405
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3), 405–418
FENÓMENOS RELACIONADOS CON EL USO DE METÁFORAS
EN EL DISCURSO DEL PROFESOR.
EL CASO DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES
Fon Moll, Vicenç y Ace edo Nancla es, Jo ge I án
Depa amen o de Didác ica de las CCEE y de la Ma emá ica
Uni e si a de Ba celona
Resumen. En es e a ículo comen amos un enómeno que se obse a al analiza el discu so del p o eso cuando explica la ep esen ación g á i ca
de unciones en el bachille a o: el p o eso usa exp esiones que sugie en, en e o as, me á o as del ipo «la g á i ca de una unción se puede con-
side a como la aza que deja un pun o que se mue e sob e la g á i ca». En la p ime a pa e p esen amos el ma co eó ico sob e la in e dependencia
en e cue po y men e p opues o po Lako y Núñez. En la segunda comen amos las di e en es me á o as que han es uc u ado el concep o de
g á i ca de una unción. En la e ce a se desc ibe el es udio de un p o eso −siguiendo la secuencia: a) g abación en ídeo de la clase; b) en e is a
pos e io ; y c) análisis de las p oducciones de los alumnos− que mues a que el p o eso usa de mane a poco conscien e es as me á o as y c ee
que sus e ec os en la comp ensión de sus alumnos son inocuos. Finalizamos con unas conclusiones en las que se analizan las posibles causas de
es e enómeno.
Palab as cla e. Didác ica, ma emá icas, análisis, g á i cas, me á o a.
Summa y. In his pape , we commen a phenomenon ha is obse ed when analyzing he eache ’s discou se when explaining o he g aphical
ep esen a ion o unc ions a high school: he eache uses exp essions ha sugges , among o he s, me apho s like «The g aph o a unc ion can be
conside ed as he ace o a poin ha mo es o e he g aph». In he i s pa , we p esen he heo e ical amewo k abou he embodimen o mind
p oposed by Lako and Núñez. In he second pa , we commen he di e en me apho s ha ha e s uc u ed he concep o g aphic o a unc ion.
In he hi d pa we desc ibe he s udy o a eache – ollowing he sequence: a) ideo- eco ding o a class, b) in e iews, c) analysis o he p oduc-
ions o he s uden s– which shows ha he eache uses hese me apho s in a no comple ely conscious way and ha he belie es ha hei e ec s
in he unde s anding o he s uden s a e innocuous. We end up wi h some conclusions abou he possible causes o his phenomenon.
Keywo ds. Didac ics, ma hema ics, analysis, g aphs, me apho .
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
Las de i niciones de los con enidos ma emá icos que apa-
ecen en los lib os de ex o son p oduc os que esconden
el p oceso his ó ico que las ha gene ado. Po ello, pa a
comunica es os con enidos en el p oceso de enseñanza-
ap endizaje, el p o eso ado de bachille a o1 no se limi a
únicamen e a da su de i nición, sino que se ale ambién
de di e en es ecu sos pa a acili a la comp ensión a sus
alumnos. En e los di e en es ecu sos que se suelen u i-
liza , des aca de o ma p e e en e el uso de me á o as.
La in es igación que p esen amos a a sob e los enó-
menos elacionados con el uso de me á o as po pa e del
p o eso al explica la ep esen ación g á i ca de uncio-
nes en el bachille a o. En es e abajo hemos pues o de
mani i es o que se p oduce, con una cie a gene alidad, el
siguien e enómeno: el p o eso usa de mane a poco cons-
cien e exp esiones que sugie en, en e o as, me á o as
del ipo: «La g á i ca de una unción se puede conside a
como la aza que deja un pun o que se mue e suje o a
de e minadas condiciones.» O bien una a iación de es a
me á o a: «La g á i ca de una unción se puede conside a
como la aza que deja un pun o que se mue e sob e la
g á i ca.» Dichas me á o as no son inocuas y p oducen
e ec os signi i ca i os en la comp ensión de los alumnos.
INTRODUCCIÓN
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
406 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
PENSAMIENTO METAFÓRICO
Desde que Lako y Johnson (1991) pusie on de ma-
ni i es o la impo ancia del pensamien o me a ó ico,
en endido como la in e p e ación de un campo de ex-
pe iencias en é minos de o o ya conocido, el papel
del pensamien o me a ó ico en la o mación de los con-
cep os ma emá icos es un ema que cada ez iene más
ele ancia pa a la in es igación en didác ica de las ma-
emá icas (English, 1997; Lako y Núñez, 1998, 2000;
Núñez, 2000; Núñez y Lako , 1998; Pimm, 1990; Van
Do molen, 1991).
