INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
SOBRE LA FORMACION DE LOS
CONCEPTOS GEOMETRICOS
Y
SOBRE EL LEXICO GEOMETRICO(l)
MEDICI,
D.,
SPERANZA,
F.,
VIGHI, P.
Del ((Cen o di Spe imen azione e Documen azione ,dei mezzi dida ici della Ma ema ica))
(Cen o de Expe imen ación
y
Documen ación de los medios diddc icos de la Ma emd ica)
de la Uni e sidad de Pa ma (I alia)
Ve sión cas ellana de M" Jesús Sal ado Jiménez
(1) In es igación ealizada en el ámbi o de las ac i idades inanciadas po el ((Minis e io della Pubblica Is uzio-
ne» ( ondos 40% Comi é Ciencias Ma emá icas, P oyec o ((Enseñanza y ap endizaje de la Ma emá ica))).
T abajo p esen ado en el P ime Cong eso In e nacional sob e in es igación en la didác ica de las Ciencias y de
las Ma emá icas.
SUMMARY
Geome ic lexicon is ela ed o an equi alence c i e ion be ween igu es -no mally gi en by a ans o ma ion
g oup (K1ein)-. The e can be a con lic be ween o dina y language, adi ional geome ic lexicon and he equi a-
len e
c i e ion ha a gi en speci ic si ua ion may sugges . In his pape
we
analyze he esul s o a se o ques ions
aiming a disco e ing he equi alence c i e ia chosen by pupils be ween 9 and 11, and he in luence o hei lexi-
con. We ha e no ed a conside able in luence o he c i e ia based on he g oup o ansla ions, and on he g oup
o homo e ies and ansla ions. We ha e also obse ed he in luence o ((s anda d models)) (Le., igu es appea-
ing no mally in hei books), and some di icul ies o concep ualiza ion.
1.
PREMISAS
Es e abajo o ma pa e de una se ie de in es igacio- ción de los «indi iduos»). Las espues as pod án se
nes sob e el es udio de la Geome ía. ii iles pa a la p epa ación de es a egias didác icas, e
incluso pa a comp ende los o ígenes de las eo ías
Pensamos que la in es igación didác ica se debe de-
ma emá icas.
sa olla jun o a la in es gación epis emológica: és a
da a aquella las bases eó icas, y ice e sa, la p ime a Pensamos que ((cada obse ación y cada expe iencia
puede p opo ciona impo an es indicaciones y mo i- iene alo cien í ico sólo en cuan o se apoye en un a-
aciones a la segunda. Cuando hablamos de epis emo- zonamien o)) (En iques 1906), que la (( eo ía domina
logia, en endemos, más que la in es igación de jus i i- el abajo expe imen al, desde su plani icación inicial
caciones lógicas de las eo ías ma emá icas (de ipo a los oques inales)) (Poppe 1959). P ecisamos pues,
((p oblema de los undamen os»), la in es igación del desde aho a, los p incipios ma emá icos y epis emoló-
o igen psicológico de los concep os y de las eo ías gicos que es án en la base de nues as in es igaciones.
(En iques 1901); y
nos
ambién
a
eo ías
ni-
:1
En
su
ace camien o, la Geome ía
o ma
dimen a ias, que no alcanzan -o no han alcanzado
oda ía- una ase lógicamen e sa is ac o ia (1). Po pa e de la Física (En iques), y po an o debe se
consiguien e es esencial analiza cómo las pe sonas a ada con mé odo expe imen al.
-pa icula men e aquellas en edad e olu i a- a on- 1.2. Los indi iduos de la Geome ía son igu as (y
an algunos p oblemas impo an es de ((sis ema i- ans o maciones) geomé icas: en endemos con
zación)) de concep os (en es a in es igación no nos in e es o imágenes men ales, sacadas de la expe ien-
esa nos po la cons ucción de a i maciones, las qhe en cia, que asumen en sí las ((ca ac e ís icas espacia-
el plan eamien o deduc i o se án axiomas o eo emas, les» de la expe iencia misma (a menudo simpli i-
sino po el modo en que se o ganiza el p oceso de cando algunas de las mismas p opiedades de ca-
abs acción, po el modo en que acon ece la clasi ica- ác e espacial). La geome ía, como odas las
16
ENSERANZA
DE
LAS CIENCIAS,
1986,
4
(l),
16-22
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
ciencias, sacada de especie (A is ó eles), es deci
de conjun os de igu as (o de ans o maciones),
de concep os colec i os; pe o pa a un ace camien-
o co ec o es necesa io conoce a los indi iduos,
sabe ope a sob e ellos.
