Subálgebres de L∞ que contenen a l'Álgebra del Disc

Pub . Ma UAB Ns 13 , Juliol 1979 Subálgeb es de L~ que con enena 1'Álgeb a del Disc . Joan del Cas illo i F anque Di ec o : Juliá Cu i i Sob eg au Memó ia p esen ada pe a op a al g au de Llicencia en Ciéncies Ma emá iques , Uni e sidad Au ónoma de Ba celona .- INDEX In oducci6 ...... . . . . . . . ....... . . . . . . . . ....... 9 1 .  In e polaci6 i Teo ema de la Co ona . . ........ . 11 2 . El P oblema de Douglas .  . . ., .  .  , .  , .,25 3 .  Regula i a ......... . . . . . . ....... . . . . . ........ .0 4 .  Álgeb as del ipus  [z,  b] ..... . . . . . . . ........ 35 5 . Relaci6en e B i  H- n CB Bibliog a ia . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . 58 In oducci6 L'objec ed'aques a esina és 1'es udi de ce es álgeb esuni o mes de uncions a la ci cum e éncia uni a , T . Aques es qües ions enen el seu o igen en 1'es udi del compo amen a la on e a, de les uncions holomo es i en el disc uni a , U . Ac ualmen , a pa i de la eo ia es- pec alde Gel and, no s'es udien les uncions di ec amen , sin6 que es conside a 1'álgeb a de les uncions que complei xen una de e minada condici6 ; alesho es de e minan 1'espec e, el conjun sd'in e polaci6, e c ., s'ob é in o maci6 de com s6n les uncionses udiades . Les bcniques que s'u ili zen en aques sp oblemes an, desde 1'Análisi Funcional i la Teo iade la Mesu a, ins a 1'hlgeb a i la Topologia . Les álgeb es que he es udia s6n semp e subálge- b esde L- , álgeb a de les uncions essencialmen aco ades a T ( espec e de la mesu a de Lebesgue, no mali zada, dm) i que con enen a A, álgeb a de les uncions holomo es a U que s'es enen con inuamen a T . Es indispensable, pe al nos e eball, el coneixemen d'aques es álgeb es, jun a- men amb el coneixemen de 1'algeb a H a , de les uncions holomo es i aco ades aU . Suposa em conegu s els esul a s gene als d'algeb es de Banach, que es poden oba , pe exemple, a Zelazko 1281 , aix1 com el e e en als es- paisde Ha dy, .H P ,( 0 < p <  )  i especialmen 1'es udi de H" com a . álgeb a de Banach, que es oba a Ho man 116] La p ime a pa d'aques eball, que co espon als dos o ime s capí ols, ha consis i en assaben a -se del es a ac uald'aques es qües ions . Els es da e s capí ols co esponen ja a 1'es udi d'algunsp oblemescon- c e s . Els esul a s més in e essan s que he ob ingu s6n, po se , el Teo ema (4 .8 .), en quan a álgeb as gene ades pe p oduc es de Blaschke, i els Teo emes (5 .1 .) i (5 .13 .) pelque a e e éncia a subálgeb es de L c* que con enen H ** . Finalmen , old iamos a el meu ag aimen al D . Juliá Cu i, pel mol que m'haajuda en o momen , així com a o saquells que d'alguna mane a o al a hancon ibui a e posible aques eball . 1 . In e polaci6 i Teo ema de la Co ona Sigui X un espai opologic, F un subconjun de X i M una amiliade uncions con inuesa X . . En end em pe "p oblemad'in e polaci6", el e de oba , pe a cada unci6 con inua g a F, una unci6 de M de mane a que I F = g . Un exemple conc e d'aques a si uaci6 ens el d6na el Teo emade Tie ze : Si X és a a un espai no mal, F un anca de X i M el conjun de un- cionscon ínués a X a alo s complexos, C(X) ; semp e és posible, donada s una unci6 g con inua a F, de oba eC (X) de mane a que IF = g . En el casqueens in e essa, 1'espai opológic que conside a em se á el disc, U, de cen e 0i adi 1, en el conjun Q delsnomb es complexos . La amilia de un cions se á semp e una álgeb auni o me de uncionsholo- mo es i aco ades a U . D'aci que el conjun F no pod á se al a cosa queuna successi6de pun s, amb la condici6 E (1- ~n~)  + m , que a pa i d'a a en di em "suc- n=1 cessi6 de Blaschke" . En pa icula , ambé es po conside a el cas d'un nomb e ini de pun s . Al 1916 i 1919 Pich i Na anlinna a en demos a que dona s n pun sde U, { wl, . . .,wn}, la condici6 necessá ia i su icien , pe alque exis eixi una unci6 , holomo a a U amb (zi)=wi(i=1,2 . . .n) i ambl (z)I 1 : 1 a U,és que la ma iu . sigui semide inida posi i a . Aques acondici6 ja inclou el e de que  {  W 1 ,. . . . wn } siguin pun sde U  . P4és ende an R .C .B ick plan ejá el p oblema de ca ac e i za les sucee- ssions {z n } "uni e salmen in e polan s" és a di , ala que pe a o a sucessi6de nomb es complex :cs{ w i} , aco ada, es pugui oba . una unci6 , de H',  amb (z n )  = w n .  s a en oba soluciona pa cials pe Hayman i Newman{20l . Newman les ca ac e i zá com  aquelles successions {z n } que complei xen : (C)  n  Z k - zj j 91 k  l - z . J 6 > 0 , ( k= 1,2, . . .) (N)  É  I (z ) j  (1 - Iz k j) <+ - pe a cada e H 1 Al ma eix emes, 1'any 1958, Ca leson 27 demos ó que (C) és condici6 necessá ia i su icien pe a ga an i que {z n ) és uni e salmen in e polan , demos an dones que (C) implica (N) . Newman a demos a aue el p oduc ede Blaschke, b, associa a una successi6, que . compleixi la p opie a (C),és al que exis eix e >O, de mane a que {z E U :Ib(z)I= .e} és una unió disjun ade co bes ancadas i cada una con é un i un sol e me de le successi6 . Degu a aques e , les suc- cessions {z k }, que compleixen la p opie a (C), s'en diuen " uni o memen sepa ades" , e me in odui pe Du en . Amb 1'a icle de Ca leson, es a anca el p oblema que ha ia plan eja Ruck, o i que s'hanana en gene ali zacions . Pe una successi6 {z n } , de pun s di . e en s del disc U, que s'acumulin a la on e a, de ini :n 1'ope ado Tp , a .l[ :spai de üa dy Ii p (0 < p <, -)  pe 2 Tp  ( )  =  {(1  -  1z  1  ) y p-  (z } . .)