José del Rio Sánchez
I.C.E.
U.
de
Salamanca
Educa ,
17
(1990) 205-219
CONCEPCIONES ERRÓNEAS EN MATEMÁTICAS.
REVISION
Y
EVALUACION
DE
LAS
INVESTIGACIONES
RESUMEN
En es e a iculo se e isan las in es igaciones sob e las concepciones e ó-
neas que poseen 10s es udian es de Enseñanza P ima ia y Enseñanza Secun-
da ia ace ca de 10s p incipales emas del cu iculum de ma emá icas. Se
e alúan y se o mulan suge encias pa a pos e io es abajos.
ABSTRACT
This a icle examines esea ch in o he e oneous concep ions h a s uden s
in P ima y and Seconda y Educa ion ha e abou he p incipal subjec s in
he ma hema ics p og amme. These concep ions a e e alua ed and sugges-
ions a e made o u he s udies.
In oducción
Los e o es más ecuen es que come en 10s es udian es al ealiza cie as
a eas escola es (con es ación a p egun as, o mulación de conje u as, eso-
lución de p oblemas o eje cicios, discusiones g upales, e c.) han dejado de
se exclusi amen e sancionados pa a con e i se en el cen o de in e és de
una linea de in es igación muy impo an e an o en el campo de la educa-
ción ma emá ica como en el de o as ma e ias, desa olladas, sob e odo,
desde hace
15
años. Es os e o es son consecuencia de cie as ideas o con-
cepciones e óneas que no malmen e se gene an du an e el p opio p oceso
de ap endizaje, aunque, algunas exis en ya en 10s es udian es an es de que
comience el p oceso ins uc i o especi ico del ema a ec ado. La de ección
de concepciones e óneas, el analisis de sus causas y el es udio de su e olu-
ción a 10 la go de 10s dis in os ni eles educa i os ha sido obje o de nume o-
sos abajos. El in e és didac ico de es a linea de in es igación es eno me,
sob e odo, pa a diseña y aplica es a egias ins uc i as que, den o del
modelo cons uc i is a, aspi en a acili a un ap endizaje signi ica i o a 10s
es udian es. En 10s pa a os siguien es, esumimos 10s esul ados ob enidos
po las p incipales in es igaciones que se han ocupado de es e impo an e
ema y o mulamos las conclusiones pe inen es.
1.
Concepciones e óneas en a i mé ica
Des acamos una in es igación sob e núme os en e os y dos sob e ac-
ciones.
BELL
(1986b) se p opuso iden i ica las concepciones e óneas sob e 10s
núme os en e os en una mues a de 400 niíios de 8-9 años y u ilizó pa a
el10 a ias en e is as y una p ueba esc i a de 20 i ems que cub ia odos 10s
ipos básicos de p oblemas con una ope ación (suma o es a). De ec ó las
siguien es ideas e óneas:
1. Subi es au nen a : 10s niños con unden ( i hacia a iba)) en una escala
con aumen a el núme o)), sin da se cuen a de que en algunos con ex os
(lis as de discos mas endidos, núme os nega i os, e c.) una subida)) impli-
ca una c disminución~) del ( alo absolu o) del núme o.
2.
Igno ancia del signo nega i o: Sucede con ecuencia en la espues a
a p egun as como &a: ((Un dia en Moscú la empe a u a descendió 6' en e
la salida del sol y el mediodia.
A
la salida del sol e a de
-7'.
¿Cual e a
al mediodia?)).
3.
Signo deno a egión: Se e ie e al hecho de que las a iaciones en la
egión nega i a de una escala son a ec adas siemp e con el signo menos;
po ejemplo, espues as como bajó
-79)
cuando se p egun a po la a ia-
ción en e -9'
y
-2'.
4. F acaso en la in e sión: en 10s p oblemas donde es desconocido el es a-
do inicial, 10s alumnos ealizan una in e sión del sen ido del cambio exp e-
sado en el enunciado; po ejemplo: ((El disco a o i o de Sand a es a
5
luga es
mas abajo de 10 que es aba hace dos semanas. Du an e la p ime a de es as
dos semanas subió
3
luga es. ~Subió o bajó la segunda semana? ¿Cuan os
luga es?)). Casi la mi ad de 10s alumnos espondió que bajó o subió dos
luga es.
