Una introducción a la dinámica no lineal en enseñanza Secundaria

INNOVACIONES DIDÁCTICAS
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (1), 141-145 141
UNA INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA
NO LINEAL EN ENSEÑANZA SECUNDARIA
ALEMAÑ BERENGUER, RAFAEL ANDRÉS1 y PÉREZ SELLES, J.F.2
1IES Pe e M. O s i Bosch. Benido m. Alican e.
2IES Be na de Sa ià. Benido m. Alican e.
SUMMARY
An in e es ing s udy on an app oach o Physics eaching o an in oduc ion o non-linea dynamics, a a basic le el,
is p esen ed he e. This s udy, amed on he cons uc i is heo y o lea ning has led o he ac ual possibili y o
explaining in seconda y clas ooms he elemen a y ounda ions o his ou s anding a ea in mode n physics. An ini ial
explo a ion o he p io belie s o pupils abou mechanics and p edic ibili y cons i u ed he base o his a emp
INTRODUCCIÓN
En es e a ículo se expond á un abajo ela i o al in en o
de p esen a a un g upo de alumnos de secunda ia los
p incipios básicos de la dinámica de sis emas no linea-
les, eo ía en la que se unda el mode no es udio del caos
y o os compo amien os complejos de los enómenos
ísicos. El es udio se lle a a cabo den o del ma co de
la eo ía cons uc i is a de ap endizaje (Osbo ne,
F eibe g, 1985; D i e , Oldham, 1986; No ak, 1988) y
se desa olló en a ias ases consis en es en:
– la explo ación de las ideas p e ias de los es udian es
e e en es a las p opiedades y ca ac e ís icas de la mecá-
nica como eo ía ísica, especialmen e en lo conce nien-
e a la posibilidad de p edeci el compo amien o u u o
a pa i del conocimien o de las condiciones p esen es en
un sis ema dado;
– el diseño de ejemplos y cues iones que omen como
base los esquemas concep uales iden i icados en los
alumnos de es e ni el du an e la p ime a ase, de modo
que esul en ele an es pa a ellos y les pe mi an log a
un ap endizaje signi ica i o de las nue as ideas.
– la pues a en p ác ica en el aula de es os ma e iales con
una mues a o al de 23 alumnos pe enecien es al 2º
cu so de bachille a o LOGSE (1997-98), du an e es
sesiones de clase ubicadas al inal de la pa e del p og a-
ma de la asigna u a de ísica dedicada a la mecánica. Los
miemb os del g upo en cues ión e an es udian es no ma-
les, no con lic i os y sin necesidad de ayudas in elec ua-
les especiales.
LINEALIDAD Y NO LINEALIDAD
Las sesiones de abajo comienzan con un eco da o io
de los concep os ma emá ico y ísico de linealidad y
no linealidad. En el ni el educa i o en el que es amos
abajando, los alumnos ya poseen una base ma emá ica
p e ia su icien e pa a aden a se en es as cues iones con
cie a segu idad. Del mismo modo, sus conocimien os
de mecánica en pa icula y ísica en gene al, adqui idos
a lo la go de cu sos an e io es, posibili an el p oceso de
ap endizaje que a con inuación se abo da á.
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Explo ación de las ideas p e ias
Iniciamos el ensayo pasando a los alumnos un b e e
cues iona io en el que igu an dos p egun as: 1) «¿Qué
conside as necesa io pa a ga an iza la esolución de un
p oblema ísico, en es e caso mecánico?» 2) «¿Piensas
que, dadas esas condiciones, es siemp e posible p edeci
el compo amien o u u o de un sis ema?, ¿po qué?»
Na u almen e, el sen ido y la in encionalidad de es as
p egun as es ampliamen e comen ada en clase an es de
p ocede a cumplimen a lib e e indi idualmen e el
cues iona io. Finalmen e, se ecoge la encues a y se pasa
a deba i las con es aciones o ecidas.
