Concepciones erróneas en matemáticas. Revisión y evaluación de las investigaciones

José del Rio Sánchez I.C.E. U. de Salamanca Educar, 17 (1990) 205-219 CONCEPCIONES ERRÓNEAS EN MATEMÁTICAS. REVISION Y EVALUACION DE LAS INVESTIGACIONES RESUMEN En este articulo se revisan las investigaciones sobre las concepciones erróneas que poseen 10s estudiantes de Enseñanza Primaria y Enseñanza Secundaria acerca de 10s principales temas del curriculum de matemáticas. Se evalúan y se formulan sugerencias para posteriores trabajos. ABSTRACT This article examines research in to the erroneous conceptions thta students in Primary and Secondary Education have about the principal subjects in the mathematics programme. These conceptions are evaluated and suggestions are made for further studies. Introducción Los errores más frecuentes que cometen 10s estudiantes al realizar ciertas tareas escolares (contestación a preguntas, formulación de conjeturas, resolución de problemas o ejercicios, discusiones grupales, etc.) han dejado de ser exclusivamente sancionados para convertirse en el centro de interés de una linea de investigación muy importante tanto en el campo de la educación matemática como en el de otras materias, desarrolladas, sobre todo, desde hace 15 años. Estos errores son consecuencia de ciertas ideas o concepciones erróneas que normalmente se generan durante el propio proceso de aprendizaje, aunque, algunas existen ya en 10s estudiantes antes de que comience el proceso instructivo especifico del tema afectado. La detección de concepciones erróneas, el analisis de sus causas y el estudio de su evolución a 10 largo de 10s distintos niveles educativos ha sido objeto de numerosos trabajos. El interés didactico de esta linea de investigación es enorme, sobre todo, para diseñar y aplicar estrategias instructivas que, dentro del modelo constructivista, aspiren a facilitar un aprendizaje significativo a 10s estudiantes. En 10s parrafos siguientes, resumimos 10s resultados obtenidos por las principales investigaciones que se han ocupado de este importante tema y formulamos las conclusiones pertinentes. 1. Concepciones erróneas en aritmética Destacamos una investigación sobre números enteros y dos sobre fracciones. BELL (1986b) se propuso identificar las concepciones erróneas sobre 10s números enteros en una muestra de 400 niíios de 8-9 años y utilizó para el10 varias entrevistas y una prueba escrita de 20 items que cubria todos 10s tipos básicos de problemas con una operación (suma o resta). Detectó las siguientes ideas erróneas: 1. Subir es aurnentar: 10s niños confunden (tir hacia arriba)) en una escala con ttaumentar el número)), sin darse cuenta de que en algunos contextos (listas de discos mas vendidos, números negativos, etc.) una ttsubida)) implica una ctdisminución~) del (valor absoluto) del número. 2. Ignorancia del signo negativo: Sucede con frecuencia en la respuesta a preguntas como &a: ((Un dia en Moscú la temperatura descendió 6' entre la salida del sol y el mediodia. A la salida del sol era de -7'. ¿Cual era al mediodia?)). 3. Signo denota región: Se refiere al hecho de que las variaciones en la región negativa de una escala son afectadas siempre con el signo menos; por ejemplo, respuestas como ttbajó -79) cuando se pregunta por la variación entre -9' y -2'. 4. Fracaso en la inversión: en 10s problemas donde es desconocido el estado inicial, 10s alumnos realizan una inversión del sentido del cambio expresado en el enunciado; por ejemplo: ((El disco favorito de Sandra esta 5 lugares mas abajo de 10 que estaba hace dos semanas. Durante la primera de estas dos semanas subió 3 lugares. ~Subió o bajó la segunda semana? ¿Cuantos lugares?)). Casi la mitad de 10s alumnos respondió que bajó o subió dos lugares. CLEMENTS y DEL CAMPO (1987) se interesaron en estudiar el lenguaje que usan 10s niños para expresar sus ideas sobre fracciones y las relaciones con su habilidad para comprender el lenguaje formal tal como aparece en 10s libros de texto. Intentaron explorar las ideas sobre las fracciones originadas intuitivamente por el uso de las palabras del lenguaje coloquial o de la propia instrucci6n formal. En concreto, investigaron la concepción que poseen 10s niños de enseñanza primaria acerca de las fracciones 1/2, 1/4 y 1/3. Utilizaron 240 entrevistas y un test de lhpiz y papel con 36 items que fue contestado por 1024 alumnos. Entre sus conclusiones, destacamos las siguientes: 1. La mayoría de 10s niños tiene una buena comprensidn receptiva de 1/2 si por esto entendemos la habilidad para reconocerlo como la mitad de las figuras geomktricas sencillas. No obstante, cuando el eje de simetria de la figura no es ni vertical ni horizontal, algunos alumnos de 2O no reconocieron la representaci6n pict6rica de 1/2. 