Concepciones erróneas en matemáticas. Revisión y evaluación de las investigaciones

José del Rio Sánchez I.C.E. U. de Salamanca Educa , 17 (1990) 205-219 CONCEPCIONES ERRÓNEAS EN MATEMÁTICAS. REVISION Y EVALUACION DE LAS INVESTIGACIONES RESUMEN En es e a iculo se e isan las in es igaciones sob e las concepciones e ó- neas que poseen 10s es udian es de Enseñanza P ima ia y Enseñanza Secun- da ia ace ca de 10s p incipales emas del cu iculum de ma emá icas. Se e alúan y se o mulan suge encias pa a pos e io es abajos. ABSTRACT This a icle examines esea ch in o he e oneous concep ions h a s uden s in P ima y and Seconda y Educa ion ha e abou he p incipal subjec s in he ma hema ics p og amme. These concep ions a e e alua ed and sugges- ions a e made o u he s udies. In oducción Los e o es más ecuen es que come en 10s es udian es al ealiza cie as a eas escola es (con es ación a p egun as, o mulación de conje u as, eso- lución de p oblemas o eje cicios, discusiones g upales, e c.) han dejado de se exclusi amen e sancionados pa a con e i se en el cen o de in e és de una linea de in es igación muy impo an e an o en el campo de la educa- ción ma emá ica como en el de o as ma e ias, desa olladas, sob e odo, desde hace 15 años. Es os e o es son consecuencia de cie as ideas o con- cepciones e óneas que no malmen e se gene an du an e el p opio p oceso de ap endizaje, aunque, algunas exis en ya en 10s es udian es an es de que comience el p oceso ins uc i o especi ico del ema a ec ado. La de ección de concepciones e óneas, el analisis de sus causas y el es udio de su e olu- ción a 10 la go de 10s dis in os ni eles educa i os ha sido obje o de nume o- sos abajos. El in e és didac ico de es a linea de in es igación es eno me, sob e odo, pa a diseña y aplica es a egias ins uc i as que, den o del modelo cons uc i is a, aspi en a acili a un ap endizaje signi ica i o a 10s es udian es. En 10s pa a os siguien es, esumimos 10s esul ados ob enidos po las p incipales in es igaciones que se han ocupado de es e impo an e ema y o mulamos las conclusiones pe inen es. 1. Concepciones e óneas en a i mé ica Des acamos una in es igación sob e núme os en e os y dos sob e ac- ciones. BELL (1986b) se p opuso iden i ica las concepciones e óneas sob e 10s núme os en e os en una mues a de 400 niíios de 8-9 años y u ilizó pa a el10 a ias en e is as y una p ueba esc i a de 20 i ems que cub ia odos 10s ipos básicos de p oblemas con una ope ación (suma o es a). De ec ó las siguien es ideas e óneas: 1. Subi es au nen a : 10s niños con unden ( i hacia a iba)) en una escala con aumen a el núme o)), sin da se cuen a de que en algunos con ex os (lis as de discos mas endidos, núme os nega i os, e c.) una subida)) impli- ca una c disminución~) del ( alo absolu o) del núme o. 2. Igno ancia del signo nega i o: Sucede con ecuencia en la espues a a p egun as como &a: ((Un dia en Moscú la empe a u a descendió 6' en e la salida del sol y el mediodia. A la salida del sol e a de -7'. ¿Cual e a al mediodia?)). 3. Signo deno a egión: Se e ie e al hecho de que las a iaciones en la egión nega i a de una escala son a ec adas siemp e con el signo menos; po ejemplo, espues as como bajó -79) cuando se p egun a po la a ia- ción en e -9' y -2'. 