Metodología para analizar la interacción entre lo cultural, lo social y lo afectivo en educación matemática

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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1), 19–36
METODOLOGÍA PARA ANALIZAR LA INTERACCIÓN
ENTRE LO CULTURAL, LO SOCIAL Y LO AFECTIVO
EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Planas, Nú ia
Depa amen de Didàc ica de la Ma emà ica i de les Ciències Expe imen als. Uni e si a Au ònoma de Ba celona
[email p o ec ed]
Resumen. Úl imamen e se iene p oduciendo un c ecien e én asis en aspec os sociocul u ales y a ec i os de la educación ma emá ica. Es e
a ículo p esen a un en oque inclusi o a es os aspec os pa a mejo a la comp ensión del p oblema de la al e nancia en e pa icipación y no-pa -
icipación en el aula de ma emá icas. Se desc ibe una me odología cuali a i a mic oe nog á i ca basada en es ca ego ías: a) la cul u al, ela i a a
di e encias en la in e p e ación de las no mas del aula; b) la social, ela i a a alo aciones dadas a las di e en es in e p e aciones; y c) la a ec i a,
ela i a a espues as emocionales dadas po los alumnos a no mas y alo aciones. Pa a p oba la adecuación de un en oque inclusi o al p oblema
mencionado, se exponen con de alle mé odos in e p e a i os que han sido usados en Planas (2001).
Palab as cla e. Educación ma emá ica, eo ías sociales del ap endizaje, pa icipación, mic oe nog a ía, no mas, alo aciones, espues as emo-
cionales.
Summa y. Recen ly, he e has been an inc easing emphasis on socio-cul u al and a ec i e issues in ma hema ics educa ion esea ch. This
pape p esen s an in e ela ed app oach o hese issues in o de o be e unde s and he al e nance be ween pa icipa ion and non-pa icipa ion
in he ma hema ics class oom. The me hodology exposed is mic o-e hnog aphic and based on h ee main ca ego ies: a) he cul u al, ela ed o
di e ences in he in e p e a ion o class oom no ms; b) he social, ela ed o alo iza ions gi en o di e en in e p e a ions; and c) he a ec i e,
ela ed o emo ional esponses gi en by he s uden s o bo h no ms and alo iza ions. Some in e p e i e me hods ha ha e been used in a ecen
wo k (Planas, 2001) a e shown in de ail as a way o p o e he adequacy o he in e ela ed app oach.
Keywo ds. Ma hema ics educa ion, social heo ies o lea ning, pa icipa ion, mic o-e hnog aphy, no ms, alo iza ions, emo ional esponses.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
Cada ez son más los es udios que conciben el ap endi-
zaje ma emá ico como una o ma de pa icipación social
(Ab eu y Cline, 2003; Al o y Sko smose, 2002; Mo gan,
2000). Muchos de es os es udios p es an a ención a la
plu alidad de signi i cados, alo aciones, legi imidades e
iden idades coexis en es en el aula y, simul áneamen e, a
la ges ión social de es a plu alidad. El ap endiz de ma e-
má icas es, en es os abajos, alguien cuyos signi i cados
pe sonales no siemp e coinciden con los legi imados en
el aula, que se encuen a some ido a las alo aciones del
en o no y que, además, econs uye con inuamen e su
iden idad en unción de las p ác icas en las cuales pa i-
cipa y aquéllas en las cuales deja de pa icipa .
Has a no hace mucho ha p edominado una isión esen-
cialmen e in ape sonal en el es udio de los p ocesos de
ap endizaje ma emá ico. De acue do con es e en oque,
el ap endizaje ma emá ico esul a di ícil debido a que en
los p ocesos de cons ucción de conocimien os in e ie-
nen aspec os de ca ác e in ape sonal que son e dade-
os obs áculos a supe a . Pe o, jun o con los obs áculos
cogni i os de i ados de las si uaciones in ape sonales
en los p ocesos de ap endizaje, exis en obs áculos en la
comp ensión de las o mas de pa icipación en el aula
que in l uyen ine i ablemen e en es os p ocesos. Recien-
es in es igaciones sob e el aula de ma emá icas desde
una pe spec i a sociocul u al y a ec i a in eg ada ponen
ANTECEDENCTES Y JUSTIFICACIÓN
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
20 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
de mani i es o p oblemas en el ap endizaje ma emá ico
su gidos de las di i cul ades de los alumnos po in en a
comp ende y aplica los elemen os legi imados de la di-
námica gene al del aula (Boale y G eeno, 2000; E ans,
2000; Ze enbe gen, 2002).
Le man (2001) señala la g an di i cul ad po encon a
modelos me odológicos álidos como uno de los mo-
i os del echazo al es udio de los elemen os sociocul-
u ales y emocionales in oluc ados en el ap endizaje
ma emá ico. Aún al a mucho pa a consolida líneas de
in es igación que in eg en lo a ec i o, lo cul u al y lo so-
cial en educación ma emá ica. Desa olla me odologías
en es e sen ido es c ucial po que ha de acili a una mejo
comp ensión de los p ocesos de ap endizaje de odos los
alumnos y, en especial, los de aquéllos pe enecien es a
g upos mino i a ios en si uación de iesgo social cuyas
dis ancias a las o mas legi imadas de ac uación en el
aula a menudo suponen un obs áculo en su p opia pa -
icipación.
CUESTIÓN DE INVESTIGACIÓN Y OBJETI-
VOS DEL ESTUDIO
La cues ión cen al de in es igación que ca ac e iza
el es udio es la siguien e: ¿Se pueden es ablece co-
nexiones en e la comp ensión que un alumno iene de
las no mas del aula de ma emá icas y la apa ición de
obs áculos en su p oceso de ap endizaje ma emá ico?
En Planas y Ci il (2002) se explica la e olución desde el
in e és inicial cen ado en el ema de la no-pa icipación
has a la p esen e cues ión.
