Anàlisi Combinatòria(x)

Pub . Ma . UAB hó 10, - Desemb e1978 , Anhlisi Combina ia(x) Cá lesSim6 Secci6 de Ma emh iques IIni e si a Au ónoma de Ba celona in oduoci6 .- La combina o iaapa eix ja a 1'an igue a lliga da a mol ap oblemas "popula s" al ac o de dona espos aa- la p egun a : de quan esmane as hompo e una oe a cosa? Es a a ambéen elac16 amo p oblemas de Teo ia elemen al ds Nomb es (aue no és pos ce amen senzilla!) i, mol desp és, amo p oblemas de chlcul de p obabili a s . El e de que sigui poc co en el eni con ac e amo 1'Anhlisi Combina o iadegu ala plana d'es udi ac uala és una de les mo i acions d'aques a con e bncia . El nom Anhlisi Combina ó ia és,degu a Augus de Mo gan (Di e en ial and In eg al Calculus, Lond es 1842, p .335) : "Consis eix p incipalmen en l'anhlisi de desen olupamen s complica e pe mi jh de la conside aci6 i ag upaci6 a p io i de les di e en s combinaciona de e mas que en en en ola coe- icien e" . Veu em Que en ce scasos s'ha dona la ol a a aix8 : ala chlculs de co es combinaciona es an mi jangan 1'es udi de .desen olupamen e(usan les unciona gene a ius) . Más mode namen (Rio dan) es diu objec iu de l'A .C . el oba el nomb e de mane es que hi ha de e alguna ope aci6 ben de inida . Be ge ho de ineix con la ece ca de con igu as ciona (és a di : aplicacione d'unconjun d'objec es en un (x) Con e bncia Te a el 7 de desemb e-de 1977 a la IIni e si a Au ónoma ; de Ba celona . 7 1 conjun abs ac o ini ), la se a enume aoió i ecomp eo om po dis ingi h ies qües ions s " Es ad¡ d'una con i- gu aci6 coneguda, ece ca d'una con igu ació desconeguda, e- comp eexac o del nomb e de con igu acions, ecomp e ap oxima , enume acl6 de con igu acions i classi icaci6o Pe aques es dl- imes asques és gai ebé lmp esoindiblo l'ásdo calculado a . au omh icso El ma eix 'succeeix pe les aplicacions,a p oblemas - d'op imi zació, de les que el p oblema del ia jan de come q n'ésun é~ple s Qonéixen el cos pe ana d'una ciu a , Ai a una A j , quina és la mane a más económica de e un eco e~ gu so in de la ciu a o igen A o 1 o nan a elladesp és d'ha e pasea pe o es les al es? Apa eixen p oblemescombina o is enchlcul de p obabili- a s, es adís ica, eo ia de nomb es, opologia, es uc u a química, ece ca d'ope acions, eo ia de la in o maci6, a oo So in és impo an " edui " un p oblema a combina o ia, pe b po ésse enca a mol di ícil . Pe exemple, hom . had'ompli un aule de n ilos 1 n columnas posan a cadaquad e una lle a i uw núme o de mane a que cadalle a i cada núme o han de apa bixe exac amen un cop a cada ila ia cada columna, pe b no es po epe i cap de les pa elles(llé a,núme o)e Una al con igu aci6 s'anomena un biquad a lla o ogonal . Es conei- xien an igamen exemples ins a  n = 5o Eule digub quepe a n > 5  no hi ha ia soluci6e La espos a exac a no ha es a dona- da sin6 al lg6o en qué hom p o h que hi ha soluci6 pe a o n di e en de 6 0 Fem un pa bn esi pe a des aca que en el eball amó cal- colado au omh ic de habi ual, pe la ena= aoi6 de con igu a cions, e] . gene a -les °o denadamen " (pe exemple, les pe mu- acions o els subconjun s d'un conjun dona )o Si les con igu- 7 2 Gi0il8 : q119 :,C,B,3 gWm -esM co ip9,aea $  , S8 V8 .2'j 'icai 91 Q18 , óomg],eixea . Ea bbaic pe l,'ea al i de ~ el ec a de deci- lo =da M .a ' posglble . (Adhuc a ~ gene a ) al l a con iga- ad6 que en gene a aa is a k les' condiciona es able es . 