Sobre la formación de los conceptos geométricos y sobre el léxico geométrico

INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS SOBRE LA FORMACION DE LOS CONCEPTOS GEOMETRICOS Y SOBRE EL LEXICO GEOMETRICO(l) MEDICI, D., SPERANZA, F., VIGHI, P. Del ((Centro di Sperimentazione e Documentazione ,dei mezzi didattici della Matematica)) (Centro de Experimentación y Documentación de los medios diddcticos de la Matemdtica) de la Universidad de Parma (Italia) Versión castellana de M" Jesús Salvador Jiménez (1) Investigación realizada en el ámbito de las actividades financiadas por el ((Ministerio della Pubblica Istruzione» (fondos 40% Comité Ciencias Matemáticas, Proyecto ((Enseñanza y aprendizaje de la Matemática))). Trabajo presentado en el Primer Congreso Internacional sobre investigación en la didáctica de las Ciencias y de las Matemáticas. SUMMARY Geometric lexicon is related to an equivalence criterion between figures -normally given by a transformation group (K1ein)-. There can be a conflict between ordinary language, traditional geometric lexicon and the equivalente criterion that a given specific situation may suggest. In this paper we analyze the results of a set of questions aiming at discovering the equivalence criteria chosen by pupils between 9 and 11, and the influence of their lexicon. We have noted a considerable influence of the criteria based on the group of translations, and on the group of homoteties and translations. We have also observed the influence of ((standard models)) (Le., figures appearing normally in their books), and some difficulties of conceptualization. 1. PREMISAS Este trabajo forma parte de una serie de investigacioción de los «individuos»). Las respuestas podrán ser nes sobre el estudio de la Geometría. iitiles para la preparación de estrategias didácticas, e incluso para comprender los orígenes de las teorías Pensamos que la investigación didáctica se debe dematemáticas. sarrollar junto a la investgación epistemológica: ésta da a aquella las bases teóricas, y viceversa, la primera Pensamos que ((cada observación y cada experiencia puede proporcionar importantes indicaciones y motitiene valor científico sólo en cuanto se apoye en un ravaciones a la segunda. Cuando hablamos de epistemozonamiento)) (Enriques 1906), que la ((teoría domina logia, entendemos, más que la investigación de justifiel trabajo experimental, desde su planificación inicial caciones lógicas de las teorías matemáticas (de tipo a los toques finales)) (Popper 1959). Precisamos pues, ((problema de los fundamentos»), la investigación del desde ahora, los principios matemáticos y epistemolóorigen psicológico de los conceptos y de las teorías gicos que están en la base de nuestras investigaciones. (Enriques 1901); y nos también a teorías ni- :1 En su acercamiento, la Geometría forma dimentarias, que no alcanzan -o no han alcanzado todavíauna fase lógicamente satisfactoria (1). Por parte de la Física (Enriques), y por tanto debe ser consiguiente es esencial analizar cómo las personas tratada con método experimental. -particularmente aquellas en edad evolutivaafron1.2. Los individuos de la Geometría son figuras (y tan algunos problemas importantes de ((sistematitransformaciones) geométricas: entendemos con zación)) de conceptos (en esta investigación no nos inte esto imágenes mentales, sacadas de la experienresarnos por la construcción de afirmaciones, las qhe en cia, que asumen en sí las ((características espaciael planteamiento deductivo serán axiomas o teoremas, les» de la experiencia misma (a menudo simplifisino por el modo en que se organiza el proceso de cando algunas de las mismas propiedades de caabstracción, por el modo en que acontece la clasificarácter espacial). La geometría, como todas las 16 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1986, 4 (l), 16-22 INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS ciencias, sacada de especie (Aristóteles), es decir de conjuntos de figuras (o de transformaciones), de conceptos colectivos; pero para un acercamiento correcto es necesario conocer a los individuos, saber operar sobre ellos. 1.3. En efecto, el desarrollo del pensamiento acontece según algunas «fases», indicadas por J. Piaget: en particular, en la edad que nos interesa, los niíios están en la «fase de las operaciones concretas)), es como decir que están en condiciones de actuar según esquemas lógicos, pero siempre en situaciones concretas. 