un esquema noe he iano HO (el esquema de Hilbe de las cu as lisas canónicas de géne o g) ; po consiguien e, se iene una ib aci6nuni e sal de cu as de géne o g : O ---+H O . El g upo g g p oyec i o PGL(g-1,k) ac úa sob e el esquema 11 0 . El esul ado cen al de la eo ía geomé ica de in a ían es es la exis encia e i educibilidad del cocien e H ° /PGL : la a iedad de mdduli de las cu as de gené o g (*) . g Po an o exis i á un único pun o gené ico  p ---Ho  y end á sen ido ha- bla de la cu a gené ica de géne o g sob e k : se á la ib a del mo is mo  8 - Hg  sob e el pun o  p . El es udio de la i educibilidad de la a iedad de mdduli conduce de modo na u al al concep ode cu a es able : una cu a es able de géne o g sob e un esquema S es esencialmen e una ami- (*) Es e esul adoe a conocido en el caso clásico k=T po la Escuela I alí_a na . Recien emen e ha sido demos adosob e cue pos de ca ac e ís ica a bi a ía po Deligne y Mum o d : "The i educibli y o he space o cu es o a gi en genus" - Publ . Ma h . I .H .E .S ., 36 (1969) . lia plana de cu as, C11 S , de géne o a i mé ico g cuyas únicas posi- bles singula idadesson nodos . Del mismo modo que en el caso de las cu as lisas, se e i ica que las cu as es ables de géne o g do adas de su in- me sión ican6nica o manuna amilia con inua,  Pg - 7T >H g , pa ame i-zada po una a iedadi educible  H g . La a iedad  lí g  de cu as es ables es una compac í icacíón de la a iedad de cu as lisas . En el es udio de la geome ía de la cu a gené ica de géne o g es unda- men al la a iedad H g , que pe mi e de o ma la a las cu as acionales con g nodos educiendo, po de o mación, las p opiedades de la cu a gené ica al es udio de la geome ía de una cu a acional con nodos . Las p oposiciones geomá ícas que se es udien end án la siguien e p opie- dad : si es cie a pa a una cu a, ambién lo es pa a cualquie gene aliza- ción de dicha cu a . Po an o, si la cu a gené ica iene una p opiedad, dicha-p opiedad se á cie a pa a odas las cu as de un abie o denso de la a iedad de módulí . En es e abajo se es udia án algunas p opiedades de las cu as de m6duli gene al : Sean C l y C z dos cu as no singula essob e k , si a cada pun o de C l se le hacen co esponde n z pun os de C z y a cada pun o de C z n l pun- os de C l , se end á una co espondencia en e C l y C z de g ados n l y  n z . Asignando a cada co espondencia su g á ica en  C 1 x C 2 , se pueden iden i ica las co espondencias algeb aicasen e pun os de C l y C z con los di iso es de  C l x C z , Se de ine el álgeb a de clases de co espondencias de una cu a C , A(C) , como las co espondencias módulo las que son de o mables linealmen e a co- espondencias i iales ( ep esen adaspo cu as e icales y ho izon a- les en  Cx C) . El p oduc o de dos co espondencias posi i as e i educibles T y T' , se de ine po el p oduc o ib ado : 256 En A(C) se de inen una in olución * (la sime ía espec o de la diago- nal) y una aza : (T) = n l (T) +n2(T) -T(1 Con es as no aciones se e i ica que  A(C)  es una 7L- álgeb a ini o=gé ie ada y "la mé ica (T 1 ,T z )e-- , (T 1 "TZ)  es de inida posi i a (Desigualdad de Cas elnuo o) . Si T es una co espondencia posi i a y p l , p z las p oyecciones en los ac o es, en onces la composición de mo ismos pz* " pi de ine un homo- mo ismo de g upos Pic(C) T Píc(C) . Asignando a cadaco espondencia el endomo ísmo que de ine en e los di iso es de la cu a, esul a que las clases de co espondencias algeb aicas se iden i ican con los endomo ísmos de la jacobiana de la cu a . Si J  es el núcleo de mul iplica po n en la jacobiana de C J , se n de ine el módulo I-ádico de  J  (1 =núme o p imo ~ p) po : T~(J)  = lím J m  (se p uebaque  T~(J)= 7L 2g  siendo  g  el géne o de  C ) m 1 Si T es una co espondencia sob e C , de ine un endomo ísmo en cada Ji . y po an o se iene un mo ismo A(C) - End M , TI(J) que es inyec i o, es deci