Buscamos las conexiones desde el supues o que: a) la
di e sidad de in e p e aciones de las no mas p o oca
di i cul ades comunica i as en los pa icipan es del aula
de ma emá icas; b) los p ocesos sociales desa ollados en
dicha aula condicionan las opo unidades de esolución de
es as di i cul ades; c) las di i cul ades comunica i as y las
di i cul ades pa a esol e las in l uyen en los p ocesos indi-
iduales de ap endizaje ma emá ico; y d) las conexiones
en e comp ensión de no mas y obs áculos en los p ocesos
de ap endizaje ma emá ico deben busca se eniendo en
cuen a los dos ipos de di i cul ades apun ados. En pa i-
cula , o mulamos la cues ión de in es igación en el caso
de jó enes en si uación de iesgo al se los que acumulan
mayo es índices de acaso en la ma emá ica escola y
los que pa ecen p esen a una mayo dis ancia cul u al
al con ex o no ma i o académico: ¿Cuáles son las co-
nexiones en el caso de alumnos especialmen e dis an es
de la cul u a académica y social ep esen ada en el aula
de ma emá icas de secunda ia? Po o a pa e, la cues ión
de in es igación enlaza con una e l exión más gene al
sob e las conexiones en e los p ocesos in ape sonales e
in e pe sonales de ap endizaje en cualquie aula y la me-
diación del con ex o social: ¿En qué sen ido los p ocesos
de ap endizaje es án in l uenciados po las ca ac e ís icas
sociales del con ex o donde se p oducen?
De acue do con la cues ión de in es igación y a la luz
del es ado ac ual de los abajos en es a á ea de es udio,
enunciamos el siguien e obje i o p incipal: pone de
mani i es o obs áculos en el ap endizaje ma emá ico
de i ados de la complejidad sociocul u al del aula de
ma emá icas. Es e obje i o p e ende indaga y documen-
a dos ealidades dis in as pe o insepa ables: la comple-
jidad cul u al del aula de ma emá icas (la di e sidad de
in e p e aciones de las no mas) y la complejidad social
(la di e sidad de alo aciones y legi imidades). Una
ez p obada la complejidad sociocul u al, se es udia
su impac o en los p ocesos indi iduales de ap endizaje
ma emá ico. Se buscan obs áculos en el ap endizaje
que pa ezcan es a elacionados con la expe iencia de
in e p e aciones no compa idas de las no mas del aula,
con alo aciones nega i as no espe adas po el alumno y
con escena ios emocionales asociados a la i encia del
con as e de no mas y alo aciones.
La ase empí ica se o ganiza po medio de cinco obje i-
os especí i cos que ope a i izan el obje i o p incipal y
a iculan cinco g andes emas:
1) Iden i i ca momen os de in e upción en los p ocesos in-
di iduales de ap endizaje ma emá ico –la agilidad de las
ayec o ias de pa icipación en el aula de ma emá icas.
Pa a cada caso de in e upción documen ado:
2) Iden i i ca di e gencias en la in e p e ación de las
no mas socioma emá icas del aula y dis ancias cul u a-
les eme gen es en e los pa icipan es –la complejidad
cul u al del aula de ma emá icas.
3) Iden i i ca alo aciones asociadas al alumno y dis-
ancias sociales eme gen es en e los pa icipan es –la
complejidad social.
4) Iden i i ca espues as emocionales del alumno an e
dis ancias cul u ales y sociales i idas as las expe ien-
cias de con as e de no mas y alo aciones –la di e si-
dad de expe iencias de la complejidad sociocul u al.
5) Cuando sea posible, elabo a una u a explica i a
pa a la in e upción e indaga explicaciones en base
a dis ancias cul u ales, sociales y expe iencias que el
alumno iene de ellas –obs áculos en el ap endizaje
ma emá ico.
ENFOQUE METODOLÓGICO
La ap oximación me odológica es básicamen e de ca ác-
e idiog á i co, en el sen ido de Cohen y o os (1997).
Es o signi i ca, en e o as cosas, que el ipo de es udio
y los supues os adop ados pa en de una ealidad polié-
d ica y dinámica del aula y sus pa icipan es. Conoce
empí icamen e la ealidad que nos in e esa consis e en
conoce las in e p e aciones que de ella hacen los que la
cons uyen de o ma ac i a. El acceso a la ealidad del
aula se p oduce de modo cuali a i o, a a és de lo que
sus pa icipan es dicen, hacen o sugie en y, po an o, la
in e p e ación de las in e p e aciones de los pa icipan es
se con ie e en el elemen o cen al del análisis.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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Nues a in e p e ación inclusi a del enómeno de acaso
ma emá ico escola se undamen a en las eo ías sociales
del ap endizaje y, más en conc e o, se basa en es ele-
men os que ca ac e izan la pa icipación del alumno en
el aula (Planas, 2002): a) la iden idad, cons uyéndose,
econs uyéndose y «co-cons uyéndose» a pa i de las
in e acciones sociales que modelan la pa icipación del
alumno en el aula de ma emá icas (los p ocesos de esis-
encia y adecuación de Ze enbe gen (2002); b) el signi-
i cado, c eándose y ec eándose en las di e en es o mas
de pa icipación usadas po los alumnos (las no mas
sociales y socioma emá icas de Yackel y Cobb (1996);
c) el discu so, p oduciéndose y ep oduciéndose po me-
dio de mecanismos que con olan el acceso del alumno
a las di e en es o mas de pa icipación (las alo aciones
y legi imidades de Le man, 2001). Es a iple ap oxi-
mación a los hechos del aula de ma emá icas da luga a
nues as es ca ego ías de análisis:
1) Ca ego ía cul u al: no mas usadas o suge idas en el
aula du an e el pe íodo de pa icipación del alumno, di-
e en es de las espe adas po él.
2) Ca ego ía social: alo aciones nega i as ecibidas
du an e es e mismo pe íodo.
3) Ca ego ía a ec i a: espues as emocionales mani-
es adas po el alumno, apa en emen e como eacción a
no mas inespe adas y alo aciones nega i as.