1.4. No existe una sola, sino muchas Geometrías, cada una de las cuales se caracteriza por el grupo G de las transformaciones que dan el criterio de equivalencia de las figuras (la figura A es «Gequivalente)) a la figura B si existe un elemento de G que transforma A en B: F. Klein). 1.5. El lenguaje se desarrolla junto al pensamiento, pero no es un instrumento neutro: de su uso depende el modo en que se forman los conceptos. En otras palabras, el lenguaje mismo contiene en sí los gérmenes de algunas teorías cognoscitivas. 2. CONCEPTOS GEOMETRICOS Y GRUPOS DE TRANSFORMACIONES La Geometría pasa de la fase de observación y manipulación de las figuras a la transformación de los conceptos colectivos sobre todo a través del uso de un 16xico adecuado. Tal paso es especialmente delicado, a causa de la gran variedad de las posibles figuras geométricas: hasta la introducción del método de las coor- ' denadas, no existe un modo sistemático para darles un «nombre propio)). La verbalización se desarrolla sustancialmente por dos vías: a) La descripción en palabras de una figura (piensen en las indicaciones que hay que dar para dibujarla). b) La introducción de nombres comunes -en parte tomados del lenguaje corriente, en parte «inventados» por los matemáticosaplicables a todas las figuras de clases particularmente significativas. Obviamente existen superposiciones entre el léxico geométrico y el corriente, y ni siquiera son del todo seguros los limites entre éstos (por ejemplo, la palabra «trapecio)) ¿forma parte del léxico común?. Pero aquí nos planteamos una pregunta más! comprometida: ¿el 1éxico geométrico tradicional es adecuado al «hablar de hechos geométricos))? Reabsorbida la «revoluci6n» de las Geometrías no euclideanas, F. Klein ha dado un esquema general para encuadrar cada Geometría como estudio de las propiedades invariables para un determinado grupo de transformaciones: la investigación matemática y la psicológica han puesto de relieve el interés concreto también de muchas Geometnas, evidenciando la importancia tanto teórica como en relación con diversos tipos de experiencias. Así, las manipulaciones de objetos sólidos (las sensaciones táctiles unidas a la mano, asumida como instrumento de comparación, para Enriques) conducen a la Geometría euclidea, la visión y la perspectiva a la Geometría proyectiva, el estudio de las sombras solares y la axonometría a la Geometría afín. Nos hemos preguntado en qué modo y en qué medida la «revolución kleiniana)) puede ayudar a entender cómo acontece la formulación de los conceptos geométrico~. Desde un punto de vista riguroso, fijado un grupo G de transformaciones, sólo tienen sentido aquellos conceptos que corresponden a clases (de figuras) invariables para las transformaciones de G. Sin embargo no creemos que sea necesario explicitar el grupo G: la distinción entre los diferentes tipos de Geometría puede funcionar también como distinción intuitiva entre diversos ((criterios de equivalencia)) entre figuras. Una vez que se haya aceptado un criterio de equivalencia (en otras palabras: una vez imersos en un cierto tipo de experiencias), el modo de reagrupar en clases las figuras puede estar influenciado por tal criterio (Speranza 1981). También los nombres comunes aplicables a clases de figuras son por tanto válidos, en líneas generales, sólo en relación con una cierta Geometría. El léxico geométrico tradicional se ha desarrollado en cambio en el ámbito de la geometría de Euclides: hasta hace 150 años se pensaba en la Geometría, y por tanto es obvio que haya influido profundamente en la nomeclatura. Más precisamente, esta última está modelada en la Geometría de las similitudes: si a una figura es aplicable un nombre común tradicional, ese es aplicable a cada figura parecida a aquella. Para las Geometrías en cuyo grupo está contenido el de las semejanzas (por ejemplo, para la topología, para la Geometría afín, en gran medida también para la' Geometría proyectiva) no existen, en líneas generales, grandes problemas de nomenclatura: podríamos limitarnos a «filtrar» el léxico tradicional, conservando los nombres de las clases que son invariables para el