Ca ac e ización
de
los
ideales
con
nulidad acía
del
álge
-
b a
de
Lie
de
los
au omo ismos
in ini esimales
con
sopo e
com
-
pac ode
una
es uc u a
s
impléc ica
.
po
An onio
DíazMi anda
In oducción
En
es os
úl imos
años
se
han
p oducido
nume osos
a ances
en
el
es udio
de
las
álgeb as
de
Lieco espondien es
a
los
g upos
que
E
.
Ca an
denominó"g uposin ini os
ansi i os
simples"
.
Las
cua o"álgeb as
de
Lie
in ini as
clásicas"
son
:
1)
Algeb a
de
Lie
de
los
campos
de
ec o es
de
una
a ie
dad
di e enciable
.
2)
Algeb a
de
Lie
de
los
au omo ismos
in ini esimales
de
una
es uc u a
unimodula
.
3)
Algeb a
de
Lie
de
los
au omo ismos
in ini esimales
de
una
es uc u a
simpléc ica
.
4)
Algeb ade
Lie
de
los
au omo ismos
in ini esimales
de
una
es uc u a
de
con ac o
.
En e
los
abajos
a
que
hemoshecho
e e encia
hay
queci-
a
los
de
Gel and
V
Fuks
.
Rozen eld,
sob e
la
cohomología
de
es as
álgeb as
de
Lie
en
el
casode
a iedades
compac as
y
en el
caso
gene al
los
de
A nold,Takens,
A ez,
Lichne owicz,Mo imo oy
el
au o sob e
su
es uc u a
y
de i aciones
(lo
que
incluye
en
pa icu
la
el
es udio
del
p ime g upo
de
cohomologia
a alo es
en
el ál
geb a)
.
El
p esen e
abajo
se
inse a
en el
es udio
de
los
ideales
de
un
álgeb a
de
Liedel
ipo
3
.
En
él
se
ca ac e iza
una
amilia
de
ideales
de
es e
álg
i
eb a
de
Lie
que
pa ece
especialmen e
impo
an e
pa a
la
clasi icación
del
conjun o
de
los
ideales
.
~a es uc
u a
de
al
amilia
esul a
depende ue emen ede
las
p opieda-
des
opológicas
de
la
a iedad,
especialmen e
de
su
p ime
g upo
de
cohomológia
a
alo es
eales
.
1
.
P elimina es
y
no ación
En
lo
sigue,M
se á
una
a iedaddi e enciabledo ada
de
una
es uc u asimpléc ica
de
2- o ma
undamen al
w
.
En oncesw
es
una
2- o ma
di e encial
ce ada
de
angomáximo,
lo
que
exige
que
M
sea
de
dimensión
pa ,
2n,
y
w
n
sea
un elemen o
de
olumen
sob e
M
.
Si
X
es un campode
ec o es
sob e
M deno a é
po
L(X) la
de-
i aci6n
de
Lie
espec o
a
X
y
po
i(X)
el
p oduc o
in e io
po
X
.
A
se á
el
conjun o
de
los
au omo ismos
in ini esimales
de la
es uc u a,
es
deci ,
el
conjun o
de
los
campos
de
ec o es,
X,
de
M
que
cumplen
L(X)w
=
0
(lo
que
equi alea
deci
que
i(X)w
es
ce a
da),
A
o
se á
el
subconjun o
de
A
o mado
po los
elemen os,
X,
ales
que
i(X)w
es
exac a,
Ac
se á
el
subconjun o
de
A
o mado
po
o
los
elemen os
con
sopo e
compac o,
A
c
=A
C)
Ac
,
A,
es
el
subcon-
jun o
o mado
po
los
X
E
AO
ales
que
exis e
e
C
°°
(M)
con
sopo -
e
compac o
alque
i(X)w
=
d
y
5
3
A
es
una
subálgeb a
de
Lie
de la
de
los
campos
de
ec o es
de
M
.
A
O
,
A
c
.
,
A0
y A
l
son
ideales
de
A
.
Deno a emos
po
5
la
aplicaci6n
lineal
que
a
cada
campo
de
ec o es,
X,
haceco esponde
la
1- o ma
di e encial
i(X)w
.
El
hecho
de
que
w
sea
de ango
máximo
implica
que
es a
aplicaci6n
es
una
1- o ma
di e encialdeno a emos
po
a
.+
es únicocampode ec o es
que
cumple
i(cs
#
)
w=
a
y
si
e
C
c0
(M)

