PUBL
.
Ma
.
UAB
Nó
18
Ab il
1980
Ac as
II
Cong eso
de
EcuacionesDi e enciales
y
Aplicaciones
.
Valldo eix,
Mayo
1979
RESOLUCIONNUMERICA
DE
PROBLEMAS
DE
CONTROL
OPTIMO
CARLOS MORENO
COLEGIO
UNIVERSITARIO
DE
VIGO
1
.-
In oducción
Sea
V
un
espacio
de
Hilbe
eal
.
Una
aplicación
mul-
í oca
T'
:V~V
se
llama
ope ado monó ono
si
(1
.1)

(u
l
-u
2
,

ui-uz)ao

si

uIET(u
1
)

y

u2
ET(u
2
)
Si el
g a o
de
T
no es á
con enido
p opiamen e
en
el
g a o
de ningun
-
o o
ope ado
monó ono,
se dice
que
T es
maximal
monó ono
.
Se
llama
e-
gula ización
Yosida de
T
al ope ado
uní oco
T
S
de inido
po
(1
.2)

T
=
I-R,

,
s>o
s
siendo
Rs=
(I+sT)
-1
el
esol en e
de T
.
Ambos
ope ado es
pe mi enca ac
-
e iza
la
imagen
de un
ope ado
maximal
mono ono
median e
una
igualdad,
como
se
es ablece
en el
siguien e
lema
Lema
1
.1
( e
Be mudez-Mo eno
[l1
)
.
Las
siguien es
a i maciones
son
equi alen es
b)

uí=T
s
(u
l
+s
uí)

s>o
c)

ul=Rs
(u
l
+s
ui)
,s>o
Si
es
uncional
con exo
semicon ínuo
in e io men e
(s
.c .i
.)
p o
pio
en
V,
su
subdi e encial
D
es un
ope ado
maximal.monó ono,
que pe
mi e
dis ingui
a
los
elemen os
que
ealizan
el
mínimode
(1
.3)

(u)=Min (
)

si y
solo
si
oQ3 (u)
£V
109
Pues o
que
-b
(u) es la
di e encial
F eche
( e
B ezis
[2)
)
en u
del
s
uncional
de inido
po
s
(1
.4)


(z)=
Minl ( )+(1/2s)jI
z
II
2

,
s

a
usando
el
lema
1
.1
se
deduce
(1
.5)

(u)=Min
( ) si y
solo
si
F
(u)=
Min
( )
eV

5
eV
S
Po
consiguien e,
el
p oblema
de
op imizacion
no
di e enciablepuede
se
ans o mado
en
o o
p oblema
equi alen e
co espondien e
a un
uncional
di e enciable
.
Es
azonable
u iliza
el
mé odo
del
g adien e
pa a ap oxi
ma
los
elemen osque
ealizan
el
mínimo
de
(o
de
s
k+l
k

k
(1
.6)

u

=

u

-
k

O
s(u

-
Tomando
s=
k
,
se
ob iene
(1
.7)

u
k+l
-
R
(u
k
)=
A g
.min
.
{ ( )+(1/2
k
)
11
-uk
11
2
~
1
k
La
sucesión
1u
k1
de inida
po
(1
.7)
coincide
con
la
que
gene a
el
algo-
i mo
del
pun o
p óximo
( e
Rocka ella
16)
)-
La
con e gencia
ue e
de
es e
algo i mo
es á
ga an izada
si
Z
es
un
ope ado ue emen e
monó ono,
es
deci ,
si
e i ica
la
desigualdad
siguien e
(1
.8~

(ul-u2,

ui-u2
~

aIIu
l
-uj,
2
si
u~E7 (u
l
)
yu2
eZ (u
2
)
;x>o
En
el
caso gene al, si exis e
al
menos
un
elemen o
que
ealice
el
minimo
de
,
se
iene
asegu ada
la
con e gencia
debil
de
la
sucesión
de inida
--
po
(1
.7)
a
uno
de
ales
elemen os
. .
Pe manece
abie a
la cues iónde
si -
la
con e gencia
es
ambién
ue e
.
De
pa icula
in e és
es
el
caso,
en el
que
=
g+h,
siendo
g y h -
uncionalescon exos
s
.c .i
.
y
p opios
en
V,
ales
que
exis e
w£
domgndomh,
en
donde
g es
con ínua
.
El
algo í mo
del
pun o
p óximo
gene a
la
sucesión
de inida
po
(1
.9)
uk+l_
A g
.
min
{g( )+h( )+(l/2s'
k
)II -u
k
11
2
1
.
U ilizando
la
equi alencia
(1
.3)
se
ob iene
(1 .10)

oezg(ukyl)+Üh(uk_~1)+(l/sk)

(uk
,
-l-uk)