grupo respectivo. El léxico tradicional en cambio es inadecuado para las Geometrías cuyo grupo no contiene el grupo semejante: piensen en el grupo de las traslaciones y en el de las homotecias y de las traslaciones. En estos casos hay que recurrir a giros de palabras, a veces nada simples. ¿Es posible superar el salto entre situaciones concretas (y tipos de geometrías) por una parte, y léxico geométrico por otra? ¿Cuáles son las dificultades con.que se encuentran los alumnos? ~Cuá-s son los tipos de Geometría (cuáles son los criterios de equivalencia) que se presentan como más naturales? ENSEFIANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 3. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE LA PRACTICA DIDACTICA En la práctica escolar se observan frecuentemente algunos errores de tipo conceptual. Por ejemplo: Considerar ((figuras geométricas)) sólo aquellas a las que se puede dar un nombre común «oficial»; confundir conceptos colectivos y conceptos individuales: en principio, éste está ya presente en la costumbre de hablar de «el cuadrado)) o «el círculo)), como si no existieran las figuras individuales sino solamente un arquetipo (podríamos hablar de ((platonismo ingenuo))). Desgraciadamente se usa todavía la palabra ((equivalentes)) por ((equisuperficiales)) (malgastando así un término general por un.significado particular); sin embargo está desapareciendo el uso de «iguales» por ((congruentes)). A los errores conceptuales'se acompafian algunas costumbres que habría que evitar como: forzar los tiempos dc la conceptualización y trabajar demasiado pronto conceptos abstractos, sin referencia a casos concretos: esto puede ser consecuencia de un uso demasiado precoz de la nomenclatura definitiva; insistir demasiado en la nomenclatura tradicional (a causa de los límites a los que hemos aludido en el párrafo precedente). 4. FINES DE LA INVESTIGACION En esta investigación nos hemos propuesto estudiar la formación de conceptos geométricos (incluso de los que están o estarán desprovistos de una compensación lexical precisa) y la influencia de algunos factores: en particular qué características geométricas son elegidas preferentemente para efectuar los procedimientos de abstracción y cuál es el papel del léxico geométrico. Además hemos intentado verificar las capacidades de verbalización. Hemos preparado un cuestionario, que ha sido distribuido en algunas clases de alumnos de 9-10 años. Téngase presente que, por su misma naturaleza, un cuestionario normal puede apelar solamente a algunas experiencias espaciales, casi siempre las unidas al dibujo y a la observación de figuras dibujadas; en particular, se trata de experiencias en el ámbito «micra» (Brousseau 1984). Dos cuestiones (4 y 7) se proponen probar la habilidad de describir con palabras una figura. Las otras preguntas corresponden a problemas de construcción de conceptos. En muchos casos se pide asociar a una o más figuras dadas una figura, a elegir en un conjunto determinado, para comprender el criterio de equivalencia, el tipo de caracteristicas que prevalecen en la elección. La 1 y la 2 piden elegir la figura que «se parece más» a una figura dada (se elige preferentemente una figura directamente isométrica, o una homotética, o una simétrica a la dada. En otros casos la analogía se realiza en la pertenencia a un conjunto (cuestiones 3 y 5: Les importante la presencia de un ángulo recto en un triángulo? ¿Es considerada más significativa la presencia de ángulos rectos o de segmentos paralelos?), En las cuestiones 10 y 11 la elección de la analogía es controlada inventando un nombre común atribuido a algunas figuras, y preguntando a qué figuras se daría el mismo nombre. Naturalmente no está precisada la definición: el significado debe ser intuido por extensión, y con las preguntas tratamos de entender sustancialmente qué significado atribuye el entrevistado al nombre, qué característica retiene como más importante. Las preguntas 6 y 8 piden que se de un nombre a determinadas figuras, por tanto encuadrarlas en un concepto conocido (la orientación de la figura, en la pregunta 6, ¿influye sobre la respuesta? ¿Qué nivel de generalidad es elegido para responder a la 8, en la que las figuras son muchas?). Por último, la cuestión 9 pide la composición de una figura a partir