Organizaciones matemáticas y didácticas en torno al objeto de "límite de función" : una propuesta metodológica para el análisis

355 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3), 355-368 INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS Y DIDÁCTICAS EN TORNO AL OBJETO DE «LÍMITE DE FUNCIÓN»: UNA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA EL ANÁLISIS* ESPINOZA, LORENA1 y AZCÁRATE, CARMEN2 1Universidad de Santiago de Chile 2Universidad Autónoma de Barcelona SUMMARY Our research falls within the general field of the analysis of the teacher’s activity and focuses on the specific case of teaching the concept of «limit to the function» in the Spanish secondary school system. Using the anthropological focus of didactics (Chevallard, 1998) as a general theoretical frame, we propose an investigative methodology for the analysis of mathematical organizations recreated by the teacher in the classroom in collaboration with his/her pupils and the respective didactic organizations that allow their reconstruction. ANTECEDENTES PARA LA INVESTIGACIÓN El interés inicial de nuestro trabajo consistía en analizar la actuación del profesor en su tarea de organización y conducción del proceso de enseñanza y aprendizaje relativo al concepto de límite de función en secundaria. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 356 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) El primer punto de vista que adoptamos para abordar esta cuestión provenía del llamado paradigma del «pensamiento del profesor» o del «conocimiento del profesor» de matemáticas. Nos proponíamos analizar el tipo de conocimiento que moviliza el profesor cuando se enfrenta con la tarea de preparar la enseñanza de este concepto matemático, el conocimiento que efectivamente utiliza para gestionar su correspondiente proceso de enseñanza en el aula y las dificultades asociadas a dicho proceso. Dado que esta problemática trataba de la enseñanza de un concepto matemático del análisis, nos pareció pertinente recurrir además a un enfoque en didáctica de las matemáticas que abordara la cuestión específica del llamado pensamiento matemático avanzado (Dreyfus, 1990, 1991; Tall, 1994). De este modo, uno de nuestros primeros objetivos de investigación consistió en la articulación de estos dos grandes paradigmas de investigación en didáctica para abordar nuestro problema específico, esto es: el estudio del pensamiento del profesor y de su práctica en la enseñanza de un conocimiento matemático determinado. Esta investigación parecía ser altamente atractiva y productiva para la didáctica de las matemáticas, sobre todo por la escasez de estudios relativos a la enseñanza del límite de función, en oposición a la extensa bibliografía relativa al aprendizaje del mismo. La exploración del primer paradigma anunciado, esto es, del pensamiento del profesor, orientación que ha logrado un importante desarrollo y productividad reflejada en numerosos trabajos (Marcelo, 1987), nos permitió adentrarnos en las estrategias utilizadas para abordar la problemática del profesor. Sin embargo, nos enfrentó con dos grandes dificultades que podríamos resumir de la siguiente forma: la primera dificultad es, a nuestro entender, de naturaleza esencialmente epistemológica, y se genera al no contar con una modelización del conocimiento matemático; la segunda se relaciona con el cómo analizar el pensamiento o conocimiento del profesor sobre determinados contenidos de enseñanza sin considerar el análisis, para nosotras ineludible, de su práctica o actividad docente. Se trata de una dificultad de naturaleza esencialmente metodológica, pero cuya génesis es de carácter teórico. En esta etapa de la investigación y, considerando nuestro objetivo de articulación antes mencionado, pensamos que el enfoque del pensamiento matemático avanzado podría ayudarnos a superar la primera dificultad antes señalada. Es bien sabido que se trata de una orientación hoy día dominante en didáctica de las matemáticas para la investigación en el área del cálculo, y que ha realizado grandes aportes para el aprendizaje de conceptos matemáticos de nivel superior (Tall, 1991). No obstante, al intentar incorporar sus principios teóricos y metodológicos para la realización de nuestra investigación nos enfrentamos con algunos inconvenientes. Estos impedimentos están relacionados, en general, con la necesidad de contar con un modelo de la actividad matemática que permita analizar la actividad que el profesor realiza y, que hace realizar a sus alumnos, y no sólo con modelos de los procesos cognitivos en la construcción de conceptos matemáticos. Para intentar resolver la segunda dificultad, decidimos considerar un modelo teórico que nos permitiera estudiar la actividad del profesor. Fue así como recurrimos a la teoría de la actividad de la escuela soviética de psicología y a su punto de vista sociocultural de la construcción del conocimiento (Leontiev, 1975; Davidov et al., 1982; Galperín, 1982). Este enfoque incorpora un modelo de la actividad humana que debería permitir el estudio de la actividad que se realiza en la relación didáctica, tanto de enseñanza como de aprendizaje. No obstante, al no considerar la especificidad del conocimiento matemático, terminamos por encontrarnos con una ya conocida dificultad para nosotras: ¿cómo integrar lo matemático a este modelo psicocognitivo? Llegados a este punto del recorrido en nuestro trabajo, decidimos reproblematizar nuestro tema de investigación, optando por recurrir a un marco teórico que partía situándose en el centro del conocimiento matemático que el profesor tiene que enseñar y, además, en la actividad matemática que ello supone realizar. Se trata pues del enfoque antropológico de lo didáctico desarrollado por Yves Chevallard (1998), que se enmarca dentro del programa de investigación más general conocido como la didáctica fundamental. No