Pub
.
Ma
.
UAB
nó
11,
ma
;
1979
Desc ipci6
d'alquns
esul a s
ecen s
sob e
el
eo ema
del
lími
cen al
en espais_de
Banach
sepa ables
.
(1)
pe
E a is
Giné
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
Un
p océs
es ocás ic
és
una
a iable
alea b ia
que
peen
alo s
en
un espai
de
uncions,
i
algunsespais
de
uncione
ípics
s6n
espais
de
Banach
.
Pe
an ,
una
mane a
de
e e2
ia
de
p ocessos
es ocás ics
és
e
eo íade
p obabiii a s
en
espais
de
Banach
.
La
me a
mo i acib
pe
a
eballa
en
aques
camp
a
se
la
4e-uen
.

Sigu'-
1x
.i

una
successi5
de
.=
.

Si
. .

_
.~
.

so-
i
.
b e
un
comí
.
_ e
mI i
ec
.,

_
~
n
(u
:

'

T
__,
`x_(w)
'
T ibuci6
en,
wí _cE
__-?sima
.

Hon,
=a p
que
i
n(w)
w
1

ga
y
ebépe a o

u
:
e
i .

Un es de
la
.ip3 esi

(
(
p
)
_

DoL
consis i
en
ebu ja
aques ahipb esi
.
si,
c(
,
(w))
és masa=
a
g an,
on
d
és
alguna
dis ancia
áe in_ás~
sob e °(c)
.
-`esDai
de les
p obabiii a s
sob e
S
.
Pe
e>
:en
:ple
-,;(;.V)=
sup
s
d(u- )
,
j1
-
un
subconjun
compac ede C(S
; .
Pe
a
pode
de e mina
el
es
a
un
ni el!
de
con ianga
ap oxima
cald ia
conéixe
la
dis ibuci6
lími
de
d(1=,
n
)
no mali za-
da com
calgui
.
Degu
al
.l
.c
.
en
dimensi6
1,
hi
ha
possibi-
li a que

{L[,Fn
d(h, n(w))
]}
con e
geixi
eblemen
a
una llei
p
.
(Si
aixi
os
pod íem
calcula
pL(X)
=u{d(u, n(u
;))
>
a n
}
Z
O-

coma

p{11x1
>
a n
J
}
=
a)
.
(1)
Con e éncia
donada
a la
Uni e si a
de
Ba celona
el
17
de
no emb e
del
1977
.
Pe qué
al
con e géncia
ingués
lloc,
n'hi
hau ia
p ou
amb
que
les
a iables
alea b iesamb
alo
a
C(S),
yi( )

=
S
d(8
x
i
(w)

u)
sa is essin
el
.l
.c
.,
és a
di que
1/2
i~(E
1
Y
i
/ n
con e gís eblemen
.
Vegi's
Du
dley
&
S assen
(1969)
pe
a
aques a
mo i aci6
i
exemples,i
Giné
(1975)
pe
exemplesaddi
cionals)
.
P oblema
:
Qué
i
com,
de
la
Teo ia Clássica de
P obabi-
li a s
sob e
P
.
s'es én
á
espais
de
Banach?
Quines
són
les
di icul a s
ad'dicionals
si
n'hi
ha
Els
_es
p incipals
eo emes
de
lími
són
la
llei o -
a
deis
g ans
nomb es,
la
llei
del
loga i me
i e a
i,
so-
b e o ,
el
eo ema
del
lími
cen al
.
Hi ha
eballd'ex en
si6 e
sob e
els
es
emes
sob e b
en el
cás
de
a iables
indenenden s
.
Jo
e isa é
eball
sob é
1'Gl im
emá
;
El
mé ode adicional
a la
ec a
és
1'anélisi
de Fou-
ie ,
i
ambé
hi
ha
mé odes
p obabilis ics
más
di ec es
.
El
mé ode
d'análisi
de
Fou ie
nomás
á'es én
pe ec amen
pe
á
g ups
lécalmen
compac es
i
pe
a
espais
de
Hilbe
.
Va-
adhan
(1962)
a
esold e
el
p oblema
gene al
del
.l
.c
.en
espais
de
Hilbe
en
se i
análisi
de
Fou ie
.
Giné
i
León
(1977)
enenuná'exposici6
(amb
esul a s
o malmen
nous)
emp an
mé odes
p obabilis ics
más
di ec es
i
senzills
.
En
la
se a
e sib
más
senzilla,
el
.l
.c
.
di ia
:
(#)

