Pub
.
Ma
UAB
Ns
13
,
Juliol
1979
Subálgeb es
de
L~
que
con enena 1'Álgeb a
del
Disc
.
Joan
del
Cas illo
i
F anque
Di ec o
:
Juliá
Cu i
i
Sob eg au
Memó ia
p esen ada
pe
a
op a
al
g au
de
Llicencia
en
Ciéncies
Ma emá iques
,
Uni e sidad
Au ónoma
de
Ba celona
.-
INDEX
In oducci6
......
.
. .
.
.
. .
.......
.
.
.
. . .
. .
.......
9
1
.

In e polaci6
i
Teo ema
de
la
Co ona
. .
........
.
11
2
.
El
P oblema
de
Douglas
.

. .
.,
.

.

,
.

,
.,25
3
.

Regula i a
.........
.
. . . .
.
.......
. .
.
. .
........
.0
4
.

Álgeb as
del
ipus

[z,

b]
.....
.
.
.
. . .
.
........
35
5
.
Relaci6en e
B i

H-
n
CB
Bibliog a ia
. . . . .
.
. .
.
.
.
........
.
. . . . .
. .
. . . .
.
. .
58
In oducci6
L'objec ed'aques a
esina
és
1'es udi
de ce es
álgeb esuni o mes
de
uncions
a
la
ci cum e éncia
uni a ,
T
.
Aques es
qües ions
enen
el
seu
o igen
en
1'es udi
del
compo amen
a
la
on e a,
de
les
uncions
holomo es
i
en
el
disc
uni a ,
U
.
Ac ualmen ,
a
pa i
de la
eo ia
es-
pec alde
Gel and,
no
s'es udien
les
uncions
di ec amen ,
sin6
que
es conside a
1'álgeb a
de
les
uncions
que
complei
xen
una
de e minada
condici6
;
alesho es
de e minan
1'espec
e, el
conjun sd'in e polaci6,
e c
.,
s'ob é
in o maci6
de
com
s6n les
uncionses udiades
.
Les
bcniques
que
s'u ili
zen
en
aques sp oblemes
an,
desde
1'Análisi
Funcional
i
la
Teo iade
la
Mesu a,
ins
a
1'hlgeb a
i
la
Topologia
.
Les
álgeb es
que
he
es udia
s6n
semp e
subálge-
b esde
L-
,
álgeb a
de
les
uncions
essencialmen
aco ades
a T
( espec e
de la
mesu a
de
Lebesgue, no mali zada,
dm)
i
que
con enen
a A,
álgeb a
de
les
uncions
holomo es
a U
que
s'es enen
con inuamen
a
T
.
Es
indispensable,
pe
al
nos e
eball,
el
coneixemen
d'aques es
álgeb es,
jun a-
men
amb
el
coneixemen
de
1'algeb a
H
a
,
de
les
uncions
holomo es
i
aco ades
aU
.
Suposa em
conegu s
els
esul a s

gene als
d'algeb es
de
Banach,
que
es
poden
oba ,
pe
exemple,
a
Zelazko
1281
,
aix1
com
el e e en
als
es-
paisde
Ha dy,
.H
P
,(
0 < p
<

)

i
especialmen
1'es udi
de
H"
com
a
.
álgeb a
de
Banach,
que
es
oba
a
Ho man
116]
La
p ime a
pa
d'aques
eball,
que
co espon
als
dos
o ime s
capí ols,
ha
consis i
en
assaben a -se
del
es a
ac uald'aques es
qües ions
.
Els
es
da e s
capí ols
co esponen
ja
a
1'es udi
d'algunsp oblemescon-
c e s
.
Els
esul a s
més
in e essan s
que
he
ob ingu
s6n,
po se ,
el
Teo ema
(4 .8
.),
en
quan
a
álgeb as
gene ades
pe
p oduc es
de
Blaschke,
i
els
Teo emes
(5 .1
.)
i
(5
.13
.)
pelque
a
e e éncia
a
subálgeb es
de
L
c*
que
con enen
H
**
.
Finalmen ,
old iamos a
el
meu
ag aimen
al
D
.
Juliá
Cu i,
pel
mol
que
m'haajuda
en
o
momen ,
així
com
a
o saquells
que
d'alguna
mane a
o
al a
hancon
ibui
a
e
posible
aques
eball
.
1
.
In e polaci6
i
Teo
ema
de
la
Co ona
Sigui
X
un espai
opologic,
F
un
subconjun
de
X
i
M
una
amiliade uncions
con inuesa X
.
.
En end em
pe
"p oblemad'in e polaci6",
el
e
de
oba ,
pe
a
cada
unci6
con inua
g
a F,
una
unci6
de
M
de
mane a
que
I
F
=
g
.
Un
exemple
conc e
d'aques a
si uaci6
ens
el
d6na
el
Teo emade Tie ze
:
Si
X
és
a a
un
espai
no mal,
F
un
anca de
X
i
M
el
conjun de
un-
cionscon ínués
a
X a
alo s
complexos,
C(X)
;
semp e
és
posible,
donada
s
una
unci6
g
con inua
a
F,
de
oba
eC
(X)
de mane a
que
IF
= g
.
En el
casqueens
in e essa,
1'espai
opológic
que
conside a em
se á el
disc,
U,
de cen e
0i
adi
1,
en
el
conjun
Q
delsnomb es
complexos
.
La
amilia
de
un
cions
se á
semp e
una
álgeb auni o me
de
uncionsholo-
mo es
i
aco ades
a
U
.
D'aci
que
el
conjun
F
no
pod á
se
al a
cosa
queuna
successi6de
pun s,
amb
la
condici6
E
(1-
~n~)

+
m
,
que
a
pa i
d'a a
en
di em
"suc-
n=1
cessi6
de
Blaschke"
.
En
pa icula ,
ambé
es
po
conside a
el
cas
d'un
nomb e
ini
de pun s
.
Al
1916
i
1919
Pich
i
Na anlinna
a en
demos a
que
dona s
n
pun sde
U,
{
wl,
.
.
.,wn}, la
condici6
necessá ia
i
su icien ,
pe
alque
exis eixi
una
unci6
,
holomo a
a
U
amb
(zi)=wi(i=1,2
. .
.n) i
ambl (z)I
1
:
1 a
U,és
que
la
ma iu
.
sigui
semide inida
posi i a
.
Aques acondici6
ja
inclou
el
e
de
que

{

W
1
,. . . .
wn
}
siguin
pun sde
U

.
P4és
ende an
R
.C
.B ick
plan ejá
el
p oblema
de
ca ac e i za
les
sucee-
ssions
{z
n
}
"uni e salmen in e polan s"
és
a
di ,
ala
que
pe
a
o a
sucessi6de
nomb es
complex
:cs{
w
i}
,
aco ada,
es
pugui oba
.
una
unci6
,
de
H',

amb
(z
n
)

=
w
n
.

s
a en
oba soluciona
pa cials
pe
Hayman
i
Newman{20l
.
Newman
les
ca ac e i zá
com

aquelles
successions
{z
n
}
que
complei
xen
:
(C)

n

Z
k -
zj
j
91
k

l - z
.
J
6
>
0
,
(
k= 1,2,
. .
.)
(N)

É

I (z
)
j

(1
-
Iz
k
j)
<+ -
pe
a
cada
e
H
1
Al
ma eix
emes,
1'any
1958,
Ca leson
27
demos ó
que
(C)
és
condici6
necessá ia
i
su icien
pe
a
ga an i
que
{z
n
)
és
uni e salmen
in e polan ,
demos an
dones
que
(C)
implica
(N)
.
Newman a
demos a
aue
el
p oduc ede
Blaschke,
b,
associa
a
una
successi6,
que
.
compleixi
la
p opie a
(C),és
al
que
exis eix
e
>O,
de mane a
que
{z E U
:Ib(z)I=
.e}
és
una
unió
disjun ade co bes ancadas
i
cada
una
con é
un
i
un
sol
e me
de
le successi6
.
Degu
a aques
e ,
les
suc-
cessions
{z
k
},
que
compleixen
la
p opie a
(C),
s'en
diuen
"
uni o memen
sepa ades"
,
e me
in odui
pe
Du en
.
Amb
1'a icle
de
Ca leson,
es a
anca
el
p oblema
que
ha ia
plan eja
Ruck,
o
i
que
s'hanana
en
gene ali zacions
.
Pe
una
successi6
{z
n
} ,
de pun s
di
. e en s
del
disc
U,
que
s'acumulin
a
la
on e a,
de ini
:n
1'ope ado
Tp
,
a
.l[
:spai
de
üa dy
Ii
p
(0
<
p
<,
-)

pe
2
Tp

( )

=

{(1

-

1z

1

)
y
p-

(z
}
.
.)}

E

Q1

si

p<1

i
T
m
( )
={
(z
k
)
}
pe
p
=-
El
p oblema
d'in e polaci6,
desc i
an e io men ,
no
és
al e
cosa sinó
ca ac e i za
les
successions
{z k
} ,
als
que
T.
(H
)
=
l'
.
Shapi o
i
Shields
[247
an
demos a ,
que
1
pe
a
l
6p

~,
ambées
compleix,
Tp
(I?
p
)
=
1p
si
i
nomes
si
{
zk
}
és
uni o memen
sepa ada
.Més a d
Kabaila
,

