Publ
.
Ma U
.A
.B
.
n4
8
Juny
1978
UNIVERSIDAD
AUTONOMA
DE
BARCELONA
FACULTAD
DE
CIENCIAS
SECCION
DE
MATEMATICAS
SEMISISTEMASDINAMICOS
DISCRETOS
DEBILES,
Y
SU
APLICACION
A
LA
OPTIMIZACION
DE
FUNCIONALES
Memo iap esen ada
pa a
op a
al
g ado
de
doc o
E
.Llo ens
Fus e
Es e
esis
doc o al
ue
di igida
po
el
Ca ed á ico
D
.O
.
FLORENCIO
DEL
CASTILLO
ABANADEES,
y
ue
leida
el
día
9
de
diciemb e
de
1977
en la
Facul ad
de
Ciencias
de la
Un¡
e sidadAu 6noma
de
Ba celona
an e
el
siguien e
ibunal
:
PRESIDENTE
D
.D
.
Albe o
DouMas
de
Xexás
VOCALES
D
.D
.
Juan
Luis
Ce dá
Ma ín
O
.D
.
Flo ancio
del
Cas illo
Abánades
D
.D
.
Julián
Cu í
Sob eg au
VOCAL
SECRETARIO
D
.D
.
Ca los
Pe ell6
Valls
Cali icaci6n
:
SOBRESALIENTE
"CUB
LAUDE"
Deseo
hace
cons a
mi
ag adecimien o
al
P o
.D
.D
.Flo encio
del
Cas illo
Abanades,
Ca ed á ico
de
la
Uni e sidad
de
Málaga,
Di ec o
de es e
abajo,
sin
cuya
ayuda
y
comp ensión
no
hubie a
sido
posible
.
1
9
1
N D
1
C E
INTRODUCCION
....
.
.
. .
.
.
....
....
........
..
........
. .
..
1
.*
EL
ESPACIOCON LIMITE

(F(11)
,o)
2
.
:SEMISISTEMAS
DINÁMICOS
DISCRETOSDÉBILES
De inición
y
ejemplos
. .
...
......
........
. .
Soluciones
.
....... .
...
.
.
......
.....
.......
Semiconos
de
ayec o ias
...
.
.
. .
.........
.
In a iancia
....
....
........
. .
. -
.
........
.
.
Pun os
c í icos,
de
pa ida
y
pe iódicos
.
Conjun os
limi e
. .
.
.
...
....
Funcionales
de
Liapuno
........
.....
.
.
....
A acción
.
........
.
.
...
........
...
.......
.
Es abilidad
.....
. .
. ........
. .
.........
...
Minimalidad
.
......
.......
......
......
....
Recu si idad
y
es abilidad
Poiss6n
.
. .
.
.
. .
Semisis emas
sob e
un
conjun o
débilmen e
compac o
de
H
.... .
.. .
........
.
.
...
........
...
.
. .
....
3
. :
APLICACION
AL
ESTUDIO
DE
ALGORITMOS
DE
MINIMIZACIONDE
FUNCIONALES
....
........
.....
.......
...
.
.
....
. .
.
. .
. .

60
Hipó esis
y
plan eamien o
del
p oblema
...

60
Semisis ema
sob e
IVEF(H)
asociado
a
un
algo i mo
ipo
g adien e
.....
. .
.........
...
....... .

67
REFERENCIAS
.
.....
........
....
......... .............
2
e
16
16
21
22
23
24
26
34
37
45
50
54
57
72

TNTR0DUCCln-14
Dado
un espacio opológico
X y
una aplicación
n
:XxR
-y
X
con
las
p opiedades
:
I)
VXEX,
n(x,0)=
x

'
II)
VxcX,Vh,keR,
n(n(x,ii),k))=n(x,h+k)
.
III)
n es
con ínua
en
XxR,
se
diceque
la
e na
(X,R,a)
es
un sis ema
dinámico
o dina-
io,
de inición
axiomá ica
que
se
inspi a
en
algunas
p opie
dades
de
las
soluciones
de
un sis ema
di e encial
au ónomo
sob eRn
.
Si
xcXse
llama
solución
de
(X,R,n)
pasando
po
x,
a
la
aplicación
a
x
:R
;
X
de inidapo
n
x
( )=
n(x, ),y
se
llama
ayec o iade
x
al
conjun o
{n(x, )
: cR}
.
Si la
ayec o ia
de
x
se
educe
al
pun o
x,
di
.
cho
pun o
es
llamado
c í ico
o
de equilib io
.
Una
p opiedad
de especial
in e és
es
que
si
x
es
c í ico,
de
se y~x
con
n(y,
n
)yx,

iene
que
se

ni+m
ó

n
i--,

es
deci
que

los
pun os
c í icos
no
puedenalcanza se
en
iempos
ini os
.
Un es udio
de allado
de
los
sis emas
dinámicos
o dina ios,
se
encuen aen
el
lib o
de
V
.V
.Nemy skii
y V
.V
S epano ,
Quali a i e
Theo y
o
Di e en ial
Equa ions,1947,
y
unapues a
al
día
de
es a
eo ía,con
indicación
de
los
camposes udiados
y
écnicas
empleadas
en
los
úl imos
años,
puede e seen
(S),
ob a
desa ollada
p e e en emen e

en
el
casoenque
el
espacio
ase
X
es
mé ico
localmen e
com-
pac o
.
En
Topological
Dinamics
and
O dina y
Di e en ial
Equa ions,
(1971),
G
.R
.
Sell
es udia
el
caso
en
que
X
es
un
espacio
uni o me
.
Modi icando
algunos
elemen os
de la
e na
que
cons i uyeun sis ema
dinámico
o dina io,
se
ob ienen
algu-
nas
ele
las
gene alizaciones
queconducen
al
concep o
de
se
mi-sis ema
dinámicodisc e o
débil
sin
unicidad
-
,
cuyo
es u-
dio
es,
enpa e,un obje i o
de
la
p esen e
memo ia
.
Ci a emos
algunas
de
ellas
.
Si se
conside a
n
.XxR+
-->X
se
ob ienen
semi-
si
.s emas
dinámic
os,
es udiados
po
N
.P
.
Bha ia
y
0
.Hajek
en
(3)
.
Como
pa icula idades
impo an es
p opias
de

los
semisis emas
dinámicos
pueden
señala se
:
a) El
concep o
de pun o
de
pa ida
:
.Si
. uacio
-
nes que
no
puedense in e medias
del
enómeno
conside ado
y
sí
puedense
condiciones
iniciales
.
b)
Un pun o
c í ico
puede
se
alcanzado
en iem
po ini o
.
En
1
.970
M
.Slem od
en (29)
de inesis emasdiná
micos
débiles
(en
ealidad
semi-sis emas)
man eniendo
inal
_
e ados
los
axiomas
I
y
II,
y
eenunciando
.
III
de
modo
que,
(siendo
X
un
espacio
de
Banach),
III')
Si
¡
n
- l-0
y xn
~x
(débilmen e)
en on-
ces
, (xn, n)-
.n(x, )
(débilmen e)
.
Si
la
aplicación
n
es
mul í oca
se
ob ienen,
a
pa i
de
los
sis emasdinámicoso dina ios,
los
sis emas
dinámicos
sin
unicidad
,
que
cons i uyen
un es udio
axiomá _i
code
las
ecuaciones
di e enciales
o dina ias
con
exis en-
cia
de
solución
y
p olongación
de
cada
una
de
ellas
a
oda
la
ec a
eal
.
y
que
han
sido
es udiadospo
G
.P
.
Szego
y
G
.T eccani
en (32)
.
Análogamen e,
si
la
aplicación
n
es
mul í oca
,
se
ob ienen
a
pa i de
semisis emas
dinámicos
o dina ios
los
sis emas
gene alesde
con ol
,
un
es udiode
los
cuales
puede
e se
en
"S abili y
in
gene alcon olsys ems"(1965)
de E
.Roxin
.
También
en
1
.970,
G
.P
.Szego
y
G
.
T ecceni
p e-
sen anen
Va enna
(Como,I alia)
la
comunicación
"An
abs-
ac
o mula ion
o
minimizaban
algo i hms, ecogida
des-
pués
en
(30),
en
la
que
se
in oduce
el
concep o
de
semi
sis ema
dinámico
disc e o
,
que
conside ado
en la
linea
de
las
an e io es
gene alizaciones,
oma
la
aplicación
n
:XXI
+
-
&
y
el
axioma
III
queda,
.si
X
es un
espacio
mé ico
.
III')

Si

xn
-x en onces

n(x
n)
k)
sn(x,k)

Vkcl,
donde
el
símbolo
R
indica
la
con e gencia
en
una
adecuada
opología
in oducida
en
F(X),
espacio
de
las
pa esno
a-
cías
y compac as
de
X
.
En el
mismo abajo
se
aplica
la
Teo ía
de
Semi-
sis emas
dinámicosdisc e os
pa a
da
unap uebaelegan e
de
la
con e gencia
de
de e minados
algo i mos
de
minimización
de
unciones
sob e
Rn
.
yn
e ec o,
si
J
:Rn
---~R,
y
se
a a
de de e mi---
na
sus
mínimos,
un
*
p ocedimien o
es
cons +id
una
sucesión
{x
n
)C
R
n
 al
que
a)
J(x0)>J(x1)
>...
b) (x
n
)
iene
como
lími e
un
pun o
x*,
en
el
que
J
iene
un
mínimo
.
Si
J
es
su icien emen e
egula comopa a
que
las
ope aciones
que
se
indican
engansen ido,
un
mé odopa
Ya
cons ui
{x
n
)
es el
llamado
del
g adien e,en
el
que,
a
pa i
de
un pun oiniciala bi a io
xo
se
oma
:
-G ad
.J(x
n
_)_
x
n+1
=
x
n
+
p
n
siendo
11
G ad
.J (x
n
)1I
p -
a g
.min
.
J(
xn
+
p
'G ad
.J(xn)
)
n

()
p
e
[O,k]

G ad
.
J
(xn)II
con
k>0
p e iamen e
ijado
.
Se a a
de
de ini sob e
Rn
un
semi-sis ema
dinámico
disc e o
adecuado,
(R
n
,I
+
,
)
de
modo
que,
si
xeRn
i (x,k)
sea
el
conjun o
de
los
pun os
ob enidos
a
pa i
de
x
po
k
aplicaciones
sucesi as
del
algo i mo,
ap o echando
p opiedades
del
semisis ema
pa a
p oba
.su
con e gencia
.
Obse amos
que
:
a) El
p oceso
sólo ienesen ido
en
una
di ec
-
cibn,y ademásse íade desea
que
el
pun o
c í ico
se
al-
cance
en
un núme o ini o
de
pasos
.
b)
Fijado
x
n
sucedeque

p n
,
y
po
an o
x
n+1
no es á
unícambn e
de e minado,
lo
que
hace
pensa
en
la
ne
cesidad
de
p escindi
de la
unicidad
.
c)
Fijado
x
n
los
posibles
xil+1
o man
un
com-
pac o
de
Rn
.
Los
compac os
no
a ios
juga án
un
papel
unda
men al
en
oda
la
Teo íade
semisis emas
dinámicos
disc e-
os
.
En
(B)
se
hace
un
es udioex enso
de cie a
cl_a
se de
semisis emas
dinámicos
disc e ossob eR
n
,
que
en
(3d)
G
.
T eceani
aplica
a
la
minimizacibn
de
unciones
so-
b eR
n
.
También
se
expónen
esul ados
en
la
misma
línea
oque
Sa a
algunasubsucesión

{A
l
,,
)}
de

{An
}
se
iene
que
A
n
p
- --~
A
.
En
al
caso,
al
menos
una
subsucesión

{Anp
_
}de
{A
np
}
e i ica
que
A
np7
-°~-)
A
.
iene
que
Pa a
e
(1)
supongamos
que
A
n
=--1
A
mie as
Pe o como
{AnP7
es
subsucesión
de
(A
n
}
se
ob-
i
A
n

°
-1
;
A
en
con a
de lo
supues o
.
Si,
pa a cada
n,
An
=A,
y{A
np
}
es
una subsu-
cesión
a bi a ia
de{A
n
}
en onces
omando
{xp
}
cH
con
xp
CAn
p
(p=1,
. .
.
),

po se A débilmen e
compac o,
puede
su
pone se
que

xp
---Ix
E
A
.
Luego

A
jlp
-2-->
A,
y
al
se
a bi a-
ia
la
subsucesión

{A
np
},
se
iene
que
An
p
A,
es able-
ciéndose
de
es e
modo
(2)
.
Si

la
sucesión

{An
}

no
Q
-con e ge
hacia
A,

al
®

guna
subsucesiónsuya e i ica
que
A
np
°~-~
A
.
P oba emos
que
ningunasubsucesión
de
{A
np
}ácon e ge
al
compac o
A
.
a

En
e ec o
:
Caso
con a io,
si la
sucesión
{A
np1
}
ex aida
de

A
np

e i icaseque

A
np
y
.
)
A,

en
pa icu
la
ambién
se
end ía
que
Anp,

o
-->
A
y
si
omamos
cualquie sucesión

{x
np
}e
H,

con

x
np
EA
np
(p=1,
. .
.
),una
subsucesión
de
{xnp)
}
_

con e ge
débilmen e
a
un
pun o
de
A
.
Pe o,

al
se esa
misma,subsucesión
de

{xn
P
}
se
ob iene,
en
de ini i a
que
Anp
ó
-i
A
una
con adicción
.
Se ha
demos ado
pues
(3) y
con
ello
el
eo e
ma
.

