Representaciones finitas de anillos de grupo de grupos abelianos

REPRESENTACIONES FINITAS DE ANILLOS DE GRUPO DE GRUPOS ABELIANOS . In oducción El es udio del adical de Jacobson de un anillo de g upo ha ocupado la a ención de much os algeb is as du an- - =e los úl imos ein e años . El adical de Jacobson de un an_i llo da idea de "la can idad" de ep esen aciones i educi- bles que posee el anillo . Passman [3] es udió cuándo un ani- llo de g upo Q [G], donde G es un g upo ini amen e gene a do, ienemuchas ep esen aciones i educibles ini as . De- mos ó que el adical ini o de Jacobson de Q [G] es ce o si y sólo si G es un g upo esidualmen e ini o . El p opósi o de es e a iculo es da algunos esul a- dos elemen ales sob e las ep esen aciones ini as de un an_i llo K!G] . Una ampliación de es e abajo es una pa e del capí ulo I de [2] . 1 . Radica l ini o . Sean K un cue po y G un g upo . K[ G]  deno a el anillo del g upo G sob e el cue po K . Todos los cue pos que consi- de amos son de ca ac e ís ica ce o . Una ep esen ación P .  Me na1 P : K[G]  ,  En K (V) se dice que es ini a si V iene dimensión ini a como K-es Pacio ec o ial . Deno a emos po R(KGL) la in e sección de los núcleos de odas las ep esen aciones ini as de KFG] . El adical ini o  - R(K[G~) es, siguiendo la  no ación de [3], la in e sección de los núcleos de odas las ep esen a- cionesi educibles y ini as de K Gi . Con la no ación an e io enemos que R(K[G]) c "-R(K[G ;) donde J(K[G]) es el adical de Jacobson de K[G] . En el caso de que odas las ep esen aciones i educibles son ini as enemos que J(K[G]) = *-R(K[G]) . J (K1 . G ])  c  *-R (K[ G] ) Si G es un g upo, R(G) deno a á la in e sección de ó dos los subg upos no males de indice ini o en G . Si G es n un g upo abeliano es ácil demos a que R(G) =n ~ 1 G , don- de G n = ( xn , xe G ) . Un g upo G se dice que es esidualmen - e ini o si R(G) = (1) . G + deno a á el conjun o de los elemen osde G de o den ini o . El idea l aumen ado , w(K[G]), de K1G] es el núcleo de la p o yección K[ G] -K en la que  E  ax  .  x _>  > :  a x .  En gene- xeG  xeG al si  HG G  la p oyección na u al  G  -+ G/H ex iénde a un epimo ismo  K[G] - -, K[ G/H ]  cuyo núcleo es el ideal aumen ado de K[H] en K[G] y se deno a po w(K[H]) K [G] . 1.1 Lema (wallace [5]) . Sean G un g upo esidualmen e, ini o y V1, ^la colección de sus subg upos no males de índice ini o . En onces n w (K[N]) K[G] = (0) . N e , V Comoconsecuencia de es e lema ob enemos : 66 1 .2 Lema . Dado K(G se cumple que : :. - R (K[G])  _  (0) . En onces enemos : R (K` G]) c -R(K!G]) c u ;(K[R(G)]) K :'G] . Demos ación . Supongamos p ime o que G es esidualmen e i- ni o . Pa a cada subg upo no mal de indice ini o N sea K[G] - a K[G/N] la p oyección na u al . Del Teo ema de Maschke esul a que '= R(K[G/N]) = (0) y po an o * - R(K[G])c n w(K[N]) K[G] . Del Lema 1 .1 se sigue que Sea aho a G un g upo a bi a io . El g upo G/R(G) es es¡ dualmen e ini o, luego "'- R(K[G/R(G)~ ) _ (0) . De ahí que "- R K[G]) 1~ w (K[R(G)])K[G] .  El esul ado se sigue, ya que i ialmen e R(K[ G] c "~- R(K[G]) . Un g upo G se llama K-lineal si Gc GL(n,K) pa a cie o en e o n . Conside emos las siguien es clases de g upos GK : la clasede los g upos K-lineales RF : la clase de los g upos esidualmen e ini os . 