1.3. En e ec o, el desa ollo del pensamien o acon e-
ce según algunas « ases», indicadas po
J.
Piage :
en pa icula , en la edad que nos in e esa, los ni-
íios es án en la « ase de las ope aciones conc e-
as)), es como deci que es án en condiciones de
ac ua según esquemas lógicos, pe o siemp e en
si uaciones conc e as.
1.4. No exis e una sola, sino muchas Geome ías, ca-
da una de las cuales se ca ac e iza po el g upo
G de las ans o maciones que dan el c i e io de
equi alencia de las igu as (la igu a A es
«G-
equi alen e)) a la igu a
B
si exis e un elemen o
de
G
que ans o ma A en
B:
F.
Klein).
1.5. El lenguaje se desa olla jun o al pensamien o, pe-
o no es un ins umen o neu o: de su uso depen-
de el modo en que se o man los concep os. En
o as palab as, el lenguaje mismo con iene en sí
los gé menes de algunas eo ías cognosci i as.
2.
CONCEPTOS GEOMETRICOS
Y
GRUPOS
DE TRANSFORMACIONES
La Geome ía pasa de la ase de obse ación y mani-
pulación de las igu as a la ans o mación de los con-
cep os colec i os sob e odo a a és del uso de un 16-
xico adecuado. Tal paso es especialmen e delicado, a
causa de la g an a iedad de las posibles igu as geo-
mé icas: has a la in oducción del mé odo de las coo -
'
denadas, no exis e un modo sis emá ico pa a da les un
«nomb e p opio)). La e balización se desa olla sus-
ancialmen e po dos ías:
a) La desc ipción en palab as de una igu a (piensen
en las indicaciones que hay que da pa a dibuja la).
b) La in oducción de nomb es comunes -en pa e o-
mados del lenguaje co ien e, en pa e «in en ados»
po los ma emá icos- aplicables a odas las igu-
as de clases pa icula men e signi ica i as.
Ob iamen e exis en supe posiciones en e el léxico geo-
mé ico y el co ien e, y ni siquie a son del odo segu-
os los limi es en e és os (po ejemplo, la palab a « a-
pecio)) ¿ o ma pa e del léxico común?. Pe o aquí nos
plan eamos una p egun a más! comp ome ida: ¿el 1é-
xico geomé ico adicional es adecuado al «habla de
hechos geomé icos))?
Reabso bida la « e oluci6n» de las Geome ías no
euclideanas,
F.
Klein ha dado un esquema gene al pa-
a encuad a cada Geome ía como es udio de las p o-
piedades in a iables pa a un de e minado g upo de
ans o maciones: la in es igación ma emá ica y la psi-
cológica han pues o de elie e el in e és conc e o am-
bién de muchas Geome nas, e idenciando la impo an-
cia an o eó ica como en elación con di e sos ipos
de expe iencias. Así, las manipulaciones de obje os só-
lidos (las sensaciones ác iles unidas a la mano, asumi-
da como ins umen o de compa ación, pa a En iques)
conducen a la Geome ía euclidea, la isión y la pe s-
pec i a a
la
Geome ía p oyec i a, el es udio de las som-
b as sola es y la axonome ía a la Geome ía a ín.
Nos hemos p egun ado en qué modo y en qué medida
la « e olución kleiniana)) puede ayuda a en ende có-
mo acon ece la o mulación de los concep os geomé-
ico~. Desde un pun o de is a igu oso, ijado un g u-
po
G
de ans o maciones, sólo ienen sen ido aque-
llos concep os que co esponden a clases (de igu as)
in a iables pa a las ans o maciones de
G.
Sin
emba -
go no c eemos que sea necesa io explici a el g upo
G:
la dis inción en e los di e en es ipos de Geome ía
puede unciona ambién como dis inción in ui i a en-
e di e sos ((c i e ios de equi alencia)) en e igu as.