.
ho a
gene ali za
al
cas
0 <
p
<1
Sigui
E
un
subconjun
obe
de
la
ci cum e éncia
uni-
a ,
T
.
Designem
pe
II
-F
,
al
conjun
de
les
Funcions,
holomo -
es
i
aco adesa
U,que
s-Las enen
con inuamen
a E
.
Di em
que
un
subconjun
S
de
UUE
ela i amen
anca ,
és un
conjun
in e -
polan
pe
a HmE
,
si
pe
a
o a
unci6
g,
con inua
i
aco ada
a
S,
hi ha
una
unci6
E
HF
,
de
mane a
que
l
5
= g
.
Al
1955
W
.
Rudin
[211
,
ca ac e i zá
els
conjun s
S
c
T,
in e polan s
pe
a
H-T
=
A,

comels
subconjun s
de
T
de
mesu a
ze o
.
Al
1969
He a d
i
Wells
[151
,
en
se i
aques
esul a
i
el
de Ca leson
[
.
21
,
demos an
que
S
és
in e polan
pe
a
H
<
' 0
si
i
només
si,
S
(1E
é
mesu a
ze o
i S
(1
U
és
una
successi6
i
la
no aci6Rl =
{,ue
M
(X)

:~( )

=
0

V
eR
.
)
i
análo-
gamen
pe
(
RAS
1
)

.
En
aques
e mes
enim
:
(1
.1
.)
Teo ema
R
¡S
és
ancada
aC
(S)

si
i
només
si
exis eix
k
<1,
al
que

1

S
+
(R) S
)
1
1 1
G
k
1
[^
1 1
,
pe
a
o a
/
,i
eR
l
Demos ació
.-
Ion
Sucin
[17]
pag
.
57
(1 .2
.)
Co ol
"
la i
R 5
=
C(S) si
i
només
si
exis eix
k
<l
al
que
S

ii~
k

~/

pe
a
o a

u-
E Rl
e
gem

a a

(b)
4

(a)
n
(C)
.

Si

es

compleix

(k
;)
,
podem
cons ui
una
unci6
e
A,
amb
)
K=
0
i
9
'
0
.Com.que
necessá iamen log
l
1
e
Ll
(T)
enim
que
m
(Y
.)
=
0
.
Si
diem
S =
K
u
{
z
n
:
n
e
IN
}i
de inim
1'ope ado
:
la
condici6
(b)
ens
diiz
que
Ti,
és un
epimo isme
en e
els
espaisde Banach
A
i C
(S)
.
A
1'igual
que
Ho man
[161
pag
.
196,
passem
el
quocien
i
apliquemel
Teo ema
de
1'Aplica-
ci6
Obe a
;
alesho es
ob enim,
en
pa icula ,
la
condició
(C)

i

d'
ac

es

é
que

l

z
k
-z
j

-
/
6

7
0,

on6

=
J
~
k

-

a
1-z~
.z
k
aixó
és el
ma eix
quedi que
la
successió
és
uni o me nen
sepa ada
.
Passem
a a
a
demos a
(a)
iCC)

() )
.
G ácies
al
Teo ema
de
Tie ze,
només
ens
cal
eu e
que
C(S)=AI
S
i
pe
(1
.2
.)
n'hi
ha
p oude
eu e
quepe
a
o a
a
eA
1
,
0,
és

/
"
S

~

k <
1
.
2
0

Sigui
X = S
uT
-
iconside a em
l'álgeb a
del
disc,
A,
com

una
álgeb auni o mesob e
X
.
Siguin
X
n
=
T
u{

z
1
, .
.
.z
i

~
n
la
unci6
ca ác e ís ica

de
X
n

.
Pe
cada

m
e
A
i
,
siguin
M
n

1n
"
.
Aplican
el
Teo ema
de
la
Con e géncia
Monó onaob enim
que
{/"
n
}
-
agamen
;
aix1
dones,
només
enscal
eu e
que
exis eix
k, 0
<k
<l,
al que
n
e
IN
i
pe
a
o a
E M
{X
n
)

,

e
A1

es
compleixi

11
/
'
SI
1

,
k
11
/
i
11
Pe una

JM
e
M

(X
n
)
/1
A
l
,

enim
que

M
=
a
1
6
!
+

.,
.

+

a
n
6
n
+
T

.

Vege
:
.
qui

és

T
.

Pe

a

o a
E A,

a
2
dC
Pe
cada
j
=
1,2
. .
.n
,
sigui
zj
=
je
le
j
,
i
sigui
Pj
= P
.
J

(6
7

-
)

el nucli
de
Poisson
co esponen
a
zj
;
pod em
esc iu e
alesho es
:

d

_

P
2

dm

+

. .
.

+

n

P
n
dm-,,
Ty
6
1

( )
,
11

S
i
1
6
1
+
.
.
.

+

a
n
6
n
-
~
T
1

=

6
1
( )
.
e
A

pe
an
-

2

P2
dm+
. .
.+

-

n
P
n
dm
-~
T
1

a 1
és
una
mesu a,supo ada
pe
T,
que
ep esen a
el
ca ác e
necessá iamen
és
P
1
dm
i
pe
an
:
/
T

(~ l
P1
dm
+
. .
.+X
n
P
n
dm)
=
Q
dm,
amb
Q
e
L

.
Tenim
doncs4=
1
1
6
1
+
. .
.+
X
n

6
n
+ Q
dm
;
així
S

1

1
+"'+

n

n
'
jaque
m
(K)
=
0i
T
és abso-
lu amen
con inua
;

pe
an

1
1,Mi
1

=I a

11

+
. .
.+¡a

ni

+i
i
Ql

dm,
=I
1,

1

+
. . .
+
I
a
.
n

i
L

S11

=

1
a
1
1
+
.. .
+
IX
lI
+
. . .
+
la
nI +
IIQI
dm
Ens
cald ia
eu e
que
la
da e a
exp essül'és
mes
pe i a
que
ce a
k,
més
pe i a
que
1
.
Suposa em
el
con a i
;
alesho es
exis i á
una
successi6

(/"
n),
amb
%n
e
A

, ^
n
9¿
0,
/
nT
=
Qn
dm, que
compli áj
IQn1
dm
-> 0
.
Pu
.^
.
suposa
ambé
n
que
n
=
a d

,
+
. .
.+
a (n)'5 (n)+
Qn
dm,'
amb
a
(n)
=1
(sino
di idi em
pe
1'ul im
a l
di e en
de
ze o)
.
A
pa i
de la
condici6
(C)
podem
oba ,
pe
a
cada
n,
una
unci6
(n)de
A,
amb
(n)
(z
(n)
)
=
1
'
(n)
(z
m
)
=
0
si
n
YÉm
i
amb
11 (n)II

:!5

a

;

lla o s
j
(n)

d
%
n=

0

implica
/T
(n)
Qn
=
-1
i
aixi
:
1=
(
/ (n)Qn
dm
I
1a
¡I
Q
n
I
dm
->0
n
->
que
és
absu d
.
Sigui
a a,
co o
déiem
abans,
M
una
subálgeb a
de
H
°°
que
con é
A,
es able,
al
que
cadaca ác e ,
que
es
p ojec a
a
U,
es á
ep esen a
pe
una
única
mesu a,
sob e
la
on e a
de
Shilow
.

i
alque
aques esmesu es
s6n
absolu amen
con inues espec ed'una
d'ellas,
diguem-ne
dm
o
;
alesho es
es
compleix
:
Si
{z
n
}
és
una
successi6
de pun s
de
U,
que
s'acumulen
a
un
conjun
K,
con ingun
a
i
m
0
(K)
=
0,
alesho es
s6n
equi alen s
:
2 2
(1 .3
.)
P
oposició
(a)
Exis eix
una
successi6
( n
)
i
una
.
cons an
a,
al
que
n e
M
II n1I
6
a

i
n
(zm)
=6
nm
(
b
)
Si
posem
S
=_K
j
{
zn
}
n E
IN

,
M
is
=
C
(S)
Demos aci6
.-
És
exac amen
la
ma eixa
que
hem e pe
a
1'álgeb a
del
disc
.
Déiem-
abans
que
e enexemplesd'aques esálgeb es
qne
conside
em
.

lesque
e an
es ables,
log
.modula s
i
gene ades
pe
p oduc es
de
Blaschke,
com
les
del
ipus
H
E
6

H
m
/1
CB
C 71
.
Anem
a
eu e-ho
.
Necesá a em
en
p ime
lloc
el
següen
Lema
:
(1 .4
.)
Lema
Si
R
és un álgeb agene ada
pe
p oduc es
de
Blaschke
i
X e
Sp
(R),
s6n
equi alen s
:
a)
IX
(b)j
= 1
pe
a
o
p oduc e
de
Blaschke
b e R
b)
X e
P
(R)

,
(F on e a
de
Shilow
de
R)
c) X e Sp
(C
*
(R)
)

(C
*
(R)
= C
*
-álgeb a
gene ada
pe
R)
.
Demos aci6
.-
Es áinclosaen
els
Teo emas
3
i 4
de
1'a icle
de
Douglas
i
Rudin
C121
,ja
que
en
ellsesen-
cialmen
només
es
necessi a
que
1'á1geb a
es iguigene ada
pe
p oduc es
de
Blaschke
.
(1 .5
.)
P oposici6
Si
R
és
una
álgeb agene ada
pe
p oduc es
de
Blaschkees able
i
cada
ca ác e ,
que
es
p ojec a
a U,
es á
ep esen a
pe una
única
mesu a,
posi i a,supo ada
pe
la
on e ade Shilow
I'
de
R
,
alesho es
a a
mesu a,
que
ep esen a
1'a aluaci6
en
un
pun
de
U,
és
absolu amen
con inua,
espec ,e
la
que
ep esen a1'a aluaci6
a
1'o i-
gen,

dm
0

.
Demos
ació
.-
Pe

(1 .4
.)

enim
C
( )

C
C
()()=
Le*
.
Sigui
aun
pun
de
U
i
esc ibim
a
=

.

ejo

.

