Sobre la formación de los conceptos geométricos y sobre el léxico geométrico

INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS SOBRE LA FORMACION DE LOS CONCEPTOS GEOMETRICOS Y SOBRE EL LEXICO GEOMETRICO(l) MEDICI, D., SPERANZA, F., VIGHI, P. Del ((Cen o di Spe imen azione e Documen azione ,dei mezzi dida ici della Ma ema ica)) (Cen o de Expe imen ación y Documen ación de los medios diddc icos de la Ma emd ica) de la Uni e sidad de Pa ma (I alia) Ve sión cas ellana de M" Jesús Sal ado Jiménez (1) In es igación ealizada en el ámbi o de las ac i idades inanciadas po el ((Minis e io della Pubblica Is uzio- ne» ( ondos 40% Comi é Ciencias Ma emá icas, P oyec o ((Enseñanza y ap endizaje de la Ma emá ica))). T abajo p esen ado en el P ime Cong eso In e nacional sob e in es igación en la didác ica de las Ciencias y de las Ma emá icas. SUMMARY Geome ic lexicon is ela ed o an equi alence c i e ion be ween igu es -no mally gi en by a ans o ma ion g oup (K1ein)-. The e can be a con lic be ween o dina y language, adi ional geome ic lexicon and he equi a- len e c i e ion ha a gi en speci ic si ua ion may sugges . In his pape we analyze he esul s o a se o ques ions aiming a disco e ing he equi alence c i e ia chosen by pupils be ween 9 and 11, and he in luence o hei lexi- con. We ha e no ed a conside able in luence o he c i e ia based on he g oup o ansla ions, and on he g oup o homo e ies and ansla ions. We ha e also obse ed he in luence o ((s anda d models)) (Le., igu es appea- ing no mally in hei books), and some di icul ies o concep ualiza ion. 1. PREMISAS Es e abajo o ma pa e de una se ie de in es igacio- ción de los «indi iduos»). Las espues as pod án se nes sob e el es udio de la Geome ía. ii iles pa a la p epa ación de es a egias didác icas, e incluso pa a comp ende los o ígenes de las eo ías Pensamos que la in es igación didác ica se debe de- ma emá icas. sa olla jun o a la in es gación epis emológica: és a da a aquella las bases eó icas, y ice e sa, la p ime a Pensamos que ((cada obse ación y cada expe iencia puede p opo ciona impo an es indicaciones y mo i- iene alo cien í ico sólo en cuan o se apoye en un a- aciones a la segunda. Cuando hablamos de epis emo- zonamien o)) (En iques 1906), que la (( eo ía domina logia, en endemos, más que la in es igación de jus i i- el abajo expe imen al, desde su plani icación inicial caciones lógicas de las eo ías ma emá icas (de ipo a los oques inales)) (Poppe 1959). P ecisamos pues, ((p oblema de los undamen os»), la in es igación del desde aho a, los p incipios ma emá icos y epis emoló- o igen psicológico de los concep os y de las eo ías gicos que es án en la base de nues as in es igaciones. (En iques 1901); y nos ambién a eo ías ni- :1 En su ace camien o, la Geome ía o ma dimen a ias, que no alcanzan -o no han alcanzado oda ía- una ase lógicamen e sa is ac o ia (1). Po pa e de la Física (En iques), y po an o debe se consiguien e es esencial analiza cómo las pe sonas a ada con mé odo expe imen al. -pa icula men e aquellas en edad e olu i a- a on- 1.2. Los indi iduos de la Geome ía son igu as (y an algunos p oblemas impo an es de ((sis ema i- ans o maciones) geomé icas: en endemos con zación)) de concep os (en es a in es igación no nos in e es o imágenes men ales, sacadas de la expe ien- esa nos po la cons ucción de a i maciones, las qhe en cia, que asumen en sí las ((ca ac e ís icas espacia- el plan eamien o deduc i o se án axiomas o eo emas, les» de la expe iencia misma (a menudo simpli i- sino po el modo en que se o ganiza el p oceso de cando algunas de las mismas p opiedades de ca- abs acción, po el modo en que acon ece la clasi ica- ác e espacial). La geome ía, como odas las 16 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1986, 4 (l), 16-22 INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS ciencias, sacada de especie (A is ó eles), es deci de conjun os de igu as (o de ans o maciones), de concep os colec i os; pe o pa a un ace camien- o co ec o es necesa io conoce a los indi iduos, sabe ope a sob e ellos. 