Construcció d'extensions de cossos de números amb índex prefixat

Pub . Ma . UAB N020 Se . 1980 Ac es VII JMHL CONSTRUCCIO D'EXTENSIONS DE COSSOSDE NÚMEROS AMB ÍNDEX PREFIXAT Pascual Llo en e, En icNa Secci6 de Ma ema iques Uni e si a de Zulia (Venezuela) Uni e si a Au ónoma de Ba celona ABSTRACT . Le K be a ini e numbe ieId . In a p e ious pape [1], he au ho s cha ac e ize he in ege ideeas in K which sa is y ~=i(L/K), being L/K an ex- ension o deg ee 3 o 4 . In his pape ' we s udy he e ec i e cons uc ion o 1 such numbe ie1ds L=K(B), h ough he minimal polynomial o 9 . 1 . In oducci6 . Al lla g de o aques eball n deno a ael núme o na u- al 3 6 4 . Sigui K un cos de núme osi A 1'ánell p és un idealp ime de A deno a en pe p la ciada a p . Sigui B un en e algeb aic sob e K 0 (X)  = Xm- a1Xm -1 -ha 2Xm-2- . . . .+(-1)mam E A[ XI , el polinomi minimal de B sob e K . Si D(B) és el disc iminan de e (X) i D és el disc iminan de L/K, on L=K(B), es é : D(B) = ¡(0) . D, delsen e s de K . Si alo aci6 de K asso- de g au m i sigui on i(B) és 1'ideal índexde 6 . Sigui i(L/K) 1'indexde L/K, és a di el m .c .d . dels ideals i(P), on (i a ia en e els en e sde L als que L=K(R) . 165 de inició 1 . Di em que un ideal K de A és m-admissible si exis eix una ex ensib L/K de g au m alque i(L/K)=3~ . En un eball an e io [1], hem ca ac e i za els ideals n-admissibles de qualse ol cos de núme osK . En aques eball cons uim amiliesde polinomiis 0 (X)EA[X] de g au n als que si L=K(B),1'ideal i(L/K) és un ideal n-admissible p e ixa . Va em eu e a í !j que si : ; és un idealn-admissible, és equi alen que i=i (L/K) pe a un ce L,  a quepe a o p ime p de A amb N(p)<n (N=NK/O),,p descomposi duna de e minada mane a a L/K ; en consequéncia, pe esold e el nos e p oblema és su i- cien oba pe a cada p ime p amb N(p)<n,condicions cong uen- cials módul una po énciade p sob e ele coe icien e de e (X) que assegu in que p descomposa a K(B)/K de la mane aadequada . Com que si P W)=0 és su icien imposa que e (X) sigui p-Eisens eniá ; n'hi ha p ou amb conside a les descomposicions indicades en ele co ol .la is 1 i 2 de [1] . Les amilies e (X) que cons uim enen a més la següen in e essan p opie a : p1l~ n=p si p (p)=1 . -  ( ; R 1)  = ( al _  (1) P . " P En el cae K=p, Nagell a [2] dona amilies de polinomis de g au n bue pe me encons ui ex ensions L/Q als que i(L/0) és un ideal n-admissible p e ixa ,enca a que sensesa is e la p opie a (1) , . Les amilies que donem en aques eball es ingides a K=S9 no coi cideixen amb les de Nagell i la se a cons uccib pe me dedui en alguns cassos, c i e is pa cials pe de e mina i(L/K) en un- cib de e (X) . És conegu que pe a o p ime p de A, p (p)>0 només pe a un únicp ime pGT,j . Ens se á ú il la següen de inició : de inició 2 . Di em que 1TEA és un uni o mi zan de p si p (7 )=1i 2 . Resul a s pe n=3 . En o a aques a seccib Pindica á un p ime de A amb N(p)=2 i i deno a á un uni ó mi zan de p . Teo ema 1 . Sigui 0 un en e algeb aic sob e K de g au 3 al que e (X) sa is á a l - -_0 (mbd .p 3 ) . Alesho es P (D(A))=2 i P descomposa comple amen a K(B) si i només si a 2 =_  1+  (mbd .p 2 )  i  a 2 +a3 =_  7  (mbd .p 3 ). Co ol .la i . Si L/K és una ex ensib de g au 3, pli(L/K) si i només si exis eix un 9EL al que L=K(B) i 0 (X) sa is á : a l = 0 (mbd .p 3 ), En aques cas p (i (B)) =1 . 3 . Resul a s pe n=4 . a 2 = 1+K  (mbd .p 2 ) ,  a 2  3=7 (mbd .p 3 ) . Teo ema 2 . Sigui N(p)=3, EA un uni o mi zan de p i 0 un en e algeb aic sob e K de g au 4 al que e (X) sa is á a l =0 (mbd .p 3 ) . Alesho es p (D(9))=2 i p descomposa comple amen a K(B) si i no- més si a 2 =_-1 (mbd .p) i a l =_ 0 (mbd .p 3 ), (A)  p (a 3 )=1,  P (a 4 ) >2 ;  ó (B)  P (a 3 ) >1 .  a 4 =_ ~2  (mbd .p 3 ) . Co ol .la i . Sigui N(P)=3, i EA un uni o mi zan de p i L/K una ex- ensib de g au 4 . Alesho es, .Pli(L/K) si i només si exis eix un BEL al que L=K(B) i 0 (X) sa is á : a 2 =_ - 1 (mbd :p) i (A) b (B) del eo ema 2 . D'a a enda an deno em pe P un p ime de A amb N(p)=2, pe n un uni o mi zan de p i pe 6 un en e algeb aic sob e K de g au 4 . Teo ema 3 . Si e (X) sa is á : al=!2 (mbd .p 5 ),  a 2 =-_l+a 3 (mbd .p 3 ),  a3 =-i  (mbd .p 2 ) ,  a4=0  (mbd .p 3 ), alesho es p (D(B))=4 i p descomposa comple amen a K(9) . Teo ema 4 . Si e (X) sa is á : a .1 =2 (mbd .p 5 ), a 2=1-T 2 (mbd .p 4 ) ,  a 3 =7 (mbd .p 5 ) ,  a4 = + 2 (mbd .p 5 ) , alesho es p (D(B))=4 i p = P l " P 2 -P3 a K(9) . Teo ema 5 .Si e (X) sa is á : (a_ )= (a)=0 ;  (a_)=1 .  p (a 4 )=2, p . 1 . p . 2  p . s . alesho es p(D(B))=2,i p= Pl-P2 amb N ( P i) =p 2, i=1,2 a K(B) . Re e bncies . 1 . P .Llo en e-E . Na , Sob e 1'indexd'ex ensions ela i es de . cossosde núme os, VII Jo nadas ma emá icas hispano-lusas, San Feliu de Guíxols, 1980 . 2 . T . Nagell, Les di iseu s ixes de 1'index des nomb esen ie sy A ki 8 Ma . Bd .6, N .15 (1965), 269-289 .