De la discusión y del esul ado de los cues iona ios se
concluye que ap oximadamen e un 80% de la clase
conside a necesa io, de acue do con la p ime a p egun-
a, dispone de una ley ísica bien de inida –exp esada
como una ó mula ma emá ica– y unos da os iniciales
que inse a en ella. Un 10% c eía bas a se con las
ecuaciones del mo imien o, aunque es a acción de
opiniones se econ ie e con apidez hacia el p ime
g upo una ez des acada la impo ancia de los da os de
pa ida. Po úl imo, el 10% es an e no sabe o no con es a
( espues a en blanco). Finalmen e, y asis idos po el
p o eso , el consenso se alcanza en o no a la posición
de endida po el 80% ya comen ado.
Las con es aciones a la segunda p egun a, sal o en ese
10% que no esponde, llaman la a ención po su unani-
midad en el ono a i ma i o y sin géne o de dudas al
espec o. Nadie acila, ni siquie a mínimamen e, en
sos ene que, dadas las condiciones expues as en la
p ime a p egun a, la exac i ud de una p edicción eó ica
y el pe íodo de iempo de su alidez esul an a bi a ios.
Como máximo, se acep a sin p oblemas que dicha exac-
i ud depende á de la inu a de los ins umen os de
medida, pe o nadie duda de que es me amen e un p oble-
ma écnico que no e idencia lími e eó ico alguno. En
ningún caso se plan ea la in luencia de los e o es en los
da os iniciales, más que como pequeñas incon eniencias
que se pueden educi a olun ad.
La conclusión de es a p ime a ase de la expe iencia es
que los alumnos de es e g upo han asumido explíci a-
men e el ma co concep ual que conside a las ó mulas de
la ísica como «cajas neg as» o a ilugios en los que se
in oducen unos da os de en ada (semejan es a los
inpu s de un o denado ) y se ob ienen o os da os, las
p edicciones, como esul ado (ou pu s). Es in e esan e
cons a a que odos los alumnos se encuen an amilia-
izados de un modo u o o (ya sea po habe cu sado la
asigna u a op a i a de in o má ica o po el uso domés i-
co de un o denado pe sonal) con es e ipo de isión de
las cosas lo que sin duda debe habe con ibuido a
modela su pensamien o.
Po o o lado, ambién queda pa en e la asunción del
pa adigma clásico de la p edic ibilidad absolu a, pa i-
cula men e en aquéllos que han cu sado la asigna u a
op a i a de as onomía, e dade o epí ome de es a línea
de pensamien o. La in luencia de los e o es se juzga
desp eciable, simplemen e no se oma en cuen a en
modo alguno. En es e momen o no se con inúa p o un-
dizando en ales cues iones, sino que se pasa a a a las
ideas de linealidad y no linealidad como p ime paso en
el p oceso de cambio concep ual asis ido po el docen e.
Concep o ma emá ico
La idea más in ui i a de linealidad que casi odos los
alumnos poseen de mane a más o menos di usa es la que
se exp esa po compa ación con la igu a de una ec a en
un sis ema de coo denadas ca esiano. Así, un p oceso
«es lineal –se dice– si la ecuación que ige su compo a-
mien o es de la misma o ma que la que desc ibe la
ec a». Como uno de los modos de esc ibi la ecuación de
una ec a en geome ía analí ica (con m la pendien e y b
un é mino independien e) es y = mx + b, los alumnos
iden i ican enseguida linealidad con una especie de
p opo cionalidad co egida con el é mino b. En el caso
más simple, en el que b = 0, queda ía sencillamen e
y = mx.