1.3. En e ec o, el desa ollo del pensamien o acon e- ce según algunas « ases», indicadas po J. Piage : en pa icula , en la edad que nos in e esa, los ni- íios es án en la « ase de las ope aciones conc e- as)), es como deci que es án en condiciones de ac ua según esquemas lógicos, pe o siemp e en si uaciones conc e as. 1.4. No exis e una sola, sino muchas Geome ías, ca- da una de las cuales se ca ac e iza po el g upo G de las ans o maciones que dan el c i e io de equi alencia de las igu as (la igu a A es «G- equi alen e)) a la igu a B si exis e un elemen o de G que ans o ma A en B: F. Klein). 1.5. El lenguaje se desa olla jun o al pensamien o, pe- o no es un ins umen o neu o: de su uso depen- de el modo en que se o man los concep os. En o as palab as, el lenguaje mismo con iene en sí los gé menes de algunas eo ías cognosci i as. 2. CONCEPTOS GEOMETRICOS Y GRUPOS DE TRANSFORMACIONES La Geome ía pasa de la ase de obse ación y mani- pulación de las igu as a la ans o mación de los con- cep os colec i os sob e odo a a és del uso de un 16- xico adecuado. Tal paso es especialmen e delicado, a causa de la g an a iedad de las posibles igu as geo- mé icas: has a la in oducción del mé odo de las coo - ' denadas, no exis e un modo sis emá ico pa a da les un «nomb e p opio)). La e balización se desa olla sus- ancialmen e po dos ías: a) La desc ipción en palab as de una igu a (piensen en las indicaciones que hay que da pa a dibuja la). b) La in oducción de nomb es comunes -en pa e o- mados del lenguaje co ien e, en pa e «in en ados» po los ma emá icos- aplicables a odas las igu- as de clases pa icula men e signi ica i as. Ob iamen e exis en supe posiciones en e el léxico geo- mé ico y el co ien e, y ni siquie a son del odo segu- os los limi es en e és os (po ejemplo, la palab a « a- pecio)) ¿ o ma pa e del léxico común?. Pe o aquí nos plan eamos una p egun a más! comp ome ida: ¿el 1é- xico geomé ico adicional es adecuado al «habla de hechos geomé icos))? Reabso bida la « e oluci6n» de las Geome ías no euclideanas, F. Klein ha dado un esquema gene al pa- a encuad a cada Geome ía como es udio de las p o- piedades in a iables pa a un de e minado g upo de ans o maciones: la in es igación ma emá ica y la psi- cológica han pues o de elie e el in e és conc e o am- bién de muchas Geome nas, e idenciando la impo an- cia an o eó ica como en elación con di e sos ipos de expe iencias. Así, las manipulaciones de obje os só- lidos (las sensaciones ác iles unidas a la mano, asumi- da como ins umen o de compa ación, pa a En iques) conducen a la Geome ía euclidea, la isión y la pe s- pec i a a la Geome ía p oyec i a, el es udio de las som- b as sola es y la axonome ía a la Geome ía a ín. Nos hemos p egun ado en qué modo y en qué medida la « e olución kleiniana)) puede ayuda a en ende có- mo acon ece la o mulación de los concep os geomé- ico~. Desde un pun o de is a igu oso, ijado un g u- po G de ans o maciones, sólo ienen sen ido aque- llos concep os que co esponden a clases (de igu as) in a iables pa a las ans o maciones de G. Sin emba - go no c eemos que sea necesa io explici a el g upo G: la dis inción en e los di e en es ipos de Geome ía puede unciona ambién como dis inción in ui i a en- e di e sos ((c i e ios de equi alencia)) en e igu as. Una ez que se haya acep ado un c i e io de equi a- lencia (en o as palab as: una ez ime sos