}  E  Q1  si  p<1  i T m ( ) ={ (z k ) } pe p =- El p oblema d'in e polaci6, desc i an e io men , no és al e cosa sinó ca ac e i za les successions {z k } , als que T. (H ) = l' . Shapi o i Shields [247 an demos a , que 1 pe a l 6p  ~, ambées compleix, Tp (I? p ) = 1p si i nomes si { zk } és uni o memen sepa ada .Més a d Kabaila ,  . ho a gene ali za al cas 0 < p <1 Sigui E un subconjun obe de la ci cum e éncia uni- a , T . Designem pe II -F , al conjun de les Funcions, holomo - es i aco adesa U,que s-Las enen con inuamen a E . Di em que un subconjun S de UUE ela i amen anca , és un conjun in e - polan pe a HmE , si pe a o a unci6 g, con inua i aco ada a S, hi ha una unci6 E HF , de mane a que l 5 = g . Al 1955 W . Rudin [211 , ca ac e i zá els conjun s S c T, in e polan s pe a H-T = A,  comels subconjun s de T de mesu a ze o . Al 1969 He a d i Wells [151 , en se i aques esul a i el de Ca leson [ . 21 , demos an que S és in e polan pe a H < ' 0 si i només si, S (1E é mesu a ze o i S (1 U és una successi6 i la no aci6Rl = {,ue M (X)  :~( )  = 0  V eR . ) i análo- gamen pe ( RAS 1 )  . En aques e mes enim : (1 .1 .) Teo ema R ¡S és ancada aC (S)  si i només si exis eix k <1, al que  1  S + (R) S ) 1 1 1 G k 1 [^ 1 1 , pe a o a / ,i eR l Demos ació .- Ion Sucin [17] pag . 57 (1 .2 .) Co ol " la i R 5 = C(S) si i només si exis eix k <l al que S  ii~ k  ~/  pe a o a  u- E Rl e gem  a a  (b) 4  (a) n (C) .  Si  es  compleix  (k ;) , podem cons ui una unci6 e A, amb ) K= 0 i 9 ' 0 .Com.que necessá iamen log l 1 e Ll (T) enim que m (Y .) = 0 . Si diem S = K u { z n : n e IN }i de inim 1'ope ado : la condici6 (b) ens diiz que Ti, és un epimo isme en e els espaisde Banach A i C (S) . A 1'igual que Ho man [161 pag . 196, passem el quocien i apliquemel Teo ema de 1'Aplica- ci6 Obe a ; alesho es ob enim, en pa icula , la condició (C)  i  d' ac  es  é que  l  z k -z j  - / 6  7 0,  on6  = J ~ k  -  a 1-z~ .z k aixó és el ma eix quedi que la successió és uni o me nen sepa ada . Passem a a a demos a (a) iCC)  () ) . G ácies al Teo ema de Tie ze, només ens cal eu e que C(S)=AI S i pe (1 .2 .) n'hi ha p oude eu e quepe a o a a eA 1 , 0, és  / " S  ~  k < 1 . 2 0 Sigui X = S uT - iconside a em l'álgeb a del disc, A, com  una álgeb auni o mesob e X . Siguin X n = T u{  z 1 , . . .z i  ~ n la unci6 ca ác e ís ica  de X n  . Pe cada  m e A i , siguin M n  1n " . Aplican el Teo ema de la Con e géncia Monó onaob enim que {/" n } - agamen ; aix1 dones, només enscal eu e que exis eix k, 0 <k <l, al que n e IN i pe a o a E M {X n )  ,  e A1  es compleixi  11 / ' SI 1  , k 11 / i 11 Pe una  JM e M  (X n ) /1 A l ,  enim que  M = a 1 6 ! +  ., .  +  a n 6 n + T  .  Vege : . qui  és  T .  Pe  a  o a E A,  a 2 dC Pe cada j = 1,2 . . .n , sigui zj = je le j , i sigui Pj = P . J  (6 7  - )  el nucli de Poisson co esponen a zj ; pod em esc iu e alesho es :  d  _  P 2  dm  +  . . .  +  n  P n dm-,, Ty 6 1  ( ) , 11  S i 1 6 1 + . . .  +  a n 6 n - ~ T 1  =  6 1 ( ) . e A  pe an -  2  P2 dm+ . . .+  -  n P n dm -~ T 1  a 1 és una mesu a,supo ada pe T, que ep esen a el ca ác e necessá iamen és P 1 dm i pe an : / T  (~ l P1 dm + . . .+X n P n dm) = Q dm, amb Q e L  . Tenim doncs4= 1 1 6 1 + . . .+ X n  6 n + Q dm ; així S  1  1 +"'+  n  n ' jaque m (K) = 0i T és abso- lu amen con inua ;  pe an  1 1,Mi 1  =I a  11  + . . .+¡a  ni  +i i Ql  dm, =I 1,  1  + . . . + I a . n  i L  S11  =  1 a 1 1 + .. . + IX lI + . . . + la nI + IIQI dm Ens cald ia eu e que la da e a exp essül'és mes pe i a que ce a k, més pe i a que 1 . Suposa em el con a i ; alesho es exis i á una successi6  (/" n), amb %n e A  , ^ n 9¿ 0, / nT = Qn dm, que compli áj IQn1 dm -> 0 . Pu .^ . suposa ambé n que n = a d  , + . . .+ a (n)'5 (n)+ Qn dm,' amb a (n) =1 (sino di idi em pe 1'ul im a l di e en de ze o) . A pa i de la condici6 (C) podem oba , pe a cada n, una unci6 (n)de A, amb (n) (z (n) ) = 1 ' (n) (z m ) = 0 si n YÉm i amb 11 (n)II  :!5  a  ;  lla o s j (n)  d % n=  0  implica /T (n) Qn = -1 i aixi : 1= ( / (n)Qn dm I 1a ¡I Q n I dm ->0 n -> que és absu d . Sigui a a, co o déiem abans, M una subálgeb a de H °° que con é A, es able, al que cadaca ác e , que es p ojec a a U, es á ep esen a pe una única mesu a, sob e la on e a de Shilow .  i alque aques esmesu es s6n absolu amen con inues espec ed'una d'ellas, diguem-ne dm o ; alesho es es compleix : Si {z n } és una successi6 de pun s de U, que s'acumulen a un conjun K, con ingun a i m 0 (K) = 0, alesho es s6n equi alen s : 2 2 (1 .3 .) P oposició (a) Exis eix una successi6 ( n ) i una . cons an a, al que n e M II n1I 6 a  i n (zm) =6 nm ( b ) Si posem S =_K j { zn } n E IN  , M is = C (S) Demos aci6 .- És exac amen la ma eixa que hem e pe a 1'álgeb a del disc . Déiem- abans que e enexemplesd'aques esálgeb es qne conside em .  lesque e an es ables, log .modula s i gene ades pe p oduc es de Blaschke, com les del ipus H E 6  H m /1 CB C 71 . Anem a eu e-ho . Necesá a em en p ime lloc el següen Lema : (1 .4 .) Lema Si R és un álgeb agene ada pe p oduc es de Blaschke i X e Sp (R), s6n equi alen s : a) IX (b)j = 1 pe a o p oduc e de Blaschke b e R b) X e P (R)  , (F on e a de Shilow de R) c) X e Sp (C * (R) )  (C * (R) = C * -álgeb a gene ada pe R) . Demos aci6 .