Pub
.
Ma
.
UAB
hó
10,
-
Desemb e1978
,
Anhlisi
Combina ia(x)
Cá lesSim6
Secci6
de
Ma emh iques
IIni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
in oduoci6
.-
La combina o iaapa eix
ja
a
1'an igue a
lliga
da
a
mol ap oblemas
"popula s"
al
ac o
de
dona
espos aa-
la p egun a
:
de
quan esmane as
hompo e una
oe a
cosa?
Es a a ambéen elac16
amo
p oblemas
de
Teo ia
elemen al
ds
Nomb es
(aue
no és
pos
ce amen
senzilla!)
i,
mol
desp és,
amo
p oblemas
de
chlcul
de
p obabili a s
.
El
e
de
que
sigui
poc
co en
el
eni
con ac e
amo
1'Anhlisi
Combina o iadegu
ala
plana
d'es udi
ac uala
és
una
de
les
mo i acions
d'aques a
con e bncia
.
El
nom
Anhlisi
Combina ó ia
és,degu
a
Augus
de
Mo gan
(Di e en ial
and
In eg al
Calculus,
Lond es
1842,
p
.335)
:
"Consis eix
p incipalmen
en l'anhlisi
de
desen olupamen s
complica e
pe
mi jh
de
la
conside aci6
i
ag upaci6
a
p io i
de
les
di e en s
combinaciona
de
e mas
que
en en
en
ola
coe-
icien e"
.
Veu em
Que
en ce scasos
s'ha
dona
la
ol a
a
aix8
:
ala
chlculs
de
co es
combinaciona
es
an
mi jangan
1'es udi
de
.desen olupamen e(usan
les
unciona
gene a ius)
.
Más
mode namen
(Rio dan)
es
diu
objec iu
de
l'A
.C
.
el
oba
el
nomb e
de
mane es
que
hi
ha
de
e
alguna
ope aci6
ben
de inida
.
Be ge
ho
de ineix
con
la ece ca
de
con igu as
ciona
(és
a
di
:
aplicacione
d'unconjun
d'objec es
en
un
(x)
Con e bncia
Te a
el
7
de
desemb e-de
1977
a
la
IIni e si a
Au ónoma
;
de
Ba celona
.
7 1
conjun
abs ac o
ini ),
la
se a
enume aoió
i
ecomp eo
om
po
dis ingi
h ies
qües ions
s
"
Es ad¡
d'una
con i-
gu aci6
coneguda,
ece ca
d'una
con igu ació
desconeguda,
e-
comp eexac o
del
nomb e
de
con igu acions,
ecomp e
ap oxima ,
enume acl6
de
con igu acions
i
classi icaci6o
Pe
aques es
dl-
imes asques
és
gai ebé
lmp esoindiblo
l'ásdo calculado a
.
au omh icso
El
ma eix
'succeeix
pe
les
aplicacions,a
p oblemas
-
d'op imi zació,
de
les
que
el
p oblema
del
ia jan
de
come q
n'ésun
é~ple
s
Qonéixen
el
cos
pe
ana d'una
ciu a
,
Ai
a
una
A
j
,
quina
és
la mane a
más
económica
de
e
un
eco e~
gu
so in
de
la
ciu a
o igen
A
o 1
o nan
a
elladesp és
d'ha e
pasea
pe
o es
les
al es?
Apa eixen
p oblemescombina o is
enchlcul
de
p obabili-
a s,
es adís ica, eo ia
de
nomb es,
opologia,
es uc u a
química,
ece ca
d'ope acions,
eo ia
de
la
in o maci6,
a oo
So in
és
impo an
" edui "
un p oblema
a
combina o ia,
pe b
po
ésse
enca a
mol
di ícil
.
Pe
exemple,
hom
.
had'ompli
un
aule
de
n
ilos
1
n
columnas
posan
a
cadaquad e
una
lle a
i
uw
núme o
de mane a
que
cadalle a
i
cada
núme o
han
de
apa bixe
exac amen
un
cop
a
cada ila
ia
cada
columna,
pe b
no es
po
epe i
cap
de
les
pa elles(llé a,núme o)e
Una al
con igu aci6
s'anomena
un
biquad a
lla
o ogonal
.
Es
conei-
xien
an igamen
exemples
ins
a