CLEMENTS y
DEL
CAMPO (1987) se in e esa on en es udia el lenguaje que
usan 10s niños pa a exp esa sus ideas sob e acciones y las elaciones con
su habilidad pa a comp ende el lenguaje o mal al como apa ece en 10s
lib os de ex o. In en a on explo a las ideas sob e las acciones o iginadas
in ui i amen e po el uso de las palab as del lenguaje coloquial o de la p o-
pia ins ucci6n o mal. En conc e o, in es iga on la concepción que poseen
10s niños de enseñanza p ima ia ace ca de las acciones 1/2, 1/4 y 1/3. U i-
liza on 240 en e is as y un es de lhpiz y papel con 36 i ems que ue con es-
ado po 1024 alumnos. En e sus conclusiones, des acamos las siguien es:
1. La mayo ía de 10s niños iene una buena comp ensidn ecep i a de 1/2
si po es o en endemos la habilidad pa a econoce lo como la mi ad de las
igu as geomk icas sencillas. No obs an e, cuando el eje de sime ia de la
igu a no es ni e ical ni ho izon al, algunos alumnos de 2O no econocie-
on la ep esen aci6n pic 6 ica de 1/2.
2. La mayo ia de 10s niños u ie on di icul ades pa a con es a a las p e-
gun as sob e 1/4 a pesa del c conocimien o)) de la noci6n c mi ad de la mi-
ad)) debido a la escola izacion. Po ejemplo, cuando se les p esen 6 una
igu a di idida en cua o pa es y s610 se colo e6 una de ellas, muchos alum-
nos pensa on que el diag ama ep esen aba 1/3 po que asocia on la palab a
cc e cio)) con (( es)) ya que e an es las zonas no colo eadas. S610 en 5'
cu so algunos niños pa ecen habe desa ollado una idea co ec a de la e-
p esen aci6n de 1/4 en igu a~ sencillas como
ci cules,
po ejemplo.
3. Aunque 10s niños saben c6mo epa i equi a i amen e un pequeño nú-
me o de obje os en e es pe sonas cuando el epa o es exac o, sin emba -
go, en con ex os con inuos, no iden i ican co ec amen e la unidad en e a
y, po
10
an o, son incapaces de hace las pa iciones co espondien es a 1/3.
4.
En
cuando al o den en que 10s niños adquie en 10s concep os de 1/2,
1/4 y 1/3, Cs e depende de 10s con ex os (disc e o y con inuo) y del ipo de
comp ensi6n ( ecep i a o exp esi a).
Complemen ando el es udio an e io , TATSUOKA (1984) se ocup6 de exa-
mina 10s e o es come idos en 10s algo i mos de suma y es a de acciones
po
600
es udian es de enseñanza secunda ia. He aquí algunos de sus esul-
ados m8s in e esan es:
1. La igno ancia de la acci6n en las ope aciones con núme os mix os;
po ejemplo:
2.
Conside acidn de que el nume ado y el denominado son elemen os
independien es en una acción y, po 10 an o, puede ope a se con ellos ais-
ladamen e, po ejemplo:
3. Ap endizaje memo is ico de las eglas 10 que p oduce allos ecuen-
es; po ejemplo, en una suma de acciones con denominado es dis in os,
mul iplican 10s denominado es y suman 10s nume ado es.
4.
Incomp ensión del signi icado (( acional)) del ce o y del uno que se ma-
ni ies a en e o es como 10s siguien es:
2.
Concepciones e oneas en algeb a
Rese iamos en es e pá a o es in es igaciones, has a cie o pun o com-
plemen a ia~, que con igu an una buena pano amica del abajo en es e cam-
po. La p ime a
(BOOTH,
1982) u iliza 10s e o es en álgeb a p e iamen e
de ec ados po el p og ama CSMS (((Concep s in Seconda y Ma hema ics
and Science));
HART,
1981). Median e 72 en e is as y un es de lápiz y pa-
pel pasado a 1.000 alumnos de enseñanza secunda ia, el au o iden i ica cua-
o á eas de di icul ad:
1.