.
Rep esen adopo
R el
ope ado
esol en ede
g
s
de
ans o ma se
en
u
k+1
-R

(u
k
-s
k
z
k l
)
la elación
(1 .10
pue-
Es a
o mulación
del
algo í mo
del
pun o
p óximo
es á
mo i ada
po
nume-
osos
ejemplos
en
los
que
el
uncional
a
minimiza
puede
se
descompues o
en
dos sumandos, uno
de
los
cuales
posee
una
cie a
egula idad
y
el
o o
es
al que
el
ope ado
esol en e
de
su
subdi e enciales simple
desde
el
pun o
compu acional
.
Ya
que
la
ó mula
(1
.11 es
de ipo
implíci o
pa ece
na u al
plan ea se
el
es udio
de
algo í mos
análogos
de
ipo
explíci o,
ales
como
(se
supone
que
g
es
G-di e enciable)
.
(1 .12

uk+1
Rs(u
k-
S
k
g
,
(u
k
»
k
Si
h
_-Y

es la
unción
indicado a
del
conjun o
con exo
y
ce ado
K el
algo
í mode inido
po
(1
.12)
coincide
con
el
clásica
algo í model g adien e
con
p oyección
.
Si
g' es un
ope ado ue emen emonó ono
y{s
k
]
es á
aco ada
supe-
.
io men epo
una
co a
con enien emen e
pequeña,
la
sucesión
ukj
con e ge
ue emen e
al
únicoelemen o
u
que
ealiza
el
mínimode
.
Un
segundo
ipo
de
aplicaciones
del
algo í mo
del
pun o
p óximo,
co
esponde
al
mé odo
de
Uzawa
pa a
la
ap oximación
de pun os de
silla
de
-
las
lag angianas
asociadas
al
p oblema
de
op imización
conside ada
.
Pa a
desa olla
es os
mé odos
se
conside a
un
cuad o
uncional
lige a-
men e dis in o
del
an e io
.
-
Sean
E y
V
dos
espacios
de
Hilbe
eales
(de
no masllyllll espec i amEn e),g ( esp
.h)
un
uncional
con exo
s
.c
.i
.
p opio
en
V ( esp
.
en E)
y L
un
ope ado lineal y
con inuo
de V en E
.
Se
conside a
el
siguien e
p oblema
Halla
ueV
al
que
(u)
-
< ( )
pa a odo
QV,
siendo
el
uncional
de inido
po
(1
.13)
( )=g( )+h(L )
El
p oblema
dual
según
el
o malismo
de
Fenchel
y
Rocka ella
ccnsis e
en
halla
wiE
(que
se
iden i ica
con su dual)
que
ealiza
el
mínimo
del
uncional
(1 .14)
T(w)=g,(-L'w)+h"(w)
siendo
g*
( esp
.h') la
unción
conjugada
de g ( esp
.h),
es
deci
(1
.15)

g'(w)=sup
{(w, )-g( )~
EV
Fo malmen e
(
ge
pi
ie _1,e
ji
ls i
i a
imponiendo hipó esis
poco
es ic i as
sob e
g
y
h
)
el
algo í mo
de
pun o
p óximo
aplicado
al p oblema dual
ne a la
sucesión
w
k
1
de inida
po
En las
siguien es secciones
se
conside a á
.
ambién
el
algo í mo
de ipo
explíci o
de inido
po
w
k l
=
Dh
s
(L
k+l+skwk
)
k
k= A g
.
Min
{g( )+(L ,wk»
wk+1-
Zh
s
(L
k+skwk
)
k
A g
.
Min
{g( )+(L ,wk)}
k
En
la
sección
2
se
es ablecen esul ados
de
con e gencia
:
de
los
algo í mos
que se han
conside ado
.
En
las
es an es secciones
se
dan
-
aplicaciones
a la
esolución numé ica
de
p oblemas
de
con ol
óp imo
.
ge
2
.-
Con e gencia
de
los
má odos
duales
El
siguien e
eo ema
p opo cio
na un
esul ado
de
con á gencia
pa a
el
algo í mo
de inido
po
(1
.16)
Teo ema
2
.1
.
Bajo
las
siguien es
hipó esis
1)
g es
ue emen e
con exo
2)

Exis e
w E
dom
g
n
dom
h,

en
donde
h
es
con ínua
3)
o<s
k
<s
se
iene
a)

{ k}yu

,

u
es
la
solución
del
p oblemao iginal
b)
{
.k}-+-w
,
w
es
una
solución
del
p oblema
dual
Demos ación
.
Usando
la
equi alencia
(1
.3)
y
pues o
que
g acias
a
la
hipó esis
2)
las
eglas
de la
suma
y
de
la
cadena
del
cálculo
sub
di e encial
se
e i ican
( e
Ekeland-Temam
[3]
),
se
ob iene
(2
.1)
oe3g(u)+L'c)h(Lu)
Si
wsah(Lu),
del
lema
1
.1
se
deduce
(2
.2)

w=~h
(Lu+sñw)
,
s>o
s
además
(2 .3
u
.=
A g
.min
{g( )+(L ,w)1
P
.es ando
la
p ime a
igualdad
de
(1
.16) de (2
.2)
se
ob iene
k+1
2

k+1_
k+l

k -
k+1
(2
.4)