de figuras dadas: se sobrepasa así el ((esquema del dibujo)), ya que las figuras componentes pueden ser asociadas a cualquier isometría. Algunas observaciones. Dadas dos figuras X e Y, en rigor no se determina un grupo de transformaciones en el que sean equivalentes: pero por regla hay un grupo «más significativo)) al que es razonable referirse. Por ejemplo, para las figuras A de la cuestión 1, es el grupo de las homotecias y de las traslaciones; para Ias figuras A y 3 de la pregunta 2, eS el grupo de las isometrías directas. El ((criterio de semejanza)) tiene que ser obviamente una relación de equivalencia en el conjunto de las figuras: sin embargo no siempre ésta es expresable como la equivalencia por efecto de un grupo de transformaciones (piensen en el caso que en un conjunto de polígonos se toma como criterio el número de lados). 5. CUESTIONARIO 1) ¿Cuál de estas figuras se asemeja más a la figura A? ¿Por qué? 2) ¿Cuál (o cuáles) de estas figuras se parece más a la figura A? ¿Por qué? ,+4 6 Figura 2 k5 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 3) ¿Pondrías la figura 1 en A o en B? 8) ¿Cómo llamarías a estas figuras? (Utiliza la misma manera de expresarlo para todas). Figura 3 rI17 Figura 8 DL 4) Describe la figura siguiente de manera que, siguiendo tus intrucciones, un compafiero pueda dibujarla sin verla. 9) Recorta dos trozos de papel como éstos. Figura 9 Figura 4 Júntalos de todas las formas que puedas y dibuja aquí abajo las figuras que encuentras. ¿Sabes nombrar las 5) ¿Pondrías la figura 2 en A o en B? ¿Por qué? figuras que has encontrado? Figura 5 6) ¿Cómo llamarías a esta figura? 7) Describe la siguiente figura de manera que, siguiendo tus instrucciones, un compafiero pueda dibujarla sin verla. Figura 7 10) Si llamas «zippi» a las figuras A y B, a cuáles de las siguientes llamas también «zippi». Figura 10 11) Si llamas «petlenghe» a las figuras A y B, ja cuáles de las numeradas llamas también «petlenghe»? ¿Por qué? Figura 11 ENSERANZA DE LAS CENCIAS - INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 6. ANALISIS DE LAS RESPUESTAS No esperábamos que la casi totalidad de los niilos decidiese colocar la figura l en B: tal vez la actividad deDel cuestionario hemos sacado algunas indicaciones y sarrollada en clase les ha acostumbrado a reconocer un algunas hipótesis de trabajo para sucesivas investigaángulo recto incluso cuando no está dibujado con los ciones a fondo. datos paralelos a los bordes del folio. También hay quien no ve ningún motivo para colocar la figura en Han sido examinados 388 cuestionarios (más algunos uno de los dos conjuntos (falta de reconocimiento de, incompletos). Sefialamos algunos datos significativos un ángulo recto). que hemos obtenido. Cuestión 1 Cuestión 4 y 7 figura 1 29% figuras 1 y 2 Los resultados denotan notables dificultades para desfigura 2 58% varias 5070 cribir las figuras asignadas. 6% figura 3 2% Para la del 7 existe sin embargo la posibilidad de «apoyarse)) en la nomenclatura clásica y son bastante freEl criterio de ((semejanza)) que ha llevado a la elección cuentes descripciones de este tipo: ((Dibuja un cuadrade la figura 2 es la congruencia; los que han optado do, en el centro dibuja un cuadrado más pequeiio (alpor la figura 1 han creído predominante el criterio ofregunos precisan que la distancia entre los lados paralecid0 por el grupo de las homotecias y de las traslaciolos es de 0,8 cms.) y apoya en el lado derecho (algunos nes (ja menudo el único modo en que un cuadrado es dicen «al Este))) del cuadrado grande un triángulo representado en los libros de texto o por los profesoisósceles». res es el de la figura l!). Sin embargo para la cuestión 4 los vocablos de la geoPocos niños, utilizando la cuadncula, afirman que la metna no son adecuados, algunos recurren a expresiofigura 3 se parece a A porque es la única que tiene la nes del tipo «es una eme al revés y cerrada)). Es muy misma extensión. difícil encontrar una descripción que efectivamente pueda conducir al trazado de la figura (a pesar de que es En base a las motivaciones aportadas podemos obsermás simple que la de la cuestión 7). var que la palabra ((cuadrado)), que es aplicable tanto a la A como a las figuras 1 y 2, lleva a la elección de Cuestión ambas. Cuestión 2 conjunto A 7% ni A ni B 