Un enfoque quasi-empírico da teoría de probabilidades

Pub . Ma . UAB No . 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL UN ENFOQUEQUASI-EMPIRICO DA TEORIA DE PROBABILIDADES X . Ga cía Sua ez, C .Saenz Cas o Colec i o Ma emá ico Galego Vacalou a Vigo ABSTRACT : We conside Ma hema ics jus a Quasi-Empi- ic heo y, whe e,unlike he Euclidian heo y, lo - gic is used basically as a means o c i icism and no exclusi ely o demons a ion . In a heo y like his, he basicchannel o p og ess, a e he con o e sies be ween he i al heo ies .I is hen a ques ion o pu ing o wa d, whene e i possi ble, and in a sync onic way, he o igino he con - cep o be s udied and ha o i s p esen o maliza- ion . F om his poin o iew, an in oduc ion o he concep o p obabili ies is deal wi h he e . As dis in as pos u as que se dan hoxendía e bo a didac ica das ma emá icas esponden, 6 cabo, as di e sas concepci6ns que delas exis en . Aínda que oensinan e adop epos u asmimé icas daco do cos empos nos que i e, polo xe al non as en in eg adas dabondo non espondéndo, xa que logo, a unha omade posición cla a espec o 6ca ac e que as ma emá icas eñen co- mo TEORIA que implica á unha de e minada me odoloxía . Dendedi e sos pon os de is a, en ce o sensosupe ado esunsdos ou os, en á onse educi-las ma emá icas a unha eo íaideal que en dada po un sis ema dedu i o no que se en caixan p oposici6ns e dadei as comopon o de pa ida (unha con xunci6n ini a de axiomas) que ansmi en a e dade 6 es o do sis emamedian e as eg as da in e encia 16xica . Chama émoslle a es e modelo ideal SISTEMA EUCLIDEO, que nou aspalab as non é maisnada cá clausu a dedu i a das p oposici6ns queson asu- midas como e dadei as . 0 es iamen o das esesda e dade absolu a en ma emé i- cas, sobo de odo despoisda Conxe u a de G6del (C . G5del), 37 38 ixo que homes an ixos nos seus p incipio en de e minado mo - men o, econside a an mais a de as seas pos u as . As¡ Rusell na sCa au obiog a ía di " . . . A esplendida ce eza que eu coida- ba a opa nas Ma emá icas, oi bo adaabaixo" . Von Neumen dí : "A miña isión da e dade absolu a cambeou es eces sucesi a- men e", e Weyla i ma : "An es as Ma emá icas e an in alibeis, C . G6del é, 6 cabo,un " ei o du o"" . Es e desencan o se iu bs iloso o-ma emá icos ma xis as p a 'se a ianza en nas súas po sici6ns .  Ci emos po exemplo a Mos owski " . . .C . G~del e ou os esul ados nega i os con i mano ase o dos ilóso os ma e ia- lis asde que as ma emá icas en de adei a ins ancia son unha ciencia na u al, is o é : concep oe mé odo es án undamen ados na expe iencia e 6dolosin en os de es ablece-los seus unda- men os sen e en con a a súa o ixe nas cienciasda na u eza es án chamados 6 acaso" . Kalma dí : "A consis encia dos sis _e mas o mais é un ei o empí ico . . ." . Po quénon con esamos dunha ez qué as ma emá icas coma as ou asciencias es án ba- seadas en con as adas na p ác ica? Ou a cus i6n que eiquí nos in e esa salien a é que as o malizaci6nsquedas dis in as ponlas das ma emá icas se eñen ei o, dende a xeome ía de Hilbe a é ' a axiomá ica de Ze melo-F ankel p á eo ía de conxun os, p esén ase coma un o- do xa es uc u ado no quenon se albisca o camino eal que se seguí p 6 seu es ablecemen o . As¡ as cousas, po quénon acep a-la ese laka iana do modelo Quasi-Empí icó (Q .E .) como supe ado des ees adode cousas se o que ' ai non é mais ca p esen a sinc ónicamen e 6 dolos p ocesos que no de eni his ó ico conduci on á con igu a- cibnac ual das ma emá icas? P a Laka os unha eo íaQ .E .'é aquela na que, en con a posicióna unha eo ía Euclídea (E .), os axiomas son explicados polo es o do sis ema e non S i es . Non é is o acaso econoce- los p ocesos que le a ona Rusell, Hilbe e c . ás súas o ma- lizaci6ns? En pa icula , unha eo íaQ .E . se á empí ica se os seus axiomas sonconside aci6ns espacio- empo ais . .',  A me odoloxía E . é p imi i a no sensode nega-los p o- cesos his ó icos e/ou psicol6xico-e olu i os, non deixando lu - ga a ningCin, ipo de especulaci6ns . A Q .E . lá anos á p oli e- aciónde hip6 eses al e na i as cun g ande pode "heu ís ico" e "didác ico" . 0desen ol emen o dunha eo ía E . esquemá icamen e com- p ende es ases : 1) Es ado in ui i o p ecien í ico que cons i ue a p e- his o ia do concep o . 2) Pe iodo de undamen aci6n que eo ganiza a discipli- na ees ablecea sús es uc u a dedu i a . " 3) T6dolos p oblemas son esol os no (den o do)sis ema p ees ablecido . 0 descob emen o de alseado es 16xi- cos (p oposici6nsda o ma p&-p) le a 6sis emaá s la, au odes uci6n . As e apas dunha eo ia Q .E . son : 1) P oblemase soluci6ns axei adas : p obas e e u a - cibns . 