habíamos considerado este enfoque hasta ese momento porque ni había sido aplicada dicha perspectiva con suficiente detalle a los problemas derivados de la enseñanza del cálculo, ni se había utilizado (hasta este último año) para analizar la figura del profesor. De aquí que la tarea no fuera fácil pero, al mismo tiempo, que representara un gran desafío para nosotras. Es importante señalar aquí que la opción teórica que realizamos no es el resultado de considerar insuficientes las distintas orientaciones teóricas que existen en el ámbito de la didáctica de las matemáticas, como tampoco del desconocimiento de los importantes trabajos realizados en investigación didáctica en el área del cálculo. En este sentido, los trabajos de Michéle Artigue (1995) quien de igual forma trabaja dentro de la didáctica fundamental, han realizado importantes aportes a la investigación en este campo. Asimismo, son numerosos los estudios que han abordado de manera eficaz el problema del aprendizaje del cálculo (Tall, 1991). Más bien, esta decisión debe ser interpretada como la adopción teórica necesaria para realizar un trabajo de investigación que pretende abordar una problemática compleja, que requiere de variadas modelizaciones para ser estudiada, y cuya aspiración es la de contribuir al progreso de la didáctica en este campo de conocimiento específico. MARCO TEÓRICO: EL ENFOQUE ANTROPOLÓGICO COMO OPCIÓN INTEGRADORA El enfoque antropológico se inscribe dentro del marco general de la llamada didáctica fundamental iniciada por INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) 357 Guy Brousseau en la década de los setenta, y cuya mayor contribución consistió en subrayar el carácter decisivo del conocimiento matemático en la problemática didáctica. Se propuso el análisis del saber matemático como vía de acceso para el estudio de los fenómenos didácticos, partiendo del supuesto básico que todo fenómeno didáctico tiene un componente matemático fundamental. Este postulado pone de relieve la necesidad de modelizar el conocimiento matemático que se enseña y se aprende en la institución didáctica, pero ya no a través de la adaptación de modelos exógenos provenientes de otras disciplinas que han sido construidos con fines distintos y con unos instrumentos muy diferentes. Por el contrario, deberán ser construidos por la propia didáctica de las matemáticas para analizar fenómenos didácticos. De esta forma, Brousseau elabora la teoría de las situaciones didácticas que permite abordar la problemática didáctica desde un punto de vista sistémico. Dicha teoría modeliza el «conocimiento matemático enseñado» al interior de un sistema didáctico. El enfoque antropológico se sitúa, en primer término, en el campo más general de las prácticas y actividades humanas y, en segundo, propone un modelo del conocimiento matemático que lo considera como actividad matemática. Este enfoque se podría describir de forma progresiva partiendo de una de sus primeras y más conocidas formulaciones realizada por Yves Chevallard, llamada la transposición didáctica (Chevallard, 1985), y llegando hasta una de sus últimas elaboraciones que modeliza el proceso de estudio de una obra matemática por medio de la teoría de los momentos didácticos (Chevallard, Bosch, Gascón, 1997). Entre estos dos extremos del intervalo temporal de desarrollo fueron apareciendo sucesivos instrumentos y formulaciones teóricas que han permitido a dicho autor «poner en forma» lo que hoy podríamos definir como un cuerpo teórico didáctico. A continuación, sólo nos referiremos de forma sintética a las nociones fundamentales para el desarrollo de nuestra investigación. Modelización del saber matemático: noción de organización matemática u obra La noción de organización matemática, la que actualmente Yves Chevallard denomina también organización praxeológica matemática u obra, permite modelizar el conocimiento matemático como actividad humana. Éste se considera como el producto destilado de una actividad de estudio sistemática e intencionada de un tipo de cuestiones o tareas que resultan problemáticas para una determinada comunidad en un momento histórico específico. Como toda actividad, responde a unas razones de ser específicas, y para llegar a convertir aquellas tareas problemáticas iniciales en tareas rutinarias, esto es, realizables de forma relativamente fluida y eficaz, se elaboran ciertas «maneras de hacer» o técnicas. Así, los tipos de problemas y técnicas asociadas constituyen un «saber-hacer» que hacen referencia a la práctica o la praxis de la actividad. Pero para que dichas técnicas puedan existir se deben poder explicar, hacer inteligibles y justificar. Los discursos que las describen, explican y justifican constituyen la tecnología, y el argumento formal que permite justificar rigurosamente dicha tecnología, la teoría. Estos dos elementos conforman el logos para la praxis y se corresponde con el «saber». Así, se pueden distinguir dos niveles diferentes pero inseparables que se van construyendo y definiendo en un proceso dialéctico entre ambos: praxis y logos se hallan íntimamente relacionados y la articulación de ambos permite dar forma a la praxeología matemática. Se trata, pues, de una modelización «estática» del trabajo matemático que aparece como el producto de un proceso de elaboración continuada caracterizada por sus distintos componentes, lo que se llama comúnmente la «matemática» o el «conocimiento matemático». Modelización de la actividad matemática: noción de proceso de estudio de una organización matemática Se propone, además, un modelo «dinámico» o funcional de dicha actividad que permitirá dar cuenta del proceso de construcción de una obra matemática. Aparece la noción de estudio, que es considerada en un sentido muy amplio e integrador la cual se aplica a un ámbito más amplio que el del aula e, incluso, más general que el de las propias instituciones