deno a emos
=
.
(d )
#
e
Ao
.
2
.
Teo ema
undamen al
Sea
I
un ideal
de
A
C9
deno a emos
po
n(I) el
conjun o
de
los
p
e
M
ales
que
X
(p)
=0
pa a
odo
X
c I
.
Es ece adose áde
nominado
nulidad
de
I
.
LEMA
1 .-
Supongamos
n(I)
= 0
.
En onces
:
a)

Si
M
es
compac a
se
iene
In
A0
=
AO
b)

Si
M
no
es compac a
se
iene
I
ñ
AO
=A
l
o
bien
I
n
AO
=
AC
Demos ación
.-

El co ola io
de

~
13
de
A
.A ez
e
al,
se
puede
enuncia
así
:
sea
V
un
subespacio
ec o ialde
A,
al
que

[A
l

VI
`-V
y
pa a odo
m
e
M
exis a
X
E
V
alque

X(m)
y¿
0
.
En onces
A
l
c
V
.
Vemos
pues
que
en nues ocaso
se
iene
A
l
c
I
y
po
an o
A
l
c
I
1
Ac
.
Supongamos
M
compac a
.
En onceSA
O
c=
A
l
po que odos
los
ele
men os
de
A
0
sonde
la
o ma
*

con
e
C
°°
(M)

y
c
, =
[
-
(
~n/,
w'
)]
*
e
A
l
Sea
aho a
M
no
compac a
.
Si
el
complemen a io,
K,
de
A
1
en
In
AC)
no
es
acío,

sean

e
K

y
g#
eAO
con
y g a
sopo e
com
pac o
y
deno emos
1=
g_( gw
n
/ w
n
)'
5
4
en onces
se
cumple
l
e
e
A
l
y
g

=
(1+
(c e)
"
)

=1~
+
(c e)
- *
eInA
O
c
lo
que
implica
po se
g
*
a bi a io
en
Ac
que
Acc
In
Ae,
luego
Si
K
es
acío
se
iene
I
n
Ac
=A
1
./,
Sea
F( esp
.
H)
el conjun o
de
las
1- o mas
ce adas
( esp
.
exac as)
de
M
y Fc
( esp
.
Hc
)
el
subconjun o
de
F
( esp
.
H)
o
mado
po
los
elemen os
que
ienen
sopo ecompac o
.
Conside emos
la
o ma
bilineal
sob e
Fc
6,
:
F

x
F
->
7R
c
c
de inida
po
: '
n-l
6(a,5)-1aAs
A
w
0
0
i n
A
c
=
Ac
La in eg al
exis e
po que
el
in eg ando
iene
sopo ecom-
pac o
.
Deno emos
po
P
el
subconjun o
de
Fc
o mado
po
los
a
eF
c
ales
que

e
(a,8)=
0
pa a
odo
S
eF
c
y
P
#
el conjun o
de
los
X
e
A
c
ales
que
i
(X)
w
e
P
.
Se
iene
e iden emen e
HCc
P

luego
0
4*
A
c
C:P
.
P
y
P
#son
subespacios ec o iales
de
F
c
y
A
c espec i
amen e
.
LEMA
2
.-
Sea
M
no
compac a
y
I n
AC
=Al'
En onces
I
c
P#
Demos ación
.-
Sean
X
e Y
campos
de ec o es
sob e
M
.
Se
iene
:
i
(Y)
wAw
n
=0
luego
i
(X)
(i
(Y)
w
A
wn
)
=0
pe o
i
(X)
(i
(Y)
w
A wn
)
=((i
(X)
i
(Y)
w)w"-

i
(Y)
w
A
i
(
X
)
wn
y
po
an o
(i
(X)i(Y)w)w
n
=i
(Y)wA
(n
i(X)wAw
n-l
)