O
Nó ese
que
la
con e gencia
a
e i ica
en F(H)
los
axiomas
(2) y
(3),
mas
no
el
(1)
.
No
obs an e
:
1
.
14
.
:
'

TEOREPIA
Sean
{An
)
CF(H)
,

AeF(11)
.

A
n
-
a
4
A

si
y
sb-
a
lo
si,
pa a
alguna
subsucesión

A
n

A
.
P

P ueba
:
Si pa aalguna
subsucesi6n
'{A
np
}
de
(A
n
)
se
21
iene
que

A
nn
-
°
-
A,
en onces
dada
cualquie sucesión
{xn}Cl{,

con
xneA
n
(n=1,2,
...
),

{x
np
}

admi euna subsuce

--
si6n
débilmen econ e gen e
a
un
pun o
de
A
.
Luego ambién
{xn
}
admi euna
subsucesión
.
débilmen e
con e gen e
a
un
pun-
o
de
A,
y, en
consecuencia,
A
n
-
a-
-T'
A
.
1
.- 1 j .'
:'

TEOREMA
Sea
{A
n
}
una
sucesí6n
en
F(H)
.
Si

A
n
p
A,

en onces

An% A
.
P ueba
:
Si
An
-4
A,

dado

k>0

se iene
que
S(A
n
,A)<k
sal o,
quizás,
pa a
un
núme o ini ode subíndices
.
Puede
supone se,
po
an o,
que
A
n
CS[A,k]
n=1,2,
. .
.
Si
(x
n
)
es
cualquie
sucesión
con
xn
eA
n pa a
n=1,2,
...
en onces
'{xn)CS[A,k]
y
como
consecuencia
de
1
.
3
.
.,
admi euna
subsucesi6n
{x
np
}
con
x n
p
xe5[A,k]
.
Como
B(A
np
,A)
-"
0,
ambién
anp
=
d(x
np
,A)
-
"0
.
De
modo
.análogo
al
expues o
en
la
p ueba
de
1
.3
,
.,
puede
ha
lla seuna sucesión
{Ynp}CA',
al
que
d(x
np
,y
np)=
d(x
np
,A)
=a
P
.
Al
se
A
_débilmen e
compac o,
puede
supone se
que
,
Ynp
.-S
YCA
.
'

Dado
e>0,
puede
halla se
p(e)cI
+
al que
si
p
5
p(e),
d(xnp,Ynp~
=a
np
<e,
lo
que,
en
i ud
del

lema

1
.2 .,
implica
que
d(x,y)?e
.
Luego,
necesa iamen e
-d(x,y)=0,
es
deci qué
xeA,
comple ándose
de
es e
modo
la
demos ación
.
Sea
{A
n
}
una
sucesión
en F(H)
.

Sea
AcF(11)
.
Si

An

0
.
.

A,
en onces

An

a

~--
.
A
.
P ueba
:
Si
A
n

0
'
A,
pa acualquie
subsucesi6n
{Anp
}
de
{An
}
se
iene
que

A
np
-
5
-~-
Q,
y
en
consec iencia,
, l
po
a
el
eo ema
an e io ,
AnP
°
A
.
Luego An

>
A
.
0
Si

{e
i )

es

una
base

o ono mal
en
11,

en onces
®

221a
sucesión
({e
i
}jcF(M)
e i ica
que
{e
i
}
a
{0)
Pe o
5({0}
)

1
e¡]
,

=

pa a odo
i=1,2,
...
.
Po
lo
an o
el
ecíp oco
del
an e io
eo ema
ylcA
a bi a io,
. .
.
,yn9^1cAn9-1
a bi a io,
(1)

(~)
ynl=xnleAni,

.
..

,

y
n2_1
_-xn2_1eAn2_1
.
_
a)

_
(3)
._

y
n
.2
_xn2
eA
n2
,
. .
. ,
yn3-1-xny1
eAn3
_ 1 , ...
Ob iamen e
:
d(y
ni
.A)
!
2,
. .
..
.d(y
n2
_1~A)
12
d(y
n3
_
1
,A)
-N
2
;
.
. .
.
Como yn
cA
n
n=1,
.
.
.,
y An
1
A po
hipó esis,
puede
ob ene seuna
subsucesión
{ynk
}
de
.{y
n
}
al que
y
nk
^s
yeA
y
además,pa a
cada
k,
d(ynk,y)
!
d(Ynk,A)
.
e modo'
:
1
-13
.
:

OBSERV!1CTON
es
also
.
i
1
.14
.
:
TEOREb1A
Sea
{A
n
)
una sucesión
en
F(H)
.
.

Si

Al,
° A

puede
encon a se
una
subsucesión
{Anp
}

de

{A
e
},
al
que

A
np
C
S[A,k]p=1,2,
. .
. ,
p
.

a

al
gún
k>0
.
'

(0,
en
o os
é minos,

{A
n
}
es ácon enida

_e
cuen emen e

S[A,k]
*
pa a
algún
k>0)
.
P ueba
:
Caso
con a io
{A
n
)
es á
úl imamen e
no
con e-
nida
en
S[A,k]
pa a
odo
k>0
.
Dado
k=2
3n
1
.
/
si
ninl

B(An,A)
á2
.
Dado
k=2

sn
2
>n
)
/
si
n
i
n2

B(A
n)
A)

2
2
Se
cons uye
aho a
la
sucesión
(y¡
}
del
siguien
d (y
n2?
A)12
2
,
. .
,
Dadok=2p
3nP>nP_1/
si
n~np
Po an o
:
B(A
n ,A)
2p
Dado
k=2
3n
1
/
si
n''-n,
3xñeA
n d(xñ,A)12
'
Dado
k=2
2
3ñ
2
>nj
/
si
niin
2
3xñeA
n
d(xñ,A)!!2
2
."
Dado
k=2p
3np>np_1/
si-n-np
3xñeA
n d(xñ,A)12P
2 3
Po
lo
an o,

{d(Ynk,y)}

es á
mino ada
po
una
sucesión
numé ica
no
aco ada,
lo
cual
es
absu doya
que
si

ynk
-~
y,
exis e

K1>(1

al que
lYnk
-

YO

<
M,

(k=1,
..
.
)-
Sea

J
:
H
---3
R
un
uncional
sob e
Fi
al
que
1
.15
.1
.!
J es
débilmen e
secuencialmen e
con íni o
en
H
.
1
.15
.2
.
:
J
admi e
un
mínimo,x*
.
En onces
si
J(x
0
)>
J(x*),
el
conjun ode
ni el
14(x
0
)
=
{z
E
FI~
,
J(z)4J(x
0
)
}
es
no
aco ado
.
P ueba
:
Sea
(xn
)
una
sucesión
en
H
al
que
x
n
x*
.
Al
se
J
débilmen e
secuencialmen e
con inuo,
J
(x*)

.
po
lo
que,
pa a
n
su icien emen e
g ande
J(xn)
-
J(
x
*)
<
J(x0)-J(x*)
.
Puede
supone se,
pues,
que
{x
n
}Cl4(x
0
)
.
.
Po
o a
pa e,
si

{el,e2,
. .
.,en`
-
}es
la
base
o ono mal
canónica
de
H,
se
iene
que
:
e
p
+x
P
,...

x
*
2e
p
+x
p
,
...
_
._-~
x*'
ke
p
+x
o
,

...

-->
x*
con inuo
1
.15
":
TEOREMA
Po
lo
que,
al
se
J
débilmen e
secuencialmen e
J(
el+x1),
.
.
.,
J(
ep
+x
p
)
,
.
..-
.
J(x*)
J(2el+xl),
. .
.,

J(2e
p
+x
p
)

,..
.

->

J
(x*)
J(kel+x1),
. .
.,
J(ke
p
+x
p
),..
.
'
J(x*)
el
+x
1 ,
e2+x2'
. .
.
2e
l
+x
l
,
2e
2
+x
2
,
. .
.
.
ke
i
+x
1 ,
ke
2
+x
2
,
...
24
Sea
=
J(xo)-J(x*)
.
Dado
/2, se
ieneque
an
i
CI
+
~
si
n'-n
1
J(en+xn)-J(x*)< /2
-in ?
£I
+
1
si
n''-n
2
J(2e
n
+x
n)-J(x*)< /2
3n
k
eI +
1
si
n=nk
J(ken+xn)-J(x*)< /2
De
donde
J(
e
ne
+x
nk)<J(x*)+ /2=J(x
o
)
.
- /2<J(x
o
)
J
(2en2+x
n
2)
<J
(x*)+ /2=J
(x0
)
- / 2<J
(x'
o
)
.
J(ke
nk
+x
nk
)<J(x*)+ /2=J(x
o
), /2<J(x
o
)
Ob eniéndose
así
la
sucesión

{ke
nk
+x
nk
},
ob iamen e
no
aco ada
y
con enida
en
W(x
o
),
comple ándose
de es emodola
p ueba
.
Nó ese
que
1
.15
.
.1
se
da,
po ejemplo,
si
el
uncional
J
es
Ga eaux
di e enciable
en
H y
si
además
se
e i ica
que
x
n x
1
yn
_~
yi=5
J
,
(x
n
1Y
n
)
-
->
J'
,
(x
y)
.
2
.
:

SEMISISTEMAS
D
INÁMICOS
DISCRETOS
DÉBILES
'
25
SOBRE
H
2
.1
.
:
DEFINICION
Se denomina
semisis ema
dinámico
disc e o
debil
sinunicidad
sob e
H a
la
e na
(H,I
+
,

),
donde
n
:
HX
I+

---~

F (H)
e i ica
:
2
.1 .1
.
:,
(x,0)
_
{
x}

Vx£H
.
2
.1
.2
.
:Si
x
n

`
x
en
H,
en onces,
pa a
cada
en e o
no
nega i o
k,
,
(x

,k)
-
°-)
(x
.
k)
.
2 .1
.3
. :
,
(,
(x,h)
,k)
=
,
(x,h+k)

VxeH,
V h,kFI
+
.
2
.2
. :
OBSERVA
CIONES
2 .2
.1
. .
En
2 .1
.3
.
se
a i maimplíci amen e
que
es dé
-
bilmen e
compac o
el
conjun o
n
(n
(x,
h)

k)

=

b__
.
.s
n
(y
.
k)
.
yen
(x,h)
Ello
es
consecuencia
de
los
axiomas
an e io es,
en
el siguien e
sen ido
:
Si
McF(H),
y

F(H)
' e i icalos
axiomas
2 .1
.1
.
y
2
.1
.2
.,
en onces
el
conjun o
,
(M,k)
=

U
n-(y,k)
ychí
es
débilmen e
compac o
.
En
e ec o
:
Sea
(xn
}C, (M,k)
.Po
de inición
puedeob ene se
o asucesión
{y n
}
C
M,
al
que
x
n
ci (yn ,k)

(n=1,2,
. .
.)
.
Como
M
es
débilmen e
compac o,
{y
n
}
admi e
una
subsucesión
(y
np
}
al
que
Ynp
"

"
YEM,
lo
que,en i ud
de
2 .1
.'
.,
implica
que
n (y
np
,
k)

o

.

n(Y, k)
.
Como
x
np
e, (Ynp ,k)
(p=1,2,
. .
.),
la
sucesión
{xnp
}
ad
mi e
una
subsucesión
{x
np*
}
al
que
x
np*

`
xc,
(y,k)
Cn
(NI,k)
.

Se
,ia
p obado,
pues,
que
, (D ,k)
es
débilmen e
secuencialmen o
compac o
y,
po
a n
o a
m
b
ié
n
q
u e
es
débilmen e
compac o
.
.
2
.2
.2
. .
La
de inición
de
semisis ema
dinámico
disc e o
sin
unicidad
sob e
un
espaciomé ico
X,
dada
en (30)
y
e
cogida
en
(26),
es
comosigue
:
(X,I
n)
es un
s
.s .d
.d
.
sob e
X
si
-n
:XxI
+
F(X)
e

1)
, (x,0)
_
{x}
VXeX
.
2)
, (, (x,k),h)=
, (x,k+h)
V

cX
Vh,k£I
+
3)
Ph a
cada
kcI
+
,
xn
3
x
==>
n(X
11
k)
1
, (x,k)
.
Como
consecuencia
de
1
.12
.,
es
cla o
que
odo
semisis ema
dinámicodisc e osinunicidadsob eRn
,
es
un
semisis ema
dinámicodisc e o
debilsinunicidad
sob e
Rn
.
Recíp ocamen e,
supongamos
que
x
jl
+ x
en
Rn
.En onces,
po
2
.1
.2
.,
pa acadaen e o
no
nega i o
k,
n(x
n
,k)
-~, (x,k)
Veamos
que
ambién

n(x
n ,k)
~, (x,k)
:
Casocon a io
exis ee>0
al
que,
pa a
una
sub-
sucesión
S(, (xnp,k),
, (x,k))
-1
e
.Puede
encon a se
en on-
ces
ynp
e
, (x
np
,k)
p=1,2,
..
.
al que
d(Yn
n
,'T(x ,k))'-
e
.
Como x
np
->
x,
necesa iamen e
, (x
np
,k)
á,
, (x,k),
en
cu-
yo
caso,
pa auna
subsucesión
de {ynp
}
(que,
po
comodi-
dad
supond emos
es
ella
misma)
:
Yn
p
-
Ye
n(x,k)
es
deci ,
d(Ynp,y)-
;0, y
.
po
an o,
d(Ynp,'L(x,k))-0,
lo
que
es
absu do
.
Luego,sob eR
n,
coinciden
los
concep os
de
se-
misis ema
dinámico
disc e oy
semisis ema
dinámicodisc e o
debil
.~
i ica
:
2
.2
.3
.
:
El axioma
2 .1
.2
.,
puede
exp esa se
de
modo
equ_i
alen e
a i mandoque
:
2
.1
.2
.'