una co espondencia algeb aica sob e C queda de e minada po su ac uación sob e los elemen os de o sión de la jacobiana . A con inuación amos a e que oda co espondencia algeb aica sob e una cu a de ipo gene al es de o mable linealmen e a un múl iplo en e o de la diagonal (*) : Teo ema : El conjun o de cu as no singula es de géne o g cuya álgeb a de co espondencias es isomo a a 2E es un abie o denso de la a iedad de mó duli que pa ame íza las cu as de géne o g . Es deci : las unciones abe- lianasasociadas a una cu a de ipo gene al no ienen mul iplicaciones com plejas . Demos ación : Sea C la cu a gené ica de géne o dencía sob e C . La co espondencia T induci á que segui emosdesignando po T , sob e P g /H g . nodos, C o , T se de o ma á a una a acional con en p ime luga que  T o - n,~ C0 : se puede cons ui una Zg --> S = [(ip 1 x7P1) /S, x g ) . x (7P 1 -]P')//S-- {di sc íminan- que pa ame íza odas las mane as de do a de g nodos aFk ; exis un mo ismo  S - H g  al que  Zg = Pg x H S  y po an o g co espondencia  T  de  Zg/S , la co espondencia especiales de T . La jacobiana de una cu a con g nodos es amilia de cu as e} i á g sob e C o ; eamos g y T una co espon- una única co espondencia Al de o ma C a una cu co espondencia T T induce una T o es una de las ib as (*) En el caso clásico  k =a ;  es e eo ema ué demos ado po Hu wi z y Se- e ¡ . Una demos ación esencialmen e geomé ica puede e se en el a ado de En iques-Chisini . 1 ; m x g) . x ~m , luego su módulo 1-ádico es  TI(~m) x g), xT I (T M )= 7Z, ; cada ac o p o iene de un nodo y T o se á mul iplica po n i en el ac o í-ésimo . .Como S es una pa ame izaci6n nodos de C o en e sí, esul a á que el J(Z g/S) es conexo sob e S ; de aquí se n,= . . . = n g y po an o  T o = nACO " Pa a concluí . bas a á con p oba bien, si  T o = 0 , en ondes mo plano, la aza se á cons an e en ib as, desigualdad de Cas elnuo o se concluye . Co ola io 1 : Las cu as lisas de géne o g sob e k cuyos únicos au omo iden idad son un abie o denso de la a iedad de móduli . ismos son la Demos ación : que si  T o= 0 , (T . . T* o) =0  y como i educible qué pe mu a odos núcleo de mul iplica sigue ácilmen e que los po nen en onces  T =_0 ; aho a g ----+H 9  es un mo is- luego  (T " T*) = 0  y po la Obse emos que si g>,2 y . T es una co espondenciabi a- cíonal de una cu a lisa C necesa ia y su icien e pa a que T que C sea hie jlíp ica . Po an o el Co ola io se sigue del Teo ema eniendoen cuen a que si g>,3 la cu agené ica de géne o g no es hipe elíp ica : pues las cu as de géne o g dependen de 3g-3 pa áme os,mien as que las cu as hipe elíp ícas de .g . ._, ._  cue o  g  s6l .amen e depenad~ , ,d~ , de  2g-1  pa a ue os . ,la condición sea una co espondencia con alencia es Co ola io 2 : Las cu as lisas de géne o g>,2 sin in oluciones í aciona- les (es deci : cuyos cue pos de unciones acionales no ienen subcue poj de géne o  g > 0)  son un abie o denso de la a iedad de móduli . REFERENCIAS : [2]  En iques-Chisini - Tea ía geomU , íca deUe equazíon,i . e delle 6uncíoní A2geb~ c :ehe . Ed . Zaníchelli, 1924 . P . Deligne and D . Mum o d - The .ú Aeducí .b .í,Zí y o6 Vhe apace ob cun e i ob a gí en genue . Publ . Ma h . I.H .E .S ., 36, 1969 . J.I . Igusa - Fíbhe Syb, eme o6 Jaeobían Va i í .e ; íu . Ame . Ma h . Jou nal, 78, 1956 . [4]  S . Le sche z - A heonem on co"espondencea on aegebnaíc cun eÁ . Ame . J . Ma h ., 50, 1928 . D . Mum o d - Abelían VaAíe ,íR,b . Ox o d Uni . P éss, 1974 . [6]  D .H . Ruipé ez - CoAAeepondencí" d .í dsoAíaIu 6ob e, e,6que ,  e2a - oó . En es a Con e encia . F . Se e i - Tha a 0 cíí Geome ~Lía A2gebn .c :ca . Vol . I, Pa e I, Ed . Zani chellí, 1926 . [8]  S G A IV 1/2 - L .id .M ., Vol . 569, Sp ínge -Ve lag . [9]  S G A VII - L .N.M ., Vols . 288 y 340, Sp inge -Ve lag . [10] A . Weil - .Couxbu Algební .quez e Vaxu ;e U AbeUennea . He mann, 1948 .