In e p e acidn de le as:
10s es udian es ecuen emen e no comp en-
den que las le as ep esen an núme os y que el núme o ep esen ado puede
ene un único alo (como en x+2=5) o in ini os alo es (como en
x+y=y+x o x+l=O).
2.
Fo malización
y
simbolizacidn del mé odo algeb aic0 de esolución de
p oblemas:
10s alumnos no u ilizan o no comp enden o come en e o es en
la esolución algeb iaca de p oblemas po que no simbolizan ni o malizan
10s mé odos usados al esol e p oblemas a i mé icos.
3.
Conjuncidn en la suma algeb aica:
10s es udian es no econocen exp e-
siones adi i as del ipo n
+
3 o 2 +a como esul ados y ienden a usiona las
en las o mas 3n o 2a; po ejemplo, pa a muchos el pe ime o de la igu a
es 211556 o 2u16 y el esul ado de suma 4 con 3n es 3n4 o 7n.
4.
Uso de pa én esis: Los alumnos piensan que no es necesa io u iliza
10s pa én esis pues las ope aciones deben ealiza se en el mismo o den en
que se esc iben
y,
en odo caso, el esul ado siemp e es el mismo.
Un g upo de au o es españoles (GRUPO AZARQUIEL,
1987)
pasa on una
p ueba esc i a a
182
alumnos de
1'
de BUP pa a hace un ca alogo o dena-
do de 10s e o es en emas como ope aciones con núme os
y
le as, ecuacio-
nes, sis emas
y
p oblemas de posible esolución algeb aica.
Los
e o es
de ec ados caen, en gene al, den o de las cua o a eas de di icul ad indica-
das an es po BOOTH. Pos e io men e ealiza on en e is as clinicas a algu-
nos alumnos con el in de p o undiza en las conduc as e óneas
y
busca
las posibles hipó esis que las expliquen. Pa a es os au o es, 10s p ocesos men-
ales que conducen a es e ip0 de e o es se ian 10s siguien es:
1.
Memo izacidn de eglas: endencia a unciona u ilizando siemp e una
egla es ablecida.
2. Gene alizacidn abusi a: u ilización de eglas conocidas ue a de su con-
ex o de alidez.
3.
Uso indebido del signo igual: 10s es udian es conciben el signo igual
como una acción que debe lle a a un esul ado en ez de conside a 10 como
un equilib i0 manipulable en ambos sen idos.
4.
Reduccidn de campo: 10s alumnos p escinden de algunas condiciones
y
se quedan s610 con las que son ele an es pa a el suje o.
5.
Necesidad de clausu a : educción de las si uaciones a é minos mis
simples
y
conocidos.
6.
T aduccidn li e al de enunciados: elabo ación de la exp esión simbóli-
ca en el mismo o den en que apa ece en el enunciado coloquial.
Comple amos es os dos abajos exponiendo algunos de 10s esul ados ob-
enidos po
OPPENHEIM
(1987)
al es udia 10s e o es en c a i mé ica gene a-
lizada>> median e un es de
135
i ems con es ado po
140
jó enes de
enseñanza secunda ia. En el á ea de la in e p e acidn de le as, encon o
que, aunque muchos es udian es econocian que las le as ep esen aban nú-
me os, sin emba go alo aban las exp esiones en é minos de núme os pa -
icula es; po ejemplo:
1.
Pa a deci si A-B
=
O
es una exp esión e dade a no bas a con sabe
que A es igual a B sino que es necesa io conoce 10s alo es conc e os de
A
y
de B.
3. N(l/N)
no es
1
sino que depende del alo de
N.