Una ez que se haya acep ado un c i e io de equi a-
lencia (en o as palab as: una ez ime sos en un cie o
ipo de expe iencias), el modo de eag upa en clases
las igu as puede es a in luenciado po al c i e io (Spe-
anza 1981).
También los nomb es comunes aplicables a clases de
igu as son po an o álidos, en líneas gene ales, sólo
en elación con una cie a Geome ía. El léxico geo-
mé ico adicional se ha desa ollado en cambio en el
ámbi o de la geome ía de Euclides: has a hace 150 años
se pensaba en
la
Geome ía,
y
po an o es ob io que
haya in luido p o undamen e en la nomecla u a. Más
p ecisamen e, es a úl ima es á modelada en la Geome-
ía de las simili udes: si a una igu a es aplicable un
nomb e común adicional, ese es aplicable a cada i-
gu a pa ecida a aquella.
Pa a las Geome ías en cuyo g upo es á con enido el
de las semejanzas (po ejemplo, pa a la opología, pa-
a la Geome ía a ín, en g an medida ambién pa a la'
Geome ía p oyec i a) no exis en, en líneas gene ales,
g andes p oblemas de nomencla u a: pod íamos limi-
a nos a « il a » el léxico adicional, conse ando los
nomb es de las clases que son in a iables pa a el g u-
po espec i o. El léxico adicional en cambio es ina-
decuado pa a las Geome ías cuyo g upo no con iene
el g upo semejan e: piensen en el g upo de las asla-
ciones y en el de las homo ecias y de las aslaciones.
En es os casos hay que ecu i a gi os de palab as,
a
eces nada simples.
¿Es posible supe a el sal o en e si uaciones conc e-
as (y ipos de geome ías) po una pa e, y léxico geo-
mé ico po o a? ¿Cuáles son las di icul ades con.que
se encuen an los alumnos? ~Cuá-s son los ipos de
Geome ía (cuáles son los c i e ios de equi alencia) que
se p esen an como más na u ales?
ENSEFIANZA
DE
LAS CIENCIAS
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
3.
ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE LA
PRACTICA DIDACTICA
En la p ác ica escola se obse an ecuen emen e al-
gunos e o es de ipo concep ual. Po ejemplo:
Conside a (( igu as geomé icas)) sólo aquellas a las
que se puede da un nomb e común «o icial»; con un-
di concep os colec i os y concep os indi iduales: en
p incipio, és e es á ya p esen e en la cos umb e de ha-
bla de «el cuad ado)) o «el cí culo)), como si no exis-
ie an las igu as indi iduales sino solamen e un a que-
ipo (pod íamos habla de ((pla onismo ingenuo))).
Desg aciadamen e se usa oda ía la palab a ((equi a-
len es)) po ((equisupe iciales)) (malgas ando así un é -
mino gene al po un.signi icado pa icula ); sin emba -
go es á desapa eciendo el uso de «iguales» po
((cong uen es)).
A los e o es concep uales'se acompa ian algunas cos-
umb es que hab ía que e i a como: o za los iem-
pos dc la concep ualización y abaja demasiado p on-
o concep os abs ac os, sin e e encia a casos conc e-
os: es o puede se consecuencia de un uso demasiado
p ecoz de la nomencla u a de ini i a; insis i demasia-
do en la nomencla u a adicional (a causa de los lími-
es a los que hemos aludido en el pá a o p eceden e).
4.
FINES DE LA INVESTIGACION
En es a in es igación nos hemos p opues o es udia la
o mación de concep os geomé icos (incluso de los que
es án o es a án desp o is os de una compensación le-
xical p ecisa) y la in luencia de algunos ac o es: en pa -
icula qué ca ac e ís icas geomé icas son elegidas p e-
e en emen e pa a e ec ua los p ocedimien os de abs-
acción y cuál es el papel del léxico geomé ico. Ade-
más hemos in en ado e i ica las capacidades de e -
balización. Hemos p epa ado un cues iona io, que ha
sido dis ibuido en algunas clases de alumnos de 9-10
años.