Sigui
P
(e
-
)
el nucli
de
Poisson
co esponen
al
pun
a
.
El
uncional
-~
i
ñ
n

(
'
e'
)

P
(9
-
)

d
és
una
mesu asob e
n
al
que
Pe
uncions
de
H
ep esen a
1'a aluació
al
pun
a,S
a
.
Pe
es icció,
ens
dona á
una
mesu a
sob e
,dm
a
que
ep esen a á
al
ca ác e a
a
a
R
;
sabem
ambé
que
aques
a és

Púnica
que
ep esen a
a
.
Diguemdm
o
a
la
mesu a
sob e
que
ob enim
pe a
=
0
.
Tind em
lla o s
:
dm
a
-
71
J~
(e'' )
dm
o

=

7T

7

(e
l
)

d
J
n
P
(
Sigui
P la
p ojecció
de
a T
.
Conside em
P (o
-
)
com
a
unci6sob e
T
i
diguem
P
=
P
(0
-
)
o P,
lla o s
P
ae
C( )
i
ambé
:
1
2
és

a

di ,

dm,,

=

P,,,

dm
0
Si
M
és
unasub
.álgeb a
de
H
m
,
que
con é
A,
gene ada
pe
p oduc es
de Blaschke
i
log-modula ,
alesho es
cada
me-
su a,
posi i a,
que
ep esen i
1'a aluació
en
un
pun
cK
de
U, és
absolu amen con inua
espec a~á
e
la
que
ep esen a
1'a aluacib
a
ze o
.
Aques esul a s'aplicaen
pa icula
a
j
P
dm
o =
(1 .6
.)
Co ol
.la i
H
E

i
H
°°
/1
CB
P (0 -
)
d
=
dm
2
.
El P oblema
de
Douglas
En el
nos e
eball,
hem
es udia p opie a sd'al-
gunessubálgeb es
de
H~
que
con enen
A
.
Aques es
álgeb es
s6n
enca a
bas an
desconegudes
(ja
hem
di
que,
pe
exem
ple, no
es an
ca ac e i zades
les
que
enen
la
p opie a
de la
co ona)
.
No passa
el
ma eix
pe
a
les
subálgeb ea
de
L-
que
con enen
Hm
.
Sabem
ac ualmen
que
o asubálge-
b a
ancada,
B,
de
L'
que
con é
H
m
,
es á
gene ada
pe
H
-
i
pelsin e sos
del
p oduc e
de
Blaschke
in e ibles
a B
.
Aques a
ques i6
ha ia
es a
plan ejada
pe
Douglas

l'any
1968
;
anem
a
e -ne
una
micad'his b ia
.
Al
1953,
We me demos ó
que
1'álgeb a
del
disc,
A,
e a
maximal
en e
les
subálgeb as
ancades
de
C(T)
;
aixb
diu, en
pa icula ,
que
donada
de
C(T)
A,
o aal a
unci6con inua
es
po
-ap oxima
pe
polinomis
en
amb
co
.e icien s
aA
.
Anem
a
eu e
com
el
p oblema
de Douglas
és
e
en
ce a
o ma,
unagene ali zaci6
d'aques
e
.
Al
1960
Ho man
i
Singe
donen
una
al ademos aci6
del
Teo-
emade We me ,
que
aplicada
a
H-
,
ensdiuque
o a
sub-
álgeb a
ancada
B,
de L
que
con é
Hm
,
con é
ambé
a C
(T)
(que
d'a a
en
ende an
ep esen a em
pe
C)
.
Uns
anys
des-
p és,
al
1967,
Sa asondemos a
que
la
mínimasubálgeb a
de
L-
,
que
con é
H m i C,
és
H
-
+
C
;
obse em
qeepe
a
aques a
subálgeb a,
els
únicsp oduc es
de
Blaschke
in e -

26
ibles
son
els
ini s,
pe
an ,
pe
a
B =
i°'
+
C
la
qües-
ió
de
Douglas
é
espos aa i ma i a
.
Fou
al
1968
quanDouglasplan ejá
el
p oblema
que
po a
el
seu
nom,
mo i a
pe
1'es udi
dels
ope ado s
de
Toepili i
.Si
P
és
la
p ojecció
de
L'
°
(T)
aH
2
,
es
de ineix,
pe
a
QE
L
°°
,
1'ope ado
de
Toepli zTQ a
H
2
pe
:
TQ
( )
= P
(
.Q)
,
E H
2
.
Disposem
doncsd'upa
co es-
pondéncia
en a
uncions
de
L
° '
i
ope ado s
de
11
2
.
En aques
a
si uació,
s'obse a
que
T
Q
es in e ible
o
de
F edholm
segons
la
subálgeb a
de
L-
a,que
pe anyQ
;
e a
doncsin e-
esan
es udia
áques es
subálgeb es
.
Poc
empsdesp és
de
es a
plan eja
el
p oblema
de
Douglas,
Douglas
i
Rudin
1
121
el
esolena i ma i amen
pe
a L
o
;
demos an
que
o a
unció
de
L'
°
po
ap oxima -se
pe una
exp essió
b
.
Q,
on
h
es el
conjuga
d'un
p oduc e
de
Blaschke
i
Q
una
combinac
ó
lineal
de
p oduc es
de
Blaschke
.
Cal
no a ,pe d,
que
es a asense espos a
la
qües ió,plan-
ejada emps
abans,
de si
H
°°
e a
o
no
gene ada
pe
p oduc-
es
de Blaschke
.
Successi amen
apa eixen
esul a spa cials
;
Sa ason
esol
a i ma i amen
el
p oblema
de
Douglas
pe
a
1'álgeb a
gene ada
pe
H
°°
i
pe les
uncionscon inues
a T
-{1}
amb
limi s
la e als
.
Da ie,
Gamelini
Ga me
[97
el
esolen,
ambéa i ma i amen ,
pe
a
les
álgeb as
[Hm
L-E
]
,
gene a-
des
pe
H'
i
pe
1'álgeb a
de
les
uncions
de
L"
con inues
a
un
subconjun
E
de T,
L
E
i
demos an
ambé
que
[H
0
,
L-E]=
a
S'ha iaobse a
que
si el
p oblema
de
Douglas
enia
espos a
a i ma i a
s'ob enia,
en
pa icula ,
que
dues
sub-
lgeb as
de
L
o
que
con enen
H
m
,
amb
el
ma eix
espec o,
e en
iguals
Al
1974,
Sa ason[231demos a
que
una
subálgeb a
de
Lm
que
con é H'
,
amb
el
ma eix
espec é
que
H
m+
C, és
H
-
+C
.
Aques
a icle
és
el
que
dóna
el
cami
) e
a
esold e
el
p oblema
de ini i amen
;
egem-ne
una
mica
les
idea
ge-
ne als
.
Pe
a
una
unció
e
L
1 i
pe
a
un
a c
I
de
T
es
de i-
neix
:
~I
dm
,¡I ll
.
=
Sup

1

I
I - Ildm
m
(I)
es
diu
alesho es
que
és
d'oscil
.lació
mi janaaco ada
(
6
B .M .O
.)

silI Il

,

<+
-

.
Sa asonin odueixlla o s
1'espai
V
.M
.O
.
de
les
uncions,
que
en
diu,
d'oscil
.lació
.nul
.la,
qee
consis eix
en
les
uncions
e
L1
que
complei-
xen
:
lim
Sup
a
--,0

m
(I)

!1-

a
G ácies
als
eballs
de
Fe e man
i
S ein
sob a1'es-
pai
B
.M
.C
.,
Sa ason
consegueix
demos a
que
Q
.C .=
V
.M .O
.n
L
o
(on
Q
.C
.
és el
subespai
de
les
uncions
de
H"+
C,
que
enen
la
se a
conjugada
a
Hm +
C)
.
Pe
al a
banda,
Douglasha ia
obse a
quepe
a
H
O
+
Cla
in eg al
de
Poisson
e a
"asimp-
o icamen
mul iplica i a",
es
a
di
:
lim

Il
g
-
( .g)
1l
=0

pe
,g
de
H'
+C
-
"
1
la
in eg al
de
Poisson
és
ambé
asimp b icamen
mul iplica-
i a
pe
a
B
.
A
pa i d'aques
e
i
de
la
ca ac e i zacid
de
1'espai
Q
.C
.,
.es
euque
o a
uncib
in e ible
aB
és de
Q
.C
i
lla o s esul a
inmedia amen
que
B =
H
-
+
C
.
Un
any
desp es
de
.l'a icle
de
Sa ason,
Chang
C67
gene ali za
aques
eball,
demos an
que
duessubálgeb as
de
L
°°
que
con enenH"
,
amb
el
ma e¡%
espec e
i
_essen
una
d'ellas
"de
Douglas",
sbn
iguals_
En
p ime
lloc
demos a
aques esul a
pe
1'álgeb a
gene ada
pe
H
-
i
el
conju-
ga

d'un
p oduc e
de Blaschke
[H
-
,
b
]
.
Fixem-nos
que
Sa ason
ho
ha ia
demos
a
pe
[H
-
,

z]
.

