Ecuaciones diferenciales estocásticas : ruido blanco y de color

Pub . Ma . UAB Nó 19 Maig 1980 Ac as II Cong eso de EcuacionesDi e enciales y Aplicaciones -Valldo eix, Mayo1979 . ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS : RUIDO BLANCO Y DE COLOR J .M . Sancho yM . San Miguel Depa amen o de Física Teó ica Uni e sidad de Ba celona, Diagonal-647 Ba celona-28, P esen ado en el II Cong eso de Ecuaciones Di e en- ciales y Aplicaciones .Ba celona, 28-31 de Mayo de 1979 1 . Ecuaciones di e enciales es ocás icas En p incipio,unaecuación di e encial es ocás- ica es aquella que con iene algunpa áme o de inido po una unción de dis ibución p obabilis ica . Lo que se p e ende en onces es conoce la unción de dis ibu- cióninducidapa a las a iables del p oblema . Idos lim_i a emos aquí a las ecuaciones de ipo Lange in en que una ue za es ocás íca o " uido" 3( ) apa ece lineal- men e en la ecuación ; Es e ipode ecuaciones ienen su jus i icación mecanico-es adís ica en el o malismo de Mo i [11, aun- quemás ecien emen e suelenconside a se en el con ex o de ecuaciones enomenológicas en que cie os pa áme os ex e nos al sis ema luc uan . Los uidosadi i os [~] ( g = c e ) solo in oducen luc uaciones en o no a la ayec o ia de e minis amien as que los uidos mul i- plica i os pueden p oduci e ec os insospechados en el análisis de e minis a [31 . Desde un pun o de is a ísicosuele supone se que 3( ) es una ue za es ocás íca gaussiana de media nula y iempo de co elación pequeño . El limi e de ie_m po de co elación nulo conduce al uido blanco que es el usualmen e u ilizado debido a las simpli icaciones que in oduce . En pa icula , en es e caso (1) de ine un p oceso de Ma ko [41 . 78 Ruido blanco S a ono ich : Pa a es e caso, !3(~) 3(E~1 >= z  a (F- ~ donde W( ) es el p oceso de Wiene . Ob iamen e las ecu_a ciones (1)-(3) suponen un cla o abuso de no ación . po no es a uní ocamen e de inida la de i ad~i del p oceso de Wiene .'Las di e en es in e p e aciones de la in e- g al es ocás ica asociada a (1) dan en onces luga a di e en es in e p e aciones de (1) . Las mas conocidas son las de I ó y S a ono ich [4] . La di e encia ísica esen esencial es á en el alo dado en ambas a la co elación de W( ) con su inc emen o en el mismo iempo . Mien as I ó asigna un inc emen o hacia adelan e en el iempo que conduce a una co elación nula, S a ono ich conside a un inc emen o simé icocon co elación no nula [51 . Es as di e encia se ap ecian en las ecuaciones de Fokke Planck asociadas a (1) en ambas in e p e acio nes El é mino de a as e que apa ece en (5) y no en (4) pa a uidos no adi i os es el llamado a as e "espú- eo" obje o de cie a ecien e con o e sia [6) . La in e p e ación de S a ono ich es la p e e- ida en un con ex o ísico y ello po dos azones p in- cipales : a) In a iancia de los é minos de a as e y di usión po cambios de a iables [61 . b) Teo ema de Wong ,y Zakai [41 : Es a in e p e ación co eSpOTI(~íe al limi ede una sucesión de ecuaciones con uidos de iem pos de co elación . ini os pe o endiendo a ce o . Las ecuaciones de Folcke Plancl, asi ob enidas [7] son el pun o de a anque de odos los es udios ac ua . . les sob e dinámica c l iica y ~ns-I_c5 .ones . de ase de no equilib io [2] . Pa a su a amien c p ác ico exis en desa . olladasso is icadas écnicas g ze incluyen los o malis mos ope acional [8] ,y de in eg ales de camino [91 . 3 . Ruido de colo En muchos casos la idealización de uidoblan- co puede se demasiado ue e y obscu ece o almen e enómenos causados po un iempo de co elación no nulo [10-12] . La p incipal di icul ad asociada con el uido de colo es la pé dida del ca ac e Ma ko iano de (1) y como consecuencia la di icul ad de encon a la ecuación maes a asociada [13] . Una p ime aap oximación al p o- blema consis e en limi a se . a uidos 3( ) dados po un p oceso de O s ein-Uhlenbeck : donde z es el iempo de co elación . En es a si uación, (1) y (6) cons i uyen un p o ceso de Ma ko degene ado . Es deci que doblando el nú- me o de a iables podemos con inua con p ocesos de Ma " ko . No obs an e el p eciopagado po ello es muy al o, pues en el casousual de que (1) sea una ecuación unid_¡ mensional, pa a 3( ) uido blanco, la solución es acio na ia es siemp e conocida, mien as que pa a p ocesos en dos dimensiones hay pocos casosen que sea conocida . Una al e na i a a es ep oblema es con ui una ecuación de Fokke Planck unidimensional álida pa a iempos de co elación pequeños 12,141 . Con ello pueden inclui se 79 los e ec os de iempos de co elación pequeños sin sali se del con ex o de las ecuaciones de Fokke Planck cuyas p opiedadesma emá icas son bienconocidas . Debe queda cla o que la exis encia de una ecuación de Fokke