- Es áinclosaen els Teo emas 3 i 4 de 1'a icle de Douglas i Rudin C121 ,ja que en ellsesen- cialmen només es necessi a que 1'á1geb a es iguigene ada pe p oduc es de Blaschke . (1 .5 .) P oposici6 Si R és una álgeb agene ada pe p oduc es de Blaschkees able i cada ca ác e , que es p ojec a a U, es á ep esen a pe una única mesu a, posi i a,supo ada pe la on e ade Shilow I' de R , alesho es a a mesu a, que ep esen a 1'a aluaci6 en un pun de U, és absolu amen con inua, espec ,e la que ep esen a1'a aluaci6 a 1'o i- gen,  dm 0  . Demos ació .- Pe  (1 .4 .)  enim C ( )  C C ()()= Le* . Sigui aun pun de U i esc ibim a =  .  ejo  .  Sigui P (e - ) el nucli de Poisson co esponen al pun a . El uncional -~ i ñ n  ( ' e' )  P (9 - )  d és una mesu asob e n al que Pe uncions de H ep esen a 1'a aluació al pun a,S a . Pe es icció, ens dona á una mesu a sob e ,dm a que ep esen a á al ca ác e a a a R ; sabem ambé que aques a és  Púnica que ep esen a a . Diguemdm o a la mesu a sob e que ob enim pe a = 0 . Tind em lla o s : dm a - 71 J~ (e'' ) dm o  =  7T  7  (e l )  d J n P ( Sigui P la p ojecció de a T . Conside em P (o - ) com a unci6sob e T i diguem P = P (0 - ) o P, lla o s P ae C( ) i ambé : 1 2 és  a  di ,  dm,,  =  P,,,  dm 0 Si M és unasub .álgeb a de H m , que con é A, gene ada pe p oduc es de Blaschke i log-modula , alesho es cada me- su a, posi i a, que ep esen i 1'a aluació en un pun cK de U, és absolu amen con inua espec a~á e la que ep esen a 1'a aluacib a ze o . Aques esul a s'aplicaen pa icula a j P dm o = (1 .6 .) Co ol .la i H E  i H °° /1 CB P (0 - ) d = dm 2 . El P oblema de Douglas En el nos e eball, hem es udia p opie a sd'al- gunessubálgeb es de H~ que con enen A . Aques es álgeb es s6n enca a bas an desconegudes (ja hem di que, pe exem ple, no es an ca ac e i zades les que enen la p opie a de la co ona) . No passa el ma eix pe a les subálgeb ea de L- que con enen Hm . Sabem ac ualmen que o asubálge- b a ancada, B, de L' que con é H m , es á gene ada pe H - i pelsin e sos del p oduc e de Blaschke in e ibles a B . Aques a ques i6 ha ia es a plan ejada pe Douglas  l'any 1968 ; anem a e -ne una micad'his b ia . Al 1953, We me demos ó que 1'álgeb a del disc, A, e a maximal en e les subálgeb as ancades de C(T) ; aixb diu, en pa icula , que donada de C(T) A, o aal a unci6con inua es po -ap oxima pe polinomis en amb co .e icien s aA . Anem a eu e com el p oblema de Douglas és e en ce a o ma, unagene ali zaci6 d'aques e . Al 1960 Ho man i Singe donen una al ademos aci6 del Teo- emade We me , que aplicada a H- , ensdiuque o a sub- álgeb a ancada B, de L que con é Hm , con é ambé a C (T) (que d'a a en ende an ep esen a em pe C) . Uns anys des- p és, al 1967, Sa asondemos a que la mínimasubálgeb a de L- , que con é H m i C, és H - + C ; obse em qeepe a aques a subálgeb a, els únicsp oduc es de Blaschke in e - 26 ibles son els ini s, pe an , pe a B = i°' + C la qües- ió de Douglas é espos aa i ma i a . Fou al 1968 quanDouglasplan ejá el p oblema que po a el seu nom, mo i a pe 1'es udi dels ope ado s de Toepili i .Si P és la p ojecció de L' ° (T) aH 2 , es de ineix, pe a QE L °° , 1'ope ado de Toepli zTQ a H 2 pe : TQ ( ) = P ( .Q) , E H 2 . Disposem doncsd'upa co es- pondéncia en a uncions de L ° ' i ope ado s de 11 2 . En aques a si uació, s'obse a que T Q es in e ible o de F edholm segons la subálgeb a de L- a,que pe anyQ ; e a doncsin e- esan es udia áques es subálgeb es . Poc empsdesp és de es a plan eja el p oblema de Douglas, Douglas i Rudin 1 121 el esolena i ma i amen pe a L o ; demos an que o a unció de L' ° po ap oxima -se pe una exp essió b . Q, on h es el conjuga d'un p oduc e de Blaschke i Q una combinac ó lineal de p oduc es de Blaschke . Cal no a ,pe d, que es a asense espos a la qües ió,plan- ejada emps abans, de si H °° e a o no gene ada pe p oduc- es de Blaschke . Successi amen apa eixen esul a spa cials ; Sa ason esol a i ma i amen el p oblema de Douglas pe a 1'álgeb a gene ada pe H °° i pe les uncionscon inues a T -{1} amb limi s la e als . Da ie, Gamelini Ga me [97 el esolen, ambéa i ma i amen , pe a les álgeb as [Hm L-E ] , gene a- des pe H' i pe 1'álgeb a de les uncions de L" con inues a un subconjun E de T, L E i demos an ambé que [H 0 , L-E]= a S'ha iaobse a que si el p oblema de Douglas enia espos a a i ma i a s'ob enia, en pa icula , que dues sub- lgeb as de L o que con enen H m , amb el ma eix espec o, e en iguals Al 1974, Sa ason[231demos a que una subálgeb a de Lm que con é H' , amb el ma eix espec é que H m+ C, és H - +C . Aques a icle és el que dóna el cami ) e a esold e el p oblema de ini i amen ; egem-ne una mica les idea ge- ne als . Pe a una unció e L 1 i pe a un a c I de T es de i- neix : ~I dm ,¡I ll . = Sup  1  I I - Ildm m (I) es diu alesho es que és d'oscil .lació mi janaaco ada ( 6 B .M .O .)  silI Il  ,  <+ -  . Sa asonin odueixlla o s 1'espai V .M .O . de les uncions, que en diu, d'oscil .lació .nul .la, qee consis eix en les uncions e L1 que complei- xen : lim Sup a --,0  m (I)  !1-  a G ácies als eballs de Fe e man i S ein sob a1'es- pai B .M .C ., Sa ason consegueix demos a que Q .C .