4. F acaso en la in e sión: en 10s p oblemas donde es desconocido el es a- do inicial, 10s alumnos ealizan una in e sión del sen ido del cambio exp e- sado en el enunciado; po ejemplo: ((El disco a o i o de Sand a es a 5 luga es mas abajo de 10 que es aba hace dos semanas. Du an e la p ime a de es as dos semanas subió 3 luga es. ~Subió o bajó la segunda semana? ¿Cuan os luga es?)). Casi la mi ad de 10s alumnos espondió que bajó o subió dos luga es. CLEMENTS y DEL CAMPO (1987) se in e esa on en es udia el lenguaje que usan 10s niños pa a exp esa sus ideas sob e acciones y las elaciones con su habilidad pa a comp ende el lenguaje o mal al como apa ece en 10s lib os de ex o. In en a on explo a las ideas sob e las acciones o iginadas in ui i amen e po el uso de las palab as del lenguaje coloquial o de la p o- pia ins ucci6n o mal. En conc e o, in es iga on la concepción que poseen 10s niños de enseñanza p ima ia ace ca de las acciones 1/2, 1/4 y 1/3. U i- liza on 240 en e is as y un es de lhpiz y papel con 36 i ems que ue con es- ado po 1024 alumnos. En e sus conclusiones, des acamos las siguien es: 1. La mayo ía de 10s niños iene una buena comp ensidn ecep i a de 1/2 si po es o en endemos la habilidad pa a econoce lo como la mi ad de las igu as geomk icas sencillas. No obs an e, cuando el eje de sime ia de la igu a no es ni e ical ni ho izon al, algunos alumnos de 2O no econocie- on la ep esen aci6n pic 6 ica de 1/2. 2. La mayo ia de 10s niños u ie on di icul ades pa a con es a a las p e- gun as sob e 1/4 a pesa del c conocimien o)) de la noci6n c mi ad de la mi- ad)) debido a la escola izacion. Po ejemplo, cuando se les p esen 6 una igu a di idida en cua o pa es y s610 se colo e6 una de ellas, muchos alum- nos pensa on que el diag ama ep esen aba 1/3 po que asocia on la palab a cc e cio)) con (( es)) ya que e an es las zonas no colo eadas. S610 en 5' cu so algunos niños pa ecen habe desa ollado una idea co ec a de la e- p esen aci6n de 1/4 en igu a~ sencillas como ci cules, po ejemplo. 3. Aunque 10s niños saben c6mo epa i equi a i amen e un pequeño nú- me o de obje os en e es pe sonas cuando el epa o es exac o, sin emba - go, en con ex os con inuos, no iden i ican co ec amen e la unidad en e a y, po 10 an o, son incapaces de hace las pa iciones co espondien es a 1/3. 4. En cuando al o den en que 10s niños adquie en 10s concep os de 1/2, 1/4 y 1/3, Cs e depende de 10s con ex os (disc e o y con inuo) y del ipo de comp ensi6n ( ecep i a o exp esi a). Complemen ando el es udio an e io , TATSUOKA (1984) se ocup6 de exa- mina 10s e o es come idos en 10s algo i mos de suma y es a de acciones po 600 es udian es de enseñanza secunda ia. He aquí algunos de sus esul- ados m8s in e esan es: 1. La igno ancia de la acci6n en las ope aciones con núme os mix os; po ejemplo: 2. Conside acidn de que el nume ado y el denominado son elemen os independien es en una acción y, po 10 an o, puede ope a se con ellos ais- ladamen e, po ejemplo: 3. Ap endizaje memo is ico de las eglas 10 que p oduce allos ecuen- es; po ejemplo, en una suma de acciones con denominado es dis in os, mul iplican 10s denominado es y suman 10s nume ado es. 4. Incomp ensión del signi icado (( acional)) del ce o y del uno que se ma- ni ies a en e o es como 10s siguien es: 2. Concepciones e oneas en algeb a Rese iamos en es e pá a o es in es igaciones, has a cie o pun o com- plemen a ia~, que con igu an una buena pano amica del abajo en es e cam- po. La p ime a (BOOTH, 1982) u iliza 10s e o es en álgeb a p e iamen e de ec ados po el p og ama CSMS (((Concep s in Seconda y Ma hema ics and Science)); HART, 1981). Median e 72 en e is as y un es de lápiz y pa- pel pasado a 1.000 alumnos de enseñanza secunda ia, el au o iden i ica cua- o á eas de di icul ad: 1. In e p e acidn de le as: 10s es udian es ecuen emen e no comp en- den que las le as ep esen an núme os y que el núme o ep esen ado puede ene un único alo (como en x+2=5) o in ini os alo es (como en x+y=y+x o x+l=O). 