2. La mayoria de 10s niños tuvieron dificultades para contestar a las preguntas sobre 1/4 a pesar del ctconocimiento)) de la noci6n ctmitad de la mitad)) debido a la escolarizacion. Por ejemplo, cuando se les present6 una figura dividida en cuatro partes y s610 se colore6 una de ellas, muchos alumnos pensaron que el diagrama representaba 1/3 porque asociaron la palabra cctercio)) con ((tres)) ya que eran tres las zonas no coloreadas. S610 en 5' curso algunos niños parecen haber desarrollado una idea correcta de la representaci6n de 1/4 en figura~ sencillas como circules, por ejemplo. 3. Aunque 10s niños saben c6mo repartir equitativamente un pequeño número de objetos entre tres personas cuando el reparto es exacto, sin embargo, en contextos continuos, no identifican correctamente la unidad entera y, por 10 tanto, son incapaces de hacer las particiones correspondientes a 1/3. 4. En cuando al orden en que 10s niños adquieren 10s conceptos de 1/2, 1/4 y 1/3, Cste depende de 10s contextos (discreto y continuo) y del tipo de comprensi6n (receptiva o expresiva). Complementando el estudio anterior, TATSUOKA (1984) se ocup6 de examinar 10s errores cometidos en 10s algoritmos de suma y resta de fracciones por 600 estudiantes de enseñanza secundaria. He aquí algunos de sus resultados m8s interesantes: 1. La ignorancia de la fracci6n en las operaciones con números mixtos; por ejemplo: 2. Consideracidn de que el numerado y el denominador son elementos independientes en una fracción y, por 10 tanto, puede operarse con ellos aisladamente, por ejemplo: 3. Aprendizaje memoristico de las reglas 10 que produce fallos frecuentes; por ejemplo, en una suma de fracciones con denominadores distintos, multiplican 10s denominadores y suman 10s numeradores. 4. Incomprensión del significado ((racional)) del cero y del uno que se manifiesta en errores como 10s siguientes: 2. Concepciones erroneas en algebra Resefiamos en este párrafo tres investigaciones, hasta cierto punto complementaria~, que configuran una buena panoramica del trabajo en este campo. La primera (BOOTH, 1982) utiliza 10s errores en álgebra previamente detectados por el programa CSMS (((Concepts in Secondary Mathematics and Science)); HART, 1981). Mediante 72 entrevistas y un test de lápiz y papel pasado a 1.000 alumnos de enseñanza secundaria, el autor identifica cuatro áreas de dificultad: 1. Interpretacidn de letras: 10s estudiantes frecuentemente no comprenden que las letras representan números y que el número representado puede tener un único valor (como en x+2=5) o infinitos valores (como en x+y=y+x o x+l=O). 2. Formalización y simbolizacidn del método algebraic0 de resolución de problemas: 10s alumnos no utilizan o no comprenden o cometen errores en la resolución algebriaca de problemas porque no simbolizan ni formalizan 10s métodos usados al resolver problemas aritméticos. 3. Conjuncidn en la suma algebraica: 10s estudiantes no reconocen expresiones aditivas del tipo n + 3 o 2 +a como resultados y tienden a fusionarlas en las formas 3n o 2a; por ejemplo, para muchos el perimetro de la figura es 211556 o 2u16 y el resultado de sumar 4 con 3n es 3n4 o 7n. 4. Uso de paréntesis: Los alumnos piensan que no es necesario utilizar 10s paréntesis pues las operaciones deben realizarse en el mismo orden en que se escriben y, en todo caso, el resultado siempre es el mismo. Un grupo de autores españoles (GRUPO AZARQUIEL, 1987) pasaron una prueba escrita a 182 alumnos de 1' de BUP para hacer un catalogo ordenado de 10s errores en temas como operaciones con números y letras, ecuaciones, sistemas y problemas de posible resolución algebraica. Los errores detectados caen, en general, dentro de las cuatro areas de dificultad indicadas antes por BOOTH. Posteriormente realizaron entrevistas clinicas a algunos alumnos con el fin de profundizar en las conductas erróneas y buscar las posibles hipótesis que las expliquen. Para estos autores, 10s procesos mentales que conducen a este tip0 de errores serian 10s siguientes: 1. Memorizacidn de reglas: tendencia a funcionar utilizando siempre una regla establecida. 