:

Si
xn
--
'
x

en
H,

en oncespa acada
en e o
no
nega i o,
k,
, (x
n,k)
~
>
, (x
i
En
e ec o,
si
x
n
--~
x
y'se
u ie a
que
, (x
n ,k)
-
°1
>
n(x,k),
pa a
alguna
suUsucesión
x(xnP,k)
-
°
-
~
, (x,k)
pe o
como
x
np

`
x,
en
i udde
2
.1 .2 .,
,

.
, (x
np
,k)

2

~
,
(x ,k)

.
lo
que
es
con adic o io
.
Po
lo
an o,
si
se
conside a
el
espacio
opo-
lógico
(H,a)
como
espacio
con
lími e,
al
igual
que
(F(H),ó)
2
oda ía
puede
edac a se
de
o o
modo
.el
axioma
consáde ado'
semejan e
al_
in oducido
o iginalmen e
en
(30)
:
2
.1
.2"
:
Pa acada
k,eI
+
,
la
aplicación
a
(
.
,k)
:

1{

F(H)
es
a-a-con inua
enH
.
Na u almen e,
la
con inuidad
debe
en ende se
en
el
sen ido
de
(22)
.20
.111
.
2
.2
.4
. .
Si
i (x,k)
es á
cons i uido
po un núme o
ini-
o
de
pun os,
pa a
odo
kcI
+
,
se
dice
que
(H,I
;,
es
local
men e
ini o
en
x
.
Si
pa a cada
xel1,
exis e
ycH
al
que
w(x,1)={y)
(11,1
+ ,n)
se
dice
que ieneunicidad
posi i a
.
El
siguien e
eo ema
p opo ciona
un
mé odo
"s anda d"
pa ade ini sob e
H
un semisis ema
dinámico
dis
c e o
débil
:
que
:
2 .3
. :
TEOREMA
Sea
, (
.,1)
:
H
----
i
F(11)

una
aplicación
al
2
.3
.1
. :
Si
x
n

`
x
en
H,
en onces
__

n(xn11)
á,~
n(x,1),
en
F(H)
.
Si se
de ine
m
:llXI

-~
F(H) de
modoque
:
i (x,0)
=
(x)
'
d
xcH
.

,
n(x,k+1)
=
L__o
.Jn(Y,1)
ye
u(x,k)
la
e na
(H,I
,n)
cons i uye
un semisis ema
dinámico
dis-
c e o
sob e
H,
que
denomina emosinducido
en
11
po
la
apli-
cación
,
(
.,1)
dada
.
P ueba
:
,
:HXI
+
->
F(H)
es á
bien
de inida
como
conse
_
cuencia
de
2
.2
.1
.,y
e i ica
2
.1 .1 .,
po
cons ucción
.
Veamos
que
cumple
ambién
2
.1 .3
.
:
Se
p ocede á
po inducción
sob e
k
.
Pa a
k=1
se
cumplepo
la
misma
de inición
de
n
.Supongámoslo
álido
pa
Ta
k-1
.
28
de
donde
ze, (z
l
,1)
C
d(u(x,h+k-1),1)
=
, (x,k+h),
es
deci que ambién
, ( <(x,h),k)
C
, (x,h+k),
comple ándo-
se la
p ueba
de
213
. .
.
i
Po
úl imo
. eamos, po inducción sob e k,que
se
e i ica
2
.1
.2
.
:
Pa a
k=1
es
e iden e
.
Si x

x
en
H
conside emos la
sucesión
{z
}
n
,
n
con
z
n
e (x
n
,k),
n=1,2,
.
. .
.
Como , (x,k)=

( (xk-1)1)

exis e una suce
-
nn
,,,
sibn
{yn}
con
y n
e
, (xn,
.k-9)
Vn=1,2,
.
. .
., a1
que
zcu(y
n
,l
.,
pa a
cada
n=1,2,
. .
.
.
Si
zc (x,h+k), exis e
z
l
c (x,h+k-1)
al
que
1),
y
po hipó esis
de
inducción,
z1cu(, (x,h),k-1)
.
Sea
yc (x,h)
al
que
z
l
c, (y,k-1)
.
En onces
:
zex(zl,l)C ( (y,k-1),1)
y
po an o
zc (y,k),
de
donde
zen( (x,h),k)

'
con
lo
que
se
demues a
que

(x,h+k)

C
a
(,
(x,
k),
k)
.
Sea
aho a

ze, (i (x,h),k)
.
Puede
encon a se
ycu(x,h)
al
que
zc
,
(Y,k)
=
n(n(Y>k-l)),l)
.
En onces
si
z
l
e, (y,k-1)
es
alque
ze, (zl,,1),
.se
iene
que
:
z
1
cu(y,k-l)C, ( (x,h),k-1)
=
(x,h+k-l)
ze, (z
1
Po hipó esis
de
inducción
,
(x
n
)
k-1)
-
2
4n(x,k-~
y de
aquí
que
{yn)
admi e una
subsucésión
{y np
}
al
que
.
pe o
en onces
Ynp
ye (x,k-l)
i
(Y,
P
el)

á

n(Y
lo
que implica que
{z np
)
admi e
una
subsucesión'{z
np*
} al
que
:

11
z
np*

`
ze (y,1)
.
Como
ye (x,k-1),
zc ( (x,k-l),1)
= , (x,k) lo
que
demues a
que
n(x
n ,k)
-2--4

(x,k),
p obándose
as¡
el
-
eo ema
.
2 .4
. :
EJEMPLOS
O
Como
consecuenci
.a
del
eo ema an e io ,
pueden
i

da se
de iniendo únicamen e
una
aplicación
n(
.,1)
:H
-F(F1),
sob een endiéndose
que
se
a a
del
semi
:
;is ema
dinámico
dis
débil
que
induce
en
H
.
c e o
2
.4
.1
. . :
Sea
biaF(li),
ijo
.
W
.i
(x,l)
=
M
.
Ob iamen e
e i ica
2
.3
.1
.,
y
po
an o

(F1,I
+
7'
i
)
es un
semisis ema
dinámico
disc e o
débilsob e
11
.
z
7'
=
(x
7'
/
i(n)
)
i (
i1
)
y al
se
F
ini o,
pa a
algún
i
o
£F
al
que
znp
=
(xnp/ io)
io
caso
es
inmedia o
que
{z
np
}
en
cuyo
(11,1
,7'2
)
H
.
luego
Se
de ine
pa a
2
.4
.2
.
:
Sean
F
un
conjun o
ini
.
o
no
B=
{
i
:
icF}CH
.
De inimos
7'
2
(x,1)=
{(x/
i
)
i
:
¡EF}
Si
xn
_s
x
en H,
sea
(z
7' }
al que
n=-1,
.
. .
.
Puede
esc ibi se
en oncesque
:
zn
p

(x/Vio)Vioc7'2(x°1)'
Luego
,
2(x
n
y1)
T

7'2(x,1)
Y
es un
semisis emadinámico
disc e o
ax
+
e
S[ax,k]
=
7'3(x,1)
odo
x
de
H
:
acio
y
z
n
E, 2(x
7'
,1)
exis e
una
subsucesión
de
aquí
que
débil
sob e
2 .4
.3
.
:
Sean
k>0
y
acR,
ijos
.
Se
de ine
7'3(x,1)
=
SIax,k]
Si x
n
x
en
H,
sea
{z
7' }
al que
z
n
e7'(x
n
i)
En
al
caso
z
7'
=
xx
n+
7'

con
11
n
i
k,
(n=1,2,

)
.
Al
se
{
7'
}
aco ada,
puedeex ae se
de
ella
una
subsucesión
n
p

',
VES
[0
,k]
Po
an o,
1
3(x
n
>
1)
-

"3(x,
1
)
,
y,
en
conse-
cuencia,
(H,I
+
,
n3)
es
un semisis ema
dinámico
disc e o
débil
sinunicidad
sob e
H
.
dad
.
2
.
18
. :

o~sE~z nc
IOi4ES
Todo
pun oc í ico
es
pe iódico
y singula
.
Todo
pun o
singula
es
pe iódico
de
pe íodo
un¡
Si x
es
c í ico
{x}
es
posi i amen e
in a ian e,
y
si
x
es
singula ,
;x}
es
débilmen e
posi i amen e
in a-
ian e
.
que
:
Igualmen e
:
n(n(x,p)~ko)
C
n(n(x,ko+p),ko)
po
lo
que
, (x,k
o
+p)
c
(x,2ko+p)
.
P ocediendo
de
igual o ma
se
llega
a
la
conclu_
si6n
deseada
.
de
modoque
2
.19
.
:

TEOREMA
S
.i
xeH
es
pe iódico
de
pe íodo
k
o
se
e i ica
n
(x,P)
e
n
(x,

k
o
±p)
e
n
(x,
2ko+p)
e
...

(Vpe
I
+
)
.
P ueba
:
Po hipó esis,xen(x,ko)
.
En onces
:
n(x
.P)c
n(n(x,ko),p)
=
n(x,ko+p)
.
2
.20
. :
TEOREMA
Si
xeH
es
pe iódico
de
pe íodo
k
o
en oncesy
s61oen oncesexis euna solución
xa
a és
de
x
al que
x(nk
o
)
=
x
VncI
+
.
P ueba
:
Como
xen(x,k
o
),
po
2
.6
.
sabemos
que
exis euna
solución
x*
a
a és
de
.
x
;
conx*(k
o
)=x
.
Na u almen e,
se
cumpleque
:
x*(0)
=
Xen(x,0)
e
n(x,ko)
x*(1)en(x,l)
x *
(2)
en(x,2)

,
x*(ko-1)en(x,k
o
-1)
Podemosen oncesde ini
la
aplicación
x :I+
--
. H
x(0)=
x(ko)
=
x(nko)
=
. .
.
=
x
x(1)=
x(k0+1)=x
2k0+1)
=
.
. .
=
x*(1)
x(2)=
x(k+2)=x(2k
+2)
=
..
.
=
x*(2)
x(ko
-
1)=z(2ko-l)
=x(nko-1)
=
...
=
x*(ko-1)

Como
c~¿n
-
~secuencia
del
eó ema
an é i
-
o ,
xes
só
lucibn
de (H,I
+
,n)
que
e i ica
la
esis
del
eo ema,
com
ple ándose
de
es e
modo
su
p ueba
.

11
i o
de
X
.
CONJUNTOS
LIMITE
2 .21
. :
DEFINICION
Sea
X
una
solución
de
(H,I
+,n)
.
Se
llama
conjun o
no ma-limi e
secuencia)
pos¡
al
L+ (X) =
{ycH
:
3{kn)CI+,
kn-.m
,x(k
n
)
-'
Y}
2
.22
. :
DEFINICION
Sea
x
una,solucibn
de
(H,I
+,n)
.
Se
llama
conjun olími e
débil
secueücialpos¡
i o
de
X,
al
LQ(x)=
{ycH
:
s{kn}cl+,
kn-
,x(k11)
',
Y}
2
.23
.
:
DEFINICION
Sea
x
unasolución
de
(H,I
+
,, )
.
Se
llama
conjun o
lími e ini o
de
X,al
LF
(X)= {ycH
:
s{kn}cl+,
kn~m
,X(k
n
)
=
Y}
2
.'24
. :
DEFINICION
Sea
x
una
solución
de
(H,I
+
,
),
sin
pun os
de
.pa ida,
con
I
=
Ix
.
Se
llamaconjun o
no ma-lími e
secuencia)
nega
i o
de
x,
al
L
-
(X)=

{ycH

:

3{k
n
)cI,

kn
-
"
_m

,X(kn)

-''
y)
2
.25
. :
DEFINICION
Sea
x
unasolución
de
(H,I
+
,R),
sin
pun os
de
pa ida,con
I=
I
x
.
Se
llama
conjun o
lími e
débilsecuencia)
nega
i o
de
x,
al
C(-x)-
{ycH
:
3(kn)cI,
kn-
.-m
.x(k
n)
-'-
y}
Z
.26
. :
OBSERVACION
Ob iamen e

LF (X)
C
L+(X)
C
LQ(X)

pa acada
solución
X
de (H,I
,n)
.
También,
si
X
es
cualquie
solu--
cibnap opiada,
L
.
(x)
--
LQ(X)
.
es
un pun ode
pa ida
.
'

Todo
pun o
de
enpun os
c í icos
.
.La
aplicación
i
:I-1
11
de inida
de
modo
que

.
,
y(0)
=
xeS[0,1]

(i=1,2,
. .
.)
«i)
=
1/2
1
e
l
(i=1,
. .
.)
es,
igualmen e,una
solución
de (H,I
+
,al)
pa a
la
que
se
iene
:
L
¢
(V~)
=
L
*
(J) =
{0}
L
o
(VP)
_
{0}
.
2
.28
.
TEOREMA
Sea
x
unasolución
de (H,I
+
,, )
.
El
conjun o
L
+
(X)
es
débilmen e
posi i amen e
in a ian e
.
P ueba
:

'
Sea

yeLQ()()
.
po
de inición
e
xis e
{k
n
}cI
+
'
i
k
n-m
,
al
que
X(k
n
)

`
y
.
En onces
:
Sea
(H,I
+
,n,)
el
semisis ema
dinámico
disc e o
debilsin
unicidad
in oducido
en
2
.4
.1
.
que
:
2
.27
. :
FJEMPLOS
Ob iamen e
se
iene
:
L
F(x)
=
{e
2
,e3
,e
5
,.
.
. ,
ek
, . . .
kEI
+
p imo
}
L
*
,
(X)

