Pub
.
Ma
.
UAB
Nó 19
Maig
1980
Ac as
II
Cong eso
de
EcuacionesDi e enciales
y
Aplicaciones
-Valldo eix,
Mayo1979
.
ECUACIONES
DIFERENCIALES
ESTOCASTICAS
:
RUIDO
BLANCO
Y DE
COLOR
J
.M
.
Sancho
yM
.
San Miguel
Depa amen o
de
Física
Teó ica
Uni e sidad
de
Ba celona,
Diagonal-647
Ba celona-28,
P esen ado
en
el II
Cong eso
de
Ecuaciones
Di e en-
ciales
y
Aplicaciones
.Ba celona,
28-31
de
Mayo de 1979
1
.
Ecuaciones
di e enciales
es ocás icas
En
p incipio,unaecuación
di e encial
es ocás-
ica
es
aquella
que
con iene
algunpa áme o
de inido
po
una
unción
de
dis ibución
p obabilis ica
.
Lo
que
se
p e ende
en onces
es
conoce
la
unción
de
dis ibu-
cióninducidapa a
las
a iables
del
p oblema
.
Idos
lim_i
a emos
aquí
a
las
ecuaciones
de ipo
Lange in
en
que
una
ue za
es ocás íca
o
" uido"
3( )
apa ece
lineal-
men e
en la
ecuación
;
Es e ipode
ecuaciones
ienen
su
jus i icación
mecanico-es adís ica
en
el
o malismo
de
Mo i
[11,
aun-
quemás
ecien emen e
suelenconside a se
en el
con ex o
de
ecuaciones
enomenológicas
en
que
cie os
pa áme os
ex e nos
al
sis ema
luc uan
.
Los
uidosadi i os
[~]
(
g =
c e
)
solo
in oducen
luc uaciones
en
o no
a
la
ayec o ia
de e minis amien as
que
los
uidos
mul i-
plica i os
pueden
p oduci
e ec os
insospechados
en el
análisis
de e minis a
[31
.
Desde
un
pun o
de
is a ísicosuele
supone se
que
3( )
es
una
ue za
es ocás íca
gaussiana
de
media
nula
y
iempo
de
co elación
pequeño
.
El limi e
de
ie_m
po
de
co elación
nulo
conduce
al
uido
blanco
que
es
el
usualmen e
u ilizado
debido
a
las
simpli icaciones
que
in oduce
.
En
pa icula ,
en
es e caso
(1)
de ine
un
p oceso
de
Ma ko
[41
.
78
Ruido
blanco
S a ono ich
:
Pa a
es e
caso,
!3(~)
3(E~1
>=
z

a
(F- ~
donde
W( )
es
el
p oceso
de
Wiene
.
Ob iamen e
las
ecu_a
ciones
(1)-(3)
suponen
un
cla o abuso
de
no ación
.
po
no
es a
uní ocamen e
de inida
la de i ad~i
del
p oceso
de
Wiene
.'Las
di e en es
in e p e aciones
de
la
in e-
g al
es ocás ica
asociada
a
(1)
dan
en onces luga
a
di
e en es
in e p e aciones
de
(1)
.
Las
mas
conocidas
son
las
de
I ó
y
S a ono ich
[4]
.
La
di e encia
ísica
esen
esencial
es á en el
alo
dado
en
ambas
a
la
co elación
de
W( )
con
su
inc emen o
en
el
mismo
iempo
.
Mien as
I ó
asigna un
inc emen o
hacia
adelan e
en
el
iempo
que
conduce
a
una
co elación
nula,
S a ono ich
conside a
un
inc emen o
simé icocon
co elación
no
nula
[51
.
Es as
di e encia
se
ap ecian
en
las
ecuaciones
de
Fokke Planck asociadas
a
(1)
en
ambas
in e p e acio
nes
El
é mino
de
a as e
que
apa ece
en
(5)
y no
en
(4)
pa a
uidos
no
adi i os
es
el
llamado
a as e
"espú-
eo"
obje o
de
cie a
ecien e
con o e sia
[6)
.
La
in e p e ación
de
S a ono ich
es
la
p e e-
ida
en
un
con ex o
ísico
y
ello
po
dos
azones
p in-
cipales
:
a)
In a iancia
de los
é minos
de
a as e
y
di usión
po
cambios
de
a iables
[61
.
b)
Teo ema
de
Wong
,y
Zakai
[41
:
Es a
in e p e ación
co eSpOTI(~íe
al
limi ede
una
sucesión
de
ecuaciones
con
uidos
de
iem
pos
de
co elación
.
ini os
pe o
endiendo
a
ce o
.
Las
ecuaciones
de
Folcke
Plancl,
asi
ob enidas
[7]
son
el
pun o
de
a anque
de
odos
los
es udios
ac ua
.
.
les
sob e
dinámica
c l iica
y
~ns-I_c5
.ones
.
de
ase
de
no
equilib io
[2]
.
Pa a
su
a amien c
p ác ico
exis en
desa
.
olladasso is icadas
écnicas
g ze
incluyen
los
o malis
mos
ope acional
[8]
,y
de
in eg ales
de camino
[91
.
3
.
Ruido
de
colo
En
muchos
casos
la
idealización
de
uidoblan-
co
puede
se
demasiado
ue e
y
obscu ece o almen e
enómenos
causados
po
un
iempo
de
co elación
no
nulo
[10-12]
.
La
p incipal
di icul ad
asociada
con
el
uido
de
colo
es
la
pé dida
del
ca ac e
Ma ko iano
de
(1)
y
como
consecuencia
la
di icul ad
de
encon a
la
ecuación
maes a
asociada
[13]
.
Una
p ime aap oximación
al
p o-
blema
consis e
en
limi a se
.
a
uidos
3( ) dados
po
un
p oceso
de
O s ein-Uhlenbeck
:
donde
z
es el
iempo
de
co elación
.
En
es a
si uación,
(1)
y
(6)
cons i uyen
un
p o
ceso
de
Ma ko
degene ado
.
Es
deci
que
doblando
el
nú-
me o
de
a iables
podemos
con inua
con
p ocesos
de
Ma "
ko
.
No
obs an e
el
p eciopagado
po
ello
es
muy
al o,
pues
en el
casousual
de
que
(1) sea
una
ecuación
unid_¡
mensional,
pa a
3( ) uido
blanco,
la
solución
es acio
na ia
es
siemp e
conocida,
mien as
que
pa a
p ocesos
en
dos
dimensiones
hay
pocos
casosen
que
sea
conocida
.
Una
al e na i a
a
es ep oblema
es
con ui
una
ecuación
de
Fokke
Planck
unidimensional
álida
pa a
iempos
de
co elación
pequeños
12,141
.
Con
ello
pueden
inclui se
79

