Caracteritzacions lògiques de certes àlgebres

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL CARACTERITZACIONS LOGIQUES DE CERTESALGEBRES Ven u a Ve dú Solans Facul a de Ma emá iques Uni e si a de Ba celona ABSTRACT : La ices, dis ibu i e la ices, Hilbe algeb as, ela- i elypseudo-complemen ed la ices and boolean algeb as a e s uc u es whicho ena ise in ma hema ical logicby means o some axioms and Ta ski-Lindembaum quo ien s, o by some alua ions and la e iden i ica ions . In his pape wecha ac- e ize heses uc u es om a logicalpoin o iew, using condi ions connec ing he ope acions wi h he consequence o- pe a o which de ines he logic . Sigui S un conjun no bui i n, dues ope acions biná- ies de inides en S . Teo ema 1 :  (S, n, ) és un e icle , on x ny i x y són, espec i amen ,1'ín imi el sup em de x,y, si i nomás si, exis eix un ope ado conseqüénciaC sob e S alquepe o x,yc S es compleix 1 .  C(x,y) = C(x ny)  , 2 .  C(x) n C(y)  = C(x y) 3 . C(x) = C(y)=> x = y  "" La condició 1 s'in e p e a ácilmen ja quediuque x n y ac úa, desdel pun de is a deduc iu, com la conjunció de x i y . La condició 3 e lexa la idea de quocien de Ta ski-Lindem- baum . Teo ema 2  :  (S, n, )  is un e icle dis ibu iu on x n y i x y són espec i amen , 1'in im i el sup em de x i y,  si, i només si, exis eixun ope ado conseqüéncia C sob e S al que pe , o x , y E S i o a< S , ca d (c) 9 1, es compleix 1 . C(x,y) = C(x^y) 2 . C( a  x) nC( a  y) = C( a  x y) 3 . C(x) = C(y)=>x = y Les condiciona "2" d'aques eo emai de 1'an e io sónde- bili acions de la condició que a[3lanomená em "p incipi o de la disjuncié", que en el casen que C és ini a i, implica 1'exis éncia d'unabasede C que compleixun p incipi clássic de disjunci6, és a .di : si Be  , alesho esx yE B <=> xc B o bé yE B . Teo ema 3 : (S,-,u) és una álgeb a de Hilbe si, i nomás si, exis eix un ope ado conseqüéncia C sob e S alque pe o x,yE S i o a <S , ca d (a )< 2, es compleix 1 . y EC( a,x)<=> x-+ y EC( a) 2 . C(x) = C(y)  x = y  "" La condició 1 d'aques eo ema és una debiii aciu` deico- negu " eo emade la deduccié", usual en Lbgica Ma emá ica . L'elemen u és exac amen C(0), la classe de eo emes . Teo ema , 4  n, ) és un e icle ela i amen pseudo- complemen a si, i només si, exis eix un ope ado conseqüéncia C sob e S al quepe o x,yE S i o a,< S, ca d (a),< 1 es compleix : No i's que és inmedia que  x,y, E S , 4 x-> y<-> x- YE C( ) <=>  y EC( ,x)  = C( n xI=> nx< y Sigui ' una ope ació mona ia de inida en S . Teo ema 5  :  (S, n,  ')  és una álgeb a de Boole on x n y és 1'ín- im de x,y i x' és el complemen de x si, i només si, exis eix 106 1 . C(x,y) = C(X A y) 2 . C(x) n C(y .) = C(x y) 3 . y EC(a ,x)s=>x yE C(a) 4 . C(x) = C(y)<-> x = y un ope ado conseqüéncia C sob e S al,Ique pe o x,yE S es compleix 1 .  C(x,y)  _C(x Á y ) 2 . y EC(x)<=> C(x,y , ) = S 3 . C(x) = C(y) => x = y  " La condició 2 d"aques eo ema és una debili ació del cone- gu " eo emade educció a 1"absu d"" . Teo ema 6  (S, ,') és una álgeb ade Boole, on x y és el sup emde x,y i x' és el complemen de x si, i només si, exis eix un ope ado conseqüéncia C sob e S al que pe o x,yE S i o a ES , ca d (a) <2 , es compleix 1 . C(x,a ) (~ C(y,a ) = C( x y,a) 2 . yE C(a)-> C(a , y' ) =S 3 .  C(x)  =  C(y) >  x  =  y BIBLIOGRAFIA : 1 Teo ema 7  (S,-}, - ) és una álgeb a de Boole si, i només si, exis eix un ope ado conseqüéncia sob e S o ma pe sis emes deduc ius ( espec e de -~) alquepe o x,yE S i o a,< S, ca d (a) < 2 es compleix 1 . y EC( a,x) =>x-> y EC(a) 2 . y EC(x)<=> C(x,y') = S 3 . C(x) = C(y)=>x = y BROWN,D - SUSZKO,P : "Abs ac Logics" . Disse a iones Ma hema icae,CII Pgs . 9-40 . Wa szawa . 1973 [21  RASIOWA,H : "An algeb aic app oach o non- classical logics " . S udies in Logic Vol 78 .No h-Holland , 1974 . VERDU , B : Logiques dis ibu i es i booleanes" . S ochas ica Vol III . n°2 . 1979 .