Resolución numérica de problemas de control óptimo

PUBL . Ma . UAB Nó 18 Ab il 1980 Ac as II Cong eso de EcuacionesDi e enciales y Aplicaciones . Valldo eix, Mayo 1979 RESOLUCIONNUMERICA DE PROBLEMAS DE CONTROL OPTIMO CARLOS MORENO COLEGIO UNIVERSITARIO DE VIGO 1 .- In oducción Sea V un espacio de Hilbe eal . Una aplicación mul- í oca T' :V~V se llama ope ado monó ono si (1 .1)  (u l -u 2 ,  ui-uz)ao  si  uIET(u 1 )  y  u2 ET(u 2 ) Si el g a o de T no es á con enido p opiamen e en el g a o de ningun - o o ope ado monó ono, se dice que T es maximal monó ono . Se llama e- gula ización Yosida de T al ope ado uní oco T S de inido po (1 .2)  T = I-R,  , s>o s siendo Rs= (I+sT) -1 el esol en e de T . Ambos ope ado es pe mi enca ac - e iza la imagen de un ope ado maximal mono ono median e una igualdad, como se es ablece en el siguien e lema Lema 1 .1 ( e Be mudez-Mo eno [l1 ) . Las siguien es a i maciones son equi alen es b)  uí=T s (u l +s uí)  s>o c)  ul=Rs (u l +s ui) ,s>o Si es uncional con exo semicon ínuo in e io men e (s .c .i .) p o pio en V, su subdi e encial D es un ope ado maximal.monó ono, que pe mi e dis ingui a los elemen os que ealizan el mínimode (1 .3)  (u)=Min ( )  si y solo si oQ3 (u) £V 109 Pues o que -b (u) es la di e encial F eche ( e B ezis [2) ) en u del s uncional de inido po s (1 .4)   (z)= Minl ( )+(1/2s)jI z II 2  , s  a usando el lema 1 .1 se deduce (1 .5)  (u)=Min ( ) si y solo si F (u)= Min ( ) eV  5 eV S Po consiguien e, el p oblema de op imizacion no di e enciablepuede se ans o mado en o o p oblema equi alen e co espondien e a un uncional di e enciable . Es azonable u iliza el mé odo del g adien e pa a ap oxi ma los elemen osque ealizan el mínimo de (o de s k+l k  k (1 .6)  u  =  u  - k  O s(u  - Tomando s= k , se ob iene (1 .7)  u k+l - R (u k )= A g .min . { ( )+(1/2 k ) 11 -uk 11 2 ~ 1 k La sucesión 1u k1 de inida po (1 .7) coincide con la que gene a el algo- i mo del pun o p óximo ( e Rocka ella 16) )- La con e gencia ue e de es e algo i mo es á ga an izada si Z es un ope ado ue emen e monó ono, es deci , si e i ica la desigualdad siguien e (1 .8~  (ul-u2,  ui-u2 ~  aIIu l -uj, 2 si u~E7 (u l ) yu2 eZ (u 2 ) ;x>o En el caso gene al, si exis e al menos un elemen o que ealice el minimo de , se iene asegu ada la con e gencia debil de la sucesión de inida -- po (1 .7) a uno de ales elemen os . . Pe manece abie a la cues iónde si - la con e gencia es ambién ue e . De pa icula in e és es el caso, en el que = g+h, siendo g y h - uncionalescon exos s .c .i . y p opios en V, ales que exis e w£ domgndomh, en donde g es con ínua . El algo í mo del pun o p óximo gene a la sucesión de inida po (1 .9) uk+l_ A g . min {g( )+h( )+(l/2s' k )II -u k 11 2 1 . U ilizando la equi alencia (1 .3) se ob iene (1 .10)  oezg(ukyl)+Üh(uk_~1)+(l/sk)  (uk , -l-uk)  . Rep esen adopo R el ope ado esol en ede g s de ans o ma se en u k+1 -R  (u k -s k z k l ) la elación (1 .10 pue- Es a o mulación del algo í mo del pun o p óximo es á mo i ada po nume- osos ejemplos en los que el uncional a minimiza puede se descompues o en dos sumandos, uno de los cuales posee una cie a egula idad y el o o es al que el ope ado esol en e de su subdi e enciales simple desde el pun o compu acional . Ya que la ó mula (1 .11 es de ipo implíci o pa ece na u al plan ea se el es udio de algo í mos análogos de ipo explíci o, ales como (se supone que g es G-di e enciable) . (1 .12  uk+1 Rs(u k- S k g , (u k » k Si h _-Y  es la unción indicado a del conjun o con exo y ce ado K el algo í mode inido po (1 .12) coincide con el clásica algo í model g adien e con p oyección . Si g' es un ope ado ue emen emonó ono y{s k ] es á aco ada supe- . io men epo una co a con enien emen e pequeña, la sucesión ukj con e ge ue emen e al únicoelemen o u que