en un cie o ipo de expe iencias), el modo de eag upa en clases las igu as puede es a in luenciado po al c i e io (Spe- anza 1981). También los nomb es comunes aplicables a clases de igu as son po an o álidos, en líneas gene ales, sólo en elación con una cie a Geome ía. El léxico geo- mé ico adicional se ha desa ollado en cambio en el ámbi o de la geome ía de Euclides: has a hace 150 años se pensaba en la Geome ía, y po an o es ob io que haya in luido p o undamen e en la nomecla u a. Más p ecisamen e, es a úl ima es á modelada en la Geome- ía de las simili udes: si a una igu a es aplicable un nomb e común adicional, ese es aplicable a cada i- gu a pa ecida a aquella. Pa a las Geome ías en cuyo g upo es á con enido el de las semejanzas (po ejemplo, pa a la opología, pa- a la Geome ía a ín, en g an medida ambién pa a la' Geome ía p oyec i a) no exis en, en líneas gene ales, g andes p oblemas de nomencla u a: pod íamos limi- a nos a « il a » el léxico adicional, conse ando los nomb es de las clases que son in a iables pa a el g u- po espec i o. El léxico adicional en cambio es ina- decuado pa a las Geome ías cuyo g upo no con iene el g upo semejan e: piensen en el g upo de las asla- ciones y en el de las homo ecias y de las aslaciones. En es os casos hay que ecu i a gi os de palab as, a eces nada simples. ¿Es posible supe a el sal o en e si uaciones conc e- as (y ipos de geome ías) po una pa e, y léxico geo- mé ico po o a? ¿Cuáles son las di icul ades con.que se encuen an los alumnos? ~Cuá-s son los ipos de Geome ía (cuáles son los c i e ios de equi alencia) que se p esen an como más na u ales? ENSEFIANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 3. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE LA PRACTICA DIDACTICA En la p ác ica escola se obse an ecuen emen e al- gunos e o es de ipo concep ual. Po ejemplo: Conside a (( igu as geomé icas)) sólo aquellas a las que se puede da un nomb e común «o icial»; con un- di concep os colec i os y concep os indi iduales: en p incipio, és e es á ya p esen e en la cos umb e de ha- bla de «el cuad ado)) o «el cí culo)), como si no exis- ie an las igu as indi iduales sino solamen e un a que- ipo (pod íamos habla de ((pla onismo ingenuo))). Desg aciadamen e se usa oda ía la palab a ((equi a- len es)) po ((equisupe iciales)) (malgas ando así un é - mino gene al po un.signi icado pa icula ); sin emba - go es á desapa eciendo el uso de «iguales» po ((cong uen es)). A los e o es concep uales'se acompa ian algunas cos- umb es que hab ía que e i a como: o za los iem- pos dc la concep ualización y abaja demasiado p on- o concep os abs ac os, sin e e encia a casos conc e- os: es o puede se consecuencia de un uso demasiado p ecoz de la nomencla u a de ini i a; insis i demasia- do en la nomencla u a adicional (a causa de los lími- es a los que hemos aludido en el pá a o p eceden e). 4. FINES DE LA INVESTIGACION En es a in es igación nos hemos p opues o es udia la o mación de concep os geomé icos (incluso de los que es án o es a án desp o is os de una compensación le- xical p ecisa) y la in luencia de algunos ac o es: en pa - icula qué ca ac e ís icas geomé icas son elegidas p e- e en emen e pa a e ec ua los p ocedimien os de abs- acción y cuál es el papel del léxico geomé ico. Ade- más hemos in en ado e i ica las capacidades de e - balización. Hemos p epa ado un cues iona io, que ha sido dis ibuido en algunas clases de alumnos de 9-10 años. Téngase p esen e que, po su misma na u aleza, un cues iona io no mal puede apela solamen e a algunas expe iencias espaciales, casi siemp e las unidas al di- bujo y a la obse ación de igu as dibujadas; en pa i- cula , se a a de expe iencias en el ámbi o «mic a» (B