Ga cía de Galdeano
(1
846-
1924)
y
la mode nización de la Geome ía en
España
MARIANO HORMIGON*
1.
ZNTRODUCCION
El p esen e abajo p e ende apo a algunos da os sob e el p oceso
de in oducción en la comunidad ma emá ica española de ideas mo-
de nas en el e eno de la Geome ía an es de Rey Pas o
(1).
La
pode osa pe sonalidad de és e ha condicionado eno memen e las
pos e io es alo aciones sob e el p oceso de mode nización de la
ma emá ica española en los años inales del siglb
XIX
y p ime os del
XX,
ma ginando de hecho la impo ancia de la ob a del que ue a su
p o eso en la Uni e sidad de Za agoza, Zoel Ga cía de Galdeano y
Yanguas
(2).
1.1.
La Geome ná o icial
Las p ime as pau as de desa ollo de la Geome ía - oda ía en el
ma co del Pa adigma Lag angiano
(3)-
ue on dadas, po caminos
di e en es, po Monge
y
Poncele . Sus concepciones, inculadas a
(1) Julio Rey Pas o (Log oño, 1888-Buenos Ai es, 1962) a a se es udiado en p o undidad
con mo i o de la celeb ación del 1 Simposio sob e Julio Rey Pas o que ha de celeb a se
en Log o io en e el 28 de oc ub e
y
el 1 de no iemb e de 1983.
Has a
an o se publiquen
las Ac as de es e Simposio la más comple a ap oximación a su ida y ob a se encuen a en
el lib o RIOS; SANTALO; BALANZAT (1 979),
Jul o Rey Pas o , ma emá zco.
Mad id,
328 pp.
(2) Una b e e in oducción biog á ica a Ga cía de Galdeano puede encon a se en
La
G an
Enciclopedia A agonesa
(1980-82), ol. 6, pp. 1495-6, Za agoza, Unali. Pa a una ap oxi-
mación más de allada a su ob a cien í ica éase HORMIGON, M. (1982),
P oblemas de
his o ia de las Ma emá icas en España (1 870-1 920). Zoel Ga cía de Galdeano,
Mad id, Uni e -
sidad Au ónoma de Mad id, 545 pp.
(3) Se denomina Pa adigma Lag angiano el modelo ma emá ico cons uido sob e la sín esis
que Lag ange ealizó en sus ob as de los años inales del siglo XVIII; elabo ación
sus en ada en los abajos de Eule
y
d'Alambe di ec amen e y de oda la co ien e que
pa iendo de Leibniz eco e las Ma emá icas del XVIII.
*
Depa amen o de Ecuaciones Funcionales, Facul ad de Ciencias. Uni e sidad de Za agoza.
Espaiia.
DYNAMIS
Ac a Hispanica ad Medicinae Scien ia umque His o iam I¿lus andam.
Vol. 3, 1983, pp. 199-229.
ISSN: 021 1-9536
200
MARIANO
HOMGON
plan eamien os écnicos, se es uc u an sob e ep esen aciones geomé-.
icas de elaciones consolidadas en el plano
y
espacio isicos. Es as
'
geome ías, aun eniendo en cuen a sus pode osos desa ollos en el
siglo XIX, no supusie on up u a eó ica alguna con los modelos
ma emá icos an e io es. Hay que en ende los abajos de los ma emá-
icos anceses de la Re olución y del pe íodo inmedia amen e pos e io
como un p oceso acumula i o de ipo cuan i a i o que, además, enía
hundidas sus aices en desa ollos geomé icos ma ginales del siglo
XVII plenamen e inme sos en el modelo geomé ico eucliciano.
Es a Geome na gene ó una cie a eacción an ica esiana que omó
cue po a lo la go del siglo XIX. Fue un p oceso dialéc ico de eacción
na u al
an e los esquemas o undamen e es ablecidos en el siglo p ece-
den e. La Geome ía ca esiana, como odas las g andes ías de abajo
su gidas en el XVII, ue ago ando con el paso del iempo el ilOn de
enigmas abie os po la sín esis de Desca es.
Y
en ese p oceso de
eacción su gió la ob a de
K.
G.
C.
on S aud
y
su
Geome má
de
la
Posición.
K.
G.
C.
on S aud (1 798- 1867) publicó en 1847
Geome m'e
de
Lage
en
la
que se cons uye una Geome ía P oyec i a sin e e encias a magni-
udes mé icas ni a i mé icas. La idea, que ca gaba la
cu@a
de odas las
zozob as geomé icas al álgeb a, no ue seguida con mucho en usiasmo
en la Eu opa ma emá icamen e desa ollada, aunque sí in luenció de
mane a signi ica i a la exposición sin é ica pos e io .a la Geome ía
P oyeni a
(4).
En es a escuela
sin é ica,
la hos ilidad
al
álgeb a llegó a
alcanza co as ales que, como señala Bou baki
(S),
el empleo de
coo denadas llegó a se conside ado como una deshon a. Mas S aud ,
no con en o con eso, llegó incluso a p escindi en los undamen os de la
Geome ía de los núme os eales.
A
pesa del e o albo ozado de sus
pa ida ios, es e ipo de geome ía sin é ica ue abandonado po que sus
posibilidades de aplicación uc í e a esul a on muy escasas
(6).
l
Es e es el p ime aspec o a es udia sob e la Geome ía en España en
el en o no de
1900.
La acomodación ígida a una mane a pa cial
de
Pa a más in o mación sob e es e ema se pueden consul a mis abajes: (1980),
Pa adigma
y
Ma emá icas. VI1 Jo nadas de Ma emá icas Hispano-Lusi anas, San Feliú
de Guíxols, 1980.
Publicacions de la Seccid de Ma hema iques de la Uni ldi a Au hnoma de
Ba celona,
núm. 20, pp. 51-54. HORMIGON, M. (1981), Un modelo eó ico pa a la
in es igación de la mode nidad en His o ia de las Ma emh icas,
I
Szmposiu n sob e, Me odo-
logía de la His ona de las Ciencias,
Mad id,
pp.
19-27;
y
HORMIGON; M. (1982), El
Pa adigma Hilbe iano en EspaIia,
11
Cong eso de la
SEHC,
Jaca (en p ensa).
(4)
Vease COOLIDGE, J.
L.
(1
9631,
A His o
o
Geome ical Me hoh,
Do e .
(5)
1
BOURBAKI,
N.
(1972),
Elemen os de His o ia
de
las Ma emá icas,
Ve sión española de Jesiis
N
He nández, Mad id, Alianza Edi o ial,' p. 182.
(6)
Ibid.,
p.
186.
Ga cia de Galdeano (1846-1 924) ... 201
con empla
y
en ende la Geome ía impidió, de hecho, la exis encia de
una ía más ápida y e icaz
de
aco a dis ancias en e España y Eu opa.
He aquí una de las lecciones más p o echosas que pueden ex ae se de
es a his o ia, po que en es e campo se podía habe caminado más dep isa
en España. En e ec o, el
Dios geome iza
pla ónico e a un axioma muy
sen ido po los ma emá icos españoles ilus ados. De sus esca ceos
mínimamen e c eado es, buena pa e se desa olló sob e elemen os
geomé icos e, incluso, en ado el siglo XIX, la ecep i idad espec o a
las cons ucciones más acabadas en ma e ia de Geome ía ue bas an e
ina. La calidad de la ob a de Chasles e a un p ime pun o de apoyo
sob e el que sus en a la ac ualización de los conocimien os geomé icos
en España.
