Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen

Author: Rund, Armin
Year: 2012
Source: https://epub.uni-bayreuth.de/id/eprint/259/1/dissRund.pdf
Bei äge zu Op imalen S eue ung
pa iell-die en ial algeb aische Gleichungen
Von de Uni e si ä Bay eu h
zu E langung des G ades eines
Dok o s de Na u wissenscha en (D . e . na )
genehmig e Abhandlung
o geleg on
A min Rund
gebo en am 24. Juni 1980 in Bay eu h
1. Gu ach e : P o . D . Hans Jose Pesch
Uni e si ä Bay eu h
2. Gu ach e : P o . D . Roland He zog
Technische Uni e si ä Chemni z
3. Gu ach e : P o . D . Ch is ian Meye
Technische Uni e si ä Do mund
Tag de Ein eichung: 21. Ok obe 2011
Tag des Kolloquiums: 3. Feb ua 2012
Inhal s e zeichnis
Ku z assung i
Abs ac iii
Vo wo x
Ein üh ung 1
1 OC-ODE mi Zus andsbesch änkungen 3
1.1 No wendige Bedingungen aus dem Maximump inzip . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 P oblems ellung ............................ 4
1.1.2 No wendige Bedingungen nach dem JLS-Ansa z . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 O dnung eine Zus andsbesch änkung und de BDD-Ansa z . . . . 7
1.2 No wendige Bedingungen aus dem Lag ange-Fo malismus . . . . . . . . . 10
1.2.1 Bedingung zu eien Endzei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Analyse des Mul iplika o s
µ( )
de Zus andsbesch änkung . . . . . 12
1.2.3 No wendige Bedingungen des au ge eil en P oblems analog zu BDD 13
1.3 Nume ische Umse zung übe ein Meh punk -RWP . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Die Elimina ionsme hode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Nume ische Umse zung de e schiedenen indi ek en Ve ah en . . 17
1.3.3 Di ek eVe ah en............................ 17
1.4 Zusammen assung ............................... 18
2 BDD-Ansä ze bei ellip ischen OC-PDE 19
2.1 P oblems ellung und no wendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Neue no wendige Bedingungen nach dem BDD-Ansa z . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 De B yson-Denham-D ey us-Ansa z bei OC-PDE . . . . . . . . . 24
2.2.2 Die Lag ange-Technik am au ge eil en Sys em . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Ve gleich de no wendigen Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Das Mengen-Op imals eue ungsp oblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 O dnung on Zus andsbesch änkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Elimina ionsme hode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 O dnung on Zus andsbesch änkungen bei OC-PDE . . . . . . . . 30
2.4.3 He lei ung on Maÿ-Da s ellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Zusammen assung ............................... 33
3 Das Rocke ca 35
3.1 Ein üh ung zu pa abolischen OC-PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Das Modell und seine e schiedenen Fo mulie ungen . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Inhal de einbezogenen Ve öen lichungen . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Theo e ische Behandlung de P oblems ellung . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ii
INHALTSVERZEICHNIS iii
3.4 Theo e ische Behandlung als OC-PDAE P oblem . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 No wendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Analyse on Rands ücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Analyse on Be üh punk en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.4 Höhe e Regula i ä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Di ek eVe ah en................................ 59
3.5.1 Übe sich di ek e Ve ah en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.2 Di ek e Ve ah en ü das Rocke ca -P oblem . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Indi ek eVe ah en............................... 60
3.6.1 T ans o ma ion au ein Meh punk -An angs andwe p oblem . . . 61
3.6.2 Lösung des Meh punk -An angs andwe p oblems . . . . . . . . . . 64
3.7 Nume ische Expe imen e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7.1 Ve ika ion de E gebnisse di ek e Ve ah en . . . . . . . . . . . . 67
3.7.2 Das C ank-Nicolson-Ve ah en und Zus andsbesch änkungen . . . . 70
3.8 Zusammen assung ............................... 71
4 Op imale S eue ung on B enns ozellen 73
4.1 Hin e g ünde zu B enns ozellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Typen on B enns ozellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Die Schmelzka bona -B enns ozelle (MCFC) . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Das Modell und seine nume ische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Semidisk e isie ung im O mi Die enzen e ah en . . . . . . . . 78
4.2.2 Zei disk e isie ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.3 An angswe e.............................. 82
4.2.4 Simula ionse gebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Das Op imals eue ungsp oblem de MCFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1 Auswahl de S eue ungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.2 Auswahl des Ziel unk ionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.3 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.4 Exis enz on Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 No wendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.1 He lei ung de adjungie en Gleichungen de MCFC . . . . . . . . 86
4.4.2 He lei ung de ech en Sei en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4.3 Bei ag des Ziel unk ionals zu den adjungie en Gleichungen . . . . 93
4.4.4 Gleichungen ü die S eue ungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.5 Elimina ion on Molenb üchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.6 E wei e ungau 2D........................... 98
4.4.7 Zusammen assung de no wendigen Bedingungen . . . . . . . . . . 98
4.5 Di ek e Ve ah en de Op imals eue ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6 Indi ek e Ve ah en de Op imals eue ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.1 Auswahl mögliche Ve ah en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.2 Adjungie e Sol e und Wahl des Zei gi e s . . . . . . . . . . . . 105
4.6.3 Kons uk ion on Tes au gaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.7 Nume ische Expe imen e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.1 Lösung on Tes beispielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7.2 Lösung des Anwendungsp oblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7.3 Ve gleich und Wei e en wicklung du ch AD . . . . . . . . . . . . . 118
4.8 Zusammen assung ...............................120
i INHALTSVERZEICHNIS
5 Schluss 121
A Zus andsgleichungen de MCFC 123
A.1 GaskanäleundSolid ..............................123
A.2 S omdich en und Po en iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.3 Reak ions a en und Ausd ücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.4 B enn- und Mischkamme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.5 Kons an en ...................................126
A.6 An angs- und Randwe e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B Adjungie e Gleichungen de MCFC 129
B.1 GaskanäleundSolid ..............................129
B.2 S omdich en und Po en iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B.3 Pa ielle Ablei ungen de Reak ions a en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.4 B enn- und Mischkamme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.5 Übe gangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Symbol e zeichnis 135
Abkü zungs e zeichnis 137
C Publika ionen 147
C.1 New Necessa y Condi ions o Dis ibu ed Op imal Con ol P oblems o
Linea Ellip ic Equa ions wi h S a e Cons ain s . . . . . . . . . . . . . . 149
C.2 On a P o o ype Class o ODE-PDE S a e-cons ained Op imal Con ol
P oblems ....................................175
C.3 On Some New Phenomena in S a e-cons ained Op imal Con ol i ODE
as well as PDE a e In ol ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
C.4 On a S a e-Cons ained PDE Op imal Con ol P oblem a ising om ODE-
PDEOp imalCon ol .............................201
C.5 Op imal Con ol o a simplied 1D Fuel Cell Model . . . . . . . . . . . . 205

Ku z assung
Diese A bei lie e Bei äge zu Op imalen S eue ung pa iell-die en ial algeb aische
Gleichungen. Insbesonde e we den Zus andsbesch änkungen bei de Op imalen S eue-
ung gewöhnliche und pa ielle Die en ialgleichungen sowie gekoppel e Sys eme un-
e such . Die e schiedenen Konzep e diese Gebie e we den e glichen, übe agen und
eingeo dne .
Zen ale E gebnisse sind die Übe agung de no wendigen Bedingungen nach B yson,
Denham und D ey us au ellip ische Op imals eue ungsp obleme mi punk weisen Zu-
s andsbesch änkungen, die Übe agung on Sp ungbedingungen und Maÿda s ellungen
au ein ODE-PDE besch änk es Op imals eue ungsp oblem mi Zus andsbesch änkun-
gen bei niede dimensionalen ak i en Mengen, sowie die En wicklung ezien e nume i-
sche Me hoden ü komplexe Anwendungsp obleme.
Die Bei äge diese A bei gliede n sich in ie Kapi el, de en Aspek e jeweils zusam-
menge ass we den:
Zunächs we den die G undlagen aus de Op imalen S eue ung gewöhnliche Die en ial-
gleichungen mi Zus andsbesch änkungen wiede hol . Die beiden geläugen no wendigen
Bedingungen nach Jacobson, Lele und Speye , sowie nach B yson, Denham und D ey us
(BDD-Ansa z) we den e läu e und in den Zusammenhang de Op imalen S eue ung
pa ielle Die en ialgleichungen ges ell . Dabei wi d de Zusammenhang zwischen den
Sp ungbedingungen und dem Bo el-Maÿ he ges ell .
In Kapi el 2 wi d de BDD-Ansa z au ein Op imals eue ungsp oblem eine ellip ischen
pa iellen Die en ialgleichung mi punk weisen Zus andsbesch änkungen und e eil en
ak i en Mengen übe agen. Die Idee dieses BDD-Ansa zes is es, die Zus andsbesch än-
kung au de ak i en Menge äqui alen in eine S eue ungs-Zus andsbesch änkung ode
gg . eine eine S eue ungsbesch änkung zu ans o mie en. Dies e laub die He lei ung
neue no wendige Bedingungen. Du ch die T ans o ma ion de Zus andsbesch änkungen
gewinnen die zugehö igen Lag ange-Mul iplika o en an Regula i ä . Man e häl aus den
neuen no wendigen Bedingungen ein Randwe p oblem au e schiedenen Gebie en mi
Übe gangsbedingungen. Das In e ace zwischen den e schiedenen Gebie en s ell eine
Op imie ungs a iable da . Eine no wendige Bedingung am In e ace wi d mi Techniken
de Shapeop imie ung he gelei e .
Das Kapi el 3 behandel Zus andsbesch änkungen bei gemisch en ODE-PDE P oble-
men: Anhand eines zei abhängigen Anwendungsp oblems  des sogenann en Rocke ca s
 läss sich eine olls ändige Da s ellung des Bo el-Maÿes au niede dimensionalen ak-
i en Mengen angeben. In de Folge lassen sich Sp ungbedingungen und wei gehende
Regula i ä saussagen he lei en. Die explizi e Massda s ellung e möglich wei e hin die
Fo mulie ung als Meh punk -An angs andwe p oblem und den Einsa z angepass e Lö-
sungsme hoden.
i
ii
Kapi el 4 widme sich schlieÿlich einem komplexen Anwendungsp oblem eines OC-PDAE:
Ein B enns ozellenmodell s ell uns o ein Op imals eue ungsp oblem eines Sys ems
on pa iell-die en iell algeb aischen Gleichungen. Es we den no wendige Bedingungen
he gelei e und di ek e sowie indi ek e (adjungie en-basie e) Me hoden de Op imalen
S eue ung en wickel und e glichen. Nume ische Expe imen e bes ä igen die Ezienz
de o ges ell en Me hoden. Insbesonde e das indi ek e Quasi-New on-Ve ah en e laub
eine zei adap i e op imale S eue ung de B enns ozellenanlage mi hohe Genauigkei
und un e ge inge Rechenzei .
Abs ac
The hesis is conce ned wi h op imal con ol p oblems o coupled sys ems o pa ial
die en ial algeb aic equa ions. In o de o in es iga e (poin wise) s a e cons ain s, a
b idge is buil om op imal con ol p oblems o o dina y die en ial equa ions (ODE)
o op imal con ol p oblems o pa ial die en ial equa ions (PDE). Die en concep s o
bo h elds a e discussed and applied o op imal con ol p oblems wi h coupled sys ems
o equa ions.
Majo con ibu ions a e he de i a ion o new necessa y condi ions o ellip ic con ol
p oblems wi h poin wise s a e cons ain s, he ans e o jump condi ions o s a e-
cons ained ODE-PDE con ol p oblems ia a s uc u al analysis o he measu es as-
socia ed wi h s a e cons ain s wi h ac i e se s o measu e ze o, and nally he de e-
lopmen o ecien nume ical me hods o he solu ion o complica ed op imal con ol
p oblems om eal-li e applica ions.
The  s chap e ou lines he backg ound o op imal con ol o ODE wi h s a e cons-
ain s. The wo majo se s o necessa y condi ions a e discussed, he one o Jacobson,
Lele and Speye , as well as he one o B yson, Denham and D ey us (BDD ansa z). In
building he b idge om ODE o PDE con ol heo y, connec ions be ween he jump
condi ions and he Bo el measu e a e shown.
The second chap e ans e s he BDD ansa z o an ellip ic con ol p oblem wi h poin -
wise s a e cons ain s. The idea is o ans o m he s a e cons ain s on he ac i e se
equi alen ly in o a mixed con ol-s a e cons ain o e en a pu e con ol cons ain . This
yields new necessa y condi ions wi h mo e egula mul iplie s. The op imali y sys em
is ea ed as a bounda y alue p oblem on die en domains wi h junc ion condi ions.
The e o e, he in e ace in be ween he die en domains is an addi ional op imiza ion
a iable. A necessa y condi ion a he in e ace is de i ed by echnics om shape op i-
miza ion.
Chap e h ee is de o ed o s a e cons ain s in mixed ins a iona y ODE-PDE con ol
p oblems. Fo he so-called ocke ca p oblem, an explici o mula o he Bo el measu e
is gi en on ac i e se s o measu e ze o. This allows he de i a ion o jump condi ions and
enhanced egula i y heo ems. Nume ical esul s con m he de i ed condi ions.
Finally, an in ol ed uel cell model gi es ise o an op imal con ol p oblem wi h pa ial
die en ial algeb aic equa ions and con ol cons ain s. The aim is o de elop ecien
me hods o sol ing such p oblems. The e o e, necessa y condi ions a e de i ed and di ec
as well as indi ec (adjoin -based) me hods o op imal con ol a e designed and compa ed.
Nume ical s udies con m he eciency o he me hods. In pa icula , he indi ec quasi-
New on me hod allows o a ime adap i e op imal con ol o he uel cell sys em wi h
high accu acy and low compu a ional eo .
iii
4 KAPITEL 1. OC-ODE MIT ZUSTANDSBESCHRÄNKUNGEN
Nach [15, S. 119] bie e sich neben den beiden Ansä zen noch eine d i e Möglichkei ,
welche wi als Elimina ionsme hode bezeichnen wollen: Die Reduk ion de Va iablen
au de ak i en Menge. Eine skala e Zus andsbesch änkung de O dnung
m
e laub es
dabei,
m
Zus ände aus dem Sys em zu en e nen (zusammen mi eine S eue ung). Wi
sp echen die Elimina ionsme hode in Abschni 1.3.1 an.
Wi we den die e schiedenen Ansä ze anhand eines elemen a en Beispiels disku ie en,
welches wi je z o mulie en we den.
1.1.1 P oblems ellung
Gegeben sei olgendes P oblem: Ein Rennau o soll in minimale Zei einen Ku s ab-
sol ie en. De Ein achhei halbe sei die Lenkung es o gegeben (das Au o äh z.B.
au eine Schiene). De Fah e möch e die Beschleunigung
u( )
op imal wählen, um das
Rennen zu gewinnen. Alle dings üh die Beschleunigung zu einem en sp echenden Ben-
zin e b auch, welche mi einem Kos en ak o
λ > 0
be ücksich ig wi d. Bei eie Bahn
e such de Fah e das Bes e he auszuholen. Alle dings da e gewisse Objek e nich
übe holen (z.B. ein Sa e y Ca ode einen Teamkollegen au g und eine S allo de ). Dies
wi d mi eine Zus andsbesch änkung besch ieben.
Als ein achs en Fall be ach en wi den Ku s eines D ags e ennens  also eine ein ge ade
S ecke. Die Fah wi d besch ieben du ch den O
x1( )
und die Geschwindigkei
x2( )
des zu Punk masse gesch ump en Au os. Wi e hal en das P oblem des op imal zu
s eue nden Au os ( gl. auch Pesch [77, Übungsau gabe 6]):
Deni ion 1.1.1 (P o o yp-P oblem eines OC-ODE)
min J(x1, x2, u, ) := +λ
2
Z0
u2
d
(1.1)
s. .
˙x1=x2, x1≤xmax
au
(0, ),
(1.2a)
˙x2=u
au
(0, ),
(1.2b)
x1(0) = x0, x2(0) = ˙x0, x1( )=0.
(1.2c)
Dabei seien
λ
,
x0
,
˙x0∈
R
,
λ > 0
,
x0< xmax(0)
sowie
xmax( )∈H4(0, )
gegeben.
Gesuch is die S eue ung
u∈L2(0, )
.
Es handel sich um ein P oblem mi eie Endzei
: S eue ung
u( )
und Endzei
sind op imal zu wählen. Die G öÿen
~x := (x1, x2)
sind du ch die Nebenbedingungen es -
geleg . Wi bezeichnen sie als Zus ände, ih e Die en ialgleichungen en sp echend als
Zus andsgleichungen.
Haup augenme k lieg au de Zus andsbesch änkung
x1≤xmax
, da diese sowohl die
Analyse als auch die nume ische Umse zung e schwe . Wi be ach en im Folgenden die
e schiedenen no wendigen Bedingungen zus andsbesch änk e OC-ODE. Zu genaue en
Au schlüsselung de no wendigen Bedingungen benö igen wi den Beg i de ak i en
Menge:

1.1. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN AUS DEM MAXIMUMPRINZIP 5
Deni ion 1.1.2 (Ak i e Menge de Zus andsbesch änkung)
Die Menge
A:= { ∈[0, ] : x1( ) = xmax( )}
bezeichnen wi als ak i e Menge de Zus andsbesch änkung
x1≤xmax
.
Wi möch en die no wendigen Bedingungen au schlüsseln in Bedingungen au de ak i en
und au de inak i en Menge  sowie Übe gangsbedingungen dazwischen. Da ü müssen
wi en a e e Ex em älle ausschlieÿen. Wi s ellen dahe eine S uk u annahme an die
ak i e Menge
A
de Zus andsbesch änkung:
Annahme 1.1.3
Die ak i e Menge
A
bes eh aus endlich ielen Be üh punk en
j
c
und
Rands ücken
[ i
on, i
o ]
d.h.
A=
n
[
i=1
[ i
on, i
o ]∪
m
[
j=1
j
c, n ∈N, m ∈N,
wobei die Mengen
[ i
on, i
o ]
,
{ j
c}
alle paa weise disjunk sind. Wei e hin gel e
{0, } 6∈ A
.
Un e
I:= (0, ) A
e s ehen wi en sp echend die inak i e Menge de Zus andsbe-
sch änkung. Die Zei en
S:= n i
on, i
o , j
ci= 1, . . . , n, j = 1, . . . , mo
bezeichnen wi als
die Schal zei en. An diesen Zei en we den Übe gangsbedingungen au e en in Fo m on
S e igkei s- ode Sp ungbedingungen.
1.1.2 No wendige Bedingungen nach dem JLS-Ansa z
Jacobson, Lele und Speye schlagen in [61] o , die Zus andsbesch änkung di ek an
die Hamil on-Funk ion anzukoppeln (JLS-Ansa z). Wi denie en dahe zunächs die
Hamil on-Funk ion
H
. Dank
=R
01
d
bes eh das Ziel unk ional im Beispiel nu aus
einem sogenann en Lag ange-An eil. Die Hamil on-Funk ion se z sich bekann lich zu-
sammen aus den In eg anden des Lag ange-An eils und den P oduk en aus adjungie en
Zus änden
~p := (p1, p2)
und den ech en Sei en de ODE [78]:
H(~x, u, ~p) := λ01 + λ
2u2+p2u+p1x2.
(1.3)
Im Falle des JLS-Ansa zes denie man die Lag ange-Funk ion
L
un e zusä zliche
Ankopplung de Zus andsbesch änkung mi ih em Lag ange-Mul iplika o
η(0)
:
L(~x, u, ~p, η(0), ) := H(~x, u, ~p) + η(0) (x1−xmax).
(1.4)
Die no wendigen Bedingungen nach dem Maximump inzip we den mi diese Hamil on-
bzw. Lag ange-Funk ion da ges ell , siehe z.B. [50, Sec ion 4] bzw. [15]. Sie lau en:
6 KAPITEL 1. OC-ODE MIT ZUSTANDSBESCHRÄNKUNGEN
Lemma 1.1.4 (No wendige Bedingungen aus dem Maximump inzip nach
JLS, analog zu [50, S. 186 ])
Un e de Annahme 1.1.3 exis ie en
λ0≥0
und s ückweise s e ige Funk ionen
~p
(ge-
nann adjungie e Zus ände) und
η(0)
mi
(λ0, p1( ), p2( ), η(0)( ), %s)6≡ 0∀
, so dass eine
op imale Lösung
(¯x1,¯x2,¯u)
des P oblems (1.1), (1.2) neben den p imalen Gleichungen
(1.2) noch olgende Bedingungen ü alle
e üll :
1
¯u( ) = a g min
u∈
R
H(¯x1( ),¯x2( ), u, ~p( )) ,
(1.5a)
Hu(¯x1,¯x2,¯u, ~p) = λ0λ¯u+p2= 0 ,
(1.5b)
−˙p1=Lx1(¯x1,¯x2,¯u, ~p, ) = η(0) ,
(1.5c)
−˙p2=Lx2(¯x1,¯x2,¯u, ~p, ) = p1,
(1.5d)
η(0) ≥0,0 = η(0) (¯x1−xmax).
(1.5e)
Wei e hin gel en die Endbedingung
p2( ) = 0
, die Bedingung an die eie Endzei
H( ) = 0
sowie olgende Sp ung- bzw. S e igkei sbedingungen zu Schal zei
s∈S
:
p1( −
s) = p1( +
s) + %s,
(1.6a)
H( −
s) = H( +
s)−%s˙xmax( s),
(1.6b)
p2( −
s) = p2( +
s).
(1.6c)
Dabei is
p1( +
s)
de ech ssei ige G enzwe ,
p1( −
s)
de linkssei ige G enzwe de s ück-
weise s e igen Funk ion
p1
und
H( )
die Abkü zung ü
H(¯x1( ),¯x2( ),¯u( ), ~p( ))
. Fü
eine egulä e Hamil on-Funk ion is e ne die S eue ung
u
s e ig (z.B. [36, Ko olla 6.2]).
Un e eine Regula i ä sbedingung (Cons ain Qualica ion, CQ) kann man den abno -
malen Fall
λ0= 0
ausschlieÿen, siehe z.B. [67, Assump ion 3.1]. Da hie de no male
Fall disku ie we den soll, sei im Folgenden eine CQ e üll . Du ch No mie ung de
Lag ange-Mul iplika o en kann dann bekann lich ohne Einsch änkung
λ0= 1
gewähl
we den.
In e essan sind die Sp ungbedingungen
[p1] +
s
−
s=%s
: An jedem Schal punk
s
müssen
wi also eine Sp unghöhe
%s∈
R
bes immen. Die Bedingungen (1.6b) üh en wi nähe
aus, da wi sie in Kap. 3 b auchen we den:
0 = H( +
s)−H( −
s)−%s˙xmax( s) = λ
2u2( +
s)−u2( −
s)+p1( +
s)−p1( −
s)
|{z }
=%s
x2( s)
+p2( s)(u( +
s)−u( −
s)) −%s˙xmax( s)
(1.7)
Nun is die S eue ung wegen (1.5b), (1.6c) ode wegen egulä e Hamil on-Funk ion [36,
Ko olla 6.2] s e ig in den Schal zei en. Dahe olg ü
%s6= 0
x2( s) = ˙xmax( s)∀ s∈S .
(1.8)
De Übe gang on
x1
au die Zus andsbesch änkung is also im Regel all s e ig di e en-
zie ba .
1
Die Bedingungen gel en s ückweise au den einzelnen Zusammenhangskomponen en on
A
und
I
.
Wi bleiben hie o e s an de Li e a u . Spä e we den wi dies genaue au schlüsseln.
1.1. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN AUS DEM MAXIMUMPRINZIP 7
Beme kung 1.1.5
Endbedingungen ü adjungie e Zus ände e häl man nu do , wo
Zus ände keinen Endbedingungen un e liegen. Wegen
x1( )=0
lieg z.B. ü
p1( )
keine Endbedingung o .
Zu nume ischen Lösung diese no wendigen Bedingungen ans o mie man sie in ein
Meh punk -Randwe p oblem und lös dieses mi einem passenden Ve ah en, z.B. de
Meh zielme hode ode dem Kolloka ions e ah en [76]. Am Ende des nächs en Abschni -
es wi d ein de a iges Meh punk -Randwe p oblem exempla isch au ges ell .
Bei den no wendigen Bedingungen nach JLS is das Meh punk -Randwe p oblem un e
Benu zung on
x1=xmax
au
A
alle dings ein DAE-Sys em mi einem ela i hohen
Index. Im o liegenden Beispiel be echne sich de Die en ia ionsindex beispielsweise
zu
5
, bis auch ODE ü
u
und
η(0)
au
˚
A
o liegen. Ein de a hohe Index schlieÿ eine
nume ische Lösung nahezu aus. Dahe soll e man diesen Weg nich einschlagen, siehe
Abschni 1.3.2.
1.1.3 O dnung eine Zus andsbesch änkung und de BDD-Ansa z
B yson, Denham und D ey us schlagen in [16] bei OC-ODE o , ans a
(x1−xmax)
eine
spezielle Ablei ung dieses Te ms an die Lag ange-Funk ion anzukoppeln. Sie wählen die
Ablei ung gleich de O dnung de Zus andsbesch änkung. Au de ak i en Menge kann
die Zus andsbesch änkung dann wie eine gemisch e S eue ungs-Zus andsbesch änkung
behandel we den. Dies bi g einige Vo eile. So s ell sich z.B. he aus, dass die zu-
gehö igen Lag ange-Mul iplika o en dadu ch egulä e sind als die des JLS-Ansa zes
[66]. Wei e hin umgeh man obiges DAE-P oblem, da das esul ie ende Meh punk -
Randwe p oblem einen deu lich ge inge en Die en ia ions-Index au weis (i.d.R. den
Index
1
, [28, p. 81]), bzw. sich soga au eine eine ODE eduzie en läss . Wei e hin
wi d de algeb aische Cha ak e de Zus andsbesch änkung besei ig , wodu ch u.a. die
nume ischen Me hoden deu lich p o ie en.
Wi denie en dahe zue s den Beg i de O dnung eine Zus andsbesch änkung analog
zu [16], [15, S. 118], [66]:
Deni ion 1.1.6 (O dnung
m
eine Zus andsbesch änkung)
Die O dnung
m
eine skala en Zus andsbesch änkung
g(~x, )≤0
bezogen au die Zu-
s andsgleichungen
˙
~x( ) = ~
(~x, ~u, )
wi d wie olg denie :
1. S a e mi
m:= 0
und
S(0) := g(~x, )
.
2. Wenn
∂S(m)
∂~u 6=~
0
, dann is
m
die O dnung.
3. Ande n alls se ze
S(m+1) :=
d
d
S(m)=∇~xS(m)·~
(~x, ~u, ) + ∂S(m)
∂ .
4. Se ze
m:= m+ 1
und ah e o mi Sch i 2.
Wi die enzie en also o lau end die Schal unk ion
S(0)
und se zen die Zus andsglei-
chungen ein, bis eine Komponen e de S eue ung explizi au i . Die Anzahl de Di -
e en ia ionssch i e is die O dnung de Zus andsbesch änkung. Bei ek o we igen Zu-
8 KAPITEL 1. OC-ODE MIT ZUSTANDSBESCHRÄNKUNGEN
s andsbesch änkungen denie man en sp echend eine O dnung ü jede Komponen e.
Angewand au das P o o yp-P oblem (1.1), (1.2) e gib sich O dnung
m= 2
:
S(0) =x1−xmax , S(1) =x2−˙xmax , S(2) =u−¨xmax .
(1.9)
Exempla isch be ach en wi den Fall eines einzigen Rands ückes
A= [ on, o ]
. Die
Lag ange-Funk ion des BDD-Ansa zes lau e dann
LBDD(~x, u, ~p (2), η(2), ) := H(~x, u, ~p (2)) + η(2) (u−¨xmax).
(1.10)
Dami au dem Rands ück
S(2) ≡0
auch äqui alen zu
S(0) ≡0
is , müssen zwei Punk -
bedingungen e üll we den, welche hie pe Kon en ion au
on
geleg we den. Dies sind
S(0)( on) = 0
und
S(1)( on)=0
.
Die da aus e hal enen no wendigen Bedingungen nde man z.B. in [50, S. 198] ode
in [36]. Sie lau en: Neben den p imalen Gleichungen (1.2) gib es s ückweise s e ige
Funk ionen
p(2)
1
,
p(2)
2
,
η(2)
mi
¯u( ) = a g min
u∈
R
H(¯x1( ),¯x2( ), u, p(2)
1( ), p(2)
2( )) ,
(1.11a)
0 = LBDD,u(¯x1,¯x2,¯u, p(2)
1( ), p(2)
2( ), ) = λ¯u+p(2)
2+η(2) ,
(1.11b)
−˙p(2)
1=LBDD,x1(¯x1,¯x2,¯u, p(2)
1( ), p(2)
2( ), )=0,
(1.11c)
−˙p(2)
2=LBDD,x2(¯x1,¯x2,¯u, p(2)
1( ), p(2)
2( ), ) = p(2)
1,
(1.11d)
η(2) ≥0,
(1.11e)
ü alle
∈(0, )
und
p(2)( ) = 0
,
H( ) = 0
. Zusä zlich muss die Komplemen a i ä s-
bedingung e üll sein, welche sich au schlüssel in
η(2) = 0
au
I, x1< xmax
au
I,
(1.11 )
u= ¨xmax
au
A, x1( on) = xmax( on), x2( on) = ˙xmax( on).
(1.11g)
In (1.11g) e kennen wi die beiden oben e wähn en Punk bedingungen. Sp ünge sind
nach de e wende en Kon en ion nu an den Ein i spunk en möglich ([15, Fo meln
(3.11.6), (3.13.4)-(3.13.6)]):
p(2)
1( −
on) = p(2)
1( +
on) + %1,
(1.11h)
p(2)
2( −
on) = p(2)
2( +
on) + %2,
(1.11i)
p(2)
1( −
o ) = p(2)
1( +
o ),
(1.11j)
p(2)
2( −
o ) = p(2)
2( +
o ),
(1.11k)
H( −
on) = H( +
on)−%1˙xmax( on)−%2¨xmax( on),
(1.11l)
H( −
o ) = H( +
o ).
(1.11m)
Dabei sind
%1
,
%2∈
R
,
%1
,
%2≥0
. Die beiden le z en Bedingungen sind nähe zu
un e suchen. Zum einen nde man
0 = H( +
o )−H( −
o ) = λ
2u2( +
o )−u2( −
o )+p(2)
2( −
o )
| {z }
=−λ u( −
o )
(u( +
o )−u( −
o ))
(1.12)
=λ
2u( +
o )−u( −
o )2⇐⇒ u( +
o ) = u( −
o ),
(1.13)
1.1. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN AUS DEM MAXIMUMPRINZIP 9
da
p(2)
1
,
x2
und
p(2)
2
in
o
s e ig sind. Im Ggs. zu dem JLS-Ansa z in (1.7) is hie die
S e igkei de S eue ung soga äqui alen zu S e igkei de Hamil on-Funk ion. Gleiches
nde man e was au wändige im Au sp ungpunk
on
. Hie gil
H( −
on)−H( +
on) = λ
2u2+p(2)
2u −
on
+
on
+ (p(2)
1( −
on)−p(2)
1( +
on))
| {z }
=%1
x2( on)
(1.11b)
=λ
2u2 +
on
−
on
+η(2)( +
on)u( +
on) + %1x2( on).
(1.14)
Dahe olg aus (1.11l) en sp echend
0 = λ
2u2 +
on
−
on
+η(2)( +
on)u( +
on) + %1hx2( on)−˙xmax( on)i
| {z }
=0
nach
(1.11g)
−%2¨xmax( on)
| {z }
=u( +
on)
=λ
2u2 +
on
−
on
+u( +
on)hη(2)( +
on)−%2i
| {z }
(1.11b,1.11i)
=λ u( −
on)−λ u( +
on)
=−λ
2u( +
on)−u( −
on)2.
(1.15)
Da die Op imali ä sbedingungen in e allweise als Meh punk -Randwe p oblem gelös
we den sollen, sind in den Schal zei en alle G öÿen doppel zu belegen. Die Die en i-
algleichungen we den au den Be eichen I
:= (0, on)
, II
:= ( on, o )
, III
:= ( o , )
s ück-
weise gelös . Die Zus ände e üllen dann olgende Übe gangsbedingungen:
Endbedingung I AB II AB III
x1( −
on) = xmax( on), x1( +
on) = x1( −
on), x1( +
o ) = x1( −
o ),
x2( −
on) = ˙xmax( on), x2( +
on) = x2( −
on), x2( +
o ) = x2( −
o ),
Wi zählen die Gleichungen und Unbekann en wie olg : Zunächs eliminie man die
S eue ung du ch
u=−p2/λ
au I, III bzw.
u= ¨xmax
au II, sowie den Lag ange-
Mul iplika o au II du ch (1.11b). Üb ig bleiben au allen d ei Be eichen so iele ODE wie
jeweilige An angsbedingungen. Zusä zlich e en in dem Meh punk -Randwe p oblem
olgende
6
Unbekann e au :
on
,
o
,
%1
,
%2
,
p1( )
,
.
Be ach en wi die zusä zlichen Gleichungen: Neben de S e igkei de S eue ung in bei-
den Schal zei en zähl man die beiden Endbedingungen des In e alls I,
H( )=0
und
x1( ) = 0
: Es sind also
6
zusä zliche Bedingungen, welche obige
6
Kons an en es legen.
Das Meh punk -Randwe p oblem weis also genauso iele Gleichungen wie Unbekann-
e au . In Kap. 3 wi d da au au bauend ein Meh punk -An angs andwe p oblem eines
OC-PDAE au ges ell .
Im Zuge des BDD-Ansa zes e lie man bekann lich einige Vo zeichenbedingungen an
die Mul iplika o en, welche hin e he e gänz we den müssen, dami die no wendigen Be-
dingungen äqui alen zu denen de di ek en Ankopplung we den ([50, Rema k 5.3 und
6.2]).
Die Haup me kmale des BDD-Ansa zes sind die olgenden: Die no wendigen Bedingun-
gen en hal en au de ak i en Menge jeweils eine algeb aisch explizi e Fo mel ü die
S eue ung
u
, sowie ü den Mul iplika o
η(2)
de abgeände en Zus andsbesch änkung.