Gene alizando algo más, aho a podemos da un paso
adelan e y a i ma que (x) es una unción lineal si, al
mul iplica la a iable x po un coe icien e a esul a
(ax) = a (x). Más ampliamen e, pa a dos a iables x, y,
dos coe icien es a, b, además de la unción , linealidad
en ambas a iables signi ica á que (ax + by) = a (x) +
b (y). Es e azonamien o conduce a una conclusión que
a los alumnos les es pa icula men e ácil de cap a . T as
un animado deba e en el aula se llega a la conclusión
siguien e: «Si un sis ema es lineal, puede descompone -
se en pa es de mane a que el compo amien o global del
sis ema como un odo es el mismo que el ob enido
combinando los compo amien os de cada una de sus
pa es omadas aisladamen e.» En o as palab as, y di-
cho más b e emen e, «el odo es igual a la suma de sus
pa es». Es e lema (Russell, 1986) pa ece posee un
ue e impac o in o ma i o y es ácilmen e eco dado
po los alumnos en elación con el ema en es udio.
Un apun e geomé ico ayuda a los alumnos a iden i ica
cie as p opiedades de la linealidad y la no linealidad
desde un pun o de is a más g á ico. Dibujando una ec a
y una cu a en sendos diag amas ca esianos (Fig. 1), los
es udian es –ya adies ados en ma emá icas sob e el
análisis de unciones– ad ie en la di e encia en e am-
bas en cuan o a la can idad de magni udes necesa ias
pa a ca ac e iza cada una de ellas. Una ec a queda
de e minada median e dos pa áme os: un pun o y su
pendien e (es deci , su p ime a de i ada), la cual nos
indica po su signo si la ec a c ece o dec ece. En cambio,
una cu a p ecisa se ca ac e izada con un pa áme o
más, su segunda de i ada, necesa ia pa a iden i ica su
ipo de cu a u a (cónca a o con exa), magni ud es a
ca en e de sen ido pa a la ec a (su segunda de i ada es
nula, ya que su cu a u a es ambién ce o).
Un alumno ealiza en es e momen o una muy in e esan e
obse ación: omando amos co os de la cu a, su
o ma puede ap oxima se po la de una ec a, cosa que no
sucede a la in e sa. T as la co espondien e pues a en
común en el aula, la clase decide que, en e ec o, pa a
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (1) 143
Los alumnos, pese a su a aigada cos umb e de abaja
con sis ema lineales idealizados –muy pa icula men e
los ejempli icados po la suma de ec o es–, no mues-
an g an esis encia a econoce la exis encia y los
asgos di e enciado es de los sis emas no lineales. Tam-
poco encuen an di icul ad en asumi que algunos sis e-
mas que se compo an linealmen e pueden deja de
hace lo bajo cie as condiciones. Tomemos el ejemplo
de los pesos medidos po un dinamóme o. Colgando
300 g amos, el ala gamien o del dinamóme o y el alo
de la medida es el iple que si colgamos 100 g amos.
Aho a bien, cuando el peso supe a un lími e, cede la
esis encia del ma e ial que o ma el muelle del dinamó-
me o y el apa a o deja de unciona . Lo que sucede, y los
alumnos no a dan en ad e i lo, es que el muelle obede-
ce inicialmen e la ley de Hooke, F = -kx, pe o es a
ecuación deja de egi cuando el ci ado peso lími e se
sob epasa.
Visualmen e, es a si uación puede ilus a se (Fig. 2) con
un g á ico o mado po una egión lineal –la ec a c e-
cien e– y o a no lineal –la línea pa alela al eje de
abcisas.