n
=
5o
Eule digub
quepe
a
n
>
5

no hi
ha ia
soluci6e
La espos a
exac a
no
ha
es a
dona-
da
sin6
al
lg6o
en
qué
hom
p o h
que
hi ha
soluci6
pe
a
o
n
di e en
de
6
0
Fem
un
pa bn esi
pe
a
des aca
que
en
el
eball
amó
cal-
colado
au omh ic
de
habi ual,
pe
la
ena= aoi6
de con igu a
cions,
e]
.
gene a -les
°o denadamen "
(pe exemple,
les
pe mu-
acions
o
els
subconjun s
d'un
conjun
dona )o
Si
les
con igu-
7
2
Gi0il8
:
q119
:,C,B,3 gWm
-esM
co ip9,aea
$

,
S8
V8
.2'j
'icai
91
Q18
,
óomg],eixea
.
Ea
bbaic
pe
l,'ea al i
de
~
el
ec a
de
deci-
lo
=da
M
.a '
posglble
.
(Adhuc
a
~
gene a )
al
l
a
con iga-
ad6
que
en
gene a
aa is a k
les'
condiciona
es able es
.
31 no
da
,
així
hom
pases
:
a
.
la
se4en
.
La
écnica
anomenada
back ao
_k ng
ea,
basada
en
aquea a
abse acid
.
Pe
exemple,
podem
p e-
gun a -nos
quia
"
és el
nomb e
mhxim
de sal a
del
ca an
en
un
. aule
d'escaca
.
de
mane a
quelea
línies
que
uneixen
ala
cen es
delsquad essuccessi amen ocupa spela
ca alls
no
es
allin
.
Ela
emesde obloul
a6n
mol
g ana
.
No
de
siné
ecen men
que_
hom
ha
o a
la
soluci6
usan
back acking
:
36
.
Es ja
p o-
blema
di ícilla
es imació
acu ada
del
nomb e
de
pasaos
a
e
.
Ea
p oblemes
d'op imi saaió
disc e a
és
mol co en usa
la
ma eixa écnica
si b6
hom
la
coneix
so a
el
nom
demb ode
de b anch
and
bound
.
Si el
nomb e
de pasaos
a
e
pe
aconsee-
gui
1'bp im
és inabas able
hom
.
po
gene a
con igu aciono
alca h imen
.
Aixi
.
po se no
boa
a ibaal bp impe b
si
a
solucionsquasi-bp imes
.
Pa la em
a
con inuaci6
d'üns poca
emes
din o
de
1'A
.C
.
.
Elemen o
.-
Sabem
que
si
Ca d(A)-
m

i

Ca d(1)
Ca d{
l s%
--a
A}
-
i

i
s'ob enen
les
a iaoione
amb
epe aci6
.
Ca d( I sX
-
A,
injec i a}
a
m(m-1)
. .
.(m-n4l)
_
(m)
n
o
a ia-
ciona
.
Si

ía= ?,
enim
el
nomb e
de
pe ma aciono
.
Dal abanda
Ca d{$EP(A)j6a d(B)=n-1
-
(nm)

.
(combinacioas,
dona les
pela
coe
. icien s
binomialo)
.
Diguem
que
el
polinomi
ac o ial
(x)
n
es
po
esc iu e
com
(x)
=
s
o 4. al
x
4.
...
i
s
nxn
n
n
:
n

n
lla o a
9
a
on

s9
.,
s'anomenen
nomb es
de
S i l

...

. .
ing
de
?
p ime aeephcie
i
sa io an
.
los
elacionsYs
e
n
=
o,
e
n
=
1,
'
e
n
~
.1

e
n

.

n
s~
.
,
.,
!Un
al enomb e
de
.
ipus
ac o ial
és
(m)
n
=

,(Wn-1)
queens
.
diu,
;d®-ouan os
mane ee
k
hp

po ,aóllgca ,
n
olnjec es
o
dena s
.
en
m
oapses,
Si-
A
éá
~un
ohjun
o dena 1laeo g
,,
~
,
Ca d{
[1s
á
--A,
c eixen
c
(m)
/n?

i

eái lí
Y
lms-cómbinae ons
,
amb
epe ición
Ezom
.
gene ali za hcilmen
élsnomb es
binómials
als
mul i=
nomials
,

.

