Semisistemas dinámicos discretos débiles, y su aplicación a la optimización de funcionales

Publ . Ma U .A .B . n4 8 Juny 1978 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BARCELONA FACULTAD DE CIENCIAS SECCION DE MATEMATICAS SEMISISTEMASDINAMICOS DISCRETOS DEBILES, Y SU APLICACION A LA OPTIMIZACION DE FUNCIONALES Memo iap esen ada pa a op a al g ado de doc o E .Llo ens Fus e Es e esis doc o al ue di igida po el Ca ed á ico D .O . FLORENCIO DEL CASTILLO ABANADEES, y ue leida el día 9 de diciemb e de 1977 en la Facul ad de Ciencias de la Un¡ e sidadAu 6noma de Ba celona an e el siguien e ibunal : PRESIDENTE D .D . Albe o DouMas de Xexás VOCALES D .D . Juan Luis Ce dá Ma ín O .D . Flo ancio del Cas illo Abánades D .D . Julián Cu í Sob eg au VOCAL SECRETARIO D .D . Ca los Pe ell6 Valls Cali icaci6n : SOBRESALIENTE "CUB LAUDE" Deseo hace cons a mi ag adecimien o al P o .D .D .Flo encio del Cas illo Abanades, Ca ed á ico de la Uni e sidad de Málaga, Di ec o de es e abajo, sin cuya ayuda y comp ensión no hubie a sido posible . 1 9 1 N D 1 C E INTRODUCCION .... . . . . . . .... .... ........ .. ........ . . .. 1 .* EL ESPACIOCON LIMITE  (F(11) ,o) 2 . :SEMISISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOSDÉBILES De inición y ejemplos . . ... ...... ........ . . Soluciones . ....... . ... . . ...... ..... ....... Semiconos de ayec o ias ... . . . . ......... . In a iancia .... .... ........ . . . - . ........ . . Pun os c í icos, de pa ida y pe iódicos . Conjun os limi e . . . . ... .... Funcionales de Liapuno ........ ..... . . .... A acción . ........ . . ... ........ ... ....... . Es abilidad ..... . . . ........ . . ......... ... Minimalidad . ...... ....... ...... ...... .... Recu si idad y es abilidad Poiss6n . . . . . . . Semisis emas sob e un conjun o débilmen e compac o de H .... . .. . ........ . . ... ........ ... . . . .... 3 . : APLICACION AL ESTUDIO DE ALGORITMOS DE MINIMIZACIONDE FUNCIONALES .... ........ ..... ....... ... . . .... . . . . . . .  60 Hipó esis y plan eamien o del p oblema ...  60 Semisis ema sob e IVEF(H) asociado a un algo i mo ipo g adien e ..... . . ......... ... ....... .  67 REFERENCIAS . ..... ........ .... ......... ............. 2 e 16 16 21 22 23 24 26 34 37 45 50 54 57 72 TNTR0DUCCln-14 Dado un espacio opológico X y una aplicación n :XxR -y X con las p opiedades : I) VXEX, n(x,0)= x  ' II) VxcX,Vh,keR, n(n(x,ii),k))=n(x,h+k) . III) n es con ínua en XxR, se diceque la e na (X,R,a) es un sis ema dinámico o dina- io, de inición axiomá ica que se inspi a en algunas p opie dades de las soluciones de un sis ema di e encial au ónomo sob eRn . Si xcXse llama solución de (X,R,n) pasando po x, a la aplicación a x :R ; X de inidapo n x ( )= n(x, ),y se llama ayec o iade x al conjun o {n(x, ) : cR} . Si la ayec o ia de x se educe al pun o x, di . cho pun o es llamado c í ico o de equilib io . Una p opiedad de especial in e és es que si x es c í ico, de se y~x con n(y, n )yx,  iene que se  ni+m ó  n i--,  es deci que  los pun os c í icos no puedenalcanza se en iempos ini os . Un es udio de allado de los sis emas dinámicos o dina ios, se encuen aen el lib o de V .V .Nemy skii y V .V S epano , Quali a i e Theo y o Di e en ial Equa ions,1947, y unapues a al día de es a eo ía,con indicación de los camposes udiados y écnicas empleadas en los úl imos años, puede e seen (S), ob a desa ollada p e e en emen e  en el casoenque el espacio ase X es mé ico localmen e com- pac o . En Topological Dinamics and O dina y Di e en ial Equa ions, (1971), G .R . Sell es udia el caso en que X es un espacio uni o me . Modi icando algunos elemen os de la e na que cons i uyeun sis ema dinámico o dina io, se ob ienen algu- nas ele las gene alizaciones queconducen al concep o de se mi-sis ema dinámicodisc e o débil sin unicidad - , cuyo es u- dio es, enpa e,un obje i o de la p esen e memo ia . Ci a emos algunas de ellas . Si se conside a n .XxR+ -->X se ob ienen semi- si .s emas dinámic os, es udiados po N .P . Bha ia y 0 .Hajek en (3) . Como pa icula idades impo an es p opias de  los semisis emas dinámicos pueden señala se : a) El concep o de pun o de pa ida : .Si . uacio - nes que no puedense in e medias del enómeno conside ado y sí puedense condiciones iniciales . b) Un pun o c í ico puede se alcanzado en iem po ini o . En 1 .970 M .Slem od en (29) de inesis emasdiná micos débiles (en ealidad semi-sis emas) man eniendo inal _ e ados los axiomas I y II, y eenunciando . III de modo que, (siendo X un espacio de Banach), III') Si ¡ n - l-0 y xn ~x (débilmen e) en on- ces , (xn, n)- .n(x, ) (débilmen e) . Si la aplicación n es mul í oca se ob ienen, a pa i de los sis emasdinámicoso dina ios, los sis emas dinámicos sin unicidad , que cons i uyen un es udio axiomá _i code las ecuaciones di e enciales o dina ias con exis en- cia de solución y p olongación de cada una de ellas a oda la ec a eal . y que han sido es udiadospo G .P . Szego y G .T eccani en (32) . Análogamen e, si la aplicación n es mul í oca , se ob ienen a pa i de semisis emas dinámicos o dina ios los sis emas gene alesde con ol , un es udiode los cuales puede e se en "S abili y in gene alcon olsys ems"(1965) de E .Roxin . También en 1 .970, G .P .Szego y G . T ecceni p e- sen anen Va enna (Como,I alia) la comunicación "An abs- ac o mula ion o minimizaban algo i hms, ecogida des- pués en (30), en la que se in oduce el concep o de semi sis ema dinámico disc e o , que conside ado en la linea de las an e io es gene alizaciones, oma la aplicación n :XXI + - & y el axioma III queda, .si X es un espacio mé ico . III')  Si  xn -x en onces  n(x n) k) sn(x,k)  Vkcl, donde el símbolo R indica la con e gencia en una adecuada opología in oducida en F(X), espacio de las pa esno a- cías y compac as de X . En el mismo abajo se aplica la Teo ía de Semi- sis emas dinámicosdisc e os pa a da unap uebaelegan e de la con e gencia de de e minados algo i mos de minimización de unciones sob e Rn . yn e ec o, si J :Rn ---~R, y se a a de de e mi--- na sus mínimos, un * p ocedimien o es cons +id una sucesión {x n )C R n  al que a) J(x0)>J(x1) >... b) (x n ) iene como lími e un pun o x*, en el que J iene un mínimo . Si J es su icien emen e egula comopa a que las ope aciones que se indican engansen ido, un mé odopa Ya cons ui {x n ) es el llamado del g adien e,en el que, a pa i de un pun oiniciala bi a io xo se oma : -G ad .J(x n _)_ x n+1 = x n + p n siendo 11 G ad .J (x n )1I p - a g .min . J( xn + p 'G ad .J(xn) ) n  () p e [O,k]  G ad . J (xn)II con k>0 p e iamen e ijado . Se a a de de ini sob e Rn un semi-sis ema dinámico disc e o adecuado, (R n ,I + , ) de modo que, si xeRn i (x,k) sea el conjun o de los pun os ob enidos a pa i de x po k aplicaciones sucesi as del algo i mo, ap o echando p opiedades del semisis ema pa a p oba .su con e gencia . Obse amos que : a) El p oceso sólo ienesen ido en una di ec - cibn,y ademásse íade desea que el pun o c í ico se al- cance en un núme o ini o de pasos . b) Fijado x n sucedeque  p n , y po an o x n+1 no es á unícambn e de e minado, lo que hace pensa en la ne cesidad de p escindi de la unicidad . c) Fijado x n los posibles xil+1 o man un com- pac o de Rn . Los compac os no a ios juga án un papel unda men al en oda la Teo íade semisis emas dinámicos disc e- os . En (B) se hace un es udioex enso de cie a cl_a se de semisis emas dinámicos disc e ossob eR n , que en (3d) G . T eceani aplica a la minimizacibn de unciones so- b eR n . También se expónen esul ados en la misma línea oque Sa a algunasubsucesión  {A l ,, )} de  {An } se iene que A n p - --~ A . En al caso, al menos una subsucesión  {Anp _ }de {A np } e i ica que A np7 -°~-) A . iene que Pa a e (1) supongamos que A n =--1 A mie as Pe o como {AnP7 es subsucesión de (A n } se ob- i A n  ° -1 ; A en con a de lo supues o . Si, pa a cada n, An =A, y{A np } es una subsu- cesión a bi a ia de{A n } en onces omando {xp } cH con xp CAn p (p=1, . . . ),  po se A débilmen e compac o, puede su pone se que  xp ---Ix E A . Luego  A jlp -2--> A, y al se a bi a- ia la subsucesión  {A np }, se iene que An p A, es able- ciéndose de es e modo (2) . Si  la sucesión  {An }  no Q -con e ge hacia A,  al ®  guna subsucesiónsuya e i ica que A np °~-~ A . P oba emos que ningunasubsucesión de {A np }ácon e ge al compac o A . a  En e ec o : Caso con a io, si la sucesión {A np1 } ex aida de  A np  e i icaseque  A np y . ) A,  en pa icu la ambién se end ía que Anp,  o --> A y si omamos cualquie sucesión  {x np }e H,  con  x np EA np (p=1, . . . ),una subsucesión de {xnp) } _  con e ge débilmen e a un pun o de A . Pe o,  al se esa misma,subsucesión de  {xn P } se ob iene, en de ini i a que Anp ó -i A una con adicción . Se ha demos ado pues (3) y con ello el eo e ma .  O Nó ese que la con e gencia a e i ica en F(H) los axiomas (2) y (3), mas no el (1) . No obs an e : 1 . 14 . : '  TEOREPIA Sean {An ) CF(H) ,  AeF(11) .  A n - a 4 A  si y sb- a lo si, pa a alguna subsucesión  A n  A . P P ueba : Si pa aalguna subsucesi6n '{A np } de (A n ) se 21 iene que  A nn - ° - A, en onces dada cualquie sucesión {xn}Cl{,  con xneA n (n=1,2, ... ),  {x np }  admi euna subsuce  -- si6n débilmen econ e gen e a un pun o de A . Luego ambién {xn } admi euna subsucesión . débilmen e con e gen e a un pun- o de A, y, en consecuencia, A n - a- -T' A . 1 .- 1 j .' :'  TEOREMA Sea {A n } una sucesí6n en F(H) . Si  A n p A,  en onces  An% A . P ueba : Si An -4 A,  dado  k>0  se iene que S(A n ,A)<k sal o, quizás, pa a un núme o ini ode subíndices . Puede supone se, po an o, que A n CS[A,k] n=1,2, . . . Si (x n ) es cualquie sucesión con xn eA n pa a n=1,2, ... en onces '{xn)CS[A,k] y como consecuencia de 1 . 3 . ., admi euna subsucesi6n {x np } con x n p xe5[A,k] . Como B(A np ,A) -" 0, ambién anp = d(x np ,A) - "0 . De modo .análogo al expues o en la p ueba de 1 .3 , ., puede ha lla seuna sucesión {Ynp}CA', al que d(x np ,y np)= d(x np ,A) =a P . Al se A _débilmen e compac o, puede supone se que , Ynp .-S YCA . '  Dado e>0, puede halla se p(e)cI + al que si p 5 p(e), d(xnp,Ynp~ =a np <e, lo que, en i ud del  lema  1 .2 ., implica que d(x,y)?e . Luego, necesa iamen e -d(x,y)=0, es deci qué xeA, comple ándose de es e modo la demos ación . Sea {A n } una sucesión en F(H) .  Sea AcF(11) . Si  An  0 . .  A, en onces  An  a  ~-- . A . P ueba : Si A n  0 ' A, pa acualquie subsucesi6n {Anp } de {An } se iene que  A np - 5 -~- Q, y en consec iencia, , l po a el eo ema an e io , AnP ° A . Luego An  > A . 0 Si  {e i )  es  una base  o ono mal en 11,  en onces ®  221a sucesión ({e i }jcF(M) e i ica que {e i } a {0) Pe o 5({0} )  1 e¡] ,  =  pa a odo i=1,2, ... . Po lo an o el ecíp oco del an e io eo ema ylcA a bi a io, . . . ,yn9^1cAn9-1 a bi a io, (1)  (~) ynl=xnleAni,  . ..  ,  y n2_1 _-xn2_1eAn2_1 . _ a)  _ (3) ._  y n .2 _xn2 eA n2 , . . . , yn3-1-xny1 eAn3 _ 1 , ... Ob iamen e : d(y ni .A) ! 2, . . .. .d(y n2 _1~A) 12 d(y n3 _ 1 ,A) -N 2 ; . . . . Como yn cA n n=1, . . ., y An 1 A po hipó esis, puede ob ene seuna subsucesión {ynk } de .{y n } al que y nk ^s yeA y además,pa a cada k, d(ynk,y) ! d(Ynk,A) . e modo' : 1 -13 . :  OBSERV!1CTON es also . i 1 .14 . : TEOREb1A Sea {A n ) una sucesión en F(H) . .  Si  Al, ° A  puede encon a se una subsucesión {Anp }  de  {A e }, al que  A np C S[A,k]p=1,2, . . . , p .  a  al gún k>0 . '  (0, en o os é minos,  {A n } es ácon enida  _e cuen emen e  S[A,k] * pa a algún k>0) . P ueba : Caso con a io {A n ) es á úl imamen e no con e- nida en S[A,k] pa a odo k>0 . Dado k=2 3n 1 . / si ninl  B(An,A) á2 . Dado k=2  sn 2 >n ) / si n i n2  B(A n) A)  2 2 Se cons uye aho a la sucesión (y¡ } del siguien d (y n2? A)12 2 , . . , Dadok=2p 3nP>nP_1/ si n~np Po an o : B(A n ,A) 2p Dado k=2 3n 1 / si n''-n, 3xñeA n d(xñ,A)12 ' Dado k=2 2 3ñ 2 >nj / si niin 2 3xñeA n d(xñ,A)!!2 2 ." Dado k=2p 3np>np_1/ si-n-np 3xñeA n d(xñ,A)12P 2 3 Po lo an o,  {d(Ynk,y)}  es á mino ada po una sucesión numé ica no aco ada, lo cual es absu doya que si  ynk -~ y, exis e  K1>(1  al que lYnk -  YO  < M,  (k=1, .. . )- Sea  J : H ---3 R un uncional sob e Fi al que 1 .15 .1 .! J es débilmen e secuencialmen e con íni o en H . 1 .15 .2 . : J admi e un mínimo,x* . En onces si J(x 0 )> J(x*), el conjun ode ni el 14(x 0 ) = {z E FI~ , J(z)4J(x 0 ) } es no aco ado . P ueba : Sea (xn ) una sucesión en H al que x n x* . Al se J débilmen e secuencialmen e con inuo, J (x*)  . po lo que, pa a n su icien emen e g ande J(xn) - J( x *) < J(x0)-J(x*) . Puede supone se, pues, que {x n }Cl4(x 0 ) . . Po o a pa e, si  {el,e2, . . .,en` - }es la base o ono mal canónica de H, se iene que : e p +x P ,...  x * 2e p +x p , ... _ ._-~ x*' ke p +x o ,  ...  --> x* con inuo 1 .15 ": TEOREMA Po lo que, al se J débilmen e secuencialmen e J( el+x1), . . ., J( ep +x p ) , . ..- . J(x*) J(2el+xl), . . .,  J(2e p +x p )  ,.. .  ->  J (x*) J(kel+x1), . . ., J(ke p +x p ),.. . ' J(x*) el +x 1 , e2+x2' . . . 2e l +x l , 2e 2 +x 2 , . . . . ke i +x 1 , ke 2 +x 2 , ... 24 Sea = J(xo)-J(x*) . Dado /2, se ieneque an i CI + ~ si n'-n 1 J(en+xn)-J(x*)< /2 -in ? £I + 1 si n''-n 2 J(2e n +x n)-J(x*)< /2 3n k eI + 1 si n=nk J(ken+xn)-J(x*)< /2 De donde J( e ne +x nk)<J(x*)+ /2=J(x o ) . - /2<J(x o ) J (2en2+x n 2) <J (x*)+ /2=J (x0 ) - / 2<J (x' o ) . J(ke nk +x nk )<J(x*)+ /2=J(x o ), /2<J(x o ) Ob eniéndose así la sucesión  {ke nk +x nk }, ob iamen e no aco ada y con enida en W(x o ), comple ándose de es emodola p ueba . Nó ese que 1 .15 . .1 se da, po ejemplo, si el uncional J es Ga eaux di e enciable en H y si además se e i ica que x n x 1 yn _~ yi=5 J , (x n 1Y n ) - -> J' , (x y) . 2 . :  SEMISISTEMAS D INÁMICOS DISCRETOS DÉBILES ' 25 SOBRE H 2 .1 . : DEFINICION Se denomina semisis ema dinámico disc e o debil sinunicidad sob e H a la e na (H,I + ,  ), donde n : HX I+  ---~  F (H) e i ica : 2 .1 .1 . :, (x,0) _ { x}  Vx£H . 2 .1 .2 . :Si x n  ` x en H, en onces, pa a cada en e o no nega i o k, , (x  ,k) - °-) (x . k) . 2 .1 .3 . : , (, (x,h) ,k) = , (x,h+k)  VxeH, V h,kFI + . 2 .2 . : OBSERVA CIONES 2 .2 .1 . . En 2 .1 .3 . se a i maimplíci amen e que es dé - bilmen e compac o el conjun o n (n (x, h)  k)  =  b__ . .s n (y . k) . yen (x,h) Ello es consecuencia de los axiomas an e io es, en el siguien e sen ido : Si McF(H), y  F(H) ' e i icalos axiomas 2 .1 .1 . y 2 .1 .2 ., en onces el conjun o , (M,k) =  U n-(y,k) ychí es débilmen e compac o . En e ec o : Sea (xn }C, (M,k) .Po de inición puedeob ene se o asucesión {y n } C M, al que x n ci (yn ,k)  (n=1,2, . . .) . Como M es débilmen e compac o, {y n } admi e una subsucesión (y np } al que Ynp "  " YEM, lo que,en i ud de 2 .1 .' ., implica que n (y np , k)  o  .  n(Y, k) . Como x np e, (Ynp ,k) (p=1,2, . . .), la sucesión {xnp } ad mi e una subsucesión {x np* } al que x np*  ` xc, (y,k) Cn (NI,k) . Se ,ia p obado, pues, que , (D ,k) es débilmen e secuencialmen o compac o y, po a n o a m b ié n q u e es débilmen e compac o . . 2 .2 .2 . . La de inición de semisis ema dinámico disc e o sin unicidad sob e un espaciomé ico X, dada en (30) y e cogida en (26), es comosigue : (X,I n) es un s .s .d .d . sob e X si -n :XxI + F(X) e  1) , (x,0) _ {x} VXeX . 