Y
así lo io Echega ay, cuando publicó en e
1865
y
1867
sus
P oblemas de Geome ná Analí ica
y la
In oducción a la Geome ná P oyec iua
Supe io .
En ese momen o, la dis ancia c onológica con la línea de
abajo de los geóme as anceses no e a muy g ande, el idioma de
exp esión de las in es igaciones o iginales más asequible - ac o nada
desdeñable en el siglo XIX- y su e ien e aplicada la hacían eno -
memen e suges i a.
Y
aunque no signi icasen up u a del Pa adigma
Lag angiano, las in es igaciones en Geome ía P oyec i a en la línea de
Poncele y Chasles e an, cuando menos, mode nas
(7).
Así lo en endie on Ga cía de Galdeano y Edua do To oja cuando
comenzó su ca e a como geóme a Pe o en uno de los acos umb ados
bandazos de las ins i uciones cien í icas españolas, Chasles ue sus i-
uido po on S aud po pa e de To oja.
Y
aquí hay que conside a
como casi siemp e la incidencia que en la His o ia de la Ciencia
española ha enido la peculia o ganización y uncionamien o de la
ins i ución uni e si a ia. La ausencia de au onomía en la Uni e sidad,
su o denancismo eglamen a io, la ijación de los Planes de Es udio po
dec e o y el, ca ác e unciona ial del p o eso ado ue on ac o es que
p opicia on es a si uación. Una buena ges ión a ni el minis e ial e a, en
esa si uación, más e icaz que el más igu oso y enaz azonamien o
es ic amen e cien í ico. La Ma emá ica española se llenó de Geome ía,
lo
cual
no hubie a sido malo, mas se llenó en conc e o de un solo ipo
a
de Geome ía,
lageome ná de la posición,
y es o sí que lo ue.
Y
éase po
qué.
En
19
12,
Jiménez Rueda, como delegado en España de la Comisión
In e na ionale de L'Enseignemen Ma héma ique, publicó las memo-
(7)
Sob e es e ema son muy in e esan es los comen a ios de
BARINAGA,
J.
apa ecidos en la
e is a
Ma emd ica Elemen al.
En
pa icula , puede lee se el que igu a en el omo
IV
(1935),
pp.
1-3.
202
MARIANO
HORMIGON
ias p esen adas al Cong eso de Camb idge sob e
L'Enseignemen des
Ma héma iques en Espagne
(8),
Es e omo de 140 páginas ecogía ocho
abajos sob e di e en es aspec os de la implan ación ins i ucional de las
Ma emá icas en las Facul ades de Ciencias, Escuelas Especiales, No -
males
y
Mili a es. La p ime a de dichas memo ias i ulada
M(onsieu )
To ya e l'é olu ion de la Geome ie en Espagne
(9),
e a ob a de Miguel Vegas
y Puebla-Collado, dis inguido discípulo de To oja y a la sazón ((sa an
con ie e))
-modes o cali ica i o p o usamen e u ilizado en las ci adas
memo ias.
Me ece la pena de ene se en el análisis que uno de los p óce es de la
Geome ía o icial en España hacía de la si uación. Su comienzo no
podía se más e icaz pa a llama la a ención de los colegas ex anje os
en el Cong eso: «JusqYau 1878, l'é ude de la Géome ie Desc ip i e en
Espagne é ai passée pa les meme moules qu'en F ance)) (10). Además de
los ac o es cien í icos que ep esen aba el inicio de la memo ia y que se
an a conside a a con inuación, esal a el hecho de que el ca ed á ico
y
académico Vegas como diplomá ico no enía p ecio, po que incidía, en
un asgo, ya no an p emoni o io, en la dispu a en e ge manó ilos
y
aliadó ilos que iba a ope a decisi amen e sob e la in elec ualidad
española en esa década, aunque él lo hicie a desde el e eno de la
Geome ía. Mas Vegas azona las nega i as
moules
que se impo aban de
F ancia: «Les p ocedés employés dans la ésolu ion des p oblemes e
meme dans les sys emes de ép esen a ion su ou dans l'é ude des
lignes e des supe icies
(sic),
é aien basés su les p opie és mé iques des
igu es, l'Analyse algéb ique emplissai un ole és impo an e dans les
p ocedés de démons a ion,
á
un e1 poin que l'on pou ai considé e la
Géome ie desc ip i e, dans ce e pa ie, comme une p olonga io i ou
une ampli ica ion de la Géome ie analyuque))
(1
1).
Y
Vegas alude aquí
al
ya men ado enemigo mo al de la Geome ía de la Posición: el Algeb a.
El año de up u a co esponde como se puede p esumi
al
de oma de
posesión de To oja como ca ed á ico de Geome ía de Mad id, p o-
ceden e de Valencia, donde, po cie o, e a p o eso de Geome ía
Analí ica y Algeb a Supe io .
Y
con la llegada de To oja a Mad id comienza pa a Vegas la
ans o mación de la Geome ía, has a al pun o que le pe mi e co i-
clui : «On peu a i me qu'en ce qui conce ne a la Géo ne ic,
(8)
JIMENEZ RUEDA,
C.
(1912),
L'Enseignemen des Ma héma ques en Espagne. 2V é no> es
p esen és au Cong is de Cambndge,
Mad id,
140
pp.
(9)
VEGAS, M. (1912), M. To oja e l'é olu ion de la Géome ie en Espagne. En: JIMENEZ
RUEDA (1912), pp. 5-19.
(10)
Ibui.,
p. 5.
(1
1)
Ib d.,
p. 5.
Ga cia de Galdeano
(1846-1924)
...
203
l'Espagne se ou e pa mi les na ions qui ma chen
á
la e e .du
mou emen scien i ique)) (12). Es o lo esc ibió Vegas en una memo ia
di igida a un Cong eso In e nacional de Ma emá icos y en 1912.
Y
lo
decía sin la meno conside ación a las ideas que bullían y p eocupaban
a los ma emá icos en casi odo el mundo. Lo decía sin la meno
e e encia a los abajos sob e geome ías no euclídeas, ni a la e olución
del concep o de espacio
(y
su co ela i o de Geome ía), desp eciando
los desa ollos de la Geome ía algeb aica y sin men a una palab a del
p oblema de los undamen os. Lo decía Vegas cuando Hilbe , al
señala en 1900 las posibles ías de abajo u u o, no mencionó
siquie a es a ama,
al
igual que en el Cong eso de Roma de 1908
ampoco apa ece po ninguna pa e la geome ía de la posición, seña-
lándose, po el con a io, que los umbos geomé icos del siglo
XX
son
la Geome ía Algeb aica, la In ini esimal y el Análisis Si us (1
3).
La
alo ación no podía deja de jus i ica se.
Y
así, después de
explica al Cong eso In e nacional de Ma emá icos el con enido de la
asigna u a, Vegas señala un hi o en la his o ia
de
la Ciencia Española:
«La o me que M. To oja donna au cou s de Géome ie Desc ip i e u
le p emie essai ai dans no e pays pou edui e ce e science
a
un
é i able sys eme scien i ique, pas gigan esque de la égéne a ion de la
science de l'espace a achée deso mais des se es de ZJAnalyse)) (14).
(12)
Ibid.,
p. 6.
(13) Po lo que hace al IV Cong esso In e na ionale dei Ma ema ici, ~omd, 1908, se puede
se iala que Vol e a en su con e encia sob e
Le ma e na ische in I alia nella seconda me á del
secolo XIX,
amplía y p olonga la dada po él mismo en el Cong eso de Pans, ocho aiios
an es, sob e aspec os de ipo gene al. Los elemen os undamen ales de la si uación y
pe spec i as geomé icas ue on es ablecidos po Da boux que dise ó sob e
Les hgines,
les mé hodes e les p oble nes de la Géome ie in Eni ésima1
( olumen 1 de las Ac as, pp. 105- 122);
Ve onese desa olló el ema de la
Geome ia non-a chimedea
( ol.
