OTROS TRABAJOS
MOTIVACIONES
EPISTEMOL~GICAS
SOBRE LAS QUE SE BASAN LAS ELECCIONES
DIDACTICAS LLEVADAS A CABO EN LAS
ACTIVIDADES EDUCATIVAS EN ITALIA,
DESDE PRE-ESCOLAR HASTA
EL BIENIO SUPERIOR
D'AMORE,
B.
Uni e sidad de Bologna, I alia.
T aducción cas ellana de Mqesús Sal ado Jiménez
SUMMARY
This a icle o e s a gene al iew o he ecen cu icula changes o Ma hema ics in I aly and discusses he epis-
emological concep ions unde lying he di e en didac ical choices now a ailable o appea ing along wi h
cu icula changes.
Los años '80 se ca ac e izan, en I alia, po un g an e -
men o inno ado que a añe a odos los ni eles escola-
es. Se a a de una g an a ea: eno a los p og amas
escola es, an icuados desde hace décadas, ace cán-
dolos a los más a anzados de o os países eu opeos. Se
a a de adap a el p og ama a una nue a ealidad
social, ecnológica y cien í ica; es a úl ima, sob e odo,
supone el empuje más igo oso, ya que en el pasado
I alia su ió años de p edominio absolu o de la cul u a
humanís ica sob e la cien í ica, a causa de una es úpida
di e enciación en e lo que se dio en llama "las dos
cul u as" (En iques 1938).
Aho a, si es cie o que hay que econoce peculia ida-
des e in e eses di e en es en
es
ipos de cul u a (con-
inua emos pues conse ando las denominaciones ya
usadas de: "humanís ica", " ecnológica", y "cien í i-
ca"), ambién es cie o que no exis e una ac u a en e
las es, al con a io, p ecisamen e su in luencia ecí-
p oca y su p esencia al mismo iempo en odos los sec-
o es cul u ales (en p ime luga : la educación) nos
p opo cionan un indi iduo comple o, cuya o mación
pe sonal a de acue do con los iempos.
Veamos aho a un b e e pano ama de la si uación, al
como se p esen a en la ac ualidad.
1)
La "scuola ma e na" (p e-escola ) cada ez es á más
di undida en I alia, de o ma masi a en el No e, más
bien ele an e en el Cen o y bas an e insu icien e en el
Su . Cada ez mayo es la p esencia signi ica i a de los
docen es de es e ni el en los cu sos de ca ác e cul u-
al, y cada ez se no a más la exigencia de p o undiza
en la compe encia, incluso ma emá ica, de es os docen-
es, ya que los empujes pa a inicia un e dade o
cu ículo ma emá ico son no ables. Desde hace años,
abaja una comisión cuya a ea es la de di undi un
ex o de "O ien ación" pa a es a Escuela no obliga o ia
(a la que acuden niños de
3
a
5
años) (Caldelli i
D'Amo e 1986a).
Ac ualmen e, pa ece que, en ese ex o de Ley, ambién
se habla á incluso de "ma e ias" singula izadas, en e
ellas las ma emá icas; un poco pa a inci a a que se a-
baje en las á eas disciplina es, un poco pa a ena las
expe iencias "sal ajes" que, incon olables, a eces o-
man pie y consenso en la base, sin que desde a iba se
consiga da explicaciones plausibles de ello.
Na u almen e no se habla de unas e dade as "ma emá-
icas" (lo que se ía ancamen e inopo uno), sino que
se es á di undiendo un nue o é mino bas an e signi i-
ca i o: "p o oma emá icas" (que no hay que con undi
ENSENANZA
DE
LAS CIENCIAS, 1990,8
(l),
52-58
OTROS TRABAJOS
con p e-ma emá icas, é mino ligado en un pasado
ecien e a la demagógica y dañina in ención de que e
a oda cos a an icipa nociones ma emá icas, en el
sen ido es ic o, an eponiéndolas an es de iempo y
c eando, po consiguien e, di icul ades al pasa al ni el
sucesi o).
2) La Escuela Elemen al en I alia es obliga o ia pa a o-
dos; como no ma gene al acuden a ella niños de 6 a 10
años ( iene pues una du ación de 5 años). En sep iem-
b e de 1987 en a on en igo nue os p og amas minis-
e iales que sus i uye on a los p eceden es, que lle-
aban más de 35 años, y que e an sob e odo iejos en
la in ención. Los nue os, sin emba go, ienen con e-
nidos que, si bien no son p esc ip i os pa a el docen e,
ni siquie a como lis a de con enidos "mínimos", p e-
sen an un g a e p oblema: son "demasiado" nue os.
En ellos se encuen an e e encias explíci as a las
ans o maciones geomé icas de odo ipo, a la in o -
má ica, a la p obabilidad, a la lógica..
.
Y
es o con as a
con la ealidad cul u al de base. Pa a se docen e de la
Enseñanza Básica, en I alia, hay que es udia en Ins i-
u os Supe io es has a la edad de 17 años y los p og a-
mas de ma emá icas de dichos ins i u os NO p e én, ni
han p e is o nunca, con enidos que de alguna mane a
hagan e e encia a las nue as exigencias. Se es án
in en ando dos ías:
A)
cu sos de o mación " ue e"
pa a maes os con cie a disponibilidad (una media de
ocho po p o incia) y, al mismo iempo, cu sos más
"débiles" pa a odos; B) expe imen os con licencia u-
as especiales pa a maes os de la Escuela Elemen al
(D'Amo e 1986). Es di ícil hace en ende que, más
allá de la eno ación cul u al (nue os con enidos), las
ma emá icas se p oponen hoy de mane a comple amen-
e nue a (me odológicamen e); pe o es a ins ancia de
no edad sólo puede ecibi la quien se da cuen a de los
nue os con enidos cul u ales. Se a a de una se pien e
que se mue de la cola..