_
.

.
Es clac

q,

p

n,

n
que
el
.
nom
,
bé
de,

ue
(

si)n
=
.
n~
.

(nl
.0
.
.
.
n

T
Ta,
ip
P11
i=1=P,
57
ni
n
i=1
Un exemple
de
aplicaci6
és el
chicu1
del
nomb e
de
camine
_n

_
%T
74
al
Si
Ca d(X)
=
n

pe
uxia
pa ici6
de
Z
del
i
pus
1

2
?
ee
yak
en end em
una
pa ici6en
al
pa s~de
1
elemen
cada
una,
a2
. .
e,
.
de
2
elemen s,
e c
.
El nomb e
de
ala
pa icions
al
bb iamen
.
El nomb e
de
pa icions
de
%
en
m
classes
(no
buides),
m
é
n
es
din
nomb e
de
S i ling
de
segona
espbcie
S
m
i
da
lo
n
ma eix
que
Hbm
en
hcilmen
que
xn
S
k
3
k-l
4
.kSk
,
1<k<n
n!
k
a
T(a
!(1!)
i
i=1
i
m
.
Ca d
{
l
:
%
--
A,
exhaus i a}
n
7-
Sñ
(x)
k

i
que

Sñ
=
Sa,=
1
,
ima ge
m&xima
6
6
3o

n
1
m
12o
36o

n!(
m
?-2a
.

6~

1

62
54o
156*
18o 2
m
p ime
exemple
que

n~
m

m!
S
n
donem
de
iuici6
gene a iu
.
Funcionsgene a ius
.-
Sigui
S
=
{a,b,
.
.
.}

unconjun
deso de-
na
.
La
unci6
gene a iu
de
subconjun s
( o mal)
da
(l4
.
a)
(l4
.
b)
(14
.
c)
.
.
.
=
l4~aib4o4,
.
.
.4
.ab4.ac4
.
. . .

(1=O)
.
El
o al
de
Aplicacions
de
%
en
A
d
mane es
de
pa i
[m
--l
2
3
4 5
X
.
enclasses
és
n=l1
l`-,
2
3
4 5
Sñ
.
.
.
Sñ
=
.B
21
l"-,
2 6
12
20
(nomb e
de
Bell)
.
3
1
6
6
24
6o
Hom
demos a
que
4I
1
14
36
24
120
°°
ñ
-
.,
.n,
e
(e -1)
51
1
30
l .a
24o 12

Pe
gene a
amb
epe ició
enscal
la
unció
gene a iu
(l4
.
a4-aa~aaaa
.°
°
,)
(l4
.b~bb&
.
íbb°°°)°,°°°
=
sigui
S
=
~a,b,,c,°°°}
un
conjun
o dena °
Si
olem
es-
c iu e'1
de
o es
les
mane espossiblessegonal'o d e(pe -
mu acions),
la
°g°
és
a
b
C
Pe
se eix
pe
a
designa
el
pe menen ,
de ini
així
s
n
Pe (s
ij
)
=
Z

TT
a
d(i)91

,
a
om

S
n
 ol
di
el
g up
simb io°
i
,
j
=l
.n

TES
n
i=1
Des aquem
que
P(AB)
;IP(A)°P(B)
°
El
cálcul
de
De (A)
eque eix
0(a
3
/3)
ope acions
(usan
la
iangulació
d®
Gauaa
;
s
pa i
d®
la
de inició
és
0((n-1)n!)
)°
Pe
con a,
lo millo
que
hom
ha
ob ingu quan
al
cálcul
de P(A)
és e -ho
en
0(n2
n-l
)
ope acions,
1
és
p oblemaobe
el
millo a -ho°
Si