2. Generalizacidn abusiva: utilización de reglas conocidas fuera de su contexto de validez. 3. Uso indebido del signo igual: 10s estudiantes conciben el signo igual como una acción que debe llevar a un resultado en vez de considerar10 como un equilibri0 manipulable en ambos sentidos. 4. Reduccidn de campo: 10s alumnos prescinden de algunas condiciones y se quedan s610 con las que son relevantes para el sujeto. 5. Necesidad de clausurar: reducción de las situaciones a términos mis simples y conocidos. 6. Traduccidn literal de enunciados: elaboración de la expresión simbólica en el mismo orden en que aparece en el enunciado coloquial. Completamos estos dos trabajos exponiendo algunos de 10s resultados obtenidos por OPPENHEIM (1987) al estudiar 10s errores en ctaritmética generalizada>> mediante un test de 135 items contestado por 140 jóvenes de enseñanza secundaria. En el área de la interpretacidn de letras, encontro que, aunque muchos estudiantes reconocian que las letras representaban números, sin embargo valoraban las expresiones en términos de números particulares; por ejemplo: 1. Para decir si A-B = O es una expresión verdadera no basta con saber que A es igual a B sino que es necesario conocer 10s valores concretos de A y de B. 3. N(l/N) no es 1 sino que depende del valor de N. En el irea de la simbolizacidn de problemas, encontrd que muchos alumnos escogen la expresi6n x > y para representar la cantidad en que x excede a y, y 2N/3N o N:2/3 o 2/3:N para representar 2/3 de un número N. Asimismo, casi la mitad de 10s alumnos infiere de C > D y E > F la expresidn C/E > D/F (en lugar de C + E > D + F). 3. Concepciones err6neas en geornétrica Seleccionamos de nuevo cuatro investigaciones representativas de 10s estudios que se han realizado en este campo. HERSHKOWITZ (1987) investig6 el ((grado)) de asimilaci6n de algunos conceptos bisicos de geometria en alumnos de enseñanza primaria y secundaria (572), estudiantes de una escuela de profesorado (142) y profesores de enseñanza primaria en ejercicio (25). En la identificaci6n y construcci6n de elementos geométricos constat6 errores como 10s siguientes: 1. No reconocimiento de triingulos rectingulos en figuras como: 2. No reconocimiento de las figuras siguientes como cuadriliteros: 3. Concepci6n de las alturas como segmentos ((interiores)) al triingulo. El autor constat6 que algunos de estos errores, como el referido a 10s cuadriliteros, disminuyen con el nivel de escolarizaci6n. Otros, como en el relativo al triangulo rectingulo, son compartidos de modo paralelo por 10s tres grupos que formaban la muestra (pig. 241). Atribuye estos comportamien- tos a que 10s estudiantes se dejan llevar en las tareas de identificación y construcción por 10s prototipos, es decir, por aquellos super-ejemplos que son 10s mas populares de un concepto dado, y estas representaciones empobrecen el concepto porque, con frecuencia, ocultan alguno de sus atributos criticos. En relación también con la formación y adquisición de conceptos geométricos, MEDECI, SSPERANZA y VIGHI (1986) indagaron qué caracteristicas geométricas son elegidas preferentemente para efectuar 10s procedimientos de abstracción y cua1 es el papel del éxito geométrico. Sobre una muestra de 388 estudiants de 9-10 años, mediante un cuestionario de 11 items, obtuvieron 10s siguientes resultados: 1. El número de lados de un poligono es un criterio de clasificación mas intuitivo que el paralelismo de sus lados, el número de angulos rectos o la equisuperficialidad. 2. Sin embargo, cuando se trata de triangulos, la existencia de un angulo recto es un criterio de clasificación determinante; por ejemplo, a la pregunta: iPondrías la figura I en A o en B? el 83 % de 10s alumnos responde que en B. Este resultado contrasta con el obtenido por HERSHKOWITZ (1987) pues supone un reconocimiento generalizado del triangulo rectangulo en posición no prototípica. Los mismos autores se sorprnden de este resultado que atribuyen a la actividad especifica desarrollada en clase para reconocer un ángulo recto incluso cuando no esta dibujado con 10s lados paralelos a 10s bordes de la hoja. 3. Como contraste, s610 la tercera parte de 10s alumnos reconoce que esta figura es un cuadrado; la mitad 10 llama rombo, aunque las respuestas varian notablemente de clase en clase segun que, en ellas, 10s alumnos hubieran trabajado o no con las transformaciones geornétricas. 