10 KAPITEL 1. OC-ODE MIT ZUSTANDSBESCHRÄNKUNGEN
Dies ha nume isch Vo eile, da au de ak i en Menge die S eue ung
u= ¨xmax
und de
Mul iplika o
η(2) =−p2−λu
di ek eliminie we den können. Dami sind keine algeb ai-
schen Gleichungen meh o handen, man b auch keinen DAE-Sol e , sonde n komm
mi einem s ückweisen ODE-Sol e aus. Die nume ische Umse zung de e schiedenen
Me hoden we den in Abschni 1.3 ku z angesp ochen.
1.2 No wendige Bedingungen nach de o malen Lag ange-
Technik
Wi gehen im olgenden Abschni einen Sch i in Rich ung OC-PDE, indem wi die
o male Lag ange-Technik (siehe z.B. T öl zsch [96, Kap. 2.10 und 4.7]) au das OC-ODE
anwenden. Wi lei en also obige no wendige Bedingungen ein zwei es Mal he  diesmal
mi Techniken aus OC-PDE.
Die im olgenden he gelei e en KKT-Bedingungen (Ka ush-Kuhn-Tucke -Bedingungen)
gel en nu un e eine CQ. Ve schiedene CQ bei OC-PDE nde man in [96, Kap. 6]. Eine
diese CQ wi d in Kapi el 2 angewand . Bei de o malen Lag ange-Technik nimm man
die E üll hei eine CQ bzw. de Exis enz de Lag ange-Mul iplika o en in den passen-
den Räumen an. Zusä zlich muss die Exis enz eine op imalen S eue ung gezeig we den.
Fü eine es e Endzei is das o liegende P oblem kon ex, so dass die Sla e -Bedingung
als CQ sowie die Exis enz de op imalen S eue ung mi S anda d-Sä zen beweisba is .
Bei eie Endzei handel es sich dagegen um ein nich -kon exes P oblem, so dass sich
beide Punk e deu lich au wändig ges al en. Einen Exis enzsa z ü eie Endzei en nde
man z.B. in [50, Theo em 3.1]. Da de Fokus au den no wendigen Bedingungen lieg ,
we den die Beweise hie nich e b ach .
Annahme 1.2.1
Das P oblem (1.1), (1.2) besi ze eine Lösung. Die Lag ange-Mul ipli-
ka o en
p1, p2
zu den ODE exis ie en und besi zen die nö ige Regula i ä . De Lag ange-
Mul iplika o
µ
zu de Zus andsbesch änkung exis ie e mi
µ∈C([0, ])∗
.
Die Regula i ä on
µ( )
wi d disku ie in Abschni 1.2.2, bzw. in Kapi eln 2, 3 im Rah-
men on OC-PDE. T öl zsch [96, Kap. 6] lie e , dass eine op imale Lösung zusammen
mi den Mul iplika o en einen Sa elpunk de Lag ange-Funk ion
L(x1, x2, u, , p1, p2, µ)
bilde mi
L:= J(x1, x2, u, )−
Z0
( ˙x1−x2)p1
d
−
Z0
( ˙x2−u)p2
d
+
Z0
(x1−xmax)
d
µ( )
=
Z0
1 + λ
2u2
d
+
Z0
x1˙p1+x2p1
d
+
Z0
x2˙p2+u p2
d
−hx1p1+x2p2i
0
+
Z0
(x1−xmax)
d
µ( ).
(1.16)
1.2. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN AUS DEM LAGRANGE-FORMALISMUS 11
Die no wendigen Bedingungen ü ein Op imum
(¯x1,¯x2,¯u)
en hal en die Zus andsglei-
chungen (1.2) sowie
−˙p1=µ , µ (¯x1−xmax)=0
au
(0, ),
−˙p2=p1, µ ≥0
au
(0, ),
(1.17)
0 = λ¯u+p2
au
(0, ),
p2( )=0.
Wie die Gleichung
−˙p1=µ
ü ein Maÿ
µ∈ M([0, ])
zu e s ehen is , wi d in Abschni
1.2.2 e klä .
Die Bedingungen (1.2), (1.17) sowie die noch olgende Bedingung zu eien Endzei
(1.20) bilden zusammen die no wendigen Bedingungen 1. O dnung. Sie we den auch
als die KKT-Bedingungen (Ka ush-Kuhn-Tucke -Bedingungen) ode das KKT-Sys em
bezeichne . Ih e Lösungen heiÿen en sp echend KKT-Punk e; sie sind die Kandida en
ü die op imale Lösung. Adjungie en-basie e nume ische Me hoden de Op imalen
S eue ung se zen i.d.R. an de Lösung de KKT-Bedingungen an.
1.2.1 Bedingung zu eien Endzei
Zusä zlich benö igen wi die Bedingung de eien Endzei (T ans e sali ä sbedingung).
Ausged ück mi de Hamil on-Funk ion lau e e sie
0 = H( ) = 1 + λ
2u2( ) + p2( )
|{z}
=0
u( ) + p1( )x2( ).
(1.18)
Fü
p2( )
se z man wei e hin die be ei s bekann e Endbedingung ein. Die Gleichung
(1.18) is eine skala e Gleichung, die en sp echend die In o ma ion zu Bes immung de
eien Endzei lie e . Wi e hal en diese Beziehung auch du ch Die en ia ion de in e-
g alen Lag ange-Funk ion nach de Endzei
. Alle dings is hie im Blick au zei ab-
hängige Endbedingungen ein allgemeine e Weg zu wählen: Die Endbedingungen sind
mi eigenen Lag ange-Mul iplika o en an die Lag ange-Funk ion anzukoppeln. Dahe
denie en wi mi
α∈
R
L(2) := L+x1( )·α .
(1.19)
Man e häl wei e hin alle Bedingungen, sowie zusä zlich aus de Ablei ung nach dem
Zus and
x1( )
die Fo mel
α=p1( )
. Die Ablei ung nach
e gib ü diese Lag ange-
Funk ion die passende T ans e sali ä sbedingung:
0 = D L(2) = 1 + λ
2u2( ) + hx1˙p1+x2p1+x2˙p2+u p2i =
| {z }
In eg anden an
−h˙x1p1+x1˙p1+x2˙p2+ ˙x2p2i =
| {z }
P oduk egel ü die Endwe e
+α˙x1( )
= 1 + λ
2u2( ) + 
x2p1+u p2
|{z}
=0 −˙x2p2
|{z}
=0

 =
+ ˙x1( ) (α−p1( ))
| {z }
=0
.
(1.20)
12 KAPITEL 1. OC-ODE MIT ZUSTANDSBESCHRÄNKUNGEN
Die Zus andsbesch änkung spiel keine Rolle, da in Annahme 1.1.3 auch
6∈ A
ange-
nommen wa . Man beach e, dass die Die en ialgleichungen hie nich e wende we -
den. Zule z we den die Endbedingungen de adjungie en Zus ände be ücksich ig . Diese
Me hodik wi d in Kapi el 3 au geg ien, um eine Endzei bedingung eines gekoppel en
ODE-PDE Op imals eue ungsp oblems mi eie Endzei zu bes immen.
Beme kung 1.2.2
A bei e man in de Theo ie be ei s mi de T ans o ma ion au es e
Endzei (
=τ·
,
τ∈[0,1]
), so is die Endzei bedingung übe die in eg ale Lag ange-
Funk ion mi Bedach he zulei en: Bei Bilden de o alen Ablei ung nach
muss die
Subs i u ion be ücksich ig we den. Eine Umbenennung
˜u(τ) := u( ·τ)
da nu ü
es e
e wende we den und z.B. nich bei de Ablei ung nach
. Wi e deu lichen
dies an einem einzigen Summand:
D 


Z0
u2( )
d


=u2( ),
(1.21)
D 


1
Z0
˜u2(τ)
d


=
1
Z0
˜u2(τ)
d
τ
Resubs .
=1
Z0
u2( )
d
,
(1.22)
D 


1
Z0
u2( ·τ)
d
τ

=
1
Z0
u2( ·τ)
d
τ+
1
Z0
2u( ·τ)·τ
d
τ
| {z }
p.I.
= [u2( ·τ)·τ]1
τ=0−R1
0u2( ·τ)
d
τ
=u2( ).
(1.23)
Die zwei e Va ian e, also Gleichung (1.22), lie e das alsche E gebnis, da die Umbe-
nennung die Abhängigkei on
e schleie . Die beiden ande en Va ian en lie e n das
ko ek e E gebnis, welches nu We e zu Endzei
en häl . Mi de Hamil on-Funk ion
e häl man dagegen auch nach de Umbenennung die ko ek e Fo mel:
0 = H(1) = ·1 + λ
2u2(1) + [x2p1+u p2]τ=1.
(1.24)
1.2.2 Analyse des Mul iplika o s
µ( )
de Zus andsbesch änkung
Die Regula i ä des Lag ange-Mul iplika o s
µ( )
de Zus andsgleichung wi d nun nach-
ge eich . Bekann lich komm de Mul iplika o aus dem Dual aum de Besch änkung. Da
Zus andsbesch änkungen sinn oll im Raum de s e igen Funk ionen un e such we den
soll en ([96, Kap. 6.2]), haben wi mi
µ∈C([0, ])∗∼
=M([0, ])
im allgemeinen ein
egulä es Bo el-Maÿ (siehe z.B. [5, Sa z 4.22]). Dabei is
M([0, ])
de Raum alle egu-
lä en Bo el-Maÿe au
[0, ]
; e kann bekann lich iden izie we den mi dem Dual aum
de s e igen Funk ionen
C([0, ])∗
du ch
h˜µ[0, ], yiC([0, ])∗,C([0, ]) =Z
[0, ]
y
d
µ[0, ]∀y∈C([0, ]) .
Die No m in
M([0, ])
is dabei die o ale Va ia ion (z.B. [89])
kµkM([0, ]) = sup 



Z
[0, ]
y
d
µ:y∈C([0, ])
und
kyk∞≤1



.
1.2. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN AUS DEM LAGRANGE-FORMALISMUS 13
Das Maÿ
µ( )
ha bei OC-ODE alle dings eine ganz spezielle Fo m  weshalb man in
den Ve öen lichungen zu OC-ODE mi Zus andsbesch änkung sel en au Maÿe een
wi d. Be ach en wi hie zu ein Rands ück
[ on, o ]
: Au g und de Regula i ä en de
Da en lie e ein Vo gehen analog zu Be gounioux und Kunisch [13] au dem Rands ück
olgende Aussagen:
x1≡xmax ∈H4(˚
A) =⇒u= ¨x1= ¨xmax ∈H2(˚
A)
(1.25)
=⇒p2=−λu ∈H2(˚
A) =⇒µ= ¨p2−x1+xd∈L2(˚
A).
(1.26)
Das Maÿ is also im Inne en des Rands ückes egulä . Da wei e hin wegen de Komple-
men a i ä sbedingung bekann lich
µI= 0
gil , bleiben die Schal zei en
S
zu un e su-
chen. Diese sind abe nu endlich iele Punk e. Ein Maÿ
µ( )∈ M([0, ])
au endlich
ielen (isolie en) Punk en läss sich explizi angeben (Casas [21] ode Hil ssa z 3.4.19
in Kap. 3). Wi no ie en diese Idee noch einmal in ande en Wo en:
Nach de Lebesgue-Ze legung kann man jedes Maÿ
µ∈ M([0, ])
eindeu ig da s ellen
als
µ=µa+µs
mi einem absolu -s e igen An eil
µa
und einem singulä en An eil
µs
,
welche au disjunk en Mengen leben (siehe z.B. Al [5]). De Sa z on Radon-Nikodym
lie e zudem, dass
µa
eine
L1
-Dich e besi z [5, Sa z 4.11]. Im o liegenden Fall is also
µs
au die Menge de Schal zei en
S
konzen ie . Da dies endlich iele, isolie e Punk e
(im Inne en) sind, lie e Hil ssa z 3.4.19 spä e die Ta sache, dass
µs
in jedem diese
Punk e ein Di ac-Maÿ is , mi eine Di ac-Dich e, d.h.
µs=P
k∈S
% k·δ( − k)
.
Die ODE
−˙p1=µ
is dahe s ückweise zu e s ehen: Nach Supe posi ion
p1=pI
1+pII
1
mi
−˙pI
1=µa∈L2(0, )
und
−˙pII
1=µs
nden wi
pI
1∈H1(0, ),→C([0, ])
und
de T eppen unk ion
pII
1=−P k∈S% k·σ( − k)
mi de Sp ung unk ion (Hea iside-
Funk ion)
σ( ) := (0, < 0,
1, ≥0.
Die Adjungie e
p1
is also eine s ückweise s e ige Funk ion, welche an jede Schal zei
sp ingen kann. Dahe nde man in de OC-ODE Li e a u i.d.R. di ek Sp ungbedin-
gungen ans elle des singulä en An eils
µs
.
1.2.3 No wendige Bedingungen des au ge eil en P oblems analog zu
BDD
Die Idee des BDD-Ansa zes soll nun mi de o malen Lag ange-Technik kombinie
we den. Die in F ey, Bechmann, Rund und Pesch [39] en wickel e Technik, welche wi
in Kap. 2 ein üh en und beweisen we den, wi d hie zu einmal o mal au OC-ODE an-
gewand . Exempla isch be ach en wi den Fall eines Rands ückes
A= [ on, o ]⊂(0, )
.
Die Idee is , die Iden i ä
x1≡xmax
au
A
mi els eines Randwe p oblems
¨x1= ¨xmax
,
x1( +
on) = xmax( on)
,
x1( −
o ) = xmax( o )
äqui alen umzu o men und die Zus andsglei-
chungen
¨x=u
einzuse zen. Die e hal enen Bedingungen we den mi
q∈L2(˚
A)
bzw.
σon
,
σo ∈
R
an die Lag ange-Funk ion angekoppel . Im Gegensa z zu dem BDD-Ansa z aus
Abschni 1.1.3 wi d die Kon en ion geände : Wi s ellen nich zwei An angsbedingun-
gen in
on
, sonde n je eine Randbedingung in
on
und
o
. Schlieÿlich soll die Me hodik
in Kap. 2 au ellip ische Randwe p obleme übe agen we den.
20 KAPITEL 2. BDD-ANSÄTZE BEI ELLIPTISCHEN OC-PDE
Nach de P oblem o mulie ung be ach en wi zunächs die o handenen no wendigen
Bedingungen. In Abschni 2.2 lei en wi dann neue no wendige Bedingungen nach einem
Analogon zum BDD-Ansa z bei OC-ODE aus Kap. 1 he . Die e ände e Be ach ungs-
weise, welche die Au eilung in e schiedene Gebie e mi Übe gangsbedingungen an dem
In e ace dazwischen mi sich b ing , üh au eine neua ige P oblems ellung in Ab-
schni 2.3, in welche sich die P oblems ellungen de Topologie- und Shape-Op imie ung
als auch Op imalen S eue ung e einen. Wi nennen diese P oblems ellung ein Mengen-
Op imals eue ungsp oblem. Abschni 2.4 gib einen Ausblick au Elimina ionsme hoden
und den Beg i de O dnung on Zus andsbesch änkungen, um die e schiedenen An-
sä ze und Me hoden aus Kapi el 1 auch bei OC-PDE einschä zen zu können.
2.1 P oblems ellung und no wendige Bedingungen
Um neue no wendige Bedingungen analog zum BDD-Ansa z aus Kapi el 1 au se zen
zu können, müssen wi zue s die einzelnen Zusammenhangskomponen en de ak i en
Menge ka ego isie en. Bei OC-ODE gib es hie im Regel all en wede Be üh punk e
ode Rands ücke, also
0
- und
1
-dimensionale Komponen en de ak i en Menge. Ein OC-
PDAE, welches bewiesene maÿen mi diesen beiden Ka ego ien auskomm , behandeln
wi aus üh lich in Kapi el 3. Bei OC-PDE kann die ak i e Menge im Allgemeinen abe
auch Komponen en ande e Dimension besi zen. In diesem Kapi el en wickeln wi zu-
nächs Me hoden ü
n
-dimensionale Komponen en anhand eines ellip ischen P o o yp-
Beispiels im Falle
n= 2
.
1
Wi en scheiden uns ü olgendes linea -quad a isches ellip i-
sches OC-PDE:
Deni ion 2.1.1 (P o o yp eines ellip ischen OC-PDE)
Sei
Ω⊂
R
2
oen und besch änk mi
C1,1
-Rand
Γ
. Gegeben sei
yd∈H1(Ω)
,
ymax ∈H4(Ω)
und
λ > 0
. Es sei
u∈L2(Ω)
. Gesuch is die Lösung
(¯y, ¯u)
des Op i-
mals eue ungsp oblems
min J(y, u) = 1
2ky−ydk2
L2(Ω) +λ
2kuk2
L2(Ω) ,
(2.1a)
s. .
−∆y+y=u
. ü. in
Ω,
(2.1b)
∂νy= 0
. ü. an
Γ,
(2.1c)
g(y) := y−ymax ≤0
. ü. in
Ω.
(2.1d)
Dabei is
ν
das äuÿe e Einhei sno malen ek o eld on
Ω
.
Zu wei e en Analyse benö ig man die Exis enz eine Lösung
(¯y, ¯u)
dieses OC-PDE. Da
es sich um ein P o o yp-P oblem handel , nde man jede Menge Resul a e in de Li e-
a u . So besi z zum einen die Zus andsgleichung bei diese passend gewähl en Rand-
egula i ä zu jede S eue ung
u∈L2(Ω)
nach S anda dsä zen bekann lich genau eine
Lösung
y∈H2(Ω)
[44, Theo em 2.2.2.5]. Da übe hinaus besi z das Op imals eue ungs-
p oblem eine eindeu ige Lösung, siehe z.B. Casas [22, Theo em 1]. In olgedessen wi d
man die Lösung aus Op imali ä sbedingungen he aus bes immen, z.B. denen aus [22]
bzw. Alibe und Raymond [4]:
1
In de o liegenden A bei besch änken wi uns au
n= 2
. Die Gül igkei alle Aussagen ü
n= 3
p ü en wi de zei . Ab
n≥4
ehl die s e ige Einbe ung
H2(Ω) ,→C(¯
Ω)
nach [5, Sa z 8.13], so
dass die Theo ie in diese Fo m nich anwendba is .