2) , (, (x,k),h)= , (x,k+h) V  cX Vh,k£I + 3) Ph a cada kcI + , xn 3 x ==> n(X 11 k) 1 , (x,k) . Como consecuencia de 1 .12 ., es cla o que odo semisis ema dinámicodisc e osinunicidadsob eRn , es un semisis ema dinámicodisc e o debilsinunicidad sob e Rn . Recíp ocamen e, supongamos que x jl + x en Rn .En onces, po 2 .1 .2 ., pa acadaen e o no nega i o k, n(x n ,k) -~, (x,k) Veamos que ambién  n(x n ,k) ~, (x,k) : Casocon a io exis ee>0 al que, pa a una sub- sucesión S(, (xnp,k), , (x,k)) -1 e .Puede encon a se en on- ces ynp e , (x np ,k) p=1,2, .. . al que d(Yn n ,'T(x ,k))'- e . Como x np -> x, necesa iamen e , (x np ,k) á, , (x,k), en cu- yo caso, pa auna subsucesión de {ynp } (que, po comodi- dad supond emos es ella misma) : Yn p - Ye n(x,k) es deci , d(Ynp,y)- ;0, y . po an o, d(Ynp,'L(x,k))-0, lo que es absu do . Luego,sob eR n, coinciden los concep os de se- misis ema dinámico disc e oy semisis ema dinámicodisc e o debil .~ i ica : 2 .2 .3 . : El axioma 2 .1 .2 ., puede exp esa se de modo equ_i alen e a i mandoque : 2 .1 .2 .'  :  Si xn -- ' x  en H,  en oncespa acada en e o no nega i o, k, , (x n,k) ~ > , (x i En e ec o, si x n --~ x y'se u ie a que , (x n ,k) - °1 > n(x,k), pa a alguna suUsucesión x(xnP,k) - ° - ~ , (x,k) pe o como x np  ` x, en i udde 2 .1 .2 ., ,  . , (x np ,k)  2  ~ , (x ,k)  . lo que es con adic o io . Po lo an o, si se conside a el espacio opo- lógico (H,a) como espacio con lími e, al igual que (F(H),ó) 2 oda ía puede edac a se de o o modo .el axioma consáde ado' semejan e al_ in oducido o iginalmen e en (30) : 2 .1 .2" : Pa acada k,eI + , la aplicación a ( . ,k) :  1{  F(H) es a-a-con inua enH . Na u almen e, la con inuidad debe en ende se en el sen ido de (22) .20 .111 . 2 .2 .4 . . Si i (x,k) es á cons i uido po un núme o ini- o de pun os, pa a odo kcI + , se dice que (H,I ;, es local men e ini o en x . Si pa a cada xel1, exis e ycH al que w(x,1)={y) (11,1 + ,n) se dice que ieneunicidad posi i a . El siguien e eo ema p opo ciona un mé odo "s anda d" pa ade ini sob e H un semisis ema dinámico dis c e o débil : que : 2 .3 . : TEOREMA Sea , ( .,1) : H ---- i F(11)  una aplicación al 2 .3 .1 . : Si x n  ` x en H, en onces __  n(xn11) á,~ n(x,1), en F(H) . Si se de ine m :llXI  -~ F(H) de modoque : i (x,0) = (x) ' d xcH .  , n(x,k+1) = L__o .Jn(Y,1) ye u(x,k) la e na (H,I ,n) cons i uye un semisis ema dinámico dis- c e o sob e H, que denomina emosinducido en 11 po la apli- cación , ( .,1) dada . P ueba : , :HXI + -> F(H) es á bien de inida como conse _ cuencia de 2 .2 .1 .,y e i ica 2 .1 .1 ., po cons ucción . Veamos que cumple ambién 2 .1 .3 . : Se p ocede á po inducción sob e k . Pa a k=1 se cumplepo la misma de inición de n .Supongámoslo álido pa Ta k-1 . 28 de donde ze, (z l ,1) C d(u(x,h+k-1),1) = , (x,k+h), es deci que ambién , ( <(x,h),k) C , (x,h+k), comple ándo- se la p ueba de 213 . . . i Po úl imo . eamos, po inducción sob e k,que se e i ica 2 .1 .2 . : Pa a k=1 es e iden e . Si x  x en H conside emos la sucesión {z } n , n con z n e (x n ,k), n=1,2, . . . . Como , (x,k)=  ( (xk-1)1)  exis e una suce - nn ,,, sibn {yn} con y n e , (xn, .k-9) Vn=1,2, . . . ., a1 que zcu(y n ,l ., pa a cada n=1,2, . . . . Si zc (x,h+k), exis e z l c (x,h+k-1) al que 1), y po hipó esis de inducción, z1cu(, (x,h),k-1) . Sea yc (x,h) al que z l c, (y,k-1) . En onces : zex(zl,l)C ( (y,k-1),1) y po an o zc (y,k), de donde zen( (x,h),k)  ' con lo que se demues a que  (x,h+k)  C a (, (x, k), k) . Sea aho a  ze, (i (x,h),k) . Puede encon a se ycu(x,h) al que zc , (Y,k) = n(n(Y>k-l)),l) . En onces si z l e, (y,k-1) es alque ze, (zl,,1), .se iene que : z 1 cu(y,k-l)C, ( (x,h),k-1) = (x,h+k-l) ze, (z 1 Po hipó esis de inducción , (x n ) k-1) - 2 4n(x,k-~ y de aquí que {yn) admi e una subsucésión {y np } al que . pe o en onces Ynp ye (x,k-l) i (Y, P el)  á  n(Y lo que implica que {z np ) admi e una subsucesión'{z np* } al que :  11 z np*  ` ze (y,1) . Como ye (x,k-1), zc ( (x,k-l),1) = , (x,k) lo que demues a que n(x n ,k) -2--4  (x,k), p obándose as¡ el - eo ema . 2 .4 . : EJEMPLOS O Como consecuenci .a del eo ema an e io , pueden i  da se de iniendo únicamen e una aplicación n( .,1) :H -F(F1), sob een endiéndose que se a a del semi : ;is ema dinámico dis débil que induce en H . c e o 2 .4 .1 . . : Sea biaF(li), ijo . W .i (x,l) = M . Ob iamen e e i ica 2 .3 .1 ., y po an o  (F1,I + 7' i ) es un semisis ema dinámico disc e o débilsob e 11 . z 7' = (x 7' / i(n) ) i ( i1 ) y al se F ini o, pa a algún i o £F al que znp = (xnp/ io) io caso es inmedia o que {z np } en cuyo (11,1 ,7'2 ) H . luego Se de ine pa a 2 .4 .2 . : Sean F un conjun o ini . o no B= { i : icF}CH . De inimos 7' 2 (x,1)= {(x/ i ) i : ¡EF} Si xn _s x en H, sea (z 7' } al que n=-1, . . . . Puede esc ibi se en oncesque : zn p  (x/Vio)Vioc7'2(x°1)' Luego , 2(x n y1) T  7'2(x,1) Y es un semisis emadinámico disc e o ax + e S[ax,k] = 7'3(x,1) odo x de H : acio y z n E, 2(x 7' ,1) exis e una subsucesión de aquí que débil sob e 2 .4 .3 . : Sean k>0 y acR, ijos . Se de ine 7'3(x,1) = SIax,k] Si x n x en H, sea {z 7' } al que z n e7'(x n i) En al caso z 7' = xx n+ 7'  con 11 n i k, (n=1,2,  ) . Al se { 7' } aco ada, puedeex ae se de ella una subsucesión n p  ', VES [0 ,k] Po an o, 1 3(x n > 1) -  "3(x, 1 ) , y, en conse- cuencia, (H,I + , n3) es un semisis ema dinámico disc e o débil sinunicidad sob e H . dad . 2 . 18 . :  o~sE~z nc IOi4ES Todo pun oc í ico es pe iódico y singula . Todo pun o singula es pe iódico de pe íodo un¡ Si x es c í ico {x} es posi i amen e in a ian e, y si x es singula , ;x} es débilmen e posi i amen e in a- ian e . que : Igualmen e : n(n(x,p)~ko) C n(n(x,ko+p),ko) po lo que , (x,k o +p) c (x,2ko+p) . P ocediendo de igual o ma se llega a la conclu_ si6n deseada . de modoque 2 .19 . :  TEOREMA S .i xeH es pe iódico de pe íodo k o se e i ica n (x,P) e n (x,  k o ±p) e n (x, 2ko+p) e ...  (Vpe I + ) . P ueba : Po hipó esis,xen(x,ko) . En onces : n(x .P)c n(n(x,ko),p) = n(x,ko+p) . 2 .20 . : TEOREMA Si xeH es pe iódico de pe íodo k o en oncesy s61oen oncesexis euna solución xa a és de x al que x(nk o ) = x VncI + . P ueba : Como xen(x,k o ), po 2 .6 . sabemos que exis euna solución x* a a és de . x ; conx*(k o )=x . Na u almen e, se cumpleque : x*(0) = Xen(x,0) e n(x,ko) x*(1)en(x,l) x * (2) en(x,2)  , x*(ko-1)en(x,k o -1) Podemosen oncesde ini la aplicación x :I+ -- . H x(0)= x(ko) = x(nko) = . . . = x x(1)= x(k0+1)=x 2k0+1) = . . . = x*(1) x(2)= x(k+2)=x(2k +2) = .. . = x*(2) x(ko - 1)=z(2ko-l) =x(nko-1) = ... = x*(ko-1) Como c~¿n - ~secuencia del eó ema an é i - o , xes só lucibn de (H,I + ,n) que e i ica la esis del eo ema, com ple ándose de es e modo su p ueba .  11 i o de X . CONJUNTOS LIMITE 2 .21 . : DEFINICION Sea X una solución de (H,I +,n) . Se llama conjun o no ma-limi e secuencia) pos¡ al L+ (X) = {ycH : 3{kn)CI+, kn-.m ,x(k n ) -' Y} 2 .22 . : DEFINICION Sea x una,solucibn de (H,I +,n) . Se llama conjun olími e débil secueücialpos¡ i o de X, al LQ(x)= {ycH : s{kn}cl+, kn- ,x(k11) ', Y} 2 .23 . : DEFINICION Sea x unasolución de (H,I + ,, ) . Se llama conjun o lími e ini o de X,al LF (X)= {ycH : s{kn}cl+, kn~m ,X(k n ) = Y} 2 .'24 . : DEFINICION Sea x una solución de (H,I + , ), sin pun os de .pa ida, con I = Ix . Se llamaconjun o no ma-lími e secuencia) nega i o de x, al L - (X)=  {ycH  :  3{k n )cI,  kn - " _m  ,X(kn)  -'' y) 2 .25 . : DEFINICION Sea x unasolución de (H,I + ,R), sin pun os de pa ida,con I= I x . Se llama conjun o lími e débilsecuencia) nega i o de x, al C(-x)- {ycH : 3(kn)cI, kn- .