= V .M .O .n L o (on Q .C . és el subespai de les uncions de H"+ C, que enen la se a conjugada a Hm + C) . Pe al a banda, Douglasha ia obse a quepe a H O + Cla in eg al de Poisson e a "asimp- o icamen mul iplica i a", es a di : lim  Il g - ( .g) 1l =0  pe ,g de H' +C - " 1 la in eg al de Poisson és ambé asimp b icamen mul iplica- i a pe a B . A pa i d'aques e i de la ca ac e i zacid de 1'espai Q .C ., .es euque o a uncib in e ible aB és de Q .C i lla o s esul a inmedia amen que B = H - + C . Un any desp es de .l'a icle de Sa ason, Chang C67 gene ali za aques eball, demos an que duessubálgeb as de L °° que con enenH" , amb el ma e¡% espec e i _essen una d'ellas "de Douglas", sbn iguals_ En p ime lloc demos a aques esul a pe 1'álgeb a gene ada pe H - i el conju- ga  d'un p oduc e de Blaschke [H - , b ] . Fixem-nos que Sa ason ho ha ia demos a pe [H - ,  z] .  Si pe [H - ,  z] _ H ° ' + C s'u ili za a el compo amen asimp b ic de lain eg al de Poissón, pe [H - , b] s'u ili za el següen compo amen asimp b ic : on  G 6 = {z e U :1 b(z)1  >/ 1-ó}  . Aques a p opie a ,  apli- cada a un p oduc e de Blaschke, la demos a em nosal es més ende an jun amb d'al es ca ac e i zacions dels p o- duc es de Blaschkein e ibles a [H , El . 28 Sa ason demos a que si S p (B) I = S p (H - +C), lla o s lim  Sup I (z) g (z) - ( .g)  0  .g eB 5 -+ 0  z  e  G 5 En aques asi uacib, la solució del p oblema de Dou- glas sembla a p ope a i en e ec e ., uns mesos més a d,Ma shal [19) a dona el pas inal . Conc e amen , en aques a icle Ma shall demos a que o a subálgeb a B de L que con ingui H °° , é el ma eixespec e que 1'álgeb a'B i , gene ada pe H - ¡ pels conjuga s dels p oduc es de Blaschke in e ibles a B . En un al e a icle, del ma eix emps, Ma shall (181 demos a que H' es á gene a pels p oduc es de Blaschke, que com hem di aueda a penden desde éia emes . aques esul- a , enca a que les écniques,que s'u ili zenibe a la se a demos aci6, s6n mol di e en s de les que s'aplique :pe al p oblema de Douglas, pod iesm di que el comple a,ja que a pa i d'aixó es po a i ma que o a subálgeh a de L °° , que con é Ii' , es á gene ada pels p oduc es de Blaschke, jun amb el in e sos d'aquells p oduc es .que siguin in e ibles . Si B és una subálgeb a de L - , que con é H- , di em CB a la C -álgeb a gene ada pels p oduc es de Blaschke in e - ibles a B . Sabem pe la soluci6 del p oblema de Douglas que B = [H - ,  CB 1  .  Es  sabia  en algún cas que  [H' °  ,  C B ] =  Ii °° + CB (pe exemple si B = H' +L E ) . Chang ho demos a en gene al i póc desp és Chang i Ma shall X77 en donen una demos aci6 més senzilla, basada en un Teo ema cla'ss i -de Ne anlinna . En aques ma eix a icle, demos en que pe a o a álgeb a ancada D, H ° ' 1 C B - D c CB ,  é espos a a i ma i a el p o- blema de Douglas, és a di , D es á gene ada pe H °° (1 CB jun amb el5 in e sos dels p oduc es de Blaschke in e ibles a D . Aques esul a , aplica al cas B = L m , ens dóna la soluci6 del p oblema de Douglas i, pe B = [H m , z] , con é el Teo e- ma de Maximali a de We me , del qual el esul a de Chang i Ma sháll n'és pe an una gene ali zaci6 . En aques es condicions, de 2 .17 i de 2 .24 de C 8] es segueix que (z,b] é la p opie a de la Co ona . A més a més, ob enim ambé que M es á o ma pe ib as M a , sob e cadapun a e U ;  si a e U 6 si ae T i b des én con inuamen a a  , A9 a es á o ma pe un sol ca ác e , que és 1'a aluaci6 en el pun a, 6 a en cas con a i, M a s'iden i ica ho neo- mo icamen amb CT, en co espond e a cadaca ác e el seu alo a b . A pa i de (1 .4) i ambles condicionaan e io s, ob enim que la on e ade Shilow de [z,b] , , es á o ma da pe ib as a sob e cada  a ET, si b s'es én con inuamen a  a , a = { a ?  ;  si b no s'es dn con inuamen , i  s' iden i- ica amb T, en co espond e a cadaca ác e el seu alo a b . 3 6 Lis p egun es que ens plan eggeimi a a s6n ic3 ócgücia S : Pod ia se [z,b],pe a ui ce p oduc e de Blaschke b, igual m a H /1 C B , pe a una subálgeb a B de L , que con ingui H Pod ia se [z,b] igual a F¡ » n C pe a una C -álgeb a a^?Quins p oduc es de Blaschke hi . ha a (z,b] ? En p ime lloc, ixem-nosque de 5 .8 de (8] ob enim que, si b é un Gnic pun d'acumulaci6  de ze os,a e T, alesho es [ z,b] = [ z,b, z ,b ] 11 H m , es a di , pe a a' =[z,b,z,b], [z,b)= = H , /1 a - . eu em que no podem ob eni aques esul a pe a = CB ,  pe a cap subálgeb a B de L °° , que con ingui H co . (4 .1 .) P oposici6 Sigui B una subálgeb a ancada, H - c B <=L' i sigui C B , la C~ ál :geb a gene ada pelsp oduc esde Blaschke in e - ibles a B . Si be H'/1 C B és un p oduc e de Blaschke ;alesho- es o di iso de b és ambé de H °° /1 C B Demos ació .- En enem pe di iso de b  un p oduc e de Blaschke b 1 , de mane a que exis eixi b 2 al queb=b 1 .b2 . Ens cal eu e b1 eC B .  Comque b e H'11 CB ,  lla o s b és in- e ible .a B, és a di , b e B i així 1=b .b = b1 (b2 .b) ; pe an b 1 és in e ible a B,  és a di , b 1 e H' /1 CB . (4 .2 .) Co ol .la i Si b és un p oduc e de Blaschke, amb un sol pun de discon inui a a , aET ; alesho es (z,b 2 ] no po se mai m H  /~ CB ,  pe  a  cap B  (  Hm G B  c L  ) . Demos acib .