Téngase p esen e que, po su misma na u aleza, un
cues iona io no mal puede apela solamen e a algunas
expe iencias espaciales, casi siemp e las unidas al di-
bujo y a la obse ación de igu as dibujadas; en pa i-
cula , se a a de expe iencias en el ámbi o
«mic a»
(B ousseau 1984).
Dos cues iones (4 y
7)
se p oponen p oba la habilidad
de desc ibi con palab as una igu a. Las o as p egun-
as co esponden a p oblemas de cons ucción de con-
cep os. En muchos casos se pide asocia a una o más
igu as dadas una igu a, a elegi en un conjun o de-
e minado, pa a comp ende el c i e io de equi alen-
cia, el ipo de ca ac e is icas que p e alecen en la elec-
ción. La 1 y la 2 piden elegi la igu a que «se pa ece
más» a una igu a dada (se elige p e e en emen e una
igu a di ec amen e isomé ica, o una homo é ica, o
una simé ica a la dada. En o os casos la analogía se
ealiza en la pe enencia a un conjun o (cues iones
3
y
5:
Les impo an e la p esencia de un ángulo ec o en
un iángulo? ¿Es conside ada más signi ica i a la p e-
sencia de ángulos ec os o de segmen os pa alelos?),
En las cues iones 10 y 11 la elección de la analogía es
con olada in en ando un nomb e común a ibuido
a
algunas igu as, y p egun ando a qué igu as se da ía
el mismo nomb e. Na u almen e no es á p ecisada la
de inición: el signi icado debe se in uido po ex en-
sión, y con las p egun as a amos de en ende sus an-
cialmen e qué signi icado a ibuye el en e is ado al
nomb e, qué ca ac e ís ica e iene como más impo an-
e. Las p egun as 6 y 8 piden que se de un nomb e
a
de e minadas igu as, po an o encuad a las en un
concep o conocido (la o ien ación de la igu a, en la
p egun a 6, ¿in luye sob e la espues a? ¿Qué ni el de
gene alidad es elegido pa a esponde a la 8, en la que
las igu as son muchas?). Po úl imo, la cues ión 9 pi-
de la composición de una igu a a pa i de igu as da-
das: se sob epasa así el ((esquema del dibujo)), ya que
las igu as componen es pueden se asociadas a cual-
quie isome ía.
Algunas obse aciones. Dadas dos igu as
X
e
Y,
en
igo no se de e mina un g upo de ans o maciones
en el que sean equi alen es: pe o po egla hay un g u-
po «más signi ica i o)) al que es azonable e e i se.
Po ejemplo, pa a las igu as
A
de la cues ión 1, es el
g upo de las homo ecias y de las aslaciones; pa a Ias
igu as A y
3
de la p egun a 2, eS el g upo de las iso-
me ías di ec as.
El
((c i e io de semejanza)) iene que
se ob iamen e una elación de equi alencia en el con-
jun o de las igu as: sin emba go no siemp e és a es
exp esable como la equi alencia po e ec o de un g u-
po de ans o maciones (piensen en el caso que en un
conjun o de polígonos se oma como c i e io el núme-
o de lados).
5.
CUESTIONARIO
1) ¿Cuál de es as igu as se asemeja más a la igu a
A?
¿Po qué?
2) ¿Cuál (o cuáles) de es as igu as se pa ece más a
la igu a A? ¿Po qué?
,+4
6
Figu a
2
k5
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
3)
¿Pond ías la igu a 1 en
A
o en B?
8)
¿Cómo llama ías a es as igu as? (U iliza la mis-
ma mane a de exp esa lo pa a odas).
Figu a
3
I17
Figu a
8
DL
4)
Desc ibe la igu a siguien e de mane a que, siguien-
do us in ucciones, un compa ie o pueda dibuja la sin
e la.
9)
Reco a dos ozos de papel como és os.
Figu a
9
Figu a
4
Jún alos de odas las o mas que puedas
y
dibuja aquí
abajo las igu as que encuen as. ¿Sabes nomb a las
5) ¿Pond ías la igu a
2
en
A
o en
B?
¿Po qué? igu as que has encon ado?
Figu a
5
6)
¿Cómo llama ías a es a igu a?
7)
Desc ibe la siguien e igu a de mane a que, siguien-
do us ins ucciones, un compa ie o pueda dibuja la sin
e la.