Las me á o as se ca ac e izan po c ea , en e un dominio
de pa ida y un dominio de llegada, un puen e concep ual
que pe mi e la ans usión de p opiedades del dominio
de pa ida en el domino de llegada. En o as palab as,
c ean un cie o «isomo i smo» que pe mi e que se ans-
pongan una se ie de ca ac e ís icas y es uc u as. Aho a
bien, las me á o as sólo dejan e un aspec o del dominio
de llegada que no engloba su o alidad. La me á o a nos
si e pa a mos a el aspec o que deseamos e idencia
y ocul a o os aspec os, de los cuales muchas eces ni
siquie a somos conscien es.
Las in es igaciones sob e el pensamien o me a ó ico han
de ec ado di e en es clases de me á o as. Un p ime g u-
po lo cons i uyen las de ipo ex ama emá ico, como la
de «una unción es una máquina», que si en pa a expli-
ca o in e p e a si uaciones ma emá icas en é minos de
si uaciones eales. Uno de los ejemplos más no ables de
es e ipo es la del «con enedo », usada pa a es uc u a
la eo ía de clases, la cual, según Núñez (2000), es una
me á o a inconscien e, que iene sus aíces en la ida co-
idiana y que podemos isualiza de la siguien e mane a
(Núñez, 2000, p. 13):
Un segundo g upo, ecuen e en las aulas, lo cons i uyen las
me á o as ex ama emá icas, las cuales pe mi en es uc u a
pa es del conocimien o ma emá ico a pa i de o as pa es
ya conocidas. Ejemplos de es e ipo son: «los núme os ea-
les son los pun os de una ec a», «los núme os complejos
son ec o es», «las unciones de p opo cionalidad son ec-
as que pasan po el o igen de coo denadas», e c.
Es a úl ima me á o a ilus a cómo es a i gu a lingüís ica
si e pa a conec a di e en es sen idos y, po an o, amplía
el signi i cado que iene pa a una pe sona un de e minado
obje o ma emá ico. En e ec o, supongamos que un alum-
no ha es udiado el concep o de pendien e de una ec a en
un con ex o geomé ico, de mane a que en iende que la
pendien e de una ec a «es la longi ud del segmen o BC de
la i gu a». Es deci , el alumno en iende que el segmen o
BC de e mina la inclinación de la ec a al de e mina el
ángulo que o ma la ec a con el eje ho izon al.
Las clases son con enedo es
Dominio de pa ida
Esquema del con enedo Domino de llegada
Clases
In e io del con enedo Clase
Obje os den o del con enedo Miemb os de la clase
Se un obje o del in e io La elación de pe enencia
Un in e io de un con enedo den o de uno más g ande Una subclase de la clase más g ande
Supe pone el in e io de dos con enedo es In e sección de dos clases
La o alidad de los in e io es de dos con enedo es La unión de clases
El ex e io de un con enedo El complemen a io de la clase
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
407
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
Si pos e io men e el mismo alumno a a la unción de
p opo cionalidad en un con ex o algeb aico/ uncional
con ac i idades2 como la siguien e, a ia á su o ma de
en ende la pendien e de una ec a:
Ac i idad: El en enado de un co edo de ondo le es á
c onome ando el iempo. En los p ime os 16 segundos
los esul ados son:
a) ¿Qué se puede deci de la ma cha del co edo ? ¿A
qué elocidad ha ido du an e es os 16 segundos?
b) Busca la ó mula de la unción que nos da el espacio
eco ido (en m) en unción del iempo (en s).
c) Dibuja la g á i ca de es a unción.
d) ¿Cuál es la o denada que co esponde a la abscisa
x = 1? ¿C ees que es a o denada de e mina el ángulo que
o ma la ec a con el eje de abscisas?
e) ¿Qué elación hay en e la pendien e y el núme o de la
ó mula de la unción que mul iplica a la x?
En es e con ex o algeb aico/ uncional el concep o
de pendien e oma dos sen idos que el alumno puede
elaciona en e sí: «la pendien e de una unción de
p opo cionalidad es el núme o que mul iplica a la x en
la ó mula y = ax» y «la pendien e de una unción de
p opo cionalidad es el núme o que co esponde a 1».
De es a mane a el alumno ha es udiado el concep o de
pendien e en dos con ex os di e en es: el geomé ico y
el algeb aico/ uncional y con es sen idos di e en es.
Con la me á o a «la unción de p opo cionalidad es una
ec a que pasa po el o igen de coo denadas» se consigue
elaciona es os es sen idos en e sí y ambién con la
palab a pendien e.
Sin emba go, el uso de me á o as plan ea algunas di i -
cul ades. Puede ocu i , po ejemplo, que el alumno, en
luga de en ende que una unción se puede comp ende
a pa i del uncionamien o de una máquina, ome la ex-
p esión «una unción es una máquina» de mane a li e al
y que piense que una unción es ealmen e una máquina.
Dicho con o as palab as: la exp esión an e io iene un
signi i cado li e al, pe o ambién iene un segundo signi-
i cado, que es el que que emos que en ienda el alumno.