EX
=
0
;
Elix
11
2
<

{
L(&n_
X/n
1/2
)}
con e geix
e
i_1
i
blemen
a
una
llei
gaussiana
cen ada,on
les
X
i
s6n
i
Alesho es
és
na u alp egun a -se
que
pe
a
quins
ii
espais
de
Banach
B
és (3 )
ce
.
Ho mánn-Jo gensen
i
G
.
Pisie
(1976)
demos a en
:
(*)
és ce
IF1,
1
B
és de
ipus
2
.
8
B
és de
ipus
2 si la
se a
no ma
sa is á
una
desigual-
n
a
de pa a
lel
.log am,

conc e amen
:
b
{
x
i}i=1
'
x
i
e
B,
bine
N
'
i
pe
a
un
C
>
0
ixe,
E
(
. i)c
{-1

1}
n

II

i

1

T

x

II
2
<

2n

C

E
i
111

xill2,
que
és
una
p opie a
pu amen geomé ica
.
I a
més
a
més,
(")
in e sa
es
e i ica
si i
nomás
si
l'espai
és
de
co i-
pus
2
!i
.2
.,
la
desigual a
con á ia
de
(iF*)
es
e i i-
ca)
(Jain(1976))
.
A aujo
i
Giné
(1976) enen
al es
ca ac
e i zacions
p obabilís iques
de
ipus
i
co ipus
2
elacio
nades
amb
les
p opie a s
de
les
mesu es
que
es
poden
expo-
nencia
(pe
con oluci6),
qües i6
mol
elacionada
amb
el
.l .c
.
Pe
al a
banda
hi
ha ia
eball
e
sob e
el
.l
.c
.
pe
a
p ocessos,
básicamen
un
eo ema
degu
a
S assen
i
Dudley
(1969),
Giné
(1974) i
3ain
i
Ma cus(1975)
que
diu
el
següen
:
si
X
:
p
-,
C(S),
S
compac e
mé ic,
sa is á
EX
=
0,

EX
2
(s)

<
oo
pe a

algun

s

e

S,

i
1
X(s)-X( )
1

<M
(m)

e(s, )

u,

c
.
s
.

,
Ei
s,

e
S,
on EM
2
<
oo i
e
és
una pseudo-dis áncia
con inua
al
que
O
H
1/2
(S,e,x)
dx
<
oo,

H(S,e,x)
=
logN(S,e,x),
N(S,e,x)
_
=

in

{
n
:
3
V
i
,

i
=
1,
. . . ,
n,
Ui=1

V
i
=

S,

diam
e V
i
<x
}
,

ales
ho es
X
sa is á
el .1 .c
.(¡
.e
.HXi
i
.
i
.
d
.

amb

£(X
i
)

_
£(X),
n
1/2
{,((E
i=1
X
i
/n

)}
con e geix
eblemen )
.
Teo ema mol
na-
u al
si
es é
p esen
el
c i e i
de
P okho o
sob e
compa
ci a eble
de
conjun s
de
p obabili a s
.
Zinn
(1977)
demos
á
que
aques
eo ema
es
po
deduI
del
de
Ho mann-Jo gen
sen
i
Pisie
(si
aques
s'enuncia
pe
a
aplicacions
de
i-
pus
dos) i
de
esul a s
sob econ inui a
de
p ocessos
Gaus
sians
(Dudley(1973),
Fe nique
(1974))
.
Aques
e
con enq
de
la
alo
dels
mé odes
més
abs ac es
.
Vegi's
ambé
Hein
kel
(1977)
.
Abans
de
con inua
dona é
la
demos aci6
més
senzilla
de la
pa
di ec a
del
.
de
Ho man-Jo gensen
i
Pisie
.
Es
un
e
conegu

(P okho o

(1956)
)

que
po}
c
!?
(B)

es
w
l
~
ela i amen
compac e
si
i
nomás
si és

ajus ada,
9
.
.e
.
d
e
>
03
.
K
compac e
al
que
u
n
(Kc
)
<
e
-

básicamen ,
en
una
di ecci6,
Banach-Alaoglu
+
no
deixa
que
s'escapi
la
massa
.
Degu
a
que
K
és
compac e
si i
noméssi
és
o al
men
i a
i
anca ,una
condici6
de
w~-compoci a
ela i-
a
és
:
{
un
}
c
P
'(B)