9% conjunto B 80% varios 4 Vo figura 1 32% figuras 1 y 3 13% figura 2 8 qo todas las figuras 4% Nos esperábamos una alternativa entre el paralelismo figura 3 2 Vo varias 8% de lados opuestos y la presencia de un ángulo recto, como característica para insertar la figura 2 en B o en Se trata de descubrir las ((semejanzas)) como en el caA; ,in embargo la mayor parte de los nifios, para jusso precedente, pero aquí se propone la comparación tificar la selección del conjunto B, ha indicado el cride figuras de las que la geometria tradicional no se ocuterio del número de los lados. Sólo algunos reconocen pa; esto requiere del nifio una búsqueda más atenta Y en 10s elementos de B paralelogramos. Entresacamos menos ligada a condicionamientos verbales. Muchas algunas respuestas significativas: «En todas las figuelecciones recaen sobre la figura 1 que es congruente ras que están en B y en la figura 2 el área se calcula no directamente a la A, sino, simetna aparte, está oiendel mismo modo>>, «El cuadrado asemeja más a la fitada como la A respecto al folio (queriendo indicar un gura de B porque deformándolo puede convertirse en grupo, podemos citar el folTnado Por las traslaciones un romboide», «En B hay una figura igual a la 2, pero y las simetrías con deslizamiento, x' = f x + p; puesta de lado)). Y' = y + 4). Sólo ligeramente preferida es la 3 que Los resultados nos han sugerido una revisión de la prees directamente isométrica a A. gunta y subdividirla en varias cuestiones. Interesante es la tendencia (sobre todo para los alumnas de la escuela elemental) a dar un nombre a la figuCuestión 6 ra A (bota, pie, etc) para buscar luego una figura a la que atribuye el mismo nombre. cuadrado 38% cuadrado torcido 2% rombo 50% varios 2 "70 Cuestión 3 cuadrilátero o paralelogramo 9% conjunto A 9% conjunto A 9 B 3% El alto porcentaje de los que responden ((rombo)) inconjunto B 83% ninguno de los dos conjuntos 3 % dica que es fuerte la influencia del grupo de las traslavarios 2% ciones como criterio de comparación de las figuras. 20 ENSE~ANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS La respuesta a la cuestión varía notablemente de clase en clase: obviamente la respuesta va unida al trabajo desarrollado. Particularmente, hemos notado que en las Escuelas Básicas en las que se han tratado las transformaciones geométricas la respuesta ha sido casi siempre «cuadrado». Nos esperábamos una correlación neta entre las respuestas a las preguntas 1 y 6: precisamente la figura 1 con «cuadrado» y la figura 2 con «rombo». Esta está pero no es notable; es más, en las respuestas ocurre que el mismo estudiante llama «cuadrado» a la figura 2 de la cuestión 1 y responde «rombo» a la cuestión 6. reconocer como criterio de clasificación de triángulos la presencia de un ángulo recto, en cualquiera de las maneras en que el triángulo esté orientado (véase para los triángulos la cuestión n.3) mientras que para otros polígonos tal criterio es mucho menos importante (cfr. la pregunta n. 10). Señalamos algunas justificaciones: «la 2 porque poniéndolas de pie o tumbadas dan las mismas figuras)). «la A es un triángulo rectángulo y la 2 la equivale, y la A que es triángulo es lo mismo que la B». «la 1 y la 2 si se invierten». Cuestión 8 7. CONSIDERACIONES FINALES cuadriláteros 35% un nombre para cada figura 29% polígono 3 Vo paralelogramos 10% otros 15 Vo figuras geométricas , 8 '70 Las figuras presentadas no son equivalentes respecto a un grupo de transformaciones (salvo el topológico), pero se pide elegir unas características geométricas comunes. Los porcentajes denotan mucha confusión al dar privilegio a tales características: pensábamos que una podía ser «tener un par de lados paralelos)), pero muy pocos la han elegido. Tal vez ni siquiera ha existido la preocupación de buscar las propiedades geométricas de los «zippi», salvo la más evidente concerniente al número de lados (17%). El 50% llama «zippi» a dos figuras de las que una (generalmente la 2) va asociada con A, la otra (la l o la 3) con B: evidentemente los alumnos se han encontrado con dificultades por la presencia de dos figuras con las que las demás deben ser comparadas (hecho que por otra parte es significativo para la individualización de propiedades comunes). Nos parece que esto revela dificultades de