Que emos que el alumno es uc u e su conocimien o
sob e unciones a pa i de su conocimien o sob e las
máquinas, no que piense que una unción es una máqui-
na. Pa a que comp enda que no debe oma la exp esión
«una unción es una máquina» de mane a li e al, se ha
de p oduci un con l ic o cogni i o en e el signi i cado
li e al de la exp esión y el con ex o en el que se usa. La
exis encia de es e con l ic o es lo que hace que el alumno
busque un signi i cado di e en e del li e al. Es a si uación
se p oduce con una cie a ecuencia, ya que el p o eso
a menudo usa me á o as de mane a incon olada sin se
conscien e de que lo hace. Aho a bien, las di i cul ades
elacionadas con el pensamien o me a ó ico an más allá
de la di i cul ad causada po un con l ic o con el signi i -
cado li e al, ya que, incluso, cuando el uso que se hace
de la me á o a es co ec o, se co e el iesgo de aslada
elaciones que no son álidas en el dominio de llegada.
UNA NUEVA TEORÍA COGNITIVA DE LA MATE-
MÁTICA
La impo ancia que iene el pensamien o me a ó ico en la
cons ucción del signi i cado de los obje os ma emá icos
es econocida po una g an mayo ía de los in es igado-
es en didác ica de las ma emá icas y es el o igen de una
nue a eo ía sob e qué son las ma emá icas p opues a
po Lako y Núñez (2000). La nue a disciplina, llama-
da po sus au o es «ciencia cogni i a de la ma emá ica»
(Lako y Núñez, 2000; Núñez, 2000), iene po obje i o
es udia , de mane a empí ica y mul idisciplina , las ideas
ma emá icas de las pe sonas como una ma e ia cien í-
i ca. El núcleo cen al de es a nue a eo ía es á basado
en la impo ancia que iene el cue po sob e la men e y
en los ela i amen e ecien es hallazgos en lingüís ica
cogni i a. Su esis a i ma que el o igen de las es uc u-
as ma emá icas que cons uyen las pe sonas, y ambién
las que se cons uyen en ins i uciones, hay que busca lo
en los p ocesos cognosci i os co idianos, como son los
esquemas de las imágenes y el pensamien o me a ó ico.
Según es os au o es, dichos p ocesos pe mi en explica
cómo la cons ucción de los obje os ma emá icos, an o
los pe sonales como los ins i ucionales, es á sos enida
po la mane a cómo nues o cue po se elaciona con los
obje os de la ida co idiana.
Según es e pun o de is a, la na u aleza de las ma emá i-
cas hay que busca la en las ideas de las pe sonas, no en las
demos aciones o males, axiomas y de i niciones ni am-
poco en mundos ascenden es pla ónicos. Dichas ideas
su gen de los mecanismos cogni i os y co po ales de las
pe sonas. Debido a su o igen, común a odas las pe sonas,
las ideas ma emá icas no son a bi a ias, no son el p oduc-
o de con enciones comple amen e sociales y cul u ales,
aunque las dimensiones sociohis ó icas jueguen papeles
impo an es en la o mación y desa ollo de es as ideas.
En la misma línea que la eo ía de Piage (1979), es a nue-
a eo ía a i ma que las ma emá icas son el esul ado de la
expe iencia humana, pe o no es el esul ado de pu as con-
enciones sociales, ya que, po azones de ipo e olu i o,
odos desa ollamos los mismos mecanismos cogni i os,
y de ellos su gen las ideas ma emá icas.
Recien emen e, la ciencia cogni i a no dualis a en la que se
basa la p opues a de Lako y Núñez ha ealizado impo -
an es a ances en la comp ensión del uncionamien o de la
men e y más en conc e o en lo que a añe a nues a comp en-
sión de las ma emá icas. Son los siguien es: 1) La impo -
ancia que iene el cue po sob e la men e. La na u aleza y
dinámica de nues os cue pos, nues os ce eb os y nues o
Tiempo (s) 0246 8 16
Espacio (m) 061218 24 ...
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
408 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
uncionamien o de odos los días ienen una impo ancia
undamen al en la es uc u a de la azón humana, la cual
incluye el pensamien o ma emá ico. 2) El papel del conoci-
mien o inconscien e. La mayo ía de los p ocesos cogni i os
son inconscien es, en el sen ido de que no son accesibles a
nues a in ospección conscien e, pues o que no podemos
llega di ec amen e a nues os sis emas concep uales y a
nues os p ocesos cogni i os de ni el in e io que incluyen
una g an pa e del pensamien o ma emá ico. 3) El pensa-
mien o me a ó ico. La mayo pa e de los se es humanos
concep úan concep os abs ac os en é minos conc e os y
usan la es uc u a in e encial y mane as de azona conec-
adas con nues o sis ema mo ó ico y senso ial. El mecanis-
mo cogni i o que pe mi e que lo abs ac o se comp enda
en é minos de lo conc e o es la me á o a concep ual. El
pensamien o ma emá ico ambién hace uso de ella cuando
concep úa núme os como pun os en una línea, o el espacio
como conjun o de pun os.