-m .x(k n) -'- y} Z .26 . : OBSERVACION Ob iamen e  LF (X) C L+(X) C LQ(X)  pa acada solución X de (H,I ,n) . También, si X es cualquie solu-- cibnap opiada, L . (x) -- LQ(X) . es un pun ode pa ida . '  Todo pun o de enpun os c í icos . .La aplicación i :I-1 11 de inida de modo que  . , y(0) = xeS[0,1]  (i=1,2, . . .) «i) = 1/2 1 e l (i=1, . . .) es, igualmen e,una solución de (H,I + ,al) pa a la que se iene : L ¢ (V~) = L * (J) = {0} L o (VP) _ {0} . 2 .28 . TEOREMA Sea x unasolución de (H,I + ,, ) . El conjun o L + (X) es débilmen e posi i amen e in a ian e . P ueba :  ' Sea  yeLQ()() . po de inición e xis e {k n }cI + ' i k n-m , al que X(k n )  ` y . En onces : Sea (H,I + ,n,) el semisis ema dinámico disc e o debilsin unicidad in oducido en 2 .4 .1 . que : 2 .27 . : FJEMPLOS Ob iamen e se iene : L F(x) = {e 2 ,e3 ,e 5 ,. . . , ek , . . . kEI + p imo } L * , (X)  = LF(x)- La (x) ='{0)ULF(x) . Po o apa e, si xi S[0,1), necesa iamen e S[0,1] es singula , yno exis- Sea {e i } unabase o ono mal de 11 . Considé ese la siguien e solución : x :I + - 11 al x(0) =x(1) =e 1 x(2) =X .(4) = x(8) _ . . . = x(2 P ) = . . . =e 2 X(3) =x(9) = X(33)= . . . = x(3 P ) = . . . =e 3 X(5) =x(25)= x(5 3 )= . . . = x(5 P ) = . . . =e 5 x(6) = e6 x(7) = X(49) = x(7 3 ) = ... = x(7 P ) = . . . =e 7 (X (k n ) 1 1 )  -° ~ ,n (Y") y como  X(k n +1)e, (x(k n ),1)  la sucesión {X(kn+1 )}  admi e  37 una subsucesión {x(kni+1)} con x(kni+1)  ` y*en(Y .1) -CómS- kni+1-+ +m, y*cL + (x), y po consiguien e L a (x)nn(y,1) siguiéndose la conclusión de 2 .11 . Nó ese que L+(x) no es, en gene al, posi i a- men e in a ian e, como se pone de mani ies o en el ejemplo an e io . Si xell es pe iódico de pe íodo k en onces exis e una solución X a a és de x al que xEL F (x), ysu semi ayec o ia posi i a coincide con sus conjun os .lími e . posi i os . P ueba : Bas a oma la solución x cons uida en la p ue ba Su semi ayec o ia posi i a cons a de k pun- os, po lo que L P(x) = L + (X) = L + (X) = Im .(X) = {x,X*(1), . . . . . , x*(k -1) ) . 2 .30 . : TEOREMA de 2 .20 . . 2 .29 . : TEOREMA O Sea x una solución de (11,1+,70 . El conjun o L F (x) no con iene subconjun os p o pios posi i amen e in a ian es . P ueba : Sea Aeli, posi i amen e in a ian e cono ¢A -L I .(x) El conjun o {heí + : x(h)eA) es en onces no a- La aplicación x* :1 + H de inida con x* (j) = x (h A +j) es una solución de (H,I ,") a a és de x*(O) = =X(h A ) eA, luego : Pe o si e LF (x) exis e una sucesión {k n }CI ' kn -,m con X(k n ) = , po lo que e{x(h) : h ~l hA} Po lo an o  L F (x) C{x(h) : h 1 h A ),  y, .en consecuencia : L F (x) = A .  0 2 .31 . : TEOREMA 38  Sea X una solución de (1-I,I , ),a a és de xeH . Si (H,I + ,n) es localmen e ini o en x, en onces L F (x) es débilmen e posi i amen e in a ian e . P ueba : Sea yeL F (X) . Po de inición, exis e una suce- sión  {k n } CI + ,kn ~m, con -,(k n )=y, de donde -(Y .1)=-(x(kn) .1) .  (n= 1, . ..). Si omamos X(k n +1)en(X(k n ),1), al se necesa- iamen e ini o el conjun o n(y,1)=n(X(kn),1), pa auna su_b sucesión {kñ+1}e I + , kñ+1y-, se cumpli áque z= X(kñ+1) (n=1, . . .) luego siguiéndose la conclusión de 2 .11 . y al se k +1+m n x(k n +1) eL F(x) o lo que es lo mismo, zeLF(x) " Como ambién zen(y,l) se ob ieneque n(Y, 1 )n L F (x)  Y 2 .32 . : TEOREMA 13 Sea X una soluciónde (H,I + ,n), a a és de xeH Si pa a odo kcI + , n(x,k) es á cons i uido po un solopun o, (es deci si el semisis ema iene en x unic_i dadposi i a),en onces LF (X) es posi i amen e in a ian e . P ueba : Sea ycLF(X) . Po de inición exis e {kn }CI + , kn +m, al que x(kn )= y . Como X(k n +1)en(X(k n ) .1) = n(y,1) . (n=1, . .)  Y el semisis ema iene unicidadposi i a en x, queda á que n(x,k n +1) = n(y,1) = {X(kn+1)} n(Y,1) C LF (X) lo que equi ale a que L F (x) es posi i amen e in a ian e . O 2 .'33 . : COROLARIO Si (H,l + , a) íeiie unicidadposi i a en x, y pa- a la solución co espondien e X a a és de x, LF (X)¢D en onces exis e hEI + , dependien e sólo de x, al que LF(x) ={X(k)cFl : k ' h} = Mh Si  (X,1 4 ',n)  es un semisis ema dinámico disc e-  39 o sob e el espacio mé ico X, el conjun o lími e de cual- quie solución x, .pa a la opología de la no ma, es ce a- do en dicha opología . (30) . En nues o caso cab ía espe a que L+ (X) ue a débilmen e secuencialmen e ce ado . Sin emba go, en gene al no es así, como se pone de mani ies o en el siguien e ejemplo : de modoque : ma que : 2 .34 . : 013SERVACION 2 .34 .1 . . Sea {e i } una baseo ono mal de H . Conside emos la sucesión {x i } en H, cons uida x 1 = e l +el x2 =e l + e2 xs = e l +e 3 x3 e e2+2e3 x5 = e2+2e2 xe = e 2 +2e3 x4= e3+3el x y = e3+3e2 x o = e 3 +3é3 Se de ine la aplicación 11( .,1) : H- " F(H) de o - 11(x i ,1)  =  {xi,x j+1) 11(x,1) = S[0,1]  si xc{0,e,,e 1 , . . .} = B 11(x,1) = {x}  si XLB y XIIM .{X i =NI . Nó eseque VxcH, xcn(x,1) . Sea {yn } H Pueden da se las siguien esal e na i as (no i iales) a) Una subsucesión {ynj } ex aída de {yn } es al  que  yn j  E  B V M  (Vj=1,2 ... . ) . En onces  (ynj ,1)  =  {y nj } ----~  , (y,1) ya que Ynj' Ycn(Y,1) Como consecuencia de 1 .h . ., se cumple, en onces que m(yn,1) --2-4 n(Y .1)- al que yn  ` y . b) Una subsucesión { y nj } ex aida de {y n } es al que Ynj' ep(j) (j=1,2, . . .) . En al caso, sea ini o o no el conjun o (ep(j)  :  j=1, . + . .}  ,  necesa iamen e  y =  0  o bien  y=  e j pa a algún  j cI . a En ambas si uaciones  T(ynj, 1 )  -~ Ti (Y,1)  Ya 0 40 que T (ynj,1) = S[0,1] = , (y,1) . También po 1 .10, se sigue que c) Una subsucesión {y nj } ex aida de {yn }  es al que  Ynj a xp(j)  (7=1, . . . ) . Si  {xPj  : j=1, . . .}  es ini o, cla amen e T' (Ynj ,l)  _  {xn j ,xnj +l} -°  i T (y,1) Si  {x P0} :  j=1, . . .}  es  in ini o,  necesa iamen e es el ango de una subsucesión de una ila de (1), pues, de o o modo, {y nj } se ía no aco ada, lo que es absu do . Ponlo an o, puedesupone se que y nj  " y= e es . y en onces T (y,1) = S[0,11 . Si omamosuna sucesión {z j } con  z j e, (y nj ,1) j=1, . . .  necesa iamen e ienesu ango en la uniónde las i las -1, , +1 de (1), po lo queuna subsucesión ex aida de ;z j ; con e ge débilmen e, bien a e -1, a e óae +l pe - énecien es a S[0,1] . Luego ambién u(Yn .,1) ~ «y,1) -(Yn .1) ~ > T (Y'1)- 7 es casos, T (y 1 1) ) n(Y'1)- Se ha llegado , en esumen, a p oba que, en los La aplicación n(.,1) induce en H un semisis e- ma dinámicodisc e o debil, sinunicidad,pa a el cual, es unasolución, a a és de X(O)=X l .  . Pe o no es débilmen e secuencialmen e ce ado, ni (po an o) dé- bilmen e ce ado . Pa aque se de una si uación análoga a la del ejemplo an e io , es esencial que el conjun o {x(i) :i=1, . . .} sea no aco ado, comopuede e se en el siguien e : 2 .35 . : TEOREMA Sea xeH, al que T + (x) es aco ado . En onces, pa a cada solución X a a és de x, L +(X) es no ado y débilmen ecompac o . P ueba : (x(n)}  _(n=1,2, . . .) es una sucesión en T + (x), ;q1_ que, po es a con enida en un conjun o aco ado, admi e una subsucesión débilmen e con e gen e :  . (x (n J . .)  con  X(n i ) --~ ZCH . Como nzcL + Q (x) í m .  . . Seaaho ayeL+(x) . Po de inición y es limi e debil de una sucesión de elemen os de T+ (x), luego yc O TFXT ; es deci que  La (x) Q G T* - Ux7 . Al se T + (x) aco ado, su clausu a débil es un conjun odébilmen e compac o, y po consiguien e, ambién aco ado . ; Sea (yn}CL+(x), yn --~ y . Exis en sucesiones de en e os no nega i os, {kp} , kp 1-, ales que x(kp)--~-' y n , (n=1,2, . . . ) . Como T + (x) es aco ado, su opología ela i a de la débil de H, es de inible median e unamé icad*( ., .) y podemossupone que las sucesiones . {x(kn)} e i ican que d* ( x(kp) .y n )6 1/p  (Vn °1, . . .) . y ambién que kn <kn+i Es ácil e , en onces, que  x(k n ) --~ y  lo queimplicaque yeL + (x) . L + (x) es pues débilmen e secuencialmen e ce ó a do, y al es a con enido en un conjun o débilmen e compac o es débilmen e secuencialmen e compac o,y po consiguien e, débilmen e compac o, comple ándose de es e modo la p ueba . d Se dice que  (H,I + ,n)  es es able- en el sen ido deLag ange,en el pun o xcH, si T + (x) es aco ado . Se dice que (H,I + ,n) es es able en el sen ido de Lag ange, si lo es en cada pun o x c H . El eo emaan e io pone de mani ies o la ¡in po ancia de es e ipo de semisis emas . que : 2 .36 . : DEFINICION 2 .37 . : DEFINICION Se conside a la aplicación a + :H -~ 2 H al si exis e una solución X po x al 42  +(x) _  que L + (X)° 0 . L * (x)  en casocon a io . X (0)= x Pa a cada xcH,a + ( x) se denominaconjun o no ma limi e posi i o de x . que : que : 2 .38 . : DEFINICI0N Se conside a la aplicaciónaá :H ---) , 2 H al X (0) =x 2 .39 . : ' DEFINICION Se conside a la aplicación X F :H -) 2 H al 0 si exis eunasolución x po x  al X (0)=x  LFCx)  en caso con a io . Pa acada xeH, ao(x) (XF(x)) se denominaconjun o lími esecuencial debil (conjun o limi e ini o) de x . 2 .40 . : 'TEOREMA SeaxeH . El conjun o aa(x) es débilmen e posi i amen e in a ian e . P ueba :  , . ' Es simple consecuencia de 2 .12 . y 2 .28 . 2 .41 . :" TEOREMA si exis e una solución X po x al que  LQ (X ) =  0  . ~~ L+ (x)  en casocon a io . que LF(x )= 0 . SeaxeH . Si (H',I + ,n) es localmen e ini oen x, en onces IF(x) es débilmen e posi i amen e in a ian e . P ueba : Es simple consecuencia de 2 .12 ., y 2 .31 . 2 .42 . : DEFINICION 2 .43 . : - OBSERVACIOIJES Sean VCH y J : V--4R . Se dice que J es un uncionalde Liapuno pa a (H,1 TI) Si Y 5610 - si : 2 .42 .1 . : J es débilmen e secuencialmen e in e- io men esemicon nuo . 2 .42 .2 . : Si x es cualquie soluciónde (H,I + ,n) con enida en V, y (k n } cualquie sucesión c ecien e de en e- os posi i os, con  x(kn) - eV, en onces  J(x(kn))-J( ) . 2 .42 .3 . : J(x) 'k J(x(1))pa a odo xcV y pa a cualquie solucio i x po x -con  x(1)cV . 2 .43 .1 . : Un semisis ema dinámico dic e o . .débil dado,puede no admi i mas uncionales de Liapuno que las cons an es, como sucede, po ejemplo, al in oducido en 2 .4 .3 . pa a a-l, pues si x,ycHson ales que pa a algún un cionalde Liapuno J(x) # J(y), comoexis e en el semisis e- ma una solución po x que con iene al pun o y, J(y) 1J(x),y ecíp ocamen e, al exis i ambién una solución a a és de y en cuya ayec o iaes á x, J(x) *' J(y), ob eniéndose en al casouna con adicción . 2 .43 .2 . : Si J es un uncional sob e Vc li, débil- men e secuencialmen e con inuo, e i ica i ialmen e 2 .42 .1 y 2 .42 .2 ., y se á uncional de Liapuno pa a el semisis ema conside ado si es no c ecien e a lo la go de las ayec o ias de sus soluciones . 2 .43 .3 . : Si H es de dimensión ini a, yJ cual- quie unciónsob e 11, con £nua,a alo es ealesaco ada in e io men ey con odos sus conjun os de ni el aco ados, puede de ini se de modo que n( .,1) :  H -3 F (H) (x,1) = W(x . )= (zeH : J(z)L/J(x) } Cla amen e es á bien-de ini .da, pues pa a'cada x de H, n(x,1) es se ado y aco ado . Ve emos inmedia amen e que inducesob e H un se misis emadinámico disc e o, yno e-mos que es esencial el eque i que 11 sea de dimensión ini a, en i ud de 1 .15 . 1 9 Sea McF(H) . Se e i ica que A (M)CAd(11) . P ueba : Sea xeA (M) . Conside emos los no ma en o nos de M de la o ma S[h1,1/ln] (nEI + ) . Po de inición podemos en con a una sucesión de no ma en o nosVn de x, y una s_u ®  cesiónde en e osposi i os  kn ales que ®  VO k n ,  i (V n ,k) C S[M,1/2 n ]  (n=1, . . .) . Si x es cualquie solución a bi a ia a a- ésde x, como 0(n( n ,kn ), M) ` s( S[M,1/2n), M) --i 0 y xJk n)ea(Vn,k n ) (n-1, . . .), como consecuencia de 1 .11 ., se deducequeuna subsucesión (X(kn p)} ex aida de(X(kn )} cu_m ple que, X(k np )  `YE11 Luego L + (x) ¢o y ambién, po se x a bi a ia a (x)  y Si zc1,á(x), un azonamien o análogo al expues o en 2 .49 ., mues a que  ZCM, y, en consecuencia  a * (x) C M, -1  lo quecomple a la p ueba . 501 2 . 5 1.: TEOREMA 2 ."52 . :  ' TEOREMA O SeaMcF(H) : El conjun oAG(M) es posi i amen- e in a ian e . P ueba : Casocon a io exis i ían xeAO(M) » y una solu- ción x a a és de x, ales que pa a algúnen e o posi i o h,' x(h)d Aa(A1), lo cualimplica que, o bien XQ(X(h)) = 0, o aa (X (h)) S M . Exis e, po lo an o una solución 0 a a és de x(h) al que LQ o bien  LQ (J) SEM . La aplicación C :I + -~ H de inida de modo que (j) = x(j)  j 1 h , I(j) .=  «j - h)  j>  h es usa solución a a ésde x, con LQ(C) = LQ(V+) . Se en- d íaen oncesque xíA d (M), en con ade la hipó esis . Sea McF(H) . Son posi i amen e in á ian es~'las _51 egiones  A(M),  A ° (M), Ad (M)  AW (M) y po 2 . 5 3 . : TEOREMA - La p ueba es idén ica a la del eo ema an e io an o se omi e . 2 .54 . : TEOREMA Sea McF(H) . Si pa a odo xcH se e i ica que el no ma-in e io de (x,1) es no a io, en onces la e gi6n Au (M) es cuasiposi i amen e in a ian e . P ueba : Caso con a io exis e xeA u(M) al que , (x,1)nA u (M) = m Sea en onces zcu a- in .(n .(x,1)) . Como zIA u (M), pa a odo no ma en o no de z, y en pa icula pa a n(x,1) exis e yc, (x,1) al que alguna solución X a a és de y,no es á úl imamen e en algún no ma en o no de M . X puede se p olongada, como se hizo en la p ue ba de 2 .52 ., de modo que sea solución a a és de x, y en- onces pa a odo no ma en o no V de x,exis e un pun o, el p opio x,' al que una solución po x no es á úl imamen e en algún no ma en o no de M . Luego xl A u (M), con a la hip6 e sis . 2 .55 . :'' TEOREMA 0 Sea McF(H) . Si pa a odo xcH se e i ica que il II-in .(n(x,1)) ¢ 0, en onces Aú(M) es cuasiposi i amen e in a ian e . La demos ación es idén ica a la an e io . 2 .56 . : TEOREMA Sea McF(H) . Si pa a odo xcH, II II-in .(z(x,1))# m , en onces A (M) es cuasiposi i amen e in a ian e . P ueba : Caso con a io, exis e xcA (M) al que n (x,1) n A (M)  = Sea zcIIII-in .(Ti(x,1)) . Como z¿A (M), exis e un no ma en o no  U z de M al que pa a odo no ma en o ®  no V de z puedehalla se una sucesión c ecien e de en e- - 52 os posi i os {k V ) al que  n(V,k V )<4U z . Tomando, en pa - n  11 icula V= n(x,1), ob enemos la co espondien e sucesión (k~' .'>}=_{kn} pa a la que n(n(x,1) k n ) U z es deci : n(x,k n +1) 0 U z En onces, si W es cualquie no maen o no de x, es cla o que n(x,kn +1) c n(W,k n +1) y po an o n(W,k n +1) d U z de donde se deduce que  x¿A (M) con a lo supues o . o 2 .57 . : DEFINICION Sea McF(H) . 2 .57 .1 . : Si A'(M) es no maen o no de dicequeM es o-a ac o . 2 .57 .2 . : Si A (M) es no ma en o no de dice queM es no ma a ac o . 2 .57 .3 . :  Si  AG(M)  es , no ma-en o no de dicequeM es a-a ac o debil . .  2 .57 .4 . : Si A d (M) es no ma-en o no de dice queM es no maa ac o debil . 2 .57 .5 . : Si A (M) es no ma-en o no de dice queM es a ac o ue e . 2 .57 .6 . : Si A7(M) es no maen o no de dice queM es a-a ac o uni o me . 2 .57 .7 . : Si Au (M) es no maen o no de dice queM es no ma a ac o uni o me . 2 .51 .8 . : Si A W (M) es no maen o no de dice que M es a ac o pun ual debil . 2 .57 .9 . : Si A F (M) es no maen o no de dice queM es a ac o ini o . nes, se deduce de o mainmedia a : M, se M, se M, se M, se M, se M, se M, se M, se M, se 2 .58 . : OBSERVACIONES Sea McF(H) . Como consecuencia de las de inicio '53 ' 2.56 .1 . : Si M es a ac o ue e, en onces es no ma a ac o uni o me . ` 2 .58 .2 . : Si M es no ma a ac o uni o me, en- onces es a-a ac o uni o me . 