2.1. PROBLEMSTELLUNG UND NOTWENDIGE BEDINGUNGEN 21
Lemma 2.1.2 (No wendige Bedingungen nach Casas [22, Theo em 2])
Es exis ie en Lag ange-Mul iplika o en
p∈W1,s(Ω)
und
µ∈ M(¯
Ω)
mi
s∈[1,2)
,
so dass zusä zlich zum Randwe p oblem (2.1b), (2.1c) und de Zus andsbesch änkung
(2.1d) olgende Op imali ä sbedingungen e üll sind:
−∆p+p=y−yd+µΩ
. ü. in
Ω,
∂νp=µΓ
. ü. an
Γ,
p+λ u = 0
. ü. in
Ω,
Z¯
Ω
(y−ymax)
d
µ= 0 , µ ≥0.
Dabei is die adjungie e PDE dis ibu ionell zu e s ehen. Gemein is ih e schwache
Fo mulie ung, siehe [22], [23] ode [96, Kap. 7.2.3]. Wi gehen da au in Kapi el 3 nähe
ein.
Aus den Op imali ä sbedingungen kann man bei nähe em Be ach en wei e e Eigenscha -
en he lei en, wenn man zwischen ak i e und inak i e Menge un e scheide . Die g und-
legende Quelle zu eine de a igen s uk u ellen Analyse de Lag ange-Mul iplika o en
bilde Be gounioux und Kunisch [13]: Du ch Au eilung in ak i e und inak i e Menge,
He lei ung de Übe gangsbedingungen dazwischen und Anwendung on Regula i ä s-
heo ie können die Au o en die Maÿe seh gu cha ak e isie en. Es zeig sich, dass sich
de singulä e Teil des Maÿes au den Rand de ak i en Menge konzen ie . Die Ze legung
in ak i e und inak i e Menge bilde die G undlage ü alle wei e gehenden Un e suchun-
gen dieses Kapi els, dahe denie en wi :
Deni ion 2.1.3 (Ak i e Menge)
Die ak i e Menge
A
de Zus andsbesch änkung
g(y)≤0
is gegeben du ch
A:= {x∈Ω : g(¯y(x)) = 0}.
Wei e hin denie en wi die inak i e Menge
I:= Ω A
und das In e ace
γ:= ∂A
.
Wie bei OC-ODE müssen wi die wei e e Analyse mi Regula i ä sannahmen an die
ak i e Menge absiche n wie z.B., dass die ak i e Menge nu aus endlich ielen Zusam-
menhangskomponen en bes eh . Fü dieses Kapi el schlieÿen wi da übe hinaus niede -
dimensionale An eile de ak i en Menge sowie die lee e Menge aus. Wi landen bei den
an diese S elle üblichen Annahmen an die ak i e Menge ( gl. [13]).
Annahme 2.1.4 (Regula i ä de ak i en Menge)
A=
l
[
i=1 Ai,¯
˚
Ai=Ai,A∩Γ = ∅,
Ai∩Aj=∅, i 6=j , i, j ∈ {1, . . . , l},
Ai
is zusammenhängend und besi z einen
C1,1
-Rand
∀i= 1, . . . , l ,
˚
A 6=∅.
Das In e ace
γ
is eine Ni eaulinie de
H2
-Funk ion
¯y−ymax
. Leide kann man die all-
gemeine F age nach de Regula i ä on Ni eaulinien on
Hk
-Funk ionen de zei nich
22 KAPITEL 2. BDD-ANSÄTZE BEI ELLIPTISCHEN OC-PDE
bean wo en, weshalb wi die olgende Analyse mi de o le z en Zeile de Annahme
absiche n muss en; sie is nö ig, dami z.B. de zusammengese z e Zus and spä e wie-
de in
H2(Ω)
lande , also zulässig ü das Ausgangsp oblem is .
Da wi algo i hmisch die ak i e Menge i e a i bes immen we den, a bei en wi in jedem
Zwischensch i mi eine Schä zung de ak i en Menge
B
bzw. de inak i en Menge
J
.
Diese Mengen sollen eben alls obige Regula i ä sannahmen e üllen. Dahe denie en wi
den Beg i de Kongu a ion:
Deni ion 2.1.5 (Kongu a ion)
Eine Au eilung
(B,J)
de Menge
Ω
mi
J:= Ω B
, wobei
B
die Annahme 2.1.4
e üll , nennen wi eine Kongu a ion. Das In e ace de Kongu a ion bezeichnen wi
mi
β=∂B
.
Be ach en wi zunächs eine beliebige Kongu a ion
(B,J)
. Wi eilen die G öÿe
y
gemäÿ de Kongu a ion au :
yJ:= y|J, yB:= y|B.
Analog denie en wi
uJ
bzw.
uB
. Das äuÿe e Einhei sno malen ek o eld on
B
bzw.
J
an ih em In e ace
β
bezeichnen wi en sp echend mi
νB
bzw.
νJ
. Analog e wenden
wi
yA
,
yI
e c. bei de op imalen Kongu a ion
(A,I)
. Mi diese No a ion können wi
die no wendigen Bedingungen aus [13] in unse e No a ion b ingen. Wi we den sie spä e
o als Ve gleich he anziehen.
Lemma 2.1.6 (No w. Bedingungen analog zu Be gounioux und Kunisch [13])
Un e Annahme 2.1.4 exis ie en Lag ange-Mul iplika o en
p∈H1(Ω)
und
µ∈ M(¯
Ω)
,
so dass die Lösung
(¯yA,¯yI,¯uA,¯uI)
zusä zlich zu den Zus andsgleichungen (2.1b), (2.1c)
und de Zus andsbesch änkung (2.1d) olgende Op imali ä sbedingungen e üll :
−∆pI+pI= ¯yI−yd, λ ¯uI+pI= 0
in
I,
(2.2a)
−∆pA+pA= ¯yA−yd+µ˚
A, λ ¯uA+pA= 0
in
˚
A,
(2.2b)
pI=pA, ∂νIpI+∂νApA=µγ=: µγ
an
γ ,
(2.2c)
∂νIpI= 0
an
Γ,
(2.2d)
µI= 0 , µ ˚
A≥0, µγ≥0.
(2.2e)
Wi lesen he aus, dass die linkssei ige und die ech ssei ige Di ichle -Spu des adjun-
gie en Zus andes
p
am In e ace übe eins immen, wäh end die Die enz de Neumann-
Spu en on
p
do um
µ|γ
sp ing . Wei e hin nde man do un e den ge o de en Da en
eine höhe e Regula i ä
pI, uI∈H2(I)
,
pA, uA∈H2(˚
A)
. Auch das Maÿ
µ
zeig eine
höhe e Regula i ä :
µ|A∈L2(˚
A)
,
µ|γ∈H1
2(γ)
sowie
µ|I= 0
.
2
De Mul iplika o is also
au die ak i e Menge konzen ie , sein singulä e An eil (nach de Lebesgue-Ze legung)
is soga nu au das In e ace
γ
konzen ie . Auch wenn
µγ
en lang des In e aces eine
egulä e Dich e besi z , bleib es au
Ω
gesehen jedoch ein Maÿ. Fe ne sei e wähn , dass
sich aus den no wendigen Bedingungen
uI=uA∈H3
2(γ)
olge n läss (siehe z.B. [56]).
2
Die Räume
H1
2(γ)
,
H3
2(γ)
nde man z.B. in G is a d [44], Adams und Fou nie [2] im Zusam-
menhang on Spu en on
Hk
-Funk ionen.
2.2. NEUE NOTWENDIGE BEDINGUNGEN NACH DEM BDD-ANSATZ 23
2.2 Neue no wendige Bedingungen nach dem BDD-Ansa z
In [13] we den die no wendigen Bedingungen des in
A
bzw.
I
au ge eil en P oblems du ch
Tes unk ionenwahl (in Kombina ion mi Au eilung on
L2
-In eg alen und de Anwen-
dung de G eenschen Fo mel) aus den nich au ge eil en Op imali ä sbedingungen aus
[22] au ges ell . Da wi anhand on BDD-Ansä zen neue Op imali ä sbedingungen he -
lei en wollen, müssen wi einen ande en Weg schaen. In [39] haben wi dahe eine neue
Me hodik geschaen, welche wi hie behandeln we den. Die Me hodik lau e im Übe -
blick:
1. Äqui alen es Au eilen des OC-PDE au die es e, op imale Kon-
gu a ion
(A,I)
.
2. Anwendung eines BDD-Ansa zes.
3. He lei en de no wendigen Bedingungen ü das ge eil e P oblem
an de op imalen Kongu a ion.
4. E wei e ung au nich op imale Kongu a ionen
(B,J)
:
B
is je z
eine wei e e Op imie ungs a iable.
5. He lei ung de no wendigen Bedingung am In e ace mi els
Shape-Lag ange-Technik.
Diese Abschni behandel die Sch i e 1 bis 3. Die le z en beiden Sch i e olgen in
Abschni 2.3.
Zunächs läss sich die Zus andsgleichung äqui alen au eine beliebige Kongu a ion
au eilen, wenn man passende Übe gangsbedingungen o de :
Lemma 2.2.1 (Au eilung de Zus andsgleichung)
Das Randwe p oblem de Zus andsgleichung (2.1b), (2.1c) au
Ω
läss sich äqui alen
au eilen au die Kongu a ion
(B,J)
zu
3
−∆yJ+yJ=uJ
in
I,−∆yB+yB=uB
in
B,
(2.3a)
∂νyJΓ= 0
an
Γ, yJ=yB
an
β ,
(2.3b)
∂νJyJ+∂νByB= 0
an
β .
(2.3c)
Beweis:
Siehe [39, Sec . 3].

Diese Au eilung anhand eine beliebigen Kongu a ion benö igen wi e s in Sch i 4
 also in Abschni 2.3. Bis dahin a bei en wi es an de op imalen Kongu a ion
(A,I)
.
Kommen wi nun zu Sch i 2, dem Anwenden des BDD-Ansa zes. In [39] übe agen
wi die Idee on B yson, Denham und D ey us on OC-ODE au OC-PDE. Wi e läu-
e n im Folgenden unse Vo gehen und die dahin e s ehenden Ideen. Zunächs wi d die
3
Im Folgenden lassen wi  . ü. de Übe sich lichkei halbe s e s weg.
24 KAPITEL 2. BDD-ANSÄTZE BEI ELLIPTISCHEN OC-PDE
Zus andsbesch änkung au de ak i en Menge
A
du ch ein passendes Randwe p oblem
e se z . Wi eilen dazu die Zus andsbesch änkung au in
yI< ymax
und
yA=ymax
.
4
Man beach e, dass wi du ch diese T ans o ma ion den Ungleichungscha ak e au
A
e -
nachlässigen, da wi die Besch änkung do als Gleichung be ach en. Eine Vo zeichen-
bedingung an den zugehö igen Mul iplika o e lie en wi dahe , unse e no wendigen
Bedingungen we den e was schwäche sein als die klassischen no wendigen Bedingungen
( gl. [50] im Falle OC-ODE). Wi e gänzen diese Vo zeichenbedingungen spä e du ch
Ve gleich mi den klassischen no wendigen Bedingungen ( gl. [50]).
Beme kung 2.2.2
Die Zus andsbesch änkung wi d behandel als Gleichungsbesch än-
kung au
A
und s ik e Ungleichungsbesch änkung
yI< ymax
; le z e e is bei de op-
imalen Kongu a ion nich ak i und kann dahe bekann lich ges ichen we den ohne
die Lösung des P oblems zu beeinussen. Wenn wi spä e die Kongu a ion ei wählen
(siehe Abschni 2.3), müssen wi diese Bedingung alle dings wiede be ücksich igen.
2.2.1 De B yson-Denham-D ey us-Ansa z bei OC-PDE
Zunächs möch en wi den BDD-Ansa z ü OC-PDE zugänglich machen. Die Idee übe -
äg sich wie olg : Wi e se zen die Iden i ä
g(y) = yA−ymax ≡0
au
A
äqui alen
du ch ein Randwe p oblem de passenden O dnung, so dass die S eue ung explizi au -
i . Bei OC-ODE wa dieses Vo gehen be ei s nich eindeu ig bes imm , da man F ei-
hei en in de Wahl de An angs- und Randbedingungen ha e ( gl. [15]). Bei OC-PDE
ha man zusä zlich F eihei en in de Wahl des Die en ialope a o s. Bei de o liegenden
linea en Zus andsgleichung legen wi uns da au es , s e s den Die en ialope a o de
Zus andsgleichung zu e wenden. Dennoch e hal en wi be ei s beim P o o yp-P oblem
e schiedene BDD-Ansä ze je nach Randbedingung: Wi bezeichnen die zwei ypischen
BDD-Ansä ze gehö end zu Di ichle - und Neumann-Randbedingung als BDD-Ansa z
e s e und zwei e A (abgekü z : BDD1, BDD2). Die zugehö igen Randwe p obleme
lau en
−∆g+g= 0 ,−∆g+g= 0
in
˚
A,
(2.4)
g= 0 , ∂νAg= 0
an
γ .
(2.5)
Als zwei e Sch i is die Zus andsgleichung einzuse zen, so dass die S eue ung explizi
au i . In beiden Fällen lie e dies
0 = −∆g+g=uA+ ∆ymax −ymax
sowie die
Randbedingung des en sp echenden Falles. S anda dsä ze nach G is a d [44] lie e n dank
de
C1,1
-Regula i ä des In e aces
γ
die Äqui alenz de Lösung des Randwe p oblems
zu de Ausgangsgleichung
yA=ymax
au
A
.
Ve wende man diese Um o mung au Ebene des Op imals eue ungsp oblems, so können
wi mi Theo em 4.1 aus [39] beweisen, dass die Lösung da on un e ände bleib .
2.2.2 Die Lag ange-Technik am au ge eil en Sys em
In [39] en wickeln wi eine neue Me hode, um die Op imali ä sbedingungen des au ge-
eil en Sys ems he zulei en: Die Lag ange-Technik am au ge eil en Sys em. Die Technik
ges a e es uns, die nö igen Ve ände ungen des BDD-Ansa zes einzubauen. Dass die
Lag ange-Technik zum Ziel üh , beweisen wi in [39, Theo em 5.1] übe die Zowe-
Ku cyusz-Bedingung
5
.
4
Bei den Da en
ymax
,
yd
we den wi de Übe sich lichkei halbe die Einsch änkungen

I
e c. weg-
lassen. Sie gehen aus dem Kon ex he o .
5
Hin e g ünde zu den e schiedenen Cons ain -Qualica ions nde de Lese in [96, Kap. 6].
2.2. NEUE NOTWENDIGE BEDINGUNGEN NACH DEM BDD-ANSATZ 25
Wi zeigen do die Exis enz on Lag ange-Mul iplika o en
6
pI∈L2(I,∆)
bzw.
pA∈
L2(˚
A,∆)
zu den au ge eil en Zus andsgleichungen (2.3), sowie
(q, σ)∈L2(˚
A)×H−3
2(γ)
.
7
Da wi die Zus andsbesch änkung hie als Gleichungsnebenbedingung ü die S eue ung
behandeln, is ih Lag ange-Mul iplika o
q
on An ang an in
L2(˚
A)
. Hin e he we den
wi höhe e Regula i ä zeigen z.B.
q∈H2(˚
A)
.
Die Nah bedingungen an
γ
e hal en eigene Mul iplika o en
1
,
2
. Dami denie en wi
die Lag ange-Funk ion
L
des an de op imalen Kongu a ion
(A,I)
au ge eil en OC-
PDE zu
L(yI, yA, uI, uA, 1, 2, q, σ) := L1(yI, yA, uI, uA, 1, 2) + LBDD1(q, σ)
(2.6)
mi dem allgemeinen An eil
L1:= ZI
(yI−yd)2
d
x+Z˚
A
(yA−yd)2
d
x+λ
2ZI
u2
I
d
x+λ
2Z˚
A
u2
A
d
x
−ZI
(−∆yI+yI−uI)pI
d
x−Z˚
A
(−∆yA+yA−uA)pA
d
x−hpI, ∂νyIiH−1
2(Γ),H 1
2(Γ)
+h 1, yI−yAiH−3
2(γ),H 3
2(γ)+h 2, ∂νIyI+∂νAyAiH−1
2(γ),H 1
2(γ),
(2.7)
sowie dem speziellen An eil des BDD-Ansa zes e s e A
LBDD1 := Z˚
A
(uA+ ∆ymax −ymax)q
d
x+hσ, yA−ymaxiH−3
2(γ),H 3
2(γ).
(2.8)
Dabei is
h., .iV∗,V
die geb äuchliche Bezeichnung ü das Duali ä sp oduk au einem
Banach aum
V
und
H−3
2(γ) = H3
2(γ)∗
bzw.
H−1
2(γ) = H1
2(γ)∗
. He o zuheben is ,
dass die p äsen ie e Lag ange-Funk ion nich ein ach du ch Au eilen de In eg ale de
üblichen Lag ange-Funk ion he o geh .
Wi üh en nun die au ge eil e Lag ange-Technik ü den BDD-Ansa z e s e A aus und
abellie en anschlieÿend die Un e schiede des ande en BDD-Ansa zes. Dessen Lag ange-
Funk ionen en häl en sp echend den speziellen An eil
LBDD2 := Z˚
A
(uA+ ∆ymax −ymax)q
d
x+hσ, ∂νA(yA−ymax)iH−1
2(γ),H 1
2(γ).
(2.9)
Beme kung 2.2.3
Wi behandeln
yI
,
yA
als unabhängige G öÿen mi en sp echend
unabhängigen Mul iplika o en. Die Lag ange-Technik lie e uns die Zusammenhänge
diese G öÿen als Teil des E gebnisses. Insbesonde e sind
pI
und
pA
an diese S elle
noch nich als Einsch änkungen eine globalen G öÿe
p
au die Mengen
I
bzw.
A
zu
e s ehen.
6
Man beach e, dass jede Ansa z seine eigenen dualen Va iablen besi z . De Übe sich lichkei halbe
wi d kein wei e e Index einge üh .
7
Die Eigenscha en de e wende en seh schwachen Räume
L2(C, ∆) := {ϕ∈L2(C)|∆ϕ∈L2(C)}
nde man in [8, Sec ion 7.1-9].

26 KAPITEL 2. BDD-ANSÄTZE BEI ELLIPTISCHEN OC-PDE
Die Be echnung de no wendigen Bedingungen mi de o malen Lag ange-Technik aus
[96] eil sich in einige Sch i e au : Zunächs ekons uie en sich die au ge eil en Zu-
s andsgleichungen mi Nah bedingungen du ch Ve schwinden de Rich ungsablei ungen
bzgl.
pI
,
pA
,
1
,
2
. Anschlieÿend we den die Laplace-Ope a o en mi els ( e allgemei-
ne e ) G eensche Fo mel on den Zus änden au die Mul iplika o en übe agen. Je z
lassen sich die es lichen no wendigen Bedingungen übe Be echnung de Rich ungs-
ablei ungen und übliche Va ia ionsa gumen e ablesen (siehe z.B. [96]). Zusä zlich zu den
au ge eil en Zus andsgleichungen aus (2.3) e hal en wi un e nach ägliche Elimina ion
de Mul iplika o en
1
,
2
olgende, beide Ansä ze be eenden Op imali ä sbedingungen
−∆pI+pI=yI−yd, pI+λ uI= 0
in
I,
(2.10a)
∂νpI= 0
an
Γ,
(2.10b)
yA=ymax
an
γ ,
(2.10c)
sowie speziell ü den e s en BDD-Ansa z die Bedingungen
−∆pA+pA=yA−yd, pA+λ uA+q= 0
in
˚
A,
(2.11a)
pI=pA, ∂νIpI+∂νApA=σ
an
γ ,
(2.11b)
uA=−∆ymax +ymax
in
˚
A.
(2.11c)
Den zwei en BDD-Ansa z behandeln wi aus üh lich in [39, Sec . 6]. Die Resul a e be-
handeln wi abella isch im nächs en Abschni im Übe blick.
Wi e kennen die on OC-ODE bekann en Haup me kmale des BDD-Ansa zes ( gl. Ab-
schni 1.3.2): Zum einen besi z das Op imali ä ssys em eine Da s ellungs o mel (2.11c)
ü die S eue ung au de ak i en Menge, zum ande en lie e die G adien engleichung
in (2.11a) di ek den Lag ange-Mul iplika o
q
des BDD-Ansa zes. Diese beiden alge-
b aischen Gleichungen e laub en es bei OC-ODE, das KKT-Sys em ohne Umweg au
eine s ückweise gegebene ODE zu eduzie en, was s a k zum p ak ischen Du chb uch
de BDD-Ansä ze bei ug ([75], [26]).
Beme kung 2.2.4 (Höhe e Regula i ä en de dualen Va iablen)
Aus unse em allgemeine en Theo em 7.5 aus [39] können wi höhe e Regula i ä en
q∈
H2(˚
A)
,
pI∈H2(I)
,
pA∈H2(A)
und
σ∈H1
2(γ)
olge n.
2.2.3 Ve gleich de no wendigen Bedingungen
Im Gegensa z zu den klassischen no wendigen Bedingungen zeigen beide BDD-Ansä ze
olgende Un e schiede au
˚
A
:
klassisch:
−∆pA+pA=yA−yd+µ˚
A, pA+λ uA= 0 , yA=ymax .
BDD:
−∆pA+pA=yA−yd, pA+q+λ uA= 0 , uA=−∆ymax +ymax .
Als Regula i ä nden wi
q∈H2(˚
A)
[39, P op. 5.2] im Gegensa z zu
µ˚
A∈L2(˚
A)
aus Lemma 2.1.6. Dies s eh im Einklang mi OC-ODE ([66], [50]): De Mul iplika o
des BDD-Ansa zes zeig eine höhe e Regula i ä e glichen zu di ek en Ankopplung de
Zus andsbesch änkung.
2.2. NEUE NOTWENDIGE BEDINGUNGEN NACH DEM BDD-ANSATZ 27
Zusä zlich un e scheiden sich alle d ei Va ian en in den no wendigen Bedingungen am
In e ace
γ
, da ges ell in olgende Tabelle:
8
klassisch:
pI=pA∂νIpI+∂νApA=µγµγ∈H1
2(γ)
BDD1:
pI=pA∂νIpI+∂νApA=σ σ ∈H1
2(γ)
BDD2:
pI=pA+σ ∂νIpI+∂νApA= 0 σ∈H3
2(γ)
Wi sehen insbesonde e, dass sich die Regula i ä on
σ
beim Ansa z BDD2 e höh .
Dies lieg da an, dass die Randbedingung (2.5) des Randwe p oblems au Ablei ungen
zu ückg ei . Die aus Mau e [66] bekann e Regel g ei auch hie : Je höhe die Ablei-
ungen de Zus andsbesch änkung im Ansa z sind, des o egulä e sind die zugehö igen
Lag ange-Mul iplika o en.
Be ach en wi abschlieÿend die beiden Mul iplika o en
pI
,
pA
als Teile eines globalen
Mul iplika o s
p
, so e kennen wi Folgendes: Je nach BDD-Ansa z e ände man den
adjungie en Zus and au de ak i en Menge, indem man mi
σ
Knicke ode Sp ünge
e zeug . So sp ing
p
beispielsweise im Falle des BDD2-Ansa zes am In e ace, zeig abe
eine s e ig o se zba e Spu de No malenablei ung.
Bei unse en BDD-Ansä zen s eck die Op imali ä sbedingung
uI=uA
an
γ
zunächs
noch nich im Sys em, da eine zusä zliche Unbekann e
qγ
au i . Die A gumen a ion,
welche bei den klassischen no wendigen Bedingungen aus Lemma 2.1.6 au
uI=uA
an
γ
üh , is dahe hie nich anwendba .
Dank de Äqui alenz de P oblems ellungen aus [39, Theo em 4.1] können wi die e hal-
enen no wendigen Bedingungen mi denen aus Lemma 2.1.6 e gleichen. De Ve gleich
lie e eine zusä zliche Randbedingung am In e ace, sowie die ehlenden Vo zeichenbe-
dingungen: Wi e hal en
−∆q+q=µ˚
A
, sowie je nach Ansa z:
Ansa z zusä zliche RB an
γ
Ve gleichsbedingung VZ-Bedingung
BDD1
q= 0 µγ=σ+∂νAq q ≥0
,
σ≥0
BDD2
q=σ µγ=∂νAq q ≥0
,
σ≥0
Mi de zusä zlichen Randbedingung lieÿe sich
uI=uA
an
γ
wiede olge n. Wi we den
die Gleichung
uI=uA
an
γ
im nächs en Abschni abe auch aus einem ande en Zugang
e hal en.
Beme kung 2.2.5 (Elimina ion de Maÿ-An eile
σ
,
µγ
)
Beim Ansa z BDD2 können wi
σ
und
µγ
du ch passende Spu en on
q
eliminie en.
Dadu ch e en im KKT-Sys em keine Maÿe meh au , sonde n nu noch Di ichle - bzw.
Neumann-Spu en eine
H2(˚
A)
-Funk ion
q
.
Beme kung 2.2.6
Die BDD-Ansä ze lassen sich en sp echend auch du ch spezielle
Subs i u ionen aus den klassischen au ge eil en no wendigen Bedingungen aus [13] he -
lei en. Alle dings üh en nich alle Subs i u ionen au BDD-Ansä ze und nich jede Sub-
s i u ion eines BDD-Ansa zes is naheliegend. Dahe emp ehlen wi das Vo gehen aus
Abschni 2.2 bzw. [39].
8
Man beach e, dass jede Ansa z seine eigenen dualen G öÿen besi z , d.h.
pA
,
q
,
σ
sind hie zeilen-
weise e schieden.
28 KAPITEL 2. BDD-ANSÄTZE BEI ELLIPTISCHEN OC-PDE
Als nächs es e lassen wi die op imale Kongu a ion. Wi e hal en da au ein sogenann-
es Mengen-Op imals eue ungsp oblem. In olgedessen lei en wi in [39, Fo mel (7.36)] die
Bedingung
uI=uA
an
γ
aus eine pa iellen Shape-Ablei ung de Lag ange-Funk ion
nach dem In e ace he . Dies en sp ich de Ablei ung nach den Schal zei en aus Kap.
1.2.3, Fo mel (1.29).
2.3 Das Mengen-Op imals eue ungsp oblem
Wi möch en je z das Op imals eue ungsp oblem aus einem ande en Blickwinkel be-
ach en. Wi geben dabei nu einen ku zen Lei aden zu dem Abschni 7 aus [39]. Den
in e essie en Lese e weise ich au unse e zukün igen gemeinsamen A bei en (z.B.
[38])  sowie au die Disse a ionen meine beiden Kollegen Simon Bechmann und Mi-
chael F ey [37].
Bei Meh punk -Randwe p oblemen im Be eich on OC-ODE in Kap.1 we den die Schal -
zei en  also die Randpunk e de ak i en Menge  als unbekann e G öÿen inne halb des
KKT-Sys ems behandel . Ablei ungen de Lag ange-Funk ion nach den Schal zei en lie-
e n hie zugehö ige no wendige Bedingungen z.B. Fo mel (1.29). Al e na i lie e das
Pon yaginsche Maximump inzip eine S e igkei s ode Sp ungbedingung de Hamil on-
Funk ion an de Schal zei  siehe Gleichungen (1.6b), (1.11l, 1.11m).
Fo ge üh au OC-PDE be ach en wi dahe die Menge
B
 bzw. ih en Rand
β
 als
wei e e Unbekann e. Die Topologie und die Fo m diese Menge sollen op imie we den,
so dass im Op imum die ak i e Menge de Zus andsbesch änkung e hal en wi d.
Eine Me hode, welche die ak i e Menge bzw. de en Rand als Op imie ungs a iable be-
handel und i e a i bes imm , en wickeln Hin e mülle und Ring in [56]. Sie ans o -
mie en die no wendigen Bedingungen des Ausgangsp oblems  un e Elimina ion on
Va iablen au de ak i en Menge  in ein P oblem de Shape-Op imie ung und lösen es
mi Le el-Se -Me hoden.
Eine wei e e Me hode en wickeln wi de zei . Sie wi d in F ey, Bechmann und Rund [38],
sowie in F ey [37] e scheinen.
Die Be ach ungsweise on
B
als Op imie ungs a iable üh in unse e A bei [39, Sec-
ion 7] au eine neue Klasse on P oblems ellungen, welche OC-PDE und Shapeop imie-
ung umschlieÿ : Zu bes immen is gleichzei ig eine op imale S eue ung und eine Menge,
so dass ein Ziel unk ional un e s ückweise gegebenen PDE-Nebenbedingungen mini-
mie wi d. Wi möch en diese P oblems ellung als Mengen-Op imals eue ungsp oblem
bezeichnen:
2.3. DAS MENGEN-OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM 29
Deni ion 2.3.1 (Mengen-Op imals eue ungsp oblem, MOP)
Als Mengen-Op imals eue ungsp oblem (MOP) bezeichnen wi das P oblem
min J(yJ, yB, uJ, uB,B) := 1
2kyJ−ydk2
L2(J)+1
2kyB−ydk2
L2(B)
+λ
2kuJk2
L2(J)+λ
2kuBk2
L2(B)
s. .
−∆yJ+yJ=uJ
in
J,
−∆yB+yB=uB, uB=−∆ymax +ymax
in
˚
B,
∂νyJ= 0
an
Γ,
yJ=yB,0 = ∂νJyJ+∂νByB
an
β ,
(2.12)
yB=ymax
an
β ,
uJ∈L2(J), uB∈L2(B),
yI< ymax
in
J,
(B,J)
is eine Kongu a ion
.
Wi sehen, dass alle Nebenbedingungen de P oblems ellung be ücksich ig sind. Dahe
e hal en wi den Äqui alenzsa z [39, Theo em 7.1]:
Lemma 2.3.2 (Äqui alenz on MOP und dem Ausgangsp oblem)
Das MOP und das Ausgangsp oblem (2.1) besi zen dieselbe eindeu ige Lösung.
Beweis:
Jede zulässige Punk des MOP is oensich lich auch zulässig ü das Ausgangsp o-
blem (2.1). Wei e hin is die Lösung des Ausgangsp oblems auch zulässig ü MOP. Da
das Ziel unk ional in beiden P oblemen iden isch is , lie e ein ein ache Beweis du ch
Wide sp uch das Resul a .