Al obse a las in e acciones sociales del aula pa a co-
noce agmen os de la ealidad expe iencial del alumno,
p e endemos in eg a el es udio de ac o es a ec i os,
cogni i os, cul u ales y sociales. Pa a indaga ac o es
in ape sonales a pa i del es udio de ac o es in e pe -
sonales, se ha c eído con enien e adop a un mé odo
mic oe nog á i co cen ado en un es udio de casos. La
mic oe nog a ía es idónea cuando se conside a que las
elaciones a es udia se han o iginado básicamen e en
el en o no donde se cen a la ecogida p incipal de da-
os (Cla ke, 1998). Algunas de las in es igaciones que
o ien an la undamen ación empí ica, inspi an pa es
cen ales del diseño me odológico y jus i i can el en oque
mic oe nog á i co son de los siguien es au o es:
– Wenge (1998), po la ca ac e ización de las iden ida-
des indi iduales de pa icipación y no-pa icipación en
un con ex o de p ác icas y la apo ación de compo a-
mien os que exp esan el abandono de la implicación.
– Ab eu (1993), po la aplicación de una mic oe nog a ía
en es udios sob e comunidades de p ác icas cen ados en
aspec os elacionados con la a iedad de signi i cados de
e e encia coexis en es.
– Cobb y Yackel (1998), po el uso de un análisis in e-
accional al es udia signi i cados de en ada y de salida
no siemp e coinciden es en las in e acciones sociales del
aula de ma emá icas.
– Le man (2000), po el plan eamien o de in e ogan es
concep uales y me odológicos a los abajos de Cobb y
sus colegas, y po la p opues a de a iables de es udio
que in eg en el papel de las alo aciones en los mic o-
p ocesos de in e acción social en el aula de ma emá i-
cas.
– Wood (1994), po el análisis mic ocuali a i o de
modelos de in e acción social en el aula a pa i de la
simpli i cación p og esi a de elemen os na a i os y
si uacionales del discu so que e elen alo aciones e
in encionalidades.
DISEÑO EMPÍRICO
El es udio u o luga en es aulas de ma emá icas de
secunda ia con alumnos de en e 16 y 18 años. Se ob-
se a on un o al de 24 alumnos, 6, 7 y 11 en cada aula.
La ex ema ma ginación de los es cen os públicos de
Ba celona donde se ubican las aulas explica a ios an
bajas. En un es udio p e io (Planas, 1999), se concluyó
que los alumnos con iden idad social de iesgo son más
p opensos a hace isibles sus episodios de no-pa icipa-
ción en el aula debido a su habi ual al a de compe encias
escola es básicas («¡Ya u e bas an e!», «¡No me mi es,
ol ídame!», i se del aula dando un po azo, mi a i ja-
men e a a és de la en ana du an e mucho a o). Es de
supone , pues, que la selección de es e ipo de alumnos
hab á de acili a la iden i i cación de in e upciones po
medio de mecanismos sencillos ales como la obse a-
ción. Una ez elegido el pe i l de alumnos, se escogie on
aulas conducidas po p o eso es con los cuales ya se
había colabo ado en o as ocasiones.
Las sesiones de aula donde se localizan los casos de
in e upción se obse a on y g aba on en audio y ídeo
en e sep iemb e y diciemb e de 1999. El p ocedimien-
o pa a la ecogida de da os consis ió en escucha y
ansc ibi las sesiones y, a con inuación, comple a las
ansc ipciones con las no as de campo esc i as po la in-
es igado a du an e la sesión o inmedia amen e as ella.
El escaso núme o de alumnos pe mi ió la o ganización
en dos g upos de abajo, po lo que dos cáma as ue on
su i cien es pa a ecoge con exac i ud palab as, ges os
y acciones de odos los pa icipan es. Op amos po un
ambien e de esolución de p oblemas donde el abajo en
g upo omen a a una con inua in e acción en e alumno
y en o no. La in es igación en su o alidad gene ó una
as ísima colección de g abaciones y ansc ipciones.
Pa a cada caso de in e upción, y con el p opósi o de
busca causas de ipo in ape sonal, sólo analizamos
las g abaciones y ansc ipciones ob enidas en la sesión
donde dicha in e upción se había p oducido.
MÉTODOS DE ANÁLISIS: EJEMPLIFICACIÓN
DE UN CASO
Du an e una sesión de clase en una de las aulas obse a-
das, uno de los alumnos, A1, expe imen ó una in e up-
ción de la ga du ación en su p oceso de ap endizaje ma-
emá ico. Es e apa ado desa olla los pasos seguidos con
el p opósi o de es udia en de alle ac o es sociocul u a-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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les y a ec i os elacionados con el con ex o no ma i o
del aula de ma emá icas que puedan habe con ibuido a
p o oca la in e upción.
Iden i i cación de la in e upción
En p ime luga , se cons uyen dos coo denadas comple-
men a ias, la na a i a y la c onológica. La coo denada
na a i a ecoge momen os del discu so del aula que po-
nen de elie e un cambio en la pa icipación del alumno,
mien as que la c onológica mues a cuán o du a la e apa
de no-pa icipación esul an e del cambio. Las coo denadas
es an es de localización apo an in o mación adicional
pa a con ex ualiza de un modo gene al la in e upción. A
con inuación, se hace un p ime análisis in ui i o del caso
cen ándonos en la espues a a cues iones ela i as a la si-
uación del alumno en el aula y an e la a ea ma emá ica a
lo la go de la sesión: ¿a quién (no) mi a?, ¿quién (no) le
mi a? / ¿a quién (no) habla?, ¿quién (no) le habla? / ¿a
quién (no) escucha?, ¿quién (no) le escucha? / ¿qué eac-
ciones emocionales? ¿qué escena ios emocionales? / ¿qué
p ocesos, qué di i cul ades, qué éxi os y e o es? El análisis
in ui i o de es as espues as decide si es azonable pasa a
una ase a anzada del es udio. En es e caso, hay elemen os
del en o no in e pe sonal del alumno que pueden habe
con ibuido a p o oca cambios en su pa icipación.