31 no da , així hom pases : a . la se4en . La écnica anomenada back ao _k ng ea, basada en aquea a abse acid . Pe exemple, podem p e- gun a -nos quia " és el nomb e mhxim de sal a del ca an en un . aule d'escaca . de mane a quelea línies que uneixen ala cen es delsquad essuccessi amen ocupa spela ca alls no es allin . Ela emesde obloul a6n mol g ana . No de siné ecen men que_ hom ha o a la soluci6 usan back acking : 36 . Es ja p o- blema di ícilla es imació acu ada del nomb e de pasaos a e . Ea p oblemes d'op imi saaió disc e a és mol co en usa la ma eixa écnica si b6 hom la coneix so a el nom demb ode de b anch and bound . Si el nomb e de pasaos a e pe aconsee- gui 1'bp im és inabas able hom . po gene a con igu aciono alca h imen . Aixi . po se no boa a ibaal bp impe b si a solucionsquasi-bp imes . Pa la em a con inuaci6 d'üns poca emes din o de 1'A .C . . Elemen o .- Sabem que si Ca d(A)- m  i  Ca d(1) Ca d{ l s% --a A} - i  i s'ob enen les a iaoione amb epe aci6 . Ca d( I sX - A, injec i a} a m(m-1) . . .(m-n4l) _ (m) n o a ia- ciona . Si  ía= ?, enim el nomb e de pe ma aciono . Dal abanda Ca d{$EP(A)j6a d(B)=n-1 - (nm)  . (combinacioas, dona les pela coe . icien s binomialo) . Diguem que el polinomi ac o ial (x) n es po esc iu e com (x) = s o 4. al x 4. ... i s nxn n n : n  n lla o a 9 a on  s9 ., s'anomenen nomb es de S i l  ...  . . ing de ? p ime aeephcie i sa io an . los elacionsYs e n = o, e n = 1, ' e n ~ .1  e n  .  n s~ . , ., !Un al enomb e de . ipus ac o ial és (m) n =  ,(Wn-1) queens . diu, ;d®-ouan os mane ee k hp  po ,aóllgca , n olnjec es o dena s . en m oapses, Si- A éá ~un ohjun o dena 1laeo g ,, ~ , Ca d{ [1s á --A, c eixen c (m) /n?  i  eái lí Y lms-cómbinae ons , amb epe ición Ezom . gene ali za hcilmen élsnomb es binómials als mul i= nomials ,  .  _ .  . Es clac  q,  p  n,  n que el . nom , bé de,  ue (  si)n = . n~ .  (nl .0 . . . n  T Ta, ip P11 i=1=P, 57 ni n i=1 Un exemple de aplicaci6 és el chicu1 del nomb e de camine _n  _ %T 74 al Si Ca d(X) = n  pe uxia pa ici6 de Z del i pus 1  2 ? ee yak en end em una pa ici6en al pa s~de 1 elemen cada una, a2 . . e, . de 2 elemen s, e c . El nomb e de ala pa icions al bb iamen . El nomb e de pa icions de % en m classes (no buides), m é n es din nomb e de S i ling de segona espbcie S m i da lo n ma eix que Hbm en hcilmen que xn S k 3 k-l 4 .kSk , 1<k<n n! k a T(a !(1!) i i=1 i m . Ca d { l : % -- A, exhaus i a} n 7- Sñ (x) k  i que  Sñ = Sa,= 1 , ima ge m&xima 6 6 3o  n 1 m 12o 36o  n!( m ?-2a .  