Wi müssen ü diesen Beweis das MOP nich einmal nähe un e suchen.
Eine zugehö ige no wendige Bedingung e eichen wi in [39, Fo mel (7.36)] anschlieÿend
o mal übe Techniken aus de Shape-Op imie ung. Die e hal ene Bedingung lie e die
Bedingung
¯uI= ¯uA
an
γ
. Die dami e bundene Technik bezeichnen wi als Shape-
Lag ange-Technik, siehe [37]. Vo eilha is , dass die Shape-Lag ange-Technik keine
Shape-Adjungie en benö ig .
Ein heo e isch gesiche es Vo gehen wi d in F ey [37] anhand de o alen Shape-Ablei ung
eine Re o mulie ung des P oblems un e such , welches wi in [39, Sec . 7] als Bile el-
Op imie ungsp oblem ein üh en.
Wi gelangen au diese Weise zum gleichen E gebnis wie bei OC-ODE: Die Ablei ung
de Lag ange-Funk ion nach de Schal zei in Gleichung (1.29) lie e e do die S e igkei
de S eue ung
u
.
36 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
o zug man die Anwendung on Regula isie ungsme hoden, wodu ch die Maÿe aus de
Theo ie e schwinden und e ablie e nume ische Me hoden anwendba we den.
Im olgenden Kapi el wi d ein P o o yp-P oblem eines ODE-PDE besch änk en Op imal-
s eue ungsp oblems mi Zus andsbesch änkungen behandel , welches on de S uk u
he seh nahe an pa abolischen OC-PDE lieg . Zunächs we den das P oblem und seine
no wendigen Bedingungen au ges ell . Un e eine S uk u annahme an die ak i e Men-
ge lassen sich wie in den Kapi eln 1 und 2 de aillie e e no wendige Bedingungen und
Regula i ä saussagen he lei en.
Insbesonde e we den die Sp ungbedingungen on OC-ODE au das gemisch e ODE-PDE
P oblem übe agen. De hie ü en scheidende Sch i is eine explizi e Da s ellung des
Maÿes
µ∈ M(¯
Q)
aus handhabba en Teilen. Dabei is
Q:= Ω ×(0, )
de O s-Zei -
Zylinde . Das E gebnis is in e essan : Bei dem behandel en P o o yp-P oblem is man
in de Lage, die Ta sache aus Kapi el 2 bzw. Be gounioux und Kunisch [13] e s malig
au eine niede dimensionale ak i e Menge in Fo m eine S ecke im Inne en on
Q
zu
übe agen: De Mul iplika o is gla im ela i en Inne en de ak i en Menge und zeig
Di ac-Maÿe an den beiden Randpunk en. Diese E kenn nis läss sich zu wei e en heo e-
ischen Analyse nu zen. Nach einem ku zen Übe blick zu Lösung mi di ek en Ve ah en,
widme sich Abschni 3.6 den indi ek en Ve ah en. Analog zu OC-ODE läss sich un-
e eine S uk u annahme an die ak i e Menge ein Meh punk -An angs andwe p oblem
au s ellen. Das Kapi el schlieÿ mi nume ischen Expe imen en.
3.2 Das Modell und seine e schiedenen Fo mulie ungen
Das Modell des Rake enau os is en s anden in Pesch, Rund, on Wahl und Wendl [80].
Unse Ziel wa es, einen P o o yp eines OC-PDAE P oblems zu e schaen, welches die
Gebie e OC-ODE, OC-PDE und OC-PDAE e binde . Dadu ch sind wi in de Lage, die
Theo ie und die Ve ah en de e schiedenen Gebie e zu e gleichen und zu übe agen.
Ausgegangen sind wi on einem P oblem de Flugbahn-Op imie ung hype sonische
Flugzeuge aus Chudej, Pesch, Wäch e e al. [30]. Die hohe Komplexi ä dieses Anwen-
dungsp oblems muss e eduzie we den. So en schieden wi uns, die Bewegung au eine
Schiene einzusch änken (1D) und das A mosphä enmodell einzuspa en. Die Au heizung
soll e jedoch be ücksich ig we den, um die gekoppel e ODE-PDE S uk u zu e hal en.
Au g und seines Hin e g undes bezeichnen wi das esul ie ende Modell als das Rocke -
ca : Gesuch is die Posi ion
w( )
eines Au os, welches sich au eine Schiene ohne Ku -
en nach den Gese zen de New onschen Mechanik beweg . Dies üh au gewöhnliche
Die en ialgleichungen. Dabei bezeichnen wi mi
w( )
die Posi ion des zu Punk masse
gesch ump en Rake enau os, d.h. die Posi ion seines Schwe punk s. Das Rake enau o
heiz sich au g und de hohen Geschwindigkei du ch Reibung au . Die Au heizung des
ausgedehn en Rake enau os modellie en wi anhand de Tempe a u e eilung
T(x, )
gemäÿ eine Wä melei ungsgleichung, wobei wi mi
x∈Ω := (0, l)
die Posi ion in-
ne halb des Rake enau os bezeichnen. Die e schiedenen Reibungsmodelle (Coulomb,
S okes, New on) lie e n die Fo m de Kopplung des ODE-PDE P oblems. Alle G öÿen
des Sys ems seien be ei s en dimensionie .

3.2. DAS MODELL UND SEINE VERSCHIEDENEN FORMULIERUNGEN 37
Das Rake enau o soll anhand de Beschleunigung
u( )
ausgehend on seine An angspo-
si ion
w0
und seine An angsgeschwindigkei
˙w0
zei op imal in den U sp ung de Pha-
senebene (
w= 0
,
˙w= 0
) ges eue we den. Den O s-Zei -Zylinde bezeichnen wi mi
Q:= Ω ×(0, )
. Wi e hal en ein P oblem mi eie Endzei
. OC-PDE mi eie
Endzei sind Thema de ak uellen Fo schung, siehe z.B. Kunisch und Wachsmu h [64]
ü eine zei op imale S eue ung de Wellengleichung.
Dabei e zeug die Beschleunigung
u( )
Kos en, welche wi mi de
L2
-No m mi Kos en-
ak o
λ
messen we den. Wi denie en nun die beiden Va ian en des Op imals eue ungs-
p oblems, welche sich in de A de Au heizung un e scheiden: In P oblem 1 wi d das
Au o au seine gesam en Länge au geheiz , in P oblem 2 nu an seine Spi ze.
Deni ion 3.2.1 (Rocke ca  P oblem 1, aus [80])
Wi be ach en das Op imals eue ungsp oblem
min
>0, u∈Uad
J( , u) := +λ
2
Z0
u2
d
,
(3.1a)
s. .
T −∆T=g(w2( ))
in
Q:= Ω ×(0, ),
(3.1b)
∂νT+T=TU
an
Σ := Γ ×(0, ),
(3.1c)
T(x, 0) = T0
in
Ω,
(3.1d)
˙w1=w2,˙w2=u
au
(0, ),
(3.1e)
w1(0) = w0, w2(0) = ˙w0,
(3.1 )
w1( )=0, w2( )=0,
(3.1g)
T≤T
max
in
¯
Q ,
(3.1h)
u∈Uad := u∈L2(0, )|u( )| ≤ umax.
(3.1i)
Dabei is
λ > 0
,
TU
die Umgebungs empe a u ,
Γ := ∂Ω
,
w1:= w
,
w2:= ˙w
und die
An angsbedingungen e üllen
w2
0+ ˙w2
0>0
. Die Ungleichungs es ik ionen seien gegeben
du ch
Tmax ∈
R
,
Tmax >0
sowie
umax ∈L∞(0, )
,
umax >0
. De Ein achhei halbe
be ach en wi in diese A bei nu den Fall
T0= 0
,
TU= 0
.
ν
bezeichne den äuÿe en
Einhei sno malen ek o on
Ω
.
Deni ion 3.2.2 (Rocke ca  P oblem 2, aus [80])
Im zwei en Modell wi d das Rake enau o nu an seine Spi ze in
x=l
du ch Reibung
au geheiz : Die Deni ion 3.2.1 wi d übe nommen. Lediglich die Gleichungen (3.1b),
(3.1c) ände n sich zu
T −∆T= 0
in
Q ,
(3.2a)
∂νT+T=(TU
in
{0}×(0, ),
TU+h(w2( ))
in
{1}×(0, ).
(3.2b)
38 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Die Funk ionen
g
und
h
modellie en die Reibung; dahe müssen sie olgende Bedingungen
e üllen, o mulie ü
g
(
h
analog):
g∈C∞(
R
{0})∩C(
R
),
(3.3a)
g≥0,
(3.3b)
g(z)=0⇔z= 0 ,
(3.3c)
g0(z)>0,∀z∈(0,∞),
(3.3d)
g(z) = g(−z),∀z∈
R
.
(3.3e)
Dies be ücksich ig , dass die Reibung s e s als Tempe a u quelle ungie (es sei denn
es lieg keine Bewegung o ), dass die Reibung mono on mi dem Be ag de Geschwin-
digkei ans eig und unabhängig on de Rich ung de Geschwindigkei is . Mögliche
Reibungsmodelle bie en die Funk ionen
z7→ |z|n
ü
n= 1,2,3
. Diese Bedingungen ge-
hen in die Beweise de Abschni e 3.3, 3.4 ein.
P oblem 1 e inne on de S uk u he an ein e eil es S eue ungsp oblem de Wä -
melei ungsgleichung, P oblem 2 an ein Rands eue ungsp oblem; dahe we den wi zu
Un e scheidung diese Beg ie he anziehen. Wi konzen ie en uns in diese A bei au
P oblem 1. Fü P oblem 2 e weisen wi au unse e A bei en [80], [81]. Das P oblem
ohne S eue ungskos en (
λ= 0
) be ach en wi in [80].
Man beach e die Kopplungss uk u beide Rocke ca -P obleme: Die ODE-Va iablen ge-
hen in die PDE ein. Die Zus andsbesch änkung schlieÿ den K eis: Die PDE-Va iable
beeinuss hie übe die S eue ung und dami die ODE, wodu ch ein olls ändig gekop-
pel es Sys em en s eh .
Beme kung 3.2.3 (Rein zei abhängige S eue ungen)
Es sei angeme k , dass wi s e s nu zei abhängige S eue ungen haben. Diese Kons ella-
ion i aus echnische Sich häug au , dass nu endlich iele zei abhängige S eue si-
gnale einges ell we den dü en. Un e ande em gil dies auch ü das PDAE-Modell de
B enns ozelle in Kap. 4.
Mi in
(x, )
e eil en ak i en Mengen wie in Kap. 2 is aus de Dimension de F eihei s-
g ade he aus dahe i.d.R. nich zu echnen. Im o liegenden Beispiel we den wi dies in
Sa z 3.3.7 auch beweisen.
Um o mulie ung au es e Endzei
Zu nume ischen Lösung des P oblems müssen wi in de Regel au es e Endzei ans-
o mie en. Dazu üh en wi eine neue Zei
τ= / ∈[0,1]
ein und suchen
˜u(τ) := u( τ)
e c., wobei wi die Kennzeichnung
˜
im Folgenden aus Übe sich sg ünden weglassen. Im
P oblem sind en sp echend alle Die en iale und In eg ale zu subs i uie en. P oblem 1
3.2. DAS MODELL UND SEINE VERSCHIEDENEN FORMULIERUNGEN 39
is dahe äqui alen zu dem P oblem
min
u∈Uad
J(y, u) := +λ
2
1
Z0
u2(τ)
d
τ ,
s. .
1
Tτ(x, τ)−∆T(x, τ) = g(w2(τ))
in
Ω×(0,1) ,
∂νT(x, τ) + T(x, τ) = TU
an
Γ×(0,1) ,
T(x, 0) = T0
in
Ω,
(3.4)
1
˙w1(τ) = w2(τ), w1(0) = w0, w1(1) = 0 ,
1
˙w2(τ) = u(τ), w2(0) = ˙w0, w2(1) = 0 ,
T(x, τ)≤T
max
in
¯
Ω×[0,1] ,
u∈Uad := u∈L2(0,1)|u(τ)| ≤ umax.
Die T ans o ma ion so g da ü , dass alle Die en ialgleichungen P oduk e on
und
Zus änden bzw. de S eue ung en hal en (wenn wi mi
du chmul iplizie en). Das
ans o mie e P oblem is an diesen S ellen nich linea , P obleme mi eie Endzei
sind dahe s e s i e a i zu lösen.
In e p e ie en wi
als S eue ungspa ame e , so beeinussen wi einen Koezien en de
PDE; allgemeine e P obleme diese A spielen z.B. bei de S eue ung bzw. Iden ika ion
on Diusionskoezien en eine Rolle [7], [33].
Wi können
abe auch als Zus and in e p e ie en, indem wi eine i iale ODE
d
d
τ = 0
ode eine i iale PDE
∂
∂τ = 0
au nehmen. In diesem Fall e hal en wi nich linea e
Zus andsgleichungen.
Ve bindung on OC-ODE, OC-PDE und OC-PDAE
Das Rocke ca -Modell e laub es, die Theo ie und Me hoden e schiedene Gebie e in
Ve bindung zu b ingen und Bekann es au ande e Gebie e zu übe agen. G und da ü
is , dass sich das gemisch e zus andsbesch änk e ODE-PDE au d ei e schiedene Va i-
an en behandeln läss : Zum einen kann man es als eines OC-ODE P oblem behandeln,
indem man die Lösung de PDE als Reihe übe einen Sepa a ionsansa z bes imm (semi-
analy ische Lösung). Dieses Vo gehen haben wi in [81] und [79] e olg .
Zum ande en läss sich en sp echend die ODE du ch In eg a ion eliminie en. Bei diese
Va ian e e hal en wi ein eines OC-PDE P oblem (siehe [81] und [101]). Bei beiden Vo -
gehensweisen e häl man ein an o de ndes P oblem, da die Elimina ion zu ausge allenen
Zusa zbedingungen üh : Im e s en Fall en s ehen In eg algleichungen. Im zwei en Fall
e häl man isope ime ische Bedingungen sowie die Gegebenhei , dass neben de S eue-
ung zugleich auch ih e S amm unk ion im P oblem au i .
40 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Diese A bei e olg eine d i e, neue Va ian e: Das gemisch e P oblem wi d di ek als
Op imals eue ungsp oblem eines PDAE-Sys ems
1
behandel . Abschni 3.4 lie e die
no wendigen Bedingungen e s e O dnung ü das PDAE-P oblem, sowie eine de aillie e
Analyse des Mul iplika o s de Zus andsbesch änkung. Im Abschni 3.3 da o we den
einige inhä en e Eigenscha en de P oblems ellung bewiesen.
3.2.1 Inhal de einbezogenen Ve öen lichungen
Ein Teil des Inhal es de einbezogenen Ve öen lichungen wu de be ei s in den o igen
Abschni en zusammenge ass . Da einige Teile jedoch nich au geg ien we den, lie e
diese Abschni eine Zusammen assung jedes einzelnen A ikels.
Inhal on [80]
Obwohl unse A ikel [80] noch nich einge eich is , is das P oblem des Rocke ca s do
en s anden. Wi besch eiben die Idee und die P oblems ellung des Rocke ca s, welches
als P o o yp-P oblem die Gebie e OC-ODE, OC-PDE und OC-PDAE e binden soll.
Als G undlage lösen wi zunächs das P oblem ohne Zus andsbesch änkung analy isch
 jeweils ü
λ= 0
(Bang-Bang-Lösungen) und ü
λ > 0
. Wi lösen die PDE semiana-
ly isch mi einem Sepa a ionsansa z un e Einsa z on Fou ie eihen.
In eine Reihe on Theo emen zeigen wi die Exis enz und Eindeu igkei de Lösung
de Zus andsgleichungen, die s e ige Abhängigkei on den Da en sowie di e se Eigen-
scha en de beiden P oblems ellungen: Die Tempe a u e eilung on P oblem 1 e weis
sich als nich nega i e, symme ische klassische Lösung de Wä melei ungsgleichung mi
gewissen zusä zlichen Regula i ä seigenscha en. Das globale Maximum de Tempe a u
lieg s e s in de Wagenmi e
x=l/2
o . Auch P oblem 2 besi z s e s genau eine
Lösung mi gewissen Regula i ä seigenscha en. Das globale Maximum lieg hie ü alle
S eue ungen s e s an de Spi ze in
x=l
. Abschlieÿend analysie en wi das Kon e genz-
e hal en de semianaly ischen Lösungs o meln.
Die Ve öen lichung e schein zusammen mi Teil 2 [81], welche zum einen E gebnisse
de o liegenden Disse a ion und zum ande en aus üh liche nume ische S udien aus di-
ek en Ve ah en en hal en wi d.
Inhal on [79]
In [79] behandeln wi das Rocke ca als eines OC-ODE mi Zus andsbesch änkungen:
Übe einen Sepa a ionsansa z und Fou ie eihen eliminie en wi die PDE du ch eine se-
mianaly ische Lösungs o mel. Das esul ie ende OC-ODE weis da au hin alle dings eine
nich -lokale Zus andsbesch änkung au . Dahe üh en wi einen d i en ODE-Zus and als
Hil s a iable ein. E e üll eine Vol e asche In eg o-DGL mi Reihenan eil und nunmeh
eine punk weise Zus andsbesch änkung, weshalb sich die bes ehende Theo ie e wenden
läss . Die no wendigen Bedingungen en hal en eben alls eine de a ige In eg o-DGL, wel-
che en sp echend ückwä s in de Zei läu .
1
Die Li e a u is sich hie uneinig. Wi we den jedoch das ODE-PDE P oblem auch als PDAE-
Sys em bezeichnen.
3.3. THEORETISCHE BEHANDLUNG DER PROBLEMSTELLUNG 41
Die Zus andsbesch änkung is on 2. O dnung und kann dahe bekann lich zu Be üh -
punk en und Rands ücken üh en. In de Ta beobach en wi nume isch sowohl einen
Be üh punk als auch ein Rands ück. E gebnisse e zeugen wi mi de in Abschni 3.5.2
besp ochenen di ek en Me hode  ohne die Lösungs o mel zu e wenden, da die Op-
imali ä sbedingungen au g und de beiden In eg o-DGL und de Reihen o mel schwe
zugänglich sind. Wi nu zen die he gelei e en Op imali ä sbedingungen jedoch zu Ve i-
ka ion de Lösung: Wi zeigen, dass die Schä zungen de Lag ange-Mul iplika o en aus
dem di ek en Ve ah en die Op imali ä sbedingungen seh gu e üllen.
Inhal on [101]
In [101] eliminie en wi die beiden ODE du ch In eg a ion und behandeln das Rocke ca
als eines OC-PDE. Die Randbedingungen de ODE üh en zu zwei isope ime ischen
Nebenbedingungen an die S eue ung. Zusä zlich geh das In eg al de S eue ung nich -
linea in die PDE ein, wodu ch die Va ia ionsungleichung seh komplizie wi d: Übe
In eg alausd ücke koppel sie alle We e de op imalen S eue ung o wä s und ückwä s
in de Zei mi einande .
Wi schlieÿen mi nume ischen E gebnissen aus dem di ek en Ve ah en. Insbesonde e
ekons uie en wi den adjungie en Zus and de PDE aus seinen disk e en Schä zun-
gen. Man kann aus den E gebnissen be ei s einige de Eigenscha en e ahnen, welche im
Zuge de o liegenden Disse a ion in Abschni 3.4 bewiesen we den. So e kenn man
zwei Fundamen allösungen an den beiden Schal punk en und eine Knickbedingung im
ela i en Inne en de ak i en Menge.
3.3 Theo e ische Behandlung de P oblems ellung
Diese Abschni um ass einen Exis enz- und Eindeu igkei ssa z ü die Zus andsglei-
chungen sowie Regula i ä saussagen übe die Zus ände des P oblems. Um Eindeu igkei
ü eine es e S eue ung zu e eichen, sind die Endbedingungen (3.1g) dabei aus de
Be ach ung zu nehmen, da das Zus andssys em ande n alls übe bes imm is . Die End-
bedingungen we den du ch spezielle Wahl on
u∈Uad ⊂L∞(0, )
und
im Lau e
de Op imie ung e üll ; ih e E üllba kei widme sich Lemma 3.3.2. Dazu sei ange-
me k , dass wi au g und de S eue ungsbesch änkungen (3.1i) mi
umax ∈L∞(0, )
en sp echend s e s
u∈L∞(0, )
haben. Diese Eigenscha is wesen lich, um spä e die
Regula i ä de Nich linea i ä
g
zeigen zu können.
Lemma 3.3.1 (Exis enz- und Eindeu igkei ssa z de Zus andsgleichungen)
Die Zus andsgleichungen (3.1b)(3.1 ) besi zen ü jede S eue ung
u∈L∞(0, )
eine
eindeu ige Lösung
(w1, w2, T)∈W2,∞(0, )×W1,∞(0, )×W(0, )∩C(¯
Q).
Beweis:
Man be ach e zue s das An angswe p oblem
˙w2( ) = u( )
,
w2(0) = ˙w0
(d.h. un-
e Weglassen de Endbedingung). Nach wohlbekann en Sä zen de Theo ie gewöhnli-
che Die en ialgleichungen besi z das An angswe p oblem ü jede ech e Sei e
u∈

42 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
L∞(0, )
genau eine Lösung
w2∈W1,∞(0, ),→C([0, ])
. Au g und de Regula-
i ä de Nich linea i ä (3.3a) olg en sp echend
g(w2( )) ∈L∞(0, )
. Es lieg also
ein An angs-Randwe p oblem de linea en Wä melei ungsgleichung mi eine e eil en
Quelle
(x, ) := g(w2( )) ∈L∞(Q)
o . Dahe lie e [73, Theo em 1.3] die Exis enz
und Eindeu igkei de Tempe a u e eilung
T(x, )∈W(0, )∩C(¯
Q)
.
2
Wei e hin e häl
man do s e ige Abhängigkei on den Da en. Das An angswe p oblem de zwei en ODE
˙w1=w2
,
w1(0) = w0
lös man analog dem de e s en.

Dami das Op imals eue ungsp oblem eine Lösung ha , muss die Endzei eine Mindes -
g öÿe haben, da sons die Endbedingungen nich eingehal en we den können. Man kann
eine Abschä zung explizi angeben.
Lemma 3.3.2
Es gil
≥ ,0>0
mi
,0:= 

−˙w0+ 2q1
2˙w2
0−w0, w0<−
sign
( ˙w0)·1
2˙w2
0,
˙w0+ 2q1
2˙w2
0+w0, w0>−
sign
( ˙w0)·1
2˙w2
0.
Beweis:
,0
is die Lösung ü
λ= 0
ohne Zus andsbesch änkung aus Pesch [77, Übungsau gabe
6b]. In wenige Zei kann man die Endbedingungen (den U sp ung de Phasenebene)
mi maximale Geschwindigkei nich e eichen, es gib ü kleine e Endzei en keinen
zulässigen Punk .

Die Endzei
,0
muss nich zu zulässigen Punk en üh en, da die Zus andsbesch änkung
e le z sein kann; jedoch kann es ü Endzei en
< ,0
keinen zulässigen Punk geben.
Die Fo mel läss sich spä e in de Nume ik nu zen, um unzulässige S a schä zungen
ü
auszuso ie en. In de Theo ie se zen wi die Exis enz eine Lösung des Op imal-
s eue ungsp oblems o aus. Eine Besch änkung an die Endzei is nich nö ig.
Die Zus ände zeigen eine höhe e Regula i ä als Lemma 3.3.1 e wa en läss . Um dies zu
zeigen, müssen wi uns im die enzie ba en Be eich des Reibungsmodells
g(z)
benden.
Dahe die
Annahme 3.3.3
Die Geschwindigkei s e eilung
w2( )
besi ze in
(0, )
nu endlich iele
(isolie e) Nulls ellen.
Ohne Zus andsbesch änkung haben wi in [80] gezeig , dass die op imale Geschwindig-
kei s e eilung
¯w2( )
in
(0, )
maximal eine Nulls elle ha ; diese i als Umkeh punk
au , wenn die An angsbedingungen einen einmaligen Rich ungswechsel e o de n, d.h.
wenn das Rake enau o z.B. zu Beginn in die alsche Rich ung äh . Mi Zus andsbe-
sch änkung beobach en wi nume isch das gleiche Ve hal en (siehe [79], [81]); die An-
nahme is dahe sinn oll. Mi de Annahme läss sich höhe e Regula i ä beweisen:
2
Die Deni ion on
W(0, ) := u∈L2(0, ;V)
u0∈L2(0, ;V∗)
nde man aus üh lich in [96],
[87]. Im o liegenden Fall is
V=H1(Ω)
.
3.3. THEORETISCHE BEHANDLUNG DER PROBLEMSTELLUNG 43
Sa z 3.3.4 (Höhe e Regula i ä de Tempe a u )
E üll die Geschwindigkei s e eilung
w2( )
die Annahme 3.3.3, so besi z die Tempe-
a u e eilung die Da s ellung
T(x, ) = T1( ) + T2(x, )
mi den Regula i ä en
T1( )∈C1([0, ])
bzw.
T2(x, )∈C∞(Ω ×(0, ])
.
Beweis:
Un e de Annahme 3.3.3 und de Regula i ä on
g
(3.3a) olg en sp echend aus
w2∈
W1,∞(0, )
je z auch
g(w2( )) ∈W1,∞(0, )
. Wei e hin is die Ta sache auszunu zen,
dass de Quell e m de Wä melei ungsgleichung kons an im O is . Au g und de Li-
nea i ä de Zus andsgleichung kann man die Supe posi ion
T=T1+T2
be ach en mi
T1, −∆T1=g(w2( )) , T2, −∆T2= 0
in
Q ,
∂νT1= 0 , ∂νT2+T2=−T1
an
Σ,
T1(x, 0) = 0 , T2(x, 0) = 0
in
Ω.
Du ch diese Kons uk ion läss sich
T1
analy isch angeben: Es gil
T1(x, ) = z( )
mi
z( )∈W2,∞(0, )
aus
˙z( ) = g( ¯w2( ))
,
z(0) = 0
. Wegen Sobolew-Einbe ungssä zen [5,
Sa z 8.9] gil
W2,∞(0, ),→C1([0, ])
.
Kommen wi zu
T2
: Fü die homogene linea e Wä melei ungsgleichung gil bekann lich
seh hohe Regula i ä im Inne en, also insbesonde e
T2∈C∞(Ω×(0, ])
(z.B. E ans [35,
Theo em 8, S. 59]).

Im O zeig sich die Tempe a u e eilung au g und de speziellen Quelle also als be-
liebig gla . Die Supe posi ion aus dem Sa z is wich ig, sie wi d in spä e en Beweisen
o au geg ien. Wei e e Regula i ä s esul a e lie e uns on Wahl in [80, Theo eme 4.7
und 4.10]. Widmen wi uns nun dem Op imals eue ungsp oblem.
Annahme 3.3.5
Wi nehmen an, dass das Op imals eue ungsp oblem (3.1) eine Lösung
( ¯w1,¯w2,¯
T, ¯u , ¯
)
besi z , bei welche die Zus andsbesch änkung (3.1h) nich übe all s ik
e üll is .
Deni ion 3.3.6 (Ak i e Menge de Zus andsbesch änkung)
Die ak i e Menge de Zus andsbesch änkung (3.1h) bezeichnen wi mi
˜
A:= (x, )∈¯
Q¯
T(x, ) = Tmax.
Die Symme ie des P oblems so g da ü , dass die ak i e Menge eine spezielle Fo m ha .
Wi no ie en den
Sa z 3.3.7
Die ak i e Menge
˜
A
de Zus andsbesch änkung (3.1h) in P oblem 1 ha die
Fo m
˜
A ⊂ {l/2}×[ 1, 2],
mi
1>0
und
2<
.
44 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Beweis:
Nach Sa z 3.3.4 und [80, Theo em 4.7] is die Tempe a u e eilung
T
seh egulä . [80,
Theo em 4.6] lie e dahe ü jede S eue ung
u∈L∞(0, )
a g max
x∈ΩT(x, ) = l
2∀ ∈(0, ).
Wei e hin gil nach do igem Theo em 4.4 dass
T(x, )> T(x, 0) = 0
au
[0, l]×(0, ]
.
Wegen de Endbedingung
w2( )=0
und de Ta sache, dass
w2∈H1(0, ),→C([0, ])
,
olg
max
QT(x, ) = max
∈[ 1, 2]T(l
2, ),
ü
0< 1< 2<
. Da
Tmax ≡
cons
>0
is , gil
A={(x, )∈Q|¯
T(x, ) =
maxQ¯
T(x, )}⊂{l/2}×[ 1, 2]
.

