Pub
.
Ma
.
UAB
No
.
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
UN
ENFOQUEQUASI-EMPIRICO
DA
TEORIA
DE
PROBABILIDADES
X
.
Ga cía
Sua ez,
C
.Saenz
Cas o
Colec i o
Ma emá ico
Galego
Vacalou a
Vigo
ABSTRACT
:
We conside
Ma hema ics
jus
a
Quasi-Empi-
ic
heo y,
whe e,unlike
he
Euclidian
heo y,
lo
-
gic
is
used
basically
as
a
means
o
c i icism
and
no
exclusi ely
o
demons a ion
.
In
a
heo y
like
his,
he
basicchannel
o
p og ess,
a e he
con o e sies
be ween
he
i al
heo ies
.I
is
hen
a ques ion
o
pu ing
o wa d,
whene e
i
possi
ble,
and
in
a
sync onic
way,
he
o igino
he
con
-
cep o
be
s udied
and
ha
o
i s
p esen
o maliza-
ion
.
F om
his
poin
o
iew,
an
in oduc ion
o
he
concep
o
p obabili ies
is
deal
wi h
he e
.
As
dis in as
pos u as
que
se
dan
hoxendía
e bo
a
didac
ica
das
ma emá icas
esponden,
6
cabo,
as
di e sas
concepci6ns
que
delas
exis en
.
Aínda
que
oensinan e
adop epos u asmimé
icas
daco do
cos
empos
nos
que
i e,
polo
xe al
non
as
en
in
eg adas
dabondo
non
espondéndo,
xa
que
logo,
a
unha omade
posición
cla a
espec o
6ca ac e
que
as
ma emá icas
eñen
co-
mo
TEORIA
que
implica á
unha
de e minada
me odoloxía
.
Dendedi e sos
pon os
de is a,
en
ce o
sensosupe ado
esunsdos
ou os,
en á onse educi-las
ma emá icas
a
unha
eo íaideal
que
en
dada
po
un
sis ema
dedu i o
no
que
se en
caixan
p oposici6ns
e dadei as
comopon o
de
pa ida
(unha
con
xunci6n
ini a
de
axiomas)
que
ansmi en
a
e dade
6
es o
do
sis emamedian e
as
eg as
da
in e encia
16xica
.
Chama émoslle
a
es e
modelo
ideal
SISTEMA
EUCLIDEO,
que
nou aspalab as
non
é
maisnada
cá
clausu a
dedu i a
das
p oposici6ns
queson
asu-
midas
como
e dadei as
.
0
es iamen o
das
esesda
e dade
absolu a
en
ma emé i-
cas,
sobo de
odo
despoisda
Conxe u a
de
G6del
(C
.
G5del),
37
38
ixo
que
homes
an
ixos
nos
seus
p incipio
en
de e minado
mo
-
men o,
econside a an
mais
a de
as
seas
pos u as
.
As¡
Rusell
na
sCa
au obiog a ía
di
"
.
. .
A
esplendida
ce eza
que
eu coida-
ba a opa
nas
Ma emá icas,
oi
bo adaabaixo"
.
Von
Neumen
dí
:
"A
miña
isión
da
e dade
absolu a
cambeou
es
eces
sucesi a-
men e",
e
Weyla i ma
:
"An es
as
Ma emá icas
e an
in alibeis,
C
.
G6del
é,
6
cabo,un
" ei o
du o""
.
Es e
desencan o
se iu
bs
iloso o-ma emá icos
ma xis as
p a
'se
a ianza en
nas
súas
po
sici6ns
.

Ci emos
po
exemplo
a
Mos owski
"
. .
.C
.
G~del
e
ou os
esul ados
nega i os
con i mano ase o
dos
ilóso os
ma e ia-
lis asde
que
as
ma emá icas
en
de adei a
ins ancia
son
unha
ciencia
na u al,
is o
é
:
concep oe mé odo
es án
undamen ados
na
expe iencia
e
6dolosin en os
de
es ablece-los
seus
unda-
men os
sen
e
en con a
a
súa
o ixe
nas
cienciasda
na u eza
es
án
chamados
6
acaso"
.
Kalma dí
:
"A
consis encia
dos
sis _e
mas
o mais
é
un ei o
empí ico
. .
."
.
Po quénon
con esamos
dunha
ez
qué
as
ma emá icas
coma
as
ou asciencias
es án
ba-
seadas
en
con as adas
na
p ác ica?
Ou a
cus i6n
que
eiquí
nos
in e esa
salien a é
que
as
o malizaci6nsquedas
dis in as
ponlas
das
ma emá icas
se
eñen
ei o,
dende
a
xeome ía
de
Hilbe
a é
'
a
axiomá ica
de
Ze melo-F ankel
p á
eo ía
de
conxun os,
p esén ase
coma
un
o-
do xa
es uc u ado
no
quenon
se
albisca
o
camino eal
que
se
seguí
p 6
seu
es ablecemen o
.
As¡
as
cousas,
po quénon
acep a-la
ese
laka iana
do
modelo
Quasi-Empí icó
(Q
.E
.)
como
supe ado
des ees adode
cousas
se
o
que
'
ai
non
é
mais
ca
p esen a
sinc ónicamen e
6
dolos
p ocesos
que
no
de eni his ó ico
conduci on
á
con igu a-
cibnac ual
das
ma emá icas?
P a
Laka os
unha
eo íaQ
.E
.'é
aquela
na
que,
en con a
posicióna
unha eo ía
Euclídea
(E
.),
os axiomas
son
explicados
polo
es o
do sis ema
e
non
S
i es
.
Non
é
is o
acaso
econoce-
los
p ocesos
que
le a ona
Rusell,
Hilbe
e c
.
ás
súas
o ma-
lizaci6ns?
En
pa icula ,
unha
eo íaQ
.E
.
se á
empí ica
se os
seus
axiomas
sonconside aci6ns
espacio- empo ais
.
.',