2) Es ablecemen o das dis in as eo ías ( i ais) p 6s ei os p oblemá icos . 3) Re isión con inua . Dende logo que unha eo ia Q .E . aménadmi i á alsea- do es do ipo p&-p ; o abén : xa que unha eo ia o mal non é mais ca o malización dunha eo ía in o mal, pa ece na u al en on pensa que unha eó ia o mal se pode e u a se algun dos seus eo emas 6-negado na co esponden e eo íain o mal . Di e- mosque nes ecaso emos un alseado heu ís ico . Aínda mais, podemos conside a como alseado es heu ís icos ce as p oposi- ci6ns da eo íain o mal quenon son o malizabeis na o mal . Es e ipo de alseado es, 6s que unhasponlas das ma emá icas o ecen mais a ancos ca ou as, son clásicos na his o ia da ciencia e, en pa icula , da ma emá icas . No que sigue en amos de es ablece-lo sis ema euclídeo que subxace no modelo p obabilís ico de Kolmogo o e indicamos as liñaspolas que debe íadiscu i unha me odoloxía do ensino das p obabilidadesbaseada nun modelo quasi-empí ico . Toda a eo ia elemen al de p obabilidades es á cons uí da sobo da base de axiomas do ipo : 39 40 1)  0  <  P (A)  <  1 2) P(A 1 UA 2 ) = P(A 1 ) + P(A2) 3) P(U) = 1 Dos axiomas seguindo un mé odo es i amen e dedu i o, í anseunhachea de eo emas (o eo ema de adición de p oba- bilidades e c) . Es emodelo eo ico xus i icase dian e do alumno polas p opiedades das ecuencia que somen es ac uan como e idencia in ui i a do modelo eo ico o mal que se de ine . Nes e p oceso es án e lexadas as es asesda eo iaeucli- deaque denan es suli iabamos : 1) Es ado in ui i o p ecien i ico que nes e casopode sé-lo modelode Laplace e o modelo ecuencial 2) Pe iodo de undamen aciónque se ia a axioma ica de Kolmogo o e os eo emas que dela se deducen 3) Asignación de p obabilidades nun p oblema de e mina- do seguindo c i e ios de sime ia (modelo de Lapla- ce) ou epe indoo expe imen o, endop esen e a le¡ de es abilidade das ecuencias ela i as (modelo ecuencial) . Nun en oque quasi-empi ico da cus ión di iamos que o que acon ece é que coexis indo co modelo o mal de Kolmogo o es án uns modelos in o mais onde se esol en os p oblemas ele men ais de p obabilidades . Soiopo que exis en po unhabanda alsi icado es Tóxicos dos modelosin o mais e po ou a p o- blemas quenon se poden plan exa , oi p eciso chega ó modelo de Kolmogo o . Es e, á s ia ez, p esen ap oblemas de ipo Tóxico e de ipo de asignación de p obabilidades polo quepa- ece p eciso c ea un no o modelo o mal (A . Renyi) . P esen amos a con inuación ca o p oblemas e a s ia po- sibelsolución en cada uno dos modelos p óbabilis icos : 1) Asignación de p obabilidades no lanzamen o dun dado equilib ado de seis .ca as 2) Asignación de p obabilidades no lanzamen o dun dado que eña o ma de e aed oi egula 3) Asignación de p obabilidades nun p oblema xeomé ico : Cal 6 a p obabilidade de que a lonxi ude da co da e bo de á mi ade do diame o? 4) Asignación de p obabilidades no caso de escollei a 6 aza dun núme o en ei o, supondo que odo en ei o en a mesma p obabilidade de se escollido . E iden emen e o supos o 1) é o malizabelno modelo de Laplace e non se p ecesa ía dos es an es modelos p a solu- cionalo . Osupos o 2) xa non é : o malizabelno modelode Laplace e, xa que logo, ha¡que busca un no oxei o de asignación de p obabilidades . Ten solución no modelo ecuencial . No supos o 3) comopode iamosasigna p obabilidades? Depende en ei amen e do xei o en que se aza a co da . Se se a¡ omandoun pon o da ci cun e encia e dibuxando en on a co da, en calque a angulo,supondo 6dolos angulosigualmen e po- sibeis a p obabilidadepedidaé 2/3 . En oques, se escollemo lo c i e io de . -ixa-lo diame o e aza co das pe pendicula es a el en calque a pon o, a p obabilidade pedida é V3/2 . Nes ecaso es amos alando de p obabilidades condicio- nadas . Que senso e escolle un pon o dos in ini os da ci cun e enciaou un'diame o emp egando o modelo de Kolmogo o ? Algo semellan e ocu e no p oblema 4) . Ten emosde o malizalo : Sexa N o conxun o dos na u ais, A conxun o de odalas pa es de  N , sexa  pn(n=1,2, . . .) unhasucesión de nume os no7ne ga i os, sexa  B  o conxun o de pa es de  N  ales que  E -p n sexa posi i o e ini o .  neB Se pomos u(A) = E p n p a A e A en on : neA 11 (AB) p a A e AeB e B 6 un alxeb a de p obabilidade condicionada quenon es aenxen- d ada po un alxeb a de p obabilidáde de Kolmogo o maisca se EP con e xe . n neA 4 1 P oblemas coma es e de adei o son os que an elabo a unha no a axioma ica do cálculo de p obabilidades que é unha ex ensión da eo iade Kolmogo o e que en comoconcep o de base o de p obabilidade condicional .