Descripció d'alguns resultats recents sobre el teorema del límit central en espais de Banach separables

Pub . Ma . UAB nó 11, ma ; 1979 Desc ipci6 d'alquns esul a s ecen s sob e el eo ema del lími cen al en espais_de Banach sepa ables . (1) pe E a is Giné Uni e si a Au ónoma de Ba celona Un p océs es ocás ic és una a iable alea b ia que peen alo s en un espai de uncions, i algunsespais de uncione ípics s6n espais de Banach . Pe an , una mane a de e e2 ia de p ocessos es ocás ics és e eo íade p obabiii a s en espais de Banach . La me a mo i acib pe a eballa en aques camp a se la 4e-uen .  Sigu'- 1x .i  una successi5 de .= .  Si . .  _ .~ .  so- i . b e un comí . _ e mI i ec .,  _ ~ n (u :  '  T __, `x_(w) ' T ibuci6 en, wí _cE __-?sima .  Hon, =a p que i n(w) w 1  ga y ebépe a o  u : e i .  Un es de la .ip3 esi  ( ( p ) _  DoL consis i en ebu ja aques ahipb esi . si, c( , (w)) és masa= a g an, on d és alguna dis ancia áe in_ás~ sob e °(c) . -`esDai de les p obabiii a s sob e S . Pe e> :en :ple -,;(;.V)= sup s d(u- ) , j1 - un subconjun compac ede C(S ; . Pe a pode de e mina el es a un ni el! de con ianga ap oxima cald ia conéixe la dis ibuci6 lími de d(1=, n ) no mali za- da com calgui . Degu al .l .c . en dimensi6 1, hi ha possibi- li a que  {L[,Fn d(h, n(w)) ]} con e geixi eblemen a una llei p . (Si aixi os pod íem calcula pL(X) =u{d(u, n(u ;)) > a n } Z O-  coma  p{11x1 > a n J } = a) . (1) Con e éncia donada a la Uni e si a de Ba celona el 17 de no emb e del 1977 . Pe qué al con e géncia ingués lloc, n'hi hau ia p ou amb que les a iables alea b iesamb alo a C(S), yi( )  = S d(8 x i (w)  u) sa is essin el .l .c ., és a di que 1/2 i~(E 1 Y i / n con e gís eblemen . Vegi's Du dley & S assen (1969) pe a aques a mo i aci6 i exemples,i Giné (1975) pe exemplesaddi cionals) . P oblema : Qué i com, de la Teo ia Clássica de P obabi- li a s sob e P . s'es én á espais de Banach? Quines són les di icul a s ad'dicionals si n'hi ha Els _es p incipals eo emes de lími són la llei o - a deis g ans nomb es, la llei del loga i me i e a i, so- b e o , el eo ema del lími cen al . Hi ha eballd'ex en si6 e sob e els es emes sob e b en el cás de a iables indenenden s . Jo e isa é eball sob é 1'Gl im emá ; El mé ode adicional a la ec a és 1'anélisi de Fou- ie , i ambé hi ha mé odes p obabilis ics más di ec es . El mé ode d'análisi de Fou ie nomás á'es én pe ec amen pe á g ups lécalmen compac es i pe a espais de Hilbe . Va- adhan (1962) a esold e el p oblema gene al del .l .c .en espais de Hilbe en se i análisi de Fou ie . Giné i León (1977) enenuná'exposici6 (amb esul a s o malmen nous) emp an mé odes p obabilis ics más di ec es i senzills . En la se a e sib más senzilla, el .l .c . di ia : (#)  EX = 0 ; Elix 11 2 <  { L(&n_ X/n 1/2 )} con e geix e i_1 i blemen a una llei gaussiana cen ada,on les X i s6n i Alesho es és na u alp egun a -se que pe a quins ii espais de Banach B és (3 ) ce . Ho mánn-Jo gensen i G . Pisie (1976) demos a en : (*) és ce IF1, 1 B és de ipus 2 . 