I.,
pp. 197-208) y Poinca é,
al
habla de
L'A eni des Ma héma iques
( ol. I., pp. 167- 182) ambién conside ó el ema de
la posible e olución de la Geome na Un da o signi ica i o es la concesión de la medalla
Guccia del Ci colo Ma ema ico di Pale mo, po pa e de una Comisión o mada po
Noe he , Poinca é
y
Seg e a F ancesco Se e i po sus abajos publicados en e 1904 y
1907 sob e
supe$cies u o as a iedades algeb aicas.
En la mencionada con e encia de Poinca é, inexplicablemen e poco conocida po la
comunidad ma emá ica -no sólo española-, se plan ea cla amen e la e idencia de que
la es echa elación de la geome na con el álgeb a o el análisis pa ece que no deje campo
lib e de exp esión a la
geome n'a !pu a.
((11 semble -dice Poinca é-
..
que les ai s
géome iques ne soien au e chose que les ai s algéb iques ou analy iques exp imés
dan* au e 1angage.s Sin emba go, ma iza muy bien la
apa iencia,
pa a se iala los umbos
que as la ob a de Riemann (Analysis Si us), Noe he (g upos de punios sob e una cu a
algeb aica), Da boux y Bianchi (geome na in ini esimal) a a oma el lenguaje geomé-
ico.
El agua pasada de la geome na de la posición, po lo an o, ya no mo ía ni iba a mo e
ningún molino ma emá ico en Eu opa
(14)
VEGAS
(1912), p. 8. El sub ayado es mío. M.H.

204
MARIANO
HORMIGON
egas señala a con inuación la uen e de inspi ación de la p oduc-
ción de To oja, quien ((che chan dans la sa an e Allemagne, quelque
chose qui pou ai & e u ile pou le bu qu'il pou si ai , il décou i
l'ou age classique e anscenden al de on S aud in i ulé: Geome ie
de Lage))
(1
5).
T as es a ci a no cabe ya duda de la p o undidad del mé odo
cien í ico de To oja y de su alo didác ico pa a los jó enes i i es i-
gado es españoles de odas las gene aciones, po que lo que Vegas
p e ende asmi i en
1912
se especi ica en los siguien es ex emos:
1
.O)
la in es igación debe se de esis p e ia pa a lo cual hay que busca
alguna cosa que sea ú il;
2.0)
la elección del umbo no se hace po un
camino bibliog á ico de p oblemas, escuelas o au o es, sino geog A ico;
y
3.0)
el in de la in es igación es encon a un lib o clásico. La e dad es
que la p opia con esión de Vegas indica el ni el de pe spicacia de
To oja a la ho a de busca en la ((sa an e Allemagne)), po que pu-
diendo llega a los desa ollos de Moebius o Plücke , o de Gauss, o de
G assman o de Riemann, po señala pun os de u u o geomé ico en el
en o no de
1850,
se quedó con on S aud .
Y
con al inspi ación
comenzó To oja a edac a apun es de clase, que son pa a Vegas
(( é i ables bijoux scien i iques)). Cla o que Vegas podía deci lo po que lo
conocía bien, ya que además de alumno había sido colabo ado suyo, y
po ello mani ies a al V Cong eso In e nacional de Ma emá icos:
((l'ésp i de M. To oja oú b ille sans nul dou e la lumik e é incelan e de
la
science es en ou é de la belle au éole de la e u la plus pu e, ésixl a
de la Foi Ca holique qu'il p o esse))
(16).
Pasa Vegas a ex ende se sob e la magni ud del abajo sob e la
Geome ía de la Posición y sob e su incidencia ins i ucional y es o es lo
e dade amen e g a e y elocuen e: ((Les e o s e les a aux éalisés pa
M. To oja ou e en écho pa mi ses élk es en ob enan la o ma ion
d'une é i able école de Géome ie en Espagne ou
Z'E a a é é obligé de
modi ie le plan d'é udes de la Facul é des Sciences en
1900
e de diuise les cou s de
Géome ie Géne ale en Géome ie Mé ique e en Géome ie de la Posi ion»,(l7).
Es a es, en ap e ada sín esis, la Memo ia que .el ca ed á ico
y
académico Miguel Vegas p esen ó a la audiencia in e nacional. La
Memo ia -habida cuen a que se publicó cuando To oja es aba en el
céni de su pode - apenas u o con es ación en Espaíía. Sólo dos de sus
más des acados ma emá icos, Ga cía de Galdeano y
Rey
Pas o , se
1
(15) VEGAS,
ib.,
p.
9.
(16)-
VEGAS,
ib.,
p.
11.
(1
7)
VEGAS,
ib.,
p.
13.
El
sub ayado
es
mío.
M.
H.
Ga cia
de Galdeano
(1 846-1 924)
...
205
a e ie on a discu i la. La in e ención del p ime o ue súbi a
e
inme-
dia a, la de Rey Pas o u o luga en el Cong eso de Valladolid
de
la
Asociación Espaiiola pa a el P og eso de las Ciencias de 19 15
(1
8).
La espues a de Ga cía de Galdeano ue, además de elegan e, du a y
p ecisa. Decía en 19
13
(1
9):
«Hace muchos años que damos p eponde an e impo ancia a la Geo-
me ía y de és a a un mé odo especialísimo, descubie o po S aud , que
es p ecisamen e la ama de
meno alcance
(el sub ayado es de Ga cía de
Galdeano) pa a los conocimien o gene ales; y la ob a de S aud se edujo
a en iquece la Geome na con un
mé odo
(sub ayado de G. de G.)
pu amen e g á ico y lógico, que p escinde del núme o, e dade amen e
cu ioso e in e esan e.
Y
ambién es algo, aunque no ex ao dina iamen e
in e esan e, que los geóme as a icionados a es e pa icula pun o de is a
empleen su es ue zo en ob ene esul ados especiales alcanzados más
ácilmen e po o os mé odos.
Pe o es o des ía de la co ien e gene al
y
es con a io al espí i u sin é ico
de la Ma emá ica ac ual, donde odas las eonas se compene an y
auxilian mu uamen e. Bas a conoce es e mé odo en sus líneas gene ales,
en los cu sos uni e si a ios, pues al a hace el iempo pa a conoce o as
disciplinas más ecundas, sin pe juicio de que los a icionados a es as
lucub aciones, como a o as, puedan dedica se a ellas du an e su ida
como en e enimien o; pues la ciencia, en odas sus amas, es en e eni-
mien o ag adable; pe o dicha Geome na no pod á nunca en a en el
conso cio de las demás eonas ma emá icas pues, como hemos indicado,
no es más que un mé odo especial y no manan ial de ideas. Puede
cons i ui di ec amen e lo que ya se sabe
y
expone lo con cla idad
in ui i a y con igo ismo pe ec amen e lógico; pe o son conocimien os
in ecundos,
y
sob e odo incapaces de da nue a ida.
P ueba de ello es que los descub imien os de Poncele , Chasles, S eine ,
Clebsch y o os, y aun los de Monge, cuando se di igió a la Geome ía
Analí ica, han eng anado en odo o den de conocimien os de ca ác e
analí ico, combina o io y o gánico, lo que no es dable a un mé odo
especial, po más que sea al amen e ingenioso y ap eciable, pues cie -
amen e que es a Geome ía, como la Geome ía desc ip i a, end ía un
luga impo an ísimo, como medio educa i o, en los cu sos de segunda
ense ianza, según se p ac ica e-as naciones y en los p ime os cu sos
de Facul ad, pues eje ci a la is a, la imaginación y el gus o a los alumnos
de pocos años, como p epa ación pa a ele a se desde lo in ui i o
y
conc e o a lo acional y abs ac o de la Combina o ia y el Análisis.