Coo denada na a i a
A1 in e iene en la discusión conjun a po inicia i a p o-
pia, «el 3 a mal po que es impa », «yo pond ía jus i o
lo que piden po que, si nos empezamos a anima , luego
el pas el no se a a pa ece en na[…]»
Reacciona ac i amen e a los comen a ios ajenos, «bueno,
yo casi que digo lo de pone lo jus i o po que e a a sali
mejo , pe o, si ponemos un poqui o más o un poqui o me-
nos, no a a pasa na, que el pas el es á bueno igual.»
In oduce nue os elemen os en la discusión, « ú e as a la
ienda, al colmade o ése, y comp as un cacha o de ésos,
un molde de esos pa 10 y e as echando lo que e quepa,
lo meneas o, lo que sob a lo i as, y ya es á, ío.»
Sigue con la mi ada a los que oman la palab a y acaba
ases empezadas, «eso, al limón le sacas la piel pa ene
más pedazos y e salga o más i no.»
Responde g ose amen e al p o eso , «mi a, ío, yo no
sé hace pas eles pe o el p oblema hace a o que lo he
hecho, ¡no e jode!»
In e cambia bu las con A2 di igidas a o os compañe os
y al p o eso . Es i ado en la silla, bos eza uidosamen e.
En posición apá ica, se coloca una go a que le apa los
ojos. Callado, a aña la mesa y con inúa con bu las sin
ol e a in e eni en la discusión ma emá ica. Pide al
écnico que no le g abe, «¡a mí ni me mi es, nen!»
Los úl imos minu os de la sesión no habla con nadie,
apenas ges icula ni se mue e.
Coo denada c onológica
In e alo de in e upción
0’00’’ 33’00’’ 45’00’’
Eje c onológico de la sesión Pa icipación No-pa icipación
Coo denadas de localización
Po limi aciones de espacio, no documen amos las co-
o denadas en su o alidad. Aun así, es posible segui el
es udio del caso. Nos in e esa más esal a el ipo de
a iables secunda ias seleccionadas que comen a sus
con enidos especí i cos.
Con ex o del cen o: Cen o expe imen al de la e o ma
educa i a; in aes uc u a ísica muy deg adada; 8 de
a io alumnos-p o eso ; e c.
Con ex o del c édi o: La esolución de p oblemas como
cen o de in e és; p oblemas o ganizados en dos bloques
al e nados sob e p opo cionalidad y lógica, abajo en
pequeños g upos seguido de discusión conjun a, e c.
Con ex o de la sesión: P ime a sesión g abada y cua a
del c édi o; ma es, de 9’15h a 10’00h; el écnico de í-
deo y la obse ado a son bien ecibidos; al a un alumno,
el es o se dis ibuye en los dos g upos de abajo habi-
uales ( e dibujo); e c.
El p o eso epa e i chas con el enunciado del p oblema:
Que emos cocina un pas el de manzana. Tenemos la e-
ce a con los ing edien es pa a 3, pe o debemos cocina
pa a 10 in i ados. ¿Qué can idad de cada ing edien e
se á necesa ia?
Ing edien es pa a 3 Ing edien es pa a 10
1 manzana g ande ________________
2 hue os ________________
75 g amos de azúca ________________
25 g amos de man equilla ________________
100 g amos de ha ina ________________
1/2 limón ________________
1 pellizco de sal ________________
i
A4
A5
Case e
A3 A1 A2
Case e
Pue a Cáma a
Obse ado a
P
Piza a
Ven anas
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
Pe i l del g upo clase: 3 chicas –2 de e nia gi ana y 1 de
habla cas ellana– y 3 chicos –2 de e nia gi ana y 1 ma-
oquí– ; odos los alumnos hablan el cas ellano y en ien-
den el ca alán aunque no lo usan; pe enecen a amilias
deses uc u adas, e c.
Pe i l del alumno (A1): Chico; 17 años; epe ido de 3º
de ESO; sin g aduado escola ; expulsado de o o cen o
po ag esión g a e y ei e ada a in aes uc u as; inmi-
g an e ma oquí de segunda gene ación; el p o eso lo e
inquie o, ag esi o y ne ioso; le gus an las ma emá icas
«po que e hacen pensa has a ol e e loqui o». Ayuda
a sus he manos pequeños a hace los debe es, e c.
Pe i l del p o eso (P): Licenciado en biología; 50 años;
25 años de expe iencia docen e; implicación ac i a en
mo imien os de eno ación pedagógica, e c.
Cons ucción de los g a os cul u ales
Los g a os cul u ales o ganizan in o mación sob e la
di e sidad de in e p e aciones de las no mas del aula du-
an e el pe íodo de la sesión p e io a la in e upción. La
cons ucción de g a os cul u ales ha de pe mi i de ec a
dis ancias cul u ales del alumno con o os pa icipan es.
An es de la in e upción, A1 i e al menos es di e gen-
cias al in e p e a es no mas del aula: pa icipación del
p o eso (N1), iempo de esolución de un p oblema (N2)
y pa icipación de A1 (N3). Se elabo a y comen a un g a o
cul u al simple pa a cada di e gencia (Cuad os I, II y III).
Po la cla idad de sus con enidos, ep oducimos los es
g a os sin comen a los. El g a o cul u al compues o inclu-
ye las es di e gencias e in oduce espues as emociona-
les del alumno al expe imen a las (Cuad o IV). Rep odu-
cimos agmen os de la discusión del g a o compues o.
F agmen os de la discusión del g a o cul u al compues o
El con as e en e la in e p e ación pe sonal de las no mas
N1, N2 y N3 de A1 y las del es o de pa icipan es señala múl-
iples dis ancias cul u ales. En elación con N1 (pa icipación
de P), exis e un impo an e con as e en e la in e p e ación
de A1, sos enida explíci amen e po sus compañe os, y la
in e p e ación simul ánea de P. Coexis e una concepción
di ec i a del ol del p o eso con una no di ec i a.
En elación con N2 ( iempo de esolución de un p oble-
ma), el con as e p incipal uel e a p oduci se en e A1
y P. Mien as A1 y el es o de alumnos espe an una e-
solución del p oblema o denada, uní oca e inequí oca,
P op a po conduci una discusión abie a y poco p ecisa,
que sea suge en e pe o no concluyen e.