_
-n
i(X)w%i(Y)w^w
n-1
55
En onces
si
X
e
% y
9eFc
 e
iene
:
y¡(X)WA0pw
n-1
= i
(x)WAi(p#}wíiwn-1=(-
n
) (i(X)i(E
)w)w
n
Po
o apa e
si
X,Y
e
A
se
iene
:
A
.
pe o
i(CX,YJ)w=
(L
(X)i(Y)-i
(Y)L(X))w=L(X)i(Y)w
di
(X)
i
(Y)
w+
i
(X)
di
(Y)
w=
di
(X)
i
(Y)
w+
i
(X)
L
(Y)
w
di
(X)
¡(Y)
w
(i
(X)
i
(~

)
w)
#
=

[X,3#]

,

luego
J
(i
(X)
i
(S
#
)
w)
w
n
=
0
y
pa
an o
i
(X)
w
eP,

es
deci ,

X
e
P#
/
.
A
1
c
Cp
P1C
[P#,AC]
Sean
k
e
P
_#
y
X
e
Ac-
En onces
i ([K,
X])
w=

d
i
(K)

i
(X)
w
yi(K)i(X)w=
-
nJ
(i(K)w)A(i(x)w)
Awn-1
5
6
lo
que
implicaen pa icula
[A,Aj
cA
o
y
[A
c
,A,
c A
c

.
Ademas
si
X
e
I,

S
e
Fc
se
iene

[X,s~7
e I
AO
= A
1

y

i
(X)
i
(p
l
~
w
es

la
única
unción
con
sopo ecompac o
que
cumple
LEMA
3 .-
[P
#
,
p,'-J"=[P
:",Ac]=A1
.
En pa icula
P
99
1
-
s
un ideal
de
Demos ación
.-
P
con iene
a
AO,
luego
a A
1
.
Po
o apa e
la
p oposición
2
del
apa ado
12
de
1$,]
implica
[A1 ,A
1
]
=
A
1
,
lue
go
:
y
es a
in eg al
es
nula
ya
que
i(K)w
e
P y
i(X)w
eFc
luego
[K,
X]
e
A
1
.
/
.
El
siguien e eo ema
ca ac e iza
los
ideales
de
Ac
con
nuli
dad
acia
.

TEOREMA
.-
Los
ideales
de
Ac
con
nulidad
acía
son
los
sub-
espacios
ec o iales
de
A
c
que
con ienen
a
AO
y
los
subespa-
cios
ec o iales
de
P
#que
con ienen
a
A
1 .
Demos ación
.-
Sea
I
un
idealde
A
c
con
nulidad
acía
.
Si
in
AO
=
A~
,

I
es
un subespacio
ec o ial
de
A
c
que
con iene
o
a A
c
Si I IA
c
=
A,
es amos,
según
el lema
1,
en el
caso
de
M
no
compac a
y,
segúnel
lema
2,
I
es
un
subespacio
ec o ial
de
P#
Sea
I
un subespacio
ec o ial
de
A
c
que
con iene
a
A
c
,
en-
onces
la
elación
[Ac,
Aci
c
AO
implica
que
I
es un
ideal
de
Ac
.
Si
I es
un subespacio ec o ial
de
P#que
con iene
a
A
l
,
la
elación
[P#
A
c
l
=
Al
implica
que
I
es un
ideal
de
A
c ./
.
3
.
Ca
sos_
pa icula es
Caso
de
a iedades
compac as
.-
Si
M
es
compac a
se
iene
A
c
=
A
y
odos
los
subespacios
ec o iales
de
P#que
con ienen
a
A~

son
subespacios
de
A
que
con ienen
a
A
o
=
A0
=A
1.
En
conse
cuencia
los
ideales
de
A
con
nulidad
acía
son
los
subespacios
ec o iales
de
A
que
con ienen
a
A
o
.
Es os
subespacios

ec o-
iales
es án
en
co espondencia
biuní oca,
median e
la
aplica
ción

b
:
X
s
A-1
i
(X)
w
1
;
F,

con
los
subespacios
ec o iales
de
F
que
con ienen
a
H
.
Deno emos
po

n
:F
-4
F/H
la
p oyeccióncanó-
nica
;
los
subespacios ec o ialesde
F
que
con ienen
a
H
es án
en
co espondencia
biuní oca
po
medio
de
con
los
subespacios
ec o iales
de
F/H
.
Vemos
pues
que
si
M
es
compac as
.
los
ideales
de
A
con
nulidad
acía
son
los
subconjun os
de
la
o ma
#
(n
-1
( ))