~
a
lj
=1

i

Z
a
ij
=
1

la
ma iu
A
e9
diu
doblemen
j
es o(-ág ica°
Lla o s
an
de
;Nae den
a
.
conjec u a
que
Fg (A)

n!/n
n
,
i
que
el
mínim
s'ob é
si
a
ij
=
1/n
°
Se
sap
que
ós
Ce a
en
dimensió
baixa,
que
el
pun dona éa
mínim
local,
peyó
no
hom
é
enca a
una
demos aci6
de
la
conjeC u a°
La
°g°
de subconjun 9
o dena a
a
°
ob é
b
.cilmen
com
El gene ado
de
subconjun s
de
m
elemen s
o dena a
és
(a
4.b4-
°°°)(a4-
b4-
°°é)°°°

-(a
.4
:b4
.
c&
°°°)
m
,

¡si
olem
Io a
els
subconjun s
o dena s
ens cal
usa

1 -
s+b
+
.
.
.~

'
Es
possible
cons ui
.g
.
mamb iques
:
Si
donam
a
co es
a iables
alo
1
1
a
d'al es
el
ze o
queda an
els
e mes
que
po en o es
les
a iables
amb
1,
1
ola
podem
comp a
.
Exemple
:
quan s
subconjun s
de
k
elemen s
men a?
Donem
a
o s
els
elemen s
(1
1
*
x)
n
.
Lla o s
només
cal
eu e
Quan ssubconjun s
o dena e
k
1

k"
hi
ha
en
un
conjun
de
n
ele-
el
alo
x
.
La
.g
.
al
a a
el
coe icien
de
xk
:
(k`
amb
eDe ici6
hi ha
de
k
elemen s?
Cal
calcula
simplemen
el
coe icien
de
x

a

1-
nx
,
és
a
di
n
.
En
gene al,
donada
una
successi6
(a
n
)
hom
de ineixen
un-
cions
gene a ius

0
( )
_

a
n
i

q( )
_

b
n
/n!

,
i
en
-
n

n k

.
ies
a iables

O( ,u)
=
Z
a
nk
u

.
Vegem
uns
quan a
exemples
de
l'ús
de
les
.g
.
pe
a
ob eni
in o maci6
sob e
successiona
donados
pe
ecu éncies
Conside emla
successi6
de
Fibonacci
:
F
o=F
1
=
1,
1

F
n
=
F
n-1
+F
n-2
.
Lla o s
hom
é

=
14
.
+
~--
F
n
n
=
n32
1
1- -
2
Si
l
i
2
s6n
les
a els
del
denominado
és
immedia
que
Fn
=
( l+l
-
2+1)
/
(
l-
2
)
l+ +
Z-
: (F
n-1
+Fn-2) n
=
l+
0+
2
0
n 2
que
implica
0 =
l+
1sñ
nñ
uk
=
(1+ )
u
,

1+ZSñ
nn
uk
=
exp(u(e -1))
Aques ipue
de
aonamen
és
aplicable
a
mul a
polinomis
o ogonals,
unciona
esoecials,
nomb es
de
Be noulli
i
d'Eule ,
e c
.
El
mé odo
usa
pel
nomb es
de
Fibonacci
po
usa -se
pe
o a
equac16
en
di e bncias
ini os
de
coe icien e
cons an s
.
Pels
nomb es
de
S i ling
enim
les
següen s
.g
.
Vegemalgunes
aplicacions
no
an
elemen als
de
les
eg
.
El p oblema
de
Ca alan
consis eiz
en calcula
de
quan es
mane-
es
hom
po
posa pa bn esien,laexp essi6
del
p oduc e
P = X1%2
eo
.X
n
o
Pe
exemple,
si
n=
4
podem
esc iu e
P=
X2
.X2
.(X
2
.X)X
=
(X.X
2
)X
=
X(X
2
.X)
=
X(X
.X
2
)

i e4
=
5
,
La
ecu-
n-1
bncia
és

a
n
=
37
alea
n-k
,
amb
ao
=o,
a
l
=1
o
Cons uim
la
1

.

