Pub
.
Ma
.
UAB
N020
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CONSTRUCCIO
D'EXTENSIONS
DE COSSOSDE NÚMEROS
AMB
ÍNDEX
PREFIXAT
Pascual
Llo en e,
En icNa
Secci6
de
Ma ema iques
Uni e si a
de
Zulia
(Venezuela)
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
ABSTRACT
.
Le
K
be
a
ini e
numbe
ieId
.
In
a
p e ious
pape
[1],
he
au ho s
cha ac e ize
he
in ege
ideeas
in
K
which
sa is y
~=i(L/K),
being
L/K
an
ex-
ension
o
deg ee
3
o
4
.
In his
pape
'
we
s udy
he
e ec i e
cons uc ion
o
1
such
numbe ie1ds
L=K(B),
h ough
he
minimal
polynomial
o
9
.
1
.
In oducci6
.
Al
lla g
de
o
aques eball
n
deno a ael
núme o
na u-
al
3
6
4
.
Sigui
K
un
cos
de
núme osi A
1'ánell
p
és un
idealp ime
de
A
deno a en
pe
p
la
ciada
a
p
.
Sigui
B
un
en e
algeb aic
sob e
K
0
(X)

=
Xm-
a1Xm
-1
-ha
2Xm-2-
. . .
.+(-1)mam
E
A[ XI
,
el
polinomi
minimal
de
B
sob e
K
.
Si
D(B) és el
disc iminan
de
e
(X)
i
D
és el
disc iminan
de
L/K,
on
L=K(B),
es é
:
D(B)
=
¡(0)
.
D,
delsen e s
de
K
.
Si
alo aci6
de
K
asso-
de g au
m
i
sigui
on
i(B)
és
1'ideal
índexde
6
.
Sigui
i(L/K)
1'indexde
L/K,
és
a
di
el
m
.c .d
.
dels
ideals
i(P),
on
(i
a ia
en e
els
en e sde
L
als
que
L=K(R)
.
165
de inició
1
.
Di em
que
un ideal
K
de
A
és
m-admissible
si
exis eix
una
ex ensib
L/K
de
g au
m
alque
i(L/K)=3~
.
En
un
eball
an e io
[1],
hem
ca ac e i za
els
ideals
n-admissibles
de
qualse ol
cos
de
núme osK
.
En
aques
eball
cons uim
amiliesde
polinomiis
0
(X)EA[X] de
g au
n
als
que
si
L=K(B),1'ideal
i(L/K)
és
un ideal
n-admissible
p e ixa
.
Va em
eu e
a
í
!j
que
si
:
;
és un idealn-admissible,
és
equi alen
que
i=i
(L/K)
pe
a
un
ce
L,

a
quepe
a
o
p ime
p
de
A
amb
N(p)<n
(N=NK/O),,p
descomposi
duna
de e minada
mane a
a
L/K
;
en consequéncia,
pe
esold e
el
nos e
p oblema
és
su i-
cien
oba
pe
a
cada
p ime
p
amb
N(p)<n,condicions
cong uen-
cials
módul
una
po énciade
p
sob e
ele
coe icien e
de
e (X)
que
assegu in
que
p
descomposa
a K(B)/K
de la
mane aadequada
.
Com
que
si
P
W)=0
és
su icien
imposa
que
e
(X)
sigui
p-Eisens eniá
;
n'hi
ha
p ou
amb
conside a
les
descomposicions
indicades
en
ele
co ol
.la is
1 i 2
de
[1]
.
Les
amilies
e
(X)
que
cons uim
enen
a
més
la
següen
in e essan
p opie a
:
p1l~
n=p
si
p
(p)=1
.
-

( ;
R
1)