- Si [z,b 2 ] os H'ñ CB pe a una ce aB,pe (4 .1 .) b  e [ z,b 2 ] i lla o s [ z,b 2 ] _ [z,b 2 .b 3 ] . Aixo con a diu 5.5 . de [ 8 ] , ja que allá es demos a que [ z,b 2 ,b3 ] no és mai H n ~, pe a cap c, C - álgeb a . Demos a em a a una p oposició que a em se i més ende an . (4 .3 .) P oposició Si {b1, . . .lbn, . . . }és un conjun nume able de p o- duc es de Blaschke i [z,b l ,.. .bn, . . .3 1'álgeb a que gene- en, alesho es si [z,bi .. .lbn . . .]= I /) C B , necessá iamen B = [H °°, b1 , . . .,bn, . . . ] . Demos ació .- Si {b l ,. . . . b n . . . }¿_ - CB , alesho es {  b 1 , . . .,b n ...  } cB i  lla o s [H' °  n ""j  c B .  Si 1'inclusió o a es ic e, pe la solució del P oblema de Douglas, exis i ia un p oduc e de Blaschke b al que 3 7 b  6 B  [H ~,b l . . .,  b n , . . .]  ;  pe ó  lla o s b e .C B  i pe an b e Iz,bl, . . .lbn, . . .~  C ( H ', bl . . .lbn," . ] , que és absu d . g (4 .4 .) Lema (4 .5 .) Teo ema amb U ; amb aques a iden i icaci6 esul a que, si b = a = b IM , b a = z  i  (z,b] a = { IM : E Cz,bD = A a ( ep esen a á semp e la ans o mada le Gel . and de ) Volema iba a eu e que [z,b) no po se mai H/1C B ; pe aix6 necessi a em el següen esul a . Si ,g, s6n dues uncions de 1'álgeb a del disc A, amb z = .g, alesho es una d'elles és in e ible a A . Demos aci6 .- Si z = .g, necessá iamen una d'elle .s és ze o a 1'o igen . Suposem (0) = 0, com que 1= 'g + g', esul a que g (0) 9¿ 0 i així g (x) q¿ 0 bx C [7, pe an 1 E A , c, ,d . Si b és un p oduc e de Blaschke ini , [z,b]= A = m = H~  14 % (`  R = H  s (` Icncm nnm  n ~ . .  B . P°_ - -  . . . , . . ._ .,~ .. . , ., . . ., _ . ._- d'aques cas, [z,b] no és mai H' n C B . Si b és un p oduc e de Blaschke, amb in ini s ze os, [z,b] no po se mai H ~n C B , pe a cap subálgeb a B de L- que con ingui H Demos acié .- Sigui M- S p [z,b] , sigui a E T un pun en qué s'acumulab  els ze os de b . Di em b a la ans- o mada de Gel and de b .Sabem que la ib a M a s'iden i ica Sigui {z n }  una successi6, de ze os de b, que s'acu muli en el pun a ; sigui b' el p oduc e de Blaschke que é ze os {z zn } . Pod em esc iu eb = b' .b" , on b ' se á un al e p oduc e de Blaschke, amb un conjun de ze os que s'acu mulen ambé a a . Si os ce que [z,b ; .= Hw 1CB, pe a una co a B, n pe (4 .1 .)  sabem que b'¡ b~ : e [z,b] .' Siguin a a ba = b ~"M  i a b #1 = ido ; )M  ind em lla o s que z = aa = b' b'' , és a di , es em en les hipó esis de (4 .4 .) i a a pe an b' 6 b'' se á in e ible á A . Diguem, com som- a a p o, '7= S p  (H - ) ;  b'  (7  )  =, 5 i pe an hi ha un ca ác a  _ e de H ., X 0 , amb X 0 (b') = 0 . Res ingin X 0 a [z,b] ob enim un ca ác e , de la ib a a, en el que b' s'anul .la, pe an b' no po se in e ible . El ma eix aonamen s'aplica a b'' i pe an hem a iba a una con adicci6 . c . .d . Sabem que si HW  B c L  , lla o s z e B . També hem is  a  (3 .4 .)  qué si H l C B D  c C B ,  lla o s  z eD .Podem p egun a -nos qué passa pe [z,b]  [z z,b,b) ; pe exemple podem p egun a -nos si z el z,b,b] . La demos aci6,en els casos an e io s, depén del e  que an H com H  CB són log-modula s . Veu emnosal es que, enca a que [z,b]no és log-modula , si és ce que z e [z,b,bl . (4 .6 .) P oposici6 Si b és un p oduc e de Blaschke, amb in ini s ze os que s'acumulen en un subconjun E de T, de mesu a ze o, ales ho es[z,b] no és log-modula . Demos aci6 .- Demos a em que hi ha ca ác e sde [z,b] ep esen a s pe més duna mesu a posi i a, sopo ada pe la on e a de Shilow  de [ z,b ] .  Sigui  M = S p [ z,b ], sigui ob e E i sigui X 0e Mi O el ca ác e de ini pe X O (z) - a bi X O (b) - b (0) = A 0 Anem a oba dues mesu es que el ep esen in . Sigui dm 0 la mesu asob e ,0, que s'iden i ica amb dm, a 1'iden- i ica  Fa 0 amb T . Sigui a O = . e le , sigui P~ 0 la uncib sob e a0, que s'iden i ica amb el nucli de Poisson P (e - ) . De inim les seguen s mesu es 1M ( )  =  JT E  IT E  dm  + / I'  1  a 0  dm 0   e c( ) a0 2 ( )  p xO dm 0  e  C( ) a 0 Com que E és pe hipb esi de mesu a ze o,la in eg al a T E es po conside a com  una in eg al a T . Vegem quins - . alo sp enem 1 i 2 a z i b . ep esen en a a O . c . .d . (4 .7 .) P oposició b  [z,z,b ] . 40 1 (z) = J T  z dm + T a 0 dm = 0 + a0 = a0 1 p (b)  =  T  b dm + T  z dm =b  (0)  + 0 =a 0 2 (z)  = 1T  P a0  a0  dm =a0 '2P( b)  =  'T  p  ( 9-  )  e l  dm  = Pe an enim les dues mesu es posi i essob e , que Sigui b un p oduc e de Blaschke amb in ini s ze os ;si [z,b] és es able,alesho es  z e [z,b,b ] ; en can i Demos aci6 .- Vegem que 6 0 no'z'es én a ( z,b,b ] . Su- posem el con a i,és a di que  s'es én a [ z,b,b ] . Sabem que, a [ H ' , b ] , les e'Ñp esgions del ipus »m , , amb e H m , són denses . De inimX ( bm , ) =60 (bm ) .6 ( ), 0 . s'es én a un ca ác e de [H ' , b~ ja cue 1 X 16 0 (b  )  1'  .  1  (0)  1=  1 (0)  1 !5-1 11  11 =1 .1b m  .   11 Així doncs, igual que a (3 .4 .), esul aque[H ~,El= H' ; que és absu d . Pe al a banda,apa de 60, z no po anul.la -se a cap ca ác e de [z,b,b 1 ; sin6 es ingin -lo a [z,b ] esul a ia que 1 z,b1 no és es able . Pe an , com que 6 0 na,s'es én, z no s'anul .la a . hespec e de 1 z,b,EJ , d'aci - qúe z és in e ible a 1 z,b,b1 i aixi z e1z,b,b1 Obse em que b 0 [z,z,b]  , pe quésiné b se ia in- I e ible a [H ° ' , z] i aci només són in e iblesels p oduc- es de Blaschke ini s . c . .d . Anem a eu e a acom són les uncions de [z,b] i comsón les uncions in e nes, en el cas de se b un p oduc e de Blaschke, amb in ini s ze os i que s'acumulen a un pun de T O a . (4 .8 .) Teo ema Amb les hipó esis an e io s, es compleix : a) e [ z,b] si i només si = h o b + k, amb h, keA i k (a) = 0 b) Siamés és in e na, alesho es h és un p oduc e de Blaschke ini . Demos aci6 .