8 B és de ipus 2 si la se a no ma sa is á una desigual- n a de pa a lel .log am,  conc e amen : b { x i}i=1 ' x i e B, bine N ' i pe a un C > 0 ixe, E ( . i)c {-1  1} n  II  i  1  T  x  II 2 <  2n  C  E i 111  xill2, que és una p opie a pu amen geomé ica . I a més a més, (") in e sa es e i ica si i nomás si l'espai és de co i- pus 2 !i .2 ., la desigual a con á ia de (iF*) es e i i- ca) (Jain(1976)) . A aujo i Giné (1976) enen al es ca ac e i zacions p obabilís iques de ipus i co ipus 2 elacio nades amb les p opie a s de les mesu es que es poden expo- nencia (pe con oluci6), qües i6 mol elacionada amb el .l .c . Pe al a banda hi ha ia eball e sob e el .l .c . pe a p ocessos, básicamen un eo ema degu a S assen i Dudley (1969), Giné (1974) i 3ain i Ma cus(1975) que diu el següen : si X : p -, C(S), S compac e mé ic, sa is á EX = 0,  EX 2 (s)  < oo pe a  algun  s  e  S,  i 1 X(s)-X( ) 1  <M (m)  e(s, )  u,  c . s .  , Ei s,  e S, on EM 2 < oo i e és una pseudo-dis áncia con inua al que O H 1/2 (S,e,x) dx < oo,  H(S,e,x) = logN(S,e,x), N(S,e,x) _ =  in  { n : 3 V i ,  i = 1, . . . , n, Ui=1  V i =  S,  diam e V i <x } ,  ales ho es X sa is á el .1 .c .(¡ .e .HXi i . i . d .  amb  £(X i )  _ £(X), n 1/2 {,((E i=1 X i /n  )} con e geix eblemen ) . Teo ema mol na- u al si es é p esen el c i e i de P okho o sob e compa ci a eble de conjun s de p obabili a s . Zinn (1977) demos á que aques eo ema es po deduI del de Ho mann-Jo gen sen i Pisie (si aques s'enuncia pe a aplicacions de i- pus dos) i de esul a s sob econ inui a de p ocessos Gaus sians (Dudley(1973), Fe nique (1974)) . Aques e con enq de la alo dels mé odes més abs ac es . Vegi's ambé Hein kel (1977) . Abans de con inua dona é la demos aci6 més senzilla de la pa di ec a del . de Ho man-Jo gensen i Pisie . Es un e conegu  (P okho o  (1956) )  que po} c !? (B)  es w l ~ ela i amen compac e si i nomás si és  ajus ada, 9 . .e . d e > 03 . K compac e al que u n (Kc ) < e -  básicamen , en una di ecci6, Banach-Alaoglu + no deixa que s'escapi la massa . Degu a que K és compac e si i noméssi és o al men i a i anca ,una condici6 de w~-compoci a ela i- a és : { un } c P '(B)  és w - .c .  si  i nomás  si  {N  , . - 1}  ho és pe a un conjun w * - o al de 's de B'  i d e > 0 3 F c B subespai de dimensi6 ini a al que uA (d(x,F) >,} <e (de Acos a (1971)) . Alesho es- (i)  B de ipus 2 q 3c>0 al que EIIEei x i ll - ¡u c ElIx i ll 2 V col .lecci6 ini a de xiCB, i on {e,} és una successi6 de .a's independen s, als que P{ei= 1}= P{ i =-l} = 2 ,< :> 3c > 0 al que semp e que Elixill2< CO , EX i =0, es é E II Ex i ll  E El¡ Xill 2 ; (ii) Si B és de ipus 2 amb cons an c i F és an ca , B/F és de ipus 2 amb la ma ei>m cons an ( i ial) ; (iii) pel .l .c .  en dimensi6 1, é/ e B' . { .~ (E inl  (X i ) /n l/2 )} con e geix a una llei de Gauss N(O,Q 2 ( )) so- b e IR ;  i si F m -  ,  UF m = B,  dim F m <oo, alesho . es P(d(Ei=l X i /n l/2 , F m ) - C}  Ed2(> . i-1 X i /nl/2 " F m ) 0 5 E d2 (X I,F m ) on la p ime a desigual a és la de Txebixe , la se gona és de ipus 2 i el limi és possible pe con e géncia dominada  (d 2 (X 1 , F m )  <  11 x1 n 2 ;  E II X1 11 2 < oo) . Alesho es n 1/2 Xi/n  )} és w * - .c . ; comque les dis ibucions un¡ dimensionals con e geixen pel .l .c . en 7R i la ans o ma  da de Fou ie de e mina les p obabili a s, esul a que n 1/2 {,[(~ 4,1 11Xi/n  )} w -con e geix a una llei gaussiana .q .e .d . Els esul a s an e io ss6n els básics pe al cas de con e géncia de Sn /n l/2 , és a di cas . de .a .'s i .i .d . i de limi sgaussians . Pe ó aques només és un cas pa icula del .l .c . icald ia eu e el cas gene al de con e géncia a lleis in ini amen di isibles i a lleis es ables . A ques a linia ou iniciada amb el eball onamen al de L . LeCam (1970) i mol a angá da amb els eballs de de Acos a, A aujo i Giné (1977)i A au jo i Giné (1976,1977) ; Ma cus i Woyczynski(1977) i Woyczyns- ki(1977) enen ambé bon eball sob e dominis d'a acci6 a lleis es ables . Mé odes básics : di e en s  condicions de w - .c . de ac o s de con oluci6 (Pá hasa a hy (1967)), esul a sso- b e sé ies de .a .'s independen s en espais de Banach (I o-Nisio (1968) i Ho mann-Jo gensen (1974)), desigual- a s de P . Lé y i de Kolmogo o in e sa en espais de Banach (Kahane(1968), de Acos a-Samu (1977)), en e d'al es . En e els esul a s ob ingu s, s6n d'in e és : 1)  la o mulaci6 d'un .l .c . gene al que inclou esul- a s en espais de ipus i co ipus 2 com a co ol .la is ; 2 .) cla i icaci6 de la de inici6 de dis ibuci6 de Pois son i esul a s básics sob e compaci a de amilies de dis ibucions de Poisson ; 3) millo a de ini i a d'un esul a de LeCam(1970) sob e la elaci6 en e compaci a de {Pois E ,(Xnj)} i  {£(S n )} ; 4) esul a s sob e el .l .c . en C(S) que anmés . enllá dels eo emes usuals esmen a s ; 5) esul a s de ini ius sob e el cap enimen asimp b ic de les dis ibucions es ables i les dis ibucions so a llu domini d'a acci6 ; 6) esul a s sob e dominis d'a acci6 de lleis es ables, se gu amen de ini ius ; 7) ca ac e i zaci6 dels espais de ipús p pe condicions sob e dominis d'a acci6 de lleis es ables ; 8) ca ac e i zaci6 de ipus 2 i co ipus 2 pe condicions d'in eg abili a de mesu es de Lé y . Re e éncies : 1-4 : de Acos a, A aujo i Giné(1977) : 5-6 : A aujo i Giné(1977) ; 8 : A aujo i Giné (1976) ; 7 : Ma cus i Woyczynski(1977) i Woyczynski (1977) ; aques s dos eballs ambé con enen esul- a s sob e 6 . A con inuaci6 enunciem alguns dels esul a s es- men a s . Una o ma simpli icada del eo ema a qué (1) a e e- encia és : Teo ema 1 . Sigui { X nj : j =l, . . . .k n , n =l, . . .} un sis ema in ini essimal de .a .'s amb alo s en un espai de Banach B i Sn= _ n X . Alesho esexis eixen x e n B als que {£(Sn-xn)} Ej=1 nj con e geix eblemen si i només si 1 2 lim sup  X  - (i)  Iims4O E[ (X n ~ lim in ~  { 11 X nj 11 :5 b} -E*njXXnj 11 : 5 b}Í~2 ._  ( , ) pe a  o   e  B', (ii) exis eix una mesu a (j- ini a p al que pe a o S , o sa is en p{11x11= S}= 0, E3 =l~(Xnj)I{IIx1I> S}  - W*  u1{IIX~I> S} " (iii)exis eixuna successi6 c eixen Fm de subespais de dimensi6 ini a de B i S> 0 als que 2 sup e EdEE j (X nj x {II X nj1I :5 b} -  EXnjx{ 11 X nj IIS  b} 1  Fm 1  =  0 . Alesho es la co a ianga  de e minauna mesu a Gaussiana n N(0,¿), la mesu a piés de Lé y isi a n6 = E j=, EX n X { II %j1  } 156 . on S > 0 és al que u { IIxil =6} = 0,  es é que L (S n -an6 )  -+ w* N(0,~) *  c s