1 .3 Lema . Supongamos que ¿Í__ es una clase de g upos ce ada po cocien es y al que  i~> D G K c RF . En onces pa a cada Ge se iene que R(K[G]) = "-R(K[G]) = ,(K!R(G)I) K[G] . Demos ación : Teniendo en cuen a el Lema 1 .2 bas a p oba que w (K[R(G) ])  K[G] c R(K[G]) .  Sea g e R(G)  y p  : K[G] -> M(n,K) una ep esen ación ini a de K[ G) .  El g upo p (G) eíO> 1 GK y en 67 consecuencia es esidualmen e ini o, así P(g) = 1 . Pues o que el conjun o {l-gl g e R(G)} gene a el ideal w(K[R(G)])K[G] se iene que w(K[R(G)]) K[G]  R(K[G]) . Ejemplos de g upos que sa is acen las hipó esis del Lema 1 .3 son : (1) los g upos ini amen egene ados (Malce Th .4 .2[4]) . (2) los g upos de o sión (si K = Q) (Th . 9 .33,[4]) . Un g upo G se dice que es un F .C . g upo si cada elemen o iene sólo un núme o ini o de conjugados . 1 .4 P oposición . Sea K un cue po al que los g upos mul iplica i os de las ex ensiones ini as de K son esidualmen e i- ni os . Sea G un F .C . g upo . En onces * - R(K[G]) = w(K[R(G)])K[G] . Demos ación . Sea P :K[G] -,A una ep esen ación i educible y ini a de K[G] . p(G) es un F .C . g upo K-lineal, po an o es una ex ensión ini a de su cen o Z(p(G)) (Co . 5 .6,[4]) . Sea Z la K-subálgeb a de A gene ada po Z(P(G)) . amos a p o- ba que Z es semisimple . En e ec o, po se Z cen al en P (K[ G])  podemos esc ibi que J (Z)  p (K[ G])  = P (K[ G])  J*(2)  y pues o que J(Z) es nílpo en e esul a que J(Z)p(K[G]) es un ideal nilpo en e de p(K[G]) . Luego J(Z)p(K[G]) = (0), ya que P(K[G]) es simple . En onces Z es isomo o con un p oduc o de cue pos L, x . . .x L . , cada L es una ex ensión ini a de K . Po an o Z(p(G)) C-> L* x . . .x Lñ y de l e as hipó esis se deduce que Z(p (G)) es esidualmen e ini o . Como [P (G) : Z(P (G) )] <oo  e- sul a que P(G) es esidualmen e ini o . En onces w(K[R(G)]) K[G] c Ke P . y como P  e a una ep esen ación i- ni a a bi a ia se iene que w(K[R(G)]) K [G] c R(K[GJ) . 6 8 Hay ejemplos de cue pos cuyosg upos mul iplica i os son e sidualMen e ini os y sin emba go los g upos mul iplica i os de algunas de sus ex ensiones ini as no son esidualmen e ini os . Bas a conside a el cue po K = Q (cos /2" , pa a odo en e o n > ] .) y la ex ensión L = K(i) . Si K es un cue po de núme os el g upo .mul iplica i o K' es suma di ec ade g upos cíclicos (Th . 127 .2, [l]) y en pa icula esidualmen e ini o . 1 .5 Co ola io . Sea G un F .C . g upo . En onces -R(Q[G]) = w(Q[R(G)]) Q [G] El co ola io 1 .5 es cie o pa a o asclases de g upos, po ejemplo pa a g upos localmen e esolubles . En gene al,pa a g upos a bi a ios, el Co ola io 1 .5 no es cie o . Po ejemplo si n> 1 yG= GL(n,Q), la iden i- dad GL(n,Q) , GL(n,Q) induce una ep esen acióni educible QFG] - . M(n,Q) . Si el co ola io 1 .5 uesecie o pa a G en- d iamos que R(G) = (1) lo cual es absu do . 2 . R(Q[G]) . Supond emos que G es un g upo abeliano emos el siguien e 2 .1 Teo ema . R(Q[G]) = w(Q[R(G)'] ) Q [G] . Demos ación . P ocede emos en a ias e apas . (1) G = Q 4 ' (el g upo adi i o de Q) . En es e caso hemos de p oba que R(Q[G]) = (o) . 69 y demos a Conside emos las aplicaciones {pn}npIN de inidas po Q  ---~, GL (n, Q ) x ~~-1 1 1  (n x 21 .. .  nx -i  --- es ácil comp oba que cada P n es un homomo ismo de g upos . Si x~0 el polinomiomínimo de la ma iz P n (x) es (X _1)n . Sea a en Ke p'n (donde Pñ : Q [Q], , M(n,Q) es la ex ensión . n>_ 1 de P na n -7 q i . x ie Q [Q] . Pues o que Q es lo i=1 calmen e cíclico sea x e Q al que <x> = < x j , . . ., x  > . Si x= 0 se iene que a . _  ( n  q . ) .  