En elación con N3 (pa icipación de A1), apa ecen dos
con as es signi i ca i os cuando A1 oma la palab a
pa a eclama más a ención. P pe mi e que A1 hable a
pesa de no in eg a sus apo acions, insinuando así la
escasa impo ancia que le a ibuye a sus ideas. A2 y A3
aconsejan a A1 que desis a de explica la es a egia de
esolución y le ecue dan la con eniencia de que sea P
quien esuel a el p oblema.
De es as di e gencias, su gen unas cie as dis ancias
cul u ales. La mayo dis ancia cul u al de A1 es con P,
como esul ado de las di e gencias i idas en la com-
p ensión de las es no mas ci adas. La dis ancia cul u al
de A1 con A2 y A3 p o iene del con as e en o no a N3.
La al a de apoyo de A2 y A3 a A1, cuando és e ei in-
dica su au o idad ma emá ica y el de echo a se enido
en cuen a, c ea una dis ancia que aisla aún más las de-
mandas de A1. Con sus comen a ios y ges os, y con la
adopción de una ac i ud pasi a en momen os cla e, A2
y A3 asien en de modo ac í ico a las obse aciones de
P y de i enden una ac i ud pacien e y con o mis a an e
el discu so dominan e en el aula. A2 y A3 no niegan la
alidez de los azonamien os de A1, pe o pa ecen con-
side a los inopo unos. Po úl imo, no puede deci se
que exis a una e dade a dis ancia cul u al de A1 con
A4 y A5. Las in e p e aciones pa a las no mas N1 y N2
son esencialmen e con e gen es. A4 y A5 mues an
señales de coincidencia en las demandas de una mayo
di ec i idad y conc eción pa a el p oceso de esolución.
Respec o a la pa icipación de A1, no exp esan opinión
alguna. No debe con undi se la elación poco amis osa
en e es as alumnas y A1 con juicios emi idos sob e su
compe encia ma emá ica y sus o mas de pa icipación.
A4 y A5 escuchan con a ención azonamien os de A1 e
in eg an algunas de sus ideas.
Cons ucción de los g a os sociales
Pa a cada g a o cul u al simple elabo amos un g a o
social simple, de modo que in e elacionamos las ca-
ego ías cul u al y social cons uidas (Cuad os V, VI y
VII). Los g a os sociales o ganizan in o mación sob e la
di e sidad de alo aciones dadas a las in e p e aciones
de las no mas que el alumno exp esa du an e la sesión y
an es de la in e upción. La cons ucción de g a os socia-
les con ibuye a de ec a dis ancias sociales del alumno
con o os pa icipan es. Localizamos di e sas alo acio-
nes asociadas a las in e p e aciones de A1. Cada g a o
social simple con iene alo aciones emi idas espec o
a una de las no mas gene ado as de con as e. El g a o
social compues o con iene odas es as alo aciones, la
legi imidad de sus emiso es y las espues as emocionales
del alumno a dichas alo aciones (Cuad o VIII).
F agmen os de la discusión del g a o social compues o
A lo la go de las di e gencias de no mas y alo aciones
i idas po A1 an es de la in e upción, se gene an o
e ue zan dis ancias sociales eme gen es en e él y o os
pa icipan es que du an oda la sesión sin que se p oduz-
can ace camien os. Es o ocu e en las dis ancias de A1
con P, A2, A4 y A5. Las dos dis ancias con P y A2 son
simila es. Aunque po mo i os di e en es (P p e ende
c ea un ambien e de aula conc e o y A2 quie e p o ege
de es ue zos inú iles a su compañe o), ambas dis ancias
ienen ma cadas po echazo a la ac i ud de A1 y me-
nosp ecio po las o mas de implicación desmesu ada
de es e alumno en la a ea ma emá ica. P y A2 cuen an
con una al a legi imidad en el aula y ello magni i ca las
dis ancias.

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
24 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
Se obse a una con inua ensión en las o mas de con ac o
de A1 con A4 y A5, al a de co dialidad y con i anza. P e-
dominan las bu las y una ausencia de espe o a a és de
alo aciones nega i as exp esadas sis emá icamen e as
las in e enciones de A1. Es a dis ancia no pa ece es a e-
lacionada con la in e p e ación de las no mas de A1, sino
con enemis ades an e io es. A4 y A5 no eciben especial
conside ación de A1 ni de P, lo que educe el impac o de
es a dis ancia social. Po úl imo, la dis ancia en e A1 y
A3 se cons uye a medida que a anza la sesión, como e-
sul ado de sucesi as in e acciones de A3 con compañe os
que la lle an a modi i ca la con i anza incondicional en
A1. Cuando A3 se da cuen a de que la es a egia de A1 es
cues ionada, aunque no se han demos ado e o es en su
en oque, pasa a conside a poco ú iles las ideas de A1 y
exage ado su es ue zo. Es a dis ancia supone un cambio
adical en las elaciones en e A1 y A3, aunque A3 con i-
núa eje ciendo g an in l uencia en A1.
Cons ucción del g a o expe iencial
El g a o expe iencial es un ins umen o, eme gen e de los
g a os cul u ales y sociales, con una unción explo a o-
ia del con ex o desde la pe spec i a del alumno (Cuad o
IX). A pa i del con as e de no mas y alo aciones en el
aula, se elabo a el g a o expe iencial con el obje i o de
con ola las econs ucciones de las no mas que A1 ea-
liza al pe cibi in e p e aciones ajenas y alo aciones no
espe adas. Aho a, las espues as emocionales del g a o
cul u al compues o y del social eciben un a o con inuo
en la con i gu ación de los escena ios emocionales de A1
p e ios a la in e upción. En es e pun o, se in e elaciona
lo cul u al, lo social y lo a ec i o.
F agmen os de la discusión del g a o expe iencial
Hay dis ancias cul u ales y sociales que lle an a A1 has a
econs ui su posición en el aula con un cie o en ado,
ea i mando in e p e aciones iniciales de dos no mas y
modi i cando en pa e o a in e p e ación. Respec o a N1, A1
man iene su in e p e ación a pesa de habe comp obado su
aislamien o. Aunque P y sus compañe os, excep o A3, le
p esionan pa a abandona su in e p e ación, la dis ancia cul-
u al an e el ue e con as e con P y las alo aciones usadas
po és e pa a eje ce p esión sob e A1 no consiguen cambia
su ac i ud c í ica y ei indica i a. La dis ancia sociocul u al
asociada a N1 pa ece po encia el compo amien o de A1.
