Un problema molt difícil d'anells de grup

Pub . Ma . UA B nó lo, Desemb e 1978 Un oblemamol di ícil d'anells de u (#) P .  Me na 1 Secci6 de Ma emá iques Uni e si a Au ónoma de Ba celona Dona s un cos K i un g up G hoM po cons ui un anell,  1'anell de g up K[ G] , de la mane a següen : ele elemen s a . de IT G] s6n les combinacions lineals o mals d'elemen s de G amb coe icien e a K . Es a di Cl .  = E  a x .  x,  a x e  K  i quasi o s nuls . Dona que G és un g up, KIGI adme una es uc u a d'anell : a = E ax . x, S =E b * y, alesho es, xeG y£Gy ap =E  (a by ). xy x . y EG x D'aques a mane a KTG] Os una K-álgeb a . Els anells de g up apa eixen d'una mane a na u al en es udia ep esen acions d'un g up G, és a di ,els homomo ismea ~ : G -1  Au k (V), on V és unK-espai ec o ial . Una al ep esen aci6 d6na un homo- mo ismed'anells (o) con e énciadonada ale alumnes de la U .A .B . el 24 de No emb e de 1977 .  -  -  63 64 0*  :  K[ G] _ b  Hom k (V, V ) E  a x .  x  a .-,  E  a x '  §  (x) . Pe an ,es udia les ep esen acions de G equi al a es u- dia els K[G) -maduls . A 1'ho a d'es udia els módulssob e un anell és mol necessa i conéixe el adical de Jacobson d'aques anell . Aixi, é sen i plan eja el següen PROBLEMA . T oba JK[GI( adical de Jacobson de K[G]) . Jo old ia pa la en aques axe ada sob e aques p oblema plan eja a una 25 anys i que, ho es d 'a a, no és esol . En els casos  que JK[G] és conegu ,el que s'ha e és oba un con enien subg up H de G al que JK[ G] = JK[ H] K[ G] i de mane a que 1'es uc u a de JK[H] sigui ácilmen calculable o al menys más ácil que la de JK[ G] . Comenga é suposan que G és ini , G ={x1,x2, . . . . xn } .  En aques cas V =K[G] és un espai ec o ial de dimensi6 n< m . Pe an JK G] m =JK1G] m{' 1 pe a un ce m>_ 1 . Aplican el lema de Nakayama enim JK[G] m = (0) .  Conside em la ep esen ació e gula de K[G], que és : K[G] - .D Hom (V, V) ,  V =K[G] (a) ( )=a ,  e  V . ® p, ® F p  I OF  II  ® 1 Suposem 0 # a e JK[G] . Alesho es podem esc iu e a - -- -a l " x 1+ . .a a n.xn i al 96 0,  pe exemple . Mul iplican si con é pe x -1 podem suposa x 1 =1 . Aga em x1,' . .,x n com a base 1 de V pe a calcula la aca del (a) . Si x e G enim (x)  = 0  si  x  1, (1) = n . Aixi, (a)=n a  com que (a) és nil .po en n a 1= 0 . Aixó ol di que la ca ac e ís ica de K és p> 0 i pan . En pa icula G é elemen s d'o d e p . Recíp ocamen suposem c(K) =p i pan . Alesho es a  =  E  x yÉ 0  és al que a2 = 1 Gl  a = 0 i comque a  és, x e G cen a l a K[ G]  eiem - que a  e JK[ ~] . Resumin , Teo ema 1 (Mashcke) . Sigui G un g up ini . Alesho es JK[G] =(O) si  i només  si c (K) = 0  o si c (K) =p >  0,  pX 1 Gl . Les écniques de demos ació del Teo ema 1 són 1.- JK ~G] és nilpo en . 2 .- Les uncions aga (no es poden u ili za en  el ca s in ini ), En gene al JK[G] no és nilpo en , pe a si ho és enim Teo ema 2 '(Passman,1970) . Si JK[G] és nilpo en , alesho es (i) JK[G] = JK[ n p (G)1 KjGj _ , JK~p p (G) ] =  U  JKCW ] on WQ OP (G) W (ii)JK[G~ = (0) si i només si ¿ p (G) = < 1> , on á (G)  = {x E G : [G :N x (G) ] < co } , A p (G) =< x e p (G) : 1'o d e de x és po éncia de p> . En gene al JK[G] no és nilpo en .De o a mane a es ú conjec u a que JK[G] és semp e un nil-ideal . Com hom ha a iba a aques a conjec u a? . Ami su (1959) demos ó que si H és un subg up de G de ipus ini es compleix que JK[ G]nK[H] c JHj H1 . Sigui a e ^G] , a = al x l + . . .+ a nx n . Alesho es si H = < x 1 , . . . . xn > enim que CLe JK[H] . K[H] és una K-álgeb a de ipus ini . Suposem . 'de momen  que G és abeliá . Alesho es K[q és una K-álgeb a conmu a i a de ipus ini . Es dedueix del eo ema dels ze os de Hilbe que JK[H] és un nil-ideal . D'aques a mane a  eiem que una bona gene ali zaci6 del T .Z .H . pod ia po a en el cas no commu a iu, a la solucib d'aques a conjec u a . Ami su p o á que si A és una K-álgeb a de ipus ini que sa is á una iden i a polinómica, alesho es J(A) és nil . Si la conjec u a os ce a,hom pod ía p o a que JK1G] = (0), si la c(K) =0, u ili zan el següen Teo ema 3 . Si c(K) = 0, alesho es K[G] no é nil-ideals . Teo ema 4 (Ami su -Passman) . Suposem que c (K) =p > 0 i que K é elemen anscenden sob e el cos p ime . Si G és un g up que no elemen s d'o d e p en el cas p > 0, alesho es JK[G]= (0) . un é Ami su p o á (1970) pe a p>0 In luencia s pe la s'ha e gai e cosa més . lla mol més . Cal no a Mashcke no gene ali za . é JK[G] =0 . 