Es e pun o de is a conside a que la ac ual in es igación
en neu opsicología ha demos ado que odos los indi iduos
de la especie homo sapiens nacen con la capacidad de dis-
ingui en e un núme o muy pequeño de obje os y sucesos
–como en el caso de la subi ización, p oceso que nos pe mi-
e e que un conjun o iene 3 o 4 elemen os sin necesidad
de con a los– y con la de e ec ua cálculos a i mé icos muy
simples con núme os muy pequeños. Es os hallazgos son
impo an es pa a la comp ensión de los udimen os bioló-
gicos de a i mé ica básica. Sin emba go, ellos nos dicen
muy poco sob e la complejidad de las ma emá icas, ya que
és as an mucho más allá de la a i mé ica y equie en un
apa a o cogni i o eno me, muy supe io al que desa ollan
los bebés y animales o del que desa olla un adul o sin una
ins ucción especí i ca. A la p egun a «¿Cuáles son las ca-
pacidades cogni i as, basadas en la impo ancia del cue po
sob e la men e, que pe mi en a una pe sona pasa de las
habilidades numé icas básicas inna as a un en ende p o-
undo y ico p opio de las ma emá icas de una licencia u a
uni e si a ia de una acul ad de ciencias?», Lako y Núñez
esponden que és as no son independien es del apa a o cog-
ni i o usado ue a de la ma emá ica. Según es os au o es, la
es uc u a cogni i a necesa ia pa a la ma emá ica a anzada
se ale del mismo apa a o concep ual que el pensamien o
co idiano en las si uaciones o dina ias no ma emá icas, es o
es: esquemas de la imagen, esquemas aspec uales, mezclas
concep uales y me á o a concep ual. De odos es os p oce-
sos, es el pensamien o me a ó ico el más impo an e pa a la
cons ucción de las ma emá icas.
Es e pun o de is a, según nues a opinión, es en cie a o -
ma ap io ís ico, ya que conside a que la ac i idad cons i u-
i a del suje o en el ac o de comp ensión ma emá ica lle a
a e dades conside adas necesa ias pa a cualquie suje o
no mal. Po una pa e, conside a p obado po la ac ual neu-
opsicología que odas las pe sonas nacen con la capacidad
de dis ingui en e un núme o muy pequeño de obje os y
sucesos; y, po o a pa e, conside a que casi odos los suje-
os ienen la capacidad de llega a comp ende las e dades
ma emá icas, pues o que se basan en unos p ocesos cogni i-
os básicos y comunes a odos los miemb os de la especie.
Aho a bien, en nues a opinión, se a a de un ipo de ap io-
ismo que esul a ela i amen e débil si lo compa amos con
o as eo ías sob e qué son las ma emá icas.
METÁFORAS RELACIONADAS CON LAS GRÁ-
FICAS DE FUNCIONES
Según Fon (2000), las g á i cas se han es uc u ado his-
ó icamen e a pa i de las siguien es me á o as: a) las
cu as son secciones; b) las cu as son la aza que deja
un pun o que se mue e suje o a de e minadas condicio-
nes; c) las cu as son la aza que deja un pun o que se
mue e suje o a de e minadas condiciones el análisis de
las cuales pe mi e encon a una ecuación que cumplen
los pun os de la cu a. Has a p incipios del siglo xix,
cuando Cauchy empieza la eo ganización del análisis
in i ni esimal, es a úl ima me á o a es la que se puede
encon a en los lib os de análisis in i ni esimal. Es de-
ci , has a la a i me ización del análisis, las g á i cas de
unciones e an conside adas como la ayec o ia desc i a
po un pun o en mo imien o, la cual se podía exp esa
po una ó mula. Es a mane a de en ende las g á i cas de
unciones queda muy cla a en la ob a de New on, donde
podemos halla cons an es e e encias a un pun o que se
mue e sob e una pa ábola, una hipé bola, e c. A pa i de
los abajos, en e o os, de Fou ie , Cauchy y Di ichle ,
se acep a on, como g á i cas de unciones, cu as que no
podían se ayec o ias. Con la pos e io aplicación de
la eo ía de conjun os a las unciones, e minó de coge
cue po la me á o a conjun is a: d) la g á i ca de una un-
ción es el conjun o o mado po los pun os de coo de-
nadas (x, (x))3.
En es e a ículo nos limi a emos a analiza los e ec os
que p oduce la me á o a «La g á i ca de una unción
se puede conside a como la aza que deja un pun o
que se mue e suje o a de e minadas condiciones» –o
bien una a iación de es a me á o a: «La g á i ca de una
unción se puede conside a como la aza que deja un
pun o que se mue e sob e la g á i ca» en la enseñanza
de la ep esen ación g á i ca de unciones en el bachi-
lle a o.