4. La presencia de un ctnombre propio oficial)) que se puede atribuir a una figura geométrica influye a menudo en el criteri0 con el que 10s niños agrupan o asocian figuras. Sin embargo, se notan dificultades al describir las figuras cuando no se pueden denotar con nombres conocidos. 5. El hecho de que muchos libros de texto, para cada tip0 de figura, presenten un solo ejemplo gráfico conduce a que esa figura concreta acabe por tomarse como modelo estándar del concepto. Los niños suelen ampliar el modelo estandar s610 con traslaciones u homotecias, 10 que es fuente de numerosos errores. Estas ideas corroboran las anteriormente mencionadas de HERSHKOWITZ (1987) sobre 10s prototipos. DEL Rfo (1989) investigo las ideas previas que tienen sobre las cónicas 10s alumnos de 3" de B.U.P. (17 años) antes de comenzar su estudio sistemático. Con una muestra de 305 estudiantes del distrito universitari0 de Salamanca y mediante un cuestionario de 40 items, constat6 que la mayor parte del conocimiento que poseen 10s alumnos sobre las cónicas es de tipo flsico y social pero no Idgico-matemático en el sentido que da PIAGET a estos términos, pues solamente han realizado una abstracción empírica (conocimiento fisico) y han asignado a esas curvas el nombre convencionalmente aceptado en el entorno socio-cultural (conocimiento social). Como consecuencia, las definiciones de elipse, hipérbola y parábola, aceptadas de modo casi unánime, estan constituidas por una sucesión de propiedades obtenidas perceptualmente que intentan describir por exhaustión la forma de la curva. Las principales ideas previas erróneas detectadas fueron las siguientes: 1. Un ovalo construido con cuatro arcos de circunferencia, como el de la figura 5, es una elipse. 2. Un arco de circunferencia y dos semirrectas tangentes en sus extremos, como muestra la figura 6, forman una parabola. 3. Todas las cónicas pueden dibujarse perfectamente empleando so10 la regla y el compas. 4. Los tres tipos de cónicas (elipse, hipérbola y parábola) son independientes no guardan relación estructural entre si, ni directa ni indirecta (a través de un elemento externo como podria una superficie cónica). 5. Una parábola (y, en general, cualquier curva) no es un objeto geométrico independiente del sistema de referencia; por el contrario, primero existe el sistema de referencia como algo dado a priori y después la curva completamente encadenada a é1; esto implica que una curva no tiene infinitas ecuaciones dependiendo del sistema acogido sino una sola. 6. Puede trazarse dos tangentes distintas en cada punto de una cónica. 7. En general, 10s alumnos perciben que las cónicas estan poc0 conectadas con la realidad y 10s pocos casos en que advierten su presencia tienen caracteristicas. Otros trabajos investigan las ideas que tienen 10s estudiantes sobre el ccmétodo)) matematico y su naturaleza. Destamos el trabajo de VINNER y ZUR (1987) que examina si 10s estudiantes de 10s cuatro Últimos cursos de la enseñanza secundaria han apreciado el aspecto de la geometria como un sistema deductivo y si han adquirido algunas habilidades específicas para el aprendizaje de la geometria como tal sistema deductivo. Utilizaron un cuestionario respondido por 201 alumnos que constaba de 6 partes, cada una de las cuales analizaba un aspecto particular de este aprendizaje. Entre las conclusiones a que llegaron 10s autores, destacamos las siguientes: 1. La habilidad para reconocer y dibujar figuras geométricas sencillas es alta; no obstante, casi la cuarta parte de 10s alumnos no reconocen que la figura a) es un rombo a pesar de señalarles mediante un segmento la igualdad de sus lados; en cambio, practicamente todos reconocen la figura b) (de nuevo estamos ante un abuso de 10s modelos prototipicos). 2. Un número variable de estudiantes (entre 1/3 y 2/3, dependiendo del curso) comprenden la naturaleza minimalista de la definición matematica,