Figu a
7
10) Si llamas «zippi» a las igu as
A
y
B,
a cuáles de
las siguien es llamas ambién «zippi».
Figu a
10
11) Si llamas «pe lenghe» a las igu as
A
y
B, ja cuá-
les de las nume adas llamas ambién «pe lenghe»? ¿Po
qué?
Figu a
11
ENSERANZA DE LAS CENCIAS
-
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
6.
ANALISIS DE
LAS
RESPUESTAS
No espe ábamos que la casi o alidad de los niilos de-
cidiese coloca la igu a
l
en
B:
al ez la ac i idad de-
Del cues iona io hemos sacado algunas indicaciones y sa ollada en clase les ha acos umb ado a econoce un
algunas hipó esis de abajo pa a sucesi as in es iga- ángulo ec o incluso cuando no es á dibujado con los
ciones a ondo. da os pa alelos a los bo des del olio. También hay
quien no e ningún mo i o pa a coloca la igu a en
Han sido examinados 388 cues iona ios (más algunos
uno
de
los
dos
conjun os ( al a
de
econocimien o
de,
incomple os). Se ialamos algunos da os signi ica i os
un
ángulo
ec o).
que hemos ob enido.
Cues ión
1
Cues ión
4
y
7
igu a 1 29% igu as 1 y 2 Los esul ados deno an no ables di icul ades pa a des-
igu a 2 58% a ias
5070
c ibi las igu as asignadas.
6%
igu a
3
2% Pa a la del 7 exis e sin emba go la posibilidad de «apo-
ya se)) en la nomencla u a clásica y son bas an e e-
El c i e io de ((semejanza)) que ha lle ado a la elección cuen es desc ipciones de es e ipo: ((Dibuja un cuad a-
de la igu a 2 es la cong uencia; los que han op ado do, en el cen o dibuja un cuad ado más pequeiio (al-
po la igu a 1 han c eído p edominan e el c i e io o e- gunos p ecisan que la dis ancia en e los lados pa ale-
cid0 po el g upo de las homo ecias y de las aslacio- los es de 0,8 cms.) y apoya en el lado de echo (algunos
nes (ja menudo el único modo en que un cuad ado es dicen «al Es e))) del cuad ado g ande un iángulo
ep esen ado en los lib os de ex o o po los p o eso- isósceles».
es es el de la igu a l!). Sin emba go pa a la cues ión
4
los ocablos de la geo-
Pocos niños, u ilizando la cuadncula, a i man que la me na no son adecuados, algunos ecu en a exp esio-
igu a
3
se pa ece a A po que es la única que iene la nes del ipo «es una eme al e és y ce ada)). Es muy
misma ex ensión. di ícil encon a una desc ipción que e ec i amen e pue-
da conduci al azado de la igu a (a pesa de que es
En base a las mo i aciones apo adas podemos obse -
más
simple
que
la
de
la
cues ión 7).
a que la palab a ((cuad ado)), que es aplicable an o
a la
A
como a las igu as
1
y 2, lle a a la elección de
Cues ión
ambas.
Cues ión
2
conjun o
A
7% ni A ni
B
9%
conjun o
B
80% a ios
4
Vo
igu a
1
32% igu as 1 y
3
13%
igu a 2 8
qo
odas las igu as
4%
Nos espe ábamos una al e na i a en e el pa alelismo
igu a
3
2
Vo
a ias 8% de lados opues os y la p esencia de un ángulo ec o,
como ca ac e ís ica pa a inse a la igu a 2 en
B
o en
Se a a de descub i las ((semejanzas)) como en el ca-
A;
,in emba go la mayo pa e de los ni ios, pa a jus-
so p eceden e, pe o aquí se p opone la compa ación i ica la selección del conjun o
B,
ha indicado el c i-
de igu as de las que la geome ia adicional no se ocu- e io del núme o de los lados. Sólo algunos econocen
pa; es o equie e del ni io una búsqueda más a en a
Y
en 10s elemen os de
B
pa alelog amos. En esacamos
menos ligada a condicionamien os e bales. Muchas algunas espues as signi ica i as: «En odas las igu-
elecciones ecaen sob e la igu a 1 que es cong uen e as que es án en
B
y en la igu a
2
el á ea se calcula
no di ec amen e a la A, sino, sime na apa e, es á oien- del mismo modo>>, «El cuad ado asemeja más a la i-
ada como la A espec o al olio (que iendo indica un gu a de
B
po que de o mándolo puede con e i se en
g upo, podemos ci a el olTnado Po las aslaciones un omboide», «En
B
hay una igu a igual a la 2, pe o
y las sime ías con deslizamien o, x'
=
x
+
p; pues a de lado)).