didácticas, abarcando desde la actividad matemática de los investigadores, la del economista, hasta la que realizan los alumnos. El proceso de estudio se refiere tanto al proceso de creación –o recreación– de una organización matemática como al producto de dicho proceso. Proceso y producto aluden a dos aspectos distintos del trabajo matemático pero inseparables. Existe una dialéctica entre ambos, siendo, de hecho, dos caras de una misma moneda. El proceso de estudio se caracteriza por tener una estructura no uniforme organizada en distintas dimensiones o momentos que se distribuyen de forma dispersa a lo largo del estudio. Aquí, la palabra momento está tomada en el sentido de «aspecto», y no en el sentido cronológico o temporal. Estos momentos no son vividos de una sola vez y pueden presentarse simultáneamente. Para realizar una gestión adecuada del estudio se debe vigilar que cada uno de los momentos didácticos se realice en el o los momentos oportunos. La herramienta teórica que resume todos estos aspectos fisiológicos del estudio se denomina teoría de los momentos didácticos. A partir de la nueva noción de estudio surge una concepción ampliada de la didáctica de las matemáticas. Así, la didáctica de las matemáticas se define como «la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemáticas». El proceso de estudio se organiza a través de seis momentos distintos, cada uno de los cuales queda caracterizado en función de la organización matemática que se estudie y sus distintos componentes. Es decir, estudiar una obra matemática es inseparable de la estructura de la obra que se estudia. Cada uno de los seis momentos del estudio desempeña una función específica necesaria INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 358 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) para llevar a buen término dicho proceso. Dichos momentos son: el momento del primer encuentro, el momento exploratorio, el momento del trabajo de la técnica, el momento tecnológico-teórico, el momento de la institucionalización y el momento de la evaluación. El momento del primer encuentro es la dimensión del estudio en la que se presenta un nuevo tipo de problemas para ser estudiado. Esto es, surge por primera vez una tarea problemática para una comunidad de estudio que no la sabe resolver y que decide, por los motivos que sea, hacer algo para conseguir resolverla. En el marco de la institución de enseñanza es el momento en que el profesor presenta un tipo de problemas y un entorno en el que aparecen los objetos matemáticos que lo conforman. En éste se pueden mostrar las razones de ser o el tipo de cuestiones a las cuales responde dicho problema y cuya elucidación es un elemento importante del estudio. Estas razones de ser iniciales no tienen por qué coincidir con las razones de ser reales o «sabias». El momento exploratorio es la dimensión del proceso de estudio en que tiene lugar la indagación más específica de un tipo de problemas previamente encontrado o presentado. Es la etapa que permite establecer las fronteras del tipo de problemas en cuestión, y relacionarlo con la construcción de una técnica para su correspondiente estudio. El momento exploratorio acaba cuando esta técnica emerge de forma clara aunque no sea explícitamente. Desde el marco de la institución de enseñanza, es el momento en que el profesor hace vivir unos objetos, recientemente introducidos dentro de la problemática anunciada, en manos de los estudiantes hasta que la técnica para realizar el estudio resulte visible. La técnica puede emerger en manos de los alumnos o ser presentada directamente por el profesor. Es importante señalar aquí que, en oposición a la consideración bastante extendida hoy en día que propugna la constante exploración «autónoma» de los alumnos de algunos problemas, el proceso de estudio no termina –ni puede terminar– en esta dimensión exploratoria del estudio. En estas dimensiones, las técnicas aparecen de forma aún inestable o rudimentaria, siendo necesario todavía poder rutinizarlas, dominarlas, flexibilizarlas, modificarlas, describirlas, explicarlas y justificarlas. Además, el hecho de autentificarlas como «maneras de hacer» legítimas permitirá que los estudiantes las «fijen» como elementos que pertenecen a una organización matemática específica que permite resolver cierto tipo de tareas. Una vez que las técnicas para el estudio de un tipo de problemas anunciado han aparecido de forma visible como resultado de la exploración del mismo, se inicia el trabajo específico sobre éstas para lograr su respectiva rutinización y posterior naturalización. Así, esta dimensión del proceso tiene asignada distintas funciones o tareas: la puesta a punto de las técnicas, la búsqueda de relación entre ellas, el análisis de las limitaciones y potencia de cada una, la determinación del rango de validez de cada una, e incluso el llevarlas hasta sus últimas consecuencias, llegando a proponer, si fuera oportuno, alguna modificación o ampliación de las mismas. Dentro de este momento, además de procurarse el dominio robusto de las técnicas hasta el punto de su respectiva rutinización, pueden aparecer necesidades tecnológicas y teóricas de explicar, justificar y hacer inteligibles los gestos que se realizan. Dichas necesidades pueden eventualmente sugerir la construcción de nuevas técnicas. Es por ello que esta dimensión del estudio desempeña un doble papel dentro del proceso. El primero consiste en promover la creación de nuevas técnicas y eventualmente de nuevos objetos matemáticos necesarios para construirlas. El segundo hace de puente intermediario entre la búsqueda de técnicas para el estudio de un tipo de problemas realizado en el momento exploratorio y las explicaciones y justificaciones que se establecerán en el momento tecnológico-teórico para las mismas. El término tecnología, tal como hemos visto, hace referencia al conjunto de