Planck no es a eñida con el ca ác e no ma ko iano [151 . Es- as ecuaciones deben in e p e a se como ecuaciones mae_s as, pe o su solución undamen al no es la p obabili- dad condicional del p oceso . La deducción de ales ecuaciones [12,141 pa e de la ecuacióncb Liou ille es ocás ica [16] asociada a (1) que p omediada sob e la dis ibución de I( ) conduce a donde 80 -  ( ( ) 4. al4p¢)3(¢))~~~, ~  (8) g 11-, ( {) _,  1 -- a V(0) (0)+á'N¢) £ Id~~~) >  (9) 9¢ el ay aI  J-Jl ~ p(1 .1)= z8(1 1 0 - 1» Dado que (lo) 5(E) z : 5(~lE)~ )  (11) g 3lE) en el limi ede uido blanco  Y , ') = 2D ( - ') se ecupe a la ecuación (5) . Pa a ecuaciones lineales V(y .F) ~ . a(4)j +d(+) ; se iene que 6(E» P(I, ) + ?z D(0 £(7 .1) aE ay  ale  (12) F , ala)~l D(1)~  yc¢x) -e E  (13) a Pa a p oblemas mas gene ales no hay ecu~zcione ce adas an sencillas ,y hay que desa olla  Y( , ') en (9) en po encias de Z [12] . En p ime o denen Z se ob iene M (q,+1 + D7'Né) (l (1 ,  4 (14) . 4- D  x(1 ,4 ) - z (T ~ 9 . >> PIy .E) En o den  Z` en gene al apa ecen de i ados e_ ce as de P espec o a q y no exis e ecuación de Fokke Planck . Es o no es así en el casoespecial en que (1s) Es a condición [171 de in .e p ecisamen e la cl_a se de ecuaciones del ipo (1) que son ans o mables median ecambios de coo denadas en o ma lineal, y po an o pa a ellos es aplicable en las nue as coo denadas la ecuación exac a (12) . 4 . Aplic aciones En es e apa adoaplicamos los esul adosan e io es a dos si uaciones ísicasdis in as : T ansiciones de asede no equilib io y mo imien o b owniano . a) T ansiciones de ase de no equilib io : Ha sido es a- blecido ecien emen e [3,101 que el uido ex e no pue- de in oduci nue as ansiciones de ase de no equili- b io que no apa ecen en el análisis de e minis a de la ecuación de pa ida . Po ello se puedeasegu a que el e ec o del uido ex e no no es únicamen e de co eccio- nes cuali a i as de la ecuación de e minis a . Una o ma sencilla de ap ecia es o es es udiando los ex emos e la i os de la solución es aciona ia de la ecuación (14) : La ecuación pa a dichos ex emos es j) - D 1(4)1 1 (1) + DZ ?(l) (1 1 ( 9 ) (1) -9(O i» = 0  (16) donde e ap eci ;in cl_ ;_~ . am :~n e los> di e en es e ec o' : del uido bli_nco .y de colo . El p ime é mino es el de e - minis a,el segundo es el e ec o del uido blanco y el úl imo es la p ime a co eción debido , :l uido de colo . E iden emen e nue as soluciones pueden aps ece debida : a es os dos, úl imos 6-minos lo que puede indica nue as ases mac oscópicas . Co no ejemplo ilus a i o conside emos la ecua- ción de Ve huls que apa ece en di e sos p oblemas ís_i cos, químicos .y biológicos [21 . j( ) = í< 1- jz  +4 j(E) 3( ) es el uido desc i o en el p ime apa ado y pue de se blancoo de colo . Las ecuaciones de FP pa a ui do blanco (4) y pa a uido de colo en p ime o den en (14) ienencomo solución es aciona ia' espec i a- men e El?] P+ i (. ü= p  p  (la) Donde la p ime a es el lími ede la segunda pa a Z-~>o . En la igu a 1 y 2 obse amos los di e en es compo- amien os de es as dos soluciones, co espondien- do la p ime a al uido blanco,en unción de los pa á- me os del sis ema A B Pa a el caso de e minis a solo hay ansición pa a el alo p(= o que aquíno es udiamos . Podemos ob se a qu- pa a el caso  D¿? o  el uido blanco in oduce una ansición pa a el alo c í ico Pa{ =1 . La in o- ducción del uido de colo amplía las posibilidades de las ansiciones de ase como puede ap ecia se en la ig . 2 donde exis en las nue as zonas C,D,E . Como se pue de obse a 1 .-z as eG A,B co esponden a las del uido blanco pa a z pequeños . O os e ec os del uido colo ea do son la a iación del dominio de las a iablesc (de qE (o, eo ) pasamos a  q 1 (o,1/2)) y el desplazamien o del máximo de la zona  con espec o al casode ui do blanco J  - a-p . Es os esul ados son cuali a i amen= e coinciden es con . los de {11] , en donde se conside a es e modelo con un uido 3( ) ep esen ado po un p oce so dico ómico de Ma ko . La a i icialidad de es e uido pe mi e ob ene una ecuación maes a exac a . b) Mo imien o b owniano . Pa imos de las ecuaciones del mo imien o clásicas pa a la posiciónq y el momen op de una pa ícula de masa unidad en un luido some idoa los choques alea o ios de la pa ícula del medio . Las ecua- ciones del mo imien o con un po encial O(q), son donde ~ es el coe icien e de icción % j( ) es la ue za es ocás ica que dá cuen ade los choques de las pa í culas del medio o luc uaciones é micas y que es de me- dia nulo . . Pa a es e p oblema es bien conocida la ecuación de FP pa a P(q,p, ) . Una cues ión ya p opues a po Uhle_n beck y O ein [18] es la de encon a la ecuaciónexac a que sa is ace P(q, ) donde se ha eliminadoel momen o .