los
e ec os
de
iempos
de
co elación
pequeños
sin
sali
se
del
con ex o
de
las
ecuaciones
de
Fokke Planck
cuyas
p opiedadesma emá icas
son
bienconocidas
.
Debe
queda
cla o
que
la
exis encia
de
una
ecuación
de
Fokke Planck
no es a eñida
con
el
ca ác e
no
ma ko iano
[151
.
Es-
as
ecuaciones
deben
in e p e a se
como
ecuaciones
mae_s
as,
pe o
su
solución
undamen al
no es la
p obabili-
dad
condicional
del
p oceso
.
La
deducción
de
ales
ecuaciones
[12,141
pa e
de
la
ecuacióncb
Liou ille
es ocás ica
[16]
asociada
a
(1)
que
p omediada
sob e
la
dis ibución
de
I( )
conduce
a
donde
80
-

(
( )
4.
al4p¢)3(¢))~~~, ~

(8)
g
11-,
(
{)
_,

1
--
a
V(0) (0)+á'N¢)
£
Id~~~)
>

(9)
9¢
el ay
aI

J-Jl ~
p(1
.1)=
z8(1
1
0
-
1»
Dado
que
(lo)
5(E)
z
:
5(~lE)~ )

(11)
g
3lE)
en el limi ede
uido
blanco

Y
, ')
=
2D
( - ')
se
ecupe a
la
ecuación
(5)
.
Pa a
ecuaciones
lineales
V(y
.F)
~
.
a(4)j
+d(+)
;
se
iene
que
6(E»
P(I, )
+
?z
D(0
£(7
.1)
aE
ay

ale

(12)
F
,
ala)~l
D(1)~

yc¢x)
-e
E

(13)
a
Pa a
p oblemas
mas
gene ales
no
hay
ecu~zcione
ce adas
an
sencillas
,y
hay
que
desa olla

Y( , ')
en
(9)
en
po encias
de
Z
[12]
.
En
p ime
o denen
Z
se
ob iene
M (q,+1
+
D7'Né)
(l
(1
,