ousseau 1984). Dos cues iones (4 y 7) se p oponen p oba la habilidad de desc ibi con palab as una igu a. Las o as p egun- as co esponden a p oblemas de cons ucción de con- cep os. En muchos casos se pide asocia a una o más igu as dadas una igu a, a elegi en un conjun o de- e minado, pa a comp ende el c i e io de equi alen- cia, el ipo de ca ac e is icas que p e alecen en la elec- ción. La 1 y la 2 piden elegi la igu a que «se pa ece más» a una igu a dada (se elige p e e en emen e una igu a di ec amen e isomé ica, o una homo é ica, o una simé ica a la dada. En o os casos la analogía se ealiza en la pe enencia a un conjun o (cues iones 3 y 5: Les impo an e la p esencia de un ángulo ec o en un iángulo? ¿Es conside ada más signi ica i a la p e- sencia de ángulos ec os o de segmen os pa alelos?), En las cues iones 10 y 11 la elección de la analogía es con olada in en ando un nomb e común a ibuido a algunas igu as, y p egun ando a qué igu as se da ía el mismo nomb e. Na u almen e no es á p ecisada la de inición: el signi icado debe se in uido po ex en- sión, y con las p egun as a amos de en ende sus an- cialmen e qué signi icado a ibuye el en e is ado al nomb e, qué ca ac e ís ica e iene como más impo an- e. Las p egun as 6 y 8 piden que se de un nomb e a de e minadas igu as, po an o encuad a las en un concep o conocido (la o ien ación de la igu a, en la p egun a 6, ¿in luye sob e la espues a? ¿Qué ni el de gene alidad es elegido pa a esponde a la 8, en la que las igu as son muchas?). Po úl imo, la cues ión 9 pi- de la composición de una igu a a pa i de igu as da- das: se sob epasa así el ((esquema del dibujo)), ya que las igu as componen es pueden se asociadas a cual- quie isome ía. Algunas obse aciones. Dadas dos igu as X e Y, en igo no se de e mina un g upo de ans o maciones en el que sean equi alen es: pe o po egla hay un g u- po «más signi ica i o)) al que es azonable e e i se. Po ejemplo, pa a las igu as A de la cues ión 1, es el g upo de las homo ecias y de las aslaciones; pa a Ias igu as A y 3 de la p egun a 2, eS el g upo de las iso- me ías di ec as. El ((c i e io de semejanza)) iene que se ob iamen e una elación de equi alencia en el con- jun o de las igu as: sin emba go no siemp e és a es exp esable como la equi alencia po e ec o de un g u- po de ans o maciones (piensen en el caso que en un conjun o de polígonos se oma como c i e io el núme- o de lados). 5. CUESTIONARIO 1) ¿Cuál de es as igu as se asemeja más a la igu a A? ¿Po qué? 2) ¿Cuál (o cuáles) de es as igu as se pa ece más a la igu a A? ¿Po qué? ,+4 6 Figu a 2 k5 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 3) ¿Pond ías la igu a 1 en A o en B? 8) ¿Cómo llama ías a es as igu as? (U iliza la mis- ma mane a de exp esa lo pa a odas). Figu a 3 I17 Figu a 8 DL 4) Desc ibe la igu a siguien e de mane a que, siguien- do us in ucciones, un compa ie o pueda dibuja la sin e la. 9) Reco a dos ozos de papel como és os. Figu a 9 Figu a 4 Jún alos de odas las o mas que puedas y dibuja aquí abajo las igu as que encuen as. ¿Sabes nomb a las 5) ¿Pond ías la igu a 2 en A o en B? ¿Po qué? igu as que has encon ado? Figu a 5 6) ¿Cómo llama ías a es a igu a? 7) Desc ibe la siguien e igu a de mane a que, siguien- do us ins ucciones, un compa ie o pueda dibuja la sin e la. Figu a 7 10) Si llamas «zippi» a las igu as A y B, a cuáles de las siguien es llamas ambién «zippi». Figu a 10 11) Si llamas «pe lenghe» a las igu as A y B, ja cuá- les de las nume adas llamas ambién «pe lenghe»? ¿Po qué? Figu a 11 ENSERANZA DE LAS CENCIAS - INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 6. ANALISIS DE LAS RESPUESTAS No espe ábamos que la casi o alidad de los niilos de- cidiese coloca la igu