Si
pe
[H
-
,

z]
_
H
°
'
+
C
s'u ili za a
el
compo amen
asimp b ic
de
lain eg al
de
Poissón,
pe
[H
-
,
b]
s'u ili za
el
següen
compo amen
asimp b ic
:
on

G
6
=
{z
e U
:1
b(z)1

>/
1-ó}

.
Aques a
p opie a ,

apli-
cada
a
un
p oduc e
de
Blaschke,
la
demos a em
nosal es
més
ende an
jun
amb
d'al es
ca ac e i zacions
dels p o-
duc es
de
Blaschkein e ibles
a
[H
,
El
.
28
Sa ason
demos a
que
si
S
p
(B)
I
=
S
p
(H
-
+C),
lla o s
lim

Sup
I
(z)
g
(z)
-
(
.g)

0

.g
eB
5
-+
0

z

e

G
5
En
aques asi uacib,
la
solució
del
p oblema
de
Dou-
glas
sembla a
p ope a
i
en
e ec e
.,
uns
mesos
més
a d,Ma shal
[19) a
dona
el
pas
inal
.
Conc e amen ,
en
aques a icle
Ma shall
demos a
que
o a
subálgeb a
B
de
L
que
con ingui
H
°°
,
é el ma eixespec e
que
1'álgeb a'B
i
,
gene ada
pe
H
-
¡
pels
conjuga s
dels
p oduc es
de
Blaschke
in e ibles
a B
.
En
un al e
a icle,
del ma eix
emps,
Ma shall
(181
demos a que
H'
es á
gene a
pels
p oduc es
de
Blaschke,
que
com hem di aueda a
penden
desde
éia
emes
.
aques esul-
a ,
enca a
que les
écniques,que
s'u ili zenibe
a
la
se a
demos aci6, s6n mol
di e en s
de
les que
s'aplique :pe al
p oblema
de
Douglas,
pod iesm
di
que
el
comple a,ja
que
a
pa i
d'aixó
es
po
a i ma que
o a
subálgeh a
de L
°°
,
que
con é
Ii'
,
es á
gene ada
pels
p oduc es de
Blaschke,
jun
amb
el
in e sos
d'aquells p oduc es
.que
siguin
in e ibles
.
Si
B és una subálgeb a
de
L -
,
que con é H-
,
di em
CB a
la
C -álgeb a gene ada
pels
p oduc es
de
Blaschke
in e -
ibles
a B
.
Sabem
pe
la
soluci6 del p oblema de
Douglas
que
B = [H
-
,

CB
1

.

Es

sabia

en
algún
cas que

[H'
°

,

C
B
]
=

Ii
°°
+ CB
(pe
exemple
si
B
=
H' +L E
) .
Chang
ho
demos a
en
gene al
i
póc
desp és
Chang
i
Ma shall
X77
en donen
una
demos aci6
més
senzilla,
basada
en
un Teo ema
cla'ss
i -de
Ne anlinna
.
En aques
ma eix
a icle,
demos en
que
pe
a
o a
álgeb a
ancada
D,
H
°
'
1
C
B
-
D
c
CB
,

é
espos a
a i ma i a el
p o-
blema
de
Douglas,
és
a
di ,
D
es á
gene ada
pe
H
°°
(1
CB
jun
amb
el5
in e sos dels
p oduc es
de
Blaschke in e ibles
a
D
.
Aques
esul a ,
aplica
al
cas
B = L
m
,
ens
dóna
la
soluci6
del p oblema de Douglas
i,
pe B =
[H
m
,
z]
,
con é
el
Teo e-
ma de
Maximali a
de
We me ,
del qual
el
esul a
de
Chang
i
Ma sháll
n'és pe an una
gene ali zaci6
.
En
aques es
condicions,
de
2
.17
i
de
2
.24
de
C
8]
es
segueix
que
(z,b]
é
la
p opie a
de la
Co ona
.
A
més
a
més,
ob enim
ambé
que
M
es á o ma
pe
ib as
M
a
,
sob e
cadapun
a
e U
;

si
a
e
U
6
si
ae T
i
b
des én
con inuamen
a
a

,
A9
a
es á
o ma
pe
un
sol
ca ác e ,
que
és
1'a aluaci6
en
el
pun a,
6
a
en
cas
con a i,
M
a
s'iden i ica
ho neo-
mo icamen
amb
CT,
en
co espond e
a
cadaca ác e
el
seu
alo
a
b
.
A
pa i
de
(1
.4)
i
ambles
condicionaan e io s,
ob enim
que
la
on e ade
Shilow
de
[z,b]
,
,
es á
o ma
da
pe
ib as
a
sob e
cada

a
ET, si
b
s'es én
con inuamen
a

a
,
a
=
{
a
?

;

si
b
no
s'es dn
con inuamen ,
i

s'
iden i-
ica
amb
T,
en
co espond e
a
cadaca ác e
el
seu
alo
a
b
.
3 6
Lis
p egun es
que
ens
plan eggeimi
a a
s6n
ic3
ócgücia S
:
Pod ia
se
[z,b],pe
a
ui
ce
p oduc e
de
Blaschke
b,
igual
m
a
H
/1
C
B
,
pe
a
una
subálgeb a
B
de
L
,
que
con ingui
H
Pod ia
se
[z,b] igual
a
F¡
»
n
C
pe
a
una
C
-álgeb a
a^?Quins
p oduc es
de
Blaschke
hi
.
ha
a
(z,b]
?
En p ime
lloc, ixem-nosque
de
5
.8
de
(8]
ob enim
que,
si
b
é un
Gnic
pun
d'acumulaci6

de
ze os,a
e
T,
alesho es
[
z,b]
=
[
z,b,
z
,b
]
11
H
m
,
es
a
di ,
pe
a
a'
=[z,b,z,b],
[z,b)=
=
H
,
/1
a
-
.
eu em
que
no
podem
ob eni
aques
esul a
pe
a
=
CB
,

pe
a
cap
subálgeb a
B
de
L
°°
,
que
con ingui
H
co
.
(4
.1
.)
P oposici6
Sigui
B
una
subálgeb a
ancada,
H
-
c
B
<=L'
i
sigui
C
B
,
la
C~
ál
:geb a
gene ada
pelsp oduc esde Blaschke
in e -

ibles
a B
.
Si
be
H'/1
C
B
és
un p oduc e
de
Blaschke
;alesho-
es
o
di iso de
b
és
ambé
de
H
°°
/1 C
B
Demos ació
.-
En enem
pe
di iso
de
b

un p oduc e
de
Blaschke
b
1
,
de
mane a
que
exis eixi
b
2
al
queb=b
1 .b2
.
Ens
cal
eu e
b1
eC
B
.

Comque
b e
H'11
CB
,

lla o s
b
és
in-
e ible
.a
B,
és
a
di ,
b e
B
i
així
1=b
.b
=
b1 (b2
.b)
;
pe
an
b
1
és
in e ible
a
B,

és
a
di ,
b
1
e
H'
/1
CB
.
(4 .2
.)
Co ol
.la i
Si
b
és
un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
un
sol
pun
de
discon inui a
a
,
aET
;
alesho es
(z,b
2 ]
no
po se mai
m
H

/~
CB
,

pe

a

cap
B

(

Hm
G
B

c
L

) .
Demos acib
.- Si
[z,b
2
]
os
H'ñ
CB
pe
a
una
ce aB,pe
(4
.1
.)
b

e
[
z,b
2
]
i
lla o s
[
z,b
2
]
_
[z,b
2
.b
3
]
.
Aixo
con a
diu
5.5
.
de
[
8 ]
,
ja
que
allá
es
demos a
que
[
z,b
2 ,b3 ]
no
és
mai
H
n
~,
pe
a
cap
c,
C
-
álgeb a
.
Demos a em
a a
una
p oposició
que
a em
se i
més
ende an
.
(4
.3
.)
P oposició
Si
{b1,
.
.
.lbn,
.
. .
}és
un conjun nume able
de
p o-
duc es
de
Blaschke
i
[z,b
l
,..
.bn,
. .
.3
1'álgeb a
que
gene-
en,
alesho es
si
[z,bi
..
.lbn
. .
.]=
I /)
C
B
,
necessá iamen
B
=
[H
°°,
b1
,
.
.
.,bn,
. . .
]
.
Demos ació
.-
Si {b
l
,. . .
.
b
n
.
. .
}¿_
-
CB
,
alesho es
{

b
1
,
.
.
.,b
n
...

}
cB
i

lla o s
[H'
°

n
""j

c
B
.