6~  1  62 54o 156* 18o 2 m p ime exemple que  n~ m  m! S n donem de iuici6 gene a iu . Funcionsgene a ius .- Sigui S = {a,b, . . .}  unconjun deso de- na . La unci6 gene a iu de subconjun s ( o mal) da (l4 . a) (l4 . b) (14 . c) . . . = l4~aib4o4, . . .4 .ab4.ac4 . . . .  (1=O) . El o al de Aplicacions de % en A d mane es de pa i [m --l 2 3 4 5 X . enclasses és n=l1 l`-, 2 3 4 5 Sñ . . . Sñ = .B 21 l"-, 2 6 12 20 (nomb e de Bell) . 3 1 6 6 24 6o Hom demos a que 4I 1 14 36 24 120 °° ñ - ., .n, e (e -1) 51 1 30 l .a 24o 12 Pe gene a amb epe ició enscal la unció gene a iu (l4 . a4-aa~aaaa .° ° ,) (l4 .b~bb& . íbb°°°)°,°°° = sigui S = ~a,b,,c,°°°} un conjun o dena ° Si olem es- c iu e'1 de o es les mane espossiblessegonal'o d e(pe - mu acions), la °g° és a b C Pe se eix pe a designa el pe menen , de ini així s n Pe (s ij ) = Z  TT a d(i)91  , a om  S n  ol di el g up simb io° i , j =l .n  TES n i=1 Des aquem que P(AB) ;IP(A)°P(B) ° El cálcul de De (A) eque eix 0(a 3 /3) ope acions (usan la iangulació d® Gauaa ; s pa i d® la de inició és 0((n-1)n!) )° Pe con a, lo millo que hom ha ob ingu quan al cálcul de P(A) és e -ho en 0(n2 n-l ) ope acions, 1 és p oblemaobe el millo a -ho° Si  ~ a lj =1  i  Z a ij = 1  la ma iu A e9 diu doblemen j es o(-ág ica° Lla o s an de ;Nae den a . conjec u a que Fg (A)  n!/n n , i que el mínim s'ob é si a ij = 1/n ° Se sap que ós Ce a en dimensió baixa, que el pun dona éa mínim local, peyó no hom é enca a una demos aci6 de la conjeC u a° La °g° de subconjun 9 o dena a a ° ob é b .cilmen com El gene ado de subconjun s de m elemen s o dena a és (a 4.b4- °°°)(a4- b4- °°é)°°°  -(a .4 :b4 . c& °°°) m ,  ¡si olem Io a els subconjun s o dena s ens cal usa  1 - s+b + . . .~  ' Es possible cons ui .g . mamb iques : Si donam a co es a iables alo 1 1 a d'al es el ze o queda an els e mes que po en o es les a iables amb 1, 1 ola podem comp a . Exemple : quan s subconjun s de k elemen s men a? Donem a o s els elemen s (1 1 * x) n . Lla o s només cal eu e Quan ssubconjun s o dena e k 1  k" hi ha en un conjun de n ele- el alo x . La .g . al a a el coe icien de xk : (k` amb eDe ici6 hi ha de k elemen s? Cal calcula simplemen el coe icien de x  a  1- nx , és a di n . En gene al, donada una successi6 (a n ) hom de ineixen un- cions gene a ius  0 ( ) _  a n i  q( ) _  b n /n!  , i en - n  n k  . ies a iables  O( ,u) = Z a nk u  . Vegem uns quan a exemples de l'ús de les .g . pe a ob eni in o maci6 sob e successiona donados pe ecu éncies Conside emla successi6 de Fibonacci : F o=F 1 = 1, 1  F n = F n-1 +F n-2 . Lla o s hom é  = 14 . + ~-- F n n = n32 1 1- - 2 Si l i 2 s6n les a els del denominado és immedia que Fn = ( l+l - 2+1) / ( l- 2 ) l+ + Z- : (F n-1 +Fn-2) n = l+ 0+ 2 0 n 2 que implica 0 = l+ 1sñ nñ uk = (1+ ) u ,  1+ZSñ nn uk = exp(u(e -1)) Aques ipue de aonamen és aplicable a mul a polinomis o ogonals, unciona esoecials, nomb es de Be noulli i d'Eule , e c . El mé odo usa pel nomb es de Fibonacci po usa -se pe o a equac16 en di e bncias ini os de coe icien e cons an s . Pels nomb es de S i ling enim les següen s .g . Vegemalgunes aplicacions no an elemen als de les eg . El p oblema de Ca alan consis eiz en calcula de quan es mane- es hom po posa pa bn esien,laexp essi6 del p oduc e P = X1%2 eo .X n o Pe exemple, si n= 4 podem esc iu e P= X2 .X2 .