En o no a N2, la dis ancia cul u al, aho a p oceden e
del ue e con as e con la in e p e ación de P y de las
alo aciones usadas po és e pa a eje ce p esión sob e el
alumno, no modi i can la insis encia de A1, quien con inúa
exigiendo más p ecisión en el p oceso de esolución. Pe o
es a dis ancia no ac úa como un po enciado del compo -
amien o de A1, ya que el alumno mues a cansancio e
i i ación an e el con o mismo dominan e en el aula. El
impac o de es a dis ancia pa ece ene un e ec o acumula-
i o sob e la expe iencia de la dis ancia an e io .
Respec o a N3, A1 econs uye su in e p e ación inicial
al da se cuen a de que la de ensa de su es a egia de e-
solución equie e aliados en el aula. La dis ancia cul u al
y social con P, A2 y A3 y la social con A5 consiguen que
A1 deje de pensa que la cuo a de pa icipación iene
dada po el acie o de sus ideas y se ce cio e de que dicha
cuo a le ha de se o o gada po los o os y, en especial,
po P. Aun así, A1 con inúa con i ando en la alidez de su
es a egia. El cambio pa cial en su in e p e ación pa ece
su gi de un p oceso c ecien e de cansancio e i i ación
iniciado con la i encia de las dos dis ancias an e io es.
Es inmedia amen e después de la econs ucción de N3
po pa e de A1 cuando se p oduce la in e upción y el
alumno deja de in e eni en la a ea ma emá ica.
Elabo ación de la u a explica i a
Es e ins umen o eo ganiza y sin e iza in o mación de
ases an e io es del análisis y explo a elaciones eme -
gen es en e dis ancias cul u ales, dis ancias sociales,
escena ios emocionales y la pos e io in e upción. Re-
p oducimos un esquema de la u a explica i a (Cuad o
X). La columna de la izquie da con iene una secuencia
c onológica con las p incipales dis ancias cul u ales de-
ec adas. La columna de la de echa con iene las co es-
pondien es dis ancias sociales. Una columna in e media
ecoge los escena ios emocionales del alumno p edomi-
nan es en cada momen o. La u a explica i a, al igual
que el g a o expe iencial, in e elaciona las ca ego ías
cul u al, social y a ec i a, pe o aho a con el p opósi o
de incula las elaciones ob enidas con explicaciones
azonables pa a la in e upción.
F agmen os de la discusión de la u a explica i a
La in e upción puede conside a se como consecuencia
del p oceso de desánimo c ecien e y aislamien o de A1.
Exis en al menos es mo i os desencadenan es que
ienen que e , espec i amen e, con las elaciones de
A1 y es miemb os del aula: P, A2 y A3. Hay un ue e
con as e de in e p e aciones en e A1 y P en o no a es
no mas esenciales (N1, N2 y N3). El con as e apa ece en
medio de di i cul ades comunica i as an e signi i cados
suge idos po P. El in en o de supe a las di i cul ades
conduce a nue as di i cul ades al negocia no mas y
alo aciones nega i as dadas a A1. La escasa a ención
de P a las ei indicaciones de A1 us a la negociación
y p o oca que A1 se di ija únicamen e a A2 i A3 con la
espe anza de consegui apoyos en su demanda de modi-
i ca el compo amien o de P.
El echazo a P se ex e io iza a a és del in e és de A1 po
llama la a ención de A2 mien as P se di ige a odos los
alumnos. Las elaciones en e A1 y A2 ambién son p o-
blemá icas. Exis e una con on ación la en e debido a la
al a de apoyo que A2 mues a hacia las ei indicaciones
de A1. La con on ación mani i es a llega con el es able-
cimien o del signi i cado legi imado de N3. El choque se
ca ac e iza po las di i cul ades de A1 pa a comp ende
la in e p e ación de A2 y los obs áculos pa a ace ca se a
él, ya que A2 e i a cla i i ca sus signi i cados. Es os obs-
áculos se acumulan a los apa ecidos cuando A1 in en a
iden i i ca y negocia las in e p e aciones de A2 pa a N1
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
25
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
y N2 y discu i las alo aciones nega i as que ecibe. Sin
con a con P ni con A2, A1 op a po e ugia se en A3, con
quien man iene una elación de amis ad. An e la so p esa
de A1, A3 se posiciona con A2 y apa ece una epen ina
con on ación en e A1 y A3. Los es ue zos de A1 pa a
que no p e alga una in e p e ación de N3 que con adiga
sus in e eses chocan con alo aciones nega i as de A3
sob e su ozudez y su escaso dominio ma emá ico. La
negociación con A3 se inicia c eyendo que el a aque ines-
pe ado es u o de una b oma pesada, pe o la pe sis encia
de A3 cues iona se iamen e es e supues o. A1 se da cuen a
de que no puede compa i sus ei indicaciones sob e N1 y
N2 con nadie y, además, no se le pe mi e jus i i ca la es a-
egia de esolución echazada po P y sus compañe os.
CONCLUSIONES
La p incipal conclusión en elación con la me odología
adop ada en la in es igación indica que el en oque me-
odológico ha sido de g an u ilidad pa a la consecución
de los obje i os y la ap oximación de espues as a la
cues ión de in es igación. Las ca ego ías elabo adas y
los ins umen os de análisis son de especial ele ancia.