Si
1'inclusió
o a
es ic e,
pe
la
solució
del
P oblema
de
Douglas,
exis i ia
un
p oduc e
de
Blaschke
b
al
que
3 7
b

6 B

[H
~,b
l
.
.
.,

b
n
, . .
.]

;

pe ó

lla o s
b
e
.C
B

i
pe
an
b
e
Iz,bl,
.
.
.lbn,
. .
.~

C
( H
',
bl
. .
.lbn,"
.
]
,
que
és
absu d
.
g
(4 .4
.)
Lema
(4
.5
.)
Teo ema
amb
U
;
amb
aques a
iden i icaci6
esul a
que,
si
b
=
a
= b
IM
,
b
a
=
z

i

(z,b]
a
=
{
IM
:
E
Cz,bD
=
A
a
(
ep esen a á
semp e
la
ans o mada
le
Gel
. and
de
)
Volema iba
a
eu e
que
[z,b)
no
po se mai
H/1C
B
;
pe
aix6
necessi a em
el següen esul a
.
Si
,g,
s6n
dues
uncions
de
1'álgeb a
del
disc
A,
amb
z
=
.g,
alesho es
una
d'elles
és
in e ible
a A
.
Demos aci6
.-
Si
z
=
.g,
necessá iamen
una
d'elle
.s
és
ze o
a
1'o igen
.
Suposem
(0)
=
0,
com
que
1= 'g
+
g',
esul a
que
g
(0)
9¿
0
i
així
g
(x)
q¿
0
bx
C
[7,
pe
an
1
E A
,
c, ,d
.
Si
b
és un
p oduc e
de
Blaschke
ini ,
[z,b]=
A =
m
=
H~

14
% (`

R
= H

s
(`
Icncm
nnm

n ~
. .

B
.
P°_
- -

. .
.
, . .
._
.,~
.. . ,
.,
. .
.,
_
.
._-
d'aques
cas,
[z,b]
no és
mai
H'
n
C
B
.
Si
b
és
un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
in ini s
ze os,
[z,b]
no
po
se mai
H
~n
C
B
,
pe
a
cap
subálgeb a
B
de
L-
que
con ingui
H
Demos acié
.-
Sigui
M-
S
p
[z,b]
,
sigui
a E
T
un
pun en
qué
s'acumulab

els
ze os
de
b
.
Di em
b a
la
ans-
o mada
de
Gel and
de
b
.Sabem
que
la
ib a
M
a
s'iden i ica
Sigui
{z
n
}

una
successi6,
de ze os
de b,
que
s'acu
muli
en el
pun
a
;
sigui
b'
el
p oduc e
de
Blaschke
que
é
ze os
{z
zn
}
.
Pod em
esc iu eb
= b'
.b"
,
on
b
'
se á
un al
e
p oduc e
de Blaschke,
amb
un
conjun
de
ze os
que
s'acu
mulen
ambé
a a
.
Si
os
ce
que
[z,b
;
.=
Hw
1CB,
pe
a
una
co a
B,
n
pe
(4 .1
.)

sabem
que
b'¡
b~
:
e
[z,b]
.'
Siguin
a a
ba
=
b
~"M

i
a
b
#1
=
ido
;
)M

ind em
lla o s
que
z
=
aa
=
b'
b''
,
és
a
di ,
es em
en
les
hipó esis
de
(4 .4
.)
i
a a
pe
an
b'
6
b''
se á
in e ible
á
A
.
Diguem,
com
som-
a a
p o,
'7= S
p

(H
-
) ;

b'

(7

)

=,
5
i
pe
an
hi
ha
un
ca ác
a

_
e
de
H
.,
X
0
,
amb
X
0
(b')
=
0
.
Res ingin
X
0
a
[z,b]
ob enim
un
ca ác e ,
de la
ib a
a,
en el
que
b'
s'anul
.la,
pe
an
b'
no
po se
in e ible
.
El
ma eix
aonamen
s'aplica
a
b''
i
pe
an
hem
a iba
a
una
con adicci6
.
c . .d
.
Sabem
que
si
HW

B
c
L

,
lla o s
z e
B
.
També
hem
is

a

(3 .4
.)

qué
si
H
l
C
B
D

c
C
B
,

lla o s

z
eD
.Podem
p egun a -nos
qué
passa
pe
[z,b]

[z
z,b,b)
;
pe
exemple
podem
p egun a -nos
si z
el
z,b,b]
.
La demos aci6,en
els
casos
an e io s,
depén
del e

que
an
H
com
H

CB
són
log-modula s
.
Veu emnosal es
que,
enca a
que
[z,b]no
és
log-modula ,
si és
ce
que
z
e
[z,b,bl
.
(4 .6
.)
P oposici6
Si
b
és
un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
in ini s
ze os
que
s'acumulen
en un
subconjun
E
de
T,
de
mesu a
ze o,
ales
ho es[z,b]
no és
log-modula
.
Demos aci6
.-
Demos a em
que
hi ha
ca ác e sde
[z,b]
ep esen a s
pe
més
duna
mesu a
posi i a,
sopo ada
pe
la
on e a
de
Shilow

de
[
z,b
]
.

Sigui

M =
S
p
[
z,b
],
sigui
ob
e E
i
sigui
X
0e
Mi
O
el ca ác e
de ini
pe
X
O
(z)
-
a
bi
X
O (b)
- b
(0)
=
A
0
Anem
a
oba
dues
mesu es
que
el
ep esen in
.
Sigui
dm
0
la
mesu asob e ,0,
que
s'iden i ica
amb
dm,
a
1'iden-
i ica

Fa 0
amb
T
.
Sigui
a
O
=
.
e
le
,
sigui
P~
0
la
uncib
sob e a0,
que
s'iden i ica
amb
el
nucli
de
Poisson
P
(e
- )
.
De inim
les
seguen s
mesu es
1M
(
)

=

JT
E

IT
E

dm

+
/
I'

1

a 0

dm
0


e
c( )
a0
2
( )

p
xO
dm
0

e

C( )
a
0
Com
que
E
és
pe
hipb esi
de
mesu a
ze o,la
in eg al
a T E
es
po
conside a
com

una
in eg al
a T
.
Vegem
quins
- .
alo sp enem
1
i
2
a
z
i
b
.
ep esen en
a
a
O
.
c
.
.d
.
(4
.7
.)
P oposició
b

[z,z,b
]
.
40
1
(z)
=
J
T

z
dm
+
T
a 0
dm
=
0
+
a0
=
a0
1
p
(b)

=

T

b
dm
+
T

z
dm
=b

(0)

+ 0
=a
0
2
(z)

=
1T

P
a0

a0

dm
=a0
'2P(
b)

=

'T

p

(
9-

)

e
l

dm

=
Pe
an
enim
les
dues
mesu es
posi i essob e
,
que
Sigui
b
un p oduc e
de
Blaschke
amb
in ini s
ze os
;si
[z,b]
és
es able,alesho es

z
e
[z,b,b
]
;
en
can i
Demos aci6
.-
Vegem
que
6
0
no'z'es én
a (
z,b,b
]
.
Su-
posem
el
con a i,és
a
di
que

s'es én
a
[
z,b,b
] .
Sabem
que,
a
[ H '
,
b
]
,
les
e'Ñp esgions
del
ipus
»m
,
,
amb
e
H
m
,
són
denses
.
De inimX
(
bm
,
)
=60
(bm
)
.6
( ),
0
.
s'es én
a
un ca ác e
de [H
'
,
b~ ja
cue
1
X
16
0
(b

)

1'

.

1

(0)

1=

1 (0)

1
!5-1
11

11
=1
.1b
m

.


11
Així
doncs,
igual
que
a
(3 .4
.),
esul aque[H
~,El=
H'
;
que
és
absu d
.
Pe
al a
banda,apa
de
60,
z
no
po
anul.la -se
a
cap
ca ác e
de
[z,b,b
1
;
sin6
es ingin -lo
a
[z,b
]
esul a ia
que
1
z,b1
no
és
es able
.
Pe
an ,
com
que
6
0
na,s'es én,
z
no s'anul
.la
a
.
hespec e
de 1
z,b,EJ
,
d'aci
-
qúe
z
és in e ible
a
1
z,b,b1
i
aixi
z
e1z,b,b1
Obse em
que
b
0
[z,z,b]

,
pe quésiné
b
se ia
in-
I
e ible
a
[H
°
' ,
z]
i
aci
només
són
in e iblesels
p oduc-
es
de
Blaschke
ini s
.
c
.
.d
.
Anem
a
eu e
a acom
són les
uncions
de
[z,b]
i
comsón
les
uncions
in e nes,
en el
cas
de
se
b
un
p oduc
e de
Blaschke,
amb
in ini s
ze os
i
que
s'acumulen
a
un pun
de
T
O
a
.
(4
.8
.)
Teo ema
Amb
les
hipó esis
an e io s,
es
compleix
:
a)
e
[
z,b] si
i
només
si
=
h
o
b
+
k,
amb
h,
keA
i k
(a)
=
0
b)
Siamés
és
in e na,
alesho es
h
és
un p oduc e
de
Blaschke
ini
.
Demos aci6
.= a)

Sigui
M
= S
P
[z,b]

