REPRESENTACIONES
FINITAS
DE
ANILLOS
DE
GRUPO
DE GRUPOS
ABELIANOS
.
In oducción
El
es udio
del
adical
de
Jacobson
de
un anillo
de
g upo
ha
ocupado
la
a ención
de
much
os
algeb is as
du an-
-
=e
los
úl imos
ein e
años
.
El
adical
de
Jacobson
de un
an_i
llo
da
idea
de
"la
can idad"
de
ep esen aciones
i educi-
bles
que
posee
el
anillo
.
Passman
[3]
es udió
cuándo
un
ani-
llo
de
g upo
Q
[G],
donde
G
es
un
g upo ini amen e
gene a
do,
ienemuchas
ep esen aciones
i educibles
ini as
.
De-
mos ó
que
el
adical
ini o
de
Jacobson
de
Q
[G]
es
ce o
si
y
sólo si
G
es
un g upo esidualmen e
ini o
.
El
p opósi o
de
es e
a iculo
es
da
algunos esul a-
dos
elemen ales
sob e
las
ep esen aciones
ini as
de un
an_i
llo
K!G]
.
Una
ampliación
de
es e
abajo
es
una
pa e
del
capí ulo
I
de
[2]
.
1
.
Radica
l
ini o
.
Sean
K
un
cue po
y
G
un
g upo
.
K[
G]

deno a
el
anillo
del
g upo
G
sob e
el
cue po
K
.
Todos
los
cue pos
que
consi-
de amos
son
de
ca ac e ís ica
ce o
.
Una
ep esen ación
P
.

Me
na1
P
:
K[G]

,

En
K
(V)
se
dice
que
es
ini a
si
V
iene
dimensión
ini a
como
K-es
Pacio
ec o ial
.
Deno a emos
po
R(KGL)
la
in e sección
de
los
núcleos
de
odas
las
ep esen aciones
ini as
de
KFG]
.
El
adical
ini o

-
R(K[G~)
es,
siguiendo
la

no ación
de
[3],
la
in e sección
de
los
núcleos
de
odas
las
ep esen a-
cionesi educibles
y
ini as
de K Gi
.
Con
la
no ación
an e io enemos
que
R(K[G])
c "-R(K[G
;)
donde
J(K[G])
es el
adical
de
Jacobson
de K[G]
.
En
el
caso
de
que
odas
las
ep esen aciones
i educibles
son
ini as
enemos
que
J(K[G])
=
*-R(K[G])
.
J
(K1
.
G
])

c

*-R
(K[
G]
)
Si
G
es
un
g upo,
R(G)
deno a á
la
in e sección
de ó
dos los
subg upos
no males
de
indice
ini o
en
G
.
Si
G
es
n
un
g upo
abeliano
es
ácil
demos a
que
R(G)
=n
~
1
G
,
don-
de
G
n
=
(
xn
,
xe
G
)
.
Un g upo
G
se
dice
que
es
esidualmen
-
e
ini o
si
R(G)
=
(1)
.
G
+
deno a á
el
conjun o
de
los
elemen osde
G
de
o den
ini o
.
El idea
l
aumen ado
,
w(K[G]),
de K1G] es el
núcleo
de
la
p o
yección
K[ G]
-K
en
la
que

E

ax

.

x
_>

> :

a
x
.

En
gene-
xeG

xeG
al
si

HG
G

la
p oyección
na u al

G

-+
G/H
ex iénde
a
un
epimo ismo

K[G]
-
-,
K[
G/H
]

cuyo
núcleo
es el
ideal
aumen
ado
de
K[H]
en K[G]
y
se
deno a
po
w(K[H])
K
[G]
.
1.1
Lema
(wallace
[5])
.
Sean
G
un g upo esidualmen e, ini o
y
V1,
^la
colección
de
sus
subg upos
no males
de
índice
ini o
.
En onces
n
w
(K[N])
K[G]
=
(0)
.
N
e
,
V
Comoconsecuencia
de
es e
lema
ob enemos
:
66
1
.2
Lema
.
Dado
K(G
se
cumple
que
:
:.
-
R
(K[G])