66' Apa d'aques a conjec u a enim  els esul a s següen s ; aques eo ema  (1959) pe a p = 0 i Passman ® F FF m , I F VI T conjec u a, en ca ac e ís ica ze o no En ca ac e ís ica p> 0 s'hi ha eba- p ime que en el cas in ini el T,de Pe exemple si G =Z - .Z p i c (K) =p hom Passmande ineix un nou ideal adical pe un anell A . N#(A)={a E AlaiB és nilpo en pe a o subanell B de ipus ini de A} . Si Hc G és un subg up, hom diu que H és localmen d'index ini (l . .) si pe qualse ol subg up S de G de ipus ini es compleix [S :Sn H] < co . Dona un g up G es de ineix A (G) ={xP . Gl [G :N x (G)1 =1 . .} . Es demos a que A+(G), els elemen sd'o d e ini , o men subg up . Amb aques a no acib enim Teo ema 5  (Passman 1974)  N * (K[ G]) = J (K[ A+ (G) ]) K[ G] . Passman ha e la següen Conjec u a . N# (K[G]) =J(K[G]) . A+(G) és un g up localmen ini i, si la conjec u a és ce a, una segona e apa és es udia els g ups localmen ini s . El eball més signi ica iu d'aixb és el d'en Passman(1975) . Sigui G un g up localmen ini i HcG un subg up iini . Alesho es H és localmen subno mal a G (H lsn G) si H és subno mal a o s els,g ups ini s Hcj SS G . Un subg up SS G és subno mal a G si exis eixen subg ups S =S 1 os 2 d . . .4 S n=G . (G)  = (Al A  lsn G ) . S P (G) = (Al A lsn G, Ap = A), on A p és el subg up gene a pe p-elemen s . Si 0 (G) és el p-subg up no mal maximal de G, hom de ineix 67 (G) ? 0 (G) i p  ~(G) /O p (G)  p_~  (G/O p (G» ) . JK[G] = JK [AA P (G))] K[G] . Alesho es es p oposa coma candida a JK[G] el següen : JK [j(G)] K[G] . Si aix6 os del o ce es ind ia que JK[G] y¿ 0 si i només si J(M'(G)) é un elemen d'o d é p . Des aca em que si G és un g up esoluble o un g up lineal en ca ac e ís ica p, alesho esen e Hamp on-Passman-Zaleskii p o enque JK[G] 7É (0) si i noméssi un ce subg up de G (que de e minen) é un elemen x d'o d e p al que [G :N x]= 1 . . Finalz« :a (LC1li'CC 1977) Passman demos ó quepe a un g up localmen esoluble : En el casde g ups lineals, enca a hi ha algunes p egun es obe es : SiguiG un g up lineal localmen ini de ca ac e ís- icaq . Sigui Kun cos de ' ca ac e ís ica p . Si p=0 és ob i que JK[G] = 0 . Si q=0  o  q = p Passman p o á  (1974) que si : 0 (G) =¢1>, alesho es JK[G] és nilpo en i la se a es uc u a és donada pel Teo ema 2 . El cas p> 0, q> 0  i  p 7g q sembla més di ícil i no és conegu .s i 0 (G) =<l> implica que JK[G] és nilpo en . Poden mi a The Ame ican Ma h . Mon hy, Ma s 1976, p .173 on Passman a una in oducci6 als anells de g up . BIBLIOGRAFIA [2]  Ami su ,S .A ., The adical o ield ex ensions, Bull . Res . Council Is ael, 7 F(1957), 1-10 . [4]  Passman,D .S ., In ini e g oup ings, Ma cel Dekke , New Yo k, 1971 . Ami su ,S .A ., On he semi-simplici y o g oup algeb as, Michigan Ma h . J . 6(1959), 251-253 . Hamp on,C .R . and Passman,D .S ., On he semisimplici y o g oups ings o sol able g oups, T ans . Ame . Ma h . Soc . 173(1972), 289-301 . Passman,D .S ., Ad ances in g oup ings, Is ael J . Ma h ., 19(1974), 64-107 . Passman,D .S ., The semisimplici yp oblem o g oup ings, Symp . Ma h . Vol . 13, 333-342, Academic-P ess, New Yo k, 1974 . Passman,D .S ., The Algeb aic S uc u e o G oup Rings, Wiley-In e science, 1978 . Passman,D .S ., The Jacobson Radical o a g oup ing o a locally sol able g oup, (pe apa éixe ),1977 . Wallace,D .A .R ., The Jacobson adicals o he g oup alee b as o a g oup and o ce ain no mal subg oups, Ma h . Z . 100(1967), 282-294 . [10]  Zalesskii,A .E ., On g oup ings o linea g oups, Sib . Ma h . J . 12(1971), 246-250 . [11]  Zalesskii,A .E ., The Jacobson adical o he g oup algeb a o a sol able g oup is locally nilpo en , Iz . Nauk . SSSR, Se . Ma h . 38(1974), 983-994 .