Iw-w

1
<
.(1/sk)
(Lu-L

w-w

)+(w-w
w-w

)
.
De
la
e-
k+l
lación
de

o .£
~gcu) l'w
y
la
análoga
pa a

,
usando la
hipó esis
1)
(es
deci , Dg
es
ue emen e
monó ono
de
módulo
a) se
deduce
(2
.5)

(w-wk+l
Lu-L
k+1
)
6
-
0(11
u- k+1
0
2
Combinando
(2
.4)
y
(2
.5)
se
ob iene
k+1
2

k+1
2

k

k+l
(2
.6)

Iw-w

I
+(a/s
k
)
Ilu-

11
<
(w-w ,w-w

)
(2
.7)

Iw-w
k+1
1
2+(2

k+l
II
2
+Iw
k+lwk
I
2s

Iw-W,1
2
.

a/s
k
)
Ilu-

-
Consecuen emen e

(2
.8)

{
k
-->U,

llu-
k+l
11
=0w%)
Pa a
ealiza
la
i e ación
de inida
po
(1
.16)
es
p eciso
esol
e una
ecuación
no
lineal,
de
la
que
has a
el
momen o
se
igno a-si
-
posee
solución
yen
caso
a i ma i o,
si
es a es
única
(lo que
es
im-
p escindible
pa a
que
el
algo í mo
es é
bien
de inido)
.
No
obs an e,-
po
un
azonamien o
simila
al
an e io
se
puede
p oba
que
la ans-
o mación
de inida
po
(2
.s)
Tw=
Dh
s
+s

(Lz+s
k
wk
+sw)
k
z=
A g
.min
{g( )+(L ,w)1
es
una
con acción
es ic a
que
iene
a
w

como
únicopun o
ijo
.
Además,
la
exis encia
de
solución
de
la
ecuación
(1 .16)
ga an iza
que
k
la
sucesión
w

coincide
con
la
gene ada
po
el
algo í mo
del
pun o
p óximo
aplicado
al p oblemadual
.
En
consecuencia
b)
se
e i ica
.
El
siguien e
eo ema
p opo ciona
un
esul ado
de
con e gencia
-
pa a
el
algo í mo
de inido
po
(1 .17)
.

,
Teo ema
2
.2
.
Bajo
las
siguien es
hipó esis
1) g
es
ue emen e
con exo
2)
Exis e
wa
dom g(1dom
h,
en
donde
h
es
con ínua
3) (1/2 )<sk
<s
se
iene
que
{
k
}-*u

y
la
sucesión
Demos ación
.
Las
elaciones
(2
.1),
(2
.2)
y (2
.3) so
.
aún
álidas,
g acias
a
las
hipó esis
l) y 2)
.
Además
es
aco ada
.
(2 .10)

Iw_w
k+l
l
2~
(l/sk)
111

11
¡
u- k,2+1w-wk,2+(2/sk)(Lu-L k,w-wk)
6lW-w
k
i
2
+( l/sk)-(2K/s
k
))
Hu-uk1
1
2
La
desigualdad
(2 .10)
pe mi e
conclui
la
esis
del
eo ema
.
3
.-
P oblemas
de
con ol
óp imo
Sea
W
el
espacio
de
Hilbe
de
los
es a
dos
;
H
1
un
espacio
de
Hilbe
en el
que
el
es ado
es
obse ado
median e
el
ope ado
(1
L(W,H
1
)
;
U el
espacio
de
Hilbe
de
los
con oles
(que
se
iden i ica
a
su
dual)
y
K
1
el
subconjun o
con exo
y
ce ado
de
U,
cons i
uido
po
los
con oles
admisibles
.
do
po
Se supone
que
el
es ado
es
una
unción
a ín
con ínua
del
con ol
(3
.1)

y( )=
D +g
,
DeL(U,W)
.
Sea
z
d
cH
1 la
obse ación
del
es ado
deseada
y
J
el
uncional
cos e
de ini
(3
.2)