.
En
el
nos e
cas
M =
(
U
-

{a}
)

u
M
a i
Y
"ás
homeomo
aD
.
Sigui
e
[z,b]

i
=
~M
;
a
s'iden i ica
amb
una
unci6
h
e A
.
Con
ije
a

a
els
polinomis
en
z
són
densos
a A,
exis i á
una
successi6
(
Pn
(z)
)
amb
(
P
n
(z)
)
-
h(z)
uni o memen
.
Conside em
la
successi6
(P
nd
b),
lla o s
(P
n
o
b)

(z)
--,,(h
o
b)

(z)
uni o memen
i
pe
an
h
o
b e
[z,b]
.
Si
conside em
a a
(h

ó

b)
a

,

esul a

que
:
._
(h

o

b)a

n

a
,

es

a

di ,


-

h

o

b
és
una
unci6
de
Iz,b]
nul
.l
aaM
.
Com
que
b
és
con inu
a
a T
-{a)
,

-h
o b
esul a
se
con nua
a T
i
aüí
-
h
o
b=k
e A,
amb
k
(a)
=
0
.
El
ecíp oc
és
inmedia
.
b)
Al
se
in e na,
sabem
de
[8]que
(
M
)
aU,
és
a
di ,
si
h
és la
unci6
de
A
amb
qué
a
s'iden i ica
a
;
h
(Ú)
=ü
.
Aix1
h
és
una
unci6
in e na
de
A
i
pe
an
un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
un
núme o ini
de
ze os
.
c . .d
.
aix
.
Hem
is
a'(4
.5
.)
com, al
descomposa
b
en
dos
p o-
duc es
de
Blaschke,
amb
in ini s
ze os,
b =
b' .b
''

,
esul-
a a
que
b',b
''
0
Cz,bl,

És
cia , pe 6,
que
els
p oduc es
de
Blaschke
ini s
s6n
a
[z,bji ambé
hi
s6n els
p oduc es
que
esul en
de
eu e-li
a
b
un
nomb e
ini
de
ze os,
¡a
n
eiz,b]
és
es able
.
Pod ia
pensa -se
que
aques s
són
els
Gnicsp oduc es
de
Blaschke
de
(z,b]
Vegem
que
no és
'(4
.9
.)
-
P oposici6
Si
b
és un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
in ini s
ze os
;
alesho es
a
[z,b]hi
ha
p oduc es
de
Blaschke
que
p enen
el
alo ze o
en
in ini s
pun s,
en
els
quals
b
és
di e en
de
ze o
.
Demos ació
.-
Si
h
és un
p oduc e,
amb
un nomb e
i-
ni
de
ze os,
alesho esh
o
b
és
una
unció
in e na
de
[z,b]
En
pa icula ,
h
o
b
és
in e na
si
h
= X - z

I
i
a
eU
.
Sabem
de
L161pag
.
176,
que
exis eix
una
successib
a
_
z
(
an)

¡>O,
de
mane a
que,
si
h
=
n _

,
h
n

1-An
z

n
(
a
n)
,
e
b
és
amb
un
p oduc e
de
3laschke
.
Tenim
doncs,
pe
a
cada
a
n
,
un
p oduc
e de
Blaschke,
de
1z,bJ
.
,
que
é
pe
ze os
els
in ini s
pun s
en
qué
b
p en
el
alo
)`n
.
Hem
es udia álgeb asgene ades
pe
z i
pe
un
sol
p oduc e
de
Blaschke
b
.
Anem
a
conside a
a a
álgeb asgene-
adas
pe
z i
pe
dos
p oduc es
de
Blaschke
.
Siguin
b
l i
b
2
dos
p oduc es
de
Blaschke
amb
ze os
que
s'acumulen
a El
i
E
2
espec i amen
.
Si
E
liE
2
són
de
mesu aze o
iEl
n
E
2
=
j!
,
a
.1'igual
que
en
el
cas
d'un
sol
p oduc e,
1'espec e
de
[z,bl,b21
es á
o ma
pe
U
Elu
E
2
,

jun
amb
ib es
M
a
pe
a
ae
E
l u
E
2
,

amb
M
a
homeomo a
a
U
.
En
aques
cas
es
compleix
ambé
la
P opie a
de
la
Co ona
.
En
el
casen
aué
E
l
n
E
2
y£

0,
no
sabem
ja
quinés
1'espec e
de
[z,bl,b21
,
ni
sabem ampoc
si
es
compleix
b
no
la
P opie a
de
la
Co ona
.
Conside em
E
l
=E
2
=
{a}

i
de inim
:
C
(
a,b
l
)

_
{ a
e
T

3
(z
n
)

successib
de
U
(z
n
)
--
.a
,~
b
l
(z
n
)
(z
n
)
amb
C

(
a,
a 1
,
b
2
)

={a
e
Q

1

3
(z
n
)

successibde
U
amb
-,

a

b
l
(z
n
)
->
a 1

b
2
(z
n
)
.
)~}
aixíes
de e mina
l'espec e
de
[z,bl]
i
es
demos a
la
P o-
pie a
de la
Co ona
.
Pe
a
l'álgeb a
z,b1,b2
1
,
la
P opie-
a
de
la
Co ona
és
equi alen
a
eu e
que
b2
(me a
1)
_
= C
(
a,a
1,
b
2
) ;
pe o
ampocno
hem
pogu
demos a
aques
a
condici6
.
Dawson
C8]
demos a
que

b
1
(M
a
)

=
C
(a,b
1
)

=
II
Hem
is
a

(4 .5
.)

que
[z,b]
no és
mai
H-
n
C
B i
pe
an , ampoc
és
mai
H
w
E' En
el p ope
capi ol,
demos a em
que
H
E

no
po
es a
gene a
pe
un
conjun
nume able
de
p oduc es
de
Blaschke
.
El
.
cami
que
segui em
no
se áes udia
les
álgeb as
[z,bl,
. .
.bn,
.
.
.
.]
di ec amen ,
sin6
que
es udia-
em
.
les
álgeb as
H
O'
+LE

i
la
se a
elaci6
amb
H-
E
.
M
a ={

X

e
S
p
[z,b
l
]
1
X
(z)
=
a
}
Maal
=
{X
e
S
p
z,bl,b21
1

X
(z)

=
a
,
X(b
1
)
=
al
},
5
.
Relaci6en e
B i
H
°°
1
C
B
En
aques
capí ol,
ens
p oposemd'es udia
la
elaci6
que
hi ha
en el'espec ed'unasubálgeb a
B
de
L"
,
que
con é
H'
i
1'espec ede
HW
/'
C
B
(on
CB
és,
com
semp e,

la
C
-
álgeb agene ada
pels
p oduc es
de Blaschkein e ibles
a
B)
.
T ac a em
ambé

al es
qües ions,
com
a a
és la
ca-
ac e i zaci6
dels
p oduc es
de
Blaschke,
in e ibles
en
1'álgeb a
[H
-
,
b]
(
on
b
és el
conjuga
d'un
p oduc e
de
Blaschke
b)

i
ambé,
la
no
sepa abili a
de
H
E,
pe
un
sub
conjun E
de
T
.
De
Chang
[6]
es
dedueix
que
un
p oduc e
de
Blaschke
b
l
és
in e ible
a
1'álgeb a
[H°°,
b] si
i
només
si es
com=
pléix
:
lim

Sup

I
b
l
(z)
.
b
l
(z)
-
1 = 0
on
b
-~
0

z e
G
s
G
s
=G
s
(b)
_
{ z
e
U
:
I
b(z)i
>,
1 -
6}
aix~
;
és
equi alen
a
que
b
E
>0,

d

0,
de
mane a
que
G
S
(b)

C

G
e
(b
l
)

.
Anem
a
dona
a a
una
demos aci6
di ec a
d'aques
e ,
jun
amb
d'al es
ca ac e i zacions
.
(5
.1
.)
Teo ema
Si
b,
b
l
,
s6ndos
p oduc es
de
Blaschke,
alesho es
s6n
equi alen s
:
Sigui
a a
e
L
-
,
una
unci6
qualse ol,
amb
una
g
e
B
.
Sabem
que
es
po
ap o
de
p oduc es
de
Blaschke
i
d'in e
són
de
B,
pel
que
és
adhe-
IT-E
=
g
1
T-E pe
a
xima
pe
combinacions
sos
d'aques es
[121
;
aques es
combinacions
que
acabem
de
demos a
;
alesho es,
esul a
en
a B
;
pe
an
de
B c
.
.d
.
Ens
podem
ambé
p egun a
una
qües i6
semblan
en
qué
Z
a=
17a
pe
a
o

a

d'
un
obe de
T,

E
.
e
B
ambuna
unci6
g
e
H
+
C
que

(S
p

(H
m

+

C

)

)
a

=

a
es
compleixaques ap opie a
.
pe
el
cas
Ha
de
coincidi o a
unci6
sob e
E
(Tinguem
p esen
Vegem
amb
un
exemple
que
no
5
2
(5
.9
.)