El que es udien es as asigna u as, como se hace en e noso os, en los
úl imos cu sos de la Facul ad, es noci o
y
con ap oducen e, pues ya los
(18)
REY
PASTOR,
J.
(1915),
con e encia inaugu al de la sección de Ciencias Ma emá icas,
'
Cong eso de Valladolid de la Asociación Espa~lola pa a el P og eso de las Ciencias,
ol.
1, 7-25.
(1 9)
GARCIA DE GALDEANO,
Z.
(1
9
13),
Suma io de mis cu sos de Cálculo In ini esimal con a eglo
al Nue o Mi odo de Enseñanza,
Za agoza,
pp.
14-1
6.
206
MARIANO
HORMIGON
alumnos han debili ado sus acul ades pe cep i as pa a a o ece las
e lexi as
y
no sien en a ición po aquéllas, pues la in luencia a ollado a
del Análisis ba e,como el hu acán las enues b iznas de los conoci-
mien os p ác icos.))
Rey Pas o ampoco quedó a ás en la espues a al abajo de Vegas.
Así en el discu so con que se ab ió el Cong eso de Valladolid de la
Asociación Española pa a el P og eso de las Ciencias, mani es aba
ex ualmen e
(20):
«Has a ha llegado a a i ma , en ocasisn análoga a és a, uno de nues os
más dis inguidos consocios, que "en cuan o
a
Geome ía, es an g ande el
desa ollo adqui ido, que en la ac ualidad igu amos en p ime a línea del
concie o mundial".
Y
es a isión an gene al como equi ocada, según
hemos de demos a , es, sin duda, una de las causas del es ancamien o de
nues a cul u a du an e un cua o de siglo. Na u almen e no niejo a
quien se c ee pe ec o.))
La sang ien a i onía de Rey Pas o y la pode osa a gumen ación
dc
Ga cía de Galdeano son su icien es pa a demos a que los elemen os
más lúcidos de la comunidad ma emá ica española no acep aban las
excelencias g a ui as de la ama pa icula pa ocinada po el g upo
dominan e en ella (2
1).
Hay o o elemen o elocuen e que se puede ae a colación aquí.
Dieudonné (22), en el p ólogo de su
Algeb a
lineal
y
Gen ne ía Elemen al
esc ibe:
«O a ca ac e ís ica del mé odo ma emá ico con empo áneo (sin duda
demasiado conocido pa a que sea necesa io insis i sob e ello) es que
pe mi e eag upa , según sus p o undas a inidades, eo ías
de
aspec o
supe icial.))
Pá a o en el que se epi e la a gumen ación de Ga cía de Galdeaxio.
Pe o no es eso, sólo. T as c i ica la eno me can idad de ciencias en que
se desglosan los ac uales es udios ma emá icos oda ía: ((Geome ía
(20) El discu so de Rey Pas o es á ecogido en la an ología sob e
La
Polinzica de la Ciencia
Española
de E nes o y En ique Ga úa Cama e o (1970), Mad id, Alianza Edi o ial. La ci a
del ex o co esponde a la p. 460 de es e ex o de más ácil localizac-ió i.
(21) No obs an e, sigue siendo ilus a i o que la capacidad pa a
obliga al B ado
no dependa
es ic amen e de azones cien í icas.
(22) DIEUDONNE,
J.
(1964),
Algeb e linéai e e géome ne dldnlen az e,
Pa ia, He mann.
Hay
aducción cas ellana de A. Pa do (1971), Mad id. El p ólogo es á ep oducido-en
PIAGET
e al.
(1978),
La enseñanza de las na emd cas mode nas.
(Selección de ex os de
William Schaa , Ma shall S one, Rol Ne anlinna, René Thom, Jean Diudonné, Hans
F euden hal, Jean G ay, Jean Piage , A.
2.
K ygo ska, A. Ma kusie i ch, Geo ges Glaesc ,
Gus a e Choque ,
R.
Godemen ,
E.
A in, And é Re uz.) Selección y p ólogo de Jesús
He nández, Mad id, Alianza Uni e sidad, pp. 270-284. Las ci as es án e e idas
a
es a
úl ima e sión.
Ga cia de Galdeano
(1846-1924)
...
207
pu a, Geome ía Analí ica, T igonome ía, Geome ía Psoyec i a, Geo-
me ía Con o me, Geome ía no euclídea, Teo ía de los núme os com-
plejos)), señala en una no a a pie de página: «No he incluido la
Geome Za
Desc ip i a,
simple écnica de dibujo que a o unadamen e ha sido po
doquie educida a sus e dade as p opo ciones))
(23).
Hay que señala con anqueza, po an o, que la ob a y la escuela
de Eduaido To oja no ayuda on a la ma emá ica española a a anza
hacia la mode nización
(24)
y que más bien supusie on pli me o un
enazo
y
luego un e oceso, dado que sus secuelas pe i ie on mucho
iempo oda ía en la o mación de los ma emá icos españoles. Sin
emba go, la poca densidad de la cul u a ma emá ica española hizo que
su papel supues amen e eno ado alcanza a una in luencia y c édi o
que ha llegado has a nues os días.
1.2.
Los umbos de la mode nización
Los concep os geomé icos mode nos se ue on impo ando paula-
inamen e en el siglo XIX y en a on en omba en los úl imos años del
siglo y en los p ime os del
XX.
Pe o sólo pudie on se e icaces cuando
ue on de endidas po un homb e de ue e pe sonalidad al e na i a a
To oja y Vegas, a ni el social y a ni el ma emá ico. Ese homb e ue Rey
Pas o .
Echega ay y Ga cía de Galdeano abaja on, en sus p ime os años de
geóme as, sob e la línea p oyec i a ancesa ep esen ada po la ob a
de Chasles. Sus ob as, aunque disc e as, son es imables desde el pun o
de is a de,la impo ación.
Y
si Echega ay se quedó
ahí
no ue ése el caso
de Ga áa de Galdeano, que en la segunda edición de su
Geome ía
Elemen al,
en las dos pa es de la
Geome ía Gene al,
en los omos co es-
pon ien es a las aplicaciones geomé icas
del
cálculo in ini esimal y en
algún o o abajo, in odujo casi odas las ideas undamen ales del
bagaje geomé ico del siglo XIX. Igualmen e, debido a su asis encia
pe sonal a los Cong esos in e nacionales de ma emá icos, pudo oí y
(23) PIAGET
e al.
(1978), p. 275.
(24) Aunque la igu a cien í ica de Edua do To oja
y
Caballé es á oda ía po es udia con la
adecuada ex ensión
y
p o undidad, con obje o de se colocado en el luga que
e dade amen e le co esponde en la his o ia de las ma emá icas en España, se pueden
consul a di e sos apun es biog á icos ealizados po ALVAREZ UDE,
J.
(1919), Don
Edua do To oja,
Re is a Ma emá ica Hispano Ame icana,
1,
1
-
13. VEGAS,
M.
(1
92 l), Don
Edua do To oja,
Re is a de la Academia de Ciencias Exac as, Físicas
y
Na u ales de Mad id,
17,
136- 141. REY PASTOR,
J.