.
3) En I alia, la enseñanza obliga o ia con inúa, además
de la Escuela Elemen al, con la Escuela Media en la que
los niños ienen edades comp endidas en e los 11 y los
13-14 años. La Escuela Media, pensada como "cone-
xión" en e los es udios básicos y los es udios a anza-
dos, en di e sas ocasiones ha sido obje o de análisis y
de a ias e lexiones e iden es. Tan o es así que se
a a del pe íodo escola que ha sido obje o de la
expe imen ación de nue os p og amas en más ocasio-
nes. El momen o más ele an e ue el de la eliminación
del la ín
(1
962) y la elección de la Escuela Media como
con inuación de la enseñanza obliga o ia. También ue
ocasión pa a in en a alo a las ciencias; aho a bien,
las ma emá icas ue on englobadas con odas las cien-
cias "na u ales", elección bas an e discu ible, pe o
oda ía igen e hoy en día. Los úl imos p og amas, ya
iejos, son de 1979. En ellos se econoce en las "ana-
logías de es uc u a" la unción
de
eje p incipal de las
ma emá icas, se au o iza la p esencia o icial del plano
ca esiano, ans o maciones geomé icas, lógica y
p obabilidad, mien as que al an e e encias explíci-
as a la in o má ica.
An es de p osegui con es a explo ación e ical, hay
que deci que la obliga o iedad escola en I alia coinci-
de con la ob ención de la "Licenza di Scuola Media" y,
si és a no se ob iene, se acaba al cumpli los 15 años.
Pa a no obliga a los jó enes con di icul ades escola es
a pe manece inú ilmen e en la Escuela Media más allá
de los 15 años, la endencia más di undida es la de
o o ga de odas o mas esa "Licenza" pa a encauza a
los jó enes con meno disposición al es udio hacia el
mundo del abajo. La ácil ob ención de la "Licenza",
po el con a io, da alsas ilusiones a los jó enes y a sus
pad es sob e las capacidades e ec i as, con las ob ias
consecuencias.
Desde los años '60 es cada ez mayo el núme o de jó-
enes que, una ez ob enido el diploma elemen al, si-
guen los es udios, "p obando sue e" en el mundo de la
Enseñanza Supe io , llenando las aulas los p ime os
años, pe o con g an ince idumb e sob e el deseo eal
de con inua . Así pues, se hace comple amen e necesa-
ia la o ganización cu icula del bienio supe io , como
ase escola en sí misma, an es de e odo el conjun o
de la Enseñanza Supe io . En I alia hay muchos ipos
de Enseñanza Supe io , cuya du ación oscila en e los
4 y 5 años; se piensa, en un u u o, uni o ma lo a 5 años,
dis inguiendo, sin emba go, un bienio que quizás sea
único pa a odos, de un ienio que se á de du a especia-
lidad p o esional. En es e momen o, el es udio del posi-
ble cu ículo del bienio se encuen a en una ase a an-
zada; en pa icula , la Comisión de ma emá icas no
sólo ha concluido desde hace iempo su abajo, sino
que su p opues a ya ha sido a alada.
4) El bienio supe io (que al ez sea obliga o io pa a
odos) ag upa a es udian es desde los 14 a los 15-16
años. Las ma emá icas han sido di ididas en " ue e-
men e p esen es" y "débilmen e p esen es" según a lo
que aspi e el es udian e. Ob iamen e es ue e la p e-
sencia de la geome ía, hacia cuya e alo ación didác-
ica somos muchos los que es amos empujando en I a-
lia; de la misma mane a que de ini i amen e ha en ado
ya o icialmen e la lógica, que al inicio había enido ad-
e sa ios, pe o después ha sido debidamen e incluida
en el p ime ema, jun o a la in o má ica.
5) Mien as an o una Comisión es á abajando pa a el
es udio de nue os p og amas de ma emá icas en el
sucesi o ienio supe io , según el campo p o esional
elegido po el es udian e.
6)
También hay o a Comisión que abaja pa a la eno-
ación de la licencia u a en ma emá icas; somos ya mu-
chos los que conside amos que la di ección "didác i-
ca", eso que p o ee á al país de u u os docen es de
ma emá icas, debe se algo al amen e especializado.
Po lo que se con igu a la idea de que el cu so de
licencia u a en ma emá icas pa a los u u os p o eso es
debe á ene una isonomía p opia que lo ca ac e ice; y
que, aun habiendo ob enido una licencia u a en ma e-
má icas, pa a pode accede a la enseñanza se end án
que ealiza , en el plan didác ico de los cu sos, algunos
exámenes que se econoce án como ca ac e ís ica del
plan didác ico; pa ece ambién (y és as son las úl imas
no edades) que pa a ob ene la "capaci ación" pa a en-
seña ma emá icas, se á necesa io ealiza , as la li-
cencia u a (4 años), o os dos de especialidad en "di-
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS,
1990.8
(1)
OTROS TRABAJOS
dác ica de las ma emá icas" con los exámenes co es-
pondien e?
