Caracterización de los ideales con nulidad vacía del álgebra de Lie de los automorfismos infinitesimales con soporte compacto de una estructura simpléctica

Ca ac e ización de los ideales con nulidad acía del álge - b a de Lie de los au omo ismos in ini esimales con sopo e com - pac ode una es uc u a s impléc ica . po An onio DíazMi anda In oducción En es os úl imos años se han p oducido nume osos a ances en el es udio de las álgeb as de Lieco espondien es a los g upos que E . Ca an denominó"g uposin ini os ansi i os simples" . Las cua o"álgeb as de Lie in ini as clásicas" son : 1) Algeb a de Lie de los campos de ec o es de una a ie dad di e enciable . 2) Algeb a de Lie de los au omo ismos in ini esimales de una es uc u a unimodula . 3) Algeb a de Lie de los au omo ismos in ini esimales de una es uc u a simpléc ica . 4) Algeb ade Lie de los au omo ismos in ini esimales de una es uc u a de con ac o . En e los abajos a que hemoshecho e e encia hay queci- a los de Gel and V Fuks . Rozen eld, sob e la cohomología de es as álgeb as de Lie en el casode a iedades compac as y en el caso gene al los de A nold,Takens, A ez, Lichne owicz,Mo imo oy el au o sob e su es uc u a y de i aciones (lo que incluye en pa icu la el es udio del p ime g upo de cohomologia a alo es en el ál geb a) . El p esen e abajo se inse a en el es udio de los ideales de un álgeb a de Liedel ipo 3 . En él se ca ac e iza una amilia de ideales de es e álg i eb a de Lie que pa ece especialmen e impo an e pa a la clasi icación del conjun o de los ideales . ~a es uc u a de al amilia esul a depende ue emen ede las p opieda- des opológicas de la a iedad, especialmen e de su p ime g upo de cohomológia a alo es eales . 1 . P elimina es y no ación En lo sigue,M se á una a iedaddi e enciabledo ada de una es uc u asimpléc ica de 2- o ma undamen al w . En oncesw es una 2- o ma di e encial ce ada de angomáximo, lo que exige que M sea de dimensión pa , 2n, y w n sea un elemen o de olumen sob e M . Si X es un campode ec o es sob e M deno a é po L(X) la de- i aci6n de Lie espec o a X y po i(X) el p oduc o in e io po X . A se á el conjun o de los au omo ismos in ini esimales de la es uc u a, es deci , el conjun o de los campos de ec o es, X, de M que cumplen L(X)w = 0 (lo que equi alea deci que i(X)w es ce a da), A o se á el subconjun o de A o mado po los elemen os, X, ales que i(X)w es exac a, Ac se á el subconjun o de A o mado po o los elemen os con sopo e compac o, A c =A C) Ac , A, es el subcon- jun o o mado po los X E AO ales que exis e e C °° (M) con sopo - e compac o alque i(X)w = d y 5 3 A es una subálgeb a de Lie de la de los campos de ec o es de M . A O , A c . , A0 y A l son ideales de A . Deno a emos po 5 la aplicaci6n lineal que a cada campo de ec o es, X, haceco esponde la 1- o ma di e encial i(X)w . El hecho de que w sea de ango máximo implica que es a aplicaci6n es una 1- o ma di e encialdeno a emos po a .+ es únicocampode ec o es que cumple i(cs # ) w= a y si e C c0 (M)  deno a emos = . (d ) # e Ao . 2 . Teo ema undamen al Sea I un ideal de A C9 deno a emos po n(I) el conjun o de los p e M ales que X (p) =0 pa a odo X c I . Es ece adose áde nominado nulidad de I . LEMA 1 .- Supongamos n(I) = 0 . En onces : a)  Si M es compac a se iene In A0 = AO b)  Si M no es compac a se iene I ñ AO =A l o bien I n AO = AC Demos ación .