conocimientos que se utilizan para explicar, interpretar, hacer inteligibles y justificar tanto las técnicas que se utilizan como las prácticas que se realizan para el estudio de una obra matemática. Al mismo tiempo, la teoría engloba todos aquellos elementos propios de la disciplina matemática que garantizan y dan un sentido a la tecnología utilizada para el estudio. De esta forma, y en concordancia con la relación anteriormente señalada entre una obra matemática y su correspondiente estudio, el momento tecnológicoteórico es aquella dimensión del estudio que hace referencia a la necesidad de explicación y justificación de la actividad, es decir, en la cual aparecen los elementos tecnológicos y teóricos para el estudio en el sentido anteriormente señalado. El momento de la institucionalización corresponde a la dimensión del proceso didáctico en que se hace visible y se oficializa la actividad desarrollada hasta aquel instante. Es la dimensión en que se le otorga un «nombre» y un estatuto al conocimiento matemático que ha ido apareciendo de manera informal, legitimándolo como conocimiento matemático que pertenece a la organización matemática que se construye. En este momento se fijan los elementos necesarios para continuar con dicha reconstrucción. Es necesario institucionalizar los elementos de dicha organización para sustentar su existencia y duración, ya que éstos nunca se imponen por sí mismos. Lo matemáticamente contingente se olvidará, mientras que lo matemáticamente necesario e institucionalizado tiene posibilidades de perdurar. En el marco de la teoría de situaciones didácticas, Brousseau (1990) puntualiza que es el momento en que la institución se impone al sujeto: la relación «personal» debe ceder el sitio a la relación «institucional». Finalmente el momento de la evaluación corresponde a aquel aspecto de la actividad en que se pone a prueba el dominio que tiene un sujeto sobre la organización matemática construida. Es decir, se mide el estado en que se encuentra la relación personal del sujeto con la obra matemática. Así, esta dimensión puede ser vivida, de forma personal e íntima, cuando el estudiante decide INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) 359 averiguar cuánto sabe de lo que ha estudiado, o bien, de forma pública, cuando debe demostrar el dominio que posee de dicha organización al resto del grupo que estudia con él o a la institución encargada de organizar y dirigir el proceso de estudio, institución que está representada tradicionalmente por el profesor. Conjuntamente con esto, dentro de esta dimensión se puede poner a prueba o evaluar la potencia de las técnicas o, más generalmente, la capacidad de la organización en sí misma como obra matemática. En otras palabras, se pone a prueba la relación institucional con la organización matemática en tanto que condensación de ciertas praxeologías matemáticas. De esta forma, se pone de relieve la articulación que existe entre el momento de la evaluación y el de la institucionalización. Hay una dialéctica entre ambos, puesto que, por un lado, se evalúa lo que se ha hecho visible o institucionalizado y, por otro, se institucionaliza para, entre otras cosas poder evaluar. Modelización de la actividad del profesor: noción de praxeología didáctica espontánea Siguiendo el postulado esencial del enfoque antropológico que establece que toda actividad humana procede de una praxeología, es posible definir la figura del profesor y abordar la complejidad que envuelve su práctica profesional en estos mismos términos. Esto es, la actividad del profesor se puede describir como un conjunto de organizaciones praxeológicas que contemplan la realización de un sistema de tareas alrededor de las cuales se van a desarrollar y organizar un conjunto de técnicas, tecnología y teoría. Se trata, pues, de unos tipos de problemas «didácticos», técnicas «didácticas», tecnología y teoría «didáctica», aunque frecuentemente aparezcan implícitos o vagamente descritos dentro de dicha actividad. En este sentido, Brousseau ha considerado apropiado hablar en términos de la «epistemología espontánea del profesor» (Brousseau, 1998). La cuestión que da origen a la modelización por «separado» de las praxeologías matemáticas de las didácticas surge de la propia necesidad del análisis y no de la realidad misma que vamos a analizar. Claro está que la complejidad que caracteriza las tareas didácticas del profesor tiene relación con el constante cambio que experimenta la sociedad. Esta última variable constituye el agente que determina, en gran medida, las distintas orientaciones que van a definir el proyecto educativo en el que el profesor participa. En términos generales, Chevallard (1998) establece que dicho sistema de tareas se encuentra organizado en dos grandes «categorías» mutuamente dependientes, pero que abarcan distintos aspectos de la actividad del profesor. La primera contempla aquellas tareas relativas a la concepción y organización de los dispositivos de estudio y de gestión de sus respectivos entornos. La segunda está formada por las tareas de ayuda al estudio y, en particular, de dirección de estudio y de enseñanza. Cada una de estas categorías de tareas va a activar distintos tipos de técnicas didácticas para resolverlas. Las funciones del profesor se conciben de manera progresiva. Cuando en una comunidad se decide estudiar una organización matemática, se recurre frecuentemente a alguna persona que está capacitada para ayudar a dicho estudio. Exento de mayores responsabilidades sobre el buen desarrollo y término del estudio, esta persona se sitúa en la posición de ayudante provisional. Si este ayudante decide tomar parte de responsabilidad en el proyecto de estudiar dichas organizaciones, entonces su función se convierte en la de director de estudio. Pero, si este director asume, además, la responsabilidad de impartir un curso o un conjunto de