4
(14)
.
4-
D

x(1
,4
)
-
z
(T
~
9
. >>
PIy
.E)
En
o den

Z`
en
gene al
apa ecen
de i ados
e_
ce as
de
P
espec o
a q
y
no
exis e
ecuación
de
Fokke
Planck
.
Es o
no es
así
en
el
casoespecial
en
que
(1s)
Es a
condición
[171
de in
.e
p ecisamen e
la
cl_a
se
de
ecuaciones
del
ipo
(1)
que
son
ans o mables
median ecambios
de
coo denadas
en o ma
lineal,
y
po
an o
pa a
ellos
es
aplicable
en
las
nue as
coo denadas
la
ecuación
exac a
(12)
.
4
.
Aplic
aciones
En
es e
apa adoaplicamos
los
esul adosan e
io es
a
dos
si uaciones
ísicasdis in as
:
T ansiciones
de
asede
no
equilib io
y
mo imien o
b owniano
.
a)
T ansiciones
de
ase
de
no
equilib io
:
Ha
sido
es a-
blecido
ecien emen e
[3,101
que
el
uido
ex e no
pue-
de
in oduci
nue as
ansiciones
de
ase
de
no
equili-
b io
que
no
apa ecen
en
el
análisis
de e minis a
de la
ecuación
de
pa ida
.
Po
ello
se
puedeasegu a
que
el
e ec o
del
uido
ex e no
no
es
únicamen e
de
co eccio-
nes
cuali a i as
de
la
ecuación
de e minis a
.
Una
o ma
sencilla
de
ap ecia
es o
es
es udiando
los
ex emos
e
la i os
de la
solución
es aciona ia
de
la
ecuación
(14)
:
La
ecuación
pa a
dichos
ex emos
es
j)
-
D
1(4)1
1
(1)
+
DZ
?(l)
(1
1
(
9
) (1)
-9(O
i»
=
0

(16)
donde
e
ap eci
;in
cl_
;_~
. am
:~n e
los>
di e en es
e ec o'
:
del
uido
bli_nco
.y
de
colo
.
El
p ime é mino
es el
de e -
minis a,el
segundo
es
el e ec o
del
uido
blanco
y
el
úl imo
es la
p ime a
co eción
debido
,
:l
uido
de
colo
.
E iden emen e
nue as
soluciones
pueden
aps ece
debida
:
a
es os
dos,
úl imos
6-minos
lo
que
puede
indica
nue as ases
mac oscópicas
.
Co no
ejemplo
ilus a i o
conside emos
la
ecua-
ción
de
Ve huls
que
apa ece
en
di e sos
p oblemas
ís_i
cos,
químicos
.y
biológicos
[21
.
j( )
=
í<
1-
jz

+4
j(E)
3( )
es
el uido
desc i o
en
el
p ime
apa ado
y
pue
de
se
blancoo
de
colo
.
Las
ecuaciones
de FP pa a
ui
do
blanco
(4)
y
pa a
uido
de
colo
en
p ime
o den
en
(14)
ienencomo
solución
es aciona ia' espec i a-
men e
El?]
P+
i
(.
ü=
p

p

(la)
Donde
la
p ime a
es el
lími ede
la
segunda
pa a
Z-~>o
.
En
la
igu a
1
y
2
obse amos
los
di e en es
compo- amien os
de
es as
dos
soluciones,
co espondien-
do
la
p ime a
al
uido
blanco,en
unción
de
los
pa á-
me os
del
sis ema
A
B
Pa a
el
caso
de e minis a
solo
hay
ansición
pa a
el
alo
p(=
o
que
aquíno es udiamos
.
Podemos
ob
se a
qu-
pa a
el
caso

D¿?
o

el
uido
blanco
in oduce
una
ansición
pa a
el
alo
c í ico
Pa{
=1
.
La
in o-
ducción
del
uido
de
colo
amplía
las
posibilidades
de
las
ansiciones
de
ase
como
puede
ap ecia se
en
la
ig
.
2
donde
exis en
las
nue as
zonas
C,D,E
.
Como
se
pue
de
obse a
1
.-z
as
eG
A,B
co esponden
a
las
del
uido
blanco
pa a
z
pequeños
.
O os
e ec os
del
uido
colo ea
do
son
la
a iación
del
dominio
de
las
a iablesc
(de
qE
(o,
eo
)
pasamos
a

q
1
(o,1/2))
y
el
desplazamien o
del
máximo
de la
zona

con
espec o
al
casode
ui
do blanco
J

-
a-p
.
Es os
esul ados
son
cuali a i amen=
e
coinciden es
con
.
los
de
{11]
,
en
donde
se
conside a
es e
modelo
con
un
uido
3( )
ep esen ado
po
un
p oce
so
dico ómico
de
Ma ko
.
La
a i icialidad
de
es e
uido
pe mi e
ob ene
una
ecuación
maes a
exac a
.
b)
Mo imien o
b owniano
.
Pa imos
de
las
ecuaciones
del
mo imien o
clásicas
pa a
la
posiciónq
y
el
momen op
de
una
pa ícula
de
masa
unidad
en
un
luido
some idoa
los
choques
alea o ios
de la
pa ícula
del
medio
.
Las
ecua-
ciones
del
mo imien o
con
un
po encial
O(q),
son
donde
~
es
el
coe icien e
de
icción
%
j( )
es
la
ue
za
es ocás ica
que
dá
cuen ade
los
choques
de
las
pa í
culas
del
medio
o
luc uaciones
é micas
y
que
es de
me-
dia
nulo
.
.
Pa a es e
p oblema
es
bien
conocida
la
ecuación
de
FP
pa a
P(q,p, )
.
Una
cues ión
ya
p opues a
po
Uhle_n
beck
y
O ein
[18] es la
de
encon a
la
ecuaciónexac a
que
sa is ace
P(q, )
donde
se ha
eliminadoel
momen o
.