= a)  Sigui M = S P [z,b]  . En el nos e cas M = ( U -  {a} )  u M a i Y "ás homeomo aD . Sigui e [z,b] i = ~M ; a s'iden i ica amb una unci6 h e A . Con ije a  a els polinomis en z són densos a A, exis i á una successi6 ( Pn (z) ) amb ( P n (z) ) - h(z) uni o memen . Conside em la successi6 (P nd b), lla o s (P n o b)  (z) --,,(h o b)  (z) uni o memen i pe an h o b e [z,b] . Si conside em a a (h  ó  b) a  ,  esul a  que : ._ (h  o  b)a  n  a ,  es  a  di ,   -  h  o  b és una unci6 de Iz,b] nul .l aaM . Com que b és con inu a a T -{a) ,  -h o b esul a se con nua a T i aüí - h o b=k e A, amb k (a) = 0 . El ecíp oc és inmedia . b) Al se in e na, sabem de [8]que ( M ) aU, és a di , si h és la unci6 de A amb qué a s'iden i ica a ; h (Ú) =ü . Aix1 h és una unci6 in e na de A i pe an un p oduc e de Blaschke, amb un núme o ini de ze os . c . .d . aix . Hem is a'(4 .5 .) com, al descomposa b en dos p o- duc es de Blaschke, amb in ini s ze os, b = b' .b ''  , esul- a a que b',b '' 0 Cz,bl,  És cia , pe 6, que els p oduc es de Blaschke ini s s6n a [z,bji ambé hi s6n els p oduc es que esul en de eu e-li a b un nomb e ini de ze os, ¡a n eiz,b] és es able . Pod ia pensa -se que aques s són els Gnicsp oduc es de Blaschke de (z,b] Vegem que no és '(4 .9 .) - P oposici6 Si b és un p oduc e de Blaschke, amb in ini s ze os ; alesho es a [z,b]hi ha p oduc es de Blaschke que p enen el alo ze o en in ini s pun s, en els quals b és di e en de ze o . Demos ació .- Si h és un p oduc e, amb un nomb e i- ni de ze os, alesho esh o b és una unció in e na de [z,b] En pa icula , h o b és in e na si h = X - z  I i a eU . Sabem de L161pag . 176, que exis eix una successib a _ z ( an)  ¡>O, de mane a que, si h = n _  , h n  1-An z  n ( a n) , e b és amb un p oduc e de 3laschke . Tenim doncs, pe a cada a n , un p oduc e de Blaschke, de 1z,bJ . , que é pe ze os els in ini s pun s en qué b p en el alo )`n . Hem es udia álgeb asgene ades pe z i pe un sol p oduc e de Blaschke b . Anem a conside a a a álgeb asgene- adas pe z i pe dos p oduc es de Blaschke . Siguin b l i b 2 dos p oduc es de Blaschke amb ze os que s'acumulen a El i E 2 espec i amen . Si E liE 2 són de mesu aze o iEl n E 2 = j! , a .1'igual que en el cas d'un sol p oduc e, 1'espec e de [z,bl,b21 es á o ma pe U Elu E 2 ,  jun amb ib es M a pe a ae E l u E 2 ,  amb M a homeomo a a U . En aques cas es compleix ambé la P opie a de la Co ona . En el casen aué E l n E 2 y£  0, no sabem ja quinés 1'espec e de [z,bl,b21 , ni sabem ampoc si es compleix b no la P opie a de la Co ona . Conside em E l =E 2 = {a}  i de inim : C ( a,b l )  _ { a e T  3 (z n )  successib de U (z n ) -- .a ,~ b l (z n ) (z n ) amb C  ( a, a 1 , b 2 )  ={a e Q  1  3 (z n )  successibde U amb -,  a  b l (z n ) -> a 1  b 2 (z n ) . )~} aixíes de e mina l'espec e de [z,bl] i es demos a la P o- pie a de la Co ona . Pe a l'álgeb a z,b1,b2 1 , la P opie- a de la Co ona és equi alen a eu e que b2 (me a 1) _ = C ( a,a 1, b 2 ) ; pe o ampocno hem pogu demos a aques a condici6 . Dawson C8] demos a que  b 1 (M a )  = C (a,b 1 )  = II Hem is a  (4 .5 .)  que [z,b] no és mai H- n C B i pe an , ampoc és mai H w E' En el p ope capi ol, demos a em que H E  no po es a gene a pe un conjun nume able de p oduc es de Blaschke . El . cami que segui em no se áes udia les álgeb as [z,bl, . . .bn, . . . .] di ec amen , sin6 que es udia- em . les álgeb as H O' +LE  i la se a elaci6 amb H- E . M a ={  X  e S p [z,b l ] 1 X (z) = a } Maal = {X e S p z,bl,b21 1  X (z)  = a , X(b 1 ) = al }, 5 . Relaci6en e B i H °° 1 C B En aques capí ol, ens p oposemd'es udia la elaci6 que hi ha en el'espec ed'unasubálgeb a B de L" , que con é H' i 1'espec ede HW /' C B (on CB és, com semp e,  la C - álgeb agene ada pels p oduc es de Blaschkein e ibles a B) . T ac a em ambé  al es qües ions, com a a és la ca- ac e i zaci6 dels p oduc es de Blaschke, in e ibles en 1'álgeb a [H - , b] ( on b és el conjuga d'un p oduc e de Blaschke b)  i ambé, la no sepa abili a de H E, pe un sub conjun E de T . De Chang [6] es dedueix que un p oduc e de Blaschke b l és in e ible a 1'álgeb a [H°°, b] si i només si es com= pléix : lim  Sup  I b l (z) . b l (z) - 1 = 0 on b -~ 0  z e G s G s =G s (b) _ { z e U : I b(z)i >, 1 - 6} aix~ ; és equi alen a que b E >0,  d  0, de mane a que G S (b)  C  G e (b l )  . Anem a dona a a una demos aci6 di ec a d'aques e , jun amb d'al es ca ac e i zacions . (5 .1 .) Teo ema Si b, b l , s6ndos p oduc es de Blaschke, alesho es s6n equi alen s : Sigui a a e L - , una unci6 qualse ol, amb una g e B . Sabem que es po ap o de p oduc es de Blaschke i d'in e són de B, pel que és adhe- IT-E = g 1 T-E pe a xima pe combinacions sos d'aques es [121 ; aques es combinacions que acabem de demos a ; alesho es, esul a en a B ; pe an de B c . .d . Ens podem ambé p egun a una qües i6 semblan en qué Z a= 17a pe a o  a  d' un obe de T,  E . e B ambuna unci6 g e H + C que  (S p  (H m  +  C  )  ) a  =  a es compleixaques ap opie a . pe el cas Ha de coincidi o a unci6 sob e E (Tinguem p esen Vegem amb un exemple que no 5 2 (5 .9 .)  