Die Zus andsbesch änkung kann also maximal au eine ni en Linie im Inne en des
O s-Zei -Zylinde s ak i we den. In
(x, )
e eil e ak i e Mengen e en nich au . Die
ak i e Menge läss sich in Folge on Sa z 3.3.7 allein du ch die Zei cha ak e isie en. Wi
denie en dahe :
Deni ion 3.3.8 (Ak i e Zei en de Zus andsbesch änkung)
Die ak i en Zei en de Zus andsbesch änkung bezeichnen wi mi
A:=  ∈(0, )⊂
R
¯
Tl
2, =Tmax.
Die Ta sache, dass die Zus andsbesch änkung wede am An ang noch am Ende ak i
is , wi d häug in den Beweisen benö ig . Dahe denie en wi den e s en und le z en
ak i en Zei punk :
Deni ion 3.3.9 (E s e und le z e ak i e Zei punk )
Wi bezeichnen den e s en ak i en Zei punk als
E
, den le z en als
L
, d.h.
A ⊂ [ E, L]∩ { E, L} ⊂ ∂A.
Da das Maximum de Tempe a u ü jede S eue ung
u∈L∞(0, )
s e s in de Mi e
lieg , eich es die Zus andsbesch änkung au de mi le en Linie zu o de n:
Folge ung 3.3.10
Die Zus andsbesch änkung bei P oblem 1 läss sich äqui alen um-
o mulie en:
T≤Tmax
au
Q⇔Tl
2, ≤Tmax l
2, 
au
[0, ].
Die Aussagen dieses Abschni es se zen di ek au de P oblems ellung au und gel en
dahe ü alle d ei e wähn en He angehensweisen. De nächs e Abschni widme sich
nun speziell de PDAE-Fo mulie ung des Rocke ca s.
3.4. THEORETISCHE BEHANDLUNG ALS OC-PDAE PROBLEM 45
3.4 Theo e ische Behandlung als OC-PDAE P oblem
In [79] haben wi das Rocke ca als eines OC-ODE behandel , in [101] dagegen als ei-
nes OC-PDE. Als d i e Al e na i e wi d das OC-PDAE im Folgenden e s malig di ek
behandel . Es we den no wendige Bedingungen he gelei e und un e eine S uk u an-
nahme an die ak i e Menge we den die en scheidenden Sä zen 3.4.9 und 3.4.13 e eich ,
welche uns eine Maÿ-Da s ellung sowie die Sp ungbedingungen lie e n. In de Folge läss
sich eine höhe e Regula i ä de Lösung des OC-PDAE zeigen.
No wendige Bedingungen ü pa abolische OC-PDE mi Zus andsbesch änkungen nde
man z.B. in [24, 86]. Da wi abe ein ODE-PDE gekoppel es P oblem haben, sind die
no wendigen Bedingungen selbs he zulei en; wi wählen hie zu die o male Lag ange-
Technik (siehe z.B. [96]). Mi ih lassen sich soga bei komplexen Anwendungsp oblemen
 wie dem B enns ozellenmodell aus Kapi el 4  die no wendigen Bedingungen ezien
au s ellen. Ih e Anwendba kei wi d man dann i.d.R. nich beweisen können. Wi s ellen
dahe o an olgende Annahme:
Annahme 3.4.1
Das Rocke ca -P oblem aus Deni ion 3.2.1 besi ze eine Lösung. Die
Lag ange-Mul iplika o en
p1( ), p2( )
zu den ODE und
q(x, )
exis ie en und besi zen die
nö ige Regula i ä . De Lag ange-Mul iplika o
µ¯
Q∈ M(¯
Q)
zu de Zus andsbesch än-
kung exis ie e.
µ¯
Q
is also zunächs e neu ein egulä es Bo el-Maÿ au
¯
Q
. Alle dings e laub das P o-
blem eine wei e gehende Analyse und Spezika ion on
µ¯
Q
, welche spä e du chge üh
wi d.
Die Exis enz meh e e lokal op imale Lösungen können wi nich ausschlieÿen, da es
sich um ein nich linea es, nich -kon exes P oblem handel . Nume isch beobach en wi
alle dings s e s eine eindeu ige Lösung. Jede Lösung, welche obige Annahme e üll , muss
Lösung de im Folgenden he gelei e en no wendigen Bedingungen sein.
3.4.1 No wendige Bedingungen
Die Lag ange-Funk ion ü das Rocke ca -P oblem aus Deni ion 3.2.1 lau e un e Au -
nahme de Endbedingungen mi
α, β ∈
R
( gl. Kap. 1.2.1)
L=J(y, u)−ZZ
QT −∆T−g(w2( ))q
d
x
d
−Z
Σ∂νT+T−TUq
d
s
d
−
Z0˙w1−w2p1
d
−
Z0˙w2−up2
d
+Z¯
Q
(T(x, )−T
max
)
d
µ¯
Q
(3.5)
+α w1( ) + β w2( ).
Fü die S eue ungsbesch änkungen we den dagegen keine Lag ange-Mul iplika o en ein-
ge üh . Sie we den s a dessen wie üblich mi de Fo de ung
u∈Uad
mi de kon exen
zulässigen Menge de S eue ungen
Uad
be ücksich ig . Die Theo ie de Op imie ung in
Banach-Räumen kann mi de a igen kon exen Bedingungen an die F eihei sg ade be-
kann lich seh geschick umgehen; die He lei ung de no wendigen Bedingungen e kü z
sich.
52 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Beweis:
Wähle ein solches
V
und denie e
VL:= V∩(0, on)
und
VR:= V∩( o , )
. Dies
is au g und Annahme 3.4.7 s e s möglich. Wi es en nun zue s die adjungie e PDE
(3.9) mi
ϕ(x, ) = ψ( )·ζ(x)
mi
ψ( )∈C∞
0(VL)
(sowie mi
0
o gese z au
[0, ]
)
und
ζ(x)≡1,∀x∈¯
Ω
. Wegen
ϕ(x, )∈C∞(¯
Q)
und
ϕ(x, 0) = 0
is dies eine zulässige
Tes unk ion. Wegen
µ|VL= 0
olg aus (3.9):
Z
VL
˙
ψ( )Z
Ω
q(x, )
d
x
d
+Z
VL
ψ( )ZΓ
q(s, )
d
s
d
= 0 ∀ψ( )∈C∞
0(VL).
Da
ξ( ) := RΩq(x, )
d
x
nach Lemma 3.4.3 zunächs nu in
L (VL)
is , be ach e man
Tξ(ψ) := RVLψ( )ξ( )
d
∀ψ( )∈C∞
0(VL)
als egulä e Dis ibu ion. Die dis ibu ionelle
Ablei ung
T˙
ξ
e üll
T˙
ξ(ψ) = −Tξ(˙
ψ) = −Z
VL
˙
ψ( )ξ( )
d
=Z
VL
ψ( )ZΓ
q(s, )
d
s
d
∀ψ( )∈C∞
0(VL)
und wi d dahe on
˙
ξ( ) = RΓq(s, )
d
s
e zeug . Nach Hil ssa z 3.4.12 is
˙
ξ( )∈C∞(¯
VL)
.
Folglich is
σVL= 0
und
ξ( ) = RΩq(x, )
d
x∈C∞(¯
VL)
.
Analog geh man au
VR
o und e häl
σ|VR= 0
sowie
RΩq(x, )
d
x∈C∞(¯
VR)
. Wähl
man in gleiche Kons ella ion dagegen
ψ( )∈C∞
0(V)
, so olg
Z
V
˙
ψ( )Z
Ω
q(x, )
d
x+Z
V
ψ( )ZΓ
q(s, )
d
s
d
=Z¯
R
ψ( )
d
µ( )∀ψ( )∈C∞
0(V).
Au g und Folge ung 3.4.10 gil be ei s
RΩq(x, )
d
x∈C∞(¯
R)
; dahe lassen sich die In-
eg ale au de linken Sei e au eilen und au jedem Abschni pa iell in eg ie en un e
Anwendung de Leibniz-Regel ü Pa ame e in eg ale. Es olg :
Z
VL
ψ( )σ( )
d
+Z
R
ψ( )σ( )
d
+Z
VR
ψ( )σ( )
d
+ψ( on)
Z
Ω
q(x, )
d
x

−
on
+
on
| {z }
=:%on
+ψ( o )
Z
Ω
q(x, )
d
x

−
o
+
o
| {z }
=:%o
=Z¯
R
ψ( )
d
µ( ),∀ψ( )∈C∞
0(V).
Wegen
σ|VL=σ|VR= 0
gil en sp echend
Z
R
ψ( )σ( )
d
+%on ψ( on) + %o ψ( o ) = Z¯
R
ψ( )
d
µ( ),∀ψ( )∈C∞
0(V).
Un e Ve kleine ung on
V
olg dies auch ü alle s e igen Funk ionen, da
C∞
0(V)⊂
C(¯
V2)
dich is ü ein
V2
oen mi
¯
R⊂V2
und
¯
V2⊂V
.
Wegen Folge ung 3.4.10 und Hil ssa z 3.4.12 is en sp echend
σ( )∈C∞(¯
R)
. Die Vo -
zeichenbedingungen olgen aus
µ( )≥0
.


3.4. THEORETISCHE BEHANDLUNG ALS OC-PDAE PROBLEM 53
Beme kung 3.4.14 (Sp ungbedingungen)
De Sa z lie e als Beip oduk die Sp ungbedingungen

Z
Ω
q(x, )
d
x

−
on
+
on
=%on ≥0,
Z
Ω
q(x, )
d
x

−
o
+
o
=%o ≥0.
(3.16)
Allgemein kann man aus
¯w2( )∈W1,∞(0, )
und (3.3a) olge n, dass
g0( ¯w2( )) ∈
W1,∞(Z)
ü jede Zusammenhangskomponen e
Z
on
 ∈(0, )¯w2( )6= 0
gil . We-
gen Annahme 3.4.8 und (3.7e) übe agen sich die Sp ungbedingungen dahe au
h˙p2i +
on
−
on
=g0( ¯w2( on)) ·%on ,h˙p2i +
on
−
o
=g0( ¯w2( o )) ·%o .
Sie sind das Analogon zu Sp ungbedingungen bei OC-ODE aus Kap. 1.
Beme kung 3.4.15
Die Da s ellung des Maÿes läss sich p oblemlos au inhomogene
Robin-Randbedingungen und Neumann-Randbedingungen übe agen. Di ichle -Rand-
bedingungen muss man dagegen sepa a angehen, da hie die gewähl e Tes unk ion nich
die dann nö ige Di ichle -Randbedingung einhäl .
Zusä zlich gil die olgende Knickbedingung analog zu [13]:
Lemma 3.4.16
Inne halb des Rands ückes gil
µ( ) = σ( ) = qxl
2
−, −qxl
2
+
, = 2 ·qxl
2
−, ∀ ∈R .
(3.17)
Beweis:
De Beweis läu analog zum elli pischen Fall in [13, Theo em 5]. Man denie
D:=
(l/4,3l/4)×R
. Das Rands ück
¯
R
enn
D
in die beiden oenen Mengen
DL:= (l/4, l/2)×
R
und
DR:= (l/2,3l/4) ×R
. Tes en de seh schwachen Fo m de adjungie en Glei-
chung (3.9) mi
ϕ(x, )∈C∞
0(D)
lie e ü alle
ϕ∈C∞
0(D)
:
Z
R
ϕl
2, 
d
µ( )−ZZ
D
ϕ q
d
x
d
=−ZZ
D
∆ϕ q
d
x
d
=−Z
R



l/2
Z
l/4
∆ϕ q
d
x+
3l/4
Z
l/2
∆ϕ q
d
x


d
=−Z
R



l/2
Z
l/4
∆q ϕ
d
x+
3l/4
Z
l/2
∆q ϕ
d
x


d
+Z
R
−[ϕxq]
l
2
−
l
2
++ [qxϕ]
l
2
−
l
2
+
d
.
Zule z wu de die e allgemeine e G eensche Fo mel e wende ; die le z e Gleichung is
dahe o e s dis ibu ionell zu e s ehen, da wi noch nich wissen, dass
∆q∈L2(Ω ×
R)
is . Auÿe dem is die einsei ige Spu
qx
in
x=l/2
noch nich e klä . Wie die
54 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Spu abbildungen konk e zu bilden sind, nde man in [24, Theo em 6.2]. Ein gleiches
Vo gehen au
DL
lie e o malen
Z
R
ϕl
2, 
d
µ( )−ZZ
DL
ϕ q
d
x
d
=−ZZ
DL
∆q ϕ
d
x ,
da hie die Rand e me e schwinden. Analoges Vo gehen au
DR
und Kombina ion die-
se d ei Gleichungen läss die e eil en Te me e schwinden, was dem Ve wenden de
homogenen PDE en sp ich . Nu die Rand e me bleiben s ehen. Un e Ve wendung de
passenden Spu abbildungen lau en diese ü das
m∈[1,2)
aus Lemma 3.4.3:
Z
R
ϕl
2, 
d
µ( ) = Z
Rql
2
+
, −ql
2
−, ϕx(l
2, )
d
+qxl
2
−, −qxl
2
+
, , ϕ(l
2, )W1/m,m0(R)∗,W1/m,m0(R)
.
Nun sieh man zum einen
q(l
2
+, ) = q(l
2−, )
.ü. au
R
, da
q∈L (0, ;W1,m(Ω))
in
O s ich ung nich sp ingen kann. Zum ande en olg
µ( ) = qxl
2
−, −qxl
2
+
, 
in
C(R)∗
. Höhe e Regula i ä lie e Sa z 3.4.13 wegen
µ( ) = σ( )
. Wei e hin is
q(x, )
oensich lich achsensymme isch zu
x=l/2
.

Folge ung 3.4.17
Die Kombina ion on Sa z 3.4.13 und Lemma 3.4.16 lie e
µ|R=
2qx(l/2, )∈Hk(R)∀k∈
N
. Dahe e hal en wi s ückweise eine klassische Lösung
q∈
C∞([ on +ε, o −ε]; B)∀0< ε < o − on
mi
B:=  ∈C(¯
Ω)  |[0,l/2] ∈C∞([0, l/2]) ,
|[l/2,l]∈C∞([l/2, l])
.
Beme kung 3.4.18
Die E gebnisse aus Sa z 3.4.13 lassen sich wie olg eino dnen: Man
wende die Lebesgue-Ze legung (Rudin [89, Theo em 6.9]) au das Maÿ
µ|¯
R
an, d.h. man
ze leg
µ|¯
R=: µ¯
R=µa+µs
in einen absolu -s e igen An eil
µa
und einen singulä en An-
eil
µs
. De egulä e An eil
µa
besi z nach dem Sa z on Radon-Nikodým (z.B. [89], [5])
eine
L1
-Dich e; wi wissen aus Sa z 3.4.13, dass
µs|R= 0
is und
µa|R=σ( )∈C∞(¯
R)
soga eine noch besse e Dich e besi z . Dami is de singulä e An eil au
∂[ on, o ] =
{ on, o }
konzen ie . Regulä e Bo el-Maÿe au isolie en Punk en sind abe bekann lich
s e s Di ac-Maÿe (Hil ssa z 3.4.19).
3.4.3 Analyse on Be üh punk en
Neben Rands ücken können lau unse e S uk u annahme auch Be üh punk e au e-
en. Au g und Annahme 3.4.7 sind solche Be üh punk e isolie und on Rands ücken
sepa ie . Das zugehö ige Maÿ lieg dahe au einem isolie en Punk o und is nach
olgendem Hil ssa z ein Di ac-Maÿ ( gl. auch Casas [23, Rema k 4]).
Hil ssa z 3.4.19 (Isolie e Punk e und Di ac-Maÿe)
Ein egulä es Bo el-Maÿ
µ∈ M¯
Q
, welches au eine einpunk igen Menge
{(x0, 0)}
konzen ie is mi
(x0, 0)∈Q
, is ein Di ac-Maÿ.
3.4. THEORETISCHE BEHANDLUNG ALS OC-PDAE PROBLEM 55
Beweis:
De Sach e hal des Hil ssa zes is bekann und e b ei e ; de Beweis lieg dem Au o
leide nich o , da e lau [22] in de Disse a ion on Edua do Casas [21] s eh . Zu
Volls ändigkei wi d e dahe e b ach : Sei
(x0, 0)∈Q
de Punk , in welchem das Maÿ
µ∈ M¯
Q
konzen ie is . Die Bo el-
σ
-Algeb a au
{(x0, 0)}
beinhal e nu die lee e
Menge und die gesam e Menge (den Punk ). Da Maÿe de lee en Menge s e s die
0
zuo dnen müssen, is ein Maÿ eindeu ig es geleg du ch
µ({(x0, 0)}) = c∈
R
. Dieses
Maÿ wi d mi Null o gese z zu einem egulä en Bo el-Maÿ au
¯
Q
. Es eich bekann lich,
ein Maÿ au einem du chschni s abilen E zeugendensys em de Bo el-
σ
-Algeb a au
¯
Q
zu denie en, wobei sich die Gesam hei alle oenen Mengen
A
anbie e . Man denie
also
(x0, 0)∈A⇔µ(A) = c ,
(x0, 0)6∈ A⇔µ(A)=0.
Das Maÿ is also ein
c
- aches des Di ac-Maÿes. Au oenen Mengen besi z das Maÿ
olglich eine Di ac-Dich e
µ(A) = ZZ
A
c·δ(x−x0)·δ( − 0)
d
x
d
.

Wi no ie en also
µ| j
c=%j
c·δ( − j
c), %j
c∈
R
,
(3.18)
d.h. jede Be üh punk lie e einen Di ac-Impuls. Insgesam lie e dami jede Schal -
punk einen Di ac-Impuls.
Un e Ausnu zung de Vo zeichenbedingungen aus (3.12) können wi das Maÿ olls ändig
cha ak e isie en:
µ( ) =
m
X
j=1
%j
cδ( − j
c) +
n
X
i=1
%i
on δ( − i
on) + %i
o δ( − i
o ) + σi( ),
(3.19)
µ¯
Q=µ( )·δ(x−l
2), %∗
∗∈
R
, %∗
∗≥0, σi( )∈C∞([ i
on, i
o ]) , σi( )≥0.
Beme kung 3.4.20 (Sp ungbedingungen bei einem Be üh punk )
Mi de Technik aus dem Beweis on Sa z 3.4.13 e häl man die Sp ungbedingung

Z
Ω
q(x, )
d
x

j,−
c
j,+
c
=%j
c≥0,⇔h˙p2i j,−
c
j,+
c
=g0( ¯w2( j
c)) ·%j
c.
(3.20)
3.4.4 Höhe e Regula i ä
Da die adjungie e PDE linea is , könn e man die einzelnen Fälle de Maÿze legung
supe ponie en und au diese Weise die Regula i ä on
q(x, )
cha ak e isie en. Ein Di ac-
Impulses lie e z.B. eine Fundamen allösung (siehe z.B. [35], [88]). Un e Anwendung
de in e sen Zei ans o ma ion (siehe Abschni 4.6.2) olg di ek das
56 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Lemma 3.4.21 (Fundamen allösung)
Sei
0< s<
. Die Lösung des ückwä sge ich e en An angswe p oblems
− −∆ =δ(x−xs)·δ( − s)
in
R
×(0, ),
(x, )=0 ∀x∈
R
,
is gegeben du ch
= Φ(x−xs, s− )
, wobei
Φ(x, )
die (mi Null o gese z e) Funda-
men allösung de Wä melei ungsgleichung is , d.h.
Φ(x, )∈C∞(
R
2 {(0,0)})
und
Φ(x, ) = 






1
√4π exp −x2
4 
ü
> 0,
n.d. ü
(x, ) = (0,0) ,
0
sons .
(3.21)
Nume isch läss sich dies in Abschni 3.6.2 dank dem Supe posi ionsp inzip ausnu zen,
um die Fundamen allösungen analy isch zu be echnen und so den Fehle zu eduzie en.
Konzen ie en wi uns jedoch au die Regula i ä en de es lichen Va iablen. Dazu sind
zunächs olgende Deni ionen nö ig:
Deni ion 3.4.22
Wi denie en die e schiedenen signikan en Abschni e de Zei -
skala:
N:=  ∈(0, )¯w2( ) = 0,
S:=  ∈(0, ) = i
on ∨ = i
o ∨ = j
c, i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m,
B:=  ∈[0, ]|u( )|=umax,
C:= (0, ) (B∪A).
Die Di ac-Maÿe sind also au die Schal zei en
S
konzen ie ;
C
is die Schni menge de
inak i en Mengen de S eue ungs- und Zus andsbesch änkungen.
Deni ion 3.4.23
Wi denie en die s ückweise gla en Funk ionen als
C∞
p,I([0, ]) := u∈L∞(0, )∃0 = 0< 1<··· < n= ∀k= 0, . . . , n −1 :
u|[ k, k+1]∈C∞([ k, k+1]) , I := { 1, . . . , n−1}.
I
bezeichne also die Menge de Knicks ellen. Is die Funk ion zusä zlich s e ig ode
s e ig die enzie ba , so sch eiben wi
C∞
c,I([0, ]) := C∞
p,I([0, ]) ∩C([0, ]) ,
C∞
d,I([0, ]) := C∞
p,I([0, ]) ∩C1([0, ]) .
Obwohl
q(x, )
in de Umgebung on
(l/2, s)
unbesch änk is ü alle
s∈S
, zeig das
O sin eg al on
q
s ückweise eine seh hohe Regula i ä : Das In eg al is s ückweise
gla und zeig Sp ungs ellen in
S
gemäÿ den Sp ungbedingungen.
3.4. THEORETISCHE BEHANDLUNG ALS OC-PDAE PROBLEM 57
Lemma 3.4.24
Es gil
Z
Ω
q(x, )
d
x∈C∞
p,S([0, ]) ∀ε > 0.
Beweis:
Zum einen lie e Hil ssa z 3.4.12
RΓq(s, )
d
s∈C∞([0, ])
. Zum ande en gil die Iden-
i ä
σ( ) := −RΩq (x, )
d
x+RΓq(s, )
d
s= 0
nach de Kons uk ion im Beweis on
Sa z 3.4.13 soga au
¯
Z
ü jede Zusammenhangskomponen e
Z
on
I
. Kombinie mi
dem bekann en Zusammenhang au Rands ücken olg das Resul a .

Folge ung 3.4.25
Insbesonde e is
RΩq(x, )
d
x∈L∞(0, )
und dahe
p2∈W1,∞(0, )
.
Die Lösungen on Op imals eue ungsp oblemen zeichnen sich o du ch eine höhe e Re-
gula i ä aus, als es die Zus andsgleichungen e wa en lassen. Aus den adjungie en Glei-
chungen lassen sich gg . Rückschlüsse au die Regula i ä de Zus ände ziehen. Im o -
liegenden Beispiel nden wi soga s ückweise eine seh hohe Regula i ä :
Lemma 3.4.26 (Höhe e Regula i ä de Zus ände au
C
)
Au jede Zusammenhangskomponen e
Z
on
C N
gil :
¯w2,¯u, p2∈C∞(¯
Z).
Beweis:
Gene ell gil
¯w2∈W1,∞(Z)
. Dahe gil diese Folge ungske e mi
m:= 1
:
¯w2∈Wm,∞(Z)¯w26=0
=⇒g0( ¯w2( )) ∈Wm,∞(Z)
Lemma
3.4.24
=⇒
(3.7e)
˙p2∈Wm,∞(Z) =⇒p2,¯u∈Wm+1,∞(Z).
Wegen
˙
¯w2=u
is abe dann
¯w2∈Wm+2,∞(Z)
. Induk ion übe
m
lie e
¯w2,¯u, p2∈
Wk,∞(Z)∀k∈
N
. Also liegen diese G öÿen insbesonde e in
Hk(Z)∀k∈
N
und
nach Anwendung on Sobolew-Einbe ungssä zen [5, Sa z 8.9] olg en sp echend
¯w2
,
¯u
,
p2∈Ck−1(¯
Z)∀k∈
N
.

Wi wissen be ei s, dass die gleiche Regula i ä inne halb on Rands ücken o lieg .
Dami is
¯u
s ückweise gla , auÿe au de ak i en Menge
B
de S eue ungsbesch änkung;
do gil
¯u=±umax
, d.h. die Da en legen die Regula i ä es . De p ak isch ele an e
Fall eine Maximalbeschleunigung
umax =
cons lie e dahe s ückweise gla e Lösungen:
Lemma 3.4.27
Gil soga
umax ∈C∞([0, ])
so olg
¯u∈C∞
c,S∪N∪∂B([0, ]) ,¯w2∈C∞
d,S∪N∪∂B([0, ]) ,
g( ¯w2( )) ∈C∞
c,S∪N∪∂B([0, ]) .

58 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Beweis:
Zunächs gil nach Folge ung 3.4.25
p2∈W1,∞(0, ),→C([0, ])
und dahe wegen
de P ojek ions o mel auch
¯u∈W1,∞(0, ),→C([0, ])
. Zusä zlich wissen wi be ei s
¯u∈C∞(¯
R)
ü jedes Rands ück aus 3.4.9. Wei e hin gil au jede Zusammenhangs-
komponen e
Z
on
B
en wede
¯u≡umax
ode
¯u≡ −umax
, in jedem Falle
¯u∈C∞(¯
Z)
.
Zusammen mi Lemma 3.4.26 olg
¯u∈C∞
c,S∪N∪∂B([0, ])
. Da au au bauend e wen-
de man
˙
¯w2=u
und (3.3a). Alle dings kann
g( ¯w2( ))
an
N
knicken, so dass wi nu
g( ¯w2( )) ∈C∞
c,S∪N∪∂B([0, ])
no ie en. Fü
N=∅
is en sp echend zusä zlich
g( ¯w2( )) ∈
C∞
d,S∪∂B([0, ])
.