Figu a 2
Región no lineal
Región lineal
Una segunda idea básica deducida de lo an e io es es:
T aspasando un cie o umb al de las magni udes impli-
cadas, los p ocesos lineales pueden desemboca en una
conduc a no lineal
Exis en, no obs an e, si uaciones en las que el compo -
amien o del sis ema es udiado es an o menos lineal
cuan o meno es el alo de la a iable en juego. Ése es
el caso, po ejemplo, de las ue zas in e samen e p opo -
cionales al cuad ado de la dis ancia (F ∝ 1/ 2 ), como la
g a edad. Pa a pequeños alo es de , lige as a iacio-
nes de la dis ancia p oducen al e aciones muy acusadas
de la ue za g a i acional. La causa de es e compo a-
mien o es, una ez más, el ca ác e no lineal de la
dependencia en e la ue za y la dis ancia. Llegamos
aho a a una e ce a idea cla e que los alumnos dis in-
guen sin g an di icul ad:
En los sis emas no lineales, pequeñas (o g andes) a ia-
ciones de una a iable pueden p o oca g andes (o
pequeñas) al e aciones de las demás
Figu a 1
cu a u as pequeñas o agmen os minúsculos, las cu -
as pueden ap oxima se de modo azonablemen e bueno
a secciones de ec as. Es a pun ualización e is e suma
impo ancia, pues nos conduce a una p ime a idea cla e
que nos se á de g an u ilidad más adelan e:
En condiciones es ingidas, los p ocesos no lineales
pueden conside a se como si uesen ap oximadamen e
lineales.
Concep o ísico
La linealidad o no linealidad en los sis emas ísicos
eales depende á de que los modelos que los desc iben
adecuadamen e se ajus en a uno de es os dos compo a-
mien os ma emá icos, lo que a su ez e leja á una cie a
conduc a ísica bien ca ac e ís ica. El lema «el odo es
igual a la suma de sus pa es» se plasma aquí en la
posibilidad de descompone una ue za ( ep esen ada
como un ec o ) en una se ie de ue zas meno es cuya
suma ec o ial conduce a la ue za inicial. Es deci , el
conocido como p incipio de supe posición de es ue zos
–y en gene al odos los p incipios de supe posición de la
ísica elemen al– es esul ado de la linealidad de la
ope ación que llamamos suma de ec o es (A nold,
1983). Si c = a + b, en onces ac = aa + ab, pa a cualquie
núme o a.
Un ejemplo ísico ex emadamen e simple de imagina
e e en e a la suma ec o ial es el de los ma illazos
p opinados a un cla o: la sucesión de es golpes de 1/3
New on cada uno es equi alen e a un solo golpe de
1 New on. Sin emba go, no siemp e es así; diez pe sonas
empujando a la ez un au omó il no p oducen el mismo
e ec o si lo empujan una as o a, aun cuando ealicen
aisladamen e la misma ue za en ambos casos. Los
conmu ado es usados en elec ónica del ipo « odo o
nada» cons i uyen o o ejemplo en el que un e ec o
global no puede descompone se en una combinación de
e ec os pa ciales (Mino sky, 1962). Esos disposi i os se
ac i an a pa i de una in ensidad mínima de la señal de
en ada («in ensidad umb al»); supe ada la cual, la señal
de salida es siemp e la misma. Po eso un ascenso no
acude más dep isa po mucho que pulsemos el in e-
up o de llamada as habe sido pulsado po p ime a
ez.
→ → → → → →
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Es a al a de p opo cionalidad en e los cambios de las
a iables en un sis ema es una de las no as dis in i as de
la no linealidad (B iggs-Pea , 1994), cuya impo ancia
pod emos comp oba a con inuación.
NO LINEALIDAD Y CAOS
Equipados ya con las ideas discu idas an e io men e nos
disponemos a plan ea los p oblemas que la no lineali-
dad c ea en elación con nues a capacidad de p edeci el
compo amien o de los sis emas mecánicos. El p ime
paso consis e en eco da a los alumnos que nues o
conocimien o de la na u aleza jamás es o al, pues siem-
p e se halla suje o a imp ecisiones (Mei o i ch, 1970).
Una de ellas, que exis i ía aun cuando las ecuaciones del
mo imien o que manejamos uesen pe ec as, es la de
los e o es en los da os iniciales. Es os e o es en la
de e minación de los da os de pa ida, se deben a las
impe ecciones ine i ables en las mediciones de los
mismos.