sesiones en las que presentará y «mostrará» –enseñará– los elementos de la organización que se quiere estudiar, entonces se convierte en un enseñante. Por consiguiente, el papel del profesor es, en primera instancia, el de un ayudante de estudio que asume el papel de director, para cuya tarea organiza e imparte un programa de enseñanza. En correspondencia con las dos grandes categorías en que se organiza el sistema de tareas del profesor, una de las primeras cuestiones que encara el profesor, en cuanto enseñante, es la de reconstruir las organizaciones matemáticas escolares que aparecen propuestas en los programas oficiales y en los manuales para ser enseñadas. Esto es, contribuye a determinar el tipo de tareas matemáticas que va a contener dicha organización, así como también precisar hasta qué punto se van a desarrollar las técnicas que permiten realizarlas, y la tecnología y la teoría que las justifican. El segundo gran tipo de tareas consiste en conducir la reconstrucción escolar de dicha organización matemática. Claro está que esta conducción puede ser realizada por el docente de diversas maneras, que a su vez pueden variar de un profesor a otro. No obstante, sea cual sea el proceder particular seguido, suponemos que aparecen algunos aspectos invariantes en cada una de estas distintas reconstrucciones. Postulados fundamentales para el análisis didáctico del proceso de estudio y de la actividad del profesor A modo de resumen, expondremos los principios que han orientado el análisis didáctico. 1) No es posible abordar un problema didáctico sin tomar en cuenta el conocimiento matemático –o la actividad matemática– involucrado en el mismo. Éste es un principio epistemológico muy potente para la didáctica de las matemáticas. 2) No es suficiente con tomar un modelo del conocimiento matemático elaborado desde una problemática ajena a la didáctica. Hace falta, además, un modelo construido por la propia didáctica de las matemáticas. 3) De acuerdo con el fenómeno de transposición didáctica, el uso del modelo anterior incluye el estudio de las organizaciones matemáticas que se tienen que estudiar en la escuela, de sus correspondientes reconstrucciones INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 360 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) escolares y el establecimiento de la distancia existente entre ambas. 4) No se debe olvidar el carácter institucional de la problemática didáctica. El profesor realiza su actividad en el seno de una institución que posee sus propios mecanismos para controlar su funcionamiento: el profesor no actúa –ni puede actuar– en soledad. Por el contrario, se encuentra sujeto a fuertes restricciones institucionales que van a influir decisivamente en su actividad profesional –y en la de los alumnos. 5) Se deben considerar los dos grandes tipos de tareas que éste realiza; las relativas a la organización y gestión de los dispositivos de estudio y las relacionadas con la tarea de dirección del estudio y de enseñanza en el sentido anteriormente expuesto. Estas cuestiones señalan que, para estudiar el «pensamiento del profesor», hay que atender a toda su actividad de ayuda para el estudio. El pensamiento del profesor debería recubrir, tanto la manera como éste reconstruye la organización matemática que debe enseñar como su manera de organizar y dirigir el estudio, pasando por las explicaciones y justificaciones que es capaz de elaborar sobre su práctica y la de sus alumnos. Se pasa así de la problemática de los componentes del «pensamiento» a la de los instrumentos para la «dirección del proceso de estudio». Lo que el profesor «piensa», sus creencias e ideas sobre las obras que ha de enseñar y sobre su enseñanza-aprendizaje pueden afectar el desarrollo de su práctica docente, pero para mostrarlo es necesario ser capaces de describir en qué consiste esta práctica. PROPÓSITO Y METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN El propósito de investigación Situados dentro del enfoque antropológico, podemos formular nuestro propósito general de investigación en los siguientes términos: Lo que nos interesa estudiar, en general, son las técnicas didácticas que utiliza el profesor para dirigir y gestionar el proceso de estudio de los «límites de funciones» en la enseñanza secundaria y el tipo de reconstrucción que realiza de la organización matemática propuesta por los cuestionarios oficiales de esta institución escolar. Al lado de las técnicas didácticas, también habrá que situar las tecnologías o elementos tecnológicos que permiten al profesor (y a su entorno) describir, justificar y, más en general, «pensar» y dirigir su práctica docente. Nuestro trabajo se sitúa, pues, dentro del proyecto, mucho más amplio, de descripción y estudio de la praxeología didáctica, en general, y de la del profesor, en particular. Pese a que se han realizado algunos estudios sobre la práctica del profesor en didáctica de las matemáticas (Margolinas, 1994), ésta es una de las problemáticas de investigación que continúa abierta. Así, se han podido describir las técnicas que utiliza el profesor en términos generales de «estrategias» metodológicas o «estilos» docentes pero el aspecto específico del contenido matemático que las determina y el punto de vista del enfoque antropológico de las mismas aún no han sido suficientemente tratados. Dado lo reciente de este último enfoque, nos encontramos con la necesidad de elaborar herramientas de análisis inexistentes, por lo menos de manera explícita, para realizar dicha empresa. De aquí que nuestra mayor contribución consiste –más allá de aportar resultados concretos sobre el funcionamiento, y disfuncionamientos, del sistema didáctico, del desarrollo del proceso de estudio de los límites de funciones y algunas descripciones de la praxeología didáctica del profesor– en presentar una metodología de análisis útil y potente para realizar