n-1
unci6gene a iu
s

O
( )
=
&~
a
n
= &
T
n
(
E
a
a

)
n~2
n

111
:2

1
k
~k
ó

7~

ahak
k4 h
=
4
.
(Fa
h
h
) (
57
ak
k
)
=
4»02( )
i
pe
sn
h,káo
~( )=2(1-
1-4
)
=
2L1-Z(
1
á
2
1(-4 )
n
,
de on

an
=
ñ
1
2
n-1)
9
ques6nels
anomena s
nomb es
de
Ca alano
pe
np
4

ind iem

(X
2
.X)X
=
(X.X
2
)X
=
X(X
2
.X)
=
X(X
.X
2
)
i
nomás
ens
es a
b
4
=
2
,
La
ecu éncia
és
más
complicada
<
b
2P-1
= bl
b
2p-2
'-
. .
.
4.bp-2bp

,

si

p=2
i
d'aixa
su
b2p
= b
1
b
2p-1

oeo

bp_
1b
p`11
41
1
bp
}l
j
Ia1
2
~( )
=
~2~2( )4
.2¢( 2)
o
si
em

_

-1
enim inalmen
1'equaci6
uncional

1
2( )
4~
j(
2
)
4
.2
= o
e
La se a
soluci6
és
enca a
p oblema
obe ,
i
Mhuc
la
es imaci6
asimp b ica
dele
"'coe icien s
omhn
desconeguda
.
P incipi
d'inclusi6-exclusi6
o-
La
basen'éslo
que
en
p obabi-
li a s
hom
coneix
com
a
a mulad'Eule -Poinca é
s
Ca d(UA
)
_
57 Ca d(A
)
-

Z
:

Ca d(A
i
nA)
4
.
.
.
.
1i
l~i~n

il
:5i<jin

3
Si
hom
conside a
els
pa hn esi
commu a ius
('Wedde bu n)
4.
(-1
.
)
n-l
Ca d(A
l
nA
2
.
.
.nA
n
)
Sigui
%
un
conjun
de
n
objec es
.
Homdin
que
una
pe mu a-
ci6
a-
de
.
%
és
un
desa anjamen
si
no
é
cap
pun
ix
.
Comp em
els
desa anjamen e
usán
.l
a
b mula
d'Eule -Poinca é
:
d(
n
)
=n
!
-
(
n
.
(
n
-l)!
-
(2)
(
n
-2)!
+
. .
.)
=
n!

(1-i!
4
.
2!
.
. .
.
-
n!/e

(si
n
és
g an)
.
La
.g
.
dels
desa anjamen e
és
e
(1~
) -1
.
Vegem
gene al¡ zacions
del
desa anjamen s
:
Un
k
.n
ec án-
gle
lla í
és
una
ma iu
d'aques es
dimensions,
o mada
amb
ele-
men s
de
%
al que
a
cap
ila
ni
columna
hi ha
elemen s
epe i s
.
Si
k=
2
enim
els
desa anjamen e
.
.Si
k=
3
hi
ha
ecu éncies
i
es imaci6
asimp b iea
del
nomb e
de
ec angles
lla ins,
pe b,
si
k>3
no enim
ni
Puna
cosa
ni
1'al a
.
Si
k=n
hom
pa la
de
quad a slla ins
.
Ac ualmen
es
coneix
la
següen
aula
n
,
2
3
45
6

7

8
nomb e
de
quad a slla ins
114
56
940816942o8o
5352814o1856
L'es udi
pe
n 9
és
p oblema
obe
i
di ícil
.
Din e
aques a
amilia
hi ha
el
ben
conega p obléme
des
ménages
:
En
una
aula odona
hi
ha
n
pa elles
al e nades
(home-
dona)
.
Quan esmane es
hi
ha
d'asseu e's
sense
que
ningú
ingui
al
cos a
la
se a
p bpia
pa ella?
Hom
"
a
el
chlcul
pe
educci6
.
P ime
hom
suposa o es
lea
dones
assegudes
(n!^2
possibili a o)
.
Sigui
~(n)
el
alo
edui
.
De inim
una
pe mu aeió
6
al que
6(i)~i,
£4
.1
si
i-1-n-l
;
0-(n)~l,n
.
A
21

=

i41}
,
i=1=n-1}
hom
é
~(n)=Ca d(nA
i
)
A
2n

=

{
6
1
Q
(
n
)
-
11

J
Lla o s
s'a iba
a

~(n)
.
=
~(-1)
k
(n
-
.
k)!
V
k
(n)
,
on
V
k
(n)
és
k