Die Tempe a u e eilung is dann eben alls s ückweise egulä , alle dings müss e man
hie spezielle Räume abs ak e Funk ionen ein üh en, was zu wei ab üh .
Dies sind genau die Regula i ä en, mi welchen die nume ische Me hode im nächs en
Abschni zu kämp en haben wi d. Die op imale S eue ung knick also mi un e an allen
Randpunk en de ak i en Mengen de S eue ungs- und Zus andsbesch änkungen, sowie
am Umkeh punk (
¯w2= 0
). Zu den Zei en
N ∩ ˚
B
kann es e ne keine Knicke geben.
Zule z knüp en wi an den Beg i de O dnung eine Zus andsbesch änkung aus Kapi el
1 und 2 an. Ohne den Beg i de O dnung de Zus andsbesch änkung zu denie en,
e kennen wi be ei s eine wich ige Ta sache:
Beme kung 3.4.28 (Zu Zus andsbesch änkung)
1. Wi dü en nich ein ach beliebiges Ablei en und Einse zen anwenden. So gil
beispielsweise olgende Folge ungske e nich :
¯
T≡Tmax
au
A
Ablei en
=⇒¯
T −∆¯
T≡Tmax, −∆Tmax
Einse zen
=⇒
Tmax=
cons
g( ¯w2( )) ≡0.
Denn i.A. is
∆T(l/2, )6= ∆Tmax(l/2, )∀ ∈¯
R
. Genaue gil nach dem Beweis
on Sa z 3.4.9 au
A
:
g( ¯w2( )) = −
d
d
T2(l
2, )
. Diese ech e Sei e e schwinde
aus Ene giee hal ung nu im s a ionä en Fall (siehe auch die nume ischen Resul a e
[79]). Eine nach Sa z 3.4.9 e laub e Vo gehensweise is
¯
T≡Tmax
au
A
Ablei en
=⇒¯
T ≡Tmax,
Supe posi ion
=⇒
Tmax=
cons
g( ¯w2( )) + T2, (l/2, )
| {z }
=∆T2(l/2, )=∆T(l
2, )
≡0,
wobei wiede die Supe posi ion aus dem Beweis on Sa z 3.3.4 mi
T2∈C∞(Q)
e wende wi d. Man da also au niede dimensionalen An eilen de ak i en Menge
nich beliebige Ablei ungen de Zus andsbesch änkung bilden, sonde n nu dem
P oblem angepass e. Iden i ä en au egulä en
C1
-Ku en da man eben nu o al
nach dem Ku enpa ame e die enzie en.
2. Die Zus andsbesch änkung leg au
A
die G öÿen
w2
und
u
es . Die G öÿen
w1
und
T
sind aus Lösung ih e Zus andsgleichung zu bes immen.
Wenden wi uns nun den Lösungsme hoden zu. Beginnen wi mi den di ek en Ve ah en.
3.5. DIREKTE VERFAHREN 59
3.5 Di ek e Ve ah en
Da in Kap. 3 und 4 au g und e schiedene An o de ungen auch un e schiedliche di ek e
Ve ah en en wickel we den, gib de olgende Abschni zunächs einen Übe blick übe
die möglichen Va ian en di ek e Ve ah en.
3.5.1 Übe sich di ek e Ve ah en
Bei di ek en Ve ah en we den das Ziel unk ional und die Nebenbedingungen disk e isie
und einem Op imie e (NLP-Sol e ) übe geben. Dabei is eine wich ige En scheidung zu
een: Ve wende man die olle ode die eduzie e Fo mulie ung?
Bei de ollen Fo mulie ung sind die S eue ungen und die Zus ände Op imie ungs a ia-
blen. Die Zus andsgleichungen we den oll disk e isie und dem Op imie e als Nebenbe-
dingungen übe geben. Bei diese ollen Disk e isie ung we den die Zus andsgleichungen
in Zei und O disk e isie und in einem g oÿen Gleichungssys em gesammel . Dieses
Gleichungssys em wi d dem Op imie e als Nebenbedingung übe geben.
Bei de eduzie en Fo mulie ung e häl de Op imie e nu die wi klichen F eihei sg ade
 die S eue ungen  als Op imie ungs a iablen. Die Ziel unk ion wi d als Un e unk ion
übe geben, welche in e n die Zus andsgleichungen lös , das Ziel unk ional auswe e und
nu Le z e es zu ückgib . Die eduzie e Fo mulie ung kann die Zus andsgleichungen in-
ne halb de Un e unk ion zum einen aus de ollen Disk e isie ung lösen, d.h. das g oÿe
Gleichungssys em wi d gelös . Bei An angswe p oblemen ode An angs andwe p oble-
men gib es abe eine ezien e e Al e na i e: Die sch i weise In eg a ion in de Zei .
Nach eine Semidisk e isie ung im O wi d das Sys em hie sch i weise in de Zei ge-
lös  mi passenden Einzelsch i - ode Meh sch i e ah en.
Die olle Fo mulie ung ha den Vo eil, dass sich eine Zus andsbesch änkungen und
gemisch e S eue ungs-Zus andsbesch änkungen be ücksich igen lassen. Im Gegenzug a -
bei e man mi meh Op imie ungs a iablen, so dass nu P obleme ge inge Dimension
behandel we den können. Das Anwendungsp oblem de B enns ozelle in Kap. 4 lösen
wi  in Abwesenhei on Zus andsbesch änkungen  dahe mi de eduzie en Fo mu-
lie ung und de sch i weisen In eg a ion. Dies e weis sich als seh ezien bzgl. des
Rechen- und Speiche au wands.
3.5.2 Di ek e Ve ah en ü das Rocke ca -P oblem
Da das Rocke ca -P oblem jedoch eine ge inge Dimension ha , e laub uns die olle Fo -
mulie ung eine Be ücksich igung de Zus andsbesch änkungen. Wi disk e isie en in
x
und
und sammeln alle Gleichungen in einem g oÿen Gleichungssys em. In diesem Fall
läss sich die Zus andsbesch änkung kanonisch als punk weise Ungleichungsnebenbedin-
gung einbauen.
Als P og ammie umgebung wählen wi die Modellie ungssp ache
Ampl
[1], da wi au
diese Weise on e s en und zwei en analy ischen Ablei ungen p o ie en. Wi lösen das
P oblem also mi
Ampl
in Kombina ion mi einem NLP-Sol e . Wi en scheiden uns hie
ü das gängige und kos enlos e ügba e
Ipop
[100], eine enommie e open-sou ce So -
wa e.
4
4
Ipop
gewann 2011 den J. H. Wilkinson P ize o Nume ical So wa e.
60 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
Die E gebnisse des di ek en Ve ah ens nde man in unse en A bei en [79], [101], so-
wie in Abschni 3.7. Je nach Da en
(w0,˙w0, umax, Tmax)
beobach en wi dabei genau
zwei e schiedene Fälle on ak i en Mengen. En wede i ein Rands ück au , ode ein
Be üh punk ge olg on einem Rands ück. Mi diesem Vo wissen können nun indi ek e
Ve ah en de Op imals eue ung en wickel we den:
3.6 Indi ek e Ve ah en
Ein indi ek es Ve ah en ü ein ins a ionä es PDAE-Sys em mi Zus andsbesch änkun-
gen au zuse zen is eine an o de nde Au gabe. Beim Rocke ca wissen wi ap io i be ei s
aus den Sä zen übe die S uk u de ak i en Menge, dass ein Linienmaÿ au e en wi d.
Dieses is in de Me hode eend au zulösen. Auch die eie Endzei is eend zu be-
handeln.
In einem e s en Sch i is de O s-Zei -Zylinde
Q
passend zu un e eilen, um das Lini-
enmaÿ an den Rand de Teilgebie e zu legen. Im o liegenden P oblem bedeu e dies, dass
man das KKT-Sys em au de ech en Häl e
QR:= (0,l
2)×(0, )
sowie au de linken
Häl e
QL:= ( l
2, l)×(0, )
sepa a be ach e und dazwischen Übe gangsbedingungen
denie . Beim Rocke ca kann man zei gleich die Symme ie ausnu zen, so dass gene ell
nu eine de beiden Häl en zu lösen is : In [80] haben wi gezeig , dass die Lösung de
PDE des P oblems 1 achsensymme isch zu
x=l/2
is . Dies übe äg sich oensich lich
au den adjungie en Zus and
q
bis au die Ta sache, dass e in
x=l/2
knick . Beach e
man dies sepa a , kann man das KKT-Sys em au den halben O s-Zei -Zylinde
QR
eduzie en:
T −∆T=g(w2( )) ,−q −∆q= 0
in
QR,
(3.22a)
∂νT(0, ) + T(0, )=0, ∂νq(0, ) + q(0, )=0
au
(0, ),
(3.22b)
∂νT(l/2, )=0, ∂νq(l/2, ) = 1
2µ( )
au
(0, ),
(3.22c)
T(x, 0) = 0 , q(x, )=0
in
Ω,
(3.22d)
˙w1=w2,˙w2=u
au
(0, ),
(3.22e)
w1(0) = w0, w1( )=0,
(3.22 )
w2(0) = ˙w0, w2( )=0,
(3.22g)
−˙p1= 0 ,−˙p2=p1+ 2 g0(w2( )) Zl/2
0
q(x, )
d
x
au
(0, ),
(3.22h)
0 = 1 + λ
2u2( ) + u( )p2( ),
(3.22i)
T(x, )≤T
max
in
¯
QR,
(3.22j)
¯u=PU
ad
−1
λp2,
(3.22k)
0 = ZZ
¯
QR
[T(x, )−Tmax]
d
µ¯
Q, µ ¯
Q≥0.
(3.22l)
3.6. INDIREKTE VERFAHREN 61
3.6.1 T ans o ma ion au ein Meh punk -An angs andwe p oblem
Ziel is es, das Maÿ ähnlich zu den Me hoden aus Kapi el 1 eend au zulösen. Man
s ell dahe eine Hypo hese an die ak i e Menge analog zu OC-ODE: Eine Schal ol-
ge wi d o gegeben, d.h. die Anzahl und Reihen olge de Be üh punk e und Rands ücke
wi d es geleg . Anschlieÿend we den die KKT-Bedingungen in Analogie zu OC-ODE als
Meh punk -An angs andwe p oblem o mulie . Die Di ac-Maÿe we den du ch Sp ung-
bedingungen und ih e analy isch gegebenen Fundamen allösungen e se z (welche bei
OC-ODE ein ache Sp ung unk ionen wa en, siehe Abschni 1.2.2).
Dann e such man das KKT-Sys em s ückweise in de Zei zu lösen. Finde man eine
Lösung, so wa die Annahme ich ig. Wi haben einen KKT-Punk ge unden. Finde man
keine Lösung, so e ände man die Hypo hese und s a e neu. Gu e S a schä zungen
gewinn man bei OC-ODE en wede au g und on Homo opie-Me hoden [20] (sch i wei-
ses Absenken de obe en Sch anke de Zus andsbesch änkung) ode anhand on E geb-
nissen aus di ek en Ve ah en. Beides üh beim Rocke ca je nach Pa ame e auswahl
en wede au die Schal olge Be üh punk  Rands ück ode au ein einzelnes Rands ück.
Exempla isch wi d im Folgenden ein Meh punk -An angs andwe p oblem ü den Fall
eines Rands ückes he gelei e we den, d.h.
A=¯
R= [ on, o ]
 da diese Fall in den
S udien des di ek en Ve ah ens am häugs en au i . Das zugehö ige Linienmaÿ lau e
µ( ) = %on δ( − on) + %o δ( − o ) + σ( )
. Die beiden Schal zei en
on
,
o ∈
R
sowie
die Sp unghöhen
%on
,
%o ∈
R
und die Funk ion
σ( )∈C∞([ on, o ])
e en als wei e e
Unbekann e im au ge eil en KKT-Sys em au . Die Gleichungen (3.22j), (3.22l) we den
analog zu Kap. 1 e se z du ch
T(l/2, ) = Tmax
ü
∈ A = [ on, o ],
(3.23a)
T(l/2, )< Tmax
ü
∈(0, ) A,
(3.23b)
µ( ) = %on δ( − on) + %o δ( − o ) + σ( ),
(3.23c)
%on , %o >0, σ( )≥0,
(3.23d)
σ( ) = 0
ü
∈(0, ) A.
(3.23e)
Die Bedingungen (3.23b), (3.23d) we den e s a pos e io i gep ü zu Ve ika ion de
S uk u annahme.
Es bie e sich an, das Meh punk -An angs andwe p oblem kombinie mi eine T ans-
o ma ion au es e Schal zei en umzuse zen. Dadu ch kann die ak i e Menge wesen lich
genaue au gelös we den, wodu ch insgesam besse e E gebnisse e ziel we den können.
Dahe eil man die Zei skala zue s in d ei Be eiche
[0, on]
,
[ on, o ]
,
[ o , ]
au und
beleg jede G öÿe an den Nah s ellen doppel (linke und ech e We ). Die d ei Be eiche
we den im Folgenden mi I, II, und III numme ie . S e igkei s- und Sp ungbedingungen
üg man als zusä zliche Gleichungen in das Sys em ein. Zusä zlich wi d jeweils au es e
Zei en ans o mie . Die Zei ans o ma ion on Sei e 38 is hie zu zu e allgemeine n
au eine s ückweise linea e T ans o ma ion au die Zei in e alle
[0, a]
,
[a, b]
bzw.
[b, c]
68 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
q q
τ
τx
x
Abbildung 3.4: Disk e e Schä zung on
q(x, τ)
aus dem di ek en Ve ah en. Rech s: Zoom
au den mi le en An eil.
N= 21
,
n = 3000
, nu jede 40. Zei sch i is da ges ell .
sensi i bzgl. de Zei disk e isie ung. Die U sache nde man in Abb. 3.5: Au g und de
hohen S eigung de Ku e üh en be ei s kleine Disk e isie ungs ehle in
on
zu g oÿen
Fehle n in de Sp unghöhe
%on
. Im Gegensa z dazu kann
%o
als Sp ung zwischen zwei
nahezu kons an en Funk ionen seh gu bes imm we den.
n %on %o N p1p2( ) on o
51 0.322 1.112 5.347 11 −0.6455 1.051 2.511 3.728 5.357
201 0.543 1.115 5.354 21 −0.6455 1.051 2.512 3.728 5.357
1001 0.592 1.116 5.356 41 −0.6455 1.051 2.512 3.728 5.357
3001 0.601 1.116 5.357
5001 0.603 1.116 5.357
Tabelle 3.2: Skala e G öÿen aus
Ipop
bei e schiedenen Disk e isie ungen. Links:
N=
11
Linien und e schiedenen Zei disk e isie ungen. Rech s:
n = 3000
Zei punk e und
e schiedene O sdisk e isie ungen.
ττ
u0(τ)/ σ(τ)
Abbildung 3.5: Links:
u0(τ)/
: Die Sp unghöhen
%on
,
%o
lassen sich ablesen. Rech s:
σ(τ)
aus (3.17).
N= 11
,
n = 3000
.
Das Linienmaÿ
σ( )
wi d nich di ek ausgegeben, sonde n is aus dem No malenablei-
ungssp ung in
qx(l/2, )
zu be echnen, siehe Abb. 3.5. Auÿe an den beiden Schal zei en
e kenn man eine beliebig gla e Funk ion in Übe eins immung mi Sa z 3.4.13. Die Vo -
zeichenbedingung is e üll .

3.7. NUMERISCHE EXPERIMENTE 69
Be ach en wi die wei e en no wendigen Bedingungen bei
N= 11
und
n = 3000
.
Die disk e en p imalen und dualen Va iablen aus
Ipop
e üllen die T ans e sali ä sbe-
dingung seh gu : Es e gib sich
H( ) = −5.5·10−4
. Ebenso klein is das Residuum
de Feedback-Fo mel (3.13) au de ak i en Menge, siehe Abb. 3.6. Zule z p ü en wi
die Massda s ellung in Abb. 3.7. Links sieh man das Linienmaÿ
σ(τ)
einmal aus de
Massda s ellung (3.15) und einmal aus dem No malenablei ungssp ung on
q
in (3.17).
Das zwei e Bild zeig die Die enz. Im Inne en des Rands ückes is die Fo mel seh gu
e üll . An den Schal punk en komm es zu Ungenauigkei en, da die Fundamen allösun-
gen bei nu
N= 11
O spunk en nich genau genug au gelös we den.
ττ
Abbildung 3.6: Residuum de Feedback-Fo mel (3.13). Rech s: Zoom au die ak i en
Zei en, zu denen die Fo mel gel en soll.
N= 11
,
n = 3000
.
ττ
σ1
σ2
Abbildung 3.7: Links: Linienmaÿ
σ(τ)
zum einen als
σ1
aus de Massda s ellung (3.15),
zum ande en als
σ2
aus dem No malenablei ungssp ung in
q
aus (3.17). Rech s: Die enz.
N= 11
,
n = 3000
.
Das di ek e Ve ah en lie e gu e E gebnisse in ku zen Rechenzei en. Vo allem die p i-
mä en Va iablen e weisen sich als obus gegenübe den Fehle n in den Schal zei en.
Einige duale Va iablen zeigen jedoch Ungenauigkei en an den Schal punk en, da die-
se au dem es en, äquidis an en Gi e nich exak au gelös we den können und da
die Fundamen allösungen nich exak behandel we den. Diese beiden P obleme lassen
sich mi den o ges ell en indi ek en Me hoden aus Abschni 3.6 lösen, was jedoch den
Rahmen diese A bei sp eng .
70 KAPITEL 3. DAS ROCKETCAR
3.7.2 Das C ank-Nicolson-Ve ah en und Zus andsbesch änkungen
Un e gleichbleibendem Au wand läss sich die O dnung des Disk e isie ungs e ah ens
in de Zei bekann lich e höhen, indem man s a dem implizi en Eule -Ve ah en au
das C ank-Nicolson-Ve ah en ums ell . Le z e es weis jedoch ge ade im Zusammen-
hang mi Zus andsbesch änkungen einen Nach eil au , welche zu be ücksich igen is :
Disk e isie man inne halb des di ek en Ve ah ens die Wä melei ungsgleichung mi
dem C ank-Nicolson-Ve ah ens, so zeigen einige duale Va iablen egelmäÿige Oszilla io-
nen. In Abb. 3.8 nde man
σ(τ)
aus dem No malenablei ungssp ung in
qx(l/2, τ)
bei
beiden Ve ah en. De olgende Abschni lie e die E klä ung diese Oszilla ionen.
CNV
Eule
σ(τ)
τ
CNV
Eule
σ(τ)
τ
Abbildung 3.8: Rekons uk ion on
σ(τ)
aus dem No malenablei ungssp ung in
q
. Blau:
Implizi es Eule -Ve ah en. Magen a: C ank-Nicolson-Ve ah en. Rech s: Zoom.
Das C ank-Nicolson-Ve ah en weis bei uns e igen ode nich die enzie ba en An angs-
bedingungen bekann lich Oszilla ionen au , da es zwa A-s abil, abe nich s a k A-s abil
is ([62, p. 319]). Dahe is es zu dämp en. Ein solches gedämp es C ank-Nicolson-
Ve ah en e eich man übe die sogenann e Rannache -Glä ung, welche in de Fi-
nanzma hema ik s a k e b ei e is ([91], [85]). Bei de Rannache -Glä ung we den die
e s en beiden Sch i e du ch jeweils zwei Sch i e des implizi en Eule -Ve ah ens e se z ,
siehe auch [43].
Die adjungie e PDE besi z au g und de Zus andsbesch änkung meh e e Zei en, an
welchen das C ank-Nicolson-Ve ah en zu oszillie en beginn . Beim Rocke ca sind dies
genau die Schal zei en. Bei indi ek en Ve ah en sind dahe die Zei sch i e o den
Schal zei en anzupassen.
Bei di ek en Ve ah en ha man alle dings keinen Zug i au die Disk e isie ung de ad-
jungie en Gleichungen. Ve wende man ü die Zus andsgleichung das C ank-Nicolson-
Ve ah en, so haben wi in Abb. 3.8 gesehen, dass duale Va iablen des di ek en Ve ah ens
nich gegen die kon inuie lichen Va iablen kon e gie en müssen. Im o liegenden Beispiel
ha dies nu wenige Auswi kungen au die Lösung des di ek en Ve ah ens: Die ela i e
Abweichung in de
L2
-No m on
w1
,
w2
,
p2
bei den beiden Va ian en is jeweils kleine
als
3·10−4
. En scheidend wi d de Un e schied jedoch, wenn die Mul iplika o en wei e -
e wende we den, z.B. als S a schä zung ü ein indi ek es Ve ah en.
3.8. ZUSAMMENFASSUNG 71
Fü den allgemeinen Fall empehl es sich dahe , die Kon e genz de disk e en gegen die
kon inuie lichen dualen G öÿen siche zus ellen. Fü di ek e Ve ah en mi dem C ank-
Nicolson-Ve ah en un e Zus andsbesch änkungen is dahe be ei s die Zus andsglei-
chung di ek o den Schal zei en mi de Rannache -Glä ung zu e sehen ([91], [102]).
Da man die Lage de Schal punk e nich kenn , is das P oblem zunächs mi dem im-
plizi en Eule -Ve ah en zu lösen. Die da aus e hal enen Nähe ungen de Schal punk e
lassen sich zum einen zu Rannache -Glä ung nu zen, zum ande en zu angepass en
pseudoadap i en Gi e n. Du ch Le z e es we den die Schal zei en genaue au gelös ,
wodu ch die Genauigkei de E gebnisse ges eige wi d.
Bei indi ek en Ve ah en übe die Fo mulie ung als Meh punk -An angs andwe p oblem
läss sich die Rannache -Glä ung dagegen kanonisch einbauen, da die Lage de Schal -
zei en dank de T ans o ma ion 3.24 bekann sind.
3.8 Zusammen assung
Das Rocke ca is ein OC-PDAE mi eine ein zei abhängigen S eue ung und eine eien
Endzei . Die ak i e Menge leb au eine Linie. Un e eine bei OC-ODE üblichen S uk-
u annahme an die ak i e Menge kann diese nu aus Be üh punk en und Rands ücken
bes ehen. Beide Fälle e lauben eine de aillie e heo e ische Analyse. Im ela i en Inne-
en des Rands ückes nde man seh hohe Regula i ä en. De Lag ange-Mul iplika o
de Zus andsbesch änkung läss sich in Folge dessen olls ändig cha ak e isie en: E is
s ückweise gla und zeig nu an den Schal punk en Di ac-Impulse. Do e en dahe
u.a. Fundamen allösungen de adjungie en Wä melei ungsgleichung au . Au g und de
explizi en Maÿda s ellung lassen sich Sp ungbedingungen iden izie en, ähnlich zu den
bekann en Sp ungbedingungen aus OC-ODE.
Nach eine S uk u annahme an die ak i e Menge läss sich das KKT-Sys em als Meh -
punk -An angs andwe p oblem o mulie en. Dank de T ans o ma ion au es e Schal -
zei en liegen diese s e s au dem Gi e , weshalb die ak i e Menge exak au gelös we den
kann. Zusä zlich e laub die Ve wendung on Fundamen allösungen und on Sp ungbe-
dingungen die exak e Auösungen des singulä en An eils des Linienmaÿes. Als nächs e
Sch i is eine de o geschlagenen Meh punk -ARWP-Sol e umzuse zen.
Mi ge inge em P og ammie au wand läss sich das Rocke ca -P oblem mi eine di-
ek en Me hode mi els
Ampl
und
Ipop
lösen, welche sich als seh ezien e weis .
Dank analy ische e s e und zwei e Ablei ungen e geben sich ku ze Rechenzei en und
gu e E gebnisse. Das OC-PDAE läss sich soga un e Zus andsbesch änkungen lösen.
Anhand de disk e en Schä zungen de dualen Va iablen wi d gezeig , dass die no wen-
digen Bedingungen e üll sind. Lediglich das Linienmaÿ zeig lokal um die Schal punk e
auällige Fehle . Bei Ve wendung des C ank-Nicolson-Ve ah ens is dabei Vo sich ge-
bo en: Es is zu dämp en, da ande n alls die disk e en Schä zungen de dualen Va iablen
zu Oszilla ionen neigen und dahe nich gegen die kon inuie lichen dualen Va iablen kon-
e gie en.
Das di ek e Ve ah en e wende alle dings die olle Disk e isie ung, weshalb die An-
wendba kei au g oÿe Anwendungsp obleme aglich is . Dahe we den im nächs en Ka-
pi el nume ische Me hoden ü hochdimensionale P obleme en wickel .
Kapi el 4
Op imale S eue ung on
Schmelzka bona -B enns ozellen
Das olgende Kapi el widme sich de Lösung eines komplexen Op imals eue ungsp o-
blems aus den Anwendungen mi els indi ek en und di ek en Me hoden. Die P oblems el-
lung en s and in eine in e disziplinä en A bei sgemeinscha aus Ingenieu en und Ma-
hema ike n im Rahmen des BMBF-P ojek es Op imie e P ozess üh ung on B enn-
s ozellen-Sys emen mi Me hoden de Nich linea en Dynamik im Zei aum 2002 - 2005,
siehe Sundmache , Kienle, Pesch e al. [94].
Nach eine Ein üh ung in das Anwendungsgebie beschä ig sich Abschni 4.2 zunächs
mi de Modellie ung und eine passenden Disk e isie ungs- und Lösungsme hode de
Zus andsgleichungen, welche ein PDAE-Sys em o men. In Abschni 4.3 wi d das Op-
imals eue ungsp oblem denie . Anschlieÿend we den die no wendigen Bedingungen
e s e O dnung mi els de o malen Lag ange-Technik he gelei e und disku ie . In de
Folge we den indi ek e Ve ah en de Op imals eue ung ü das o liegende OC-PDAE
en wickel . Am ezien es en e weis sich ein Quasi-New on-Ve ah en mi BFGS-Upda e
und kubische Liniensuche. Wi schlieÿen mi nume ischen Expe imen en und einem Ve -
gleich de Me hoden.
Die Abschni e 4.2, 4.3, 4.5 und Anhang A besch eiben Teile de einbezogenen A bei
Rund und Chudej [90]. Zusä zlich nde man in [90] Simula ionse gebnisse und Fehle -
s udien zu dem in Abschni 4.2 besch iebenen Zus andssol e , welche in diesem Kapi el
nich wiede hol we den.
Die Abschni e 4.4, 4.6, 4.7.3 und Anhang B sind dagegen alleinig im Rahmen diese
Disse a ion en s anden.
Im Rahmen dieses Kapi els ha de Au o un e
Ma lab
ein P og ammpake on ca.
5.000-10.000 Code-Zeilen en wickel , au welches in de Kü ze de A bei nich eingegan-
gen we den kann. Lediglich die Auswahl de Algo i hmen wi d besch ieben.
4.1 Hin e g ünde zu B enns ozellen
Die e s e E o schung und Nu zung on B enns ozellen geh au mili ä ische Einsa zge-
bie e o allem in U-Boo en und au die Raum ah zu ück, Be eiche in denen Kos en o
eine un e geo dne e Rolle spielen. Die hohen E wa ungen, welche man in die Ene giebe-
73