En momen os de g an en usiasmo, como és e que es a-
mos a a esando en I alia, se habla (a eces con desa-
ino) de obje i os didác icos, de expe imen os, de con e-
nidos in e disciplina es, de nue as me odologías, y,
especialmen e desde hace poco iempo, de los nue os
y so is icados medios que la ecnología ac ual nos
o ece.
Sin emba go, a mi modo de e , se habla demasiado
poco de las mo i aciones epis emológicas, si exis en,
que ca ac e izan a las ac uales endencias: las eleccio-
nes didác icas que su gen hoy en día json u o de
expe imen os?, json sólo dic adas po los psicólogos
"expe imen alis as"?, json causales?, json el esul ado
de la expe iencia de los maes os más "a anzados" o
sensibles? ¿No se pueden encon a mo i aciones ilo-
só icas, posiblemen e escondidas, as las endencias
que su gen? Si es así, jcuáles? Su e idenciación no se-
ía banal; an o más cuan o en el bienio de especialidad
pos -licencia u a pa a u u os docen es de ma emá i-
cas, o en los cu sos de licencia u a pa a maes os, en un
u u o se pod ía p e e la pues a en ma cha de algún
cu so uni e si a io de ca ác e ilosó ico,
y
es en onces
un debe p e e es ilo y con enidos pa a que és e no se
con ie a en el eino de la con usión
y
de la banali-
dad
...
He aquí po qué me pa ece un debe da un
is azo a cie as ac i udes que es án p esen es ac ual-
men e (no sólo en I alia) en es e campo; al hace lo, me
he encon ado en e a dos posibilidades: 1) segui un
o den "didác ico-cu icula ", es deci , empeza po la
Escuela Ma e na (P e-escola ), dando e idencia a las
elecciones hechas allí, y p osegui paso a paso;
2)
analiza las líneas de pensamien o ac ualmen e p e-
sen es en e los "expe os en didác ica de las ma emá-
icas" o, más simplemen e, en e los p o eso es de
ma emá icas. Si bien la segunda o ma pa ece más
con usa, en ealidad es la que mejo me pe mi e si-
ua me pe ec amen e en el ema (D'Amo e 1981).
Un ac i ud bas an e di undida, pa a la que es di ícil en-
con a una "e ique a" ilosó ica, es la que llama é "pu-
is a". Resumiendo, el "pu is a" a i ma que las ma-
emá icas son
lo
que son; no se puede "di ulga " el con-
enido, no se puede espe a "ex ae " de las ma e-
má icas una "sub eo ía" que pueda i bien a ni eles
escola es "in e io es": o se " ansmi en" al como son,
o es mejo espe a . Si bien es e modo de pensa es de los
más di undidos, po sue e quien piensa así no iene
ninguna in luencia en el campo deciso io. El "pu is a"
no conoce odo el deba e que iene su cumb e en Piage ,
o bien solamen e ha oído habla de él, c ee que Piage
ha "de endido la eo ía de conjun os".
. .
Incluso en un
momen o de ue es c í icas a la ob a de Piage , como
la ac ual (c í ica cons uc i a, digo), conside o que es
imposible abaja en es e campo e igno a la ob a que
ha condicionado eno menen e,
y
que oda ía condicio-
na á po mucho iempo, nues as elecciones. Se puede
eplica que exis e sólo una Ma emá ica, que es en
e ec o un Co pus único, macizo y (desde el ex e io ,
pa a quienes no son especialis as) pe ec o. Pe o no son
és as las ma emá icas que in e esan al didac a, és e
debe necesa iamen e ene en cuen a la edad del alum-
no; de ahí nace, po consiguien e, una didác ica en
espi al o "de eg esos": el mismo ema no es á del odo
concluido en didác ica, sino que, en los di e sos ni-
eles c í icos en que es posible, eg esa; pe o eg esa a
un ni el de p o undidad cada ez mayo . Si es e "axio-
ma undamen al de la didác ica" no es acep ado, en on-
ces conside o opo uno e i a odo ipo de didác ica
has a la Uni e sidad.
Un ejemplo de didác ica de eg esos, admi iendo el
axioma po el cual es líci o adap a con opo unas es a-
egias didác icas las ma emá icas a la edad de quien las
ap ende, es el siguien e, sacado de la geome ía.