En el i ea de la simbolizacidn de p oblemas, encon d que muchos alum-
nos escogen la exp esi6n x
>
y pa a ep esen a la can idad en que x excede
a y, y 2N/3N o N:2/3 o 2/3:N pa a ep esen a 2/3 de un núme o N. Asi-
mismo, casi la mi ad de 10s alumnos in ie e de C
>
D y
E
>
F la exp esidn
C/E
>
D/F (en luga de
C
+
E
>
D
+
F).
3.
Concepciones e 6neas en geo né ica
Seleccionamos de nue o cua o in es igaciones ep esen a i as de 10s es-
udios que se han ealizado en es e campo.
HERSHKOWITZ
(1987) in es ig6 el ((g ado)) de asimilaci6n de algunos con-
cep os bisicos de geome ia en alumnos de enseñanza p ima ia y secunda-
ia (572), es udian es de una escuela de p o eso ado (142) y p o eso es de
enseñanza p ima ia en eje cicio (25). En la iden i icaci6n y cons ucci6n de
elemen os geomé icos cons a 6 e o es como 10s siguien es:
1. No econocimien o de iingulos ec ingulos en igu as como:
2. No econocimien o de las igu as siguien es como cuad ili e os:
3. Concepci6n de las al u as como segmen os ((in e io es)) al iingulo.
El au o cons a 6 que algunos de es os e o es, como el e e ido a 10s cua-
d ili e os, disminuyen con el ni el de escola izaci6n. O os, como en el ela-
i o al iangulo ec ingulo, son compa idos de modo pa alelo po 10s es
g upos que o maban la mues a (pig. 241). A ibuye es os compo amien-
os a que 10s es udian es se dejan lle a en las a eas de iden i icación y cons-
ucción po 10s p o o ipos, es deci , po aquellos supe -ejemplos que son
10s mas popula es de un concep o dado, y es as ep esen aciones empob e-
cen el concep o po que, con ecuencia, ocul an alguno de sus a ibu os c i-
icos.
En elación ambién con la o mación y adquisición de concep os geomé-
icos, MEDECI, SSPERANZA y VIGHI
(1986)
indaga on qué ca ac e is icas geo-
mé icas son elegidas p e e en emen e pa a e ec ua 10s p ocedimien os de
abs acción y cua1 es el papel del éxi o geomé ico. Sob e una mues a de
388
es udian s de
9-10
años, median e un cues iona io de
11
i ems, ob u ie-
on 10s siguien es esul ados:
1.
El núme o de lados de un poligono es un c i e io de clasi icación mas
in ui i o que el pa alelismo de sus lados, el núme o de angulos ec os o la
equisupe icialidad.
2.
Sin emba go, cuando se a a de iangulos, la exis encia de un angulo
ec o es un c i e io de clasi icación de e minan e; po ejemplo, a la p egun a:
iPond ías
la
igu a
I
en
A
o en
B?
el
83
%
de 10s alumnos esponde que en
B.
Es e esul ado con as a con el
ob enido po HERSHKOWITZ
(1987)
pues supone un econocimien o gene a-
lizado del iangulo ec angulo en posición no p o o ípica. Los mismos au o-
es se so p nden de es e esul ado que a ibuyen a la ac i idad especi ica
desa ollada en clase pa a econoce un ángulo ec o incluso cuando no es a
dibujado con 10s lados pa alelos a 10s bo des de la hoja.
3.
Como con as e, s610 la e ce a pa e de 10s alumnos econoce que es a
igu a
es un cuad ado; la mi ad 10 llama
ombo,
aunque las espues as a ian no-
ablemen e de clase en clase segun que, en ellas, 10s alumnos hubie an a-
bajado o no con las ans o maciones geo né icas.
4.
La p esencia de un c nomb e p opio o icial)) que se puede a ibui a
una igu a geomé ica in luye a menudo en el c i e i0 con el que 10s niños
ag upan o asocian igu as. Sin emba go, se no an di icul ades al desc ibi
las igu as cuando no se pueden deno a con nomb es conocidos.
5.