74 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
ei s ellung du ch B enns ozellen leg , beg ünden sich mi dem um assenden Po en ial,
mi diese Technologie wei e Be eiche de Ene giebe ei s ellung zugleich zu e o mie en.
B enns ozellen können s a ionä und mobil eingese z we den. Bei dem mobilen Einsa z
s ellen neben de Ezienz auch die G öÿe und das Gewich de Anlage sowie die Spei-
che ung des B enns oes besonde e Aspek e da . Ein wich iges s a ionä es Einsa zgebie
is die dezen ale K a -Wä me-Kopplung (KWK). Sie e sp ich Ene gieeinspa ungen
und Emissionsminde ungen. So nu z man in Blockheizk a we ken S om und Abwä me
eine B enns ozellenanlage und e eich dami Gesam -Wi kungsg ade bis ca.
90%
[94].
In de Knallgas eak ion usionie Wasse s o und Saue s o explosionsa ig un e ei
we dende Ene gie zu Wasse . Eine e gleichba e Reak ion läu in de B enns ozelle
ab, jedoch nich explosionsa ig sonde n langsam und kon ollie . Die beiden Teil e-
ak ionen, Oxida ion des B enns oes un e Abgabe on Elek onen und Reduk ion des
Oxida ionsmi els un e Au nahme on Elek onen, nden äumlich ge enn s a . De
Elek onens om zwischen diesen beiden Sys emen is ü äuÿe e Las en nu zba : Die
B enns ozelle s ell elek ische Ene gie be ei .
4.1.1 Typen on B enns ozellen
Man un e scheide e schiedene A en on B enns ozellen, welche sich in ih e Be-
iebsa und dami in ih em Anwendungsbe eich s a k un e scheiden. Fü den mobilen
Einsa z gib es die Niede empe a u -B enns ozellen. Zu den Niede empe a u -B enn-
s ozellen gehö en die alkalische B enns ozelle (Alkaline Fuel Cell, AFC) und zwei
Typen de Polyme -Memb an-B enns ozelle (Polyme Exchange Memb ane Fuel Cell,
PEMFC, Di ec Me hanol Fuel Cell, DMFC). Die his o ische Vo ei e olle spiel die
AFC, welche schon in Apollo-Missionen, in Space Shu les und in U-Boo en de deu -
schen Ma ine zum Einsa z kam.
Im mi le en Tempe a u be eich on
200◦
C lau en die sogenann en Phospho säu e-B enn-
s ozellen (Phospho ic Acid Fuel Cell, PAFC), benann nach ih em Elek oly . Als
Hoch empe a u -B enns ozellen bezeichne man zum einen die Schmelzka bona -B enn-
s ozelle (Mol en Ca bona e Fuel Cell, MCFC) mi eine Be iebs empe a u on ca.
650◦
C, zum ande en Fes oxid-B enns ozellen (Solid Oxide Fuel Cell, SOFC), welche bei
800 −1000◦
C a bei en. Hoch empe a u -B enns ozellen zeichnen sich du ch die höch-
s en Wi kungsg ade aus. Alle dings e o de n die hohen Tempe a u en g oÿe Sys emaus-
dehnungen, weshalb sie sich besonde s zum s a ionä en Einsa z eignen.
4.1.2 Die Schmelzka bona -B enns ozelle (MCFC)
Schmelzka bona -B enns ozellen se z man in Kleink a we ken ode zu dezen alen
Wä me- und Ene gie e so gung ein. Die MCFC p o ie on ih em hohen Wi kungs-
g ad, ih en schads oa men Emissionen und de Flexibili ä in de A des B enns oes.
Alle dings eagie en Schmelzka bona -B enns ozellen-Anlagen nu langsam au e än-
de e An o de ungen und eignen sich dahe p imä zu Deckung de G undlas en. Beim
Hoch- und He un e ah en de Anlage is äuÿe s e Vo sich gebo en, da hie bei alsche
S eue ung Ma e ialko osionen du ch die Bildung on Ho spo s d ohen, welche zu
g oÿen nanziellen Schäden üh en können [94].
4.2. DAS MODELL UND SEINE NUMERISCHE LÖSUNG 75
Blockheizk a we ke mi eine MCFC-Einhei we den z.B. on zwei Fi men he ges ell .
Zum einen gib es das Ho module de Fi ma
MTU Onsi e Ene gy Fuel Cell Sys ems
bzw. de übe geo dne en
Tognum AG
mi Si z in F ied ichsha en. Neue e Anlagen dieses
Typs s ehen lau He s elle angaben z.B. sei 2009 bei de B aue ei E dinge Weiÿb äu,
sei 2009 am Uni e si ä sklinikum Gieÿen, sei 2010 beim Au omobilzulie e e Reich
GmbH ode sei No embe 2010 in de Heizzen ale G ünau in Zü ich-Al s e en (Elek-
izi ä swe k de S ad Zü ich). Alle dings is die Se ienp oduk ion de Anlage kü zlich
geschei e , da de asia ische Koope a ionspa ne am 28.12.2010 om P ojek abge-
sp ungen wa [3]. P oduzie und e ma k e we den ähnliche Anlagen auch om ame i-
kanischen, NASDAQ-gelis e en Konku en en
FuelCell Ene gy
.
Das Modell, welches wi im nächs en Abschni au g ei en we den, be ücksich ig alle
wesen lichen Eek e, welche inne halb eine MCFC ablau en. Zusä zlich wu den die Pe-
iphe ie sowie die Füh ung de Gass öme des Ho module abgebilde . Das Modell wu de
kalib ie und e izie an einem Ho module de
IPF Heizk a we ksbe iebsgesellscha
mbH
Magdebu g [45].
Das He z des Ho module bilde ein S apel aus ca. 300 Schmelzka bona -B enns ozellen,
welche jeweils eine Fläche on
0.8m2
au weisen [94]. Das Ho module ha eine Leis ung
ab 250 kW au wä s und e eich dabei einen elek ischen Wi kungsg ad on ca.
50%
;
mi Nu zung de Abwä me gib de He s elle soga e eichba e Gesam wi kungsg ade
on ca.
90%
an [94].
4.2 Das Modell und seine nume ische Lösung
Aus dem S apel de Schmelzka bona -B enns ozellen wi d eine mi le e Zelle he aus-
geg ien und modellie . Die e schiedenen Schich en de Zelle we den au g und ih e
e gleichsweise ge ingen Dicke zweidimensional modellie . Die einzelnen Schich en in e -
agie en mi einande in Rich ung de d i en Dimension. Das olls ändige Modell nde
sich in den Disse a ionen on Heideb ech [51] und S e nbe g [93]. Es lieg in e schie-
denen Komplexi ä en o , so dass eine Hie a chie on Modellen zu Ve ügung s eh .
Um das Modell ü indi ek e Me hoden de Op imals eue ung on PDAE-Sys emen zu-
gänglich zu machen und um die Hie a chie zu e wei e n, eduzie en wi das Modell in
Rund und Chudej [90] au ö lich eindimensional. Da ein K euzs om-Modell wie in [51]
in 1D nich in F age komm , en scheiden wi uns au bauend au E kenn nissen aus [93]
ü das Gegens om-Modell, d.h. die beiden Gass öme lau en in en gegengese z e Rich-
ung. Wi besch eiben nun ku z das Modell. Meh Einzelhei en zu Modellie ung nde
de Lese in den A bei en [51, 93].
Abb. 4.1 zeig schema isch den Au bau de MCFC. Als O skoo dina e wählen wi
z∈[0,1]
, und lassen das Anodengas on links nach ech s s ömen; das Ka hoden-
gas s öm olglich on
z= 1
nach
z= 0
. Die Zei wi d mi
∈[0, ]
bezeichne , de
O s-Zei -Zylinde mi
Q:= (0,1) ×(0, )
.
Das He z de B enns ozelle bes eh aus einem Gal anischen Elemen . Die beiden Elek-
oden sind ge enn on einem speziellen Elek oly (Index e bzw. s), welche nu
Ca bona -Ionen
CO2−
3
passie en läss . S om wi d p oduzie , wenn die Anode mi Was-
se s o und die Ka hode mi Saue s o e so g we den. Dazu dienen die angeleg en
Gaskanäle. De Anodengaskanal (Index a) wi d mi einem Gemisch aus
CH4
und
H2O
76 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
( e 1,2)
(ox1,2)
( ed)

-
CH4,H2O(,H2)
Gaszulei ung
Ablu
ϑa,in( )
χa,in( )
γa,in( )
χa,ou ( )
γa,ou ( )
ϑa,ou ( )
Gas ück üh ung
ϑc,ou ( )
,
χc,ou ( )
,
γc,ou ( )Rback( )
χm( )
,
γm( )
,
ϑm( )
-

H2O,CO2,CO(,CH4,H2)
O2,CO2,H2O,N2
λai ( )
ϑai ( )
N2
O2
χb( )
γb( )
ϑb( )
Lu zu uh
B enn-
kamme
Mixe
?
?

-
@
@


l
6
CO2−
3
e
−Icell( )
Ucell( )
Anode
Ka hode
-

Anodengaskanal
χa(z, )
,
γa(z, )
ϑa(z, )
Solid/Elek oly
ϑs(z, )
ϑc(z, )
χc(z, )
,
γc(z, )
Ka hodengaskanal
? -
6

z
0 1
Abbildung 4.1: 1D Gegens om-Modell de MCFC (G ak aus [90])
gespeis - plus mögliche weise ein An eil
H2
aus ex e ne Re o mie ung. Au g und hohe
Tempe a u en nde inne halb des Gaskanals in e ne Re o mie ung s a , d.h.
H2
wi d
e zeug du ch die zwei Reduk ions eak ionen
CH4+ H2OCO + 3 H2,( e 1)
CO + H2OCO2+ H2.( e 2)
Die Gesam eak ion de Re o mie ung is endo he m, e b auch also Ene gie. De An-
odengas-Ausgang bei
z= 1
wi d in eine B ennkamme (Index b) ge üh , mi Lu
gemisch und olls ändig oxidie , um anschlieÿend übe eine Mischkamme (Index m)
in den Ka hodengaskanal (Index c) zu münden. Am Ka hodenausgang
z= 0
i wa -
me, schads o eie Ablu aus, bes ehend aus Lu ,
H2O
und
CO2
. Um die Res wä me
zu nu zen und die P ozess empe a u zu s abilisie en, wi d ein Teil diese Ablu in die
B ennkamme zu ückgelei e .
De S om wi d au g und de beiden Oxida ions-Reak ionen an de Anode sowie de
Reduk ions eak ion an de Ka hode p oduzie
H2+ CO2−
3H2O + CO2+ 2e−,(ox1)
CO + CO2−
32 CO2+ 2e−,(ox2)
1
2O2+ CO2+ 2e−CO2−
3.( ed)
Insgesam e en im Sys em sieben chemische Ve bindungen au . Sie we den zusammen-
ge aÿ in de Indexmenge
I:= {CH4,H2O,H2,CO,CO2,O2,N2}
.
Die au e enden Zus ände sind die S os omdich e
γ(z, )
, die Molenb üche
χk(z, )
de
einzelnen Ve bindungen
k∈ I
, die Tempe a u en
ϑ(z, )
, die S omdich en
i(z, )
und
S öme
I( )
, die Po en iale
Φ(z, )
sowie die Zellspannung
Ucell( )
.
1
Die Inpu -Va iablen
sind de Zells om
Icell( )
, welche die äuÿe e Las besch eib , sowie die Kongu a ion
de in den B enns ozellens apel einieÿenden Gass öme (Eingänge on Anode und
B ennkamme ), welche wi im Abschni 4.3 als S eue ungen im Rahmen de Deni i-
on des Op imals eue ungsp oblems auswählen we den. Un e Beach ung de geände en
Vo zeichen de O sablei ungen e hal en wi das PDAE-Sys em in Abbildung 4.2.
2
1
(γ, χk, ϑ)
de B enn- und de Mischkamme hängen in de Modellie ung nu on
ab.
2
Die Va iablen
(z, )
we den de Übe sich lichkei halbe nu au ge üh , wo es nich aus dem Kon ex
he o geh .
4.2. DAS MODELL UND SEINE NUMERISCHE LÖSUNG 77
Gaskanäle und Solid: Randbedingungen:
∂χk,a
∂ +γaϑa
∂χk,a
∂z = χk,a , k ∈ I, χk,a(z= 0, ) = χk,a,in( ),
∂χk,c
∂ −γcϑc
∂χk,c
∂z = χk,c , k ∈ I, χk,c(z= 1, ) = χk,m( ),
∂ϑa
∂ +γaϑa
∂ϑa
∂z = ϑa, ϑa(z= 0, ) = ϑa,in( ),
∂ϑc
∂ −γcϑc
∂ϑc
∂z = ϑc, ϑc(z= 1, ) = ϑm( ),
∂(γaϑa)
∂z (z, ) = γaϑa, γa(z= 0, ) = γa,in( ),
−∂(γcϑc)
∂z (z, ) = γcϑc, γc(z= 1, ) = γm( ),
cp,s
∂ϑs
∂ −1
Pe
∂2ϑs
∂z2= ϑs,∂ϑs
∂z (z= 0, ) = ∂ϑs
∂z (z= 1, ) = 0 ,
B enn- und Mischkamme : An angsbedingungen:
χk,b( ) = χk,b, k ∈ I, χk,a(z, = 0) = χk,a,0(z),
ϑb( ) = ϑb, χk,c(z, = 0) = χk,c,0(z),
γb( ) = γb, ϑa(z, = 0) = ϑa,0(z),
γai ( ) = γai , ϑc(z, = 0) = ϑc,0(z),
ϑs(z, = 0) = ϑs,0(z),
dχk,m
d ( ) = χk,m, k ∈ I, χk,m( = 0) = χk,m,0,
dϑm
d ( ) = ϑm, ϑm( = 0) = ϑm,0,
γm( ) = γm,
S omdich en: S oms ä ken:
ia(z, ) = ia, Ia( ) = R1
0ia
d
z,
ic(z, ) = ic, Ic( ) = R1
0ic
d
z,
ie(z, ) = ie, Ie( ) = R1
0ie
d
z,
i(z, ) = i,
Po en iale: An angsbedingungen:
d
Ucell
d
( ) = Ucell , Ucell( = 0) = Ucell,0,
∂ΦL
a
∂ (z, ) = ΦL
a,ΦL
a(z, = 0) = ΦL
a,0(z),
∂ΦL
c
∂ (z, ) = ΦL
c,ΦL
c(z, = 0) = ΦL
c,0(z).
Abbildung 4.2: PDAE-Sys em de B enns ozelle (1D-Gegens om-Modell)
84 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
4.3.2 Auswahl des Ziel unk ionals
Aus echnische Hinsich lieg eine Pa e o-Op imie ungsau gabe o , also eine Au gabe
mi meh e en Zielen, welche abzuwägen sind. Wi o mulie en je z mögliche Ve e e
de einzelnen Ziele. Zum Beispiel kann man die Solid empe a u ode ih en G adien en
an eine gewünsch e, ma e ialschonende Tempe a u e eilung annähe n, um die Lebens-
daue zu op imie en:
Z1:= 1
2
Z0
1
Z0
(ϑs−ϑsoll)2
d
z
d
,
(4.5)
Z2:= 1
2
Z0
1
Z0∂ϑs
∂z −∂ϑsoll
∂z 2
d
z
d
.
(4.6)
Ein ande es Ziel is das schnelle und exak e E eichen de geände en Las
Z3:= 1
2
Z0
(Ucell −Ucell,soll)2
d
.
(4.7)
Zusä zlich zum E eichen des gewünsch en Ziels muss man be ücksich igen, dass de
Einsa z on S eue ungen nich kos en ei is , sonde n zu gewissen Kos en üh : Z.B. zu
einem höhe en Ve b auch on B enns o du ch die Zelle ode du ch nö iges Vo heizen
einzelne Gass öme. Modellie en wi diese Kos en mi jeweiligen Kos en ak o en
λk
,
k= 1,...,7
so lau e das zu minimie ende Ziel unk ional
min
~u( )J=Zj+1
2
7
X
k=1
λk
Z0
u2
k( )
d
,
(4.8)
wobei wi uns ü eines de obigen Ziele en scheiden (ode eine Linea kombina ion de
Ziele anse zen).
4.3.3 Nebenbedingungen
Als Nebenbedingungen sollen die Zus andsgleichungen de MCFC aus Abb. 4.2 bzw.
Anhang A e üll sein und zusä zlich S eue ungsbesch änkungen
uu,i( )≤ui( )≤uo,i( ), i = 1,...,7,
(4.9)
mi
uu,i( )
,
uo,i( )∈L∞(0, )
und
uu,i( )< uo,i( )
ü as alle
. Al e na i sch eiben
wi da ü
ui( )∈Uad,i := {u∈L2(0, )|uu,i( )≤u( )≤uo,i( )
.ü.
}.
(4.10)
bzw.
~u ∈Uad
mi
Uad := Uad,1× ··· × Uad,7
. Die P oblems ellung wi d gelegen lich
e wei e um punk weise Zus andsbesch änkungen an die Solid empe a u
ϑu(z, )≤ϑs(z, )≤ϑo(z, )
(4.11)
ode an ih en G adien en
k∂ϑs
∂z (z, )k ≤ g( ).
(4.12)

4.3. DAS OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM DER MCFC 85
Wei e hin müssen alle Molenb üche s e s in
[0,1]
liegen, was wei e e Zus andsbesch än-
kungen lie e n wü de. Diese sind jedoch be ei s du ch Abs immung de Gleichungen s e s
e üll und en allen dahe (siehe [90]).
Insgesam e hal en wi ein Di ichle -Rands eue ungsp oblem. P o o ypen on Di ichle -
Rands eue ungsp oblemen wu den be ei s on einigen Au o en un e such , beispielsweise
geben Vexle und Kunisch [99] eine um assende Da s ellung. De a ige P obleme gel en
als seh ansp uchs oll, da die Theo ie mi ge inge en Regula i ä en kämp en muss und
die Nume ik ums ändliche is und ge inge e Kon e genzo dnung besi z . Alle dings han-
del es sich in de Li e a u um PDE zwei e O dnung mi Di ichle -Rands eue ung. Bei
de MCFC we den dagegen die Di ichle -Randbedingungen on PDE e s e O dnung
ges eue , so dass wi die Resul a e nich di ek übe agen können.
4.3.4 Exis enz on Lösungen
Dami ein Op imals eue ungsp oblem sinn oll ges ell is , b auch man die Exis enz
eine Lösung de Zus andsgleichungen ü jede beliebige S eue ung
~u( )
, welche die Box-
Besch änkungen (4.10) e üll . Im Allgemeinen besi zen nich linea e PDAE-Sys eme kei-
ne eindeu ige Lösung meh . Die Lösungss uk u sowie die Exis enzbeweise we den seh
an o de nd. Wi se zen dahe die Exis enz und Eindeu igkei des Modells im Be iebs-
be eich o aus.
Annahme 4.3.1
Die Zus andsgleichungen besi zen ü jede gemäÿ (4.10) zulässige S eue-
ung genau eine hin eichend egulä e lokale Lösung.
Zu Gül igkei de Annahme muss de Anwende angepass e S eue ungsbesch änkun-
gen wählen. In bishe igen nume ischen S udien konn en wi keinen zwei en Lösungsas
im Be iebsbe eich de MCFC en decken. Die E gebnisse sind s e s physikalisch sinn-
oll. Das 2D-Modell wu de da übe hinaus soga e izie in Gunde mann, Heideb ech
und Sundmache [45]. Wede Hys e ese-Eek e noch das Au e en on Schocks wu den
bishe beobach e . De a ige Fälle schlieÿen wi dahe ü die Analyse aus.
Die Exis enz eine op imalen S eue ung müss e man eben alls seh au wändig beweisen
- alls es beim o liegenden Anwendungsp oblem übe haup beweisba is . Wi gehen
auch hie on de Exis enz eine op imalen S eue ung aus:
Annahme 4.3.2
Es exis ie eine op imale S eue ung
¯
~u
und zugehö ige op imale Zu-
s ände des OC-PDAE aus Abb. 4.2 bzw. Anhang A.
8
Nume isch e wenden wi Abs iegs e ah en mi Abb uchk i e ien, so dass diese au
jeden Fall e minie en.
8
Die op imalen Zus ände e hal en de Übe sich lichkei halbe in diesem Kapi el keine sepa a e
Kennzeichnung. Sie geh aus dem Kon ex he o .
86 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
4.4 No wendige Bedingungen
Bei de Behandlung g öÿe e Anwendungsp obleme aus dem Be eich de Op imalen
S eue ung mi indi ek en Me hoden empehl sich olgendes Vo gehen: Zunächs soll-
e man die o male Lag ange-Technik anwenden, um Kenn nis übe die ( e mu lichen)
Op imali ä sbedingungen zu e langen. Zu beweisen, dass die so e hal enen Op imali ä s-
bedingungen ko ek sind, wi d dem Anwende dagegen nu in Spezial ällen möglich sein.
Eine CQ wie in den d ei o he gehenden Kapi eln we den wi hie nich zeigen können:
Bei einen Gleichungs es ik ionen
G(u)=0
 wie z.B. das PDAE-Sys em de Zus ands-
gleichungen de MCFC ohne Zus andsbesch änkungen  is die Sla e -Bedingung nich
anwendba . Die Zowe-Ku cyusz-Bedingung e o de hie , dass de Ope a o
G0(u)
su -
jek i is . Diese ein ach klingende Bedingung is in de P axis alle dings be ei s schwe
e üllba . Denn die Funk ionen äume müssen passend gewähl we den, so dass alle Nich -
linea i ä en noch die enzie ba abe gleichzei ig alle Mul iplika o en noch egulä genug
sind ( gl. [96, S. 265]). Zudem ehlen dann i.d.R. die linea isie en Zus andsgleichungen
sowie Sä ze, welche die Exis enz eine Lösung siche s ellen. Es bleib o nich s ande es
üb ig als die Exis enz de Lag ange-Mul iplika o en anzunehmen.
Annahme 4.4.1
Wi be ach en das Op imals eue ungsp oblem de MCFC aus Ab-
schni 4.3 un e Weglassen de Zus andsbesch änkungen (4.11), (4.12). Dann sollen die
Lag ange-Mul iplika o en zu den Gleichungsnebenbedingungen (also zum PDAE-Sys em
de MCFC) exis ie en und die nö ige Regula i ä besi zen.
4.4.1 He lei ung de adjungie en Gleichungen de MCFC
In diesem Abschni lei en wi die adjungie en Gleichungen des 1D-Modell de MCFC
ohne Zus andsbesch änkungen mi eliminie en Po end ücken mi els de o malen La-
g ange-Technik he . De Lese benö ig g undlegendes Vo wissen aus [96], z.B. das Be-
echnen on Rich ungsablei ungen on Funk ionalen.
Die He lei ung des adjungie en PDAE-Sys ems is ein g öÿe es Un e angen. De Übe -
sich lichkei halbe wu den dahe echnische De ails in den Anhang ausgegliede , wie
z.B. die
24
pa iellen Ablei ungen de Reak ions a en ode de länglichen ech en Sei en
des PDAE-Sys ems. Haup augenme k lieg dagegen au den Die en ialope a o en und
den In eg alausd ücken, sowie den Randbedingungen, welche zusammen den Cha ak e
des adjungie en PDAE-Sys ems es legen we den.
Je nach Aus üh ung de Zus andsgleichungen e häl man ande s beschaene adjungie e
PDAE-Sys eme. Wi we den im Folgenden einen Zugang wählen, bei welchem das adjun-
gie e PDAE-Sys em nahe an den p imä en Gleichungen und dabei ela i dünn bese z
is . G undlage da ü sind die Subs i u ionen
a:= γaϑa
sowie
c:= γcϑc
, welche be ei s
im Theo ie-Teil on [93] Anwendung nden.
9
In den ech en Sei en de B ennkamme
im Anhang is an spä e e S elle en sp echend jeweils ü
γa
de B uch
a
ϑa
zu se zen und
ü
γc
analog  und dies is beim Be echnen de pa iellen Ablei ungen auch zu be ück-
sich igen.
10
9
En sp echend e wenden wi
a:= γaϑa
,
c:= γcϑc
sowie
a,in := γa,in ϑa,in
10
Man beach e, dass
ϑa|c6= 0
, da
ϑa|c= 0
de absolu en Tempe a u on
0
K en sp ich .
4.4. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN 87
Bei komplexen Anwendungsp oblemen soll e man ü die PDE und ih e Randbedingung
jeweils eigene Lag ange-Mul iplika o en anse zen. Die o male Lag ange-Technik lie e
den Zusammenhang diese G öÿen anschlieÿend als Teil de Op imali ä sbedingungen.
Bei Op imals eue ungsp oblemen bei skala en Di ichle - ode Neumann-P oblemen
11
s ellen sich beide Mul iplika o en als au dem Rand iden isch he aus. Bei Di ichle -
Rands eue ungsp oblemen 2. O dnung hängen sie übe die No malen-Spu mi einan-
de zusammen, so dass die G adien engleichung die No malen-Spu des adjungie en
Zus andes en häl , gl. [99]. Im o liegenden gekoppel en Sys em we den wi eigene Zu-
sammenhänge in Gl. (4.17) nden.
Un e de Annahme de Exis enz de
67
Lag ange-Mul iplika o en
˜χk,a(z, )
,
˜
ϑa(z, )
,
e c. de Gleichungen bzw.
ˆχk,a( )
,
ˆ
ϑa( )
, e c. de Randbedingungen läss sich nun eine
Lag ange-Funk ion denie en pe
12
11
un e Ve wendung de Cono malen-Ablei ung
12
Die Va iablen
(z, )
bzw.
( )
sind de Übe sich lichkei halbe weggelassen, es sei denn ein es e
We wu de eingese z .
88 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
L(...):=J
−X
k∈I ZZ
Q∂χk,a
∂ + a
∂χk,a
∂z − χk,a˜χk,a
d
z
d
−
Z0X
k∈Iχk,a(0, )−χk,a,inˆχk,a
d
−X
k∈I ZZ
Q∂χk,c
∂ − c
∂χk,c
∂z − χk,c˜χk,c
d
z
d
−
Z0X
k∈Iχk,c(1, )−χk,mˆχk,c
d
−ZZ
Q∂ϑa
∂ + a
∂ϑa
∂z − ϑa˜
ϑa
d
z
d
−
Z0ϑa(0, )−ϑa,inˆ
ϑa
d
−ZZ
Q∂ϑc
∂ − c
∂ϑc
∂z − ϑc˜
ϑc
d
z
d
−
Z0ϑc(1, )−ϑmˆ
ϑc
d
−ZZ
Q∂ a
∂z − a˜ a
d
z
d
−
Z0 a(0, )− a,inˆ a
d
−ZZ
Q−∂ c
∂z − c˜ c
d
z
d
−
Z0 c(1, )−γmϑmˆ c
d
(4.13)
−ZZ
Qcp,s
∂ϑs
∂ −1
Pe
∂2ϑs
∂z2− ϑs˜
ϑs
d
z
d
−1
Pe
Z0∂ϑs
∂z ˆ
ϑs1
0
d
−X
k∈I
Z0χk,b− χk,b˜χk,b
d
−
Z0ϑb− ϑb˜
ϑb
d
−
Z0γb− γb˜γb
d
−
Z0γai − γai ˜γai
d
−X
k∈I
Z0
d
χk,m
d
− χk,m˜χk,m
d
−
Z0γm− γm˜γm
d
−
Z0
d
ϑm
d
− ϑm˜
ϑm
d
−ZZ
Qi− i˜
i
d
d
z−X
k∈{a,c,e}ZZ
Qik− ik˜
ik
d
d
z
−X
k∈{a,c,e}
Z0

Ik−
1
Z0
ik
d
z
˜
Ik
d
−
Z0
d
Ucell
d
− ucell ˜
Ucell
d
−ZZ
Q∂ΦL
a
∂ − ΦL
a˜
ΦL
a
d
d
z−ZZ
Q∂ΦL
c
∂ − ΦL
c˜
ΦL
c
d
d
z .
Die An angsbedingungen we den wie üblich sepa a be ücksich ig bzw. in den Lösungs-
aum denie . Beim Ablei en muss die Tes unk ion en sp echend eine homogene An-
angsbedingung e üllen. Sowei es ezien is , we den die Ablei ungen mi els pa ielle
In eg a ion bzw. G eensche Fo mel be ei s au die dualen Va iablen abgewälz ; die qua-
silinea en An eile z.B.
a∂χk,a
∂z
we den dagegen e s nach dem Die enzie en behandel ,
4.4. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN 89
da nich jede Va iable die pa ielle In eg a ion e o de (z.B.
a
nich ). Mi pa ielle
In eg a ion e hal en wi beispielsweise
ZZ
Q
∂ϑa
∂ ˜
ϑa
d
d
z=
1
Z0hϑa˜
ϑai
0
d
z−ZZ
Q
∂˜
ϑa
∂ ϑa
d
d
z ,
ZZ
Q
∂ a
∂z ˜ a
d
d
z=
Z0
[ a˜ a]1
0
d
−ZZ
Q
∂˜ a
∂z a
d
d
z .
Du ch Be echnung de Rich ungsablei ungen de Lag ange-Funk ion lassen sich nun die
Op imali ä sbedingungen au s ellen. De kü ze en Sch eibweise wegen we den o an die
Quell e me in Summen zusammenge ass mi Indexmengen benann nach Zelle
Z:=
{ϑa, ϑc
,
χk,a, χk,c
,
ϑs, a
,
c, ia, ic}
, B ennkamme
B:= {χk,b, ϑb, γb, γai }
, Mischkamme
M:= {χk,m, ϑm, γm}
und es lichen elek ischen Va iablen
E:= {ΦL
a,ΦL
c, i, ie, Ucell}
13
.
Beispielha muss die Rich ungsablei ung nach
ϑa
ü alle Rich ungen
ϕ(z, )∈ {ψ∈
H|ψ(z, 0) = 0}
e schwinden:
0 = DϑaLϕ=−ZZ
Q
−∂˜
ϑa
∂ ϕ+ a˜
ϑa
∂ϕ
∂z
d
z
d
+X
q∈ZZZ
Q
(Dϑa qϕ) ˜q
d
z
d
−
1
Z0hϕ˜
ϑai
0
d
z−
Z0
ϕ(0, )ˆ
ϑa
d
+X
q∈B
Z0Dϑa qϕ(1, )˜q
d
(4.14)
p.I.
=−ZZ
Q −∂˜
ϑa
∂ −∂( a˜
ϑa)
∂z !ϕ
d
z
d
−
Z0h a˜
ϑaϕi1
0
d
+X
q∈ZZZ
Q
(Dϑa qϕ) ˜q
d
z
d
−
1
Z0hϕ˜
ϑai
0
d
z−
Z0
ϕ(0, )ˆ
ϑa
d
+X
q∈B
Z0Dϑa qϕ(1, )˜q
d
.
Um da aus die adjungie en Gleichungen he auslesen zu können, bedien man sich de
eien Wahl de Ablei ungs ich ung
ϕ∈ {ψ∈H|ψ(z, 0) = 0}
. Dabei is
H
de Banach-
Raum, in welchem de Zus and
ϑa
lieg . Ohne Exis enzsa z eine Lösung können wi
H
nich explizi angeben. Wi nehmen jedoch an, dass
C∞
0(Q)⊂H
is und dass obige
In eg ale au
Q
en wede Skala p oduk e au
V:= L2(Q)
sind ode Duali ä sp oduk e
au
V:= Lp(Q)
ü
1< p < ∞
. Da
C∞
0(Q)⊂V
jeweils dich lieg , lie e die Wahl
ϕ∈C∞
0(Q)⊂H
die lokale Fo m de adjungie en PDE
−∂˜
ϑa
∂ −∂( a˜
ϑa)
∂z =X
q∈Z
∂ q
∂ϑa
˜q
⇔− ∂˜
ϑa
∂ − a
∂˜
ϑa
∂z =∂ a
∂z ˜
ϑa+X
q∈Z
∂ q
∂ϑa
˜q .
Man beach e, dass die Ablei ungen de Quell e me de Übe sich lichkei halbe e s im
nächs en Abschni behandel we den. Zunächs äll au , dass im Gegensa z zu semi-
linea en PDAE-Sys emen die hie o liegenden quasilinea en Te me dazu üh en, dass
13
Ia, Ic, Ie
we den di ek behandel .