(1943), Don Edua do To oja,
Re is a Ma emá ica Hispano
Ame icana,
3,
333-337.
MARIANO
HORMIGON
po que las ideas que se. echan en al a en las publicaciones de la década
de
1890
apa ecen en las ealizadas en el siglo
XX.
Como el obje i o básico de es e abajo es el de des aca los
elemen os de mode nización in oducidos en las ob as geomé icas de
Ga cía de Galdeano y ese seguimien o pasa necesa iamen e po sus
compendios doc inales, jus o es ad e i que los elemen os de up u a
en cualquie pa cela de las Ma emá icas en una ob a de ipo gene al se
en cuan i a i amen e disminuidos en a o de la línea de a gumen a-
ción cen al elegida. Dicho de o a o ma, un ex o de Geome ía Gene al
en la úl ima década del siglo XIX, debía obliga o iamen e p ima una
o ma de exp esión de la Geome ía sob e las o as.
Y
así, siemp e se
de ec a una eo ía cen al que da sopo e
al
ex o, jun o a la que sc
adosan -y ése es p ecisamen e sín oma de sensibilidad- los ac o es
nue os olun a iamen e des acados, en los que suelen apa ece los
cnigmas más mode nos.
Esa eo ía cen al es, en el caso de la Geome ía Gene al de Ga cía de
Galdeano, la geome ía p oyec i a de la escuela ancesa, ya en iquecida
po los abajos de Moebius, Plücke y sus seguido es alemanes. No
obs an e, .a pesa del apogeo de es a o ma de Geome ía en el úl imo
e cio del siglo XIX, como señala Bou baki
(36),
las nue as ideas podían
adsc ibi se
al
nomb e de Riemann po la p o undidad y iqueza de sus
abajos; y, en el e eno de la sín esis y de la me odología
al
de Klein.
Pues bien, as la amplia y necesa ia in oducción sob e las me o-
dología~ clásicas de Euclides, Poncele , Moebius
Chasles, Ga cía de
Galdeano analiza monog á icamen e 1aAusdehnungsleh e de G assmann a
lo la go de ein e páginas. Las e e encias a es e di ícil ex o, que ya
habían apa ecido en o a ob a suya
(37)
espec o a la eno ación del
ins umen al
y
me odología algeb aica, se amplían aho a
al
campo
es ic o de la Geome ía, pe o con la apo ación de la lec u a hecha
po
Peano en la que los segmen os do ados de di ección
y
sen ido se
con ie en en ec o es
(38).
El paso siguien e lo cons i uyen los cua e nios de Hamil on, que
expone de una o ma exhaus i a, poniendo én asis en la in e elación
(36) BOURBAKI, N. (1972),
op.
c .,
pp. 192
y
SS.
(37) GARCIA DE GALDEANO (1888),
Cn' zca
y
sin es s de Algeb a,
Toledo, 112 págs.
(38) Ga cia de Galdeano se basa p imo dialmen e en la ob a de Peano:
Calcologeome ico secondo
1'Ausdehnungleh e
di
H.
G asmann,
que io la luz en Tu ín en 1893
(y
en es e caso las echas
en e la uen e
y
el ex o de Galdeano son e elado as po si solas de mode nidad);
si
bien
hace ambién e e encia a es Memo ias de
H.
G asmann (hijo) publicadas en los aiios
1886, 1888
y
1893.

Ga cía
de
Galdeano
(1 846-1 924)
...
215
que exis e en e las cons ucciones lógicas de Boole y las me odologías
geomé icas apun adas.
En la pa e segunda de la ob a, dedicada a los sis emas, puede en a
de lleno en las inno aciones. Así, lo que e a una b e e e e encia de es
páginas en la
Geome ná Elemen al
a las elabo aciones de Lobache sky y
Bolyai, aho a se con ie e en un aspec o cen al e inmedia o. Dice
Ga cía de Galdeano:
«Las de iniciones p ime as de la Geome ia han conducido a dis in as
di ecciones que cons i uyen o os an os sis emas de Geome ía
...
Lobache sky y Bolyai, p escindiendo de la exac i ud del pos ulado
euclídeo es ablecie on un sis ema geomé ico, o un encadenamien o
lógico de e dades, del que esul a la exis encia de dos pa alelas y
Riemann conside ó o o sis ema en el que no hay pa alelas.))
Y
sigue:
((Es o ha conducido a conside a di e sos géne os de espacio
...
Es os
cu iosos esul ados a que ha conducido la discusión de los p ime os
p incipios de la Geome ia, han adqui ido g an impo ancia en es os
úl imos años
y
cons i uyen una in e esan e li e a u a ma emá ica en i-
quecida con los es udios de los espacios de más de es dimensiones,
cuyos undamen os es ableció Riemann en su Memo ia Ube die Hypo esen,
welche de Geome ie
zu
G unde liegen))
(39).
Es as ideas me ecen una e lexión. No es so p enden e la e e encia
a la exis encia de las Geome ías no euclídeas ni al nomb e de Riemann
que habían apa ecido en la ya ci ada
C i ica
y
Sín esis de Algeb a
de 1888; lo
que sí esul a no able es su e sión del signi icado de esas cons uccio-
nes.
Y
aquí sí que se ad ie e un cambio en la e olución de las ideas de
Ga cía de Galdeano, po que la exp esión ascenden e (( e dad o no
e dad del Pos ulado)) se con ie e en un p escindi de la exac i ud en el
que se sub aya que es un conjun o lógico de e dades, con lo cual
ela i iza cla amen e la cues ión de la e dad en la Geome ía. Consi-
de a además que es e ipo de esul ados
cu iosos
-o o sín oma de
ela i ismo- le lle a a ompe el concep o absolu o del espacio
kan iano, o o aspec o inequí oco de su hilbe ianismo.' Po úl imo, la
mención a la lección inaugual de Riemann del año 1854, en el aspec o
de los
espacios de más de es dimensiones
es simila a la que hace Bou baki
en el capí ulo dedicado a la his o ia de los espacios opológicos.
T as es a in oducción pasa a desa olla los sis emas geomé icos.
Expone la es uc u a básica de la geome ía euclídea, pa a p ocede a
(39)
GARCIA
DE GALDEANO
(1895),
pp.
7-8.
216
MARIANO
HORMIGON
con inuación al desa ollo de la Geome ía de Lobache sky-Bolyai,
cuyos abajos cali ica de ((impo an es)) y po los que la ((Geome ía
su e una e olución imp~ an isimm. Dedica doce páginas a es ablece
las (cp oposiciones p elimina es))
y
los' esul ados más sob esalien es.
Pe o su plan eamien o es mucho más explíci o. Después de e e i se a
los abajos de Gauss sob e la cu a u a de las supe icies, sub aya el
ca ác e ' up u is a e inno ado de es e ema:
«La céleb e Memo ia de Riemann ya ci ada, la de Helmhol z, "Ube den
U sp ung und die Beden ung de geome ischen Axiome" y la del
p o eso de Roma S . Bel ami, "Saggio di in e p e azione de la Ceome-
ia non-euclidea", con los abajos de Lobache sky y Bolyai, dila ando
conside ablemen e el campo de los es udios geomé icos, plan ea 1
p oblemas nue os y apo an elemen os has a es a época ue a del alcance
de las in es igaciones ma emá icas, ya que el sis ema euclídeo e a
conside ado como absolu amen e cie o e indiscu ible y muy con o me a
la doc ina
kan iana,
como una doc ina desen uel a a p io i,
al
se el
espacio una o ma subje i a de nues o modo de conoce ))
(40).