=
( al
_

(1)
P
.
"
P
En el
cae
K=p,
Nagell
a
[2]
dona
amilies
de
polinomis
de g au
n
bue
pe me encons ui
ex ensions
L/Q
als
que
i(L/0)
és un
ideal
n-admissible
p e ixa ,enca a
que
sensesa is e
la
p opie a
(1)
,
.
Les
amilies
que
donem
en
aques eball
es ingides
a
K=S9
no
coi cideixen
amb
les
de
Nagell
i
la
se a
cons uccib
pe me
dedui
en alguns
cassos,
c i e is
pa cials
pe
de e mina
i(L/K)
en
un-
cib
de
e
(X)
.
És conegu
que
pe
a
o
p ime
p
de
A,
p
(p)>0
només
pe
a
un únicp ime
pGT,j
.
Ens
se á
ú il
la
següen
de inició
:
de inició
2
.
Di em
que
1TEA
és
un
uni o mi zan
de
p
si
p
(7 )=1i
2
.
Resul a s
pe
n=3
.
En
o a
aques a
seccib
Pindica á
un
p ime
de
A amb
N(p)=2
i
i
deno a á
un
uni ó mi zan
de
p
.
Teo ema
1
.
Sigui
0
un en e algeb aic
sob e
K
de
g au
3
al
que
e
(X)
sa is á
a
l
-
-_0
(mbd
.p
3
) .
Alesho es
P
(D(A))=2
i P
descomposa
comple amen
a
K(B) si
i
només
si
a
2
=_

1+

(mbd
.p
2
)

i

a
2
+a3
=_

7

(mbd
.p
3
).
Co ol
.la i
.
Si
L/K
és
una
ex ensib
de
g au
3,
pli(L/K)
si
i
només
si
exis eix
un
9EL al
que
L=K(B)
i
0
(X)
sa is á
:
a
l =
0
(mbd
.p
3
),
En aques cas p
(i
(B)) =1
.
3
.
Resul
a s
pe
n=4
.
a 2
=
1+K

(mbd
.p
2
)
,

a 2

3=7
(mbd
.p
3
) .
Teo ema
2
.
Sigui N(p)=3,
EA
un
uni o mi zan
de
p
i
0
un en e
algeb aic
sob e K
de
g au
4
al
que
e
(X)
sa is á
a
l
=0 (mbd
.p
3
)
.
Alesho es
p
(D(9))=2
i
p
descomposa comple amen
a
K(B) si
i
no-
més
si
a
2
=_-1
(mbd
.p)
i
a l
=_
0
(mbd
.p
3
),
(A)

p
(a
3
)=1,

P
(a
4
)
>2
;

ó
(B)

P
(a
3
)
>1
.

a
4
=_
~2

(mbd
.p
3
) .
Co ol
.la i
.
Sigui N(P)=3,
i EA
un
uni o mi zan
de
p i
L/K
una ex-
ensib de g au
4
.
Alesho es,
.Pli(L/K)
si
i
només
si
exis eix
un
BEL al
que
L=K(B)
i 0
(X)
sa is á
:
a
2
=_
-
1
(mbd
:p)
i
(A)
b
(B)
del
eo ema
2
.
D'a a
enda an
deno em
pe
P
un p ime
de
A
amb
N(p)=2,
pe
n
un
uni o mi zan
de
p
i
pe
6
un en e
algeb aic
sob e
K
de g au
4
.
Teo ema
3
.
Si
e
(X)
sa is á
:
al=!2
(mbd
.p 5
),

a
2
=-_l+a
3
(mbd
.p
3
),

a3
=-i

(mbd
.p
2
)
,

a4=0

(mbd
.p
3
),
alesho es
p
(D(B))=4
i
p
descomposa
comple amen
a
K(9)
.
Teo ema
4
.
Si e
(X)
sa is á
:
a
.1
=2 (mbd
.p
5
),
a
2=1-T 2
(mbd
.p 4
) ,

a
3
=7
(mbd
.p
5
) ,

a4
= +
2
(mbd
.p
5
) ,
alesho es
p
(D(B))=4
i p =
P
l
"
P
2
-P3
a
K(9)
.
Teo ema
5
.Si
e
(X)
sa is á
:
(a_
)=
(a)=0
;

(a_)=1
.

p
(a
4
)=2,
p
.
1
.
p
.
2

p
.
s
.
alesho es
p(D(B))=2,i
p=
Pl-P2
amb
N
(
P
i)
=p
2,
i=1,2
a
K(B)
.
Re e bncies
.
1
.
P
.Llo en e-E
.
Na ,
Sob e
1'indexd'ex ensions
ela i es
de
.
cossosde núme os,
VII
Jo nadas
ma emá icas
hispano-lusas,
San
Feliu
de
Guíxols,
1980
.
2
.
T
.
Nagell,
Les
di iseu s
ixes
de
1'index
des
nomb esen ie sy
A ki
8
Ma
.
Bd
.6,
N
.15
(1965),
269-289
.