En p ime luga , en la Escuela Ma e na (P e-escola )
y
la Escuela Elemen al (a eces incluso al p incipio de la
Escuela Media) (Caldelli i D'Amo e 1986b), la geome-
ía se educe esencialmen e a una pa e de la ísica. Se
a a, g osso modo, de la c eación de un lenguaje ade-
cuado pa a desc ibi cuan o sucede en conc e o en el
mundo empí ico. Dos compo amien os p o undamen-
e conec ados: heu ís ico y e bal. Se obse a, se
"ensaya", se hacen hipó esis, se desc ibe, se in en a una
egla, se e i ica, se alsa, se desc ibe una ez más, y
así sucesi amen e. Sí, en onces las ma emá icas es án
bas an e ce ca de una de las an as ciencias na u ales y
la geome ía, en pa icula , pe mi e la elección del
opo uno ocabula io, cada ez más en iquecedo , pa a
desc ibi el mundo empí ico. Se a a de adecua las
expe iencias conc e as a las elecciones lexicales: ad-
qui i un lenguaje que es, de mane a especial, geomé-
ico. La desc ipción es espon ánea, aunque ob iamen-
e es á di igida; no exis e el p elimina de la "de ini-
ción", seguido a con inuación po el ejemplo o po el
eje cicio. Aquí, en iendo po de inición una lis a pe so-
nal de p opiedades ca ac e ís icas descubie as po el
niño, sin peculia idades abs ac as o o males. Si en
e ce o (8 años) un niño a i ma que un cuad ado es un
cuad ilá e o que iene los cua o ángulos iguales, los
cua o lados iguales, las diagonales iguales, que se
co an en la mi ad, que son pe pendicula es, que iene
cua o ejes de sime ía, y alguna cosa más; yo sé muy
bien que és a es una "de inición" de cuad ado demasia-
do amplia y que, en ealidad, una de esas de iniciones
pod ía ca ac e iza po
sí
sola la igu a; pe o, de odas
o mas, me pa ece muy bien. P ecisamen e e i o una
ac i ud "pu is a" y acep o la elección espon ánea del
niño de cub i una lis a (supe abundan e) de p opieda-
des. Se da á un g an paso hacia adelan e cuando, un día,
madu ado c í icamen e
y
po sí solo o empujado de
o ma opo una, descub a que algunas de las p opieda-
des ca ac e izan bien al cuad ado,
y
que las o as
p opiedades son una "consecuencia" (palab a mágica,
peño di ícil, en ma emá icas). Se a a á de "en ique-
ce " el ocabula io geomé ico p opio, "limpia " las
desc ipciones p opias, pe o sin iendo ambién el gus o
hacia es as dos ope aciones, no simplemen e po que
"se hace así" o po que el p o eso quie e que se haga
así. La na u aleza de la geome ía es de ca ác e c í ico:
así como las con icciones elemen ales hacia el modo
de se del mundo son is as poco a poco po el jo en
sob e la base de nue as expe iencias y, sob e odo, de
nue as adquisiciones en el campo c í ico; del mismo
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS,
1990,s
(1)
OTROS TRABAJOS
modo, en geome ía, el jo en, un poco mayo , un poco
más madu o, un poco más esponsable, i á ecapa-
ci ando sob e sus p opias con icciones, que él mismo
se e á obligado a e isa pa a no cae en una con a-
dicción. La elección p io i a ia de la e idencia ("se e
que es así"), debe á deja paso a la de i ación lógica.
Es o ende á a sucede en la Escuela Media. Los chicos
llegan a és a oda ía muy ligados a la cla idad in ui i a
de la simple e idencia; pe o se des inculan, si son
guiados adecuadamen e, en busca de mé odos, de len-
guajes, de p uebas. En endámonos bien: en la Escuela
Media
i
oda ía me pa ece bien que la demos ación del
enunciado del Teo ema de Pi ágo as consis a en pesa
ca ulinas, eco adas a ese e ec o! Con la condición de
que es o es é lle ado, po lo menos, como expe iencia
de labo a o io, con las mismas cau elas cien í icas de
que gozan las o as ciencias (na u ales), y no se p e en-
da que sea una e dade a
demos ación.
Es más, se
debe ía gene a en el jo en-expe imen ado la duda
sob e la exac i ud de al "comp obación".
En I alia se iene po cos umb e desa olla un a a-
mien o hilbe iano de la geome ía ya en el p ime año
de la escuela supe io ; y es así desde siemp e, desde
que el ex o base de la geome ía ha sido conside ado el
de Euclides, opo unamen e pues o al día. Son muchas
las p esiones "pu is as" que lle an a ello. Pe o las más
mode nas posiciones al espec o p e enden pospone
es e a amien o has a el momen o en que el chico sea
su icien emen e c í ico y dueño de la ma e ia, que sea
capaz de comp ende ese espí i u que no duda é en
llama hipo é ico-deduc i o, ya que es a a o unada
denominación iene su o igen en la in uición de un
i aliano. La "cons ucción de ca ác e axiomá ico" de
la geome ía, pues, no sólo no apa ece como necesa ia
pa a su es udio elemen al, sino que pa ece necesa io
aplaza la has a o as ases de madu ez concep ual. En
esumen, es el pun o de llegada y en absolu o el pun o
de pa ida, como lo ue en la his o ia.
iY
que los pu i-
S as se condenen po es a elección eme gen e y sensa a!
En I alia, el deba e sob e la lógica ha sido iolen ísimo.
En la p ime a con aposición: "Lógica sí, lógica no", la
espues a ha sido cla amen e posi i a. Hoy en día se ha-
bla de lógica en odos los ni eles escola es, desde el
p e-escola has a la enseñanza supe io . Es más, a
eces noso os mismos, que siemp e de endimos la
p esencia explíci a de la lógica en los p og amas, de
ez en cuando nos emos obligados a ena los áciles
en usiasmos de los neó i os..
.