Exemp e Sigui b un p oduc e de Blaschke, amb ze os (z n ) i (z n )  n . e T  . b e H' +  T -{a} ; si b)T_{a) = g-IT-{a} amb g e H- + C , lla o s b = g, quasi pe a o , es a di b e H -+ C . Aix6és absu d, ja que aci només són els p oduc es de Blaschke ini s . in e ibles Donada B,  H m c B c L °° ,  diguem 17 B= S p (H - n C B ) i com semp e Z = S p (B) ; el esul a al que olem a iba és que Za =7a si i nomes si '7 B = {óoa}  (on 6 a signi ica a  B 1'a aluaci6 al pun a  )  i  Z= X c,  i nomes si '17  _ a a  aa Pe aix6 necessi a em conbixe quina elaci6 hi ha en e una ib a i les del seu ol an . Dona a o = e ¡e 0 e T, siguin E+ = {c, =e le e T  le o < O < e o + n } i E  =  {a  =  e le  e  T  I go  -  n G6  < A o }  "7 E + = {X e '7 1  X (z) e E+ }  , análogamen 7E-  , ó ={ X e  a0  X adhe en a (5 .10 .) P oposici6 de que m(e» > 0 ) . Lla o s enim : si  X 0  e  X~ 0  ;  o  bé  X O (  ~ E +  )  =  1  o  bé análogamen Sabem de(16}pag .166, que an  + com 1 7 s6n di 0  0 e en s del bui . Vegem qué és el que es po di pe a X=Sp(L~) Sigui Y E + ={ X e /(I X(z) eE+ } i análogamen XE -  ,  sigui  1( 0 + _{ X e  ,Ya 0 (  X  adhe en a  X E +  i aná- _ logamen  ~(  ; alesho es es e i ica : "0 Amb les no acions an e io s es compleix : (0 = ^ d0 U X"0 , i o s dos subconjun s s6n di e en s del bui . Demos aci6 .- Siguin ~ E+ i ~E- les uncions ca ac e ís iques de E+ i E espec i amen , es compleix ¢ E+ + ~E- = 1 i ~ E+ . ~ E- = 0 . D'aci es dedueix X O (¢ E )= 1 . Suposa em el p ime cas i egem que lla o s X O e É+ (análogamen si X 0 (0 E +)=1) . Fem la demos aci6 pe educci6 a . -i'absu d . Si X 0 0 X E + , exis i á un en o n que no con ind á cap ca ác e de X E + . Podem conside a aques en o n del ipus {XI  X(~ 6 )-1 1 ,  amb ~ e , unci6 ca ac e ís ica de el c T ; g me- su able .A_més, com . que X0(~E+)=1, X0(~E +n8 .)=1 i pe an subs i uin 6' pe e' n E + puc suposa g c E+ ,  pe al e banda m (e) > 0,sin6  ~ e . = 0 ;  així exis eix  S e e', de mane a que / e S en o n de S, m(9' S ) > 0 (si no os així, e' es pod ia ecQb i pe un conjun nume able d'en o ns de mesu a nul .la, en con a pe an exis eix  Xe x S amb  X(~ e )=1, en con a del que su- posa em . Pe eu e que ~( + i X(  no son bui s es po epe- a 0 a0  _ i la demos aci6 de (16] pe a 7 +  i ~  c . .d . a 0a0 (5 .11 .) P oposici6 1(10 i? ya o  . Demos aci6 .- Les inclusions s6n e iden s ; egem ques6n es ic es . m((1 ~~ e .(z) -11 z e)11e' S ) > o , de' s iVE ; Amb les no acions an e io s 7a  ~y ao  i 0 Sigui (a n ) una succeci6 de pun s de E + (análogamen es a ia pe E  ) con e gen a ao . Sigui b un p oduc e de Blaschke, de mane a que els seus ze oss'acumulin al conjun {  a1 ,  a 2 ,. . .  a n, . . . )  ;  alesho es  Y n  exis eix  Xn e % n am b X n (u, - . EJ . C üjü ü { X . üc II } e8 un compac e e n de 1'espec e '7 de H °° . Sin  és la p ojecci6 de na u , ü ({ Xn : ne IN} )  és un compac e de T que con é { a l , a2 , . . ., a , . . .} i pe an a a o . Aixi doncs, exis eix n X o e'/a _o  adhe en a { Xn  : n e QI } i pe an X o (b) = o ; alesho es  Xo  o Xa o 5 4 (5 .12 .) Co ol .la i Sigui B una subálgeb a de L ' , que con é H-  i sigui Z el seu espec e . Si pe a un pun n de T, Z  , ales- a -xa ho es H-+ L E  B, on E = T -{a} Demos aci6 .- egem p ime que B con é els gene a- do sde H - + L E . Sigui b el conjuga d'unp oduc e de Blas- chke b, con inua E ; alesho es si Xe Z Z , com que b és a con inu a X(z) , X (b) = 1 . Si X e Z , com que Z  = a  aa esul a ambé  I X(b) I  = 1 ;  aixídoncs H - + L E  c :B . Vegem que la inclusi6 és es ic a . Comque (S p (H' + L E)  ) 0  pe a  elspun sde7 a adhe en s a  'E  se án de Sp(H W + L E)  ,  es a di / ~a l/  a  G  S p ( H m+ L E ) a  i pe an Z a-Xa  S p (H ~+ L E ) c . .d . Anem ja a eu e les elacions, que ha i em enuncia en e1'espec e de B i el de H ' !1 CB . (5 .13 .) Teo ema a Sigui B una subálgeb a de L 'que con é H , sigui Z = Sp (B)  i 7B = S p ( H mn CB ) ; alesho eses compleix : a)  Pe a un pun  ade T,  Za  = a  si i només si °'7B = { b a } (on  6 a signi ica 1'a aluaci6 a pun a ) b) Si pe a un pun a 0 és 70 o =)(a o, alesho es hi ha un en o n e' de a0, de mane a que pe a o a de Cl sigui Z a  - x a c)  Pe a un pun  a  de T,  Za =xa si i només si Demos aci6 .- a)  Suposem p ime quen7 B = (6 a }  , a alesho es o a unci6 de H ' n C? . .-ees én con inuamen a a En pa icula , o p oduc e de Blaschke b, in e ible a B, : :es én con inuamen a a . Aixidoncs pe a o X e Z enim a que 1X (b) = 1, és a di , Z a - a Recip ocamen : suposem que Z a = % . En aques cas ind em que, pe a o p oduc e de Blaschke b, in e ible a B, es compleix que lb (X) I= 1 ; pe a o X e  = Z a a Alesho es necessa' iamen bses én con inuamen aa ,ja Ru esin6 pod iem oba un ca ác e X O e '7a = Z a  amb I X O (b) 1 = .O . Tenimdoncs que '»7B = {áa} a b) Fa em la demos aci6 pe educci6 a .l'absu d . Suposa em que no hi ha cap en o n e' de a 0 de mane a que Z a = i`a pe a o a e&) . Alesho es pod em oba una successi6 (ii) , de pun s de T  con e gen aa O, de mane a que Za n 9¿Xa n . Pe a cada n,  sigui X n eZ an  x a n 1 sigui bn un p oduc e de Blaschke amb Xn (b n ) = 0 . Pod emesc iu e bn= c n .d n amb cn un p oduc e de Blaschke, amb un nomb e ini de ze os i d n un p oduc e de Blaschke, amb ze os {z nj j j e ]N } cumplin E  (1 - I z n j)< ln  . Sigui a a b, el p oduc e de,Blaschke 2 amb ze os { z n  I (n,j) e [N x [N } ; alesho espod em esc iu e j pe a cada n, b =hn dn , amb hn ambé un p oduc e de , Blaschke ComauF : 0  =  1 Xn (b n )  1  =  Xn (c n )  Xn (d n )  _  1 Xn (d n ) l  ; esul a que  I Xn (b)  1 =  1 Xn (  hn )  1 Xn (d n )  =  0 .  