Pub
.
Ma
.
UA
B
nó
lo,
Desemb e
1978
Un
oblemamol
di ícil
d'anells
de
u
(#)
P
.
Me
na 1
Secci6
de
Ma emá iques
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
Dona s
un
cos
K
i
un
g up
G
hoM
po
cons ui
un
anell,
1'anell
de
g up
K[
G]
,
de
la
mane a
següen
:
ele
elemen s
a
.
de
IT G]
s6n
les
combinacions
lineals o mals
d'elemen s
de
G
amb
coe icien e
a
K
.
Es
a
di
Cl
.
= E
a
x
.
x,
a
x
e
K
i
quasi
o s
nuls
.
Dona
que
G
és
un
g up,
KIGI
adme
una
es uc u a
d'anell
:
a
=
E
ax
.
x, S
=E b
*
y,
alesho es,
xeG
y£Gy
ap
=E
(a
by
).
xy
x
.
y
EG
x
D'aques a
mane a
KTG] Os
una
K-álgeb a
.
Els
anells
de g up
apa eixen
d'una
mane a
na u al
en
es udia
ep esen acions
d'un
g up
G,
és
a
di ,els
homomo ismea
~
:
G
-1
Au
k
(V),
on
V
és
unK-espai
ec o ial
.
Una al
ep esen aci6
d6na un
homo-
mo ismed'anells
(o)
con e énciadonada
ale
alumnes
de
la
U
.A
.B
.
el
24 de
No emb e
de
1977
.
-
-
63
64
0*
:
K[
G]
_
b
Hom
k
(V,
V
)
E
a
x
.
x
a
.-,
E
a
x
'
§
(x)
.
Pe
an ,es udia
les
ep esen acions
de
G
equi al
a
es u-
dia
els
K[G) -maduls
.
A
1'ho a
d'es udia
els
módulssob e
un
anell
és
mol
necessa i
conéixe
el
adical
de
Jacobson
d'aques
anell
.
Aixi, é
sen i
plan eja
el
següen
PROBLEMA
.
T oba JK[GI( adical
de
Jacobson
de
K[G])
.
Jo
old ia
pa la
en
aques axe ada
sob e
aques
p oblema
plan eja
a
una
25
anys
i
que,
ho es
d
'a a,
no és
esol
.
En
els
casos
que
JK[G]
és
conegu ,el
que
s'ha
e
és
oba
un
con enien
subg up
H
de
G
al
que
JK[
G]
=
JK[
H] K[ G]
i
de
mane a
que
1'es uc u a
de
JK[H] sigui
ácilmen calculable
o
al
menys
más
ácil
que
la
de
JK[
G]
.
Comenga é
suposan
que
G
és
ini ,
G
={x1,x2,
. . . .
xn
}
.
En
aques
cas
V
=K[G]
és un
espai
ec o ial
de
dimensi6
n<
m
.
Pe
an
JK G]
m
=JK1G]
m{'
1
pe
a
un ce
m>_
1
.
Aplican
el
lema
de
Nakayama
enim
JK[G]
m
=
(0)
.
Conside em
la
ep esen ació
e
gula
de
K[G],
que
és
:
K[G]
-
.D
Hom
(V,
V)
,
V
=K[G]
(a)
( )=a ,
e
V
.
®
p,
®
F p
I
OF
II
®
1
Suposem
0
# a
e
JK[G]
.
Alesho es
podem
esc iu e
a
-
--
-a
l
"
x
1+
.
.a a n.xn
i
al
96
0,
pe
exemple
.
Mul iplican
si
con é
pe
x
-1
podem
suposa
x
1
=1
.
Aga em
x1,'
.
.,x
n
com
a
base
1
de
V
pe
a
calcula
la
aca
del
(a)
.
Si
x
e
G
enim
(x)
=
0
si
x
1,
(1)
=
n
.
Aixi,
(a)=n
a
com
que
(a)
és
nil
.po en
n a
1=
0
.
Aixó
ol
di
que
la
ca ac e ís ica
de
K
és
p>
0 i
pan
.
En
pa icula
G
é
elemen s
d'o d e
p
.
Recíp ocamen
suposem
c(K)
=p
i
pan
.
Alesho es
a
=
E
x
yÉ
0
és
al
que
a2
=
1
Gl
a
=
0
i
comque
a
és,
x
e
G
cen a
l a
K[ G]
eiem
-
que
a
e
JK[
~]
.
Resumin ,
Teo ema
1
(Mashcke)
.
Sigui
G
un
g up
ini
.
Alesho es
JK[G]
=(O)
si
i
només
si c
(K)
=
0
o
si
c
(K)
=p
>
0,
pX
1
Gl
.
Les
écniques
de
demos ació
del
Teo ema
1
són
1.-
JK
~G]
és
nilpo en
.