=
{XgA
:n(i(X)w)eV}siendo
V
un subespacio ec o ial
a bi a io
del p i
me
.
g upode
cohomología
eal
de
M
.
Caso
de
a iedades
simplemen e
conexas
.-
En
es e caso
la
o ma
bilineal
a es
nula,
luego
P
#
=Ac=
Ac
y
po
an o
los
únicosideales
con
nulidad
acía
de
A
c
son
Ac
y
A~
.
Si
M
es
además
compac aAc
= A
l
y
sólo
hay
un
ideal
del
i
po
conside ado
.
Casoen
que
la
o ma
simpléc ica
es
exac a
y n>
1 .-
También
en
es e
caso
se
iene

a
=0,

luego
P
#
=Ac y
po
an o
los
idea-
les son los
subespacios ec o iales
A
c
que
con ienen
a A
l
.
Deno emos
po
H
1
el
subespacio
ec o ial
de
H
c
o mado
po
.
las
1- o mas
di e enciales
de
la
o ma
d
con
E
C`
O
(M)
de
so-
po e
compac o
que
cumple
J
u,n
=
0
.
Median e
la
aplicación
b
los
subespacios
ec o iales
de
A
c
que
con ienen
a
A
l
se
ans o man
en subespacios
ec o iales
de
F
c
que
con ienena
H,,
.
Deno emos
po
:
F
c
-o
Fc
/H
i
la
p oyección
canónica,
en onces
los
ideales
de
A
c
conside ados
son
los
sub-
conjun osde
la
o ma
( -1(V»
={XEA
c
: (i(X)w)EV}
donde
V
es
un subespacio ec o iala bi a io
de
Fc
/H
1.
4
.
Obse aciones
.
Los
mismos
p ocedimien os
u ilizadospe mi en
ca ac e iza
los
ideales
de
A
c
de
la
o ma
J
n
A
c
donde
J
es un
ideal
de
A
con
nulidad
acía
.
Todos
es os
ideales
son
de
los
ca ac e izados
en el
eo e
ma,
ya
que
A
l
c
.
J y A
l
c
A
c
implica
n(JnA
c
)
=
o,
pe o
no
odos
.
los
allí
ca ac e izadosson
de
es a
o ma,
algunos
de
ellos
no
se án,
en
gene al,
idealesde
A
.
Se
puede
demos a
que
los
ideales
de
A
de
la
o ma
J
n
Ac
con
J
ideal
de
A
nulidad acía
son los
subespacios ec o iales
de
A
c
que
con ienen
a
Ac
.y
los
subespacios ec o iales
de
Q+
que
con ienen
a
A
l
,
donde
Q
se
de ine
de
la
mane a
siguien e
:
5
8
Conside emos
la
aplicación
bilineal
dada
po
:
6

(
a
,
s)
=Sa

n-1
A
sl~w
y

sea Q =
{

a
e
F c
:
6''
(a
,
R)
=
0
b
B
e
F
}
"

De inimos
Q

(

X
e
A
c
i(X)me
Q
} .
Es
inmedia o
que
Q
y
Q=#-,
son
subespacios
ec o i_a
les y
que
AO
c
Q_15*c
P-0
.
El
lema
1
es
aplicable

ambién
en
es e
caso
a
I=
J
n
A
c
,
el
lema
2
se
puede
mejo a
en es e caso
has a
demos a
que
si
M
no es
compac a
y

(in
A
c
)
n
AO
=
A
1
se
iene
J
1
A
c
c
Q#(bas a
o
ma
S
a bi a io
en
F,
en
luga
de
p
eF
c
y
obse a
que
Cx,s
#
,
e
(J
1
A
c
)
1
AO
=A
l
ya
que
J
1
A
c
es,ideal
de
A)

y
el lema
3
se
mejo a
demos ando
que
CQ
,Q
J=
CQ#
"
Ac]
=
1'QiF
.A]
=
A
l
.
En onces
azonamien os
simila es
a
los
u ilizados
en la
demos ación
del
eo ema
demues an
lo
enunciado
en
es e
pa ag a o
.
Es e
esul ado
es
equi alen e
al
siguien e
;
en e
los
idea
les
de
A
ca ac e izados
en el
eo ema
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