=
LF(x)-
La
(x)
='{0)ULF(x)
.
Po o apa e,
si
xi S[0,1),
necesa iamen e
S[0,1]
es
singula ,
yno
exis-
Sea
{e
i
}
unabase
o ono mal
de
11
.
Considé ese
la
siguien e
solución
:
x
:I
+
-
11
al
x(0)
=x(1)
=e
1
x(2)
=X
.(4)
=
x(8)
_
.
. .
=
x(2
P
)
=
.
. .
=e
2
X(3)
=x(9)
=
X(33)=
. .
.
=
x(3
P
)
=
.
. .
=e
3
X(5)
=x(25)=
x(5
3
)=
.
. .
=
x(5
P
)
=
.
. .
=e
5
x(6)
= e6
x(7)
=
X(49)
=
x(7
3
)
=
...
=
x(7
P
)
=
.
. .
=e
7
(X
(k n
)
1
1
)

-°
~
,n
(Y")
y
como

X(k
n
+1)e, (x(k
n
),1)

la
sucesión
{X(kn+1
)}

admi e

37
una
subsucesión
{x(kni+1)}
con
x(kni+1)

`
y*en(Y
.1)
-CómS-
kni+1-+
+m,
y*cL
+
(x),
y
po
consiguien e
L
a
(x)nn(y,1)
siguiéndose
la
conclusión
de
2
.11
.
Nó ese
que
L+(x)
no
es,
en
gene al,
posi i a-
men e in a ian e,
como
se
pone
de
mani ies o
en el
ejemplo
an e io
.
Si
xell
es
pe iódico
de
pe íodo k en onces
exis e
una
solución
X a
a és
de
x
al
que
xEL
F
(x),
ysu
semi ayec o ia
posi i a
coincide con
sus
conjun os
.lími e
.
posi i os
.
P ueba
:
Bas a oma
la
solución x
cons uida
en la
p ue
ba
Su
semi ayec o ia
posi i a
cons a
de
k
pun-
os,
po
lo
que
L
P(x) =
L
+
(X) = L + (X) =
Im
.(X)
=
{x,X*(1),
.
. .
. . ,
x*(k
-1)
) .
2
.30
. :
TEOREMA
de
2
.20
.
.
2
.29
.
:
TEOREMA O
Sea
x
una solución
de
(11,1+,70
.
El
conjun o
L
F
(x)
no
con iene subconjun os
p o
pios
posi i amen e
in a ian es
.
P ueba
:
Sea
Aeli,
posi i amen e
in a ian e
cono
¢A -L
I
.(x)
El
conjun o
{heí
+
:
x(h)eA)
es
en onces no
a-
La
aplicación
x*
:1
+ H
de inida
con
x* (j) =
x (h
A
+j)
es
una
solución
de
(H,I
,") a
a és
de
x*(O)
=
=X(h
A
)
eA,
luego
:
Pe o
si e
LF
(x)
exis e una sucesión
{k
n
}CI
'
kn
-,m
con
X(k
n
)
= ,
po
lo
que
e{x(h)
:
h
~l
hA} Po
lo
an o

L F (x)
C{x(h)
:
h 1 h
A
),

y,
.en
consecuencia
:
L F (x) =
A
.

0
2
.31
. :
TEOREMA
38

Sea
X
una
solución
de
(1-I,I
, ),a
a és
de
xeH
.
Si (H,I
+ ,n)
es
localmen e
ini o
en
x,
en onces
L
F
(x)
es
débilmen e
posi i amen e
in a ian e
.
P ueba
:
Sea
yeL
F (X)
.
Po
de inición,
exis e
una
suce-
sión

{k
n
}
CI
+
,kn
~m,
con
-,(k
n
)=y,
de donde
-(Y
.1)=-(x(kn)
.1)
.

(n=
1,
.
..).
Si
omamos
X(k
n
+1)en(X(k
n
),1),
al
se
necesa-
iamen e
ini o
el
conjun o
n(y,1)=n(X(kn),1),
pa auna
su_b
sucesión
{kñ+1}e
I
+
,
kñ+1y-,
se
cumpli áque
z=
X(kñ+1)
(n=1,
. .
.)
luego
siguiéndose
la
conclusión
de
2
.11
.
y
al se
k
+1+m
n
x(k
n
+1)
eL
F(x)
o
lo
que
es
lo
mismo,
zeLF(x)
"
Como
ambién
zen(y,l)
se
ob ieneque
n(Y,
1
)n
L F (x)

Y
2
.32
. :
TEOREMA
13
Sea
X
una soluciónde
(H,I
+
,n),
a
a és
de
xeH
Si
pa a
odo
kcI
+
,
n(x,k)
es á
cons i uido
po
un
solopun o,
(es
deci
si
el
semisis ema
iene
en
x
unic_i
dadposi i a),en onces
LF (X)
es
posi i amen e
in a ian e
.
P ueba
:
Sea
ycLF(X)
.
Po
de inición
exis e
{kn
}CI
+
,
kn
+m,
al
que x(kn
)=
y
.
Como
X(k
n
+1)en(X(k
n
)
.1) =
n(y,1)
.
(n=1,
.
.)

Y
el
semisis ema
iene
unicidadposi i a
en
x,
queda á
que
n(x,k
n
+1)
=
n(y,1)
=
{X(kn+1)}
n(Y,1)
C
LF
(X)
lo
que
equi ale
a
que
L
F
(x) es
posi i amen e
in a ian e
.
O
2
.'33
. :
COROLARIO
Si
(H,l
+
,
a)
íeiie
unicidadposi i a
en x,
y
pa-
a la
solución
co espondien e
X a
a és
de x,
LF
(X)¢D
en
onces
exis e
hEI
+
,
dependien e
sólo
de
x,
al
que
LF(x)
={X(k)cFl
:
k ' h} =
Mh
Si

(X,1
4
',n)

es
un
semisis ema
dinámico
disc e-

39
o
sob e
el
espacio
mé ico
X,
el
conjun o
lími e
de
cual-
quie solución
x,
.pa a
la
opología
de la
no ma,
es
ce a-
do en
dicha
opología
.
(30)
.
En
nues o
caso
cab ía
espe a
que
L+
(X)
ue a
débilmen e
secuencialmen e
ce ado
.
Sin
emba go,
en
gene al
no es así,
como
se
pone
de
mani ies o
en el
siguien e
ejemplo
:
de
modoque
:
ma que
:
2
.34
. :
013SERVACION
2
.34
.1
. .
Sea
{e
i
}
una
baseo ono mal
de
H
.
Conside emos
la
sucesión
{x
i }
en
H,
cons uida
x
1
= e
l
+el
x2
=e
l
+
e2
xs = e
l
+e
3
x3
e
e2+2e3
x5
=
e2+2e2
xe = e
2
+2e3
x4=
e3+3el
x
y
=
e3+3e2
x
o
= e
3
+3é3
Se de ine
la
aplicación
11(
.,1)
:
H-
"
F(H)
de o -
11(x
i
,1)

=

{xi,x
j+1)
11(x,1)
=
S[0,1]

si
xc{0,e,,e
1
, . .
.}
=
B
11(x,1)
=
{x}

si
XLB
y
XIIM
.{X
i
=NI
.
Nó eseque
VxcH,
xcn(x,1)
.
Sea
{yn
}
H
Pueden
da se
las
siguien esal e na i as
(no
i iales)
a)
Una
subsucesión
{ynj
}
ex aída
de
{yn
}
es
al

que

yn
j

E

B
V
M

(Vj=1,2
...
.
)
.
En onces

(ynj
,1)

=

{y
nj
}
----~

, (y,1)
ya
que
Ynj'
Ycn(Y,1)
Como
consecuencia
de
1
.h
.
.,
se
cumple,
en onces
que
m(yn,1)
--2-4
n(Y
.1)-
al que
yn

`
y
.
b)
Una subsucesión
{
y
nj
}
ex aida
de
{y
n
}
es
al que
Ynj'
ep(j)
(j=1,2,
. .
.)
.
En
al
caso,
sea
ini o
o
no
el
conjun o
(ep(j)

:

j=1,
.
+
.
.}

,

necesa iamen e

y
=

0

o bien

y=

e
j
pa
a
algún

j
cI
.
a
En
ambas
si uaciones

T(ynj,
1 )

-~
Ti
(Y,1)

Ya
0

40
que
T (ynj,1)
=
S[0,1]
=
, (y,1)
.
También
po
1
.10, se
sigue
que
c)
Una subsucesión
{y
nj
}
ex aida
de
{yn
}

es
al
que

Ynj
a
xp(j)

(7=1,
.
. .
)
.
Si

{xPj

:
j=1,
. .
.}

es
ini o,
cla amen e
T'
(Ynj ,l)

_

{xn
j
,xnj
+l}
-°

i
T (y,1)
Si

{x
P0}
:

j=1,
.
.
.}

es

in ini o,

necesa iamen e
es el
ango
de
una
subsucesión
de
una
ila
de
(1),
pues,
de
o o
modo,
{y nj
}
se ía
no
aco ada,
lo
que
es
absu do
.
Ponlo
an o,
puedesupone se
que
y
nj

"
y=
e
es
.
y
en onces
T (y,1)
=
S[0,11
.
Si
omamosuna
sucesión
{z
j }
con

z j
e, (y
nj
,1)
j=1,
.
. .

necesa iamen e
ienesu ango
en la
uniónde
las
i
las
-1, , +1
de (1),
po
lo
queuna subsucesión
ex aida
de
;z j
;
con e ge
débilmen e,
bien
a
e -1,
a e óae
+l
pe -
énecien es
a
S[0,1]
.
Luego ambién
u(Yn
.,1)
~
«y,1)
-(Yn
.1)
~
>
T (Y'1)-
7
es
casos,
T (y
1
1)
)
n(Y'1)-
Se
ha llegado
,
en
esumen,
a
p oba
que,
en
los
La
aplicación
n(.,1)
induce
en
H
un
semisis e-
ma
dinámicodisc e o
debil,
sinunicidad,pa a
el
cual,
es
unasolución,
a
a és
de
X(O)=X
l
.

.
Pe o
no
es
débilmen e
secuencialmen e
ce ado,
ni
(po
an o) dé-
bilmen e
ce ado
.
Pa aque
se de
una
si uación
análoga
a
la
del
ejemplo
an e io ,
es
esencial
que
el
conjun o
{x(i)
:i=1,
. .
.}
sea
no
aco ado,
comopuede e se
en el
siguien e
:
2
.35
. :
TEOREMA
Sea
xeH,
al que
T
+ (x)
es
aco ado
.
En onces,
pa a
cada
solución
X
a
a és
de x,
L
+(X)
es
no
ado
y
débilmen ecompac o
.
P ueba
:
(x(n)}

_(n=1,2,
.
.
.)
es
una
sucesión
en
T
+
(x),
;q1_
que,
po es a
con enida
en un
conjun o
aco ado,
admi e
una
subsucesión
débilmen e
con e gen e
:

.
(x
(n
J
.
.)

con

X(n
i )
--~
ZCH
.
Como
nzcL
+
Q
(x)
í
m
.

. .
Seaaho ayeL+(x)
.
Po
de inición
y
es
limi e
debil
de
una
sucesión
de elemen os
de
T+
(x),
luego
yc
O
TFXT
;
es
deci
que

La
(x)
Q
G
T*
-
Ux7
.
Al se
T
+
(x)
aco ado,
su
clausu a
débil
es
un
conjun odébilmen e
compac o,
y
po
consiguien e, ambién
aco ado
. ;
Sea
(yn}CL+(x),
yn
--~
y
.
Exis en
sucesiones
de
en e os
no
nega i os,
{kp}
,
kp
1-, ales
que
x(kp)--~-'
y
n
,
(n=1,2,
. .
.
)
.
Como
T
+
(x) es
aco ado,
su opología ela i a
de
la
débil
de H, es
de inible
median e
unamé icad*(
., .)
y
podemossupone
que
las
sucesiones
.
{x(kn)}
e i ican
que
d*
(
x(kp)
.y
n
)6
1/p

(Vn
°1,
. .
.)
.
y
ambién
que kn
<kn+i
Es
ácil
e ,
en onces,
que

x(k
n
)
--~
y

lo
queimplicaque
yeL
+
(x)
.
L
+
(x)
es
pues
débilmen e
secuencialmen e
ce ó
a
do,
y
al
es a con enido
en un
conjun o
débilmen e
compac o
es
débilmen e
secuencialmen e
compac o,y po consiguien e,
débilmen e
compac o,
comple ándose
de
es e
modo
la
p ueba
.
d
Se dice
que

(H,I
+ ,n)

es
es able-
en
el
sen ido
deLag ange,en
el
pun o
xcH,
si
T
+
(x)
es
aco ado
.
Se
dice
que
(H,I
+
,n)
es
es able
en
el
sen ido
de
Lag ange,
si lo es en
cada
pun o
x
c
H
.
El
eo emaan e io pone
de
mani ies o
la
¡in
po ancia
de
es e ipo
de
semisis emas
.
que
:
2
.36
. :
DEFINICION
2
.37
. :
DEFINICION
Se conside a
la
aplicación
a
+ :H
-~
2
H
al
si
exis e
una
solución
X
po
x
al
42

+(x)
_

que
L
+
(X)°
0
.
L
*
(x)

en casocon a io
.
X
(0)=
x
Pa a
cada
xcH,a
+
(
x)
se
denominaconjun o
no ma
limi e
posi i o
de
x
.
que
:
que
:
2
.38
. :
DEFINICI0N
Se
conside a
la
aplicaciónaá
:H
---)
,
2
H
al
X
(0)
=x
2 .39
. : '
DEFINICION
Se
conside a
la
aplicación
X
F
:H
-)
2
H
al
0
si
exis eunasolución
x
po
x

al
X
(0)=x

LFCx)

en
caso
con a io
.
Pa acada
xeH,
ao(x)
(XF(x))
se denominaconjun
o
lími esecuencial
debil
(conjun o
limi e
ini o)
de
x
.
2
.40
. :
'TEOREMA
SeaxeH
.
El
conjun o
aa(x)
es
débilmen e
posi i
amen e
in a ian e
.
P ueba
:

, .
'
Es simple
consecuencia
de
2
.12
.
y
2
.28
.
2
.41
. :"
TEOREMA
si
exis e
una
solución
X
po x
al
que

LQ
(X )
=

0

.
~~
L+
(x)

en
casocon a io
.
que
LF(x
)=
0
.
SeaxeH
.
Si
(H',I
+ ,n)
es
localmen e
ini oen
x,
en onces
IF(x)
es
débilmen e
posi i amen e
in a ian e
.
P ueba
:
Es
simple
consecuencia
de
2
.12
.,
y
2
.31
.
2
.42
. :
DEFINICION
2
.43
.
:
-
OBSERVACIOIJES
Sean
VCH
y
J
:
V--4R
.
Se
dice
que
J
es un
uncionalde Liapuno pa a
(H,1
TI) Si
Y
5610
-
si
:
2
.42
.1
. :
J es
débilmen e
secuencialmen e
in e-
io men esemicon nuo
.
2
.42
.2
. :
Si x
es
cualquie
soluciónde
(H,I
+
,n)
con enida
en
V,
y
(k
n
}
cualquie sucesión
c ecien e
de
en e-
os
posi i os,
con

x(kn)
-
eV,
en onces

J(x(kn))-J( )
.
2
.42
.3
. :
J(x)
'k
J(x(1))pa a
odo
xcV
y
pa a
cualquie
solucio i
x
po
x -con

x(1)cV
.
2 .43
.1
.
:
Un semisis ema
dinámico
dic e o
.
.débil
dado,puede
no
admi i
mas
uncionales
de
Liapuno
que las
cons an es,
como
sucede,
po
ejemplo,
al
in oducido
en
2
.4
.3
.
pa a
a-l,
pues
si
x,ycHson
ales
que
pa a
algún
un
cionalde Liapuno
J(x)
#
J(y),
comoexis e
en el
semisis e-
ma
una
solución
po
x
que
con iene
al
pun o
y,
J(y)
1J(x),y
ecíp ocamen e,
al
exis i
ambién
una solución
a
a és
de
y
en
cuya
ayec o iaes á
x,
J(x)
*'
J(y),
ob eniéndose
en
al
casouna
con adicción
.
2
.43 .2
. :
Si
J es
un
uncional
sob e
Vc
li,
débil-
men e
secuencialmen e
con inuo,
e i ica
i ialmen e
2
.42
.1
y
2
.42
.2
.,
y
se á
uncional
de
Liapuno
pa a
el
semisis ema
conside ado
si
es
no c ecien e
a
lo
la go
de
las
ayec o ias
de
sus
soluciones
.
2
.43
.3
. :
Si
H
es
de
dimensión
ini a,
yJ
cual-
quie unciónsob e
11,
con £nua,a
alo es ealesaco ada
in e
io men ey
con
odos
sus
conjun os
de
ni el
aco ados,
puede
de ini se
de
modo
que
n(
.,1)
:

H
-3
F (H)
(x,1)
=
W(x
.
)=
(zeH
:
J(z)L/J(x)
}
Cla amen e
es á
bien-de ini
.da,
pues
pa a'cada
x
de
H,
n(x,1)
es
se ado
y
aco ado
.
Ve emos
inmedia amen e
que
inducesob e
H
un
se
misis emadinámico
disc e o,
yno e-mos
que
es
esencial
el
eque i
que
11
sea
de
dimensión
ini a,
en i ud
de
1
.15
.
1
9
Sea
McF(H)
.
Se
e i ica
que
A
(M)CAd(11)
.
P ueba
:
Sea
xeA
(M)
.
Conside emos
los
no ma
en o nos
de
M
de
la
o ma
S[h1,1/ln]
(nEI
+ )
.
Po
de inición
podemos
en
con a
una
sucesión
de
no ma
en o nosVn
de x,
y
una
s_u
®

cesiónde en e osposi i os

kn ales
que
®

VO
k
n
,

i
(V
n ,k)
C
S[M,1/2
n
]

(n=1,
. .
.)
.
Si
x
es
cualquie
solución
a bi a ia
a
a-
ésde
x,
como
0(n(
n
,kn
),
M)
`
s(
S[M,1/2n),
M)
--i
0
y
xJk
n)ea(Vn,k
n
)
(n-1,
.
.
.),
como
consecuencia
de
1
.11
.,
se
deducequeuna
subsucesión
(X(kn
p)}
ex aida
de(X(kn
)}
cu_m
ple
que,
X(k
np
)

`YE11
Luego
L +
(x)
¢o
y
ambién,
po se
x
a bi a ia
a
(x)

y
Si
zc1,á(x),
un
azonamien o
análogo
al
expues o
en
2
.49
.,
mues a
que

ZCM,
y,
en
consecuencia

a
* (x)
C
M,
-1

lo
quecomple a
la
p ueba
.
501
2
.
5
1.:
TEOREMA
2
."52
.
:

'
TEOREMA
O
SeaMcF(H)
:
El
conjun oAG(M)
es
posi i amen-
e
in a ian e
.
P ueba
:
Casocon a io
exis i ían
xeAO(M)
»
y una
solu-
ción
x
a
a és
de x,
ales
que
pa a
algúnen e o
posi i o
h,'
x(h)d
Aa(A1),
lo
cualimplica
que,
o
bien
XQ(X(h))
=
0,
o
aa
(X
(h))
S
M
.
Exis e,
po
lo
an o
una
solución
0
a
a és
de x(h)
al
que
LQ
o
bien

LQ
(J)
SEM
.
La
aplicación
C
:I
+
-~
H
de inida
de
modo
que
(j) =
x(j)

j
1
h
,
I(j)
.=

«j
-
h)

j>

h
es
usa
solución
a
a ésde
x,
con
LQ(C)
=
LQ(V+)
.
Se en-
d íaen oncesque xíA
d
(M), en
con ade
la
hipó esis
.

Sea
McF(H)
.
Son
posi i amen e
in á ian es~'las
_51
egiones

A(M),

A
°
(M),
Ad
(M)

AW
(M)
y
po
2
.
5
3
.
:
TEOREMA
-
La
p ueba
es
idén ica
a
la
del
eo ema an e io
an o
se
omi e
.
2
.54
.
:
TEOREMA
Sea
McF(H)
.
Si
pa a odo
xcH
se
e i ica
que
el
no ma-in e io
de
(x,1)
es no
a io, en onces
la e
gi6n
Au
(M)
es
cuasiposi i amen e
in a ian e
.
P ueba
:
Caso con a io
exis e
xeA
u(M)
al que
, (x,1)nA
u
(M)
=
m
Sea
en onces zcu
a-
in
.(n
.(x,1))
.
Como
zIA
u
(M),
pa a
odo
no ma en o no
de
z,
y
en
pa icula
pa a
n(x,1)
exis e
yc, (x,1)
al
que alguna solución
X
a
a és de y,no
es á úl imamen e
en
algún no ma en o no
de
M
.
X
puede se p olongada, como
se
hizo
en la
p ue
ba
de
2
.52
.,
de
modo que
sea
solución
a
a és
de
x, y
en-
onces pa a odo no ma en o no V
de
x,exis e
un
pun o,
el
p opio x,' al que
una
solución po
x
no
es á
úl imamen e
en
algún no ma en o no de
M
.
Luego
xl
A
u
(M),
con a
la
hip6 e
sis
.
2
.55
.
:''
TEOREMA
0
Sea
McF(H)
.
Si
pa a
odo
xcH
se
e i ica que
il
II-in
.(n(x,1))
¢
0, en onces
Aú(M)
es
cuasiposi i amen e
in a ian e
.
La
demos ación
es
idén ica
a
la
an e io
.
2 .56
. :
TEOREMA
Sea
McF(H)
.
Si
pa a
odo xcH,
II
II-in
.(z(x,1))#
m
,
en onces A
(M)
es
cuasiposi i amen e
in a ian e
.
P ueba
:
Caso
con a io,
exis e
xcA
(M)
al
que
n
(x,1)
n
A
(M)

=
Sea
zcIIII-in
.(Ti(x,1))
.
Como
z¿A
(M),
exis e
un
no ma en o no

U
z
de
M
al
que pa a odo no ma en o
®

no V
de
z
puedehalla se
una
sucesión
c ecien e
de
en e-
-
52
os
posi i os
{k
V
)
al
que

n(V,k
V
)<4U
z
.
Tomando,
en
pa -
n

11
icula
V=
n(x,1),
ob enemos
la
co espondien e
sucesión
(k~'
.'>}=_{kn}
pa a
la
que
n(n(x,1) k
n
)
U
z
es
deci
:
n(x,k
n
+1)
0
U
z
En onces,
si
W
es
cualquie
no maen o no
de
x, es
cla o
que
n(x,kn
+1)
c
n(W,k
n
+1)
y
po
an o
n(W,k
n
+1)
d
U
z
de donde
se
deduce
que

x¿A
(M)
con a
lo
supues o
.
o
2
.57
. :
DEFINICION
Sea
McF(H)
.
2
.57
.1
. :
Si
A'(M)
es
no maen o no
de
dicequeM
es
o-a ac o
.
2
.57
.2
.
:
Si
A
(M)
es
no ma
en o no
de
dice
queM
es
no ma
a ac o
.
2
.57
.3
.
:

Si

AG(M)

es
,
no ma-en o no
de
dicequeM
es
a-a ac o
debil
.
.

2
.57
.4
.
:
Si
A
d
(M)
es
no ma-en o no
de
dice
queM
es
no maa ac o
debil
.
2
.57
.5
.
:
Si
A
(M)
es
no ma-en o no
de
dice
queM
es
a ac o
ue e
.
2 .57
.6
. :
Si
A7(M)
es
no maen o no
de
dice
queM es
a-a ac o
uni o me
.
2 .57
.7
. :
Si
Au
(M)
es
no maen o no
de
dice
queM
es
no ma
a ac o
uni o me
.
2
.51
.8
. :
Si
A
W
(M)
es
no maen o no
de
dice
que
M
es
a ac o pun ual
debil
.
2
.57
.9
. :
Si
A
F
(M)
es
no maen o no
de
dice
queM
es
a ac o
ini o
.
nes,
se
deduce
de
o mainmedia a
:
M, se
M, se
M, se
M, se
M, se
M, se
M, se
M, se
M, se
2
.58
. :
OBSERVACIONES
Sea
McF(H)
.
Como
consecuencia
de
las
de inicio
'53
'
2.56
.1
. :
Si
M
es
a ac o
ue e,
en onces
es
no ma
a ac o uni o me
.
`
2
.58
.2
. :
Si
M
es
no ma
a ac o
uni o me,
en-
onces
es
a-a ac o
uni o me
.
2.58
.3
.
:
Si
M
es
no ma
a ac o ,
en onces
es
o-a ac o
.
1
.58A
.
:
Si
M
es
á-a ac o ,
en onces
es
a-a-
ac o
débil
.
2
.56
.5
. :
Si
M
es
no ma
a ac o ,
en onces
es
no ma
a ac o
débil
.
2
.58
.6
. :
Si
M
es
no ma
a ac o
debil, en on-
ces
es
a-a ac o
débil
.
2
.58
.7
. :
Si
M
es
no ma
a ac o
uni o me,
en-
onces
es
o-a ac o
débil
.
2.58
.8
.
:
Si
M
es
a ac o
pun ual
debil,
en-
onces
es
o-a ac o
débil
.
2
.58
.9
.
:
Si
M
es
a ac o
ue e,
en onces
es
a ac o
débil,
en
no ma
.
2
.58
.10
. :
Con las
no aciones
de
2
.47
.2
.,
se
e
i ica
que
M
es
a ac o
ue e,
a ac o
pun ual
débil,
no ma
a ac o
uni o me,
a ac o ini o
y
ambién
a-a ac o
débil,
pe o
no
es
no ma
a ac o ,
no ma
a ac-
o
debil
ni
a-a ac o
.
Se
iene
as¡
un
con aejemlo
que
p ueba
la alsedad
de los
ecíp ocos
de
2
.58
.4
.
y
2
.58
.6
.
2.58.11
. :
En
el
semisis ema
desc i o
en
2
.47
.
S
.,
DI=401
es
no ma
a ac o ,
a ac o ,
a-a ac o débil
no ias
a ac o débil
y
a ac o
pun ual
débil
.
.
2.58 .12
. :
Pa a
el
semisis ema
dinamicodisc e
o
de inido
sob e
H=
L2
,en
2
.47
.6
.,
M={0}
es
a-a ac o
o-a ac o
débil,
o-a ac o
uni o me
.
No
es
en cambio,no
.
ma
a ac o ,
a ac o
pun ual
débil,
a ac o
ue e,

ni
no ma
a ac o
débil
.
Se
iene
as¡
un
con aejemplo
que
mues a

la
alsedad
de
los
ecíp ocos
de
2
.58
.7
.,
2.58
.8
.,
y
2
.58
.9
54

Sea
McF(H)
.
Se
diceque
M
es
es able
si,
pa a
cada
xd 1,
ycM
exis en
sendos
no maen o nos
U
de
x, V
de
®

y,
ales
que
:
2
.59
.
:
DEFINICION
U-
(1
T
+
(V)

=

0
.
2
.60
.
:
DEFINICION
SeaMcF(H)
.
Se
dicequeM
es
o bi almen e
es a
ble,
si
exis en
no maen o nos
de
M
posi i amen e
in a ian
es
a bi a iamen e
pequeños
.
2
.61
. :
TEOREMA
SeaMcF(H)
.
Si
M
es
o bi almen e
es able,
en-
onces
es
posi i amen e
in a ian e
.
P ueba
:
Casocon a io,
exis e xcT
+
(M)-M
.
Cómo
M

es
no ma
ce ado,
exis eun
no ma
abie oV
al
queM
CV

y
xdV,
en
cuyo
caso
:
MCVCH-{x}
'
Po
an o,
H
-
{x}
es
un
no ma
en o no
de
M y
como M
es
o bi almen é
es able,
con ieneun no maen o no
U
de M,
posi i amen e
in a ian e
.Es
deci
:
xcT
+
(M)
C
T+ (U)
.CU
C
H-
{x},
lana
con adicción
.
2 .62
. :
TEOREMA
2
.63
. :
-
TEOREMA
0
Sea
McF(H)
.
Si
M
es
es able,en onces
es
posi-
i amen e
in a ian e
.
P ueba
:
Si
xcM
e
y£M,
po
de inición
exis en
no ma
en o nos
U
de x,
V
de
y al
que
U 1T
+ (V)
=
m
,
y,
enpa
icula
x4T+(y)
.
Al
se
y
a bi a io
en M,
ob enemos
que
x«+(M)-
Luego H-M
C
H-
T+
(M),
o lo
que
es lo
mismo
T
+
(M)CM
lo
que
p ueba
que
M
es
posi i amen e
in a ian e
.
D
SeaMcF(H)
.
Si
M
es
o bi almen e
es able,
en
onces
es
es able
.
P ueba
:
-

Al
se
NI
débilmen e
compac o
es
débil ien, d
ce--
_5 _S
ado
y
po
an o,
no mace ado
;
si
x¿M
exis en
no ma
abie os
disjun os

W, U,

con

11C
W
y
xcU
.