2 .-
Les
uncions
aga
(no
es
poden
u ili za
en
el
ca s
in ini ),
En
gene al
JK[G]
no és
nilpo en ,
pe a
si
ho
és
enim
Teo ema
2
'(Passman,1970)
.
Si
JK[G]
és nilpo en ,
alesho es
(i)
JK[G] =
JK[
n
p
(G)1
KjGj
_ ,
JK~p
p
(G)
]
=
U
JKCW
]
on
WQ
OP
(G)
W
(ii)JK[G~
=
(0)
si
i
només
si
¿
p
(G)
=
<
1>
,
on
á
(G)
=
{x
E
G
:
[G
:N
x
(G)
]
<
co
}
,
A
p
(G)
=<
x
e
p
(G)
:
1'o d e
de
x
és
po éncia
de
p>
.
En
gene al
JK[G]
no és
nilpo en
.De
o a
mane a
es ú
conjec u
a
que
JK[G]
és
semp e
un
nil-ideal
.
Com
hom
ha
a iba a
aques a
conjec u a?
.
Ami su (1959)
demos ó
que
si
H
és un
subg up
de
G
de
ipus ini
es
compleix
que
JK[
G]nK[H]
c
JHj
H1
.
Sigui
a
e
^G]
,
a
= al
x
l
+
.
.
.+
a
nx
n
.
Alesho es
si
H =
<
x
1
, . . . .
xn
>
enim
que
CLe
JK[H]
.
K[H]
és
una
K-álgeb a
de
ipus ini
.
Suposem
.
'de
momen
que
G
és
abeliá
.
Alesho es
K[q
és
una
K-álgeb a
conmu a i a
de
ipus
ini
.
Es
dedueix
del
eo ema
dels
ze os
de
Hilbe
que
JK[H]
és un
nil-ideal
.
D'aques a
mane a
eiem
que
una
bona
gene ali zaci6
del
T
.Z .H
.
pod ia
po a en
el
cas
no
commu a iu,
a la
solucib
d'aques a
conjec u a
.
Ami su
p o á
que
si A
és
una
K-álgeb a
de
ipus
ini
que
sa is á
una
iden i a
polinómica,
alesho es
J(A)
és
nil
.
Si
la
conjec u a
os
ce a,hom
pod ía p o a
que
JK1G]
=
(0),
si la
c(K)
=0,
u ili zan
el
següen
Teo ema
3
.
Si
c(K)
=
0,
alesho es
K[G] no é
nil-ideals
.
Teo ema
4
(Ami su -Passman)
.
Suposem
que
c
(K)
=p
>
0
i
que
K
é
elemen
anscenden
sob e
el
cos
p ime
.
Si
G
és un
g up
que
no
elemen s
d'o d e
p
en el
cas
p >
0,
alesho es
JK[G]=
(0)
.
un
é
Ami su
p o á
(1970)
pe
a
p>0
In luencia s
pe
la
s'ha
e
gai e
cosa
més
.
lla
mol
més
.
Cal
no a
Mashcke
no
gene ali za
.
é
JK[G]
=0
.
66'
Apa
d'aques a
conjec u a
enim
els
esul a s
següen s
;
aques
eo ema
(1959)
pe a
p
= 0 i
Passman
®
F
FF
m
,
I
F
VI
T
conjec u a,
en
ca ac e ís ica
ze o
no
En
ca ac e ís ica
p>
0
s'hi ha
eba-
p ime
que
en
el
cas
in ini
el T,de
Pe
exemple
si
G
=Z
-
.Z
p
i
c
(K)
=p
hom
Passmande ineix
un
nou
ideal
adical
pe
un
anell
A
.
N#(A)={a
E
AlaiB
és
nilpo en
pe
a
o
subanell
B
de
ipus
ini
de
A}
.
Si
Hc
G
és
un
subg up,
hom
diu
que
H
és
localmen
d'index
ini
(l
.
.)
si
pe
qualse ol
subg up
S
de
G
de
ipus ini
es
compleix
[S
:Sn
H]
<
co
.
Dona
un
g up
G
es
de ineix
A
(G)
={xP
.
Gl
[G
:N
x
(G)1
=1
.
.}
.
Es
demos a
que
A+(G),
els
elemen sd'o d e
ini ,
o men
subg up
.
Amb
aques a
no acib
enim
Teo ema
5
(Passman
1974)
N
*
(K[
G]) =
J
(K[
A+
(G)
])
K[ G]
.
Passman
ha
e
la
següen
Conjec u a
.
N#
(K[G])
=J(K[G])
.
A+(G)
és un
g up
localmen
ini
i,
si
la
conjec u a
és
ce a,
una
segona
e apa
és
es udia
els
g ups
localmen
ini s
.
El
eball
més
signi ica iu
d'aixb
és
el
d'en
Passman(1975)
.