Vis o desde las pos ime ías del siglo
XX,
el supues o e aso de casi
cincuen a años en Geome ía que pon i icó Rey Pas o en
1
9
15
suena
di ec amen e a salida de
en an e ible.
Po que la iqueza bibliog á ica de
uen es de e e encia pa a la ampliación de emas se es ablece en un
ango simila al que ya había apa ecido en los abajos de álgeb a de la
década an e io . Sólo que, además de las Memo ias o iginales, se
señalan ambién ex os didác icos de uso en las Uni e sidades de
Eu opa y Es ados Unidos.
Pe o así como el seguimien o de las líneas de ac ualidad en c eación
ma emá ica iene la glo ia de pode ac ua en la inco po ación de los
aspec os inno ado es
y
up u is as de un Pa adigma a una comunidad
ma emá ica, ambién iene el iesgo de cae en la ampa de una moda
mode na,
pe o poco uc í e a. Esa es la c uz de la Geome ía Gene al de
Ga cía de Galdeano, quien después de habe p esen ado un en e de
abajo an in e esan e, e mina exponiendo como sis ema geomé ico
más ecien e el co espondien e a la Geome ía del T ihgulo. Jus o es
señala que en es e ex emo Ga áa de Galdeano se equi ocó al elegi la
p esen ación de la
Geome ná del T iángulo
en luga de los desa ollos que
a pa i del
P og ama de E langen
de Klein habían ealizado Lie, Poinca
y
Pasch. Una p ime a ap oximación a es e campo la ealiza ía un a io
más a de.
Coincidiendo con el cambio de la Cá ed a de Geome ía po la de
'
Cálculo In ini esimal, Ga da de Galdeano quiso pone un es imable
Ga cia de Galdeano
(1
846-1 924)
...
217
pun o inal a sus abajos especí icos en Geome ía. Fal aba en su ob a;
aunque no la e e encia, sí el a amien o desa ollado del concep o de
espacio
y
de geome ía n-dimensional, como colo ón y despedida de un
á ea de abajo en la que su es ue zo enía la misma epe cusión que
p edica en el desie o.
Así en 1896 se despide del Algeb a y la Geome ía con un olle o
i ulado
Las mode nas gene alizaciones exp esadas po el Algeb a simbólica, las
geome ías no euclídeas
y
el concep o de hz$e espacio
en el que, sin concesiones,
expone de lleno las elaciones en e álgeb a de n unidades complejas
de Dedekind y Weie s ass y los espacios mul idimensionales. En es e
abajo insis e -y ello le da una inequí oca isión mode na- en el sal o
adelan e de la Geome ía Algeb aica del siglo
XX
sob e la eo ía de
g upos de ans o maciones, donde el concep o de p oyec i idad,
p ecisamen e, de iene más uc í e o.
5.
LA
GEOMETRIA EN LOS TRABAJOS
BE
ANALISIS MATEMA TIC0
A
pa i de 1896 la ob a de Ga cía de Galdeano es esencialmen e
analí ica. Así en el p ime lus o del siglo
XX
apa ece su
T a ado de
Análisis Ma emá ico
(4
l), en el que expone las ideas más impo an es de la
Ma emá ica de su iempo.
Y
aunque, lógicamen e, la espina do sal de la
ob a es á o mada po los cálculos di e encial, in eg al
y
po la eo ía de
unciones analí icas, apa ecen muchos e impo an es concep os mode -
nos en el e eno de la Geome ía que es obligado señala .
En el olumen segundo de la ob a, dedicado al es udio de los
P incipios Gene ales de la Teo ía de Funciones,
el quin o
y
úl imo lib o en los
que es á subdi idido lle a po í ulo
Análisis Si us.
Es e abajo es el
p ime ex o español esc i o sob e opología.
Comienza con la de inición de la supe icie de Riemann, cuyo
es udio ija en la supe icie de dos hojas, pa a pasa más a de a la
de inición de plano múl iple con el es udio comple o de los pun os de
ami icación y de las líneas de paso o puen es (B ücken). In oducido el
ema, y acla ado po medio de algunos ejemplos, inicia o o impo an-
(41)
El
T a ado de Análisis Ma emá ico
es á o mado po cinco olúmenes apa ecidos en los años
1904
y
1905
en Za agoza
y
que
lle an los siguien es í ulos:
Tonio
1
(1904),
Cálculo Di e encial.
Tomo
11
(1904),
P incipios gene ales de la eo ia de las
ilnciones.
Tomo
111
(1904),
Aplicación del cálculo di e encial al es udio de las gu asplanas.
Tomo
IV
(1 905),
Cálculo in eg al.
Tomo
V
(1 905),
Aplicación del cálculo di e encial al es udio de las
igu as e11 el espacio.
218
MARIANO
HORMIGON
ísimo capí ulo de la Ma emá ica del siglo
XX,
bajo el i ulo de P inc$ios
ela i os del o den de conexidn, en el que exp esa que
«un á ea es conexa [zusammenhiingend) cuando se puede pasa de un
pun o cualquie a del á ea a o o pun o según un camino con i iuo sin
encon a el con o no del á ea))
(42).
El desa ollo de es a eo ía es muy cla o y en él se an pe ilando,
ilus ados siemp e con ejemplos, los concep os de sección ans e sa
(Que schni ), sección eenb an e, supe icie simplemen e conexa, n-
nplenien e conexa, que oda línea ce ada azada en una supe icie
simplemen e conexa pueda educi se a un pun o po de o mación
con inua, o den
y
géne o de una supe icie conexa, e c.
Las uen es undamen ales u ilizadas pa a el desa ollo de es e
capí ulo son ex os de Pica d, Hoüel, Pascal y Poinca k.
El Capí ulo
11
de es e quin o lib o del olumen segundo del a ado
de Análisis es á dedicado al es udio de las a iedades o espacios. Es
cu ioso con as a la ela i a cau ela que Ga cía de Galdeano mues a al
mo e se en es a eo ía, incluso después de habe esc i o ya de las
geome ías no euclídeas y de los espacios n-dlmensionales ( id szlp a).
Pa ece como si Ga úa de Galdeano se die a cuen a de que al a a
de emas geomé icos no conco dan es con el g upo dominan e en al
ama de la comunidad ma emá ica española, hubie a de oma cie as
medidas p ecau o ias que ecue dan de alguna mane a las posiciones
de Bails al a a del sis ema heliocén ico en los P inc$iss
de
Ma emá i-
cas
(43).
Así dice Ga cía de Galdeano:
«la Geome ía o su lenguaje acili a la exposición de cie as eo ías
pu amen e algeb aicas; pe o no pudiendo ex ende se las conside aciones
geomé ncas a más de es a iables, se ha c eado una
geome ía
jc icia,
llamada eo ía del hipe espacio o geome ía de n dimensiones.))
El que después de sus p opias elabo aciones algeb aieas y didác i-
cas, Ga cía de Galdeano oda ía llame~c icia a la Geome ía sus en ada
en espacios de más de es dimensiones e ela cla amen e que Ga cía de
Galdeano quie e cub i se del a aque ácil y g ose o de los ilis eos,
máxime cuando ae a colación, como ines imable aliado, al mismísimo
Poinca é:
«La Geome í'a de n dimensiones iene un obje o ed. Los se es del
hipe espacio son suscep ibles de de iniciones p ecisas, como los del
espacio o dina io;
y
si no nos los podemos ep esen a , podemos
(42) GARCIA DE GALDEANO
(1
904),
inc$ios gene ales de
la
eok de las unciones,
p.
285.
(43) BAILS,
B.
(1799),
Pnnciplos de ma emá icas,
3.a
ed., ol.
3,
pp.