-
Comocheso bi almen e
es able,
exis e
.un
no ma
en o no
V
de M,
posi i amen e
in a ian e
con enido
en
W
de
donde
T+(V)
C
V
CW
.
Luego
UnT
+
(V)

y
como V
es,
ob iamen e,
en o node cada
yeM,
sE
concluye
que
M
es
es able
:
O
2
.64
. :
TEOREMA
Sea
McF(H)
.
Si
11
es
o bi almen e
es able
y
no -
ma a ac o
debil,
en onces
es
a ac o
pun ual
debil
.
P ueba
:
Sean
xeA
d
(M)
yV un
no ma
en o no
a bi a io
de
M
.
Como A
d
(11)
es
no ma
en o no
de
M,
ambién
lo es
UA
d
(11)
y
po se M
o bi almen e
es able
exis e
un
no ma
en o no
W
de
M,
posi i amen e
in a ian e,
al
que

W
C
A
d
(11) 1V
.
-
Sea
x
una
solucióna bi a ia
po
x, y
{x(i)}
su
semi ayec o ia
posi i a
.
Sabemos
que
L
+
(x) Y
*
yL
+
(x)CM
po
lo
que
{x(i)}
es á
ecuen emen e
en
cada
no ma
en o no
de
DI
y
en
pa icula
en

11
II-in
.
(W)
CW
.
Pe o
al
se

IV

pó
si i amen e
in a ian e,
se
end á
que
{x(i)}
es á
Gl imamen
e en W,
y po consiguien e
en
V
.
Po
lo
an o
x
cA
W
(M),
ob eniéndose
puesqué
A
w
(M)
D
A
d(M)
de
donde
se
deduce
que
M
es
a ac o
pun ual
debil
.
2 .65
. :
DEFINICION
Sea
McF(H)
.
2 .05
.1
. :
M
es
a-asin ó icamen e
es able,
si
es
o bi almen e
es able
y
-
o-a ac o
.
2
.65 .2
. :
M
es
asin ó icamen e
no ma
es able
si
es
o bi almen e
es able
y
no maa ac o
.
2
.66
. :
EJEMPLOS
2
.66
.1
. :
En el
semi
-
sis ema
dinámicodisc e o
in
ducido
en
11
po
el
ope ado
iden idad,
si
xcH, odo
conjun

56_ o
de la
o ma
(x}
es
es abley
o bi almen e
es able,
pe o
no es
a ac o
en
ninguno
de
los
sen idos
de inidos
.
2
.66
.2
. :
El
conjun o
M=
S10,11
es
o bi almen e
es able
en el
semisis ema
dinámicodisc e o
(H,
I
+
,nl)
des-
c i o
en
2
.47
.2
.
2 .66 .3
.
:
Con
las
no aciones
de
2 .47
.5
.,
(0)
es
asin 6 icamen e
no maes able
en
2
.66
.4
.
:
Pa a
el
semisis ema
dinámico
disc e o
sob e
L
2
de inido
en
2
.47
.6 .,
M=
{0}
es
asin 6 icamen e
a-es able,
pe o
no
asin 6 icamen e
no ma
es able
.
2
.67
. :
DIAGRAMA
TEOREMA
Sean
VCH,,
y
.
J :V
---~
R
un
uncionalde

??,
Liapuno pa a
Sean
McF(H),
y

WcF(H),
con

M
CIVC
V,
ales
que
W
es
no maen o no
de
M
2
.68 .2
. :
W
es
posi i amen e
in a ian e
.
2
.68
.3
. :
Si
xcW-M y
X
es
cualquie solución
a
a és
de x,
J(x(1))
<J(x)
.
En oncesM
.
es
o-a ac o
debil,
y
Ad(M)7w
.
P ueba
:
Sean xcW y
X
una
solución
a bi a ia
a
a-
és
de
x
.
.Su
semi ayec o ia
posi i a
es
unasucesiónen
W,
po
se
és e
posi i amen e
in a ian e
.
Al
se
W débilmen e
compac o,
pa a
una
subsu-
cesi6n
{X(np)}
se
e i icaque
x
(np
)

1
yelV
.
+
Po
lo
an o,

L
*
(x)

0m

,
y
al
se
x
a bi a
-
Tia,
XQ(x)
YQ
.
Po
o a
pa e,

si

zel
+
(x)-M,
exis euna
solu-
ei6n
0
a
a és
de x,
al
que
zeLQ(V+)-M
.
Como
L
o
*
(*)
es
cuasiposi i amen e
in a ian e,
exis eunasolución
Ea
a és
de
z
al que
E(1)cL
a (o)
.
Al
se z¿M
se
puede
a i ma
que
J(z)>J(E(1))
pe o
es o
es
unacon adicción,
pues
se
ha p obado
en
2 .44
.
que
Jes
cons an e
sob e
L
+
+
(o)
.
Po
consiguien e,
x
+
(x)
-
M
-
o
,
o-,
lo
que
es
lo
mismo,
.
ac(x)
C
M
.
Al se
el
conjun o
lími e
débil
de x, no
acío
y
con enido
en
M,
se
iene
que

x
cA
c
(M),
comple ándose
de
es emodo
la
demos ación
.
COROLARIO
O
Con
las
mismasno aciones
e
hipó esis
que
en
2,68
.,
si
pa aalgún
x"cH, M-{x"}
,
en onces
:
2
.69
.1
.
:
M
es
o=a ac o
.
2
.69
:2
.
:
Pa a odo xcW,
J(xk)
11
J(x)
.
P ueba
:
SeaxcW
.
Sea
X
unasolución
a bi a iapo x
.
Si se
u ie a
que
X(n)
--/-
x*,
exis i ían
un abie odébil
U,
en o no
de
x*,
y una
subsucesi6n
{X(n
p
)}
de{X(n)}
ales
que

x(n
p
)éU
p=1,2
. .
...
Al se

{X(n
p
)}C
W,

pa aunasubsucesi6n
X(nPi)

11
zcw
.
Po
un
azonamien o
idén icoal empleadoen
2
74
.,
se ob ieneque
zcM,
y
en
consecuencia
:
x(
n
pi)
x*
lo
cual
es
absu do,pues

X(n
pi
)1U
i=1,
.
. .
.
Necesa iamen e,
po
an o,
x(n)

`
x*,
y
en onces
xeA
°
(M),
comple ándose
la
p ueba
.de
.2
.69
.1 .,
Pa a e
2
.69.2,
supongamosquepa a
algún
ycW
J(Y)<J(x*)
"
Como
y¡11,
dada
cualquie
solución
X
po
y,
J(x(1))
<J(Y)<
J(x
* )
luego
X(1)1M
.
P ocediendo
de igual o ma
se
llega
a
es able
-
ce
que
J(x*)>J(Y)>J(x(1))>J(x(2))
.>
.
.
.>
J(x(n))>
...
Pe o,
po
2
.75
.1
.
sabemosque
X(n)
-~
x*,y
al
se
J
débilmen e
secuencialmen e
in e io men e
semicon ínuo,
J(x*)
_'
lim
in
J(X(n))
una
con adicción
.
'
2
.'70
. :

COROLARIO
Con
las
mismas
hipó esis
y
no aciones
de
2
.68
.,
si
J
es
cons an esob eM y
M'£F(H),
M'C
M, e i ica
2
.68
.
5
-
.,
en onces-
~
.M"
=
M
.
P ueba
:
Si
XCM
-11
;
como
pa a
cualquie
solución
X
a
a és
de
x,
J(x(1))<
J(x),
al
se J cons an esob e
M,n_e
cesa iamen e
X(1)cW-M
.
Si
x(2)cM
se
llega
a
una
con adicción,
pues
J(x(1))>J(x(2))
.
Luego ambién
x(2)eW-A1
y
epi iendo
el
azonamien o
puedellega
a
es ablece se
que
J(x)>J(x(i))>J(x(2))
.
>
.
.
.
'Como
M'esa ac o débily su
co espondien e
egión
de
a acción
con iene
a
1V,
L+(x)
es no
acíoy
con_
enido
en
M
;
es
deci quepa aalguna
subsucesi6n
(x (n
p
)1

ex aida
de
(X(n))

se
end á
que
X
(np
)
-
;
zeM'
C
M
po
lo
que

-

'-
-

1S9
J(X(n
p
))
--i
J(z)

___
y, en
consecuencia
:
-
J(x)>J(z)
lo
que
es

absu do,
pues

J
,
es
cons an e
sob e
M
.
Luego
M'-M
=
4,
es
deci

M'
=
M
.
MINIMALIDAD
2
.71
. :
DEFINICION
2
.72
.
:
'
DEFINICION
.2
.73
.' :'

OBSERVACIONES
Y
EJEMPLOS
O
El
conjun o'
M
C
H

es
posi i amén e
minimal,
si
es
a-ce ado,
posi i amen e
in a ian e,y
no
poseeningún
subconjun o
p opiocon
ambas
ca ac e ís icas
.
El conjun o
M
C
H

es
débilmen e
posi i amen e
minimal,si
es
a-ce ado,débilmen e
posi i amen e
in a-
ian e,
y noposeeningún
subconjun o
p opio
con
ambas
ca-
ac e ís icas
.
2
.73
.1
. :
En
el
semisis ema
dinámicodisc e o
debil
(H,I
*
,
A1)
desc i o
en
2
.4 .1
.,
el
conjun oM=
S~0,1l
es
posi i amen e
minimal
.
2
.73
.2
.
:
En el
semisis ema
dinámico
disc e o
débil
(H,1
w3)
desc i o
en
2
.4 .3
.,
el
conjun oM-H
es
si i amen e
minimal
.
Pi
2
.73
.3
.
:
Dos
conjun os
posi i amen e
minimales,
o
coinciden
o
son
disjun os
.
2
.73
.4
. :
Un conjun o
posi i amen e
minimal,
no
necesa iamen e
es débilmen e
posi i amen e
minimal,como
su
cede,
pú ejemplo,
al
M
de
2,7
.1
.
2
.73
.5
.:
Si
xcH
es
un
pun o
c i ico,
en onces
M
-'{x)
es
posi i amen e
minimal,
y
débilmen e
posi i amen
SEMISISTEMAS
DINÁMICOS
DISCRETOS
DEBI1_E_5
66'
SOBRE
UN
CONJUNTO
DÉBILMENTE
COAIPACTO
Sean
WEF(H)
y
F(W) el
conjun ode
las
pa es
no
acías
débilmen e
compac as
en
W
.
Nó ese
que
F(W)C
F(H)
.
Llama emos
semisis ema
dinámico
disc e o
débil
sin
unicidad
sob e
W, a
la
e na
(IV,I
+
,
n)
donde
i
:WXI
+
-j
F(11)

.
e i ica
:
.
2
.85
.1
.
:
a(x,0)=
{x}
VXe1V
.
2
.85 .2
. :

Si

{x
n
}
CW

es
al
que

x
n
-1
x,
en-
onces n(x
n
,l
:)-

(x,k)
en
F(W),
Vk I'
.
2
.85
.3
. :
( (x,h),k)
=
(x,h+k)
VxcW,
Vh,k I
4
'
2
.85
. :
DEFINICION
Si .M
c
F(W)
en onces,
de
o ma
en e amen e
anál_o
ga
a
comose hizo
en
2
.2
.1 .,
se
comp ueba
que
+ (M,k)EF(H)
.
Damos
aho a,
sin
desa olla la
p ueba,
el
e-
sul ado
co espondien e
al
eo ema
2
.3
. :
2
.86
.
:
TEOREMA
Sea
, (
.,1)
:W
-}F(W)
una
aplicación
al que
:
2
.86
.1
. :

Si

xn
--~
x

en W,

n(xn,1)+
"
(x,1)

en
Si
se
de ine
:WXI*49Cde
modoque
:
e(x,0)
-
{x}
(x,k+1)
-

(y,1)

(k=1,
.
.
.)
ye (x,k)
en onces
(W,I
4, )
cons i uye
un
semisis ema
dinámico
dis-
c e o
débil
sob eW que
denomina emos
inducido
en
W po _la
aplicación
dada
.
De o ma
idén ica
a
como
se
hizopa a
semisis _e
masdinámicosdisc e os
débilessob e
H,
se
de inen
en
es e
caso,
con
las
modi icaciones
( o males)
ob ias,
soluciones,
conjun osin a ian es
y
débilmen e
in a ian es,conjun os
lími e,
unciones
de
Liapuno
e c
.
No se epe i án
ales
de
iniciones,
ni se
es ablece án
más
esul ados
que los
inme-
dia amen e
aplicacbles
al
es udio
de
algo i mos
de
minimiza
ciónde uncionales
.

