Pub
.
Ma
.
UAB
N° 20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CARACTERITZACIONS
LOGIQUES
DE
CERTESALGEBRES
Ven u a
Ve dú
Solans
Facul a
de
Ma emá iques
Uni e si a
de
Ba celona
ABSTRACT
:
La ices,
dis ibu i e
la ices,
Hilbe
algeb as,
ela-
i elypseudo-complemen ed
la ices
and
boolean
algeb as
a e
s uc u es
whicho ena ise
in
ma hema ical
logicby
means
o
some
axioms
and
Ta ski-Lindembaum
quo ien s,
o by
some
alua ions
and
la e
iden i ica ions
.
In his
pape
wecha ac-
e ize heses uc u es om
a
logicalpoin
o
iew,
using
condi ions
connec ing
he
ope acions
wi h
he
consequence
o-
pe a o
which
de ines
he
logic
.
Sigui
S
un
conjun no bui
i
n,
dues
ope acions
biná-
ies
de inides
en
S
.
Teo ema
1
:

(S,
n,
) és
un
e icle
,
on
x
ny
i
x
y
són,
espec i amen ,1'ín imi
el sup em
de x,y, si
i
nomás
si,
exis eix
un
ope ado conseqüénciaC
sob e
S
alquepe
o
x,yc
S
es
compleix
1
.

C(x,y)
=
C(x
ny)

,
2
.

C(x)
n
C(y)

=
C(x
y)
3
.
C(x)
=
C(y)=>
x
=
y

""
La
condició
1
s'in e p e a
ácilmen
ja
quediuque
x
n
y
ac úa,
desdel
pun de
is a
deduc iu,
com
la
conjunció
de
x
i
y
.
La
condició
3
e lexa
la
idea
de
quocien
de
Ta ski-Lindem-
baum
.
Teo ema
2

:

(S,
n, )

is
un
e icle
dis ibu iu
on
x
n
y
i
x
y
són espec i amen ,
1'in im
i
el
sup em
de
x
i y,

si,
i
només
si,
exis eixun
ope ado
conseqüéncia
C
sob e
S
al
que
pe
,
o
x
,
y
E
S i
o
a<
S
,
ca d
(c)
9
1,
es
compleix
1
.
C(x,y)
=
C(x^y)
2
.
C( a

x)
nC(
a

y)
=
C(
a

x
y)
3
.
C(x)
=
C(y)=>x
=
y
Les
condiciona
"2"
d'aques
eo emai
de 1'an e io
sónde-
bili acions
de
la
condició
que
a[3lanomená em
"p incipi
o
de
la
disjuncié",
que
en el
casen
que
C
és
ini a i,
implica
1'exis éncia
d'unabasede
C
que
compleixun p incipi
clássic
de
disjunci6,
és
a
.di
:
si
Be

,
alesho esx
yE
B
<=>
xc
B
o
bé
yE
B
.
Teo ema
3
:
(S,-,u)
és
una
álgeb a
de
Hilbe
si,
i
nomás
si,
exis eix
un
ope ado
conseqüéncia
C
sob e
S
alque
pe
o
x,yE
S i
o
a
<S
,
ca d
(a )< 2,
es
compleix
1
.
y
EC(
a,x)<=>
x-+
y
EC(
a)
2
.
C(x)
=
C(y)

x
=
y

""
La
condició
1
d'aques
eo ema
és
una
debiii aciu`
deico-
negu " eo emade
la
deduccié",
usual
en
Lbgica
Ma emá ica
.
L'elemen u
és
exac amen
C(0),
la classe
de
eo emes
.
Teo ema
,
4

n, )
és
un
e icle
ela i amen
pseudo-
complemen a
si,
i
només
si,
exis eix
un
ope ado
conseqüéncia
C
sob e
S
al quepe o
x,yE
S i o a,< S,
ca d
(a),<
1
es
compleix
:
No i's
que
és
inmedia
que

x,y, E
S
,
4
x->
y<->
x-
YE C( )
<=>

y
EC( ,x)

=
C(
n
xI=>
nx<
y
Sigui
'
una
ope ació
mona ia
de inida
en
S
.
Teo ema
5

:

(S,
n,

')

és
una
álgeb a
de Boole
on
x
n
y
és
1'ín-
im
de
x,y
i
x' és el
complemen
de
x
si,
i
només
si,
exis eix
106
1
.
C(x,y)
=
C(X
A
y)
2
.
C(x)
n C(y
.)
=
C(x
y)
3
.
y
EC(a
,x)s=>x
yE
C(a)
4
.
C(x)
=
C(y)<->
x
=
y
un
ope ado
conseqüéncia
C
sob e
S
al,Ique
pe
o
x,yE
S
es
compleix
1
.

C(x,y)

_C(x
Á
y
)
2
.
y
EC(x)<=>
C(x,y
, )
=
S
3
.
C(x)
=
C(y) =>
x
=
y

"
La
condició
2
d"aques
eo ema
és
una
debili ació
del
cone-
gu
"
eo emade
educció
a
1"absu d""
.
Teo ema
6

(S, ,')
és
una
álgeb ade
Boole,
on
x y
és
el
sup emde
x,y
i
x'
és el
complemen
de
x
si,
i
només
si,
exis eix
un
ope ado
conseqüéncia
C
sob e
S
al
que
pe o
x,yE
S i
o
a
ES
,
ca d
(a)
<2
,
es
compleix
1
.
C(x,a
)
(~
C(y,a
)
=
C(
x
y,a)
2
.
yE
C(a)->
C(a
,
y'
)
=S
3
.

C(x)

=

C(y)
>

x

=

y
BIBLIOGRAFIA
:
1
Teo ema
7

(S,-},
-
)
és
una
álgeb a
de
Boole
si,
i
només
si,
exis eix
un
ope ado
conseqüéncia
sob e
S
o ma
pe
sis emes
deduc ius
(
espec e
de
-~)
alquepe o
x,yE
S i
o
a,<
S,
ca d
(a)
<
2
es
compleix
1
.
y
EC(
a,x)
=>x->
y
EC(a)
2
.
y
EC(x)<=>
C(x,y')
=
S
3
.
C(x)
=
C(y)=>x
=
y
BROWN,D
-
SUSZKO,P
:
"Abs ac
Logics"
.
Disse a iones
Ma hema icae,CII
Pgs
.
9-40
.
Wa szawa
.
1973
[21

RASIOWA,H
:
"An
algeb aic
app oach
o
non-
classical
logics
"
.
S udies
in
Logic
Vol
78
.No h-Holland
,
1974
.
VERDU
,
B
:
Logiques
dis ibu i es
i
booleanes"
.
S ochas ica
Vol
III
.
n°2
.
1979
.