J( )=
lic
1
y( )
-zd
11H
1
+
11
u
El p oblema
de
con ol
óp imo
se
o mula
del
siguien e
modo
Halla
uEK
1
,
al
que
J(u)<J( )
pa a odo
eK1
Los
siguien e
esul ados
de
exis encia
y
unicidad
son
clásicos
( e
Lions
1) Si
>o,
exis eun
con ol
óp imo
único
2) Si
=o
y K
1
es aco ado,
exis e
un
conjun o
con exo
ce ado
y no
acío
de
con oles
.
El
p oblema
de
con ol
conside adopuede
inclui se
en el
cuad o
uncional
de la
sección
l
. omando
g=(l/2)J
y
h=
Y
K
En
es e
caso,
la
ó mula
(1 .12)
adop a la
o mapa icula
(3
.3)

uk+l-
PK
(uK-sk(D
"
D1
(Dly(uk)-zd)+ uk))
1
siendo
PK el
ope ado
de
p oyección
sob e
K
1
.
1
Si
>o,
la
sucesiónde inida
po
(3
.3)
es
con e gen e
al
único
con
k
ol
óp imo
.
Po
el
con a io,
si
=o,
{u
}
no es
en
gene al
con e gen e
y
en
odo
caso,
azones
de
ines abilidad
numé ica
desaconsejan
su
uso
.
En
es a
si uación,
esul a
adecuado
u iliza
el
algo í mo
de
pun o
p óxi
mo
(3
.4)

uk+l=
A g
.min
«1/2)J( )+)CK
( )+(1/2s)
Ji -u
k
11
2U
}
1
La
ealización
de cada
i e ación
equie e
la
esolución
de un
p oblema
de
con ol
óp imo
del
ipo
>o,
pa a
lo
cual es
aconsejable
el
uso
del
-
algo í mo
de inido
po
(3
.3)
.
4
.-
P oblemas
de
con ol
.áp imo
con
es iccion
es
sob e
el
es ado Sea
-
H un
espacio
de
Hilbe
eal
en el
que
el
es ado
es
obse ado
po
un se
2
gundo ope ado
C
2
EL(W,H
2
) .
Se
o mula
el
siguien a
p oblema
de
con ol
(4
.2)
Halla
u
EUad=
1 K
1
:
C2
y( )EK
2
1
al
que
J( )SJ(u)
pa a odo
cUad
Tomando
E=H
2

,

V=

U
g( )=
(1/2)J( )+XK
( )
,
h(W)=C
K
(w+C
2
g)
1

2
L=
D
el
p oblema
de
con ol
puede
inclui se
en el
cuad o
uncional
de la sec-
ción
1
.
El
algo í mo
de inido
po
(1 .16)
adop a
en
es e
caso
la
siguien-
e
o ma
k+l
wk+1-
Gs
(C2y
( k+1)+skwk)
k
siendo
Gs la
egula ización
Yosida
de
)CK
A g
.min
1(1/2)J( )+X
K
( )+G
s
(C
2
y(u)+s
kwk
),
C
2D )}
1
,
k
2
Simila men e
el
algo í mo
(1
.17) es
(4
.4)
k+1
A g
.min
{(1/2)J( )+XK
( )+(wk
1
wk+1-
Gs (C
2
Y(
k)+skw
k
)
k
Si
ho,
el
uncional
ges
ue emen e
con exo
.
Desa o unadamen e,
la
condición
2) de
los
eo emas
de
con e gencia
(2
.1)
y
(2
.2)
se
e i i-
ca si y
solo
si el
in e io
de
K2 es
no
acío,
lo
cual
es
una
ue e
li
mi aciónen
el
caso in ini o
dimensional
.
No
obs an e,
en
la
siguien e
-
sección,
se pond á de
mani ies o
en
ejemplos,
como
la
disc e izacióndel
p oblema
con ínuo,
le an agene almen e
es a limi ación
.
Si el
p oblema
es
p e iamen e
penalizado,
es
deci ,
el
ope ado
múl í ocoaX
K
se
sus i
k
k+l

2
uya
po
(1/s)(1-P
K
),
la
ans o mación
w--iw

es
con ac i a
.
Un
algo
í mo
p óximo
al
de inido
po
(4
.4),
ha
sido
p opues o
po
Mossino
~51
pa a
esol e
el
p oblemapenalizado
n
5
.-
Ejemplo

Seag
un
abie o
aco ado
de
P
,
egula
.
El
es adoes
la
solución
de
en
en
con EL
2
(S?)
(5
.2)
Y-
AY= +
y
=
o
El
p oblema
de
con ol
es
VEU
ad
siendo
U
ad
=
1 EH
;(Q)
;
(g ad
1<_1

c
.p
.d
.Q1
.

A
la
ó mula
(4
.4)
le
co-
esponde
en
es e caso
/

/
Min
{
S,(Y( )-zd)2
dx
+ J~
2dx!
C2
D
)J
k+l-
A g
.min
((1/2)J( )+
n
k
g ad
y( )dxj
k+l
w
(1/s
k )(I-
P
K
)(g ad
y(
k
)+s
kwk
)
2
de
on e a
su icien emen e
2
zdeL
(S?)
,
Zo