un estudio del proceso didáctico. Para dar sentido a este programa de investigación es necesario poner de relieve, como cuestión básica, la existencia de una epistemología «espontánea» del profesor de matemáticas. Es decir, elementos de una actividad «natural» que se desarrolla y que interviene en el ejercicio docente, ya sea implícita o explícitamente. Uno de los supuestos básicos de la didáctica consiste en creer que se puede describir lo que hace de manera natural el profesor (Brousseau, 1998). Esto es, describir aquellos gestos y estrategias que el profesor realiza de manera totalmente espontánea y natural, como si no necesitara para ello ningún tipo de conocimiento elaborado. Es importante señalar aquí que el proceso de estudio no empieza ni termina en el aula. El profesor ha iniciado su función de ayuda al estudio antes de que las clases empiecen. De igual forma, una vez comenzado el proceso de estudio, éste continuará en casa del estudiante. Nosotros nos centramos en el análisis del proceso didáctico realizado dentro del aula. No obstante, tenemos acceso a parte de dicho proceso vivido fuera del aula al realizar algunas entrevistas a los profesores considerados. Metodología de investigación La secuencia de pasos que hemos seguido para el logro de nuestro propósito de investigación es la siguiente: Análisis de los libros de texto: antecedentes para la investigación El interés primero de nuestro trabajo fue motivado en gran parte por los resultados obtenidos en la tesis de maestría (Espinoza, 1994; Espinoza y Azcárate, 1995) previamente realizada sobre la enseñanza del concepto de límite en secundaria. Se trataba de un estudio experimental en el cual comenzamos a introducir los elementos teóricos del enfoque antropológico que por entonces conocíamos. De ahí que el análisis de la organización matemática en torno a los límites de funciones realizado en dicho trabajo fuera ampliamente mejorado en nuestra presente investigación. Para efectuarlo, analizamos primero los programas oficiales en torno a este concepto por entonces vigente. Posteriormente, escogimos una INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) 361 muestra de cuatro libros de texto de prestigiosas editoriales y analizamos las distintas reconstrucciones que proponían de esta organización matemática para ser realizada en el aula. Búsqueda y recogida de la información Para realizar la investigación, partimos considerando un profesor (A) de matemáticas de 2º de BUP que aceptó nuestras condiciones: ser grabado, entrevistado, recoger su material de clase, etc.; y todo ello sin que le explicáramos los objetivos del estudio. Se hizo un seguimiento completo de la secuencia didáctica desde que comenzó con la unidad de límites de funciones hasta las aplicaciones del límite en el estudio de funciones continuas, grabando todas las sesiones de clase en vídeo. La información recogida es muy rica y nos permitirá obtener resultados contundentes. Consta de: a) cintas de vídeo de todas las sesiones de clase; b) observaciones de campo de cada clase; c) entrevista grabada en casete del profesor antes de empezar el tema; d) dispositivo didáctico utilizado por el profesor. La entrevista se construye por medio del refinamiento de la entrevista realizada previamente en la tesis de maestría y atendiendo a las funciones principales que el profesor desempeña como director de estudio. Dicha entrevista fue realizada al profesor después de terminar el proceso de estudio relativo a los límites de funciones. Recogida de material de los alumnos Con el fin de realizar el análisis de la enseñanza de los límites de funciones inscrito dentro del marco más amplio del proceso de estudio que la engloba, y dado que dicho proceso es, pues, un proyecto común entre profesor y alumnos, para llevar a cabo el estudio, es necesario, además, tomar en cuenta la actividad que realizan los alumnos para estudiar dicha obra escolar organizada y dirigida por el profesor. Claro está que esta actividad no se reduce sólo a la realizada en el aula, sino que continúa fuera de ésta, en la casa de cada uno de los estudiantes. De esta forma, una manera que nos permitió no restringirnos demasiado al aula fue la de considerar alguno de los materiales utilizados por los alumnos en sus respectivos estudios. Dicho material es el siguiente: a) apuntes de clase de los alumnos; b) exámenes sobre el tema de límites de funciones; c) respuestas al cuestionario elaborado por el investigador. El cuestionario pretendió recoger el tipo de actividad que eran capaces de hacer, efectivamente, los alumnos con los límites de funciones, y el tipo de argumentaciones que utilizaban para dicha actividad. Repetición de la observación Una vez realizada la observación del primer profesor, estimamos necesario repetir la experiencia para luego poder contrastar las observaciones. De hecho, para poder detectar lo invariante y lo variable en las técnicas didácticas que utiliza un profesor en su tarea de organización y conducción del proceso de estudio, es necesario poder contrastar su actuación didáctica específica con la de algún otro profesor. Ahora bien, primero es necesario ser capaces de describir lo que hace un profesor durante todo un proceso de estudio, más que observar episodios aislados de procesos de estudios segmentados provenientes de distintas aulas: para entender mejor la «diferencia específica» entre las técnicas didácticas que utilizan distintos profesores en aulas diferentes, es importante conocer antes, aunque sea «en potencia», el «género próximo» en el que se inscriben dichas técnicas. De esta forma observamos un segundo profesor (B) de 2º de BUP mientras realizaba el mismo proceso de estudio. La información es equivalente a la del primer profesor. El instrumento metodológico para la investigación: criterios de construcción y posibles utilizaciones Para recoger la información que nos permite