conceptualización análogas a las verifidas en las respuestas de la pregunta 8. Cuestión 11 figura 2 18% figura 1 5% figuras 1-2-34 7% figuras 1-2 18% figuras 1.4 3% otras respuestas 6% figuras 24 26% figuras 1-24 7% no hace el ejercicio 10% Han sido dadas todas las respuestas posibles, pero de manera menos homogénea respecto a la cuestión precedente. Muchas opciones van a las figuras 2 y 4 o bien a la 1 y a la 2, pero mientras los triángulos 2 y 4 son rectángulos, con una atenta observación resulta que 1 no lo es. Habíamos asignado un nombre ficticio a A y a B para dejar la posibilidad de relacionar solamente con los triángulos de lados paralelos a la cuadrícula. Por el número relativamente alto de estudiantes que, además de la figura 2, indica también 1 y 4, nos parece poder llegar a la conclusión que los niAos han sido llevados a Las respuestas al cuestionario revelan cómo la presencia de un «nombre común oficial)), que se puede atribuir a una figura geométrica, influye a menudo en el criterio con el que los niiros agrupan o asocian figuras. Sin embargo se notan dificultades al describir las figuras cuando no se pueden avalar por nombres conocidos. Otras respuestas indican que frecuentemente (para las figuras dibujadas) el criterio elegido es el dado por el grupo de las traslaciones (o por el de'las homotecias y de las traslaciones). Este resultado nos induce a algunas reflexiones sobre la práctica didáctica. Mientras es obvia la importancia práctica que tienen las figuras dibujadas (las ilustraciones de los libros, los dibujos en la pizarra, los mismos dibujos de los niños,...). A menudo se nota que los libros, para cada tipo de figura, presentan un solo ejemplo gráfico. Esto es ya por si mismo una impropiedad de tipo lógico: un concepto colectivo se forma viendo varios ejemplos de individuos que a ello se refieren: entre otras cosas cada individuo se refiere a varios conceptos. Esa figura acaba por tomarse como modelo standard del concepto (Gallo, 1985). Pero ahora podemos observar una ulterior consecuencia negativa de la mencionada práctica. Los dibujos representan figuras en una posición especial (normalmente, un triángulo rectángulo con los catetos paralelos a los lados del folio, un rombo con las diagonales paralelas a los lados del folio,. . .). Nadie dice que'la nomenclatura se extiende a otras figuras (concretamente a todas las figuras semejantes). Los niños, como hemos visto, sin embargo son llevados a aplicar al modelo standard una traslación o una homotecia. Así se explica cómo el 50 Yo de los entrevistados ha respondido «rombo» a la cuestión 6. Se explica también cómo algunosniflos sienten la necesidad de enriquecer el léxico con expresiones como ((cuadrado torcido)) y «poniendo la figura en pie» (véase también Gallo, 1985). Sin embargo no parece claro cómo se diferencian los tres métodos usados para probar la formación de conENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS ceptos -el de la semejanza, el de pertenecer a un conlos conceptos. Obviamente, quedan por examinar las junto, el de un nombre común inventado-. Queda diferentes situaciones de tipo ((figuras dibujadas)). Por también aclarar mejor el relieve que se da a las difetodos estos motivos, nos proponemos profundizar en rentes características geométricas en la formación de nuestra investigación. Nota (1) «.. . es de desear vivamente que las adquisiciones experimentales promuevan un desarrollo adecuado de la repro sentaci6n intuitiva, por la que los nuevos hechos se unan a la gran masa de los conocimientos instintivos más antiguos, mediante conceptos extendidos mayormente...)) (Enriques 1906, p. 373). BROUSSEAU, G., La situation fondamentale pour la Geometrie Elementaire en tant que modele de l'espace. Atti Conv. «La ricerca in didattica della Matematica: suoi contenuti e finalita», Trento 1984. ENRIQUES, F., 1901, Sulla spiegazione psicologica dei postulati della geometria, Rivista filosofica, vol. 4, pp. 171-195. ENRIQUES, F., 1906, Problemi della scienza, (Zanichelli: Bologna). GALLO, E., 1985, Geometria, percezione, linguaggio, L'edu22 cazione matematica, vol. 6, pp. 61-104. KLEIN, F., 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Ges. Werke, B. 1, pp.460-497 (Springer: Berlin). M. 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