En la in es igación explicada en Fon (2000)4 se des-
c ibe una si uación de enseñanza-ap endizaje en la
que alumnos de bachille a o u ilizan las siguien es
cons ucciones, ealizadas con el p og ama Cab i,
con el obje i o de ayuda les a en ende que la ec a
angen e es la ec a a la cual se ap oximan las ec as
secan es:
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
409
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
Uno de los enómenos obse ados, cuando los alumnos ex-
pe imen aban con es as cons ucciones, ue que el hecho
de u iliza la me á o a «La g á i ca de una unción se puede
conside a como la aza que deja un pun o que se mue e
sob e la g á i ca» de mane a inconscien e en el discu so del
p o eso causó la siguien e di i cul ad en algunos alumnos:
«[…] obse amos que había alumnos que, cuando mo ían
el pun o A, pensaban que el nue o pun o con inuaba sien-
do el pun o A y que la nue a ec a angen e e a la misma
que an es pe o con di e en e inclinación. De hecho, es
como si es uc u asen la si uación en é minos de una pe so-
na que se mue e (pun o A) con un saco en la espalda ( ec a
angen e) po una ca e e a que p ime o sube y después baja
(g á i ca) y conside asen que la pe sona y el saco siemp e
son los mismos, a pesa de es a en di e en es luga es y
ene di e en e inclinación.» (Fon , 2000, p. 122).
La in es igación ci ada an e io men e enía como obje i o
p incipal analiza los signi i cados ins i ucionales y pe sona-
les implicados en un p oceso de es udio del obje o de i ada
en una ins i ución escola de bachille a o. En dicha in es-
igación se obse ó el enómeno an e io pe o és e sólo
se comen a de mane a secunda ia y se p opone su es udio
como una posible línea de desa ollo. El hecho de que es e
enómeno uese de su i cien e en idad pa a se el obje i o de
un es udio especí i co nos lle ó a diseña una nue a in es i-
gación pa a con as a lo y pa a amplia lo.
OBJETIVOS Y CARACTERÍSTICAS DE LA IN-
VESTIGACIÓN
El obje i o de es a in es igación e a comp oba que
es e enómeno de ec ado en Fon (2000) ocu e con una
cie a egula idad. Conc e amen e nos plan eamos los
siguien es obje i os:
1) De ec a si el p o eso , al explica la ep esen ación g á-
i ca de unciones en el bachille a o, usa me á o as del ipo
«La g á i ca de una unción se puede conside a como la
aza que deja un pun o que se mue e suje o a de e mina-
das condiciones» –o bien una a iación de es a me á o a:
«La g á i ca de una unción se puede conside a como la
aza que deja un pun o que se mue e sob e la g á i ca.»
2) Analiza el con enido de su discu so pa a de ec a ,
además de la an e io , o as me á o as.
3) Ve i i ca si el p o eso es conscien e del uso que ha
hecho de las me á o as en su discu so y has a qué pun o
las iene con oladas.
4) De e mina el e ec o que p oducen es as me á o as
sob e los alumnos.
Las ca ac e ís icas me odológicas de la in es igación ue-
on de ipo in e p e a i o. Po una pa e ue: a) e nog á i ca:
ya que se p e endió comp ende los acon ecimien os al y
como los in e p e aban los suje os in es igados, median e
una inme sión en su pensamien o y en su p ác ica; b) pun-
ual: la in o mación ue ob enida en un pe íodo de iempo
ela i amen e b e e; c) de campo: la in o mación se ob u o
en el luga de abajo de los suje os in es igados.
Los ins umen os u ilizados ue on: a) la obse ación de
las clases impa idas po di e en es p o eso es; b) la g a-
bación en ídeo de una clase de un p o eso ; c) a pa i
del análisis de es a g abación se diseñó un cues iona io
pa a ealiza una en e is a pe sonalizada y semies uc-
u ada con es e p o eso y un cues iona io que u ie on
que esponde 9 de sus alumnos.
Los p o eso es que pa icipa on en es a in es igación lo
hicie on de mane a olun a ia y consin ie on de o ma cons-
cien e la in omisión en sus a eas docen es (obse ación de
sus clases, g abación en ídeo, análisis de ma e iales de a-
bajo...). Los alumnos pa icipa on a pe ición de su p o eso .
La elección del p o eso g abado en ídeo y la de 9 de sus
alumnos no ue ealizada bajo ningún c i e io es adís ico.
EL USO DE METÁFORAS EN EL DISCURSO
EXPLICATIVO DEL PROFESOR. EL CASO DE
LAS GRÁFICAS
Después de analiza el discu so de di e en es p o eso es al
impa i el ema de la ep esen ación g á i ca de unciones
en el bachille a o, comp obamos el uso gene alizado de la
me á o a «La g á i ca de una unción se puede conside a
como la aza que deja un pun o que se mue e suje o a
de e minadas condiciones» –o bien una a iación de es a
me á o a: «La g á i ca de una unción se puede conside a
como la aza que deja un pun o que se mue e sob e la
g á i ca». Es e hecho nos lle ó a conside a la necesidad de
ealiza el es udio de un caso pa icula , con el obje i o de
analiza el uso de di e en es ipos de me á o as en su dis-
cu so. Pa a al i n se escogió un p o eso al aza . El p o eso
escogido impa e clases de bachille a o en el IES Vilassa
de Ma , de la p o incia de Ba celona.