Y'
=
y
+
4).
Sólo lige amen e p e e ida es la
3
que Los esul ados nos han suge ido una e isión de la p e-
es di ec amen e isomé ica a A. gun a y subdi idi la en a ias cues iones.
In e esan e es la endencia (sob e odo pa a los alum-
nas de la escuela elemen al) a da un nomb e a la igu- Cues ión
6
a
A
(bo a, pie, e c) pa a busca luego una igu a a la
que a ibuye el mismo nomb e. cuad ado 38% cuad ado o cido 2%
ombo 50% a ios 2
"70
Cues ión
3
cuad ilá e o o pa alelog amo
9%
conjun o
A
9% conjun o A
9
B
3%
El al o po cen aje de los que esponden (( ombo)) in-
conjun o
B
83% ninguno de los dos conjun os
3
%
dica que es ue e la in luencia del g upo de las asla-
a ios 2% ciones como c i e io de compa ación de las igu as.
20
ENSE~ANZA
DE LAS CIENCIAS

INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
La espues a a la cues ión a ía no ablemen e de clase
en clase: ob iamen e la espues a a unida al abajo
desa ollado. Pa icula men e, hemos no ado que en
las Escuelas Básicas en las que se han a ado las ans-
o maciones geomé icas la espues a ha sido casi siem-
p e «cuad ado».
Nos espe ábamos una co elación ne a en e las es-
pues as a las p egun as 1 y
6:
p ecisamen e la igu a
1 con «cuad ado»
y
la igu a 2 con « ombo». Es a es-
á pe o no es no able; es más, en las espues as ocu e
que el mismo es udian e llama «cuad ado» a la igu a
2
de la cues ión 1 y esponde « ombo» a la cues ión
6.
econoce como c i e io de clasi icación de iángulos
la p esencia de un ángulo ec o, en cualquie a de las
mane as en que el iángulo es é o ien ado ( éase pa a
los iángulos la cues ión n.3) mien as que pa a o os
polígonos al c i e io es mucho menos impo an e (c .
la p egun a n. 10).
Señalamos algunas jus i icaciones:
«la 2 po que poniéndolas de pie o umbadas dan las
mismas igu as)).
«la A es un iángulo ec ángulo y la
2
la equi ale, y
la
A
que es iángulo es lo mismo que la
B».
«la
1
y la 2 si se in ie en».
Cues ión
8
7.
CONSIDERACIONES FINALES
cuad ilá e os 35% un nomb e pa a cada igu a 29%
polígono 3
Vo
pa alelog amos 10%
o os 15
Vo
igu as geomé icas
,
8
'70
Las igu as p esen adas no son equi alen es espec o
a un g upo de ans o maciones (sal o el opológico),
pe o se pide elegi unas ca ac e ís icas geomé icas co-
munes. Los po cen ajes deno an mucha con usión al
da p i ilegio a ales ca ac e ís icas: pensábamos que
una podía se « ene un pa de lados pa alelos)), pe o
muy pocos la han elegido. Tal ez ni siquie a ha exis i-
do la p eocupación de busca las p opiedades geomé-
icas de los «zippi», sal o la más e iden e conce nien e
al núme o de lados (17%).
El 50% llama «zippi» a dos igu as de las que una (ge-
ne almen e la 2) a asociada con A, la o a (la l o la
3)
con B: e iden emen e los alumnos se han encon a-
do con di icul ades po la p esencia de
dos
igu as con
las que las demás deben se compa adas (hecho que po
o a pa e es signi ica i o pa a la indi idualización de
p opiedades comunes). Nos pa ece que es o e ela di-
icul ades de concep ualización análogas a las e i i-
das en las espues as de la p egun a 8.