Pois on cb Pois u és una mesu a gene ali zada de Poisson, ( ;5E)  (c g Pois p)  ( )  = exp { (e  -1-ix  (x) (x)) La po éncia 2 a la condici6 (iii) es po subs i ui pe qualse ol núme o posi iu . El eo ema 1 con é com a co ol.la i la ó mula de Lé y-Khinxin pe a lleis in ini amen di isibles en espais de Banach . I ambé el .l .c . di ec e més gene al en ipus 2 i 1'in e s més gene al en co ipus 2 . Els esul a s sob e el pun (2) no . els podem esumi an ácilmen . En e d'al es,s6n in e essan s els següen s : Teo ema 2 . Les següen s condicions pe a una mesu a a- ini a sob e B s6n equi alen s : (i)  pe a o a successi6 de mesu es ini es PnT u  la successi6 de p obabili a s {cb Pois ~ L n} con e geix eblemen pe a o b>0, on cbPois un 1 4 Un - 1unl b 0 = e i  1'exponencial es e e eix a 1'ope aci6 de con oluci6 ; (ii) exis eix una successi6 de mesu es ini es p n P  i alguna successi6 de cen amen s xn als que {bx ea Pois ~ln = b x e- e4In Iunl 6 0 }  és w j E ela i a n  n men compac e ; (iii)1'exp essi6 (4W , ) és la ans o mada de Fou ie d'una p obabili a de Bo elsob e B . Si p e i ica una de les es condicions equi alen s del .2, es diu que u és de Lé y . A la ec a, IR n i als espais de Hilbe , ;Áés de Lé y si i només si min  (1, 11 XII 2 ) 41 (x) < ~ . El esul a esmen a al pun (8)' diu  exac amen : Teo ema _3 . B és de ipus 2 si i només7 o a mesu a que in eg a min(1,IIxII2) és de Lé y . B és de co ipus 2 si i només si o a mesu a de Lé y in eg a min(1,1IXII2) . B es hilbe i zable si i nomás si les mesu es de Lé y s6n exac amen les que in eg en min(1, IIXII2 ) . Sob e (3) : Teo ema 4 . Si {X nj  : j = l_ . .,k n , n -1, . . .} s6n independen s pe iles i { b xn ~l . Pois E j [,(Xnj)} és j'- .c .  pe a alguna amilia decen amen s {x n }, alesho es {,((Sn-dn b)} és o `- .c . pe a o b>0 " Sob e (2) i (4) Teo ema 5 . Si B l , B 2 s6n espais de Banach i {p } una amilia de a mesu es u - ini es sob e B1 als que (i)  ¡p a 1  II x ~I >  1}  és  una  amilia w* - .c .  de mesu es  ini es . (ii)  supa  .l II X II 45 111" 2  c1,1 a (x)  < ., i exis eix un compac e con ex  simé ic K c : B2 i una aplica lineal u :  B1 . ., B K de ipus 2  (B K : el Banach gene a pe i si i : B K -+ B 2 és la inclusi6na u al, alesho es u -1 i-1 és una mesu a de Lé y de B2 i Pois( u ,u -l oi -1 )} és w*- .c . a Aques eo ema é co ol .la is pe a C(S) que cob eixen i millo en el cas desc i a sob e . A les aplicacions, K és Ves e a uni a d'un espai de Lipschi z pe a alguna dis éncia e sob e S que sigui con inua . Cal di ambé que aques eo ema es po p end e com una gene ali zaci6 de la pa di ec a del següen esul a que al a la ec a : a la ec a {c b Pois p }  és w 4 '- .c .  si  i només si min(1,x 2 )  d~  (x) s6n a  a ini es i {min(1,x 2 ) d u (x)}és una successi6 w*- .c . La pa a in e sa adme la següen gene ali zaci6 : Teo ema  6 .  Si  les ~i a s6n de Lé y i {c b Pois u a }  és w'`- . c .  ales ho es : ( i)  { u  11I x II >1 }  és  una  amilia w iE - . c .  de mesu es a ini es, i (ii) les uncions  , J IIXII :5 1 2 du de ini les so- b e 1'es e a uni a de B' s6n w E -equicon inues . El eo ema 6 é un al e in e s pa cial pe a espais de