2. Fo malización y simbolizacidn del mé odo algeb aic0 de esolución de p oblemas: 10s alumnos no u ilizan o no comp enden o come en e o es en la esolución algeb iaca de p oblemas po que no simbolizan ni o malizan 10s mé odos usados al esol e p oblemas a i mé icos. 3. Conjuncidn en la suma algeb aica: 10s es udian es no econocen exp e- siones adi i as del ipo n + 3 o 2 +a como esul ados y ienden a usiona las en las o mas 3n o 2a; po ejemplo, pa a muchos el pe ime o de la igu a es 211556 o 2u16 y el esul ado de suma 4 con 3n es 3n4 o 7n. 4. Uso de pa én esis: Los alumnos piensan que no es necesa io u iliza 10s pa én esis pues las ope aciones deben ealiza se en el mismo o den en que se esc iben y, en odo caso, el esul ado siemp e es el mismo. Un g upo de au o es españoles (GRUPO AZARQUIEL, 1987) pasa on una p ueba esc i a a 182 alumnos de 1' de BUP pa a hace un ca alogo o dena- do de 10s e o es en emas como ope aciones con núme os y le as, ecuacio- nes, sis emas y p oblemas de posible esolución algeb aica. Los e o es de ec ados caen, en gene al, den o de las cua o a eas de di icul ad indica- das an es po BOOTH. Pos e io men e ealiza on en e is as clinicas a algu- nos alumnos con el in de p o undiza en las conduc as e óneas y busca las posibles hipó esis que las expliquen. Pa a es os au o es, 10s p ocesos men- ales que conducen a es e ip0 de e o es se ian 10s siguien es: 1. Memo izacidn de eglas: endencia a unciona u ilizando siemp e una egla es ablecida. 2. Gene alizacidn abusi a: u ilización de eglas conocidas ue a de su con- ex o de alidez. 3. Uso indebido del signo igual: 10s es udian es conciben el signo igual como una acción que debe lle a a un esul ado en ez de conside a 10 como un equilib i0 manipulable en ambos sen idos. 4. Reduccidn de campo: 10s alumnos p escinden de algunas condiciones y se quedan s610 con las que son ele an es pa a el suje o. 5. Necesidad de clausu a : educción de las si uaciones a é minos mis simples y conocidos. 6. T aduccidn li e al de enunciados: elabo ación de la exp esión simbóli- ca en el mismo o den en que apa ece en el enunciado coloquial. Comple amos es os dos abajos exponiendo algunos de 10s esul ados ob- enidos po OPPENHEIM (1987) al es udia 10s e o es en c a i mé ica gene a- lizada>> median e un es de 135 i ems con es ado po 140 jó enes de enseñanza secunda ia. En el á ea de la in e p e acidn de le as, encon o que, aunque muchos es udian es econocian que las le as ep esen aban nú- me os, sin emba go alo aban las exp esiones en é minos de núme os pa - icula es; po ejemplo: 1. Pa a deci si A-B = O es una exp esión e dade a no bas a con sabe que A es igual a B sino que es necesa io conoce 10s alo es conc e os de A y de B. 3. N(l/N) no es 1 sino que depende del alo de N. En el i ea de la simbolizacidn de p oblemas, encon d que muchos alum- nos escogen la exp esi6n x > y pa a ep esen a la can idad en que x excede a y, y 2N/3N o N:2/3 o 2/3:N pa a ep esen a 2/3 de un núme o N. Asi- mismo, casi la mi ad de 10s alumnos in ie e de C > D y E > F la exp esidn C/E > D/F (en luga de C + E > D + F). 