G abación en ídeo de una clase
La g abación en ídeo que se comen a en es a in es igación
co esponde a la clase impa ida po es e p o eso el 21 de
ma zo de 2001 en una clase de 1º de bachille a o (16 años)
mien as explicaba el ema de la ep esen ación g á i ca de
unciones. La i lmación du a 45 minu os, de los cuales, en
es e a ículo, po cues iones de espacio, se comen an5 an
sólo dos agmen os no consecu i os de 8 minu os en o al.

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
410 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
Tex o del ídeo Obse aciones
........................ ...........................
PRIMER FRAGMENTO
……..me pa ece que es á odo
……Pues aho a amos a e el esbozo de la unción
bien hecho …aho a….pues, sí que enemos a “-1” una
asín o a….eh!….
A e !.. i jaos….. hemos dicho…..bueno ya eíamos
como….. enga.
¡La asín o a e ical eh!.. a la de echa de la asín o a
e ical, es coge de más in i ni o…….in i ni o y pasa
po ce o ce o que enemos un pun o de in l exión que es
donde hay un cambio y da una cosa así.
Y luego aquí iene así
Y aquí iene así
Después de habe hecho odo el es udio analí ico de la unción y = 2x/(x2-1) (dominio, pun os
de co e con los ejes, c ecimien o, y dec ecimien os, máximos y mínimos, conca idad y
con exidad, pun os de in l exión y asín o as), el p o eso se dispone a dibuja la g á i ca.
El p o eso empieza dibujando los ejes de coo denadas y ubica en los dos ejes los
signos +∞ y -∞. A con inuación aza las asín o as e icales que co an el eje de
abscisas en 1 y –1.
El p o eso empieza a aza la pa e cen al de la g á i ca de la unción. Empieza po
más in i ni o y e mina en menos in i ni o.
Hace el azado de la pa e izquie da de la g á i ca.
Hace el azado de la pa e de echa de la g á i ca y mue e las manos pa a e o za
sus comen a ios sob e la g á i ca.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
411
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
¡Eh! ...
Compa ad la cohe encia…… de es e esbozo con odo lo
que hemos dicho an es, eh!…
Fijaos que a eces… amos, con lo dicho has a aho a…
…eh!…hacéis el p oceso bien y después hacéis el esbozo
una cosa a a.
In e p e ad bien el signi i cado de es os esul ados, ha de
se una cosa de es e es ilo.
Bueno, hemos hecho es a unción acional que no
iene……….hemos hecho es a unción acional que no
iene acio……… pe o iene dos asín o as e icales, con
la di i cul ad que ep esen a hace el análisis de la unción
en sus la e ales, y una asín o a ho izon al con y = 0.
El o o día hicimos, ¿cuáles hemos hecho?
Hemos hecho…………………..
Señala la g á i ca.
Hace es a p egun a pe o no da iempo a que los alumnos la espondan.
Sigue explicando cosas de clases an e io es y eco dando algunas g á i cas
abajadas an e io men e en clase.
Tex o del ídeo Obse aciones
.................................. .............................................................
SEGUNDO FRAGMENTO
Que ía p opone una que…¡eh!.. la iéseis.. que se ía es a…….
Es a unción acional que p esen a o a ca ac e ís ica,.. aquí po
ejemplo el dominio………
………………………………
También podemos hace és a, que es ela i amen e sencilla, pe o
iene su in e és……
Toda ía me quedan cinco minu os de clase …………… amos a
e …………………………
Vamos a empeza un poco és a, po que iene algo nue o que no
ha apa ecido has a hoy.
Has a aho a odas las unciones acionales que hemos hecho,
hemos encon ado que el dominio no e an odos los eales.
¡Vale!….
En cambio en és a, ¿qué pasa? ….. amos a e …..bo o odo…
…….¡eh!… amos a e en es a unción,… ¿qué dominio?……
…………… ………..
Lo p ime o que…. lo p ime o en onces que hacíamos e a
el dominio eh!.. y el dominio como lo buscábamos….que
decíamos!….. decíamos… exis i á pa a cualquie alo que es a
unción de x excep o pa a aquéllos que anulen el denominado ,
y pa a comp oba lo, pues igualábamos el denominado a
ce o…….. …………..
Po lo an o, es a unción exis e siemp e, el dominio se á odo R
y, po lo an o, no end á ninguna asín o a e ical……
Esc ibe la unción y = x/ (x2 +1).
Con inúa hablando de o a unción cuya g á i ca se había ep esen ado
an e io men e.