(X 2 .X)X = (X.X 2 )X = X(X 2 .X) = X(X .X 2 )  i e4 = 5 , La ecu- n-1 bncia és  a n = 37 alea n-k , amb ao =o, a l =1 o Cons uim la 1  .  n-1 unci6gene a iu s  O ( ) = &~ a n = & T n ( E a a  ) n~2 n  111 :2  1 k ~k ó  7~  ahak k4 h = 4 . (Fa h h ) ( 57 ak k ) = 4»02( ) i pe sn h,káo ~( )=2(1- 1-4 ) = 2L1-Z( 1 á 2 1(-4 ) n , de on  an = ñ 1 2 n-1) 9 ques6nels anomena s nomb es de Ca alano pe np 4  ind iem  (X 2 .X)X = (X.X 2 )X = X(X 2 .X) = X(X .X 2 ) i nomás ens es a b 4 = 2 , La ecu éncia és más complicada < b 2P-1 = bl b 2p-2 '- . . . 4.bp-2bp  ,  si  p=2 i d'aixa su b2p = b 1 b 2p-1  oeo  bp_ 1b p`11 41 1 bp }l j Ia1 2 ~( ) = ~2~2( )4 .2¢( 2) o si em  _  -1 enim inalmen 1'equaci6 uncional  1 2( ) 4~ j( 2 ) 4 .2 = o e La se a soluci6 és enca a p oblema obe , i Mhuc la es imaci6 asimp b ica dele "'coe icien s omhn desconeguda . P incipi d'inclusi6-exclusi6 o- La basen'éslo que en p obabi- li a s hom coneix com a a mulad'Eule -Poinca é s Ca d(UA ) _ 57 Ca d(A ) -  Z :  Ca d(A i nA) 4 . . . . 1i l~i~n  il :5i<jin  3 Si hom conside a els pa hn esi commu a ius ('Wedde bu n) 4. (-1 . ) n-l Ca d(A l nA 2 . . .nA n ) Sigui % un conjun de n objec es . Homdin que una pe mu a- ci6 a- de . % és un desa anjamen si no é cap pun ix . Comp em els desa anjamen e usán .l a b mula d'Eule -Poinca é : d( n ) =n ! - ( n . ( n -l)! - (2) ( n -2)! + . . .) = n!  (1-i! 4 . 2! . . . . - n!/e  (si n és g an) . La .g . dels desa anjamen e és e (1~ ) -1 . Vegem gene al¡ zacions del desa anjamen s : Un k .n ec án- gle lla í és una ma iu d'aques es dimensions, o mada amb ele- men s de % al que a cap ila ni columna hi ha elemen s epe i s . Si k= 2 enim els desa anjamen e . .Si k= 3 hi ha ecu éncies i es imaci6 asimp b iea del nomb e de ec angles lla ins, pe b, si k>3 no enim ni Puna cosa ni 1'al a . Si k=n hom pa la de quad a slla ins . Ac ualmen es coneix la següen aula n , 2 3 45 6  7  8 nomb e de quad a slla ins 114 56 940816942o8o 5352814o1856 L'es udi pe n 9 és p oblema obe i di ícil . Din e aques a amilia hi ha el ben conega p obléme des ménages : En una aula odona hi ha n pa elles al e nades (home- dona) . Quan esmane es hi ha d'asseu e's sense que ningú ingui al cos a la se a p bpia pa ella? Hom " a el chlcul pe educci6 . P ime hom suposa o es lea dones assegudes (n!^2 possibili a o) . Sigui ~(n) el alo edui . De inim una pe mu aeió 6 al que 6(i)~i, £4 .1 si i-1-n-l ; 0-(n)~l,n . A 21  =  i41} , i=1=n-1} hom é ~(n)=Ca d(nA i ) A 2n  =  { 6 1 Q ( n ) - 11  J Lla o s s'a iba a  ~(n) . = ~(-1) k (n - . k)! V k (n) , on V k (n) és k