0 . Ya que 1 4  n  Ke  ''  es i=1 1  n?1 cla o que  É q i = 0  y a = 0 . Supongamos pues que x 0 y esc i i=1 bamos a =Eq i . a . i x pa a en e os ki con enien es . Consid_e i=1 n xi emos la acción acional q(X) = E q i X . Mul iplicando i=1 q(X) po su con enien e Xh se ob ieneun polinomiop(X)=X h - q(X) . Sea mp el g adode p(X) .  Sea m> mp,  ya que a.s  n ke ),, . 1 mos que E q P m (x) 1 = 0, o sea ac- P n , ene- p(p (x)) = 0 . Ya que el polino mio mínimo de,) . (x)  es  (X - 1) m  y m> m o ,  se sigue que p (X)=0 . Luego q i = 0, 1<i<m, y a= 0 . n (2)  G  =  F  Q  .  Sea  ae Q  [E Q],  a =  }'  qi .  x i .  Sea  JA I I  I  i=1 un conjun o ini o alque a e Q [E Q] . Sea : E Q -~ Z : Qla J  I J p oyecciónna u al . Tenemos que n(x l ), 1 :~i< n, iene una exp esión del ipo T (x l ) = (XIII . . -x, .)  donde  m = I JI .  Sean e l J = (x 1 ) -n (x, )  1 < i ~ j :5n . Ya que e IJ 0 exis e un hipe plano de Q m que no con iene ningún e e . En o as palab as m exis en A l, . . . X o e Q ales que x  = E ~i  Xi i  ,  1 < i < n,  son j=1 odosdis in os . De inimos w  : J Q  y Q po w (y, .  . ., y . ) m X 1 y . i=1 Supongamos aho a que o . e R(Q [E Q]) . En onces si w'' y TT * son las espec i as ex ensiones I de w y n al anillo de g upo, se iene que  (w * TT * ) (a) e R(Q[Q ])  y,  de  (1),  enemos que (w"'nao) (a)  = 0,  o  sea  0  =  (w 44 7T(a) = q, - X,  + . . .+ q n  R n . Po cons ucción los elemen os x,, . . .,x , son dis in os, en on- ces q 1 = .. . = q o = 0 y a = 0 . (a ;)  Obse emos que si R(K[H])  = 0 y [G : H]  = n < oo,  en on- ces R(K[G]) = 0 . En e ec o K[G1' es un K[H]-módulo lib e (po la izquie da) de dimensión n . En onces K(G] c y M(n,K[H]) . (3) G es lib e de o sión . En onces G c : .-> E Q  pa a I un conjun o de indices I con enien e .  Como R(Q[G]) < R(Q[1 Q]) el esul ado se sigue de (2) . (4) G } es esidualmen e ini o . Sea a = E q l- x e R(Q[G]) . 71 Ya que G+ es esidualmen e ini oexis e su subg upo N de G + alque [G + : N] < oc)  y x l x - ' J_ N pa a i  j . Supongamos p ime o que G + es un sumandodi ec o de G, es deci G = G+XT . En onces G/N =TX G+/N . Po an o GIN es una ex ensión ini a del g upo T que es lib e de o sión . De (, -) y (3) se deduce que R(Q~G/N]) = (0) . En la p oyección na u al Q[G] --> Q[G/N] se iene que a - .  q l - x  y los elemen os jz~ son dis in os . Como  e R(Q[G/N]) _ (0) enemos q 1 = 0 ya  0 . Supongamos aho a que G + no es necesa iamen e un sumandodi ec o de G . Tenemos que el subg upo de o sión de - C= GIN  es ini o . Sea n > l un en e o al que hn es li- b e de o sión . En onces Gc ->G nX G/G n . El esul ado se si- gue de la p ime a pa e . (5) G es un g upo abeliano a bi a io . Se deduce de (4) que R(QFG/R(G) Y ]) = (0) . De ahi que R(Q[G]) 5 w (Q[R(G)+]') Q[G]_ . La o a inclusión se sigue del hecho que los g upos Q-lineales de o sión son ini os (TH . 9 .33, [4 . ])- B I B L I 0 G R A F I A [1] L . Fuchs, In ini e Abelian G oups . Acad . P ess, 1970 . (2] P . Menal, Tesis, p esen ada en la Uni e sidad Au ónoma de Ba celona, 1977 . [3] D .S . Passman, On g uposwi henough ini e ep esen a ions, P oc . Ame . Ma h . Soc ., 14 (1963), 782-787, [4] B .A .F . Weh i z, In ini e Linea G oups, Sp inge -Ve lag, 1973 . D .A .R . Wallace, The Jacobson Radinals o he G oup Alge- b as o a G oup and o Ce ain No mal subg oups . Ma h . Zei sch , 100 (1967), 282-294 .