_

(0)
.
En onces
enemos
:
R
(K`
G])
c
-R(K!G])
c
u
;(K[R(G)])
K
:'G]
.
Demos ación
.
Supongamos
p ime o
que
G
es
esidualmen e
i-
ni o
.
Pa a cada
subg upo
no mal
de
indice
ini o
N
sea
K[G]
-
a
K[G/N]
la
p oyección
na u al
.
Del
Teo ema
de
Maschke
esul a
que
'=
R(K[G/N])
=
(0)
y
po
an o
*
-
R(K[G])c
n
w(K[N])
K[G]
.
Del
Lema
1
.1
se
sigue
que
Sea
aho a
G
un
g upo
a bi a io
.
El
g upo
G/R(G) es
es¡
dualmen e
ini o,
luego
"'-
R(K[G/R(G)~
)
_
(0)
.
De
ahí
que
"-
R
K[G])
1~
w
(K[R(G)])K[G]
.

El
esul ado
se sigue,
ya
que
i ialmen e
R(K[ G]
c
"~-
R(K[G])
.
Un
g upo
G
se
llama
K-lineal
si
Gc
GL(n,K)
pa a
cie o
en e o
n
.
Conside emos
las
siguien es
clases
de
g upos
GK
:
la
clasede
los
g upos
K-lineales
RF
:
la
clase
de
los
g upos
esidualmen e
ini os
.
1
.3
Lema
.
Supongamos
que
¿Í__
es
una
clase
de
g upos
ce ada
po
cocien es
y
al
que

i~>
D
G
K c
RF
.
En onces
pa a cada
Ge
se
iene
que
R(K[G])
= "-R(K[G])
=
,(K!R(G)I)
K[G]
.
Demos ación
:
Teniendo
en
cuen a
el
Lema
1
.2
bas a
p oba
que
w
(K[R(G)
])

K[G]
c
R(K[G])
.

Sea
g e R(G)

y
p

:
K[G]
->
M(n,K)
una
ep esen ación
ini a
de K[
G)
.

El
g upo
p
(G)
eíO>
1
GK
y
en
67
consecuencia
es
esidualmen e
ini o,
así
P(g)
= 1
.
Pues o
que
el
conjun o
{l-gl
g
e
R(G)}
gene a
el
ideal
w(K[R(G)])K[G]
se
iene
que
w(K[R(G)])
K[G]

R(K[G])
.
Ejemplos
de
g upos
que
sa is acen
las
hipó esis
del
Lema
1
.3
son
:
(1)
los
g upos
ini amen egene ados
(Malce
Th
.4
.2[4])
.
(2)
los
g upos
de
o sión
(si
K =
Q)
(Th
.
9
.33,[4])
.
Un g upo
G
se
dice
que
es un
F
.C
.
g upo
si
cada
elemen o
iene
sólo un
núme o ini o
de
conjugados
.
1 .4
P oposición
.
Sea
K
un
cue po
al
que
los
g upos
mul iplica
i os
de
las
ex ensiones
ini as
de
K
son
esidualmen e
i-
ni os
.
Sea
G
un
F
.C
.
g upo
.
En onces
*
-
R(K[G])
=
w(K[R(G)])K[G]
.
Demos ación
.
Sea
P
:K[G]
-,A
una
ep esen ación
i educible
y
ini a
de K[G]
.
p(G)
es
un
F
.C
.
g upo
K-lineal,
po
an o
es
una
ex ensión
ini a
de su
cen o
Z(p(G))
(Co
.
5
.6,[4])
.
Sea
Z
la
K-subálgeb a
de
A
gene ada
po
Z(P(G))
.
amos
a
p o-
ba
que
Z
es
semisimple
.
En
e ec o,
po
se
Z
cen al
en
P
(K[
G])

podemos
esc ibi
que
J
(Z)

p
(K[
G])

=
P
(K[
G])