a l en B: al ez la ac i idad de- Del cues iona io hemos sacado algunas indicaciones y sa ollada en clase les ha acos umb ado a econoce un algunas hipó esis de abajo pa a sucesi as in es iga- ángulo ec o incluso cuando no es á dibujado con los ciones a ondo. da os pa alelos a los bo des del olio. También hay quien no e ningún mo i o pa a coloca la igu a en Han sido examinados 388 cues iona ios (más algunos uno de los dos conjun os ( al a de econocimien o de, incomple os). Se ialamos algunos da os signi ica i os un ángulo ec o). que hemos ob enido. Cues ión 1 Cues ión 4 y 7 igu a 1 29% igu as 1 y 2 Los esul ados deno an no ables di icul ades pa a des- igu a 2 58% a ias 5070 c ibi las igu as asignadas. 6% igu a 3 2% Pa a la del 7 exis e sin emba go la posibilidad de «apo- ya se)) en la nomencla u a clásica y son bas an e e- El c i e io de ((semejanza)) que ha lle ado a la elección cuen es desc ipciones de es e ipo: ((Dibuja un cuad a- de la igu a 2 es la cong uencia; los que han op ado do, en el cen o dibuja un cuad ado más pequeiio (al- po la igu a 1 han c eído p edominan e el c i e io o e- gunos p ecisan que la dis ancia en e los lados pa ale- cid0 po el g upo de las homo ecias y de las aslacio- los es de 0,8 cms.) y apoya en el lado de echo (algunos nes (ja menudo el único modo en que un cuad ado es dicen «al Es e))) del cuad ado g ande un iángulo ep esen ado en los lib os de ex o o po los p o eso- isósceles». es es el de la igu a l!). Sin emba go pa a la cues ión 4 los ocablos de la geo- Pocos niños, u ilizando la cuadncula, a i man que la me na no son adecuados, algunos ecu en a exp esio- igu a 3 se pa ece a A po que es la única que iene la nes del ipo «es una eme al e és y ce ada)). Es muy misma ex ensión. di ícil encon a una desc ipción que e ec i amen e pue- da conduci al azado de la igu a (a pesa de que es En base a las mo i aciones apo adas podemos obse - más simple que la de la cues ión 7). a que la palab a ((cuad ado)), que es aplicable an o a la A como a las igu as 1 y 2, lle a a la elección de Cues ión ambas. Cues ión 2 conjun o A 7% ni A ni B 9% conjun o B 80% a ios 4 Vo igu a 1 32% igu as 1 y 3 13% igu a 2 8 qo odas las igu as 4% Nos espe ábamos una al e na i a en e el pa alelismo igu a 3 2 Vo a ias 8% de lados opues os y la p esencia de un ángulo ec o, como ca ac e ís ica pa a inse a la igu a 2 en B o en Se a a de descub i las ((semejanzas)) como en el ca- A; ,in emba go la mayo pa e de los ni ios, pa a jus- so p eceden e, pe o aquí se p opone la compa ación i ica la selección del conjun o B, ha indicado el c i- de igu as de las que la geome ia adicional no se ocu- e io del núme o de los lados. Sólo algunos econocen pa; es o equie e del ni io una búsqueda más a en a Y en 10s elemen os de B pa alelog amos. En esacamos menos ligada a condicionamien os e bales. Muchas algunas espues as signi ica i as: «En odas las igu- elecciones ecaen sob e la igu a 1 que es cong uen e as que es án en B y en la igu a 2 el á ea se calcula no di ec amen e a la A, sino, sime na apa e, es á oien- del mismo modo>>, «El cuad ado asemeja más a la i- ada como la A espec o al olio (que iendo indica un gu a de B po que de o mándolo puede con e i se en g upo, podemos ci a el olTnado Po las aslaciones un omboide», «En B hay una igu a igual a la 2, pe o y las sime ías con deslizamien o, x' = x + p; pues a de lado)). Y' = y + 4). Sólo lige amen e p e e ida es la 3 que Los esul ados nos han suge ido una e isión de la p e- es di ec amen e isomé ica a A. gun a y subdi idi la en a ias cues iones. In e esan e es la endencia (sob e odo pa a los alum- nas de la escuela elemen al) a da un nomb e a la igu- Cues ión 6 a A (bo a, pie, e c) pa a busca luego una igu