2.58 .3 . : Si M es no ma a ac o , en onces es o-a ac o . 1 .58A . : Si M es á-a ac o , en onces es a-a- ac o débil . 2 .56 .5 . : Si M es no ma a ac o , en onces es no ma a ac o débil . 2 .58 .6 . : Si M es no ma a ac o debil, en on- ces es a-a ac o débil . 2 .58 .7 . : Si M es no ma a ac o uni o me, en- onces es o-a ac o débil . 2.58 .8 . : Si M es a ac o pun ual debil, en- onces es o-a ac o débil . 2 .58 .9 . : Si M es a ac o ue e, en onces es a ac o débil, en no ma . 2 .58 .10 . : Con las no aciones de 2 .47 .2 ., se e i ica que M es a ac o ue e, a ac o pun ual débil, no ma a ac o uni o me, a ac o ini o y ambién a-a ac o débil, pe o no es no ma a ac o , no ma a ac- o debil ni a-a ac o . Se iene as¡ un con aejemlo que p ueba la alsedad de los ecíp ocos de 2 .58 .4 . y 2 .58 .6 . 2.58.11 . : En el semisis ema desc i o en 2 .47 . S ., DI=401 es no ma a ac o , a ac o , a-a ac o débil no ias a ac o débil y a ac o pun ual débil . . 2.58 .12 . : Pa a el semisis ema dinamicodisc e o de inido sob e H= L2 ,en 2 .47 .6 ., M={0} es a-a ac o o-a ac o débil, o-a ac o uni o me . No es en cambio,no . ma a ac o , a ac o pun ual débil, a ac o ue e,  ni no ma a ac o débil . Se iene as¡ un con aejemplo que mues a  la alsedad de los ecíp ocos de 2 .58 .7 ., 2.58 .8 ., y 2 .58 .9 54  Sea McF(H) . Se diceque M es es able si, pa a cada xd 1, ycM exis en sendos no maen o nos U de x, V de ®  y, ales que : 2 .59 . : DEFINICION U- (1 T + (V)  =  0 . 2 .60 . : DEFINICION SeaMcF(H) . Se dicequeM es o bi almen e es a ble, si exis en no maen o nos de M posi i amen e in a ian es a bi a iamen e pequeños . 2 .61 . : TEOREMA SeaMcF(H) . Si M es o bi almen e es able, en- onces es posi i amen e in a ian e . P ueba : Casocon a io, exis e xcT + (M)-M . Cómo M  es no ma ce ado, exis eun no ma abie oV al queM CV  y xdV, en cuyo caso : MCVCH-{x} ' Po an o, H - {x} es un no ma en o no de M y como M es o bi almen é es able, con ieneun no maen o no U de M, posi i amen e in a ian e .Es deci : xcT + (M) C T+ (U) .CU C H- {x}, lana con adicción . 2 .62 . : TEOREMA 2 .63 . : - TEOREMA 0 Sea McF(H) . Si M es es able,en onces es posi- i amen e in a ian e . P ueba : Si xcM e y£M, po de inición exis en no ma en o nos U de x, V de y al que U 1T + (V) = m , y, enpa icula x4T+(y) . Al se y a bi a io en M, ob enemos que x«+(M)- Luego H-M C H- T+ (M), o lo que es lo mismo T + (M)CM lo que p ueba que M es posi i amen e in a ian e . D SeaMcF(H) . Si M es o bi almen e es able, en onces es es able . P ueba : -  Al se NI débilmen e compac o es débil ien, d ce-- _5 _S ado y po an o, no mace ado ; si x¿M exis en no ma abie os disjun os  W, U,  con  11C W y xcU .  - Comocheso bi almen e es able, exis e .un no ma en o no V de M, posi i amen e in a ian e con enido en W de donde T+(V) C V CW . Luego UnT + (V)  y como V es, ob iamen e, en o node cada yeM, sE concluye que M es es able : O 2 .64 . : TEOREMA Sea McF(H) . Si 11 es o bi almen e es able y no - ma a ac o debil, en onces es a ac o pun ual debil . P ueba : Sean xeA d (M) yV un no ma en o no a bi a io de M . Como A d (11) es no ma en o no de M, ambién lo es UA d (11) y po se M o bi almen e es able exis e un no ma en o no W de M, posi i amen e in a ian e, al que  W C A d (11) 1V . - Sea x una solucióna bi a ia po x, y {x(i)} su semi ayec o ia posi i a . Sabemos que L + (x) Y * yL + (x)CM po lo que {x(i)} es á ecuen emen e en cada no ma en o no de DI y en pa icula en  11 II-in . (W) CW . Pe o al se  IV  pó si i amen e in a ian e, se end á que {x(i)} es á Gl imamen e en W, y po consiguien e en V . Po lo an o x cA W (M), ob eniéndose puesqué A w (M) D A d(M) de donde se deduce que M es a ac o pun ual debil . 2 .65 . : DEFINICION Sea McF(H) . 2 .05 .1 . : M es a-asin ó icamen e es able, si es o bi almen e es able y - o-a ac o . 2 .65 .2 . : M es asin ó icamen e no ma es able si es o bi almen e es able y no maa ac o . 2 .66 . : EJEMPLOS 2 .66 .1 . : En el semi - sis ema dinámicodisc e o in ducido en 11 po el ope ado iden idad, si xcH, odo conjun 56_ o de la o ma (x} es es abley o bi almen e es able, pe o no es a ac o en ninguno de los sen idos de inidos . 2 .66 .2 . : El conjun o M= S10,11 es o bi almen e es able en el semisis ema dinámicodisc e o (H, I + ,nl) des- c i o en 2 .47 .2 . 2 .66 .3 . : Con las no aciones de 2 .47 .5 ., (0) es asin 6 icamen e no maes able en 2 .66 .4 . : Pa a el semisis ema dinámico disc e o sob e L 2 de inido en 2 .47 .6 ., M= {0} es asin 6 icamen e a-es able, pe o no asin 6 icamen e no ma es able . 2 .67 . : DIAGRAMA TEOREMA Sean VCH,, y . J :V ---~ R un uncionalde  ??, Liapuno pa a Sean McF(H), y  WcF(H), con  M CIVC V, ales que W es no maen o no de M 2 .68 .2 . : W es posi i amen e in a ian e . 2 .68 .3 . : Si xcW-M y X es cualquie solución a a és de x, J(x(1)) <J(x) . En oncesM . es o-a ac o debil, y Ad(M)7w . P ueba : Sean xcW y X una solución a bi a ia a a- és de x . .Su semi ayec o ia posi i a es unasucesiónen W, po se és e posi i amen e in a ian e . Al se W débilmen e compac o, pa a una subsu- cesi6n {X(np)} se e i icaque x (np )  1 yelV . + Po lo an o,  L * (x)  0m  , y al se x a bi a - Tia, XQ(x) YQ . Po o a pa e,  si  zel + (x)-M, exis euna solu- ei6n 0 a a és de x, al que zeLQ(V+)-M . Como L o * (*) es cuasiposi i amen e in a ian e, exis eunasolución Ea a és de z al que E(1)cL a (o) . Al se z¿M se puede a i ma que J(z)>J(E(1)) pe o es o es unacon adicción, pues se ha p obado en 2 .44 . que Jes cons an e sob e L + + (o) . Po consiguien e, x + (x) - M - o , o-, lo que es lo mismo, . ac(x) C M . Al se el conjun o lími e débil de x, no acío y con enido en M, se iene que  x cA c (M), comple ándose de es emodo la demos ación . COROLARIO O Con las mismasno aciones e hipó esis que en 2,68 ., si pa aalgún x"cH, M-{x"} , en onces : 2 .69 .1 . : M es o=a ac o . 2 .69 :2 . : Pa a odo xcW, J(xk) 11 J(x) . P ueba : SeaxcW . Sea X unasolución a bi a iapo x . Si se u ie a que X(n) --/- x*, exis i ían un abie odébil U, en o no de x*, y una subsucesi6n {X(n p )} de{X(n)} ales que  x(n p )éU p=1,2 . . ... Al se  {X(n p )}C W,  pa aunasubsucesi6n X(nPi)  11 zcw . Po un azonamien o idén icoal empleadoen 2 74 ., se ob ieneque zcM, y en consecuencia : x( n pi) x* lo cual es absu do,pues  X(n pi )1U i=1, . . . . Necesa iamen e, po an o, x(n)  ` x*, y en onces xeA ° (M), comple ándose la p ueba .de .2 .69 .1 ., Pa a e 2 .69.2, supongamosquepa a algún ycW J(Y)<J(x*) " Como y¡11, dada cualquie solución X po y, J(x(1)) <J(Y)< J(x * ) luego X(1)1M . P ocediendo de igual o ma se llega a es able - ce que J(x*)>J(Y)>J(x(1))>J(x(2)) .> . . .> J(x(n))> ... Pe o, po 2 .75 .1 . sabemosque X(n) -~ x*,y al se J débilmen e secuencialmen e in e io men e semicon ínuo, J(x*) _' lim in J(X(n)) una con adicción . ' 2 .'70 . :  COROLARIO Con las mismas hipó esis y no aciones de 2 .68 ., si J es cons an esob eM y M'£F(H), M'C M, e i ica 2 .68 . 5 - ., en onces- ~ .M" = M . P ueba : Si XCM -11 ; como pa a cualquie solución X a a és de x, J(x(1))< J(x), al se J cons an esob e M,n_e cesa iamen e X(1)cW-M . Si x(2)cM se llega a una con adicción, pues J(x(1))>J(x(2)) . Luego ambién x(2)eW-A1 y epi iendo el azonamien o puedellega a es ablece se que J(x)>J(x(i))>J(x(2)) . > . . . 