A
me odoloxía
E
.
é
p imi i a
no
sensode nega-los
p o-
cesos
his ó icos
e/ou
psicol6xico-e olu i os,
non
deixando
lu
-
ga
a
ningCin, ipo
de
especulaci6ns
.
A Q
.E
.
lá anos
á p oli e-
aciónde
hip6 eses
al e na i as
cun
g ande
pode
"heu ís ico"
e
"didác ico"
.
0desen ol emen o
dunha
eo ía
E
.
esquemá icamen e
com-
p ende es ases
:
1)
Es ado
in ui i o
p ecien í ico
que
cons i ue
a
p e-
his o ia
do
concep o
.
2)
Pe iodo
de
undamen aci6n
que
eo ganiza
a
discipli-
na
ees ablecea
sús
es uc u a
dedu i a
.
"
3)
T6dolos
p oblemas
son
esol os
no
(den o
do)sis ema
p ees ablecido
.
0
descob emen o
de
alseado es
16xi-
cos
(p oposici6nsda o ma
p&-p)
le a
6sis emaá
s la,
au odes uci6n
.
As
e apas
dunha
eo ia
Q
.E
.
son
:
1)
P oblemase soluci6ns
axei adas
:
p obas
e
e u a
-
cibns
.
2)
Es ablecemen o
das
dis in as
eo ías
( i ais)
p 6s
ei os
p oblemá icos
.
3)
Re isión
con inua
.
Dende
logo
que
unha
eo ia
Q
.E
.
aménadmi i á
alsea-
do es
do
ipo p&-p
;
o abén
:
xa
que
unha eo ia o mal
non
é
mais
ca
o malización
dunha
eo ía
in o mal,
pa ece
na u al
en
on
pensa
que
unha eó ia
o mal
se
pode
e u a
se
algun
dos
seus
eo emas
6-negado
na
co esponden e
eo íain o mal
.
Di e-
mosque
nes ecaso emos
un
alseado
heu ís ico
.
Aínda
mais,
podemos
conside a
como alseado es
heu ís icos
ce as
p oposi-
ci6ns
da
eo íain o mal
quenon
son
o malizabeis
na
o mal
.
Es e ipo
de
alseado es,
6s
que
unhasponlas
das
ma emá icas
o ecen
mais
a ancos
ca ou as,
son
clásicos
na
his o ia
da
ciencia
e,
en
pa icula ,
da
ma emá icas
.
No
que
sigue en amos
de
es ablece-lo
sis ema
euclídeo
que
subxace
no
modelo
p obabilís ico
de
Kolmogo o
e
indicamos
as
liñaspolas
que
debe íadiscu i
unha
me odoloxía
do
ensino
das
p obabilidadesbaseada
nun
modelo
quasi-empí ico
.
Toda
a
eo ia
elemen al
de
p obabilidades
es á
cons uí
da
sobo
da base
de
axiomas
do
ipo
:
39
40
1)

0

<

P
(A)