Pe o la nue a in e oga-
ción es aho a
"
jcómo?". En P e-escola , ob iamen e,
y
en buena pa e de la Escuela Elemen al, la lógica no
es más que una as a gama de obse aciones di igidas
hacia el uso
y
la unción de la lengua na u al; de la
simple obse ación, poco a poco nace la lógica como
ins umen o. Al p incipio es un ins umen o pa a el
análisis, se con ie e luego en ins umen o de con on-
ación, al inal en ins umen o de lengua. Desde la
Escuela Elemen al, pe o ya sin los excesi os én asis de
los conjun os de o os iempos, la lógica mues a al
alumno su doble papel: 1) la lógica es una pa e de las
ma emá icas, o ece así en sí misma con enidos que son
peculia men e suyos y que pe enecen al as o dominio
de las ma emá icas;
2)
la lógica es, una ez se la
ENSENANZA
DE LAS CENCIAS,
1990,8
(1)
conoce, un ins umen o-mé odo-lenguaje de las ma e-
má icas (que
NO
se debe con undi con un exceso de
o malismo pe judicial y es é il, g a ui o
y
malsano, al
'
como explica é mejo más adelan e).
Pe o sólo en la Escuela Media es ealmen e un ins u-
men o de in es igación; mien as que en el bienio supe-
io , g acias ambién a la es echa unión que se ha que-
ido e con la in o má ica, la lógica adquie e de ini i-
amen e ese doble papel undamen al suyo. Es más, ex-
plíci amen e, se hace alusión al hecho de que la lógica
es me alenguaje de las ma emá icas (se habla de de-
mos a , de deduci , se ci an eglas de in e encia..
.).
Se
plan ea aquí una nue a cues ión, que en un impo an e
Cong eso Nacional del U.M.I. (Unión Ma emá ica I a-
liana) sob e didác ica, se p esen ó en es os é minos,
opues os a simple is a: 1) la lógica es el p ime capí-
ulo de las ma emá icas, es deci , an es de empeza a
a a las ma emá icas, nos debemos sen i en la necesi-
dad de hace que los niños ap endan lo que quie e deci
azona ;
2)
la lógica es á inse ada en las ma emá icas
y así, con o me se p ocede en el es udio de las ma emá-
icas y cada ez que se p esen e la ocasión espon ánea-
men e, se ap o echa pa a a a un poco la lógica (con
la espe anza de ag upa odas las ma emá icas en el
me alenguaje p opo cionado po la lógica, al inal de
los es udios, en que pode mos a una isión o gánica
y
compac a de las ma emá icas). El ilus e ela o ,
y
muchos de los p esen es, op a on decididamen e po el
segundo pun o de is a; sin emba go, a mí me pa ece
que se debe op a po un e ce pun o de is a que ecoja
los p eceden es en un único pun o de is a:
3)
la lógica
debe se el p ime capí ulo de las ma emá icas, pe o no
debe conclui se en el p ime capí ulo de las ma emá i-
cas; es deci , quien a los 14 años asis e a la p ime a
clase supe io , posee ya ocho años de ap endizaje de las
ma emá icas y es á p epa ado a un paso que muy p o-
bablemen e le ha sido ya inducido po el p o eso de la
Escuela Media. Tiene la siguien e isión con as ada
de las ma emá icas: se a a de expe iencias conc e as
que ienen, sin emba go, una base "lógica" escondida
en e los pliegues abs ac os de la acionalidad. Es e es
el momen o: las ma emá icas de la Enseñanza Supe io
consis en, sob e odo, en mi a al in e io de es os
pliegues; és e es el p ime ace camien o, el es o ya
end á. No me pa ece pues con adic o io pe mi i una
ap oximación a la lógica, pa a descub i después, poco
a poco, que se p ocede á con conexiones
y
p uebas cla-
ísimas y ejempla es, que los alumnos econocen y
ag adecen.
Como se ha is o, ya sea po los ejemplos de la geomé-
ía como de la lógica, se deduce un o al abandono del
pensamien o "pu is a" en didác ica, que p obablemen e
se o iginaba en un encendido ilo-euclideismo. P opo-
nemos desde a ias pa es que las ma emá icas sean
una e olución que acompañe a los jó enes: desde unas
ma emá icas empí icas, bas an e ce canas al uso co i-
diano, como si se a a a de un ins umen o conc e o y
na u al (sob e odo de la lengua común), a unas ma-
emá icas abs ac as, hechas de ideas y no de cosas.
Has a aho a he delineado a ios componen es posibles
de una epis emología ma emá ica, mi ándolos en el
OTROS TRABAJOS
in e io de una disidencia en e los "pu is as" y los no
"pu is as". Sin emba go, su ge aho a un nue o p o-
blema quizás menos conc e o, pe o, eso sí, jmás in e e-
san e! ¿Cuáles son, en e las di e en es escuelas ilosó-
icas, las que eme gen con mayo p epo encia en odo
lo delineado has a aquí? ¿Qué pensamien os ilosó i-
cos con ibuyen a la plausibilidad de las elecciones
didác icas p eceden es?
A
mi modo de e , la p egun a
no sólo iene un sen ido, sino que es necesa ia desde un
pun o de is a eó ico. Si la única mo i ación eó ica de
una elección didác ica (incluso si es empí icamen e
jus i icable) ue a la siguien e: "iHemos is o que así,
con los niños, unciona!", conside a ía escuálido e in-
undado el p oceso didác ico. C eo que los iempos han
madu ado pa a inclui la Didác ica de las Ma emá icas
en e las ciencias que eme gen. Po supues o: NO son
ma emá icas, aunque sean p ac icadas y eo izadas po
ma emá icos y no (o mejo , no solamen e) po pedago-
gos. Pe o, si es una ciencia, debe ene en onces un s a-
us epis emológico pa icula , i enunciable.