'Como M'esa ac o débily su co espondien e egión de a acción con iene a 1V, L+(x) es no acíoy con_ enido en M ; es deci quepa aalguna subsucesi6n (x (n p )1  ex aida de (X(n))  se end á que X (np ) - ; zeM' C M po lo que  -  '- -  1S9 J(X(n p )) --i J(z)  ___ y, en consecuencia : - J(x)>J(z) lo que es  absu do, pues  J , es cons an e sob e M . Luego M'-M = 4, es deci  M' = M . MINIMALIDAD 2 .71 . : DEFINICION 2 .72 . : ' DEFINICION .2 .73 .' :'  OBSERVACIONES Y EJEMPLOS O El conjun o' M C H  es posi i amén e minimal, si es a-ce ado, posi i amen e in a ian e,y no poseeningún subconjun o p opiocon ambas ca ac e ís icas . El conjun o M C H  es débilmen e posi i amen e minimal,si es a-ce ado,débilmen e posi i amen e in a- ian e, y noposeeningún subconjun o p opio con ambas ca- ac e ís icas . 2 .73 .1 . : En el semisis ema dinámicodisc e o debil (H,I * , A1) desc i o en 2 .4 .1 ., el conjun oM= S~0,1l es posi i amen e minimal . 2 .73 .2 . : En el semisis ema dinámico disc e o débil (H,1 w3) desc i o en 2 .4 .3 ., el conjun oM-H es si i amen e minimal . Pi 2 .73 .3 . : Dos conjun os posi i amen e minimales, o coinciden o son disjun os . 2 .73 .4 . : Un conjun o posi i amen e minimal, no necesa iamen e es débilmen e posi i amen e minimal,como su cede, pú ejemplo, al M de 2,7 .1 . 2 .73 .5 .: Si xcH es un pun o c i ico, en onces M -'{x) es posi i amen e minimal, y débilmen e posi i amen SEMISISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS DEBI1_E_5 66' SOBRE UN CONJUNTO DÉBILMENTE COAIPACTO Sean WEF(H) y F(W) el conjun ode las pa es no acías débilmen e compac as en W . Nó ese que F(W)C F(H) . Llama emos semisis ema dinámico disc e o débil sin unicidad sob e W, a la e na (IV,I + , n) donde i :WXI + -j F(11)  . e i ica : . 2 .85 .1 . : a(x,0)= {x} VXe1V . 2 .85 .2 . :  Si  {x n } CW  es al que  x n -1 x, en- onces n(x n ,l :)-  (x,k) en F(W), Vk I' . 2 .85 .3 . : ( (x,h),k) = (x,h+k) VxcW, Vh,k I 4 ' 2 .85 . : DEFINICION Si .M c F(W) en onces, de o ma en e amen e anál_o ga a comose hizo en 2 .2 .1 ., se comp ueba que + (M,k)EF(H) . Damos aho a, sin desa olla la p ueba, el e- sul ado co espondien e al eo ema 2 .3 . : 2 .86 . : TEOREMA Sea , ( .,1) :W -}F(W) una aplicación al que : 2 .86 .1 . :  Si  xn --~ x  en W,  n(xn,1)+ " (x,1)  en Si se de ine :WXI*49Cde modoque : e(x,0) - {x} (x,k+1) -  (y,1)  (k=1, . . .) ye (x,k) en onces (W,I 4, ) cons i uye un semisis ema dinámico dis- c e o débil sob eW que denomina emos inducido en W po _la aplicación dada . De o ma idén ica a como se hizopa a semisis _e masdinámicosdisc e os débilessob e H, se de inen en es e caso, con las modi icaciones ( o males) ob ias, soluciones, conjun osin a ian es y débilmen e in a ian es,conjun os lími e, unciones de Liapuno e c . No se epe i án ales de iniciones, ni se es ablece án más esul ados que los inme- dia amen e aplicacbles al es udio de algo i mos de minimiza ciónde uncionales . Se omi i án las p uebas ep oducibles de modo e iden e, a pa i de sus co espondien es pa asemisis e - massob e }1 .  . 2 .87 . : OBSERVACION Si (H,I',u) es un semisis ema dinámico disc e o débil pa a el que odo pun o de W es singula , en onces la aplicación wW( .,1) :  W --~ F (W)  /  , w (x,1)=  Ti (x,1)nW inducesob e W un semisis ema dinámicodisc e o débil,que di emos es 'La es icción a W de (H,I + ,, ) . La condición de  que odos los pun os de  W sean singula es, puede debili a se exigiendo únicamen e que  VxcW,  , (x, 1) n W i  o . in a ian e . 2 .g8 . : TEOREMA Sea x una solución de (W,I ,n) . En onces LQ(X)EF(W) . P ueba : C . 2 .35 . 2 .89 . : TEOREMA Sea X unasoluciónde (W,I ' ,a) . . El conjun o L*(X) es débilmen e posi i amen e P ueba : C . 2 .28 . 2 .90 . : TEOREMA Sea J :W -4 R un uncionalde Liapuno  pa a (W,I',w) . Sea X cualquie solución de dicho semisis ema . En es as condiciones, J es cons an esob e el 1 conjun o L+ * (x) . P ueba : C . 2 .44 . 2 .91 . : TEOREMA Sea J : W -->R un uncional de Liapuno pa a (W,ISea MEF(W) . Si se e i ica : 2 .91 .1 . : W es no ma-en o no de M . 2 .91 .2 . : Pa a odo xeW-M y pa a cualquie sol_u ci6n X a a és de x, J(x(1)) <J(x) . En oncesM es a-a ac o débil y su egión de a acción es W . P ueba : C .2 .68 . 2 .9? . . : TEOREMA Sean J :W -+R una unción de Liapuno pa a y x*eW ales que : 2 .92 .1 . : Si x¢x* y x es cualquie solución a a ésde x,, J(x(1))<J(x) . En onces X(n)- x* y J(x*) 11 J(x) VxcW . P ueba : Desdeluego,una subsucesión de {X(n)} es .débil- men e con e gen e,po se WeF(H) . Si X(np )  k y~x* comoycLQ(X)y LQ(X) es cuasiposi i amen e in a ian e, exi_s e una solución 0a a és de y con semi ayec o ia posi i- a con enida en LQ(x), y en pa icula con 0(1)cLQ(X) . Pe o, po 2 .92 .1 ., J(0(1))<J(y), ob eniéndose un absu dopues J es cons an e sob e los conjun os limi e de soluciones . Luego y=x* . Si {X(n)} no con e ge débilmen e a x*, exis e un abie odébil U que con iene a x*, y una subsucesión {x(n p )}  al que  x(n p )íU  (p=1 . . . ) .  Repi iendo con es a subsucesión el azonamien o expues o en los pá a os an e- io es, se llega a p oba que X(n~) --~ x*, unacon adic- ción, La p ueba de que J(x*) 11 J(x) VxeW es idén _i ca a la de 2 .69 . .2 . e i icando : con inua pa a odo IH<MINI11I2 .ACION DE FUNCIONALES El obje i o de es a masdinámicosdisc e os débiles ci6n de algunos de los algo i mos nales --ob e H, cuyo es udiodesde cucn a en (10) 6 en (14) . Conside a emos J : H  ) R HIPOTESIS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA en lo que -H .1 . Pa a cualesquie a x,y cH exis e J . (x'Y)  -  '¡m J (x '8Y) -J (X) e lineal y ,,H .3 . Si {u n ) es e- "o y la aplicación  y+ J'(x,y) es H . 2, Exis e en H un es p ecisamen e su mínimo . lim J (u n ) n-O . m +H .4 . J es con exo en H . u . S . Pa a odo ycH, x " x n i H .6 . sección es de ini semisis e adecuados pa a la desc ip - de minimizaci6n de uncio- o opun o de sigue un uncional con inua . únicopun o x" c í ico de J, que cualquie sucesión en H si y 5610 Si  , un ¡ , J'(xnsy)->J'(x,y) La aplicáción en algúnconjun o de la o ma W(x 0 )  =  {XCH  1  J (x) `  J (x o ) } ycHcon i yu =1 . u+ J'(u,y) es uni o memen e is a, se en Obsé ese que, como consecuencia de H .1 y H .4, J es débilmen e secuencialmen e . in e io men e semicon ínuo . (C . (10),Ch .2, 1-4) . e es al que Como, en i ud de H .3 men e compac o . Po os pos e io es, se ía de desea que J cuencialmen e con ínuo, mas se ha is o mensión in ini a ello es con adic o io un conjun o de ni el aco ado .(11(x o )) . Hechas las ' hinó esis an e io es, en lo que sigue esc ibi emos J x P(x)= J II J(x» 1 e i ica J lo que además po lo siendo Po o a pa e, el conjun o 1 " J(xo) es débilme_n secuencialmen e ce ado, pues si la sucesión x n }c!V(x 0 ) xn --~ x, en onces J(x) `- lim in .J(x n ) 1 J(x o ) . W(x0) es aco ado, es ambién débil hipó esis simpli i-ca no ablemen e los plan eamien - ue a débilmen e se- que, si H es de di con la exis encia de Sea  {x } CH n Po ene limi e débil, a .5 . se sigue que J (x n )  -~  J (x) implica, igualmen e,que {JIVJ(x n )JJ}es aco ada en al que x i x#x,, :  (xJ x* n=1, . . .) {x n } es aco ada 0 < BVJ(x)9 á lim in . HVJ(x n )H que, pa a una subsucesión . W (xn n )p -->  y = 1 im in . 11 J (x n ) 11 y po R, y de donde ¡in P(xnP) -- y  i! Z =  J y xn  p(x) = a . P(x), y No es cie o, en gene al, que an e io es, y {u n ) { n } son sucesione's en H U n - u, n  , J( n ) b, J(u n ) necesa iamen e se siga que J( ) 4 J(u) . No obs an e, admi i- emos que J e i ica : b H,7 . Si  n - .  en R  y  xn - --L x si J J (x n - nP (x n ) ) . J (xn-c(u J (x n )G) P (x n )) cumple en H, con en onces J(x - «P(x)) ¿ J(x -cC J(x)II)p(x)) c :R + - .R + con ínua .  ,y las es an es no aciones in oducidas , al comienzo del p esen e ná a o . las con las En adelan e se supone dado .un uncional J sob e H, e i icando, sal o ad e encia en con a io, las condicio 3 2 . :  DF F - 1N Tn0 - 1 - La unción  d : R*-) R+ es llamada  - unción si, a a oda sucesión {x n } C R + ,  d(x n ) - "0 si y sólo si x n -+0 . 