El hecho de que muchos lib os de ex o, pa a cada ip0 de igu a, p e-
sen en un solo ejemplo g á ico conduce a que
esa
igu a conc e a acabe po
oma se como
modelo es ánda
del concep o. Los niños suelen amplia el
modelo es anda s610 con aslaciones u homo ecias, 10 que es uen e de
nume osos e o es. Es as ideas co obo an las an e io men e mencionadas
de
HERSHKOWITZ
(1987) sob e 10s
p o o ipos.
DEL R o
(1989) in es igo las ideas p e ias que ienen sob e las
cónicas
10s
alumnos de
3"
de
B.U.P.
(17 años) an es de comenza su es udio sis emá ico.
Con una mues a de
305
es udian es del dis i o uni e si a i0 de Salamanca
y median e un cues iona io de
40
i ems, cons a 6 que la mayo pa e del
conocimien o que poseen 10s alumnos sob e las cónicas es de ipo
lsico
y
social
pe o no
Idgico-ma emá ico
en el sen ido que da
PIAGET
a es os é -
minos, pues solamen e han ealizado una abs acción empí ica (conocimien o
isico)
y
han asignado a esas cu as el nomb e con encionalmen e acep ado
en el en o no socio-cul u al (conocimien o social). Como consecuencia, las
de iniciones de elipse, hipé bola y pa ábola, acep adas de modo casi unáni-
me, es an cons i uidas po una sucesión de p opiedades ob enidas pe cep-
ualmen e que in en an desc ibi po exhaus ión la
o ma
de la cu a.
Las p incipales
ideas p e ias e óneas
de ec adas ue on las siguien es:
1.
Un o alo cons uido con cua o a cos de ci cun e encia, como el de
la igu a
5,
es una elipse.
2. Un a co de ci cun e encia y dos semi ec as angen es en sus ex emos,
como mues a la igu a 6, o man una pa abola.
3. Todas las cónicas pueden dibuja se pe ec amen e empleando so10 la
egla y el compas.
4.
Los es ipos de cónicas (elipse, hipé bola
y
pa ábola) son indepen-
dien es no gua dan elación es uc u al en e si, ni di ec a ni indi ec a (a a-
és de un elemen o ex e no como pod ia una supe icie cónica).
5.
Una pa ábola (y, en gene al, cualquie cu a) no es un obje o geomé-
ico independien e del sis ema de e e encia; po el con a io, p ime o exis-
e el sis ema de e e encia como algo dado a p io i y después la cu a
comple amen e encadenada a é1; es o implica que una cu a no iene in ini-
as ecuaciones dependiendo del sis ema acogido sino una sola.
6. Puede aza se dos angen es dis in as en cada pun o de una cónica.
7. En gene al, 10s alumnos pe ciben que las cónicas es an poc0 conec a-
das con la ealidad y 10s pocos casos en que ad ie en su p esencia ienen
ca ac e is icas.
O os abajos in es igan las ideas que ienen 10s es udian es sob e el ccmé-
odo)) ma ema ico y su na u aleza. Des amos el abajo de
VINNER
y
ZUR
(1987) que examina si 10s es udian es de 10s cua o Úl imos cu sos de la ense-
ñanza secunda ia han ap eciado el aspec o de la geome ia como un sis ema
deduc i o y si han adqui ido algunas habilidades especí icas pa a el ap en-
dizaje de la geome ia como al sis ema deduc i o. U iliza on un cues iona-
io espondido po 201 alumnos que cons aba de 6 pa es, cada una de las
cuales analizaba un aspec o pa icula de es e ap endizaje. En e las conclu-
siones a que llega on 10s au o es, des acamos las siguien es:
1. La habilidad pa a econoce y dibuja igu as geomé icas sencillas es
al a; no obs an e, casi la cua a pa e de 10s alumnos no econocen que la
igu a a) es un ombo a pesa de señala les median e un segmen o la igual-
dad de sus lados; en cambio, p ac icamen e odos econocen la igu a b)
(de nue o es amos an e un abuso de 10s modelos p o o ipicos).
2. Un núme o a iable de es udian es (en e
1/3
y
2/3, dependiendo del
cu so) comp enden la na u aleza minimalis a de la de inición ma ema ica,