A
eso es
legí imo aspi a , como p incipio gene al de undación.
A
la espe a de algo mejo , a i ma é que la didác ica de
las ma emá icas es una ciencia de ca ác e empí ico
que iene como obje o de es udio el análisis de los
p ocesos cogni i os en elación con las ma emá icas.
Las elecciones de base de su epis emología, que han
sido delineadas an e io men e, se undan en las di e-
en es escuelas de iloso ía de las ma emá icas, según
las siguien es obse aciones. (En ealidad, me pa ece
que un s a us undacional eal es á oda ía po llega y
que és os son sólo los p ime os in en os pa a dis ingui
la didác ica de una disciplina de la disciplina, undando
sin emba go la p ime a sob e las iloso ías de base de
la segunda).
En e las ac i udes p esen es en las p ime as ases,
como sis emas de base que hay que supe a , cualquie a
puede econoce las
empi is as.
A i mo explíci amen e
que pa ece como si se quisie a admi i que se a a de
una elección p io i a ia del homb e, en su necesidad de
cons ui un modelo men al y lingüís ico acep able de
odo cuan o le odea, cosas y acon ecimien os.
Inmedia amen e se concibe el lenguaje como ins u-
men o idóneo no sólo pa a enuncia las p opias desc ip-
ciones o las p opias obse aciones a los demás, sino
ambién pa a hace las in eligibles a noso os mismos.
Po lo que el encuen o pensado/dicho se con ie e en
una p ime a ase de supe ación c í ica. No se a a pues
de abandona se a un empi ismo excesi o o es echo,
sino de concede mucho, po lo menos en el plano lin-
güís ico, al
logicismo.
¿En qué sen ido? Po lo menos
en és e: que en e los posibles lenguajes que se pueden
elegi pa a las ma emá icas, la elección, poco después,
cae en la lógica. Pe o, ambién aquí, no de modo exas-
pe ado o o ali a io. La lógica elegida como lenguaje,
en p ime a ins ancia, no es más que un aspec o, pe o el
~
más acional (y conc e o) posible, de la lengua na u al.
De los dos g andes aspec os de la lógica, la lógica de
los enunciados p ecede desde odos los pun os de is a
a la de los p edicados, en la que incluyo los conjun os.
Esa lógica-lenguaje de los conjun os, poco después,
g acias a sus p opias peculia idades de u ilidad, asume
un papel in e esan e sob e el que me ece la pena hace
conside aciones undacionales (desde luego, NO desde
el pun o de is a didác ico, pe o ese ando la p óxima
obse ación a los educado es). Quie o llama a juicio a
la
escuela de la eo ía de conjun os.
En pocas palab as,
¿qué ha quedado de la "g an e olución" de la eo ía de
conjun os de los años
60?
Sólo las cosas más esenciales
y ca a e ís icas: ila co ec a con icción de que un
lenguaje que denomine no sólo median e "nomb es
indi iduales" sino ambién median e "nomb es co-
lec i os" aya en consonancia con el espí i u de las
ma emá icas!
Y
que se a a de un lenguaje ácil e
indispensable, una ez abandonados (pa a siemp e)
mecanismos o males, es úpidamen e acíos e insul-
sos. Na u almen e, queda po acla a una cosa que
pa ece na u al, ligada a la expe iencia, y que cons i uye
sin emba go un axioma me alógico de inc eíble impo -
ancia. Si engo un uni e so
U
y exp eso una p opiedad
indi idual P (es deci , una p opiedad exp esada po un
p edicado monádico), admi o que se puede habla del
conjun o A de los elemen os de
U
que sa is acen o que
hacen e dade a P. De ahí en adelan e, admi i é que
deci "conjun o
A"
o deci "elemen os de
U
que ienen
la p opiedad P" es lo mismo. En ealidad, debo hace un
es ue zo men al eno me (a mi modo de e , uno de los
más ue es de odas las ma emá icas) pa a acep a lo
an e io como un axioma de la eo ía de los conjun os.
Es o es no malmen e admi ido implíci amen e en la
didác ica de base, pe o nunca es bas an e conside ado
po pa e de los didac as (quienes, a menudo, c een que
es así po que es na u al o in ui i o que así sea, ig-
no ando ampliamen e los emendos p oblemas ilosó-
icos y lógicos que pusie on en "c isis" las ma emá icas
en un pasado ecien e). La na u alidad con que se
acep a es e axioma undamen al plan ea una duda: ¿se
a a de la ic o ia de la posición de la escuela de la eo-
ía de los conjun os ingenua, de la axiomá ica (que
plan eó ealmen e axiomas acep ables
y
" azonables"),
o bien solamen e de igno ancia?
Va ias eces he ci ado posiciones cuya única jus i ica-
ción pa ece se la pu a in uición. Pe o, a es e espec o,
se ía deshones o in oca el in uicionismo de B ouwe
y de Hey ing sólo po asonancia de nomb e; es bas an e
más p uden e y co ec o pensa en el papel de la
in ui-
ción
en el ámbi o del descub imien o ma emá ico en los
dos sen idos de Desca es y Poinca é. En ealidad, no
obs an e, algo de
in uicionismo
en un sen ido es echo
alien a en las posiciones didác icas p eceden es; y no
es an o el hecho de la de e minación de ac os simples
de in uición en nues a men e, en una sucesión empo-
al que es ap io ís ica; como, en su luga , jel es echo
cons uc i ismo de las ma emá icas que hemos p odu-
cido! La didác ica se escande según momen os sucesi-
os de cons ucción del ap endizaje, lad illo as lad i-
llo; cada paso es un nue o lad illo pues o en su alo-
jamien o a lo la go de una escala de iempos c onológi-
camen e sucesi os
...