J*(2)

y
pues
o
que
J(Z)
es
nílpo en e esul a
que
J(Z)p(K[G])
es un
ideal
nilpo en e
de
p(K[G])
.
Luego
J(Z)p(K[G])
=
(0),
ya
que
P(K[G])
es
simple
.
En onces
Z
es
isomo o
con
un
p oduc o
de
cue pos
L,
x
. .
.x
L
. ,
cada
L
es
una
ex ensión
ini a
de
K
.
Po
an o
Z(p(G))
C->
L* x
. .
.x
Lñ
y
de
l
e
as
hipó esis
se
deduce
que
Z(p
(G))
es
esidualmen e
ini o
.
Como
[P
(G)
:
Z(P
(G)
)]
<oo

e-
sul a
que
P(G) es
esidualmen e
ini o
.
En onces
w(K[R(G)])
K[G]
c
Ke
P
.
y
como
P

e a una
ep esen ación
i-
ni a
a bi a ia
se
iene
que
w(K[R(G)])
K
[G]
c
R(K[GJ)
.
6
8
Hay
ejemplos
de
cue pos
cuyosg upos
mul iplica i os
son
e
sidualMen e
ini os
y
sin
emba go
los
g upos
mul iplica i os
de
algunas
de
sus
ex ensiones
ini as
no
son
esidualmen e
ini os
.
Bas a
conside a
el
cue po
K
= Q
(cos
/2"
,
pa a odo
en e o
n
>
]
.)
y
la
ex ensión
L
=
K(i)
.
Si
K
es
un
cue po
de
núme os
el
g upo
.mul iplica i o
K'
es
suma
di ec ade
g upos
cíclicos
(Th
.
127
.2,
[l])
y
en
pa icula
esidualmen e
ini o
.
1
.5
Co ola io
.
Sea
G
un
F .C
.
g upo
.
En onces
-R(Q[G])
=
w(Q[R(G)])
Q
[G]
El
co ola io
1
.5
es
cie o
pa a
o asclases
de
g upos,
po
ejemplo
pa a
g upos
localmen e esolubles
.
En
gene al,pa a
g upos
a bi a ios,
el
Co ola io
1
.5
no es
cie o
.
Po
ejemplo
si
n>
1
yG=
GL(n,Q),
la
iden i-
dad
GL(n,Q)
,
GL(n,Q)
induce
una
ep esen acióni educible
QFG]
-
.
M(n,Q)
.
Si el
co ola io
1 .5
uesecie o
pa a
G
en-
d iamos
que
R(G)
=
(1)
lo
cual
es
absu do
.
2
.
R(Q[G])
.
Supond emos
que
G
es
un g upo
abeliano
emos
el
siguien e
2
.1
Teo ema
.
R(Q[G])
=
w(Q[R(G)']
)
Q
[G]
.
Demos ación
.
P ocede emos
en
a ias
e apas
.
(1)
G = Q
4
'
(el
g upo
adi i o
de
Q)
.
En
es e caso
hemos
de p oba
que
R(Q[G])
=
(o)
.
69
y
demos a

Conside emos
las
aplicaciones
{pn}npIN
de inidas
po
Q

---~,
GL
(n,
Q
)
x
~~-1
1
1

(n
x
21
..
.

nx
-i

---
es
ácil
comp oba
que
cada
P
n
es
un homomo ismo
de
g upos
.
Si
x~0
el
polinomiomínimo
de
la
ma iz
P
n
(x)
es
(X
_1)n
.
Sea
a
en
Ke
p'n
(donde Pñ
:
Q
[Q],
,
M(n,Q) es
la
ex ensión
.
n>_
1
de
P
na
n
-7
q
i
.
x
ie
Q
[Q]
.
Pues o
que
Q
es
lo
i=1
calmen e
cíclico
sea
x
e
Q
al
que
<x>
=
<
x
j , . .
.,
x

>
.
Si
x=
0
se
iene
que
a
.
_

(
n

q
.
) .

0
.
Ya
que
1
4

n

Ke

''

es
i=1
1

n?1
cla o
que

É q
i
=
0

y a =
0
.
Supongamos
pues
que
x
0
y
esc i
i=1
bamos
a
=Eq
i
.
a
.
i
x
pa a
en e os
ki
con enien es
.
Consid_e
i=1
n
xi
emos
la
acción
acional
q(X)
= E q
i
X
.
Mul iplicando
i=1
q(X)
po
su
con enien e
Xh
se
ob ieneun polinomiop(X)=X
h
-
q(X)
.
Sea
mp el
g adode
p(X)
.