3. Concepciones e 6neas en geo né ica Seleccionamos de nue o cua o in es igaciones ep esen a i as de 10s es- udios que se han ealizado en es e campo. HERSHKOWITZ (1987) in es ig6 el ((g ado)) de asimilaci6n de algunos con- cep os bisicos de geome ia en alumnos de enseñanza p ima ia y secunda- ia (572), es udian es de una escuela de p o eso ado (142) y p o eso es de enseñanza p ima ia en eje cicio (25). En la iden i icaci6n y cons ucci6n de elemen os geomé icos cons a 6 e o es como 10s siguien es: 1. No econocimien o de iingulos ec ingulos en igu as como: 2. No econocimien o de las igu as siguien es como cuad ili e os: 3. Concepci6n de las al u as como segmen os ((in e io es)) al iingulo. El au o cons a 6 que algunos de es os e o es, como el e e ido a 10s cua- d ili e os, disminuyen con el ni el de escola izaci6n. O os, como en el ela- i o al iangulo ec ingulo, son compa idos de modo pa alelo po 10s es g upos que o maban la mues a (pig. 241). A ibuye es os compo amien- os a que 10s es udian es se dejan lle a en las a eas de iden i icación y cons- ucción po 10s p o o ipos, es deci , po aquellos supe -ejemplos que son 10s mas popula es de un concep o dado, y es as ep esen aciones empob e- cen el concep o po que, con ecuencia, ocul an alguno de sus a ibu os c i- icos. En elación ambién con la o mación y adquisición de concep os geomé- icos, MEDECI, SSPERANZA y VIGHI (1986) indaga on qué ca ac e is icas geo- mé icas son elegidas p e e en emen e pa a e ec ua 10s p ocedimien os de abs acción y cua1 es el papel del éxi o geomé ico. Sob e una mues a de 388 es udian s de 9-10 años, median e un cues iona io de 11 i ems, ob u ie- on 10s siguien es esul ados: 1. El núme o de lados de un poligono es un c i e io de clasi icación mas in ui i o que el pa alelismo de sus lados, el núme o de angulos ec os o la equisupe icialidad. 2. Sin emba go, cuando se a a de iangulos, la exis encia de un angulo ec o es un c i e io de clasi icación de e minan e; po ejemplo, a la p egun a: iPond ías la igu a I en A o en B? el 83 % de 10s alumnos esponde que en B. Es e esul ado con as a con el ob enido po HERSHKOWITZ (1987) pues supone un econocimien o gene a- lizado del iangulo ec angulo en posición no p o o ípica. Los mismos au o- es se so p nden de es e esul ado que a ibuyen a la ac i idad especi ica desa ollada en clase pa a econoce un ángulo ec o incluso cuando no es a dibujado con 10s lados pa alelos a 10s bo des de la hoja. 3. Como con as e, s610 la e ce a pa e de 10s alumnos econoce que es a igu a es un cuad ado; la mi ad 10 llama ombo, aunque las espues as a ian no- ablemen e de clase en clase segun que, en ellas, 10s alumnos hubie an a- bajado o no con las ans o maciones geo né icas. 4. La p esencia de un c nomb e p opio o icial)) que se puede a ibui a una igu a geomé ica in luye a menudo en el c i e i0 con el que 10s niños ag upan o asocian igu as. Sin emba go, se no an di icul ades al desc ibi las igu as cuando no se pueden deno a con nomb es conocidos. 