La lógica que se u iliza en odo
es o no es cie amen e de ipo in uicionis a b ouwe ia-
no: se admi en pasos con in ini as sucesiones, demos-
aciones po educción al absu do, ecu sos a la nega-
ción de una negación, e c. Pe o queda i me la con ic-
ción de que se a a de una e dade a cons ucción.
Ya he hecho alusión a la p esencia de un
o malismo
ENSENANZA
DE LAS CIENCIAS,
1990,8
(1)

1
OTROS TRABAJOS
en e las posibles elecciones undacionales, incluso en
el campo didác ico. Cie amen e, menosp eciemos un
mi o, las ma emá icas de al o ni el necesi an el simbo-
lismo y las a i maciones según las cuales odo cuan o
se ha hecho, se es á haciendo o se ha á en ma emá icas
no necesi a un o malismo, es sólo un in en o de asom-
b a al bu gués conse ado . Sin emba go, en I alia, los
nue os p og amas po in hablan cla o: la iden idad
p esun a y a eces cómoda (pa a el p o eso cansado de
busca soluciones didác icas) "ma emá icas
=
o ma-
lismo encendido" es á mue a de ini i amen e en odos
los ni eles escola es. En el sen ido de que no es el exa-
ge ado o malismo que acaba en sí mismo, no es el pe-
dan e y ne as o ecu so con inuo al o malismo lo que
hace ma emá icas; las ma emá icas es án hechas de
1
ideas, no de signos. Es a pa ece se una buena espues a
a un o malismo encendido, de o os iempos, que, a la
la ga, ha hecho an epone oda conside ación sin ác i-
ca a la semán ica, casi como si las ma emá icas no se
u ie an que "comp ende " sino simplemen e ap ende
po simbiosis, po emulación. Queda ob iamen e i a
la a ención (sin se pedan e ni exage ada) a la co ec a
undación sin ác ica, pe o con la condición de que és a
enga una azón. La azón más co ec a
y
ad e ida es
la siguien e: con iene exp esa las ma emá icas de
modo o mal. En esumen: la ó mula es el pun o de
llegada, exp esión de una idea adqui ida en el ondo, y
no es un pun o de pa ida, como sucedía con ecuencia
en I alia en el pasado. Un o malismo " ue e" (p ime o
la sin axis, luego la semán ica y po in la p agmá ica)
oda ía es á p esen e en amplias ca ego ías de p o eso-
es en I alia; y ello independien emen e de la edad, pe o
bas an e más di undido en e los docen es NO licencia-
dos en ma emá icas. Sin ex ende me demasiado, ¡es á
cla o que es o se debe al p o undo espe o (¿ e o ,
miedo..
.?)
que las ma emá icas in unden en las men es
de quienes las mas ican poco!
También hemos is o que un ema conduc o de las
ma emá icas, al ez solamen e a pa i de la Escuela
Media en I alia, es el in en o de es uc u a odo de
modo uni o me, econoce los " ipos de es uc u as".
Es oy haciendo una llamada explíci a a la posición
es uc u alis a, al ez p esen e desde siemp e, eme -
gen e desde las p ime as décadas del siglo
XIX,
iun-
an e en es e siglo con el
bou bakismo.
En o os países
eu opeos, se inicia desde la más ie na in ancia. En
I alia es cos umb e suge i el NO hace eme ge explí-
ci amen e cues iones es uc u ales en la Escuela Ele-
men al, sino sólo a pa i de la Escuela Media. Además,
es ob io, en caso de que se pueda mos a de mane a
cla a y simple que exis en "conexiones de compo a-
mien o" en e di e en es en idades, que a an de obje-
os di e en es, que es án unidas po ope aciones di e-
en es, pe o que se compo an del mismo modo, en on-
ces jno con iene espe a ad ede! Aun habiendo decidi-
do espe a , al menos po pa e del p o eso hab á un
empuje (ma emá ico implíci o) pa a ca ego iza las
di e en es leyes. De o o modo, po ejemplo, al docen e
no le queda más que la pe plejidad sob e la e dade a
na u aleza de la geome ía como co pus único, aun en
la inc eíble a iación de si uaciones: signo de que la
elección que pa a noso os hizo Felix Klein en 1872 se
ha e elado como la ganado a (y no sólo en el eino de
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS,
1990,8
(1)
las geome ías, sino de odas las Ma emá icas). Po
expe iencia sé que los docen es de la Enseñanza Básica
ap ecian que se les dé a conoce es a cues ión, quizás
po que sólo así se consigue da de nue o una uni o mi-
dad y uni a iedad a las ace as de las ma emá icas.
Y
hablemos aho a del pla onismo, en la mode na acep-
ción que al é mino es á asumiendo.
Abandonado y esca necido po sus ingenuas posicio-
nes exaspe adas, ya sea desde el pun o de is a didác-
ico como epis emológico, esu ge nunca dominado,
nunca ado mecido, nunca de ini i amen e mue o, un
nue opla onismo.