a a la que a ibuye el mismo nomb e. cuad ado 38% cuad ado o cido 2% ombo 50% a ios 2 "70 Cues ión 3 cuad ilá e o o pa alelog amo 9% conjun o A 9% conjun o A 9 B 3% El al o po cen aje de los que esponden (( ombo)) in- conjun o B 83% ninguno de los dos conjun os 3 % dica que es ue e la in luencia del g upo de las asla- a ios 2% ciones como c i e io de compa ación de las igu as. 20 ENSE~ANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS La espues a a la cues ión a ía no ablemen e de clase en clase: ob iamen e la espues a a unida al abajo desa ollado. Pa icula men e, hemos no ado que en las Escuelas Básicas en las que se han a ado las ans- o maciones geomé icas la espues a ha sido casi siem- p e «cuad ado». Nos espe ábamos una co elación ne a en e las es- pues as a las p egun as 1 y 6: p ecisamen e la igu a 1 con «cuad ado» y la igu a 2 con « ombo». Es a es- á pe o no es no able; es más, en las espues as ocu e que el mismo es udian e llama «cuad ado» a la igu a 2 de la cues ión 1 y esponde « ombo» a la cues ión 6. econoce como c i e io de clasi icación de iángulos la p esencia de un ángulo ec o, en cualquie a de las mane as en que el iángulo es é o ien ado ( éase pa a los iángulos la cues ión n.3) mien as que pa a o os polígonos al c i e io es mucho menos impo an e (c . la p egun a n. 10). Señalamos algunas jus i icaciones: «la 2 po que poniéndolas de pie o umbadas dan las mismas igu as)). «la A es un iángulo ec ángulo y la 2 la equi ale, y la A que es iángulo es lo mismo que la B». «la 1 y la 2 si se in ie en». Cues ión 8 7. CONSIDERACIONES FINALES cuad ilá e os 35% un nomb e pa a cada igu a 29% polígono 3 Vo pa alelog amos 10% o os 15 Vo igu as geomé icas , 8 '70 Las igu as p esen adas no son equi alen es espec o a un g upo de ans o maciones (sal o el opológico), pe o se pide elegi unas ca ac e ís icas geomé icas co- munes. Los po cen ajes deno an mucha con usión al da p i ilegio a ales ca ac e ís icas: pensábamos que una podía se « ene un pa de lados pa alelos)), pe o muy pocos la han elegido. Tal ez ni siquie a ha exis i- do la p eocupación de busca las p opiedades geomé- icas de los «zippi», sal o la más e iden e conce nien e al núme o de lados (17%). El 50% llama «zippi» a dos igu as de las que una (ge- ne almen e la 2) a asociada con A, la o a (la l o la 3) con B: e iden emen e los alumnos se han encon a- do con di icul ades po la p esencia de dos igu as con las que las demás deben se compa adas (hecho que po o a pa e es signi ica i o pa a la indi idualización de p opiedades comunes). Nos pa ece que es o e ela di- icul ades de concep ualización análogas a las e i i- das en las espues as de la p egun a 8. Cues ión 11 igu a 2 18% igu a 1 5% igu as 1-2-34 7% igu as 1-2 18% igu as 1.4 3% o as espues as 6% igu as 24 26% igu as 1-24 7% no hace el eje cicio 10% Han sido dadas odas las espues as posibles, pe o de mane a menos homogénea espec o a la cues ión p e- ceden e. Muchas opciones an a las igu as 2 y 4 o bien a la 1 y a la 2, pe o mien as los iángulos 2 y 4 son ec ángulos, con una a en a obse ación esul a que 1 no lo es. Habíamos asignado un nomb e ic icio a A y a B pa a deja la posibilidad de elaciona solamen e con los iángulos de lados pa alelos a la cuad ícula. Po el nú- me o ela i amen e al o de es udian es que, además de la igu a 2, indica ambién 1 y 4, nos pa ece pode lle- ga a la conclusión que los niAos han sido lle ados a Las espues as al cues iona io e elan cómo la p esen- cia de un «nomb e común o icial)), que se puede a i- bui a una igu a geomé ica, in luye a menudo en el c i e io con el que los nii os ag upan o asocian igu- as. Sin emba go se no an di icul ades al desc ibi las igu as cuando no se pueden a ala po