<

1
2)
P(A
1
UA
2
)
=
P(A
1
)
+
P(A2)
3)
P(U)
= 1
Dos
axiomas
seguindo
un mé odo
es i amen e
dedu i o,
í anseunhachea
de
eo emas
(o
eo ema
de adición
de
p oba-
bilidades
e c)
.
Es emodelo
eo ico
xus i icase
dian e
do
alumno
polas
p opiedades
das
ecuencia
que
somen es
ac uan
como
e idencia
in ui i a
do
modelo eo ico o mal
que
se
de ine
.
Nes e
p oceso
es án
e lexadas
as
es
asesda eo iaeucli-
deaque
denan es
suli iabamos
:
1)
Es ado
in ui i o
p ecien i ico
que
nes e
casopode
sé-lo
modelode Laplace
e
o
modelo
ecuencial
2)
Pe iodo
de
undamen aciónque
se ia
a
axioma ica
de
Kolmogo o
e
os
eo emas
que
dela
se
deducen
3)
Asignación
de
p obabilidades
nun
p oblema
de e mina-
do
seguindo
c i e ios
de
sime ia
(modelo
de Lapla-
ce)
ou
epe indoo
expe imen o, endop esen e
a
le¡
de
es abilidade
das
ecuencias
ela i as
(modelo
ecuencial)
.
Nun
en oque
quasi-empi ico
da
cus ión
di iamos
que
o
que
acon ece
é
que
coexis indo
co modelo o mal
de
Kolmogo o
es án
uns
modelos
in o mais
onde
se
esol en
os
p oblemas
ele
men ais
de
p obabilidades
.
Soiopo que
exis en
po
unhabanda
alsi icado es
Tóxicos
dos
modelosin o mais
e
po
ou a
p o-
blemas
quenon
se
poden
plan exa ,
oi
p eciso
chega
ó modelo
de
Kolmogo o
.
Es e,
á
s ia
ez,
p esen ap oblemas
de
ipo
Tóxico
e
de ipo
de
asignación
de
p obabilidades
polo
quepa-
ece
p eciso
c ea un no o
modelo
o mal
(A
.
Renyi)
.
P esen amos
a
con inuación
ca o
p oblemas
e
a
s ia
po-
sibelsolución
en cada
uno
dos
modelos
p óbabilis icos
:
1)
Asignación
de
p obabilidades
no lanzamen o
dun
dado
equilib ado
de
seis
.ca as
2)
Asignación
de
p obabilidades
no lanzamen o
dun
dado
que
eña
o ma
de
e aed oi egula
3)
Asignación
de
p obabilidades
nun
p oblema
xeomé ico
:
Cal
6 a p obabilidade
de
que
a lonxi ude
da co da
e
bo de
á mi ade
do
diame o?
4)
Asignación
de
p obabilidades
no
caso
de
escollei a
6
aza
dun
núme o
en ei o,
supondo
que
odo
en ei o
en
a
mesma
p obabilidade
de
se
escollido
.
E iden emen e
o
supos o
1)
é
o malizabelno
modelo
de Laplace
e
non
se
p ecesa ía
dos
es an es
modelos
p a
solu-
cionalo
.
Osupos o
2)
xa
non
é
: o malizabelno modelode
Laplace
e, xa
que
logo,
ha¡que
busca
un no oxei o
de
asignación
de
p obabilidades
.
Ten
solución
no
modelo
ecuencial
.
No supos o
3)
comopode iamosasigna
p obabilidades?
Depende
en ei amen e
do
xei o
en
que
se aza
a
co da
.
Se se
a¡
omandoun
pon o
da
ci cun e encia
e
dibuxando
en on
a
co
da,
en
calque a
angulo,supondo
6dolos
angulosigualmen e
po-
sibeis
a p obabilidadepedidaé
2/3
.
En
oques,
se
escollemo
lo
c i e io
de
. -ixa-lo
diame o
e
aza co das
pe pendicula es
a
el en
calque a
pon o,
a p obabilidade
pedida
é
V3/2
.
Nes ecaso
es amos
alando
de
p obabilidades
condicio-
nadas
.
Que
senso
e
escolle
un
pon o
dos
in ini os
da ci cun
e enciaou
un'diame o
emp egando
o
modelo
de
Kolmogo o ?
Algo
semellan e
ocu e
no
p oblema
4)
.
Ten emosde
o malizalo
:
Sexa
N
o
conxun o
dos
na u ais,
A conxun o
de
odalas
pa es
de

N
,
sexa

pn(n=1,2,
. .
.)
unhasucesión
de
nume os
no7ne
ga i os,
sexa

B

o conxun o
de pa es
de

N

ales
que

E
-p
n
sexa
posi i o
e
ini o
.

neB
Se
pomos
u(A)
=
E
p
n
p a
A
e
A
en on
:
neA
11
(AB)
p a
A
e
AeB
e
B
6
un
alxeb a
de
p obabilidade
condicionada
quenon
es aenxen-
d ada
po
un
alxeb a
de
p obabilidáde
de
Kolmogo o maisca
se
EP
con e xe
.
n
neA
4
1

P oblemas
coma
es e
de adei o
son
os
que
an
elabo a
unha
no a
axioma ica
do
cálculo
de
p obabilidades
que
é
unha
ex ensión
da eo iade
Kolmogo o
e
que en
comoconcep o
de
base
o
de
p obabilidade
condicional
.