ealiza el mínimode . Un segundo ipo de aplicaciones del algo í mo del pun o p óximo, co esponde al mé odo de Uzawa pa a la ap oximación de pun os de silla de - las lag angianas asociadas al p oblema de op imización conside ada . Pa a desa olla es os mé odos se conside a un cuad o uncional lige a- men e dis in o del an e io . - Sean E y V dos espacios de Hilbe eales (de no masllyllll espec i amEn e),g ( esp .h) un uncional con exo s .c .i . p opio en V ( esp . en E) y L un ope ado lineal y con inuo de V en E . Se conside a el siguien e p oblema Halla ueV al que (u) - < ( ) pa a odo QV, siendo el uncional de inido po (1 .13) ( )=g( )+h(L ) El p oblema dual según el o malismo de Fenchel y Rocka ella ccnsis e en halla wiE (que se iden i ica con su dual) que ealiza el mínimo del uncional (1 .14) T(w)=g,(-L'w)+h"(w) siendo g* ( esp .h') la unción conjugada de g ( esp .h), es deci (1 .15)  g'(w)=sup {(w, )-g( )~ EV Fo malmen e ( ge pi ie _1,e ji ls i i a imponiendo hipó esis poco es ic i as sob e g y h ) el algo í mo de pun o p óximo aplicado al p oblema dual ne a la sucesión w k 1 de inida po En las siguien es secciones se conside a á . ambién el algo í mo de ipo explíci o de inido po w k l = Dh s (L k+l+skwk ) k k= A g . Min {g( )+(L ,wk» wk+1- Zh s (L k+skwk ) k A g . Min {g( )+(L ,wk)} k En la sección 2 se es ablecen esul ados de con e gencia : de los algo í mos que se han conside ado . En las es an es secciones se dan - aplicaciones a la esolución numé ica de p oblemas de con ol óp imo . ge 2 .- Con e gencia de los má odos duales El siguien e eo ema p opo cio na un esul ado de con á gencia pa a el algo í mo de inido po (1 .16) Teo ema 2 .1 . Bajo las siguien es hipó esis 1) g es ue emen e con exo 2)  Exis e w E dom g n dom h,  en donde h es con ínua 3) o<s k <s se iene a)  { k}yu  ,  u es la solución del p oblemao iginal b) { .k}-+-w , w es una solución del p oblema dual Demos ación . Usando la equi alencia (1 .3) y pues o que g acias a la hipó esis 2) las eglas de la suma y de la cadena del cálculo sub di e encial se e i ican ( e Ekeland-Temam [3] ), se ob iene (2 .1) oe3g(u)+L'c)h(Lu) Si wsah(Lu), del lema 1 .1 se deduce (2 .2)  w=~h (Lu+sñw) , s>o s además (2 .3 u .= A g .min {g( )+(L ,w)1 P .es ando la p ime a igualdad de (1 .16) de (2 .2) se ob iene k+1 2  k+1_ k+l  k - k+1 (2 .4)  Iw-w  1 < .(1/sk) (Lu-L  w-w  )+(w-w w-w  ) . De la e- k+l lación de  o .£ ~gcu) l'w y la análoga pa a  , usando la hipó esis 1) (es deci , Dg es ue emen e monó ono de módulo a) se deduce (2 .5)  (w-wk+l Lu-L k+1 ) 6 - 0(11 u- k+1 0 2 Combinando (2 .4) y (2 .5) se ob iene k+1 2  k+1 2  k  k+l (2 .6)  Iw-w  I +(a/s k ) Ilu-  11 < (w-w ,w-w  ) (2 .7)  Iw-w k+1 1 2+(2  k+l II 2 +Iw k+lwk I 2s  Iw-W,1 2 .  a/s k ) Ilu-  - Consecuen emen e (2 .8)  { k -->U,  llu- k+l 11 =0w%) Pa a ealiza la i e ación de inida po (1 .16) es p eciso esol e una ecuación no lineal, de la que has a el momen o se igno a-si - posee solución yen caso a i ma i o, si es a es única (lo que es im- p escindible pa a que el algo í mo es é bien de inido) . No obs an e,- po un azonamien o simila al an e io se puede p oba que la ans- o mación de inida po (2 .s) Tw= Dh s +s  (Lz+s k wk +sw) k z= A g .min {g( )+(L ,w)1 es una con acción es ic a que iene a w  como únicopun o ijo . Además, la exis encia de solución de la ecuación (1 .16) ga an iza que k la sucesión w  coincide con la gene ada po el algo í mo del pun o p óximo aplicado al p oblemadual . En consecuencia b) se e i ica . El siguien e eo ema p opo ciona un esul ado de con e gencia - pa a el algo í mo de inido po (1 .17) .  , Teo ema 2 .2 . Bajo las siguien es hipó esis 1) g es ue emen e con exo 2) Exis e wa dom g(1dom h, en donde h es con ínua 3) (1/2 )<sk <s se iene que { k }-*u  y la sucesión Demos ación . Las elaciones (2 .1), (2 .2) y (2 .3) so . aún álidas, g acias a las hipó esis l) y 2) . Además es aco ada . (2 .10)  Iw_w k+l l 2~ (l/sk) 111  11 ¡ u- k,2+1w-wk,2+(2/sk)(Lu-L k,w-wk) 6lW-w k i 2 +( l/sk)-(2K/s k )) Hu-uk1 1 2 La desigualdad (2 .10) pe mi e conclui la esis del eo ema . 3 .- P oblemas de con ol óp imo Sea W el espacio de Hilbe de los es a dos ; H 1 un espacio de Hilbe en el que el es ado es obse ado median e el ope ado (1 L(W,H 1 ) ; U el espacio de Hilbe de los con oles (que se iden i ica a su dual) y K 1 el subconjun o con exo y ce ado de U, cons i uido po los con oles admisibles . do po Se supone que el es ado es una unción a ín con ínua del con ol (3 .1)  y( )= D +g , DeL(U,W) . Sea z d cH 1 la obse ación del es ado deseada y J el uncional cos e de ini (3 .2)  J( )= lic 1 y( ) -zd 11H 1 + 11 u El p oblema de con ol óp imo se o mula del siguien e modo Halla uEK 1 , al que J(u)<J( ) pa a odo eK1 Los siguien e esul ados de exis encia y unicidad son clásicos ( e Lions 1) Si >o, exis eun con ol óp imo único 2) Si =o y K 1 es aco ado, exis e un conjun o con exo ce ado y no acío de con oles . El p oblema de con ol conside adopuede inclui se en el cuad o uncional de la sección l . omando g=(l/2)J y h= Y K En es e caso, la ó mula (1 .12) adop a la o mapa icula (3 .3)  uk+l- PK (uK-sk(D " D1 (Dly(uk)-zd)+ uk)) 1 siendo PK el ope ado de p oyección sob e K 1 . 1 Si >o, la sucesiónde inida po (3 .3) es con e gen e al único con k ol óp imo . Po el con a io, si =o, {u } no es en gene al con e gen e y en odo caso, azones de ines abilidad numé ica desaconsejan su uso . En es a si uación, esul a adecuado u iliza el algo í mo de pun o p óxi mo (3 .4)  uk+l= A g .min «1/2)J( )+)CK ( )+(1/2s) Ji -u k 11 2U } 1 La ealización de cada i e ación equie e la esolución de un p oblema de con ol óp imo del ipo >o, pa a lo cual es aconsejable el uso del - algo í mo de inido po (3 .3) . 4 .- P oblemas de con ol .áp imo con es iccion es sob e el es ado Sea - H un espacio de Hilbe eal en el que el es ado es obse ado po un se 2 gundo ope ado C 2 EL(W,H 2 ) . Se o mula el siguien a p oblema de con ol (4 .2) Halla u EUad= 1 K 1 : C2 y( )EK 2 1 al que J( )SJ(u) pa a odo cUad Tomando E=H 2  ,  V=  U g( )= (1/2)J( )+XK ( ) , h(W)=C K (w+C 2 g) 1  2 L= D el p oblema de con ol puede inclui se en el cuad o uncional de la sec- ción 1 . El algo í mo de inido po (1 .16) adop a en es e caso la siguien- e o ma k+l wk+1- Gs (C2y ( k+1)+skwk) k siendo Gs la egula ización Yosida de )CK A g .min 1(1/2)J( )+X K ( )+G s (C 2 y(u)+s kwk ), C 2D )} 1 , k 2 Simila men e el algo í mo (1 .17) es (4 .4) k+1 A g .min {(1/2)J( )+XK ( )+(wk 1 wk+1- Gs (C 2 Y( k)+skw k ) k Si ho, el uncional ges ue emen e con exo . Desa o unadamen e, la condición 2) de los eo emas de con e gencia (2 .1) y (2 .2) se e i i- ca si y solo si el in e io de K2 es no acío, lo cual es una ue e li mi aciónen el caso in ini o dimensional . No obs an e, en la siguien e - sección, se pond á de mani ies o en ejemplos, como la disc e izacióndel p oblema con ínuo, le an agene almen e es a limi ación . Si el p oblema es p e iamen e penalizado, es deci , el ope ado múl í ocoaX K se sus i k k+l  2 uya po (1/s)(1-P K ), la ans o mación w--iw  es con ac i a . Un algo í mo p óximo al de inido po (4 .4), ha sido p opues o po Mossino ~51 pa a esol e el p oblemapenalizado n 5 .- Ejemplo  Seag un abie o aco ado de P , egula . El es adoes la solución de en en con EL 2 (S?) (5 .2) Y- AY= + y = o El p oblema de con ol es VEU ad siendo U ad = 1 EH ;(Q) ; (g ad 1<_1  c .p .d .Q1 .  A la ó mula (4 .4) le co- esponde en es e caso /  / Min { S,(Y( )-zd)2 dx + J~ 2dx! C2 D )J k+l- A g .min ((1/2)J( )+ n k g ad y( )dxj k+l w (1/s k )(I- P K )(g ad y( k )+s kwk ) 2 de on e a su icien emen e 2 zdeL (S?) , Zo