111-IV.
Ga cia de Galdeano
(1846-1924)
...
219
concebi los y es udia los. La analogía del nue o lenguaje geomé ico
puede c ea asociaciones de ideas ecundas y suge i gene alizaciones
ú iles. Las igu as suplen la debilidad de nues o espí i u, llamando a
nues o sen idos en su auxilio.
El empleo de las igu as iene an e odo po obje o pe mi i nos conoce
cie as elaciones en e los obje os de nues os es udios y es as elaciones,
y es as elaciones son aquéllas de las que se ocupa la ama de la
Geome na llamada Analysis Si us, que desc ibe la si uación ela i a de los
pun os, de las líneas y de las supe icies, sin conside a en absolu o su
magni ud))
(44).
No obs an e, sólo cabe cali ica de cau elosa la ac i ud de Ga cía de
Galdeano, po que su posición sigue siendo de posi i o in e és espec o
a las especulaciones geomé icas up u is as. Su cau ela es jus i icable en
es a ocasión po cuan o se a a de una elabo ación no ya de un
ca ed á ico de Geome ía Analí ica (que aunque no pe enecien e al
g upo de p esión dominan e en el unciona iado ma emá ico uni e si-
a io e a, po oposición, cuando menos, geóme a) sino de un ca ed á-
ico de o a disciplina y, po an o, po de inición, no especialis a
Como ya se ha apun ado an e io men e, el ema no e a, en España,
abie o y cla o, po cuan o dos de los ma emá icos más in luyen es,
an o en la comunidad ma emá ica como hacia los pode es públicos
-como e an Echega ay y To oja- no e an p ecisamen e p ocli es
hacia las posiciones más de angua dia en Geome ía.
Y
jus o es señala que el ema de los espacios n-dimensionales no ue
cla amen e admi ido desde el p incipio en la comunidad ma emá ica
in e nacional. Ya en el siglo XVIII, d'Alembe y Lag ange habían
u ilizado una cua a dimensión en sus abajos de Mecánica, si bien
desde un pun o de is a pu amen e o mal.
Y
en el siglo XIX, Cauchy
y
G een, en 1828, como ecu so de apoyo a p oblemas p oceden es del.
Análisis, habían u ilizado n dimensiones e incluso el concep o de
espacio de n dimensiones, pe o ni unas ni o as gene alizaciones habían
enido la más mínima ascendencia de ipo geomé ico.
G assmann, uno de los au o es que más in luyó en la ob a de Ga cía
de Galdeano, es udió ya la Geome ía n-dimensional, en la Ausdehnun-
gleh e de 1844, desde un pun o de is a absolu amen e abs ac o y sin
e e encia ísica alguna, lo que signi icó un paso no able pa a sepa a el
concep o de Geome ía, en endida como ciencia del espacio ísico, de
las c eaciones ma emá icaspu as. El p ime abajo sob e Geome ía de n
dimensiones sin implicaciones ilosó icas o p ác icas son los ((Chap e s
I
(44) GARCIA
DE
CALDEAN0 (1904),
P Enc$ios
...,
pp.
302-303.

220
MARIANO
HORMIGON
in
he Analy ical Geome ie o N-dimensions)) publica,dos en el
Ma he-
ma ical Joumal
de Ca nb idge po CayPey en
1845.
Pos e io men e,
Riemann abajó ya decididamen e con n a iables, lo mismo que
Helmhol z, Bel ami, Lipschi z, Da b0ux.y o os.
Sin emba go, el ema no es aba cla o pa a oda la comunidad
ma emá ica. Homb es como Kumme
y
Mobius se habían bu lado de la
idea de una geome ía e adimensional siquie a.
Po las suscep ibilidades que pudie an eni de ue a o de den o del
país, Ga cia de Galdeano debió pensa que había que ecu i a alguna
i e u able au o idad y de
ahí
la ci a de Poinca é.
La cons ucción de es e capí ulo geomé ico pa e de las Memo ias
de Riemann,
F agmen aus de Analysis Si us
y
UeOe die Hipo esen welche de
Geome ie
zu
G unde liegen,
se comple a con una Memo ia de Be i
y
con los
abajos que Poinca é publicó en el
Joumal de lJEco1e Poly echnique
y
en los
Rendicon i del Ci colo Ma ema ico di Pale mo,
cuya nomencla u a y no ación
adop a. Así, una ez señalados los concep os básicos y el ma co gene al
de la eo ía, comienza Ga cía de Galdeano a expone los esul ados más
impo an es en e los que cabe eseña los ela i bs al pun o, la a iedad
n-dimensional y el concep o de on e a, ligados a los concep os de
homeomo ismo y de p olongación analí ica, que Ga cía de Galdeano
llama
con inuación analí ica,
aducción li e al de la e minología de
Poinca é.
El omo 111 del
T a ado de Análisis Ma emá ico
ue dedicado a la
Aplicación del Cálculo In ini esimal al es udio
de
las igu as planas.
En la
In oducción, Ga cía de Galdeano e oma an e io es ideas, ya expues as
en las páginas de
El P og eso Ma emá ico
y en sus abajos de Geome ía.
Siguiendo la ine i able inspi ación de Chasles en lo e e en e a las
concepciones' geomé icas, en iquecidas a ni el eó ico po ideas de
Poinca é y o as o iginales del p opio Galdeano, inicia es e olumen con
una disg esión sob e el in ini o y lo imagina io en Geome ía en la que
analiza some amen e la ob a de Desa gues, Monge, Ca no , Poncele , el
p opio Chasles, Lague e, Clebsch, Cayley, Plücke , Miibius, on
S aud , Klein, Poinca é, Bel ami, Lie, Riemann, Lobache sky
y
o os.
Ga cía de Galdeano ap o echa el desa ollo his ó ico pa a i cons-
uyendo un cue po de de iniciones y esul ados que apun an subje i-
amen e a la pangeome ía de Klein y a la cons ucción axiomá ica de la
Geome ía de n dimensiones.
La idea gene al que p eside es a ob a, aunque incluida en el pá a o
dedicado a Desa gues, es una e sión lib e de c i e ios de Poinca é. Dice
Ga cía de Galdeano que la
Ga cía
de
Galdeano
(1846-1924)
...
22
1
(( endencia a hace en a en las eglas gene ales los concep os singula-
es
...
es esencialmen e mode na,
y
se halla en la necesidad de simpli ica
la ciencia uni icándola, y de gene aliza p oposiciones haciendo en a en
la
misma ley hechos, al pa ece , dis in os))
(45). . .
Es a idea, simpli icación-uni icación, ecoge una inspi ación de
Poinca é que se uncó a causa de la explosión de nue as amas
y
de los
nue os esul ados que se iban consiguiendo.
Y
si, po una pa e, sí
pa ece habe se consag ado el in en o de la simpli icación -unido a la
idea de camina muy de p isa de lo pa icula a lo gene al- no es á
p obado que la uni icación, buscada a a és de las es uc u as abs ac-
as, haya dado los esul ados ape ecidos de simpli icación.
El p ime p oblema que a on a Ga cía de Galdeano en su pe spec-
i a his ó ica es el de la u ilización de elemen os imagina ios en
Geome ía. Lo imagina io, al igual que el in ini o o los in ini ésimos,
han desempeñado en la Ma emá ica con empo ánea un papel de pun o
oscu o
o cuando menos
esbaladizo,
en el desa ollo de los azonamien os,
p opiciando la endencia a una p ecisión más y más igu osa
En el lenguaje de Ga cía de Galdeano, la geome ía se en oca po sus
dos aspec os más espinosos: el in ini o
y
lo imagina io. En es a pe s-
pec i a, des aca singula men e la apo ación de Monge de conside a
odas las
elaciones con ingen es
como e dade as, po lo que los elemen os
imagina ios quedan en el e eno de lo concep ualmen e admisible.