En es e ni el de bachille a o, los alumnos es án acos-
umb ados a la impo ancia del cálculo de e o es en las
p ác icas de labo a o io, po lo que no se so p enden al
se les eco dado que ales da os iniciales se p esen an en
la o ma x( 0) = x0 ± ∆x0. La mejo a de los p ocedimien-
os de medida ayuda á a educi el alo de dichos
e o es, pe o nunca llega á a anula los. Es o, en sí mis-
mo, no es malo siemp e que podamos con ola ales
imp ecisiones. Po desg acia, la dinámica no lineal nos
ha mos ado que son muchos lo casos en que ello no es
así, ya que esul a imposible impedi que los e o es
c ezcan desa o adamen e a lo la go del iempo y las
soluciones de los p oblemas se uel an inmanejables
pa a → ∝ (Helleman, 1980). Ac o seguido se p opo-
nen a la clase es ejemplos pa a su comen a io y
discusión.
Mo imien o a mónico simple
Los es udian es se hallan amilia izados con es e ipo de
mo imien o cuya ecuación más simple puede se x( ) =
A cosω . Como A = x(0), si conocemos es e da o con un
e o a de o ma que A = x0 ± a, se end á x( ) = x0 cosω
± (a cosω ). Como la unción coseno es á aco ada en e
±1, el alo del pa én esis es a á ambién aco ado po el
alo a. Si el e o inicial e a pequeño, se man end á así
en cualquie ins an e.
Mo imien o uni o memen e acele ado
Supongamos que un cue po se mue e acele adamen e de
acue do con la ípica ley x( ) = x0 + 0 + 1/2 g 2. Si
conocemos los da os iniciales con e o es a y b, x(0) = x0
± a, (0) = 0 ± b (con a y b mayo que ce o, na u almen-
e), lo más que podemos asegu a pa a un iempo es que
x( ) = x0 + 0 + 1/2 g 2 ± (a + b ). Es deci , el e o c ece
linealmen e con el iempo y, aunque sea pequeño pa a
p oduci g andes di icul ades, es necesa io ene lo en
cuen a.
Mo imien o epulsi o acele ado
Supongamos un mo imien o (Rañada, 1988) cuya ecua-
ción es de la o ma x( ) = x0 exp (k ), con k una cons an e
con unidades de [ iempo]-1 (cie os mo imien os some i-
dos a una ue za epulsi a = cx gene an ecuaciones
semejan es a és a). Con el ma gen de e o es ablecido en
los ejemplos an e io es, x(0) = x0 ± a, end emos la
posición del mó il que end á dada po x( ) = x0 exp (k )
± [a exp(k )]. Aho a el e o , dado po el é mino en e
co che es, iende exponencialmen e a in ini o pa a iem-
pos muy la gos. Es o signi ica, no sólo que ca ecemos de
la posibilidad de p edeci su posición con p ecisión
a bi a ia, sino que el ma gen de e o c ece an ápido
que habla de una solución e ec i a pie de odo sen ido.
Los es ejemplos an e io es mues an que la espues a
de los sis emas mecánicos an e el e o en los da os
iniciales, puede esul a de decisi a impo ancia. Aqué-
llos en los que un pequeño e o en los da os de pa ida
c ece iolen amen e bo ando oda espe anza p ác ica
de ealiza p edicciones, se dice que p esen an sensibi-
lidad in ini a a las condiciones iniciales. Así se exp esa
el hecho de que, pa a e i a es a conduc a in a able,
se ía menes e que se especi icasen las condiciones
iniciales con una p ecisión in ini a. Como semejan e
al e na i a es impensable, los sis emas no lineales con
es a clase de sensibilidad dejan de se p edecibles y su
compo amien o se o na caó ico (Schus e , 1984). Con-
cluimos, pues, que ése es el signi icado cien í ico del
é mino caos, an de moda en nues os días a a és de la
li e a u a y el cine de ciencia- icción.