Sea
m>
mp,

ya
que
a.s

n
ke
),,
. 1
mos
que
E q
P
m
(x)
1
=
0,
o
sea
ac-
P
n
,
ene-
p(p
(x))
=
0
.
Ya
que
el
polino
mio
mínimo
de,)
.
(x)

es

(X
-
1)
m

y
m>
m
o
,

se
sigue
que
p
(X)=0
.
Luego
q
i =
0,
1<i<m,
y
a=
0
.
n
(2)

G

=

F

Q

.

Sea

ae
Q

[E
Q],

a
=

}'

qi
.

x
i
.

Sea

JA
I
I

I

i=1
un
conjun o
ini o
alque
a
e
Q
[E
Q]
.
Sea
:
E Q
-~
Z
:
Qla
J

I
J
p oyecciónna u al
.
Tenemos
que
n(x
l
),
1
:~i<
n,
iene
una
exp esión
del
ipo
T
(x
l )
=
(XIII
. .
-x,
.)

donde

m
=
I
JI
.

Sean
e
l
J
=
(x
1
)
-n
(x,
)

1
<
i
~
j
:5n
.
Ya
que
e
IJ
0
exis e
un
hipe
plano
de
Q
m
que
no
con iene
ningún
e
e
.
En
o as
palab as
m
exis en
A
l, . . .
X
o
e
Q
ales
que
x

= E
~i

Xi
i

,

1
<
i
<
n,

son
j=1
odosdis in os
.
De inimos
w

:
J
Q

y Q
po
w
(y,
.

.
.,
y
.
)
m
X
1
y
.
i=1
Supongamos
aho a
que
o
.
e
R(Q
[E
Q])
.
En onces
si
w''
y
TT
*
son
las
espec i as
ex ensiones
I
de
w
y
n
al
anillo
de
g upo,
se
iene
que

(w
*
TT
*
)
(a)
e
R(Q[Q
])

y,

de

(1),

enemos
que
(w"'nao)
(a)

=
0,

o

sea

0

=

(w
44
7T(a)
=
q,
-
X,

+
. .
.+
q
n

R
n
.
Po
cons ucción
los
elemen os
x,,
. .
.,x
,
son dis in os,
en on-
ces
q
1
=
.. .
=
q
o
=
0
y a = 0
.
(a
;)

Obse emos
que
si
R(K[H])

=
0
y
[G
:
H]

= n
<
oo,

en on-
ces
R(K[G])
= 0
.
En
e ec o
K[G1'
es un
K[H]-módulo
lib e
(po
la
izquie da)
de dimensión
n
.
En onces
K(G]
c
y
M(n,K[H])
.
(3)
G
es
lib e
de
o sión
.
En onces
G c
:
.->
E
Q

pa a
I
un conjun o
de
indices
I
con enien e
.

Como R(Q[G])
<
R(Q[1
Q])
el
esul ado
se
sigue
de
(2)
.
(4)
G
} es
esidualmen e
ini o
.
Sea
a
=
E q
l-
x
e
R(Q[G])
.
71
Ya
que
G+
es
esidualmen e
ini oexis e
su
subg upo
N
de
G
+
alque
[G
+
:
N]
<
oc)

y x
l
x
-
'
J_
N
pa a
i

j
.
Supongamos
p ime o
que
G
+
es un
sumandodi ec o
de
G,
es
deci
G = G+XT
.
En onces
G/N
=TX
G+/N
.
Po
an o
GIN
es
una
ex ensión
ini a
del
g upo
T
que
es
lib e
de
o sión
.
De
(, -)
y
(3)
se
deduce
que
R(Q~G/N])
=
(0)
.
En
la
p oyección
na u al
Q[G]
-->
Q[G/N]
se
iene
que
a
-
.

q
l
-
x

y
los
elemen os
jz~
son
dis in os
.
Como

e
R(Q[G/N])
_
(0)
enemos
q
1
=
0
ya

0
.
Supongamos
aho a
que
G
+
no
es
necesa iamen e
un
sumandodi ec o
de
G
.
Tenemos
que
el
subg upo
de
o sión
de
-
C=
GIN

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