-  El co ola io de  ~ 13 de A .A ez e al, se puede enuncia así : sea V un subespacio ec o ialde A, al que  [A l  VI `-V y pa a odo m e M exis a X E V alque  X(m) y¿ 0 . En onces A l c V . Vemos pues que en nues ocaso se iene A l c I y po an o A l c I 1 Ac . Supongamos M compac a . En onceSA O c= A l po que odos los ele men os de A 0 sonde la o ma *  con e C °° (M)  y c , = [ - ( ~n/, w' )] * e A l Sea aho a M no compac a . Si el complemen a io, K, de A 1 en In AC) no es acío,  sean  e K  y g# eAO con y g a sopo e com pac o y deno emos 1= g_( gw n / w n )' 5 4 en onces se cumple l e e A l y g  = (1+ (c e) " )  =1~ + (c e) - * eInA O c lo que implica po se g * a bi a io en Ac que Acc In Ae, luego Si K es acío se iene I n Ac =A 1 ./, Sea F( esp . H) el conjun o de las 1- o mas ce adas ( esp . exac as) de M y Fc ( esp . Hc ) el subconjun o de F ( esp . H) o mado po los elemen os que ienen sopo ecompac o . Conside emos la o ma bilineal sob e Fc 6, : F  x F -> 7R c c de inida po : ' n-l 6(a,5)-1aAs A w 0 0 i n A c = Ac La in eg al exis e po que el in eg ando iene sopo ecom- pac o . Deno emos po P el subconjun o de Fc o mado po los a eF c ales que  e (a,8)= 0 pa a odo S eF c y P # el conjun o de los X e A c ales que i (X) w e P . Se iene e iden emen e HCc P  luego 0 4* A c C:P . P y P #son subespacios ec o iales de F c y A c espec i amen e . LEMA 2 .- Sea M no compac a y I n AC =Al' En onces I c P# Demos ación .- Sean X e Y campos de ec o es sob e M . Se iene : i (Y) wAw n =0 luego i (X) (i (Y) w A wn ) =0 pe o i (X) (i (Y) w A wn ) =((i (X) i (Y) w)w"-  i (Y) w A i ( X ) wn y po an o (i (X)i(Y)w)w n =i (Y)wA (n i(X)wAw n-l )  _ -n i(X)w%i(Y)w^w n-1 55 En onces si X e % y 9eFc  e iene : y¡(X)WA0pw n-1 = i (x)WAi(p#}wíiwn-1=(- n ) (i(X)i(E )w)w n Po o apa e si X,Y e A se iene : A . pe o i(CX,YJ)w= (L (X)i(Y)-i (Y)L(X))w=L(X)i(Y)w di (X) i (Y) w+ i (X) di (Y) w= di (X) i (Y) w+ i (X) L (Y) w di (X) ¡(Y) w (i (X) i (~  ) w) # =  [X,3#]  ,  luego J (i (X) i (S # ) w) w n = 0 y pa an o i (X) w eP,  es deci ,  X e P# / . A 1 c Cp P1C [P#,AC] Sean k e P _# y X e Ac- En onces i ([K, X]) w=  d i (K)  i (X) w yi(K)i(X)w= - nJ (i(K)w)A(i(x)w) Awn-1 5 6 lo que implicaen pa icula [A,Aj cA o y [A c ,A, c A c  . Ademas si X e I,  S e Fc se iene  [X,s~7 e I AO = A 1  y  i (X) i (p l ~ w es  la única unción con sopo ecompac o que cumple LEMA 3 .- [P # , p,'-J"=[P :",Ac]=A1 . En pa icula P 99 1 - s un ideal de Demos ación .- P con iene a AO, luego a A 1 . Po o apa e la p oposición 2 del apa ado 12 de 1$,] implica [A1 ,A 1 ] = A 1 , lue go : y es a in eg al es nula ya que i(K)w e P y i(X)w eFc luego [K, X] e A 1 . / . El siguien e eo ema ca ac e iza los ideales de Ac con nuli dad acia . TEOREMA .- Los ideales de Ac con nulidad acía son los sub- espacios ec o iales de A c que con ienen a AO y los subespa- cios ec o iales de P #que con ienen a A 1 . Demos ación .- Sea I un idealde A c con nulidad acía . Si in AO = A~ ,  I es un subespacio ec o ial de A c que con iene o a A c Si I IA c = A, es amos, según el lema 1, en el caso de M no compac a y, segúnel lema 2, I es un subespacio ec o ial de P# Sea I un subespacio ec o ial de A c que con iene a A c , en- onces la elación [Ac, Aci c AO implica que I es un ideal de Ac . Si I es un subespacio ec o ial de P#que con iene a A l , la elación [P# A c l = Al implica que I es un ideal de A c ./ . 3 . Ca sos_ pa icula es Caso de a iedades compac as .- Si M es compac a se iene A c = A y odos los subespacios ec o iales de P#que con ienen a A~  son subespacios de A que con ienen a A o = A0 =A 1. En conse cuencia los ideales de A con nulidad acía son los subespacios ec o iales de A que con ienen a A o . Es os subespacios  ec o- iales es án en co espondencia biuní oca, median e la aplica ción  b : X s A-1 i (X) w 1 ; F,  con los subespacios ec o iales de F que con ienen a H . Deno emos po  n :F -4 F/H la p oyeccióncanó- nica ; los subespacios ec o ialesde F que con ienen a H es án en co espondencia biuní oca po medio de con los subespacios ec o iales de F/H . Vemos pues que si M es compac as . los ideales de A con nulidad acía son los subconjun os de la o ma # (n -1 ( ))  = {XgA :n(i(X)w)eV}siendo V un subespacio ec o ial a bi a io del p i me . g upode cohomología eal de M . Caso de a iedades simplemen e conexas .