Tal  com a em e a (5 .11.), podem oba X OeZ a0 , amb X O adhe en a  {X n In e [N } ,  lla o s ambé X O (b)  = 0,  pe an X O  e  Z a 0 X a0  . c . .d . c) Suposem p ime que i = 7B  . Sigui  II :  a  B , aa  a la aplicaci6 que consis eixen es ingi e .ls ca ác e s de H- /1 C B a H °° . Censide em els següen s diag ames : CB c  j, L .  17~  na   ~ B a  a H  /  CB e -, H"  x B a  ~X a  a 5 6 Tenim que : I[ és epijec i a, pel Teo ema de la Co ona a a H m / *C B , (7 ] ;  la ñ a  és ambé epijec i a, pe se C B una C  - álgeb a i Z a =II -l ( X )  , j .a que són els ca ác e s aa de ~% que s(5n de modul 1, pe a o p oduc e de Blaschke de CB . Si suposem Xa  Za , exis i á X~~ e 7  xa amb II a  (X'')  = X e;K a  .  Comque ambé  R a lJ(a és epijec i a, exis i a X' e X amb a (X')  = X . Aixi doncs n a no po se a injec i a, és a di ~ B ~ % 'a a egem a a el ecíp oc : Suposem que en un pun ao de T,  enim x a  = Z  . Pe  (b), pod em oba un a c e', 0 a0 que con ingui a 0 , de mane a que ~(a = Z a , pe a o a e .9 . Anem a eu e que II a  és injec i a, o el que és el ma eix, 0 queles uncions de H - /1 CB sepa en els ca ác e sde H - , de .l a ib a a0 , Dona s dos ca ác e sXl i X2 de ' 1 '1a 0 semp e hi ha un p oduc e de Blaschke b, que p en sob e ells a , alo s di e en s . Es ac edoncs  d 'ap oxima , sob e la ib a a0 , els p oduc es de Blaschke, pe uncions de H- /1 CB Pe (27] es po oba , dona un p oduc e de Blaschke b, un p oduc ede Blaschke, amb lb - b l l< e  , en un en o n de  a que no alli  T e', amb b l con inua T e . Aix : doncs, es po ap oxima b pe un p oduc e de Blas . chke b l , que se á in e ible aB  i pe an de H W i1  C B c . .d . BIBLIOGRAFIA 1 . S .Axle . Fac o iza ion o L m unc ions, Annals o Ma hema ics, 106 (1977), 567-572 2 . L .Ca leson . An In e pola ion P oblem o bounded analy ic unc ions, Ame . J . Ma h ; 80 (1958),921-930 3 . L .Ca leson . In e pola ions by bounded anali ic un- ions and he Co ona P oblem, Ann .Ma h ; 76 (1962), 547-559 4 . L .Ca leson . The Co onaTeo em,P oceedingso he 15 h Scandina ianCong ess, Oslo 1968 . Lec u eNo es in Ma hema ics, Vol .118, Sp inge -Ve lag . 5 . J .Cu i . Res icciones de las álgeb as H E, apa eixe á a Collec anea Ma hema ica . 6 . S.Y . Chang . A cha ac e iza ion o Douglas Subalgeb as, Ac a Ma h . 137 (1976), 81-89 7 . S .Y . Chang and D .Ma shall . Somealgeb as o bounded analy ic unc ions con aining he disc algeb a,Lec u e No es in Ma hema ics Vol .604 Sp inge -Ve lag (1976) 8 . D .Dawson . S able subalgeb as o H OO , hesis,Indiana Uni e si y (1975) 9 . A Da ie . T Gamelin and J . Ga ne , Dis ance es ima- esand poin wise bounded densi y, T ans .Ame .Ma h . Sec . 17 5 (1973), 37-38 10 . J .De az . Algeb es de unc ions analy iquesdans le disque, Ann . Scien . Ec .No m .Sup . 4i  Seine .3,(1970) 313-352 11 . R .Douglas . Banach Algeb a Techniques in Ope a o Theo y Academic P ess, New-Yo k and London (1972) 12 . R .Douglas and W .Rudin, App oxima ion by inne unc- ions, Paci icJ .Ma h . 31 (1969),313-320 13 . P .Du en . H P spaces . Academic P ess, New-Yo k, 1970 14 . J .Ga ne . In e pola ing sequences o boundad ha - monic unc ions, Re is a de la UniónMa ema ica A - gen ina, Vol .25 (197o) 15 .A .Hea d and J .Wells, An in e pola ion p oblem o subalgeb as o HO> . Paci ic J .Ma h .Vol .28 (1969) 543-553 . 16 . K . Ho man . Banach Spáces o An aly i c Fu nc ion s, P en ice Hall, Englewood Cli s, N .J . 1962 17 . I .Suciu . Func ionAlgeb as , Edi u a Academics Repu- bliciiSocialis eRomania . 18 . D .Ma shall . Blaschkep oduc s gene a e H m , Bull, Ame . Ma h .Soc . 82 (1976), 494-496 19 . D .Ma shall . Subalgeb as o L m con aining H~ , Ac a Ma h . 137 (1976), 91-98 20 . D .J . Newman .In e pola io n in Hm T ans . Ame .Ma h .SOC . Vol .9 2 (1959) 501-507 21 . W .Rudin .Bounda y alueso con inuons analy ic unc ions, P oc . A .M .S . Vol .7 (1956) 22 . D .Sa ason . Algeb as o unc ionson he uni ci cle, Bull . Ame Ma h . Soc . 79 (1973), 286-299 23 . D .Sa ason . Func ionso anishing meanoscilla ion, T ans . Ame . Ma h . Soc . 20 7 (1975), 391-405 24 . Shapi o and Shie1d s .0n some in e pola ion p oblems o analy ic unc ions . Ame . Jou Ma h .Vo1 .3 (1961) 513-532 . 25 . D .S egenga . Sums o in a ian subspaces, Paci ics J . o Ma h . Vo1 .70 M .2, (1977) 26 . E .S ou . The Theo y o - Uni o mAlgeb as , Bogden Quigley, Inc .Ta y own-on Hudson N .Y . (1971) 27 . A .S ay . App oxima ion and in e pola ion PaciJ .Ma h- Vo1 .40 N°2 (1972) 463-473 . 28 . W .Zelazko . BanachAlgeb as , Else ie Yubiishing Company Ams e dam-London - New-Yo k (1973) . Seccibde Ma emá iques, Uni e si a Au dnoma de Ba celona . Bella e a,Desemb e del 1978 .