realizar el análisis del proceso de estudio vivido en el aula, hemos construido dos tipos de tablas diferentes. En la primera, designada por nosotros tabla tipo I, hemos realizado la transcripción del proceso de estudio observado, utilizando los criterios generales que se exponen a continuación. Tabla I Episodio Momento Actor Objetos Actividades didáctico principal matemáticos de estudio presentes Un episodio representa una primera descomposición intuitiva del proceso de estudio que se relaciona con un cambio significativo en la acción que se realiza y cuyas reglas de formación aún son inciertas. El momento dominante del estudio aparece aquí de forma únicamente indicativa con la finalidad de podernos situar dentro del proceso de estudio y leer su desarrollo compacto en la tabla. El actor principal es aquella persona que, aun existiendo interacciones, tiene la mayor responsabilidad sobre el desarrollo de la tarea matemática concreta que se realiza. Los objetos matemáticos presentes son aquéllos que aparecieron explícitamente en el discurso del profesor o alumno en la clase. Las actividades de estudio corresponden a la transcripción de los diálogos y actividades sucedidas en el aula. Con esta tabla podremos proponer una primera secuenciación organizada por episodios y momentos vividos en cada clase. Además, es posible analizar y describir los componentes esenciales de la organización matemática construida. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 362 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) La segunda, designada tabla tipo II, nos permite realizar el análisis más profundo del proceso de estudio descrito globalmente a partir de la tabla tipo I. No partimos de un modelo teórico a priori detallado de organización matemática en torno a la noción de límite ni de un proceso de estudio «ideal» de esta organización. Lo que hacemos es describir el proceso de estudio tal y como (creemos) lo vivieron sus protagonistas: la agrupación de problemas en tipos de problemas es la que realiza el profesor (de manera más o menos explícita); las distinciones entre las distintas técnicas son también las que se establecen a lo largo del proceso; los elementos tecnológicos y teóricos que se presentan en las tablas son aquéllos que aparecieron explícitamente en clase; etc. Esto no quiere decir que la organización presentada no hubiera podido ser otra (otros problemas u otra tipología, otras técnicas, etc.). Las tablas sólo pretenden reflejar con la mayor fidelidad posible la organización matemática que se construyó efectivamente durante el proceso de estudio, así como la estructura de este proceso en sus distintos momentos tal como fueron observados empíricamente. La estrategia de análisis didáctico-matemático El plan seguido para realizar el análisis consistió en los siguientes pasos: 1) Exploración de algunas organizaciones matemáticas construidas en torno al «límite» a lo largo de la historia de las matemáticas. 2) Análisis de las reconstrucciones propuestas en los programas oficiales sobre los límites de funciones. 3) Análisis de la dimensión estática del proceso de estudio «virtual»: los libros de texto. 4) Análisis de la dimensión dinámica del proceso: las grabaciones, dispositivos didácticos y observaciones de campo. 5) Análisis de las técnicas didácticas utilizadas por los profesores observados para dirigir el proceso de estudio. Nuestra descripción no pretende abarcar la praxeología completa del profesor sino que su actuación en la sala de clase. 6) Análisis de la tecnología didáctica de los profesores: las entrevistas. 7) Síntesis, relación de resultados y conclusiones del estudio. PRINCIPALES RESULTADOS DEL TRABAJO A continuación sólo describiremos algunos de los principales resultados obtenidos en nuestro trabajo de investigación. La totalidad de los resultados, así como también la mayor especificación de los mismos, se pueden encontrar en el trabajo de tesis doctoral (Espinoza, 1998). En cuanto a la organización matemática escolar en torno al objeto «límite de función» A partir del análisis de los programas españoles oficiales y de los libros de texto hemos obtenido los resultados que se exponen a continuación. El fenómeno didáctico fundamental Encontramos que en esta institución de enseñanza no existe una única organización matemática –en torno al límite de función–, propuesta para ser estudiada en el aula, sino que hay dos organizaciones matemáticas incompletas. Además, no sólo son distintas sino que aparecen totalmente desconectadas entre sí. La primera, que hemos denominado organización matemática relativa al álgebra de límites, responde a la única cuestión del cálculo del límite de función partiendo del supuesto previo de su existencia. El modelo matemático implícito de dicho concepto es, en este caso, el de un operador algebraico que cumple con una determinada axiomática del álgebra de límites, por lo que el nivel práctico de esta organización es de naturaleza esencialmente algebraica. Además, el objeto «límite de función» no es cuestionado ni descrito en tanto que objeto pero tampoco funciona como instrumento. Los tipos de problemas y las técnicas para el estudio esconden la problematicidad utilizada a fin de introducir esta organización, sobre todo aquéllos que son resueltos mediante un uso algebrizado del infinito. Los tipos de problemas gráficos y el estudio de la continuidad de funciones aparecen como un apéndice de la organización, a modo de aplicación de las técnicas algebraicas. El mayor disfuncionamiento de esta primera organización escolar es que no contiene un entorno tecnológico y teórico suficienteTabla II Clase Tipos Técnicas Elementos tecnológicos Momento Elementos de problema matemáticas y teóricos dominante de técnicas y submomento didácticas locales INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (3) 363 mente explícito para el nivel práctico de la