és
w
-
.c
.

si

i
nomás

si

{N

,
.
-
1}

ho és
pe
a
un
conjun
w
*
-
o al
de
's
de
B'

i
d
e
>
0 3 F
c
B
subespai
de
dimensi6
ini a
al
que
uA
(d(x,F)
>,}
<e
(de
Acos a
(1971))
.
Alesho es-
(i)

B
de
ipus
2
q
3c>0
al
que
EIIEei
x
i
ll
-
¡u
c
ElIx
i
ll
2
V
col
.lecci6
ini a de
xiCB,
i
on
{e,} és
una successi6
de
.a's
independen s,
als
que
P{ei=
1}=
P{
i
=-l}
=
2
,< :>
3c >
0
al
que
semp e
que
Elixill2<
CO
,
EX
i
=0,
es é
E
II
Ex
i
ll

E
El¡
Xill
2
;
(ii)
Si B és
de
ipus
2
amb
cons an
c
i
F és
an
ca ,
B/F
és de
ipus
2
amb
la
ma ei>m
cons an
( i ial)
;
(iii)
pel
.l .c
.

en
dimensi6
1,
é/
e
B'
.
{
.~
(E
inl

(X
i
)
/n
l/2
)}
con e geix
a
una
llei de
Gauss
N(O,Q
2
( ))
so-
b e
IR
;

i si
F
m
-

,

UF
m
=
B,

dim
F
m
<oo,
alesho
.
es
P(d(Ei=l
X
i
/n
l/2
,
F
m
)
-
C}

Ed2(>
.
i-1
X
i
/nl/2
"
F
m
)
0
5
E
d2
(X
I,F
m
)
on
la
p ime a
desigual a
és la de
Txebixe ,
la se
gona
és de
ipus
2 i
el
limi
és
possible
pe
con e géncia
dominada

(d
2
(X
1
,
F
m
)

<

11
x1
n
2
;

E
II
X1
11
2
<
oo)
.
Alesho es
n
1/2
Xi/n

)}
és
w
*
- .c
. ;
comque
les
dis ibucions
un¡
dimensionals
con e geixen
pel
.l
.c
.
en
7R
i la
ans o ma

da
de
Fou ie
de e mina
les
p obabili a s,
esul a
que
n
1/2
{,[(~
4,1
11Xi/n

)}
w
-con e geix
a
una
llei
gaussiana
.q
.e
.d
.
Els
esul a s
an e io ss6n
els
básics
pe
al
cas
de
con e géncia
de
Sn
/n
l/2
,
és
a
di cas
.
de
.a
.'s
i
.i .d
.
i
de
limi sgaussians
.
Pe ó
aques
només
és
un
cas pa icula del
.l
.c
.
icald ia
eu e
el
cas
gene al
de
con e géncia
a
lleis
in ini amen
di isibles
i a
lleis
es ables
.
A
ques a
linia
ou
iniciada
amb
el
eball
onamen al
de
L
.
LeCam
(1970) i
mol
a angá
da
amb
els
eballs
de de
Acos a,
A aujo
i
Giné
(1977)i
A au
jo i
Giné
(1976,1977)
;
Ma cus
i
Woyczynski(1977)
i
Woyczyns-
ki(1977)
enen ambé
bon
eball
sob e
dominis
d'a acci6
a
lleis
es ables
.
Mé odes
básics
:
di e en s

condicions
de
w
- .c
.
de
ac o s
de
con oluci6
(Pá hasa a hy
(1967)),
esul a sso-
b e
sé ies
de
.a
.'s
independen s
en
espais
de Banach
(I o-Nisio
(1968)
i
Ho mann-Jo gensen
(1974)),
desigual-
a s
de
P
.
Lé y
i
de
Kolmogo o
in e sa
en
espais
de
Banach
(Kahane(1968),
de
Acos a-Samu (1977)),
en e
d'al es
.
En e
els
esul a s
ob ingu s,
s6n d'in e és
:
1)

la
o mulaci6
d'un
.l .c
.
gene al
que
inclou
esul-
a s
en
espais
de
ipus
i
co ipus
2
com
a
co ol
.la is
;
2
.)
cla i icaci6
de
la
de inici6
de
dis ibuci6
de Pois

son
i
esul a s
básics
sob e
compaci a
de
amilies
de
dis
ibucions
de
Poisson
;
3)
millo a
de ini i a
d'un esul a
de
LeCam(1970)
sob e
la
elaci6
en e
compaci a
de
{Pois
E ,(Xnj)}
i