5. El hecho de que muchos lib os de ex o, pa a cada ip0 de igu a, p e- sen en un solo ejemplo g á ico conduce a que esa igu a conc e a acabe po oma se como modelo es ánda del concep o. Los niños suelen amplia el modelo es anda s610 con aslaciones u homo ecias, 10 que es uen e de nume osos e o es. Es as ideas co obo an las an e io men e mencionadas de HERSHKOWITZ (1987) sob e 10s p o o ipos. DEL R o (1989) in es igo las ideas p e ias que ienen sob e las cónicas 10s alumnos de 3" de B.U.P. (17 años) an es de comenza su es udio sis emá ico. Con una mues a de 305 es udian es del dis i o uni e si a i0 de Salamanca y median e un cues iona io de 40 i ems, cons a 6 que la mayo pa e del conocimien o que poseen 10s alumnos sob e las cónicas es de ipo lsico y social pe o no Idgico-ma emá ico en el sen ido que da PIAGET a es os é - minos, pues solamen e han ealizado una abs acción empí ica (conocimien o isico) y han asignado a esas cu as el nomb e con encionalmen e acep ado en el en o no socio-cul u al (conocimien o social). Como consecuencia, las de iniciones de elipse, hipé bola y pa ábola, acep adas de modo casi unáni- me, es an cons i uidas po una sucesión de p opiedades ob enidas pe cep- ualmen e que in en an desc ibi po exhaus ión la o ma de la cu a. Las p incipales ideas p e ias e óneas de ec adas ue on las siguien es: 1. Un o alo cons uido con cua o a cos de ci cun e encia, como el de la igu a 5, es una elipse. 2. Un a co de ci cun e encia y dos semi ec as angen es en sus ex emos, como mues a la igu a 6, o man una pa abola. 3. Todas las cónicas pueden dibuja se pe ec amen e empleando so10 la egla y el compas. 4. Los es ipos de cónicas (elipse, hipé bola y pa ábola) son indepen- dien es no gua dan elación es uc u al en e si, ni di ec a ni indi ec a (a a- és de un elemen o ex e no como pod ia una supe icie cónica). 5. Una pa ábola (y, en gene al, cualquie cu a) no es un obje o geomé- ico independien e del sis ema de e e encia; po el con a io, p ime o exis- e el sis ema de e e encia como algo dado a p io i y después la cu a comple amen e encadenada a é1; es o implica que una cu a no iene in ini- as ecuaciones dependiendo del sis ema acogido sino una sola. 6. Puede aza se dos angen es dis in as en cada pun o de una cónica. 7. En gene al, 10s alumnos pe ciben que las cónicas es an poc0 conec a- das con la ealidad y 10s pocos casos en que ad ie en su p esencia ienen ca ac e is icas. O os abajos in es igan las ideas que ienen 10s es udian es sob e el ccmé- odo)) ma ema ico y su na u aleza. Des amos el abajo de VINNER y ZUR (1987) que examina si 10s es udian es de 10s cua o Úl imos cu sos de la ense- ñanza secunda ia han ap eciado el aspec o de la geome ia como un sis ema deduc i o y si han adqui ido algunas habilidades especí icas pa a el ap en- dizaje de la geome ia como al sis ema deduc i o. U iliza on un cues iona- io espondido po 201 alumnos que cons aba de 6 pa es, cada una de las cuales analizaba un aspec o pa icula de es e ap endizaje. En e las conclu- siones a que llega on 10s au o es, des acamos las siguien es: 1. La habilidad pa a econoce y dibuja igu as geomé icas sencillas es al a; no obs an e, casi la cua a pa e de 10s alumnos no econocen que la igu a a) es un ombo a pesa de señala les median e un segmen o la igual- dad de sus lados; en cambio, p ac icamen e odos econocen la igu a b) (de nue o es amos an e un abuso de 10s modelos p o o ipicos). 2. Un núme o a iable de es udian es (en e 1/3 y 2/3, dependiendo del cu so) comp enden la na u aleza minimalis a de la de inición ma ema ica,