Los alumnos ya quie en e mina la clase, pe o el p o eso insis e en
que ean esa unción.
Los alumnos con inúan hablando.
El p o eso empieza el es udio analí ico de la unción y = x/ (x2 +1).
Esc ibe en la piza a, igualando el denominado a ce o y despejando la
x, ob eniendo aíces cuad adas de núme os nega i os.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
412 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
Ho izon al hab á que e ..
Ho izon al, ¿cómo lo es?
Po lo an o, dominio R, asín o a e ical no iene.
Asín o a ho izon al, en onces la asín o a ho izon al ¿cuál es? ……
y = 0.
Pues emos que el g ado del denominado es mayo que el g ado del
nume ado , en onces au omá icamen e podemos deci ..
Dominio……………………..
C ece á mucho más ápidamen e el denominado que el
nume ado …………. Po lo an o……a e po a o ………
Habíamos quedado que si el g ado del denominado es supe io al
g ado del nume ado , cuando x se hace g ande……………..c ece
mucho más ápido el denominado que el nume ado , po lo an o
se á mucho mayo , se á mucho mayo el denominado a medida que
la x c ezca, que aya omando alo es g andes……. ……….
Se á mucho mayo el denominado que el nume ado ………………
……………………….
Cada ez se ha á más pequeño ………………….
Un alumno p egun a si iene asín o a ho izon al.
Responde el p o eso .
El p o eso de uel e la p egun a al alumno y és e no con es a.
Señala con ges os la ó mula de la piza a.
Pide a los alumnos que hagan menos uido.
Mue e las manos a ando de e o za la idea, mues a como si la x
u iese mo imien o.
Con inúa mo iendo las manos simulando el c ecimien o de la x y
a ando de mos a que la x se puede ol e más g ande.
El p o eso e mina aquí su explicación y luego e mina la clase p oponiendo
algunos abajos que los alumnos deben ealiza pa a la clase siguien e.
........................... .............................
De la an e io asc ipción podemos obse a , en e
o os, los siguien es hechos signi i ca i os:
1) El p o eso ha hecho uso de di e en es me á o as en
su discu so.
2) Podemos e , en p ime a ins ancia, cómo ha u ilizado
un discu so dinámico, acompañado de ges os con sus ma-
nos, pa a explica los componen es es á icos de la g á i ca.
En es e discu so, la me á o a «La g á i ca de una unción
se puede conside a como la aza que deja un pun o que
se mue e suje o a de e minadas condiciones» –o bien una
a iación de es a me á o a, «La g á i ca de una unción se
puede conside a como la aza que deja un pun o que se
mue e sob e la g á i ca»–, es á p esen e en ases como
« iene po aquí», «pasa po ce o ce o», e c.
3) Po o a pa e, ha supues o que los núme os sean obje-
os que c ecen y que pueden aumen a de amaño, al usa
ases como: «el denominado c ece más ápido», «x se
hace g ande», «la x c ece», e c. Es as me á o as, al igual
que la comen ada en 2, ienen su dominio ue a del campo
de las ma emá icas. En la e minología de Lako y Núñez
(2000) se pueden conside a como g ounding me apho a.
4) El c ecimien o y dec ecimien o de la g á i ca se expli-
ca en é minos isual-dinámicos con ases como: «po
aquí dec ece po que iene así».
Una ez e idenciado que las me á o as son un ecu so
co idiano en el discu so del p o eso , de acue do con
nues o e ce obje i o, nos p opusimos in es iga en
qué medida su uso es á a o eciendo o di i cul ando el
ap endizaje de los alumnos. Un p ime paso en es a línea
es conoce si el p o eso hace uso de las me á o as de una
mane a con olada y si es conscien e de los e ec os que
p oduce su uso en el ap endizaje de los alumnos. A al
e ec o, en e is amos al p o eso cuya clase había sido
g abada en ídeo.
En e is a
La siguien e en e is a se ealizó el pasado 5 de ab il de
2001, cuando e an las 11 de la mañana en un aula del
ins i u o Vilassa del Ma , en la localidad que lle a el
mismo nomb e. La en e is a du ó 30 minu os, de los
cuales se ansc iben an sólo algunos agmen os.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
413
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3)
Tex o Obse aciones
E. En el ídeo que he is o dices ases como: Aquí iene así, iene po aquí,
pasa po ce o ce o, x c ece, a po aquí, c ece más el nume ado que el de-
nominado . Y cuando lo haces, indicas mo imien os con us manos. ¿Qué
quie es exp esa con eso?
El obje i o de es a p egun a es de e mina si el p o eso
es conscien e del uso de me á o as comen adas an e io -
men e en su discu so.