nomb es co- nocidos. O as espues as indican que ecuen emen e (pa a las igu as dibujadas) el c i e io elegido es el da- do po el g upo de las aslaciones (o po el de'las ho- mo ecias y de las aslaciones). Es e esul ado nos induce a algunas e lexiones sob e la p ác ica didác ica. Mien as es ob ia la impo ancia p ác ica que ienen las igu as dibujadas (las ilus a- ciones de los lib os, los dibujos en la piza a, los mis- mos dibujos de los niños,...). A menudo se no a que los lib os, pa a cada ipo de igu a, p esen an un solo ejemplo g á ico. Es o es ya po si mismo una imp o- piedad de ipo lógico: un concep o colec i o se o ma iendo a ios ejemplos de indi iduos que a ello se e- ie en: en e o as cosas cada indi iduo se e ie e a a- ios concep os. Esa igu a acaba po oma se como mo- delo s anda d del concep o (Gallo, 1985). Pe o aho a podemos obse a una ul e io consecuen- cia nega i a de la mencionada p ác ica. Los dibujos e- p esen an igu as en una posición especial (no malmen- e, un iángulo ec ángulo con los ca e os pa alelos a los lados del olio, un ombo con las diagonales pa a- lelas a los lados del olio,. . .). Nadie dice que'la nomencla u a se ex iende a o as i- gu as (conc e amen e a odas las igu as semejan es). Los niños, como hemos is o, sin emba go son lle a- dos a aplica al modelo s anda d una aslación o una homo ecia. Así se explica cómo el 50 Yo de los en e- is ados ha espondido « ombo» a la cues ión 6. Se ex- plica ambién cómo algunosni los sien en la necesidad de en iquece el léxico con exp esiones como ((cuad a- do o cido)) y «poniendo la igu a en pie» ( éase am- bién Gallo, 1985). Sin emba go no pa ece cla o cómo se di e encian los es mé odos usados pa a p oba la o mación de con- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS cep os -el de la semejanza, el de pe enece a un con- los concep os. Ob iamen e, quedan po examina las jun o, el de un nomb e común in en ado-. Queda di e en es si uaciones de ipo (( igu as dibujadas)). Po ambién acla a mejo el elie e que se da a las di e- odos es os mo i os, nos p oponemos p o undiza en en es ca ac e ís icas geomé icas en la o mación de nues a in es igación. No a (1) «.. . es de desea i amen e que las adquisiciones expe i- men ales p omue an un desa ollo adecuado de la ep o sen aci6n in ui i a, po la que los nue os hechos se unan a la g an masa de los conocimien os ins in i os más an- iguos, median e concep os ex endidos mayo men e...)) (En iques 1906, p. 373). BROUSSEAU, G., La si ua ion ondamen ale pou la Geo- me ie Elemen ai e en an que modele de l'espace. A i Con . «La ice ca in dida ica della Ma ema ica: suoi con- enu i e inali a», T en o 1984. ENRIQUES, F., 1901, Sulla spiegazione psicologica dei pos- ula i della geome ia, Ri is a iloso ica, ol. 4, pp. 171-195. ENRIQUES, F., 1906, P oblemi della scienza, (Zanichelli: Bologna). GALLO, E., 1985, Geome ia, pe cezione, linguaggio, L'edu- 22 cazione ma ema ica, ol. 6, pp. 61-104. KLEIN, F., 1872, Ve gleichende Be ach ungen übe neue e geome ische Fo schungen, Ges. We ke, B. 1, pp.460-497 (Sp inge : Be lin). M. 'PELLEREY, 1984, Geome ia e immagini men ali, L'Educazione ma ema ica, ol. 5, suppl. 1, pp. 112. PIAGET, J., INHELDER, B., 1967, La genese des s uc u- es logiques !l !men ai es (Delachaux e Nies le Pa is- Neucha el). POPPER, K.R., 1959, The Logic o Scien i ic Disco e y (Hu chinson: London). SPERANZA, F., 1981, La geome ia nella scuola elemen a- e, L'educazione ma ema ica, ol. 2, suppl. 2 pp. 1-23. SPERANZA, F., 1984, Le as o mazioni geome nche, co- me e pe chk L 'educazione ma ema ica, ol. 5, suppl. l, ' pp. 113-131. TORRETTI, R., 1978, Philosophy o Geome y om Rie- mann o Poinca ! (D. Reidel: Do d ech ). ENSE~ANZA DE LAS CIENCIAS