Cues ión
11
igu a
2 18%
igu a
1
5%
igu as
1-2-34
7%
igu as
1-2 18%
igu as
1.4
3%
o as espues as
6%
igu as
24
26%
igu as
1-24
7%
no hace el
eje cicio
10%
Han sido dadas odas las espues as posibles, pe o de
mane a menos homogénea espec o a la cues ión p e-
ceden e. Muchas opciones an a las igu as 2 y 4 o bien
a la
1
y
a la 2, pe o mien as los iángulos 2 y 4 son
ec ángulos, con una a en a obse ación esul a que
1
no lo es.
Habíamos asignado un nomb e ic icio a
A
y
a B pa a
deja la posibilidad de elaciona solamen e con los
iángulos de lados pa alelos a la cuad ícula. Po el nú-
me o ela i amen e al o de es udian es que, además de
la igu a 2, indica ambién
1
y
4, nos pa ece pode lle-
ga a la conclusión que los niAos han sido lle ados a
Las espues as al cues iona io e elan cómo la p esen-
cia de un «nomb e común o icial)), que se puede a i-
bui a una igu a geomé ica, in luye a menudo en el
c i e io con el que los nii os ag upan o asocian igu-
as. Sin emba go se no an di icul ades al desc ibi las
igu as cuando no se pueden a ala po nomb es co-
nocidos. O as espues as indican que ecuen emen e
(pa a las igu as dibujadas) el c i e io elegido es el da-
do po el g upo de las aslaciones (o po el de'las ho-
mo ecias y de las aslaciones).
Es e esul ado nos induce a algunas e lexiones sob e
la p ác ica didác ica. Mien as es ob ia la impo ancia
p ác ica que ienen las igu as dibujadas (las ilus a-
ciones de los lib os, los dibujos en la piza a, los mis-
mos dibujos de los niños,...). A menudo se no a que
los lib os, pa a cada ipo de igu a, p esen an
un solo
ejemplo g á ico. Es o es ya po si mismo una imp o-
piedad de ipo lógico: un concep o colec i o se o ma
iendo
a ios
ejemplos de indi iduos que a ello se e-
ie en: en e o as cosas cada indi iduo se e ie e a a-
ios concep os.
Esa
igu a acaba po oma se como
mo-
delo s anda d
del concep o (Gallo, 1985).
Pe o aho a podemos obse a una ul e io consecuen-
cia nega i a de la mencionada p ác ica. Los dibujos e-
p esen an igu as en una posición especial (no malmen-
e, un iángulo ec ángulo con los ca e os pa alelos a
los lados del olio, un ombo con las diagonales pa a-
lelas a los lados del olio,.
.
.).
Nadie dice que'la nomencla u a se ex iende a o as i-
gu as (conc e amen e a odas las igu as semejan es).
Los niños, como hemos is o, sin emba go son lle a-
dos a aplica al modelo s anda d una aslación o una
homo ecia. Así se explica cómo el 50
Yo
de los en e-
is ados ha espondido « ombo» a la cues ión
6.
Se ex-
plica ambién cómo algunosni los sien en la necesidad
de en iquece el léxico con exp esiones como ((cuad a-
do o cido)) y «poniendo la igu a en pie» ( éase am-
bién Gallo, 1985).
Sin emba go no pa ece cla o cómo se di e encian los
es mé odos usados pa a p oba la o mación de con-
ENSEÑANZA DE
LAS
CIENCIAS
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
cep os -el de la semejanza, el de pe enece
a
un
con- los concep os. Ob iamen e, quedan po examina las
jun o, el de un nomb e común in en ado-. Queda di e en es si uaciones de ipo (( igu as dibujadas)).
Po
ambién acla a mejo el elie e que se da
a
las di e- odos es os mo i os, nos p oponemos p o undiza en
en es ca ac e ís icas geomé icas en la o mación de nues a in es igación.
No a
(1)
«..
.
es de desea i amen e que las adquisiciones expe i-
men ales p omue an un desa ollo adecuado de la ep o
sen aci6n in ui i a, po la que los nue os hechos se unan
a la g an masa de los conocimien os ins in i os más an-
iguos, median e concep os ex endidos mayo men e...))
(En iques 1906, p. 373).
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