Exemp
e
Sigui
b
un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
ze os
(z
n
)
i
(z
n
)

n
.
e
T

.
b
e
H'
+

T
-{a}
;
si
b)T_{a)
=
g-IT-{a}
amb
g
e
H-
+
C
,
lla o s
b
= g,
quasi
pe
a
o ,
es
a
di
b
e
H
-+
C
.
Aix6és
absu d,
ja
que aci
només
són
els
p oduc es
de
Blaschke
ini s
.
in e ibles
Donada
B,

H
m
c
B
c L
°°
,

diguem
17
B=
S
p
(H
-
n
C
B
)
i
com
semp e
Z
=
S
p
(B)
;
el
esul a
al
que
olem
a iba
és
que
Za
=7a
si i
nomes
si
'7
B
=
{óoa}

(on
6
a
signi ica
a

B
1'a aluaci6
al
pun
a

)

i

Z=
X
c,

i
nomes
si
'17

_
a
a

aa
Pe
aix6
necessi a em
conbixe
quina
elaci6
hi ha
en e
una
ib a
i
les
del
seu
ol an
.
Dona
a
o
=
e
¡e
0
e
T,
siguin
E+
=
{c,
=e
le
e
T

le
o
<
O <
e
o
+
n
} i
E

=

{a

=

e
le

e

T

I
go

-

n
G6

<
A
o
}

"7
E
+ =
{X
e
'7
1

X
(z)
e
E+
}

,
análogamen
7E-

,

ó
={
X e

a0

X
adhe en
a
(5
.10
.)
P oposici6
de
que
m(e»
> 0
) .
Lla o s
enim
:
si

X
0

e

X~
0

;

o

bé

X
O
(

~
E
+

)

=

1

o

bé
análogamen
Sabem
de(16}pag
.166,
que
an

+
com
1
7
s6n
di
0

0
e en s
del
bui
.
Vegem
qué
és
el
que
es
po di
pe
a
X=Sp(L~)
Sigui
Y
E
+
={
X e
/(I
X(z)
eE+
}
i
análogamen
XE
-

,

sigui

1(
0
+
_{
X e

,Ya 0
(

X

adhe en
a

X
E
+

i
aná-
_
logamen

~(

;
alesho es
es
e i ica
:
"0
Amb
les
no acions
an e io s
es
compleix
:
(0
=
^
d0
U
X"0
,
i
o s
dos
subconjun s
s6n
di e en s
del
bui
.
Demos aci6
.-
Siguin
~ E+ i
~E-
les
uncions
ca ac e ís iques
de
E+
i E
espec i amen ,
es
compleix
¢
E+ +
~E-
=
1
i
~
E+
.
~ E-
=
0
.
D'aci
es
dedueix
X
O
(¢
E
)=
1
.
Suposa em
el
p ime
cas
i
egem
que
lla o s
X
O
e
É+
(análogamen
si
X
0
(0
E
+)=1)
.
Fem
la
demos aci6
pe
educci6
a
.
-i'absu d
.
Si
X
0
0
X
E
+
,
exis i á
un
en o n
que
no
con ind á
cap
ca ác e
de
X
E
+
.
Podem
conside a
aques en o n
del
ipus
{XI

X(~
6 )-1
1 ,

amb
~
e
,
unci6
ca ac e ís ica
de
el
c
T
;
g
me-
su able
.A_més,
com
.
que
X0(~E+)=1,
X0(~E
+n8
.)=1
i
pe
an
subs
i uin
6'
pe
e'
n
E
+
puc
suposa
g
c
E+
,

pe
al e
banda
m
(e)
>
0,sin6

~
e
.
= 0
;

així
exis eix

S
e
e',
de
mane a
que
/ e
S
en o n
de
S,
m(9'
S
)
>
0 (si
no
os
així,
e'
es
pod ia
ecQb i
pe
un
conjun
nume able
d'en o ns
de
mesu a
nul
.la,
en
con a
pe
an
exis eix

Xe
x
S
amb

X(~
e
)=1, en
con a
del
que
su-
posa em
.
Pe
eu e
que
~(
+
i
X(

no
son
bui s
es
po
epe-
a
0
a0

_
i
la
demos aci6
de (16]
pe
a
7
+

i
~

c
. .d
.
a
0a0
(5
.11
.)
P oposici6
1(10
i?
ya
o

.
Demos aci6
.-
Les
inclusions
s6n
e iden s
;
egem
ques6n
es ic es
.
m((1
~~
e
.(z)
-11
z
e)11e'
S
)
>
o
,
de'
s
iVE
;
Amb
les
no acions
an e io s
7a

~y
ao

i
0
Sigui
(a
n
)
una
succeci6
de
pun s
de
E
+
(análogamen
es
a ia
pe
E

)
con e gen
a
ao
.
Sigui
b
un
p oduc e
de
Blaschke,
de
mane a
que
els
seus
ze oss'acumulin
al
conjun
{

a1
,

a
2
,. . .

a
n,
. .
.
)

;

alesho es

Y
n

exis eix

Xn
e
%
n
am
b X
n
(u,
-
.
EJ
.
C üjü
ü
{
X
.
üc
II
}
e8
un
compac e
e
n
de
1'espec e
'7 de
H
°°
.
Sin

és la
p ojecci6
de
na
u
,
ü
({
Xn
:
ne
IN}
)

és un
compac e
de
T
que
con é
{
a
l
,
a2
, . .
.,
a
, . .
.}
i
pe
an
a
a
o
.
Aixi
doncs,
exis eix
n
X
o
e'/a
_o

adhe en
a
{
Xn

:
n
e
QI
}
i
pe
an
X
o
(b)
=
o
;
alesho es

Xo

o Xa
o
5
4
(5
.12
.)
Co ol
.la i
Sigui
B
una
subálgeb a
de
L
'
,
que
con é
H-

i
sigui
Z
el
seu
espec e
.
Si
pe
a
un pun
n
de
T,
Z

,
ales-
a
-xa
ho es
H-+ L
E

B,
on
E
=
T
-{a}
Demos aci6
.-
egem
p ime
que
B
con é
els
gene a-
do sde
H
-
+ L
E
.
Sigui
b
el
conjuga d'unp oduc e
de
Blas-
chke
b,
con inua
E
;
alesho es
si
Xe
Z
Z
,
com
que
b
és
a
con inu
a
X(z)
,
X
(b)
=
1
.
Si
X
e
Z
,
com
que
Z

=
a

aa
esul a ambé

I
X(b)
I

=
1
;

aixídoncs
H
-
+
L
E

c
:B
.
Vegem
que
la
inclusi6
és
es ic a
.
Comque
(S
p
(H'
+
L
E)

)
0

pe a

elspun sde7
a
adhe en s
a

'E

se án
de
Sp(H
W
+
L
E)

,

es
a
di
/
~a
l/

a

G

S
p
(
H m+ L E
)
a

i
pe
an
Z
a-Xa

S
p
(H
~+
L
E
)
c
.
.d
.
Anem
ja
a
eu e
les
elacions,
que
ha i
em
enuncia
en e1'espec e
de
B
i el
de
H
'
!1
CB
.
(5
.13
.)
Teo ema
a
Sigui
B
una
subálgeb a
de
L
'que
con é
H
,
sigui
Z =
Sp
(B)

i
7B
=
S
p
(
H
mn
CB
)
;
alesho eses compleix
:
a)

Pe
a
un
pun

ade
T,

Za

=
a

si i
només
si
°'7B
=
{
b
a
}
(on

6
a
signi ica
1'a aluaci6
a
pun
a
)
b)
Si
pe
a
un
pun
a 0
és
70 o
=)(a
o,
alesho es
hi
ha un
en o n
e'
de
a0,
de mane a
que
pe
a
o
a
de
Cl
sigui
Z
a

-
x
a
c)

Pe
a
un
pun

a

de T,

Za
=xa
si
i
només
si
Demos aci6
.-
a)

Suposem
p ime
quen7
B =
(6 a
}

,
a
alesho es
o a
unci6
de
H
'
n
C?
.
.-ees én
con inuamen
a a
En
pa icula ,
o
p oduc e
de
Blaschke
b,
in e ible
a B,
:
:es én
con inuamen
a
a
.
Aixidoncs
pe
a
o
X
e
Z
enim
a
que
1X
(b)
=
1,
és
a
di ,
Z
a
-
a
Recip ocamen
:
suposem
que
Z a
=
%
.
En
aques
cas
ind em
que,
pe
a
o
p oduc e
de
Blaschke
b,
in e ible
a B,
es compleix
que
lb
(X)
I=
1
;
pe
a
o
X
e

= Z
a
a
Alesho es
necessa' iamen
bses én
con inuamen
aa
,ja
Ru
esin6
pod iem oba un
ca ác e X
O
e
'7a
= Z a

amb
I
X
O
(b)
1
=
.O
.
Tenimdoncs
que
'»7B
=
{áa}
a
b)
Fa em
la
demos aci6
pe
educci6
a
.l'absu d
.
Suposa em
que
no hi ha
cap
en o n
e'
de
a 0
de
mane a
que
Z
a
=
i`a
pe
a
o a
e&)
.
Alesho es
pod em oba
una
successi6
(ii)
,
de
pun s
de
T

con e gen aa
O,
de
mane a
que
Za
n
9¿Xa
n
.
Pe
a
cada
n,

sigui
X
n
eZ
an

x
a
n
1
sigui
bn
un
p oduc e
de
Blaschke
amb
Xn
(b
n
)
=
0
.
Pod emesc iu e
bn=
c
n
.d
n
amb
cn
un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
un
nomb e ini
de
ze os
i
d
n
un
p oduc e
de
Blaschke,
amb
ze os
{z
nj
j
j
e
]N
}
cumplin
E

(1
-
I
z
n
j)<
ln

.
Sigui
a a
b,
el
p oduc e
de,Blaschke
2
amb
ze os
{
z
n

I
(n,j)
e
[N
x
[N
}
;
alesho espod em
esc iu e
j
pe
a
cada
n,
b
=hn
dn
,
amb
hn
ambé
un
p oduc e
de
,
Blaschke
ComauF
:
0

=

1
Xn
(b
n
)

1

=

Xn
(c
n
)

Xn
(d
n
)

_

1
Xn
(d
n
)
l

;
esul a
que

I
Xn
(b)

1
=

1
Xn
(

hn
)

1
Xn
(d
n
)

=

0
.