P. Homb e! – supongo que es absolu amen e inconscien e, po que eso yo no lo pien-
so, yo no digo; me oy a mo e de es a mane a o de la o a, ...........¿qué hacen? ¡, yo
c eo que son ges os pa a e o za la idea que exp esas,.. pa a e o za la--- no! Es de-
ci ; iene po aquí, pues, debe ía señala po donde pasa ía la unción,.....siguiendo,..
eh!.. imaginando que u sigues la unción dando alo es a la x de mane a c ecien e,
pues, cual se ía la imagen--- o --- el--- azado que segui ía la cu a no! ---- me pa ece-
---son cosas que---- eh! --- cla o no me las he plan eado, sí que ges iculas pensando
que e ue zas lo que ú es ás diciendo ¿no?--- es o es á,...----es o es á cla o. Po que, si
no, se ía ambién muy abu ido da un discu so ---- sin........ no, no llega á de la misma
mane a, es o es á cla o.
Deja en e idencia que lo hace de mane a o almen e
inconscien e.
Asume inmedia amen e que los ges os e ue zan una idea.
El p o eso en su clase ha explicado algo es á ico en é -
minos dinámicos, lo que supone una me á o a que no iene
con olada, y no es conscien e de sus consecuencias.
E. ................ no, no es á ico ampoco, pues, se ía ........
P. ------------- T a a de e o za , a a de e o za la idea,...--- cla o.
E. Mue es las manos cuando explicas algunas pa es de la g á i ca y cuando
dices: «la x c ece», «el nume ado c ece más que el denominado ». ¿Siem-
p e explicas las g á i cas de es a mane a, o sea, siemp e has explicado las
g á i cas mo iendo las manos y con es a clase de exp esiones: «aquí iene
aquí», «aquí pasa po aquí» ...
El obje i o es sabe si es habi ual en él es e ipo de ac-
ciones.
P. Sí Inmedia amen e econoce que el uso de ges os y el uso
de es e ipo de me á o as o man pa e habi ual de su
p ác ica p o esional.
E. ... ¿Pod ía uno explica el g á i co es á ico sin mo imien o? ¿C ees que es
mejo pa a ellos da le un poco de mo imien o?
El obje i o de es a p egun a es sabe qué mo i os son los
que le lle an a explica las g á i cas en é minos dinámi-
cos, en luga de hace lo de mane a es á ica.
P. ----- Sí, sí, po supues o. Cla o, cla o, yo c eo que,… hay un eslogan en la moda
que dice «la a uga es bella» es un eslogan publici a io pa a la moda «pues yo
c eo,.. yo decía en onces ¡el dinamismo es bello!...a ae.....es bello, en clase no es
lo mismo un discu so quie o y al, y deci las cosas muy bien dichas que e algo
que se mue a, al alumno si hay algo que se mue a, eso lo mi a más, en onces en
cualquie sección in en o........no puedes abusa ,.... pe o si hay algún momen o
que u aes alguna cosa que se mue e, eso cen a más la a ención, po ejemplo
en geome ía,... pues, yo aía algunos cha ales a p opues a de aquel lib o ojo de
la Emma Cas elnuo o, de las ans o maciones de las i gu as, de cualquie i gu a,
de los cuad ilá e os,... bueno en onces eso se cons uye con unas a illas, se pue-
den i mo iendo, hace años yo lo cons uí, pues con es a idea,......el dinamismo
a ae,... y en onces hay que in oduci elemen os de és os, de que el alumno ea
que hay cosas que se mue en, el alumno,....¡a e qué pasa! Po lo menos po
unos momen os se in e esa a e qué pasa.
Co obo a lo que ya ha dicho an es: su obje i o es « aci-
li a la comp ensión del concep o» y a a de jus i i ca su
uso con a gumen os ela i amen e i iales. No obs an e,
en e es os a gumen os des aca la impo ancia que da es e
p o eso al aspec o dinámico como elemen o que puede
acili a la a ención de los alumnos.
E. ¿Y no has pensado que de p on o eso les aiga algún e o concep ual,
de in e p e ación?
El obje i o es cues iona su discu so.
P.-----------------No, ¡ que p o oque..... el hecho de que,......algún e o concep-
ual. Que p o oque algún e o concep ual, como, como cuál, po ejemplo?
Él no iene idea de qué clase de e o es le es oy hablando,
lo cual pone de mani i es o que es e p o eso no es cons-
cien e de que el uso de me á o as, además de acili a la
comp ensión, ambién puede di i cul a la.
E. Po ejemplo, que un pun o no se mue e, que un pun o es......... El obje i o es pone un ejemplo de las di i cul ades que pue-
den apa ece po la in e p e ación li e al de la me á o a.
P.---- No el pun o no se mue e, la unción ampoco, pe o.....lo es...cuando di-
ces que pasa, no es como un en que pasa, sino que el azado pisa esos pun os,
yo no lo he pensado, no c eo que es o.....no he de ec ado que las con usiones
engan po aquí, no lo he pensado, no c eo, no, no...
Si bien se cues iona po un momen o su discu so, en el
ondo sigue conside ando que el uso de las me á o as
acili a la comp ensión y no da impo ancia a las posibles
di i cul ades que pueda gene a .