{£(S
n
)}
;
4)
esul a s
sob e
el
.l
.c
.
en
C(S)
que anmés
.
enllá
dels
eo emes
usuals
esmen a s
;
5)
esul a s
de ini ius
sob e
el
cap enimen
asimp b ic
de
les
dis ibucions
es ables
i
les
dis ibucions
so a
llu
domini
d'a acci6
;
6)
esul a s
sob e
dominis
d'a acci6
de
lleis
es ables,
se
gu amen
de ini ius
;
7)
ca ac e i zaci6
dels
espais
de
ipús
p
pe
condicions
sob e
dominis
d'a acci6
de
lleis
es ables
;
8)
ca ac e i zaci6
de
ipus
2 i
co ipus
2
pe condicions
d'in eg abili a
de
mesu es
de
Lé y
.
Re e éncies
:
1-4
:
de
Acos a,
A aujo
i
Giné(1977)
:
5-6
:
A aujo
i
Giné(1977)
;
8
:
A aujo
i
Giné
(1976)
;
7
:
Ma cus
i
Woyczynski(1977)
i
Woyczynski
(1977)
;
aques s
dos
eballs
ambé
con enen
esul-
a s
sob e
6
.
A
con inuaci6
enunciem
alguns
dels
esul a s
es-
men a s
.
Una
o ma
simpli icada
del
eo ema
a
qué
(1)
a
e e-
encia
és
:
Teo ema
1
.
Sigui
{
X
nj
:
j
=l,
. .
.
.k
n
,
n
=l,
.
.
.}
un
sis ema
in ini
essimal
de
.a
.'s
amb
alo s
en un
espai
de
Banach
B
i
Sn=
_
n
X
.
Alesho esexis eixen
x e
n
B
als
que
{£(Sn-xn)}
Ej=1
nj
con e geix eblemen
si
i
només
si
1
2
lim
sup

X

-
(i)

Iims4O
E[ (X
n
~
lim in
~

{
11
X
nj
11
:5
b}
-E*njXXnj
11
:
5
b}Í~2
._

( ,
)
pe
a

o


e

B',
(ii)
exis eix
una
mesu a
(j- ini a
p
al que pe
a
o
S
,
o
sa is en
p{11x11=
S}=
0,
E3
=l~(Xnj)I{IIx1I>
S}

-
W*

u1{IIX~I>
S}
"
(iii)exis eixuna
successi6
c eixen
Fm
de
subespais
de
dimensi6
ini a de
B
i
S>
0
als
que
2
sup
e
EdEE
j
(X
nj
x
{II
X
nj1I
:5
b}
-

EXnjx{
11
X
nj
IIS

b}
1

Fm
1

=

0
.
Alesho es
la
co a ianga

de e minauna
mesu a
Gaussiana
n
N(0,¿),
la
mesu a
piés
de
Lé y
isi a
n6
=
E
j=,
EX
n X
{
II
%j1

}
156
.
on
S
>
0
és
al
que
u
{
IIxil
=6}
=
0,

es é
que
L
(S
n
-an6
)

-+
w* N(0,~)
*

c
s
Pois
on
cb
Pois
u
és
una
mesu a
gene ali zada
de
Poisson,
(
;5E)

(c
g
Pois
p)

( )

=
exp
{
(e

-1-ix

(x) (x))
La
po éncia
2
a
la
condici6
(iii)
es
po
subs i ui
pe
qualse ol
núme o
posi iu
.
El
eo ema
1
con é
com
a
co ol.la i
la
ó mula
de
Lé y-Khinxin
pe
a
lleis
in ini amen
di isibles
en
espais
de
Banach
.
I
ambé
el
.l
.c
.
di ec e
més
gene al
en
ipus
2 i
1'in e s
més
gene al
en
co ipus
2
.
Els
esul a s
sob e
el
pun
(2)
no
.
els
podem
esumi
an
ácilmen
.
En e
d'al es,s6n
in e essan s
els
següen s
:
Teo ema
2
.
Les
següen s
condicions
pe
a
una
mesu a
a- ini a
sob e
B
s6n
equi alen s
:
(i)

pe
a
o a
successi6
de
mesu es
ini es
PnT
u

la
successi6
de
p obabili a s
{cb
Pois
~
L
n}
con e geix
eblemen
pe
a
o
b>0, on
cbPois
un
1
4
Un
-
1unl
b
0
=
e
i