Sigui
G
un
g up
localmen
ini
i
HcG
un
subg up
iini
.
Alesho es
H
és
localmen subno mal
a
G
(H
lsn
G)
si
H
és
subno mal
a
o s
els,g ups
ini s
Hcj
SS
G
.
Un
subg up
SS
G
és
subno mal
a G
si
exis
eixen
subg ups
S
=S
1
os
2
d
. .
.4
S
n=G
.
(G)
=
(Al
A
lsn
G
)
.
S
P
(G)
=
(Al
A
lsn
G,
Ap =
A),
on
A
p
és el
subg up
gene a
pe p-elemen s
.
Si
0
(G)
és
el
p-subg up
no mal
maximal
de
G,
hom
de ineix
67
(G)
?
0
(G)
i
p
~(G)
/O
p
(G)
p_~
(G/O
p
(G»
) .
JK[G]
=
JK
[AA
P
(G))]
K[G]
.
Alesho es
es
p oposa
coma
candida
a
JK[G]
el
següen
:
JK
[j(G)]
K[G]
.
Si
aix6
os
del
o ce es
ind ia
que
JK[G]
y¿
0 si
i
només
si
J(M'(G))
é un
elemen
d'o d é
p
.
Des aca em
que
si
G
és un
g up
esoluble
o
un
g up
lineal
en
ca ac e ís ica
p,
alesho esen e
Hamp on-Passman-Zaleskii
p o enque
JK[G]
7É
(0)
si
i
noméssi un
ce
subg up
de G
(que
de e minen)
é
un
elemen
x
d'o d e
p
al
que
[G
:N
x]=
1 .
.
Finalz«
:a
(LC1li'CC
1977)
Passman
demos ó
quepe
a
un
g up
localmen esoluble
:
En
el casde
g ups
lineals,
enca a
hi
ha
algunes
p egun es
obe es
:
SiguiG
un
g up
lineal
localmen ini
de
ca ac e ís-
icaq
.
Sigui
Kun
cos
de
'
ca ac e ís ica
p
.
Si p=0 és
ob i
que
JK[G]
=
0
.
Si
q=0
o
q
=
p
Passman
p o á
(1974)
que
si
:
0
(G)
=¢1>,
alesho es
JK[G]
és
nilpo en
i
la
se a
es uc u a
és
donada
pel
Teo ema
2
.
El cas
p>
0,
q>
0
i
p
7g
q sembla
més
di ícil
i
no és
conegu
.s
i 0 (G)
=<l>
implica
que
JK[G]
és
nilpo en
.
Poden
mi a
The
Ame ican
Ma h
.
Mon hy,
Ma s
1976,
p
.173
on
Passman
a
una
in oducci6
als
anells
de
g up
.
BIBLIOGRAFIA
[2]
Ami su ,S
.A .,
The
adical
o
ield
ex ensions,
Bull
.
Res
.
Council
Is ael,
7
F(1957),
1-10
.
[4]
Passman,D
.S
.,
In ini e
g oup
ings,
Ma cel
Dekke ,
New
Yo k,
1971
.
Ami su ,S
.A
.,
On
he
semi-simplici y
o
g oup
algeb as,
Michigan
Ma h
.
J
.
6(1959),
251-253
.
Hamp on,C
.R
.
and
Passman,D
.S
.,
On
he
semisimplici y
o
g oups ings
o
sol able
g oups,
T ans
.
Ame
.
Ma h
.
Soc
.
173(1972),
289-301
.
Passman,D
.S
.,
Ad ances
in
g oup
ings, Is ael
J
.
Ma h
.,
19(1974),
64-107
.
Passman,D
.S
.,
The
semisimplici yp oblem
o
g oup
ings,
Symp
.
Ma h
.
Vol
.
13,
333-342,
Academic-P ess,
New
Yo k,
1974
.
Passman,D
.S
.,
The
Algeb aic
S uc u e
o
G oup
Rings,
Wiley-In e science,
1978
.
Passman,D
.S
.,
The
Jacobson
Radical
o
a
g oup
ing
o
a
locally
sol able
g oup,
(pe
apa éixe ),1977
.
Wallace,D
.A
.R
.,
The
Jacobson adicals
o
he
g oup
alee
b as
o
a
g oup
and
o
ce ain
no mal
subg oups,
Ma h
.
Z
.
100(1967),
282-294
.
[10]
Zalesskii,A
.E
.,
On
g oup ings
o linea
g oups,
Sib
.
Ma h
.
J
.
12(1971),
246-250
.
[11]
Zalesskii,A
.E
.,
The
Jacobson
adical
o
he
g oup
algeb a
o
a
sol able
g oup
is
locally
nilpo en ,
Iz
.
Nauk
.
SSSR,
Se
.
Ma h
.
38(1974),
983-994
.