misma. Postulamos que esta restricción se traducirá en serias dificultades a la hora de realizar su correspondiente reconstrucción en la sala de clases. No obstante, ésta es la organización matemática que el alumno deberá estudiar concretamente, puesto que todas las actividades propuestas en los manuales para el alumno se inscriben dentro de la misma. Es por ello que también nos hemos referido a esta organización como a la praxis de la organización matemática que se debe construir en el aula. La segunda, que hemos designado organización matemática relativa a la definición del objeto límite de función o sabia, obedece a la cuestión de la existencia del límite. El modelo matemático más o menos explícito del límite, en este caso, es el típicamente utilizado dentro del trabajo del análisis, ya sea en términos de ε y δ utilizados en los espacios métricos o bien de entornos, vecindades y sucesiones de los espacios topológicos. La mayor insuficiencia de esta organización es que no aparece el nivel práctico de la misma que permitiría instrumentalizar el nivel tecnológico y teórico antepuesto. Así, esta restricción ecológica hace que esta organización matemática termine por desaparecer de los manuales. Sin embargo, ésta aparece como el discurso tecnológico que pretende justificar la práctica algebraica propuesta por lo que la hemos denominado como el logos de la organización matemática que se construirá en el aula. El divorcio detectado entre estas dos organizaciones, o bien entre praxis y logos, nos permitió postular algunos fenómenos didácticos previsibles sobre la enseñanza de la noción de límite de función en esta institución que, posteriormente, hemos visto corroborados con los hechos. La insuficiencia de la primera organización induce a que la práctica se reduzca a una actividad únicamente formal y atomizada: los problemas aparecen aislados, las técnicas para resolverlos se utilizan de manera rígida y limitada siendo en sí mismas el objetivo del estudio. Del mismo modo, las incoherencias de la segunda organización provocan que, o bien aparezca como un artefacto decorativo, o bien sea implícitamente tratada o, incluso, no sea estudiada. Al reconstruir el nivel práctico de la organización matemática sin una tecnología y teoría apropiada que la explique y justifique, la actividad matemática que se realiza resulta arbitraria y formal. Postulamos que este fenómeno didáctico puede encontrar su explicación en las restricciones impuestas por la transposición didáctica y la necesidad de negociar las obras matemáticas escogidas para ser enseñadas. En efecto, para ser legitimadas por parte de la institución sabia, las reconstrucciones escolares han de satisfacer en primera instancia los imperativos de rigor y formalización propios de dicha institución. Pero, para poder existir como un tipo de tareas matemáticas efectivamente realizables, debe también ser viable y satisfacer los imperativos de comprensión y sentido propios de la institución de enseñanza. Lo que resulta de este proceso de negociación, en este caso, son unas imitaciones empobrecidas de las organizaciones matemáticas «sabias» en oposición a nuevas reconstrucciones aunque sean restringidas pero coherentes. En cuanto al proceso de estudio de la organización matemática vivido en el aula El instrumento de análisis Con el instrumento de investigación que elaboramos, conseguimos observar y analizar dos procesos de estudio en torno a la noción de límite de función. Logramos: a) identificar los distintos ingredientes de las organizaciones matemáticas efectivamente construidas en ambas aulas; b) describir de forma detallada la gestión y organización de cada momento didáctico vivido relativo a las distintas organizaciones matemáticas puntuales construidas (un tipo de problemas con sus respectivas técnicas, elementos tecnológicos y teóricos) y que componen la organización matemática más amplia; c) sintetizar lo que hemos llamado las estrategias didácticas globales de cada profesor para dirigir dichos procesos; d) identificar y describir algunos elementos de técnicas didácticas específicas utilizadas por los profesores para resolver sus sistemas de tareas didácticos obteniendo así la materia prima para realizar el análisis más específico de las praxeologías didácticas espontáneas de los profesores; y, finalmente, e) poner de manifiesto fenómenos didácticos relacionados con la gestión del proceso didáctico en el aula. De esta manera, conseguimos mostrar la potencia y funcionalidad de este instrumento metodológico al permitir la observación, estructuración y posterior análisis de los procesos de estudio empíricos tal como se desarrollan en el aula. Caracterización de los dos procesos de estudio Las organizaciones matemáticas construidas Tal como señalamos antes, pese a tratarse de profesores distintos y de aulas diferentes, pudimos constatar que las organizaciones matemáticas en torno a los límites de funciones efectivamente construidas poseen en esencia las mismas características. Ambas obedecen a la única cuestión del cálculo de límites de funciones, partiendo de la base que éste existe o es infinito (o, como mínimo, de que existen o son infinitos los límites laterales). Se asume que el límite de una función en un punto es algo calculable (aunque pueda valer infinito) y el problema radica en realizar dicho cálculo. El campo de funciones con el que se trabaja es también restringido: las funciones son únicamente racionales o irracionales simples y vienen dadas por su expresión algebraica o por su representación gráfica. Partiendo de este tipo nuclear de problemas, se extiende la organización hacia el estudio de la continuidad de una función en un punto, problema que puede también presentarse como la cuestión originaria de la organización, pero que sólo aparece para practicar las técnicas de cálculo y no como un problema que se tenga que estudiar en sí mismo.