71 Sea a = sup . { dVJ(x) - VJ(Y)u : x,yc1V(x 0 ) ) La unción  6 ;R + )R + de inida de modo que in .{px-ylI :x,yeW(x 0 ), IIVJ(x)- VJ(y)pa , si e[O,a) d ( ) I lim - á(s)  si E s->a es llamada"móduloin e so de con inuidad de  J en W(x 0)" Es á bien de inida como consecuen d a de H .6 .  y es una - unción aco ada y monó ona c ecien e en R + . La sucesión  {x n }C H es minimizado a  pa a J si y sólo si J(x n )- J(x*) . La sucesión  ix n j C H es c i izado a  pa a  J si y 5610 s i  II VJ (x n ) d  -o . luego e : luego 3 .3 . : --DEFINICION 3 .4 . : DEFINICION 3 .5 . : DEFINICION 3 .6 . :  TEOREMA  ((14),T 4 .3 .1 .) . Si {xn } es c i izado a, es minimizado a . P ueba : Como J(x*) = in . {J(x) : x£W(x 0 )} podemosob ene una sucesión  {y n }C W(x o ), al que  J(yn)-+J(x*) . Al se J con exo J(Y n ) - J(x n )  ( Yn-xn> VJ(xn)) . Aho a bien : I (Y n - x n .  J (xn )) I  lly n -VI . 119j(%)11 y como las sucesiones {y n }{x n } son aco adas, y {x n } es c i izado a : Mm I(Y n-xn . J(x n ))I =0 lim sup . (J(yn)-J(xn)) 1 0 . Po cons ucción exis e lim J(y n .), y po o a pa J(x*) 4 lim in .J(x n ) 2 . lim sup J(x n ) &'limj(yn)=J(x*) Los algo i mos 72 de ipo i e a i o, es " "' o inicial  x0cH, se que, si x iYx*, J(x i+ 1)<J(xi) donde la di ección p i y el escala p i se calculan en cada paso de minimización conside ados se án deci en los que, ijado un cie o pun- cons uyeuna sucesión {x i }_de sue e en unción de xi (y del uncional J) . p = VJ(x)/ IIVJ(x)II, si dimien o de cálculo del ,elección se hace, en la lo dependien e de x i La sucesión an e io se o ma de modo que x i+1_  xi  -  pipi Como d J(x+ p)I _0 = (VJ(x),p) , emos que J es ins an áneamen e más ápidamen e dec ecien e en la .di ec-- ción . p que e i ique : (VJ(x),p) = - II VJ(x)II = sup  (VJ(x),y) iy¡=1 di ección llamada de máximo descenso, y que en un Espacio de Hilbe es J x p= 1113N511 lo que jus i ica la no ación an e io men e adop ada . Todos los algo i mos conside ados en es a sección se án del ipo del máximo descenso ( es deci , en los que x¢x*) a iando en cada caso el p oce escala p i ("ampli ud de paso") cuya mayo ía de los mé odos, en un in e a y de p(xi) .  _ La con e gencia de un algo i mo implica pode ga- an iza que la sucesión {x i } ob enida con e ge (débilmen e o en no ma) al mínimo del uncional, lo que en dimensión in _i ni a, no necesa iamen e a ligado al hecho de que J(xi)-+J(x*) . Un modo na u al de calcula p i es da le el alo del p ime mínimo de la unción -+J(x- p(x)) .(Mé odo de Cu y) que puede gene aliza se p e ijando una sucesión{a n } con Ogan4 Éa<1 .En es as condiciones se oma pi igual al p ime mínimo local posi i o de la unción - J(xi - p(xi)) - ai IVJ(x i )II . (Tomando a l =0 esul a el algo i mo habi ual) . En adelan e nos e e i emos a al algo i mo aquí desc i omedian e el nomb e de "mé odo de Cu y gene alizado" (C . (14) Secc .4 .3) . 3 .7 .: TEOREMA 73 Pa a cada xeH se de ine el conjun o (x)={x- p(x) : c(II J(x)Y)lI , J(x- p(x))`-J(x-c(II j(x)D)P(xllJ(x)} siendo c :R -R * ., úna - unción con inua e i icando que c( )/ es monó onac ecien e, y al que haga (x)YO pa a cada xeH . En onces se iene : 3 .7 .1 . : (x)cF(H) ; VxcH . 3 .7 .2 . : xn -u x en H, (x n ) -1 (x) en F(H) . P ueba : 3 .7 .1 . Si x=x* (x)={x*}cF(H), ob iamen e . Si x¢x*  y omamos una sucesión {y n }c (x), se á . yn = x - n p(x), con J(yn) s J(x-c(uVJ(x)l1)p(x)) . Como, pa a cada n,  n x- np(x )11 a u- n p(x) 11 - u x11 si la sucesión { n } no ue a aco ada, ampoco lo se ia en no - ma la sucesión lx- n p(x)}, lo que es absu do pues es á con eni da en el conjun o de ni el W(x), que es aco ado en i ud de H .3 . en cuyo caso Puede supone se pues que n + R* y n ~ Y - x -  P (x) y como J es débilmen e secuencialmen e in e io men e semicon í nuo J(y) 6  lim in J(x- , p(x))  6 J(x-c@IVJ(x)1)p(x)) . Además, al se  c(IIVJ(x)11) li~ n , ambién c( a i(x)1) 6 , deduciéndose de ello que yc (x .), y en conse cuencia que (x) es débilmen e compac o . (En ealidad se ha p obado que es compac o pa a la opología de la no ma) . 3 .7 .2 . : a) Conside emos en p ime luga el caso en que x n #x*  (n=1, . . .) y ambién  x¢x* . Tomemos la sucesión {yn } con  y n c (x n ) (n=1, . . .) . Se á yn = xn- np(xn) . Al cumpli se que  x n - 'x, como consecuencia de H .5 . VJ(x n VJ(x), po lo cual puede supone se- que Y71= . 11 VJ (xJ1-Y . - Además no puede se y=0, puescomo IIVJ(x)II `- lim in Y n = Y, 74-si ue aes e el caso, necesa iamen e 11VJ(x)11=0, y en onces x se ía c í ico en con a de lo supues o . Veamos, po o apa e,que { n } es aco ada : Caso con a io, como Ilx n - np(x n ) n  '- II - nP(x n )U  - II x n il y pa a un cie o MeR es Ux n p`- M (ya que {x n } ienelími e débil), queda á : Ilx n - nP(x n ) II  '- I ni  - M y en el supues oconside ado Ilx n - nP (xn) II -- lo que,en i ud de H .3 ., implica que : J(xn - nP(x n ))-m ---> J(xn-c(11U(xn)II)P(xn))im lo cual, nue amen e en i ud de H .3 ., da ía que Ilx n - c(1U(XJ) P(xn)II am lo cual es absu do pues,po H .S . xn -  c (0 U (xn)u)  VJ (x n )  x  -  c  y  VJ (x  ) NVJ (x n )N  y .  Po lo an o, { n } es aco ada, y pa a una subsu cesión y en onces y o x=XQ . nk xnk- nkP(xnk) ' x- VJ(x) =x - gVJ x P(x)= y eniendo en cuen a H .7 . :  y  Y J(x- pVJ x Ilp(x))  L  J(x - c(IIVJ(x)II)P(x)) Y Como, además  c( II VJ(x nk )II) 4 nk , se end á que c(y) ¿ ; La unción c( )/ es monó ona c ecien e y al se  uVJ(x)W4 y c( 11 VJ(x)11 )  4  c(y  ,C  uVJ(x)11 Y Y luego c( V VJ(x)11)  IIVJ(x)11 Y lo que p ueba que ye (x),y po an o que (xn) a (x) en es ecaso . b) Supongamos aho aque x n Y xR (n=1, . . .) y que Si y¢0, p ocediendocomo en el caso an e io ob e nemos una subsucesi6n  -- .  xnk- nkp(xnk) -~ x*-Y VJ(x*) = x*e (x*) con lo que ambién (x n ) Z (x*) .  75 Si y=7 la sucesión(xn ) es c i izado a, y po an o minimizadg a, es deci  J(X 11 )-+ J(x*) . Como J(y n ) 1, J(x n -c(JIVJ(x n )II)p(x n )) d J(x n ) en i ud de H .3 . deducimos que  {y n }  es aco ada, y ' pa a una subsucesión de donde Ynk -- y y J(y) 1lim in J(Ynk) 11 lim in J(x n ) = J(x*) y'al se x* el único mínimo de J en H y=x* lo que comple a la p ueba de que  (x n )  (x*), y ambién la del eo ema . O 3 .8 . : COROLARIO Bajo las hipó esis de 3 .7 ., si se de ine n :HxI * i F(H), de modo que (x,0) = {x } ( x, 1)= (x) , (x,k+1)  n (Y,1) yei (x,k) la e na (H,I + ,, ) cons i uye un semisis ema dinámico disc e o débilsob eH . La exis encia de una - unción c que e i ique las condiciones exigidas en 3 .7 . depende á en cada caso de las ca ac e ís icasdel uncional J . en onces 3 .9 . : OBSERVA CION Si esc ibimos, como es habi ual,  (H(u» ,+y) = J (u,~ ., V), y, po ejemplo,exis enm>0, M<+m, ales que pa a odo uYCH  (H(u)y,y) = mJyH 2 , y 11H(u)1JIM, en onces se demues a en (8),5 .3 ., que si 0 < a `- b 4 2m/M 2 xcH es no c i ico y ac [a li J (x)J),  b 1wJ (x))1] J (x  -  ap(x))  <J (x) bas ando pues en es e caso oma  c( ) Ea . . (11) CEA, J . Les Me hodes de "Descen e" dans la Theo ie de L'Op imisa ion . R .l .R .O . 2° année n ° 13, p .79-102, 1 .968 . (14) DANIELL,J .W . The App oxima e Minimiza ion o Func ionals . P en iceHallSe ies in Au . Compu .Englewod Cli sN .Y . 1 .972 . (15)-DANIELL, J .W . Con e gen S ep Sizes o Cu iiinea Pa h Me hods o Minimiza ion . C.N .A . Uni . o Texas a Aus in (1 .971j . (17) DUMFORD,N . : SCHWARTZ, J . Linea Ope a o s,Pa . I . In e science, Inc ., NewYo k . 1958 . 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