Se
omi i án
las
p uebas ep oducibles
de
modo
e iden e,
a
pa i
de
sus
co espondien es
pa asemisis e
-
massob e
}1 .

.
2
.87
. :
OBSERVACION
Si
(H,I',u)
es
un
semisis ema
dinámico
disc e o
débil
pa a
el
que
odo
pun o de
W
es
singula ,
en onces
la
aplicación
wW(
.,1)
:

W
--~
F
(W)

/

,
w
(x,1)=

Ti
(x,1)nW
inducesob e
W
un
semisis ema
dinámicodisc e o
débil,que
di emos
es
'La
es icción
a
W
de (H,I
+
,, )
.
La
condición
de

que
odos
los
pun os
de

W
sean
singula es,
puede
debili a se
exigiendo
únicamen e
que

VxcW,

,
(x,
1)
n
W
i

o
.
in a ian e
.
2
.g8
. :
TEOREMA
Sea
x
una
solución
de (W,I
,n)
.
En onces
LQ(X)EF(W)
.
P ueba
:
C
.
2
.35
.
2
.89
. :
TEOREMA
Sea
X
unasoluciónde
(W,I
' ,a)
.
.
El
conjun o
L*(X)
es
débilmen e
posi i amen e
P ueba
:
C
.
2
.28
.
2
.90
. :
TEOREMA
Sea
J
:W
-4
R
un uncionalde Liapuno

pa a
(W,I',w)
.
Sea
X
cualquie
solución
de
dicho
semisis ema
.
En
es as
condiciones,
J
es
cons an esob e
el
1
conjun o
L+
*
(x)
.
P ueba
:
C
.
2
.44
.
2
.91
. :
TEOREMA
Sea
J
:
W
-->R
un
uncional
de
Liapuno
pa a
(W,ISea
MEF(W)
.
Si se
e i ica
:
2
.91
.1
.
:
W
es
no ma-en o no
de
M
.
2
.91 .2
.
:
Pa a
odo
xeW-M
y
pa a
cualquie
sol_u
ci6n
X
a
a és
de x,
J(x(1))
<J(x)
.
En oncesM
es
a-a ac o
débil
y
su egión de
a acción
es W
.
P ueba
:
C
.2 .68
.
2
.9?
.
.
:
TEOREMA
Sean J
:W
-+R
una unción
de
Liapuno
pa a
y
x*eW
ales
que
:
2
.92
.1
. :
Si
x¢x*
y
x es
cualquie
solución
a
a ésde
x,,
J(x(1))<J(x)
.
En onces
X(n)-
x*
y
J(x*)
11
J(x)
VxcW
.
P ueba
:
Desdeluego,una
subsucesión
de
{X(n)}
es
.débil-
men e
con e gen e,po se WeF(H)
.
Si
X(np
)

k
y~x*
comoycLQ(X)y
LQ(X)
es
cuasiposi i amen e
in a ian e,
exi_s
e
una
solución
0a
a és
de
y con
semi ayec o ia
posi i-
a
con enida
en
LQ(x),
y
en
pa icula
con
0(1)cLQ(X)
.
Pe o,
po
2
.92
.1
.,
J(0(1))<J(y),
ob eniéndose
un absu dopues
J
es
cons an e
sob e
los
conjun os
limi e
de
soluciones
.
Luego
y=x*
.
Si
{X(n)}
no con e ge
débilmen e
a
x*,
exis e
un abie odébil
U
que
con iene
a
x*,
y una
subsucesión
{x(n
p
)}

al
que

x(n
p
)íU

(p=1
. .
.
)
.

Repi iendo
con
es a
subsucesión
el
azonamien o
expues o
en
los
pá a os
an e-
io es,
se llega
a
p oba
que
X(n~)
--~
x*,
unacon adic-
ción,
La
p ueba
de
que
J(x*)
11
J(x)
VxeW
es
idén _i
ca
a
la
de
2 .69
.
.2
.
e i icando
:
con inua
pa a
odo
IH<MINI11I2
.ACION DE
FUNCIONALES
El
obje i o
de
es a
masdinámicosdisc e os
débiles
ci6n
de
algunos
de
los
algo i mos
nales
--ob e
H,
cuyo
es udiodesde
cucn a
en (10)
6
en
(14)
.
Conside a emos
J
:
H

)
R
HIPOTESIS
Y
PLANTEAMIENTO
DEL
PROBLEMA
en lo
que
-H
.1
.
Pa a
cualesquie a
x,y
cH
exis e
J
.
(x'Y)

-

'¡m
J (x
'8Y)
-J
(X)
e
lineal
y
,,H
.3
.
Si {u
n
)
es
e- "o
y
la
aplicación

y+
J'(x,y)
es
H
.
2,
Exis e
en
H
un
es
p ecisamen e
su
mínimo
.
lim
J
(u
n
)
n-O
.
m
+H
.4
.
J
es
con exo
en
H
.
u
.
S
.
Pa a odo
ycH,
x
"
x
n
i
H
.6
.
sección
es
de ini semisis e
adecuados
pa a
la
desc ip
-
de
minimizaci6n
de
uncio-
o opun o
de
sigue
un uncional
con inua
.
únicopun o
x"
c í ico
de
J,
que
cualquie
sucesión
en
H
si
y
5610
Si

,
un
¡ ,
J'(xnsy)->J'(x,y)
La
aplicáción
en
algúnconjun o
de la
o ma
W(x
0
)

=

{XCH

1

J (x) `

J
(x
o
)
}
ycHcon
i yu
=1
.
u+ J'(u,y)
es
uni o memen e
is a,
se en
Obsé ese
que, como
consecuencia
de
H
.1
y
H
.4,
J
es
débilmen e
secuencialmen e
.
in e io men e
semicon ínuo
.
(C
.
(10),Ch
.2,
1-4)
.
e
es
al
que
Como,
en
i ud
de
H .3
men e
compac o
.
Po
os
pos e io es,
se ía
de
desea que
J
cuencialmen e
con ínuo,
mas
se ha
is o
mensión
in ini a
ello
es
con adic o io
un
conjun o
de
ni el aco ado
.(11(x
o ))
.
Hechas
las
'
hinó esis an e io es, en lo
que
sigue
esc ibi emos
J
x
P(x)=
J
II J(x»
1
e i ica
J
lo
que
además
po lo
siendo
Po
o a
pa e,
el
conjun o
1
"
J(xo)
es
débilme_n
secuencialmen e
ce ado,
pues
si
la
sucesión
x
n
}c!V(x
0
)
xn
--~
x,
en onces
J(x)
`-
lim in
.J(x
n
)
1
J(x
o
)
.
W(x0)
es
aco ado,
es
ambién
débil
hipó esis
simpli i-ca no ablemen e
los
plan eamien
-
ue a
débilmen e
se-
que,
si H
es
de
di
con
la
exis encia
de
Sea

{x
}
CH
n
Po
ene limi e débil,
a .5
.
se
sigue
que
J
(x n
)

-~

J
(x)
implica,
igualmen e,que
{JIVJ(x
n
)JJ}es
aco ada
en
al que x i
x#x,,
:

(xJ
x*
n=1,
. .
.)
{x n
}
es
aco ada
0 <
BVJ(x)9
á
lim
in
.
HVJ(x
n
)H
que,
pa a una subsucesión
.
W
(xn
n
)p
-->

y =
1
im
in
. 11
J
(x n
)
11
y
po
R,
y
de donde ¡in
P(xnP)
--
y

i!
Z =

J y
xn

p(x)
= a
.
P(x),
y
No
es
cie o,
en
gene al,
que
an e io es, y
{u
n
)
{
n
}
son
sucesione's en
H
U
n
-
u,
n
 ,
J(
n
)
b,
J(u
n
)
necesa iamen e
se
siga
que
J( )
4
J(u)
.
No
obs an e,
admi i-
emos
que
J
e i ica
:
b
H,7
.
Si

n
-
.

en
R

y

xn
-
--L
x
si
J
J
(x n -
nP
(x n
)
)
.
J
(xn-c(u J
(x
n
)G)
P
(x
n
))
cumple
en
H,
con
en onces
J(x
- «P(x))
¿ J(x
-cC J(x)II)p(x))
c :R +
-
.R
+
con ínua
.

,y
las
es an es
no aciones
in oducidas
,
al
comienzo
del
p esen e
ná a o
.
las
con
las
En
adelan e
se
supone
dado
.un
uncional
J
sob e
H,
e i icando,
sal o
ad e encia en con a io,
las
condicio
3 2
.
:

DF
F
-
1N
Tn0
-
1
-
La
unción

d
:
R*-)
R+ es
llamada

- unción
si,
a a
oda
sucesión
{x
n
}
C
R
+
,

d(x
n
)
-
"0 si y
sólo
si
x
n
-+0
.
71
Sea
a
=
sup
.
{
dVJ(x)
-
VJ(Y)u
:
x,yc1V(x 0
)
)
La
unción

6
;R
+
)R
+
de inida
de
modo
que
in
.{px-ylI
:x,yeW(x
0
),
IIVJ(x)-
VJ(y)pa
,
si
e[O,a)
d
(
)
I
lim
-
á(s)

si
E
s->a
es
llamada"móduloin e so
de
con inuidad
de

J
en
W(x
0)"
Es á
bien
de inida
como
consecuen
d
a
de
H
.6
.

y
es
una - unción
aco ada
y
monó ona
c ecien e
en
R
+
.
La
sucesión

{x
n
}C
H
es
minimizado a

pa a
J si y
sólo
si
J(x
n
)-
J(x*)
.
La
sucesión

ix
n
j
C
H
es
c i izado a

pa a

J si
y
5610
s
i

II
VJ
(x
n
)
d

-o
.
luego
e
:
luego
3
.3
.
:
--DEFINICION
3
.4
.
:
DEFINICION
3
.5
. :
DEFINICION
3
.6
.
:

TEOREMA

((14),T
4
.3
.1 .)
.
Si {xn
}
es
c i izado a,
es
minimizado a
.
P ueba
:
Como
J(x*)
=
in
.
{J(x)
:
x£W(x
0
)}
podemosob ene
una
sucesión

{y
n
}C
W(x
o
),
al
que

J(yn)-+J(x*)
.
Al
se
J
con exo
J(Y
n
) -
J(x
n
)

(
Yn-xn>
VJ(xn))
.
Aho a
bien
:
I
(Y
n
-
x
n
.

J
(xn
))
I

lly
n
-VI
.
119j(%)11
y
como
las
sucesiones
{y
n
}{x
n
}
son
aco adas,
y
{x
n
}
es
c i
izado a
:
Mm
I(Y
n-xn
.
J(x
n
))I
=0
lim
sup
.
(J(yn)-J(xn))
1 0
.
Po
cons ucción
exis e
lim J(y
n
.),
y
po
o a
pa
J(x*)
4
lim
in
.J(x
n
)
2
.
lim
sup J(x
n
)
&'limj(yn)=J(x*)

Los
algo i mos
72
de ipo
i e a i o,
es
"
"' o
inicial

x0cH, se
que,
si
x
iYx*,
J(x
i+
1)<J(xi)
donde
la
di ección
p
i
y
el
escala
p i
se
calculan
en cada
paso
de
minimización
conside ados
se án
deci
en
los
que, ijado un
cie o
pun-
cons uyeuna
sucesión
{x
i
}_de
sue e
en
unción
de xi
(y
del
uncional
J)
.
p
=
VJ(x)/
IIVJ(x)II,
si
dimien o
de
cálculo
del
,elección
se
hace,
en
la
lo
dependien e
de
x
i
La
sucesión
an e io
se
o ma
de modo
que
x
i+1_

xi

-

pipi
Como
d
J(x+ p)I
_0
=
(VJ(x),p)
,
emos
que
J
es
ins an áneamen e
más
ápidamen e
dec ecien e
en la
.di ec--
ción
.
p
que e i ique
:
(VJ(x),p)
= -
II
VJ(x)II
=
sup

(VJ(x),y)
iy¡=1
di ección
llamada
de
máximo
descenso,
y
que
en un
Espacio
de
Hilbe
es
J
x
p=
1113N511
lo
que
jus i ica
la
no ación
an e io men e
adop ada
.
Todos
los
algo i mos
conside ados
en
es a
sección
se án
del
ipo
del
máximo
descenso
(
es
deci , en
los
que
x¢x*)
a iando
en
cada
caso el
p oce
escala
p i
("ampli ud
de paso")
cuya
mayo ía
de
los
mé odos, en un
in e a
y
de
p(xi)
.