En elación con los ins umen os de análisis cons uidos
especialmen e pa a es e es udio, se ha comp obado que
son adecuados, cada uno de ellos en di e en e medida, en
el es ablecimien o de elaciones en e las pe spec i as de lo
cul u al, lo social y lo a ec i o. El ca ác e complemen a io
de es os ins umen os ha a o ecido la isión conjun a e
in eg ada de los di e sos emas de in e és pa a cada caso
de in e upción y, además, ha apo ado dinamismo a los
episodios pun uales i idos po el alumno, con i iéndolos
en una secuencia con inua con cohe encia in e na. Po o a
pa e, la o ganización de los da os, ya educidos, po medio
de las coo denadas de iden i i cación, de localización de los
g a os cul u ales, los sociales, los expe ienciales, y las u as
explica i as, ha pe mi ido abaja simul áneamen e los es
emas de in e és (in e p e aciones de las no mas, alo acio-
nes y espues as emocionales), ecupe ando cada uno de
ellos cuando ha sido necesa io y encon ando c i e ios de
clasi i cación que han acili ado el seguimien o de los casos
sin ene que ecu i cada ez a oda la in o mación inicial.
Asimismo, los da os de cada caso de in e upción, o gani-
zados po medio de los ins umen os mencionados, han sido
un ac o de iangulación cla e al con ola la in l uencia de
los pun os de is a pe sonales de la in es igado a du an e
odo el p oceso de simpli i cación e in e p e ación.
Respec o a las ca ego ías de análisis, podemos deci que
la dis inción en e las ca ego ías cul u al, social y a ec-
i a, jun o con las conexiones es ablecidas en e ellas al
de i ni las, ha esul ado undamen al pa a con ola en
qué momen os se en a izaba la dimensión cul u al del
aula de ma emá icas, en qué o os la dimensión social
y en qué o os la dimensión emocional de sus pa ici-
pan es, sin que ello haya signi i cado a a dichas di-
mensiones po sepa ado. Los da os na a i os ecogidos,
an o los ela i os a di e gencias como a alo aciones
o emociones, han sido ácilmen e manipulables y los
desc ip o es a los que se han educido han se ido pa a
mos a signi i cados pe sonales, legi imidades y cambios
en los es ados de ánimo sin ene que ecu i a comple-
jas con ex ualizaciones. El análisis de la in o mación de
acue do con las es ca ego ías cons uidas, además de
un ap oximación mic oscópica al es udio de cada caso
de in e upción, ha supues o una au én ica ap oximación
mac oscópica a pau as y egula idades apa ecidas en los
di e en es casos que han se ido de pun o de pa ida pa a
e l exiona sob e aspec os gene ales del aula de ma emá-
icas más allá de alumnos y g upos clase especí i cos.
Desde el pun o de is a del p og ama de ac uación didác-
ica en el aula, el ambien e de esolución de p oblemas
ha esul ado adecuado po que, po una pa e, ha acili a-
do la ob ención de in o mación muy ica sob e los emas
es udiados y, po o a pa e, la mayo ía de alumnos ha e-
nido acceso a las si uaciones de ap endizaje p opues as.
Los p oblemas ma emá icos escogidos han p omo ido
la pa icipación, al menos inicial, de los alumnos y la
p oyección ecuen e de expe iencias pe sonales ha con-
ibuido a man ene la implicación de muchos de ellos.
La complejidad de algunos con enidos ma emá icos en
los p oblemas y de los p ocesos cogni i os eque idos
pa a esol e los pa ece habe sido, más que un ac o
gene ado de bloqueo, un ac o que ha lle ado a discu i
no mas inculadas a la ase de amilia ización con el
enunciado del p oblema.
Al analiza a pos e io i la adecuación de las decisiones
me odológicas con iene hace una e isión de las limi-
aciones del es udio. En algunos casos de in e upción
pod ía habe sido con enien e dispone de más da os
ela i os al alumno. Los dos casos que i nalmen e no se
han conseguido explica hubie an necesi ado muy p o-
bablemen e de mayo in o mación sob e el alumno an o
desde la pe spec i a in ape sonal como in e pe sonal. La
en e is a indi idual al alumno, pos e io a la sesión de
clase en la que se p oduce la in e upción, hubie a podido
con ibui a localiza o as dis ancias cul u ales y socia-
les, así como o os escena ios emocionales, que pueden
habe pasado desape cibidos y, a su ez, hab ía pe mi ido
con as a la in e p e ación de las dis ancias y escena ios
iden i i cados. Po supues o, las en ajas me odológicas de
in oduci más in o mación sob e el alumno hubie an ido
acompañadas de los incon enien es de i ados de una ma-
yo complejidad en el conocimien o de és e que no edun-
da ía necesa iamen e en una in e p e ación más ajus ada.
Po úl imo, y a pesa de que la i nalidad p incipal de es e
a ículo es mos a esul ados ela i os a una me odolo-
gía, in oducimos un comen a io i nal ace ca de esul-
ados más gene ales del abajo. La mayo ía de casos
de in e upción analizados han sido explicados en base
a di e gencias en la in e p e ación de no mas sociales
del aula de ma emá icas. Las no mas especí i cas de la
p ác ica ma emá ica han sido en muy pocas ocasiones
gene ado as de in e upciones en la pa icipación. De
ahí que, en la discusión de los casos, las ma emá icas
no acos umb en a se sus an i as. Es e esul ado pe mi-
e cues iona has a qué pun o iene sen ido incula de
mane a di ec a las ayec o ias de no-pa icipación en el
aula de ma emá icas con la comp ensión que los alum-
nos ienen de las p ác icas ma emá icas especí i cas.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
26 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
«¡no e en olles! di ya cuála es á bien que no es an di ícil, enga ío...»,
«hoy e has omao un chu i pa desayuna y no lo cuen as... has enío
cansao, julai» (cuando P echaza acla a dudas)
«muy bien, bueno, yo digo muy bien, pe o ya sabéis lo que quie e deci
mi muy bien, eso es que es oy escuchando... puede se muy bien o puede
se muy mal», «¡ enga!, ¿qué os ha pa ecido lo que ha dicho? ¡quie o
más ideas! ¡la gandule ía pa luego, aquí es áis pa abaja du o el a o
que haga al a, íos, pa pensa , íos, que de ez en cuando sien a muy
bien... el único que iene de echo a se gandul aquí soy yo», «¡hay que
escoge !» ( espues as habi uales a los alumnos)
«¡ aya mie da con las manzani as o a ez, enga a lia la y a no deci
na!» (a A1, en oz baja y haciendo ges os g ose os)
«¿oye, p o e, es o cómo hay que hace lo? po a, di algo, p o e, que luego
o a a es a muy chungo…», «pe o, oye, ¿es o lo hacemos aho a o
qué?» (A3 con inuamen e pide acla aciones a P)
«¡y si lo explicas ya, guapi o, pa que lo acabemos hoy!» (A4 eacciona
con i onía cuando P echaza acla a dudas di ec amen e)
«¡ya es amos o a ez con el pas el de su abuela, jóde e!» (a A4, en oz
baja; A5 hace es e comen a io cuando c ee que P in oduce azonamien-
os no ele an es)
Cuad o I
G a o cul u al simple 1 {N1 = Pa icipación de P; IX= In e p e ación que X hace de N1}.