Tal

com
a em
e
a
(5
.11.),
podem
oba
X
OeZ
a0
,
amb
X
O
adhe en
a

{X
n
In
e
[N
} ,

lla o s
ambé
X
O
(b)

=
0,

pe
an
X
O

e

Z a 0
X
a0

.
c . .d
.
c)
Suposem
p ime
que
i
=
7B

.
Sigui

II
:

a

B
,
aa

a
la
aplicaci6
que
consis eixen es ingi
e
.ls
ca ác e s
de
H-
/1
C
B
a
H
°°
.
Censide em
els
següen s
diag ames
:
CB
c

j,
L
.

17~

na


~
B
a

a
H

/

CB
e
-,
H"

x
B
a

~X
a

a
5 6
Tenim
que
:
I[
és
epijec i a,
pel
Teo ema
de
la
Co ona
a
a
H
m
/
*C
B
,
(7
]
;

la
ñ
a

és
ambé
epijec i a,
pe
se
C
B
una
C

-
álgeb a
i Z a
=II
-l
(
X
)

,
j
.a
que
són
els
ca ác e s
aa
de ~%
que
s(5n
de
modul
1,
pe
a
o
p oduc e
de
Blaschke
de
CB
.
Si
suposem
Xa

Za
,
exis i á
X~~
e
7

xa
amb
II
a

(X'')

= X
e;K
a

.

Comque
ambé

R
a
lJ(a
és
epijec i a,
exis i a
X'
e
X
amb
a
(X')

=
X
.
Aixi
doncs
n
a
no
po se
a
injec i a,
és
a
di
~
B ~
%
'a
a
egem
a a
el
ecíp oc
:
Suposem
que
en
un pun
ao
de
T,

enim
x
a

=
Z

.
Pe

(b),
pod em
oba
un
a c
e',
0
a0
que
con ingui
a
0
,
de mane a
que
~(a
=
Z
a
,
pe
a
o a
e
.9
.
Anem
a
eu e
que
II
a

és
injec i a,
o
el
que
és el
ma eix,
0
queles
uncions
de
H
-
/1
CB
sepa en
els
ca ác e sde
H
-
,
de
.l
a
ib a
a0
,
Dona s
dos
ca ác e sXl
i X2
de
'
1
'1a
0
semp e
hi
ha
un
p oduc e
de
Blaschke
b,
que
p en
sob e
ells
a
,
alo s
di e en s
.
Es
ac edoncs

d
'ap oxima ,
sob e
la
ib a
a0
,
els
p oduc es
de
Blaschke,
pe
uncions
de
H-
/1
CB
Pe
(27]
es
po
oba ,
dona
un
p oduc e
de
Blaschke
b,
un
p oduc ede
Blaschke,
amb
lb
-
b
l
l<
e

,
en
un
en o n
de

a
que
no
alli

T
e',
amb
b
l
con inua
T
e
.
Aix
:
doncs,
es
po
ap oxima
b
pe
un
p oduc e
de
Blas
.
chke
b
l
,
que
se á
in e ible
aB

i
pe
an
de
H
W
i1

C
B
c
. .d
.

BIBLIOGRAFIA
1
.
S
.Axle
.
Fac o iza ion
o
L
m
unc ions,
Annals
o
Ma hema ics,
106
(1977),
567-572
2
.
L
.Ca leson
.
An
In e pola ion
P oblem
o
bounded
analy ic
unc ions,
Ame
.
J
.
Ma h
;
80
(1958),921-930
3
.
L
.Ca leson
.
In e pola ions
by
bounded
anali ic
un-
ions
and
he
Co ona
P oblem,
Ann
.Ma h
;
76
(1962),
547-559
4
.
L
.Ca leson
.
The
Co onaTeo em,P oceedingso
he
15
h
Scandina ianCong ess,
Oslo
1968
.
Lec u eNo es
in
Ma hema ics,
Vol
.118,
Sp inge -Ve lag
.
5
.
J
.Cu i
.
Res icciones
de
las
álgeb as
H
E,
apa eixe á
a
Collec anea
Ma hema ica
.
6
.
S.Y
.
Chang
.
A
cha ac e iza ion
o
Douglas
Subalgeb as,
Ac a
Ma h
.
137
(1976),
81-89
7
.
S .Y
.
Chang
and
D
.Ma shall
.
Somealgeb as
o
bounded
analy ic unc ions
con aining
he
disc
algeb a,Lec u e
No es
in
Ma hema ics
Vol
.604
Sp inge -Ve lag
(1976)
8
.
D
.Dawson
.
S able
subalgeb as
o
H
OO
,
hesis,Indiana
Uni e si y
(1975)
9 .
A
Da ie
.
T Gamelin
and
J
.
Ga ne ,
Dis ance
es ima-
esand
poin wise
bounded
densi y,
T ans
.Ame
.Ma h
.
Sec
.
17
5
(1973),
37-38
10
.
J
.De az
.
Algeb es
de
unc ions
analy iquesdans
le
disque,
Ann
.
Scien
.
Ec
.No m
.Sup
.
4i

Seine
.3,(1970)
313-352
11
.
R
.Douglas
.
Banach
Algeb a
Techniques
in
Ope a o
Theo y Academic
P ess,
New-Yo k
and
London
(1972)
12
.
R
.Douglas
and
W
.Rudin,
App oxima ion
by
inne
unc-
ions,
Paci icJ
.Ma h
.
31
(1969),313-320
13
.
P
.Du en
.
H
P
spaces
.
Academic
P ess,
New-Yo k,
1970
14
.
J
.Ga ne
.
In e pola ing
sequences
o
boundad
ha -
monic
unc ions,
Re is a
de la
UniónMa ema ica
A -
gen ina,
Vol
.25 (197o)
15
.A
.Hea d
and
J
.Wells,
An
in e pola ion
p oblem
o
subalgeb as
o
HO>
.
Paci ic
J
.Ma h
.Vol
.28
(1969)
543-553
.
16
.
K
.
Ho man
.
Banach
Spáces
o An
aly i
c
Fu
nc ion
s,
P en ice
Hall,
Englewood
Cli s,
N
.J
.
1962
17
.
I
.Suciu
.
Func ionAlgeb as
,
Edi u a
Academics
Repu-
bliciiSocialis eRomania
.
18
.
D
.Ma shall
.
Blaschkep oduc s
gene a e
H
m
,
Bull,
Ame
.
Ma h
.Soc
.
82
(1976),
494-496
19
.
D
.Ma shall
.
Subalgeb as
o
L
m
con aining
H~
,
Ac a
Ma h
.
137
(1976),
91-98
20
.
D .J
.
Newman
.In e pola io
n
in
Hm
T ans
.
Ame
.Ma h
.SOC
.
Vol
.9
2
(1959)
501-507
21
.
W
.Rudin
.Bounda y alueso
con inuons
analy ic
unc
ions,
P oc
.
A
.M .S
.
Vol
.7
(1956)
22
.
D
.Sa ason
.
Algeb as
o
unc ionson
he
uni ci cle,
Bull
.
Ame Ma h
.
Soc
.
79
(1973),
286-299
23
.
D
.Sa ason
.
Func ionso
anishing
meanoscilla ion,
T ans
.
Ame
.
Ma h
.
Soc
.
20 7
(1975),
391-405
24
.
Shapi o
and
Shie1d
s
.0n
some
in e pola ion
p oblems
o
analy ic unc ions
.
Ame
.
Jou
Ma h
.Vo1
.3
(1961)
513-532
.
25
.
D
.S egenga
.
Sums
o
in a ian
subspaces,
Paci ics
J
.
o Ma h
.
Vo1
.70
M
.2,
(1977)
26
.
E
.S ou
.
The
Theo y
o
-
Uni
o mAlgeb as
,
Bogden
Quigley,
Inc
.Ta y own-on
Hudson
N
.Y
.
(1971)
27
.
A
.S ay
.
App oxima ion
and
in e pola ion
PaciJ
.Ma h-
Vo1
.40
N°2
(1972)
463-473
.
28
.
W
.Zelazko
.
BanachAlgeb as
,
Else ie
Yubiishing
Company
Ams e dam-London
-
New-Yo k
(1973)
.
Seccibde
Ma emá iques,
Uni e si a
Au dnoma
de
Ba celona
.
Bella e a,Desemb e
del
1978
.