Es más, hay que deci que me pa ece
di isa en es e nue o pla onismo la elección ilosó ica
más ce cana al co azón de quien hace de la didác ica
ma emá ica (y, a menudo, de las p opias ma emá icas)
su p opia p o esión. Es cie o que el nue o pla onismo
ya no iene la exage ada admisión de una e dade a
ida de las ideas, desligadas del mundo empí ico que
las ha p oducido. Se con en a con pensa que la e dad
no depende de cada una de las e dades que se acumu-
lan jun as, descub imien o as descub imien o; al
con a io, cada descub imien o es una nue a pieza de
e dad que se alcanza. No iene sen ido habla de
exis encia o, oda ía peo , de p eexis encia de la e -
dad, po que se a a de una abs acción pu a. Se alcanza
cada una de las e dades en el momen o en que se
descub e el modo de comunica (a a és del lenguaje)
ese agmen o de e dad alcanzado. El lenguaje es pues
undamen al simplemen e pa a que enga sen ido ha-
bla de e dad. La e dad ma emá ica se exp esa, po
an o, median e un lenguaje opo uno; ese lenguaje es
la exp esión del p opio co pus de las ma emá icas y así
basa sus p opios concep os en la expe iencia. Como si
la me ama emá ica ue a la p axis y las ma emá icas su
o ma lógica, el lenguaje de la eo ía. Es ealmen e
idículo pensa en una ida p e-exis en e y en una
didác ica hecha de " ecue dos de una ida p eceden e".
Tenía un sen ido e oluciona io en la época helenís ica;
hoy es pe ec amen e inú il. Así como enía sen ido el
desp ecio hacia unas ma emá icas hechas de cosas; y
es o pe sis e: no po las cosas en sí mismas, sino como
ac i ud an i-so is a. Las cosas an bien siemp e que se
admi a que aluden a ideas abs ac as. Las elaciones
en e cosas o en e hechos, o incluso en e palab as, son
ísica o, en odo caso, ciencias na u ales; se con ie en
en ma emá icas cuando admi en una desconexión de la
ealidad
y
se hacen abs acción, idea sob e ideas. Cie -
amen e, como decía poco an es, es a o ma de nue o
pla onismo debe p es a mucha a ención al lenguaje
y
sob e odo a dos lenguajes:
1)
la lengua na u al; 2) los
lenguajes o males. Mediando el neo-empi ismo, en
es e nue o pla onismo pa ece que se es á dispues o a
admi i la iden idad "dicho-pensado" que, nó ese, j ale
en los dos sen idos!
Y
una mayo disponibilidad po lo
que espec a a lo que exis e: el mundo se á no sólo la
o alidad de los hechos, sino ambién de las cosas que
se pueden desc ibi (o incluso sólo deci , de ini o
indica ; y además comp endidas en e las cosas, en es e
caso, ¿po qué no?, nue amen e las ideas).
Es e nue o pla onismo, que pa ece impe a hoy, sabe
dis ingui bien en e
Sinn
y
Bedeu ung
(F ege y Peano);
OTROS TRABAJOS
sabe plan ea dis inciones p o undas en e e dad de
hecho
y
de azón; en e las ideas que se pueden exp e-
sa con palab as con encionales
y
las asumidas po
pa icula es "co es de las lenguas ma e nas", al como
nos han enseñado los an opólogos (Who 1956); sabe
que exis en p o undos p oblemas ace ca de la comuni-
cación, simplemen e cien í icos o más in ínsecamen e
psicológicos (Hall 1953, K is e a 1967). Es e nue o
pla onismo no se ho o iza po los ins umen os, sino
que sabe cómo u iliza los pa a cap a
y
po encia con-
cep os, eniendo siemp e como e e en e el mundo de
las ideas
y
de las palab as, a a és de las cuales se
exp esan. Pa ece que el p opio Ku Godel, cie amen e
uno de los máximos ma emá icos de es e siglo, había
admi ido su p opio pla onismo (Cellucci, ed.
1967);
no
pa ece posible que se a a a de un pla onismo helenis a
o asimilable
a
és e.
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La ma ema ica
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CALDELLI, M. L.
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D'AMORE,
B.,
1986b.
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(La
nuo a I alia: Fi enze).
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(La e za: Ba i).
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men ale.
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D'AMORE, B., 1986. La dida ica della ma ema ica nella
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pe ienze conc e e, in D'Amo e i Pe sano, (eds.),
Ma ema ica-Scienze.
(A mando: Roma).
En luga de pensa en un mundo empí ico
y
en unas
ma emá icas que hacen de conexión en e el empí ico
y
és e, se pod á pensa en una especie de con i encia
ci il ideal en e el mundo de las cosas
y
el de las
palab as; se pod ía pensa que exis e un isomo ismo
es echo en e el p ime o
y
un submundo del segun-
do
...
En el eino de las concepciones didác icas es así desde
hace iempo;
y
es o jus i ica la acionalidad de los pa-
sos, el cuidado que se iene al hace p og esa , desde un
pun o de is a abs ac o, la men e del niño hacia la del
jo en, has a la madu ez del conocimien o cien í ico.
En caso con a io, la ase "a la ue za", jun o a "po que
sí", con inua án siendo ó mulas de deducción a las que
se ecu i á con ecuencia en el in e io de las aulas en
las ho as de ma emá icas.
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58
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS,
1990,8 (1)