Po la o ma de econs ucción de los p ocesos his ó icos, Ga da de
Galdeano es plenamen e hilbe iano y po lo an o mode no. Pa icipa
en e amen e de la idea de que «la His o ia enseña la con inuidad en el
desa ollo de la Ciencia)) y, po ello, a escalonando los conocimien os
sin up u as apa en es. Es o, que his ó icamen e es inco ec o, a ni el
exposi i o es e icaz, po que imbuido Ga cía de Galdeano en las esis
con encionalis as de la
economía del es ue zo
y de sus plan eamien os
ayuda a i ealizando sus plan eamien os de una o ma subje i a y cons-
cien e con is as
al
in po él pe seguido. En es e p oceso ascenden e,
conscien e con is as
al
in po él pe seguido. En es e p oceso ascen e,
sob e la in aes uc u a concep ual de Monge, pe ila las esis de Ca no
y, sob e odo, de Poncele , sob e la u ilización
p ác ica
de elemen os
ideales
y las elaciones con ingen es lle adas al in ini o, una de las
posiciones más up u is as de Poncele espec o a las ma emá icas
lag angianas. Ga cía de Galdeano señala que las exp esiones
in ini a-
men e g ande
o
in ini amen e pequeño,
p o usamen e u ilizadas en el
(45)
GARCIA
DE
CALDEAN0
(1904),
Aplicación
del
cákulo
...,
p.
111.
222
MARIANO
HORMIGON
Pa adigma lag angiano son solamen epalab as que si en «pa a exp esa
di e sos modos
de
exis encia)
(46)
y solamen e pueden en ende se
como una p ime a ap oximación al igo ,
Y
con es o se quie e sub aya
la
con luencia de e iexiones de e o no sob e aspec os conc e os de las
cos ucciones ma emá icas. Es o es, la c eación de la geome ía del siglo
XIX
es p oduc o de la e lexión c í ica sob e la geome ía del Pa adigma
Lag angiano, cons a ada con elemen os di ec amen e p oceden es del
Pa adigma G iego. Es a e lexión en e o no iene en el siglo
XIX
es
p o agonis as de excepción: Chasles, Riemann
y
Hilbe .
Ga cía de Galdeano llama a Chasles ((c eado de la Geome ía
Supe io )) en a izando el i ulo de una de sus ob as y señala la uel a del
ma emá ico ancés hacia las uen es euclídeas, a a és de los esc i os de
Pappus sob e los Po ismas.
La apo ación de Chasles
al
p oblema de lo imagina io condujo a una
Geome ía de u u o, pe o de conno aciones cuasi ne a ísicas. En e ec o,
la in oducción po Chasles, en el cue po de doc ina de la Geome ía
de Poncele , de las se ies homog á icas, se io ela i amen e p on o
en iquecida po las No as de Lague e
(47)
y po los complemen os de
Clebsch y Cayley, quien, en su in en o de cons ucción
de
una
Geome ía Mé ica P oyec i a con e e encia a una igu a undamen al,
de inió ((10 absolu o)). En el desa ollo de Cayley apa ece una idea nuy
suges i a, ya que las p opiedades mé icas de los obje os geomé icos no
su gen del es udio en sí de es os en es sino de una elación dialéc ica
-aunque unila e al- con o o obje o ijo y de e minado, lo absolu o,
que en la geome ía unidimensional es un pa de pun os, en la
geome ía plana, una cónica y, en la idimensional, una cuád ica. En
es a e lexión, Ga cía de Galdeano sub aya la p esencia de un pun o de
up u a con, el Pa adigma Lag angiano en el que e1 es udio de las
elaciones de las igu as es in ínseco. Po o a pa e, es a di ección
conec a la geome ía mé ica con la desc ip i a, p o undizando las ías
abie as po Monge y on S aud . Es na u al, pues, que es e en oque
cau i a a pa icula men e a Ga da de Galdeano, an p ocli e
a
las esis
de elación en e unas ideas ma emá icas y o as.
Pa a Cayley los elemen os imagina ios apenas si ienen dis inción
ope a i a en el conjun o de la eo ía. Las ec as isó opas, in oducidas
po Poncele en el T ai é des p opie és p ojec i es des zgu es de
1822,
los
pun os umbílicos, ayos y angen es imagina ias, se manipulan ya con
(46
i
LAGUERRE,
E.
(1
853),
No es su
la
héo ie des oye s,
h ou elles Annales des Ma h& ~a iyues,
12,
57-65.
Ga cia
de Galdeano (1846-1924) ...
223
oda no malidad, al igual que los elemen os imp opios in oducidos
po on S aud .
Sob e las ideas de Cayley, cons uyó Klein su modelo pangeomé-
ico, que ab azaba globalmen e los p esupues os básicos de las es
geome ías undamen ales con las que se abajaba has a en onces: la
hipe bólica, la elíp ica y la euclídea. Ga cía de Galdeano, buen lec o de
los esc i os ma emá icos, sus i uye sus disg esiones sob e la e acidad
de las es geome ías po la esis poinca eana de la comodidad.
La ap oximación al sen ido ma emá ico de lo imagina io, pasando
po la analogía de lo eal no isualizable, es modélicamen e hilbeniana.
Así, a pa i de las cons ucciones de Helmhol z, Bel ami, Lie y del
p opio Klein sob e los g upos de ans o maciones y la eo ía de la
medida, desemboca Ga cía de Galdeano en la de inición axiomá ica de
la Geome ía de
n
dimensiones, conc e ada explíci amen e en la de
Cua o.
Aunque la eno ación geomé ica es e iden e llama nega i amen e
la a ención la ausencia de e e encias a los
G undlagen
de Hilbe . Como
es segu o el conocimien o del ma emá ico alemán y de su ob a po pa e
de Ga cía de Galdeano, cabe in e p e a es a omisión como un ac o de
a iliación áci a a la línea ep esen ada po el amdem Klein-Poinca é
que, como es sabido, en esa época asomaban una eIada i alidad con
Hilbe .
T as es a no able in oducción, el lib o en a de lleno en la azón de
su í ulo:
la aplicación del cálculo dz e encial al es udio de las igu asplanas.
Es á
di idido es e omo
111
del T a ado de Análisis en es lib os, además de
la in oducción ya comen ada. El Lib o P ime o es á dedicado al es udio
de la geome ía di e encia plana; el Segundo, a las singula idades de las
cu as planas;
y,
el Te ce o, al es udio sis emá ico de las igu as.
El Lib o P ime o es un excelen e esumen-compendio de los
esul ados clásicos ela i os a es e impo an e capí ulo de la Geome ía.
Una lec u a ac ual de es as páginas hace echa en al a, además de
plan eamien os igu osos en gene al, la ausencia de no ación ec o-
ial(48). No obs an e, hay que plan ea en desca go de Ga cía de
Galdeano que la e olución de la Geome ía Di e encial en el siglo
XIX
ue una de las amas ma emá icas más suje as a la escuela c eada po
Monge -y, po an o, más inc us ada en el Pa adigma Lag angiano-,
(48)
De lo lógico de es a si uación puede da idea el que has a
1908
en el Cong eso de Roma
no se hizo la p opues a de uni icación de la no ación ec o ial. El au o de dicha
p opues a -que pedía se eligiese una comisión que se enca ga a de
al
come ido- ue
Hadama d.