_
La
con e gencia
de un
algo i mo
implica
pode
ga-
an iza
que
la
sucesión
{x
i }
ob enida
con e ge
(débilmen e
o
en no ma)
al
mínimo
del
uncional,
lo
que
en
dimensión
in _i
ni a,
no
necesa iamen e
a
ligado
al
hecho
de
que
J(xi)-+J(x*)
.
Un
modo na u al
de
calcula
p i
es
da le
el
alo
del
p ime mínimo
de la
unción
-+J(x- p(x))
.(Mé odo
de
Cu y)
que
puede
gene aliza se
p e ijando
una
sucesión{a
n
}
con
Ogan4
Éa<1
.En
es as
condiciones
se oma
pi
igual
al
p ime mínimo
local
posi i o
de
la
unción
-
J(xi
-
p(xi))
-
ai
IVJ(x
i
)II
.
(Tomando
a
l
=0
esul a
el
algo i mo
habi ual)
.
En
adelan e
nos
e e i emos
a al
algo i mo
aquí
desc i omedian e
el
nomb e
de
"mé odo
de
Cu y
gene alizado"
(C
.
(14)
Secc
.4
.3)
.
3
.7
.:
TEOREMA
73
Pa a cada
xeH
se
de ine
el
conjun o
(x)={x- p(x)
:
c(II J(x)Y)lI ,
J(x- p(x))`-J(x-c(II j(x)D)P(xllJ(x)}
siendo
c
:R
-R
*
.,
úna
- unción
con inua
e i icando
que
c( )/
es
monó onac ecien e,
y
al
que
haga
(x)YO pa a cada
xeH
.
En onces
se
iene
:
3
.7
.1
. :
(x)cF(H)
;
VxcH
.
3
.7 .2
. :
xn
-u
x
en
H,
(x
n
)
-1
(x)
en
F(H)
.
P ueba
:
3
.7 .1
.
Si
x=x*
(x)={x*}cF(H),
ob iamen e
.
Si x¢x*

y
omamos
una
sucesión
{y
n
}c
(x),
se á
.
yn
=
x
-
n
p(x),
con
J(yn)
s
J(x-c(uVJ(x)l1)p(x))
.
Como,
pa a
cada
n,

n
x- np(x
)11
a
u-
n
p(x)
11
-
u
x11
si la
sucesión
{
n
}
no
ue a
aco ada,
ampoco
lo
se ia
en
no -
ma
la
sucesión
lx-
n
p(x)},
lo
que
es
absu do
pues es á
con eni
da en
el
conjun o
de
ni el
W(x),
que
es
aco ado
en
i ud de
H
.3
.
en cuyo caso
Puede
supone se
pues
que
n +
R*
y
n
~
Y
-
x
-

P
(x)
y
como
J
es
débilmen e
secuencialmen e
in e io men e
semicon í
nuo
J(y)
6

lim in
J(x- ,
p(x))

6
J(x-c@IVJ(x)1)p(x))
.
Además,
al
se

c(IIVJ(x)11)
li~
n
,
ambién
c(
a i(x)1)
6
,
deduciéndose
de ello
que
yc (x
.),
y
en
conse
cuencia
que
(x)
es
débilmen e
compac o
.
(En
ealidad
se
ha
p obado
que
es
compac o
pa a
la
opología
de
la
no ma)
.
3
.7 .2
. :
a)
Conside emos
en
p ime
luga
el
caso
en
que
x
n
#x*

(n=1,
.
.
.)
y
ambién

x¢x*
.
Tomemos
la
sucesión
{yn
}
con

y
n
c (x
n
)
(n=1,
.
.
.)
.
Se á yn
=
xn- np(xn)
.
Al
cumpli se
que

x
n
-
'x,
como
consecuencia
de
H
.5
.
VJ(x
n
VJ(x),
po
lo cual
puede
supone se-
que
Y71=
.
11
VJ
(xJ1-Y
.
-
Además
no
puede
se
y=0,
puescomo
IIVJ(x)II
`-
lim
in
Y
n
=
Y,
74-si
ue aes e
el
caso,
necesa iamen e
11VJ(x)11=0,
y
en onces
x
se ía
c í ico
en
con a
de lo
supues o
.
Veamos,
po o apa e,que
{
n
}
es
aco ada
:
Caso
con a io,
como
Ilx
n
-
np(x
n
)
n

'-
II
-
nP(x
n
)U

-
II
x
n
il
y
pa a
un
cie o
MeR
es
Ux n
p`-
M
(ya
que
{x
n
}
ienelími e
débil),
queda á
:
Ilx
n
-
nP(x
n
)
II

'- I
ni

-
M
y en
el
supues oconside ado
Ilx
n
-
nP
(xn)
II
--
lo
que,en
i ud
de
H
.3
.,
implica
que
:
J(xn
-
nP(x
n
))-m
--->
J(xn-c(11U(xn)II)P(xn))im
lo cual,
nue amen e
en
i ud
de
H
.3 .,
da ía
que
Ilx
n
-
c(1U(XJ)
P(xn)II
am
lo cual
es
absu do
pues,po H
.S
.
xn
-

c
(0
U
(xn)u)

VJ
(x
n
)

x

-

c

y

VJ (x

)
NVJ
(x
n
)N

y
.

Po
lo
an o,
{
n
}
es
aco ada,
y
pa a
una subsu
cesión
y
en onces
y
o
x=XQ
.
nk
xnk- nkP(xnk)
'
x-
VJ(x)
=x
-
gVJ x
P(x)=
y
eniendo
en
cuen a
H .7
.
:

y

Y
J(x-
pVJ
x
Ilp(x))

L

J(x
-
c(IIVJ(x)II)P(x))
Y
Como,
además

c(
II
VJ(x
nk
)II)
4
nk
,
se
end á
que
c(y)
¿
;
La
unción
c( )/
es
monó ona
c ecien e
y
al se

uVJ(x)W4
y
c(
11
VJ(x)11
)

4

c(y

,C

uVJ(x)11
Y Y
luego
c(
V
VJ(x)11)

IIVJ(x)11
Y
lo
que
p ueba
que ye (x),y po
an o
que
(xn)
a
(x)
en
es ecaso
.
b)
Supongamos
aho aque
x
n
Y
xR
(n=1,
. .
.)
y que
Si
y¢0,
p ocediendocomo
en
el
caso
an e io
ob e
nemos
una
subsucesi6n

--
.

xnk- nkp(xnk)
-~
x*-Y
VJ(x*)
=
x*e (x*)
con
lo
que ambién
(x
n
)
Z
(x*)
.

75
Si
y=7
la
sucesión(xn
)
es
c i izado a,
y
po
an o
minimizadg a,
es
deci

J(X
11
)-+
J(x*)
.
Como
J(y
n
)
1,
J(x
n
-c(JIVJ(x
n
)II)p(x
n
))
d
J(x
n
)
en i ud
de
H
.3
.
deducimos
que

{y
n
}

es
aco ada,
y
'
pa a
una
subsucesión
de donde
Ynk
--
y
y
J(y)
1lim
in
J(Ynk)
11
lim in J(x
n
)
=
J(x*)
y'al
se
x* el
único
mínimo
de
J
en
H
y=x*
lo
que
comple a
la
p ueba
de
que

(x
n
)

(x*),
y
ambién
la
del
eo ema
.
O
3
.8
. :
COROLARIO
Bajo
las
hipó esis
de
3 .7
.,
si se
de ine
n
:HxI
*
i
F(H),
de
modo
que
(x,0)
=
{x
}
(
x,
1)=
(x)
,
(x,k+1)

n (Y,1)
yei
(x,k)
la
e na
(H,I
+
,,
)
cons i uye
un
semisis ema
dinámico
disc e
o
débilsob eH
.
La
exis encia
de
una - unción
c
que
e i ique
las
condiciones
exigidas
en
3
.7
.
depende á
en
cada
caso
de
las
ca ac e ís icasdel uncional
J
.
en onces
3
.9
. :
OBSERVA
CION
Si
esc ibimos,
como
es
habi ual,

(H(u»
,+y)
=
J
(u,~
., V),
y,
po ejemplo,exis enm>0, M<+m,
ales
que
pa
a
odo
uYCH

(H(u)y,y)
=
mJyH
2
,
y
11H(u)1JIM,
en onces
se
demues a
en
(8),5
.3
.,
que
si
0 <
a
`-
b 4
2m/M
2
xcH
es no
c i ico
y
ac [a
li J (x)J),

b
1wJ
(x))1]
J
(x

-

ap(x))

<J
(x)
bas ando
pues en
es e
caso oma

c( )
Ea .
.
(11)
CEA,
J
.
Les
Me hodes
de
"Descen e"
dans
la
Theo ie
de
L'Op imisa ion
.
R .l .R
.O
.
2°
année
n
°
13,
p
.79-102,
1
.968
.
(14)
DANIELL,J
.W
.
The
App oxima e
Minimiza ion
o Func ionals
.
P en iceHallSe ies
in
Au
.
Compu .Englewod
Cli sN
.Y
.
1
.972
.
(15)-DANIELL,
J .W
.
Con e gen
S ep
Sizes
o
Cu iiinea
Pa h
Me hods
o
Minimiza ion
.
C.N
.A
.
Uni
.
o
Texas
a
Aus in
(1
.971j
.
(17)
DUMFORD,N
.
:
SCHWARTZ,
J
.
Linea
Ope a o s,Pa
.
I
.
In e science,
Inc
.,
NewYo k
.
1958
.
(19)
KEELEY,
A
.J
.
Gene al
Topology
.
.
Van
Nos and,
1
.955
.
(20)
KOLMOGOROV,
A
.N
. ;
FROMIN
S
.V
.
In oduc o y
Real
Analysis
(12)
CEA,
J
.
;
GLOWINSKI,
R
.
Su les
Me hodes
D'Op imisa ion
pa
Relaxa ion
.
R
.A .I
.R
.O
.,
7
.
°
année,
R3,
p-5-32,
(1
.973)
.
(13)
DANIELL,
J
.W
.
Applica ions
and
Me hods
o he
Minimiza ion
o
Func ionals
.
Nonlinea
Func ional
Analysis-and
Applica ions
.
Academic
P ess,
1
.971
.
(16)
DANIELL,
J
.W
.
Con e gen
S ep
Sizes
o
G adien -Like
Feasible
Di e,c ion
Algo i hms
o
Cons ained
Minimiza ion
.
Nonlinea
P og aming
.
Academic
P ess,
p
.
245-274,
1
.970
.
(18)
.
HALE,
J
.
K
.
Su icien Condi ions
o
heS abili y
and
Ins abili yo
Au onomous
Func ional-Di e en ial
Equa ions
.
J
.Di £
.
Equa ions,
I
(1
.965)
p
.
452-482
.

(21)
KOTHE,
G
.
Topological
Vec o
Spaces,
I
.
Sp inge -Ve lag,
1
.969
.
(22)
KURATOWSKI
-Topologie
II
Va so ia,
1
.950
(23)
ORTEGA,
J
.M
. ;
RHEINBOLDT,
W
.C
.
I e a i esolu iono
non
linea
equa ions
in
se e al
a iables
.
Academic
P ess,
1
.970
.
(24)
RITTER,
K
.
A
Quasi-New on
Me hod
o
minimiza ion
p oblems
.
Ha h
.
Resea ch
C
.
Uni
.
o
Wisconsin,
1
.975
.
(25)
ROBERTSON,A
.P
. ;
ROBERTSON,
W
.J
.
Topological
Vec o
Spaces
.
Camb idge
Uni
.
P ess,
1
.973
.
(26)
RODRIGUEZ,G
.
Semisis emas
dinámicos
disc e os
y
algo i mos
de
minimizaci6n
.
Collec anea
Ma h
.
ol

XXV,
ascic
.
10,(1
.974)
.
(27)
RODRIGUEZ,
G
.
Semi lujos
disc e os
sinunicidad
y
su
aplic -
.ci6n
a
la
minimizaci6n
de
uncionales
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Re is a
Hispano
Ame icana
j28)
SELL,
G
.R
.
Topological
Dynamics
and
O dina y
Di e en ial
Equa ions
.
Van
Nos and
Reinhold
Comp
.
Lond es,
1
.971
.
(29)
SLEMROD,
M
.
'Assimp o ic
Beha iou
o
a
C18SS
o
Abs ac
Dynamical
Sys ems
.
J
.
o
Di
.
Eq
., 7,
584-600,
(1
.970)
.
(30)
SIEGO,
G .P
. ;
TRECCANI,
G
.
An
Abs ac
Fo mula ion
o
Minimiza ion
Algo
-
i hms,
en
Di e en ial
Games
and
Rela ed
Topics,Kuhn,H
.
W
.
y
Szego,
G .P
.
Edi o es
.
No hHolland
Publ
.
Comp
.
1
.971
'84

(31)
SZEGO,
G
.P
. :
TRECCANI
.
G
.
Ma hema ical
Theo y
o
Minimiza ion
Algo i hms
.
En
G
.P
.
SzegoEd
.
:
Minimiza ion
Algo i hms,
Academic
P ess,
1
.972
.
(32)
SZEGO,
G .P
. ;
TRECCANI
.
G
.
Semig uppi
di
ans o mazioni
mul i oche
.
Lec u e
No es
in
Ma h
.
Vol
101
.Sp inge ,
1
.969
.
(33)
SZEGO,
G .P
. ;
TRECCANI,G
.
Teo ía
ma ema ica
deglialgo i mi
di minimizz_a
zione
.
En
.
Szego,
Ed
.
Minimiza ion
Algo i hms,
Academic
P ess,
1
.972
.
(34)
TRECCANI
,
G
.
A new
axioma iza ion
o
minimiza ion
algo i hms
.
En Szego
Ed
.
Minimiza ion
Algo i lu
:is,
Academic
P ess,
1
.972
.
-(35)
WHITLEY,
R
.
Aa elemen a y
p oo
o
he
Ebe lein-Smulian
Theo em
.
Ma h
.Annalen,
172,
116-118
(1
.967)