- En es e caso la o ma bilineal a es nula, luego P # =Ac= Ac y po an o los únicosideales con nulidad acía de A c son Ac y A~ . Si M es además compac aAc = A l y sólo hay un ideal del i po conside ado . Casoen que la o ma simpléc ica es exac a y n> 1 .- También en es e caso se iene  a =0,  luego P # =Ac y po an o los idea- les son los subespacios ec o iales A c que con ienen a A l . Deno emos po H 1 el subespacio ec o ial de H c o mado po . las 1- o mas di e enciales de la o ma d con E C` O (M) de so- po e compac o que cumple J u,n = 0 . Median e la aplicación b los subespacios ec o iales de A c que con ienen a A l se ans o man en subespacios ec o iales de F c que con ienena H,, . Deno emos po : F c -o Fc /H i la p oyección canónica, en onces los ideales de A c conside ados son los sub- conjun osde la o ma ( -1(V» ={XEA c : (i(X)w)EV} donde V es un subespacio ec o iala bi a io de Fc /H 1. 4 . Obse aciones . Los mismos p ocedimien os u ilizadospe mi en ca ac e iza los ideales de A c de la o ma J n A c donde J es un ideal de A con nulidad acía . Todos es os ideales son de los ca ac e izados en el eo e ma, ya que A l c . J y A l c A c implica n(JnA c ) = o, pe o no odos . los allí ca ac e izadosson de es a o ma, algunos de ellos no se án, en gene al, idealesde A . Se puede demos a que los ideales de A de la o ma J n Ac con J ideal de A nulidad acía son los subespacios ec o iales de A c que con ienen a Ac .y los subespacios ec o iales de Q+ que con ienen a A l , donde Q se de ine de la mane a siguien e : 5 8 Conside emos la aplicación bilineal dada po : 6  ( a , s) =Sa  n-1 A sl~w y  sea Q = {  a e F c : 6'' (a , R) = 0 b B e F } "  De inimos Q  (  X e A c i(X)me Q } . Es inmedia o que Q y Q=#-, son subespacios ec o i_a les y que AO c Q_15*c P-0 . El lema 1 es aplicable  ambién en es e caso a I= J n A c , el lema 2 se puede mejo a en es e caso has a demos a que si M no es compac a y  (in A c ) n AO = A 1 se iene J 1 A c c Q#(bas a o ma S a bi a io en F, en luga de p eF c y obse a que Cx,s # , e (J 1 A c ) 1 AO =A l ya que J 1 A c es,ideal de A)  y el lema 3 se mejo a demos ando que CQ ,Q J= CQ# " Ac] = 1'QiF .A] = A l . En onces azonamien os simila es a los u ilizados en la demos ación del eo ema demues an lo enunciado en es e pa ag a o . Es e esul ado es equi alen e al siguien e ; en e los idea les de A ca ac e izados en el eo ema de la sección 2 sólo son c ideales de A los que con ienen a Ao c y los que es án con eni- dos en Q# Bibliog a ía V . I . A nold .- Funk . Anal . i P iloz 3,(1969) 77-78 . A .A ez, A . Lichne owicz, A .Diaz Mi anda .- Jou nal o Di . Geo me y . Vol . 9, Nó 1 (1974) 1-40 . E . Calabi .- P oblems in Analysis . P ince on Uni e si y P ess . P ince on (1970) 1-26 . E . Ca an .- Ann . Sci . Ecole No m . Sup . 25(1908) 57-194 . A . Díaz Mi anda,- Symposia Ma hema ica Vol . 14 (1974) 153-171 . 59 A . Díaz Mi anda .- C .R . Acad . Sci . Pa i s . 274 (1972) 989-992 . I .M . Gel' and .- Ac es Cong és in e n . ma h .  1970, A, pp .95-111 . I .£4 . Gel' and, D .B . Fuks .- Func . Anal ., ol . 4 (1970) 10-25 . A . Lichne owicz .- J .Ma h . pu es e appl . .52,(1973) 473-508 . A . 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