IA1 = P debe oma la inicia i a, cen a el ema de discusión
e indica una ía o denada de ap oximación al p oblema sin
con undi in encionadamen e a los alumnos.
IP = P debe conduci y en iquece la discusión, p omo iendo la
pa icipación de los alumnos y su oma de decisiones
IA2 = P no debe con undi a los alumnos con in e enciones
ambiguas, deso denadas e incomple as.
IA3 = P debe adop a una pos u a di ec i a e in e eni con
mayo ecuencia.
IA4 = P debe gua da in o mación impo an e que impida
a anza en la esolución del p oblema.
IA5 = P debe ala ga los p oblemas de mane a innecesa ia y lia
a los alumnos sugi iendo ideas que no lle en a ninguna pa e.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
27
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
Cuad o II
G a o cul u al simple 2 {N2 = Tiempo de esolución de un p oblema; IX = In e p e ación que X hace de N2}.
«¡oye, ío, así no amos a acaba ni mañana, es o es pa mo i se,
ío!», «¡es o pa ece ya como el de las sa dinas!», «¡mi a, julai, yo
el p oblema ya hace a o que lo he hecho con el 10 y el molde del
colmade o! ¿qué pasa, que no ienes o o p epa ao pa hoy? ¡ e he
pillao, sin e güenza!» (a P, cuando inco po a nue os elemen os del
con ex o eal suge ido po el p oblema en una ase ya a anzada de
la esolución)
« amos a ol e a lo que eníamos, hi ha una cosa que no ha queda
gens cla a... ¿de e dad que con la sal y el limón hay que se muy
exac os? si no ponemos sal o si no ponemos limón... ¿qué pasa? no
sé, yo no lo engo muy cla o», «an es de decidi cuán a ha ina se
necesi a, a mí me ha quedado la duda de sabe po qué no podemos
comp a manzanas pequeñas y g andes, en el me cado y en el súpe
las manzanas son de di e en e amaño»
«pues cla o, eso ya lo sabemos, p o e, ¿pe o lo edondeamos po
a iba o po abajo? ¿cuála es á bien?, yo lo eía cla o pe o yo ya
no sé… lo de la manzana g ande o pequeña da lo mismo, ¿no? (a P,
en oz al a), eso no es impo an e, e iene que da lo mismo» (a A1,
en oz baja)
«es o... haces la di isión y ya es á, ¿no, p o e?, una di isión pa
cada ing edien e y lo pones esc i o debajo de la ece a donde hay
las allas y luego lo amos a comp a al colmade o ese», «¿haces
ú (a P) la di isión o la hago yo?» ( eacciona a las p egun as de P
haciendo e e encia a ope aciones que han de conduci has a una
solución numé ica)
IA1 = Resol e un p oblema equi ale a encon a una solución
lo más ápidamen e posible sin e a da el p oceso pa a
encon a más de una solución.
IP = Resol e un p oblema equi ale a discu i c í icamen e
posibles soluciones sin p isa y lle a a cabo una cons an e
e isión de las ideas.
IA3 = Resol e un p oblema equi ale a halla la única
solución óp ima.
IA5 = Resol e un p oblema equi ale a encon a las
ope aciones ma emá icas que deben se aplicadas.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
34 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
Dis ancias cul u ales Dis ancias sociales
Escena ios emocionales
- A1 descon ía de la implicación de P - P pasea po la clase y ehuye con es a le. A2 le esponde con
e asi as y no p es a a ención a sus obse aciones
(+) Con en o
- A1 sospecha que P no conduce la discusión adecuadamen e - P hace caso omiso de los comen a ios de A1 y adicaliza su
pos u a inicial
(-) Con undido
- A1 no iene cla o si A2 apoya a P - A2 uel e a esponde con e asi as y cada ez es más b usco con
A1
(-) Con undido y descon i ado
- A1 se so p ende de que P no admi a sus consejos - P son íe y e i a habla del ema
(-) Con undido y descon i ado
- A1 no en iende po qué P echaza su es a egia de esolución - P co a con b usquedad el u no de palab a de A1 en más de una
ocasión y se mues a indi e en e an e él
(-) Con undido y ne ioso
- A1 se ex aña an e el silencio de A2 sob e cuál es la es a egia
co ec a - A2 calla cuando A1 le habla, e i a mi a le y le en ía ges os de
bu la
(-) Con undido y ne ioso
- A1 no sabe si la opinión de A3 sob e la esolución del p oblema es
una b oma - A3 se niega a escucha le y cues iona se iamen e su dominio
ma emá ico
(-) T is e
- A1 c ee p ema u o el juicio sob e su esolución emi ido po P - P le hace espe a su u no de palab a
- A2 y A3 le iñen po que no calla
(-) En adado y cansado
Explicación de la in e upción
La i encia del con as e en la in e p e ación de N1, N2 y N3 pa ece indica que la pa icipación
ma emá ica de A1 a lo la go de la sesión es á elacionada con una ac i ud ei indica i a y, al asumi
la pé dida epen ina de au o idad po habe in oducido una esolución p esun amen e e ónea, es a
ac i ud ya no iene sen ido y abandona la a ea.
Cuad o X
Resumen de la u a explica i a.

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
35
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
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[A ículo ecibido en julio de 2002 y acep ado en no iemb e de 2003]