1'exponencial
es
e e eix
a
1'ope aci6
de
con
oluci6
;
(ii)
exis eix
una
successi6
de
mesu es
ini es
p
n
P

i
alguna
successi6
de
cen amen s
xn
als
que
{bx
ea
Pois
~ln
=
b
x
e-
e4In
Iunl
6
0
}

és
w
j
E
ela i a
n

n
men
compac e
;
(iii)1'exp essi6
(4W
,
)
és
la
ans o mada
de
Fou ie
d'una
p obabili a
de
Bo elsob e
B
.
Si
p
e i ica
una
de
les
es
condicions
equi alen s
del
.2,
es
diu que
u
és
de
Lé y
.
A
la
ec a,
IR
n
i
als
espais
de
Hilbe ,
;Áés
de
Lé y
si i
només
si
min

(1,
11
XII
2
)
41
(x)
<
~
.
El
esul a esmen a
al pun
(8)'
diu

exac amen
:
Teo ema
_3
.
B
és de
ipus
2
si i
només7 o a
mesu a
que
in eg a
min(1,IIxII2)
és
de
Lé y
.
B
és
de
co ipus
2 si i
només
si
o a
mesu a
de
Lé y
in eg a
min(1,1IXII2)
.
B
es
hilbe i zable
si i
nomás
si
les
mesu es
de
Lé y
s6n
exac amen
les
que
in eg en
min(1,
IIXII2
) .
Sob e
(3)
:
Teo ema
4
.
Si
{X
nj

:
j
=
l_
.
.,k
n
,
n
-1,
.
.
.}
s6n
independen s
pe
iles
i
{
b
xn
~l
.
Pois
E
j
[,(Xnj)}
és
j'-
.c
.

pe
a
alguna
amilia
decen amen s
{x
n
},
alesho es
{,((Sn-dn
b)}
és
o `-
.c
.
pe
a
o
b>0
"
Sob e
(2)
i
(4)
Teo ema
5
.
Si
B
l
,
B
2
s6n
espais
de
Banach
i
{p
}
una
amilia
de
a
mesu es
u
- ini es
sob e
B1
als
que
(i)

¡p
a
1

II
x
~I
>

1}

és

una

amilia
w*
-
.c
.

de
mesu es

ini es
.
(ii)

supa

.l
II
X
II
45
111"
2

c1,1
a
(x)

<
.,
i
exis eix
un
compac e
con ex

simé ic
K
c
:
B2
i
una
aplica
lineal
u
:

B1
.
.,
B
K
de
ipus
2

(B
K
:
el
Banach
gene a
pe
i
si
i
:
B
K
-+
B
2
és
la
inclusi6na u al,
alesho es
u
-1 i-1
és
una
mesu a
de
Lé y
de
B2 i
Pois(
u
,u
-l oi
-1
)}
és
w*-
.c
.
a
Aques
eo ema
é
co ol
.la is
pe
a
C(S)
que
cob eixen
i
millo en
el
cas
desc i
a
sob e
.
A
les aplicacions,
K
és
Ves
e a
uni a
d'un
espai
de
Lipschi z
pe
a
alguna
dis éncia
e
sob e
S
que
sigui con inua
.
Cal
di
ambé
que
aques
eo
ema
es
po
p end e
com
una
gene ali zaci6
de
la
pa
di ec
a
del
següen
esul a
que
al
a
la
ec a
:
a
la
ec a
{c
b
Pois
p
}

és
w
4
'-
.c
.

si

i
només
si
min(1,x
2
)

d~

(x)
s6n
a

a
ini es
i
{min(1,x
2
)
d
u
(x)}és una
successi6
w*-
.c
.
La
pa
a
in e sa
adme
la
següen
gene ali zaci6
:
Teo ema

6
.

Si

les
~i
a
s6n
de
Lé y
i
{c
b
Pois
u
a
}

és
w'`-
.
c
.

ales
ho es
:
(
i)

{
u

11I
x
II
>1
}

és

una

amilia
w
iE
-
.
c
.

de
mesu es
a
ini es,
i
(ii)
les
uncions

,
J
IIXII
:5
1 2
du
de ini les
so-
b e
1'es e a
uni a
de
B'
s6n
w
E
-equicon inues
.
El
eo ema
6
é un
al e
in e s
pa cial
pe
a
espais
de