EVALUACIÓN DE RESULTADOS
Pese al ni el me amen e cuali a i o de es a in oduc-
ción, se p opone a los alumnos esponde po esc i o a
dos cues iones inales. Una de ellas les pide que expli-
quen las p incipales di e encias en e p ocesos lineales
y no lineales y, en la o a, se les in i a a explica el
signi icado de la sensibilidad in ini a a las condiciones
iniciales. Todos ellos –con los ma ices comp ensibles–
esponden sa is ac o iamen e, habida cuen a de lo e-
cien e del ap endizaje, y en especial po que esal an en
sus explicaciones las es ideas cla es que han sido
des acadas a lo la go de es e a ículo.
An es de e mina con el ema su ge en e los alumnos la
cues ión de has a qué pun o se hallan p esen es los
sis emas no lineales en la na u aleza o, dicho de o o
modo, en qué g ado el mundo eal es imp edecible y
caó ico. La con es ación del p o eso según la cual
sucede que, en ealidad, los sis ema no lineales y caó i-
cos ( luidos, láse es, plane as, plasmas, acele ados de
pa ículas, eacciones químicas, ecología de poblacio-
nes, sis emas celula es, e c.) son muchísimo más nume-
osos que los lineales despie a la cu iosidad gene al
sob e las azones que han impedido descub i an es es a
ca ac e ís ica de la na u aleza. El mo i o lo o ece nues-
a idea cla e núme o 1, pues de ella se deducía que los
sis emas no lineales pueden ap oxima se pa a iempos
INNOVACIONES DIDÁCTICAS
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (1) 145
co os a compo amien os lineales. El desa ollo de la
dinámica clásica se sus en ó du an e muy la go iempo
en sus aplicaciones as onómicas al sis ema sola donde
los e ec os caó icos son educidos y su escala empo al
es muy amplia. Sólo el uso gene alizado de los o dena-
do es pe mi ió conoce el compo amien o de las solu-
ciones dinámicas pa a iempos la gos en es a y o as
á eas, y oma conciencia del p oblema.
Las sesiones e minan con un pequeño deba e sob e la
di e encia en e la idea de de e minismo y la de p edic-
ibilidad (Alemañ, 1998). Un sis ema es de e minis a
siemp e que se encuen e gobe nado po una ley bien
de inida, exp esada ma emá icamen e po una ecuación
di e encial, po ejemplo. Pe o sólo se á p edecible si no
padece la sensibilidad in ini a a las condiciones iniciales
mencionada an es. La con usión en e ambos é minos,
muy ecuen e, aboca a nume osos malen endidos que la
pues a en común inal con ibuye a disipa .
CONCLUSIONES
La conclusión undamen al que se ex ae de es a expe-
iencia es la comple a ac ibilidad de la enseñanza de los
udimen os del caos y la dinámica no lineal a los alum-
nos de secunda ia. El ni el básicamen e cuali a i o de la
exposición y los deba es no disminuyen en absolu o su
igo y el co ec o a amien o de los concep os obje o de
ap endizaje.
También es de des aca la con eniencia de ompe la
ciega con ianza de los es udian es en la exac i ud de las
leyes ísicas que ap enden y las ecuaciones que las
exp esan. Pa ece que odos admi en implíci amen e que
ales ecuaciones ac úan como una sue e de «cajas ne-
g as» en las que, po un ex emo, en an los da os
iniciales y, po el o o, salen los esul ados sin mayo es
di icul ades que las me amen e elacionadas con el cál-
culo. De ahí la so p esa con que los es udian es eciben
el descub imien o de la no linealidad y el compo amien-
o caó ico en la na u aleza: una so p esa que debe ale -
a nos sob e la g an can idad de suposiciones que se
asumen áci amen e du an e el ap endizaje de los con-
cep os cien í icos.
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