90 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
pa ielle Ablei ungen on Zus änden in den Quell e men de adjungie en Gleichungen
au e en.
14
Auch die es lichen Te me lassen sich nach In eg a ionsbe eichen sepa ie en, o aus-
gese z die Spu abbildungen sind su jek i in die en sp echenden
L2
-Räume au den
e schiedenen Rand eilen des O s-Zei -Zylinde s:
a˜
ϑa=X
q∈B
∂ q
∂ϑa
˜q
au
{1}×(0, ),
˜
ϑa(z, ) = 0 ∀z∈Ω,
ˆ
ϑa= a˜
ϑa
au
{0}×(0, ).
Aus de d i en Gleichung e kennen wi , wie wi die Randbedingung hä en e ände n
müssen, um sie mi dem gleichen Mul iplika o ankoppeln zu können.
Mi diese Me hodik s ellen wi alle adjungie en pa iellen Die en ialgleichungen au :
15
−∂˜
ϑa
∂ − a
∂˜
ϑa
∂z =∂ a
∂z ˜
ϑa+X
q∈Z
∂ q
∂ϑa
˜q ,
(4.15a)
−∂˜
ϑc
∂ + c
∂˜
ϑc
∂ =−∂ c
∂z ˜
ϑc+X
q∈Z
∂ q
∂ϑc
˜q ,
(4.15b)
−˜χk,a
∂ − a
∂˜χk,a
∂z =∂ a
∂z ˜χk,a+X
q∈Z
∂ q
∂χk,a
˜q ,
(4.15c)
−˜χk,c
∂ + c
∂˜χk,c
∂z =−∂ c
∂z ˜χk,c+X
q∈Z
∂ q
∂χk,a
˜q ,
(4.15d)
−cp,s
∂˜
ϑs
∂ −1
Pe
∂2˜
ϑs
∂z2=X
q∈Z
∂ q
∂ϑs
˜q ,
(4.15e)
−∂˜ a
∂z =−X
k∈I
∂χk,a
∂z ˜χk,a−∂ϑa
∂z ˜
ϑa,
(4.15 )
∂˜ c
∂z =X
k∈I
∂χk,c
∂z ˜χk,c+∂ϑc
∂z ˜
ϑc.
(4.15g)
Wi e kennen be ei s an den linken Sei en, dass de Typus de einzelnen pa iellen Di -
e en ialgleichung un e ände bleib , jedoch alle e s en Ablei ungen ih Vo zeichen än-
de n. Fü die hype bolischen T anspo gleichungen bedeu e dies eine Umkeh des Flus-
ses. Zusä zlich lau en die T anspo - und Wä melei ungsgleichungen nun ab de Endzei
ückwä s in de Zei .
Die e hal enen Randbedingungen au
{1}×(0, )
e geben sich zu
a˜
ϑa=X
q∈B
∂ q
∂ϑa(1, )˜q , a˜χk,a=X
q∈B
∂ q
∂χk,a(1, )˜q , ˜ a=X
q∈B
∂ q
∂ a(1, )˜q ,
(4.16a)
14
Man e gleiche die adjungie en Gleichungen de Na ie -S okes-Gleichungen (siehe z.B. [32]).
15
Den Bei ag des Ziel unk ionals
J
ügen wi nach äglich hinzu, wenn wi das Ziel unk ional spezi-
zie en (siehe Abschni 4.4.3).
4.4. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN 91
sowie au
{0}×(0, )
zu
c˜
ϑc=X
q∈B
∂ q
∂ϑc(0, )˜q , c˜χk,c=X
q∈B
∂ q
∂χk,c(0, )˜q , ˜ c=X
q∈B
∂ q
∂ c(0, )˜q .
(4.16b)
Dazu gil ü die adjungie e Solid empe a u au
{0,1}×(0, )
die Symme iebedingung
∂˜
ϑs
∂z = 0 .
(4.16c)
Wei e hin nden wi den Zusammenhang de adjungie en Va iablen au den O s än-
de n:
ˆ
ϑa= a˜
ϑa,ˆχk,a= a˜χk,a,ˆ a= ˜ a
au
{0}×(0, ),
(4.17a)
ˆ
ϑc= c˜
ϑc,ˆχk,c= c˜χk,c,ˆ c= ˜ c
au
{1}×(0, ),
(4.17b)
ˆ
ϑs=˜
ϑs
au
{0,1}×(0, ).
(4.17c)
Diese Gleichungen we den wi sukzessi e dazu nu zen, um die Va iablen au den linken
Sei en aus den Op imali ä sbedingungen zu en e nen.
Die Endbedingungen sind jeweils homogen, sie we den hie nich sepa a au ge üh .
Inhomogen we den sie in dem Momen , in welchem das Ziel unk ional auch T acking-
Te me on Endzus änden en häl
16
.
Das DAE-Sys em de B enn- und de Mischkamme e zeug ein ähnliches DAE-Sys em
on adjungie en Gleichungen:
˜χk,b=∂ χk,m
∂χk,b
˜χk,m,
(4.18a)
˜
ϑb=X
q∈{ϑm,γm}
∂ q
∂ϑb
˜q ,
(4.18b)
˜γb=X
q∈B∪M
∂ q
∂γb
˜q ,
(4.18c)
˜γai =X
q∈B
∂ q
∂γai
˜q ,
(4.18d)
−
d
˜χk,m
d
= ˆχk,c+∂ χk,m
∂χk,m
= c(1, )·˜χk,c(1, ) + ∂ χk,m
∂χk,m
˜χk,m,
(4.18e)
−
d
˜
ϑm
d
=ˆ
ϑc+X
q∈M
∂ q
∂ϑm
˜q= c(1, )·˜
ϑc(1, ) + X
q∈M
∂ q
∂ϑm
˜q ,
(4.18 )
˜γm=ϑmˆ c=ϑm˜ c(1, ).
(4.18g)
Die Endbedingungen sind e neu homogen, also
˜χk,m( ) = ˜
ϑm( ) = 0
. Ausge allene
sind dagegen die adjungie en Gleichungen on
Ucell( )
und
Ik( ), k ∈ {a,c,e}
, da hie
In eg al e me in ol ie sind. Als Rich ungsablei ung e hal en wi z.B. ü
Ucell
:
0 = DUcell Lϕ( ) =
Z0
d
˜
Ucell
d
ϕ( )
d
+ZZ
QX
q∈Z∪E
∂ q
∂Ucell
(z, ) ˜q(z, )
d
z
d
=
Z0


d
˜
Ucell
d
+
1
Z0X
q∈Z∪E
∂ q
∂Ucell
(z, ) ˜q(z, )
d
z
ϕ( )
d
.
(4.19)
16
Also z.B. den Summanden
1
2R1
0(ϑs(z, )−ϑsoll,2(z))2
d
z
.
92 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
Tes en mi
ϕ∈C∞
0((0, ))
lie e eine gewöhnliche Die en ialgleichung mi In eg al e -
men on im O e eil en Funk ionen, wie sie meis bei gemisch en ODE-PDE S eue-
ungsp oblemen au i - siehe auch Kapi el 3.4.1. Diese Eek i ebenso bei den
ande en Va iablen eine Ve ände lichen
Ik( ), k ∈ {a,c,e}
au . Insgesam lau en die ad-
jungie en Gleichungen de elek ischen Va iablen:
˜
Ik( ) = X
q∈E
1
Z0
∂ q
∂Ik
˜q
d
z , k ∈ {a,c,e},
(4.20a)
−
d
˜
Ucell
d
( ) = X
q∈Z∪E
1
Z0
∂ q
∂Ucell
˜q
d
z ,
(4.20b)
−∂˜
ΦL
a|c
∂ (z, ) = X
q∈Z∪E
∂ q
∂ΦL
a|c
˜q ,
(4.20c)
˜
i(z, ) = X
q∈E
∂ q
∂i ˜q ,
(4.20d)
˜
ik(z, ) = ˜
Ik( ) + X
q∈E∪{ϑs}
∂ q
∂ik
˜q , k ∈ {a,c,e}.
(4.20e)
Beme kenswe is wei e hin die le z e Gleichung: Aus de In eg algleichung
Ik( ) =
R1
0ik(z, )
d
z
wi d hie eine ö lich kons an e Quelle
˜
Ik( )
in den algeb aischen Gleichun-
gen de adjungie en S oms ä ken
˜
ik, k ∈ {a,c,e}
.
4.4.2 He lei ung de ech en Sei en
Bishe wu den die Die en ialope a o en sowie die S uk u de Übe gangsbedingun-
gen he gelei e . De eigen liche Au wand des Au s ellens de adjungie en Gleichungen
de MCFC e s eck sich jedoch in den ech en Sei en, welchen sich diese Abschni
widme . Es muss hie eine g oÿe (bei ungüns igem Vo gehen d eis ellige) Anzahl on
pa iellen Ablei ungen on Funk ionen meh e e Ve ände liche be echne we den. Diese
Au gabe soll e man bei komplexen Anwendungsp oblemen mi analy ischem bzw. au o-
ma ischem Die enzie en e ledigen lassen (z.B. mi
Maple
ode einem AD-Tool, siehe
www.au odi .o g
).
Um den Übe blick zu behal en, soll e man sich die S uk u de Zus andsgleichungen
zunu ze machen und Hil s a iablen denie en. Dies e leich e zum einen die He lei ung
und so g ü eine übe sich liche e Da s ellung de E gebnisse, zum ande en begüns ig
dies nich zule z die P og ammie ung. Be ach en wi zunächs die adjungie e Glei-
chung de Solid empe a u
−cp,s
∂˜
ϑs
∂ −1
Pe
∂2˜
ϑs
∂z2=X
q∈Z
∂ q
∂ϑs
˜q .
(4.21)
Die Solid empe a u i in den meis en Hil sg öÿen au (Reak ions a en
j
, Wä meaus-
auch
qj
) und geh dahe in die ech en Sei en alle PDE sowie in
ia, ic
ein. Wi eilen
das Au e en on
ϑs
in e schiedene Ka ego ien ein; nach di ek em Au e en und nach
4.4. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN 93
Au e en übe Reak ions a en
j
, welche en sp echend die Ke en egel e o de n. Wi
üh en nun alle Ablei ungen aus, auÿe das Nachdie enzie en de Reak ions a en:
−cp,s
∂˜
ϑs
∂ −1
Pe
∂2˜
ϑs
∂z2=˜
ϑa
ϑa
cpS as +cpX
j=ox1,2
¯ν+
jDaj j+˜
ϑcϑc¯ν−
ed Da ed ed
+ϑcS cs
cp+ ˜ aS as
cp
+X
j=ox1,2
¯ν+
jDaj j+ ˜ c¯ν−
ed Da ed ed +S cs
cp
+˜
ϑs−S as −S cs +cp¯ν+
ed Da ed ed +cpX
j=ox1,2
¯ν−
jDaj j
+X
j=ox1,2
∂ j
∂ϑsnX
k∈I
˜χk,aϑa(νk,j −χk,a¯νj)Daj+˜
ϑaϑa¯ν+
jDaj(ϑs−ϑa)
+ ˜ a¯ν+
jDaj(ϑs−ϑa) + ϑa¯νjDaj+˜
iaF njDaj
(4.22)
+˜
ϑs−∆Rhj+njΦL
aDaj−(ϑa−ϑs) ¯ν−
jDajcpo
+∂ ed
∂ϑsnX
k∈I
˜χk,cϑc(νk, ed −χk,c¯ν ed)Da ed +˜
ϑcϑc¯ν−
ed Da ed (ϑs−ϑc)
+ ˜ cϑc¯ν ed Da ed + ¯ν−
ed Da ed (ϑs−ϑc)−˜
icF n ed Da ed
+˜
ϑs−∆Rh ed −n ed (Ucell −ΦL
c)Da ed −(ϑc−ϑs) ¯ν+
ed Da ed cpo.
Die e s en d ei Zeilen en hal en die Te me aus di ek em Au e en. An de adjungie en
Va iable e kennen wi jeweils, aus welche ech en Sei e de Summand du ch Ablei en
nach
ϑs
he o gegangen is . Wi e kennen be ei s die Ta sache, dass die ech en Sei en
an Länge noch einmal zunehmen (Ablei en on P oduk en on Polynomen und Expo-
nen ial unk ionen in den Reak ions a en
j
). Um Übe sich zu gewinnen, denie en wi
dahe passende Hil s a iablen. Uns äll au , dass alle Zus ände, welche in eine Reak-
ions a e au e en, den gleichen Ausd uck
{. . . }
als Vo ak o haben we den und sich
nu im Nachdie enzie en de Reak ions a e un e scheiden we den. Dadu ch mo i ie
denie en wi je Reak ions a e eine Abkü zungen pe
˜sj:= Pq∈Z
∂ q
∂ j
. Diese Abkü zun-
gen nde man ausge echne in Anhang B.1; do nde man auch die ech en Sei en de
ande en adjungie en PDE.
Die ech en Sei en de S omdich en und Po en iale s ehen in Anhang B.2, ge olg on
den pa iellen Ablei ungen de Reak ions a en in B.3. Die adjungie e B enn- und Misch-
kamme s eh in Anhang B.4. Die Übe gangsbedingungen (4.16) e zeugen seh längliche
ech en Sei en, welche in Anhang B.5 nachlesba sind.
4.4.3 Bei ag des Ziel unk ionals zu den adjungie en Gleichungen
Das Ziel unk ional lie e die einzige Inhomogeni ä des linea en PDAE-Sys ems de ad-
jungie en Gleichungen. Je nach A des Ziel unk ionals e scheinen olgende Inhomoge-
ni ä en au de ech en Sei e de en sp echenden PDE:
Ziel unk ional Gleichung ü Summand au de ech en Sei e
Z1˜
ϑsϑs−ϑsoll
Z2˜
ϑs−(∆ϑs−∆ϑsoll)
Z3˜
Ucell Ucell −Ucell,soll
100 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
4.5 Di ek e Ve ah en de Op imals eue ung
Di ek e Ve ah en bie en einen naheliegenden Ansa z, de a ige Op imals eue ungsp o-
bleme zu lösen. E s e E gebnisse des 2D MCFC Modells mi els di ek e Ve ah en nde
man in [93]. Ausge eil e e di ek e Ve ah en en wickeln wi ü das 1D Modell in [90].
Wi a bei en do mi de eduzie en Fo mulie ung (siehe Abschni 3.5.1), so dass die
Anzahl de F eihei sg ade des Op imie e s deu lich eduzie is . Ge ade wenn die Ablei-
ungen mi nume ische Die en ia ion e zeug we den, is dies essen iell. Da übe hinaus
we den die Zus andsgleichungen nich übe eine olle Disk e isie ung  wie beim Rocke -
ca in Abschni 3.5.2  gelös , sonde n mi eine bzgl. Rechenzei und Speiche beda
ezien e en Al e na i e, de sch i weisen In eg a ion: Mi eine Semidisk e isie ung im
O , ge olg on einem Meh sch i e ah en. Wi e wenden
ode15s
un e
Ma lab
,
welches ein adap i e implizi e DAE-Sol e a iable O dnung (zwischen 1 und 5) is .
Als Op imie e wi d
mincon
e wende , also de e ablie e NLP-Sol e on
Ma lab
.
Wi e kennen do einige Schwie igkei en des MCFC-Modells, welche den Einsa z di-
ek e Ve ah en be een. Ge ade die e schiedenen Zei skalen de Zus ände machen
P obleme: Die seh schnellen Va iablen eagie en schlaga ig au eine sp ungha geän-
de e S eue ung mi impulsa igen Übe schwinge n. Je ö e die S eue ung sp ing , des o
ins abile wi d das Sys em. Au de ande en Sei e b auchen wi seh kleine Zei sch i -
e, um die schnellen Va iablen auösen zu können und um das s ei e DAE-Sys em aus
de Linienme hode hin eichend genau zu lösen. S ückweise kons an e S eue ungen au
diesem einen Zei gi e de Zus ände be ei en en sp echend Schwie igkei en. De Kon-
e genzbe eich des di ek en Ve ah ens is dann zu seh eingesch änk .
Dahe wählen wi ein deu lich g öbe es Zei gi e
0 = u
1<··· < u
j<··· < u
Nu=
ü
die S eue ungen. Zusä zlich en scheiden wi uns ü s e ige S eue ungen
ui
aus linea en
Splines du ch die S ü zpunk e
( u
j, di
j)
,
j= 1, . . . , Nu
,
i= 1,...,7
.
Einen höhe en Kon e genzbe eich und eine nied ige e Lau zei des Op imie e s kann man
e eichen, indem man zunächs Me hoden de ins an anen S eue ung anwende . De a i-
ge Ideen nde man z.B. in Hinze und Kunisch [58], T öl zsch und Wachsmu h [97], sowie
in Epple und T öl zsch [34]. Sie lie e n  bei den hie un e such en Ziel unk ionalen  in
ku ze Zei seh gu e S eue ungen, welche dann als S a schä zung he genommen we den
können.
Dami konn en wi mi Einsa z on
mincon
un e
Ma lab
in [90] gu e E gebnisse
e zielen. Alle dings kann man sich dennoch nich iele S eue punk e e lauben, da de
Au wand eines Op imie ungssch i es s a k mi de Anzahl S eue punk e anwächs 
au g und de nume ischen Die en ia ion. Wi sehen das in Abschni 4.7 anhand eine
ex em einen Auösung de S eue ungen.
In den nächs en beiden Abschni en wi d das Op imals eue ungsp oblem de MCFC
e s malig mi adjungie en-basie en Me hoden gelös . Dazu we den zunächs Me hoden
ausgewähl und en wickel . In Abschni 4.7 olgen die nume ischen Expe imen e.

4.6. INDIREKTE VERFAHREN DER OPTIMALSTEUERUNG 101
4.6 Indi ek e Ve ah en de Op imals eue ung
In Abschni 4.4 wu den no wendige Bedingungen 1. O dnung (Op imali ä sbedingun-
gen) he gelei e zu op imalen S eue ung des B enns ozellenmodells. Da au au bauend
we den wi in diesem Abschni indi ek e Me hoden en wickeln, d.h. i e a i e Me hoden
zu Lösung de Op imali ä sbedingungen. Zunächs e ö e n wi , welche de e ablie en
Ve ah en au komplexe Anwendungsp obleme on de Fo m de MCFC anwendba sind.
4.6.1 Auswahl mögliche Ve ah en
Analog zu Backwa d-Sweep-Me hode en scheiden wi uns da ü , nu ges ael e Ve ah-
en zu be ach en, d.h. Ve ah en bei denen die Zus andsgleichungen und die adjungie en
Gleichungen sepa a gelös we den. Fü Op imals eue ungsp obleme bei zei abhängigen
PDAE-Sys emen e sp echen diese Ezienz in Bezug au Speiche und Rechenzei , da
sowohl die Zus andsgleichungen als auch die adjungie en Gleichungen sch i weise in de
Zei gelös we den können, so dass die Rechenzei linea in de Anzahl de Zei sch i e
skalie . Im Gegensa z zu eine ollen Disk e isie ung können wi uns dadu ch seh iele
Zei sch i e e lauben und olglich die un e schiedlichen Zei skalen seh gu auösen. Abe
auch de nich linea e Gleichungslöse p o ie hie on: So besi z e dank dem o igen
Zei sch i be ei s gu e S a schä zungen und kann o soga die Jacobi-Ma ix aus dem
le z en Zei sch i übe nehmen (siehe Dokumen a ion on
ode15s
).
Ein ande e Einsa zzweck ges ael e Ve ah en sind Umgebungen, bei denen de Zu-
s andssol e und de adjungie e Sol e als Black Box o liegen. Nach eil de o ges ell-
en ges ael en Ve ah en is es, dass nich die Kon e genzgeschwindigkei z.B. eines
New on- bzw. SQP-Ve ah ens e eich wi d.
Es kommen ie ges ael e Ve ah en in F age, welche wi in diesem Abschni besp e-
chen we den. E s e ges ael e Ve ah en bie e die Klasse de G adien en e ah en. Fü
unse o liegendes P oblem mi S eue ungsbesch änkungen bie en sich das beding e G a-
dien en e ah en und das p ojizie e G adien en e ah en an (siehe [96], [52]). G adien-
en e ah en sind i.d.R. global kon e gen mi linea e Kon e genz a e.
De G adien läss sich abe auch ü Quasi-New on-Ve ah en e wenden, wie das BFGS-
Ve ah en (siehe z.B. [74]), welches eben alls ges ael e Ve ah en sind. Bei Quasi-New on-
Ve ah en wi d aus den G adien en de bishe igen Sch i e nach und nach eine besse-
e App oxima ion de Hesse-Ma ix e s ell . De a ige Ve ah en e eichen supe linea e
Kon e genz. Bei NLP sind sie s a k e b ei e , zumal man im Ggs. zu einem New on-
Ve ah en keine zwei en Ablei ungen benö ig und zusä zliche Eigenscha en wie globale
Kon e genz einbauen kann. G adien en- und Quasi-New on-Ve ah en sind die Me ho-
den, welche wi au das MCFC-P oblem anwenden können.
Ausge eil e e Me hoden wie die P imal-Duale Ak i e-Mengen-S a egie (PDAS), das
halbgla e New on-Ve ah en ode SQP-Ve ah en sind dagegen nich anwendba . Sie
benö igen in den Zwischensch i en die Lösung on gekoppel en Sys emen aus (gg . linea-
isie en) Zus andsgleichungen und adjungie en Gleichungen. Um de a ige Me hoden
im o liegenden Fall anzuwenden, benö igen wi eine olle Disk e isie ung. Fü das 1D-
Modell wä e eine olle Disk e isie ung bei heu igem Rechne s and möglich. Fü komplexe
Anwendungsp obleme in 2D ode 3D komm sie dagegen nich in F age.
102 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
Fü Lag ange-New on bzw. SQP-Ve ah en benö ig man zudem das linea isie e KKT-
Sys em, welches zwei wei e e PDAE-Sys eme umschlieÿ : Die linea isie en Zus ands-
gleichungen sowie die (in allen Va iablen) linea isie en adjungie en Gleichungen. Fü
le z e e b auch man die zwei en pa iellen Ablei ungen de ech en Sei en. De Au wand
de en He lei ung is dahe e neu in de G öÿeno dnung de He lei ung de adjungie en
Gleichungen. Die Komplexi ä und dadu ch beding e Fehle an älligkei de Gleichungen
dü en diesen Weg in de P axis e bauen. Einzigen Lich blick bie e hie de konse-
quen e Einsa z on AD-Tools. Ve ah en mi zwei en Ablei ungen we den im Rahmen
dieses Kapi els nich un e such .
Wi sp echen nun die einzelnen ges ael en Ve ah en an, beginnend mi den beiden
G adien en e ah en. Da sich im E gebnis das Quasi-New on-Ve ah en als übe legen
e wiesen ha , kommen wi ela i schnell da au zu sp echen. Als ie es ges ael es
Ve ah en ügen wi zule z die Fixpunk i e a ion hinzu.
Beding es G adien en e ah en
Das beding e G adien en e ah en aus [96] läss sich di ek zu S eue ung des MCFC-
Modells nu zen. De Übe sich halbe bezeichnen wi die Va iablen abs ak als
yk
(alle
Zus ände zu I e a ion
k
),
uk
(alle S eue ungen) und
pk
(alle adjungie en Zus ände).
Dami lau e das beding e G adien en e ah en:
Algo i hmus 4.6.1 (Beding es G adien en e ah en)
1. Sei
u1
gegeben. Se ze
k= 1
.
2. Be echne
yk
aus den Zus andsgleichungen zu
uk
.
3. Be echne
pk
aus den adjungie en Gleichungen zu
(yk, uk)
.
4. Be echne den G adien en des eduzie en Ziel unk ionals
gk= (gi
k)i=1,...,7= 0(uk)
un e Ve wendung on
(yk, uk, pk)
.
5. Fo mie e die Such ich ung
k
du ch
i
k=




uu,i ,
ü
gi
k>0,
1
2(uu,i +uo,i),
ü
gi
k= 0 ,
uo,i ,
ü
gi
k<0.
6. Be echne eine Sch i wei e
sk∈(0,1]
du ch Sch i wei ensuche.
7. Se ze
uk+1 := uk+sk· k
,
k=k+ 1
und gehe zu Sch i 2.
Na ü lich is noch ein en sp echendes Abb uchk i e ium einzubauen (z.B. No m des G a-
dien en klein e c.). De mi le e Fall de Such ich ung is bekann lich nume isch auszu-
schlieÿen.
4.6. INDIREKTE VERFAHREN DER OPTIMALSTEUERUNG 103
Das besonde e am beding en G adien en e ah en is , dass
uk+s· k∈Uad
au oma isch
ü alle
s∈[0,1]
e üll is  als Kon exkombina ion zweie zulässige S eue ungen. Dahe
is die Liniensuche gleichbedeu end mi einem Minimie ungsp oblem eine Funk ion eine
Ve ände lichen
s
, die alle dings nich analy isch gegeben is . Im Gegensa z zu linea -
quad a ischen P oblemen können wi die Sch i wei ensuche dahe nich exak aus üh en,
sonde n g ei en au eine S a egie de Liniensuche aus de nich linea en Op imie ung
zu ück, z.B. eine Sch i wei ens a egie nach A mijo (siehe z.B. [41], [74]).
G adien en-P ojek ions e ah en
Eine schnelle e Kon e genz e häl man i.d.R. mi dem G adien en-P ojek ions e ah en
[96]. Obige Algo i hmus bleib gül ig, lediglich die Such ich ung wi d au den An ig a-
dien en geände :
k:= −gk.
(4.34)
Da die o geschlagenen S eue ungen
uk+sk· k
nun nich meh au oma isch zulässig sind,
p ojizie man sie noch au den zulässigen Be eich. Die Sch i wei ens a egie lau e also:
Algo i hmus 4.6.2 (Sch i wei ens a egie des G adien en-P ojek ions e .)
1. Gegeben sei eine S a sch i wei e
s0
. Se ze
m= 0
.
2. Se ze
wm:= PUad {uk+sm· k}
und löse die Zus andsgleichungen
zu diese S eue ung.
3. Wenn
(wm)
hin eichend kleine als
(uk)
, akzep ie e die Sch i -
wei e
sm
.
4. Ande n alls be echne
sm+1
z.B. nach A mijo, se ze
m=m+1
und
gehe zu Sch i 2.
Obwohl wi in unse em Fall nich alle Va ia ionsungleichungen als P ojek ions o meln
sch eiben können, lie e die P ojek ion an sich dennoch s e s eine zulässige S eue ung.
Quasi-New on-Ve ah en
Um ein Quasi-New on-Ve ah en an diese S elle einzuse zen, soll e man sich dahe zu-
nächs den S and de Dinge o Augen u en: Wi haben einen adjungie en Sol e und
können aus dessen E gebnissen den G adien en des eduzie en Ziel unk ionals gemäÿ
Abschni 4.4.4 o men. Wi können also sowohl den We als auch den G adien en
des eduzie en Ziel unk ionals angeben. Diese Baus eine eichen be ei s aus, um Quasi-
New on-Ve ah en anwenden zu können.
Da es seh ezien e Quasi-New on-Ve ah en au dem Ma k gib , möch en wi diese
nu zen, um z.B. on ezien e Liniensuche zu p o ie en. Wi gehen also den Sch i
on indi ek en Ve ah en hin zum Au u eine NLP-Rou ine. Wi gehen dabei as iden-
isch zu di ek en Me hode o : Wi u en
mincon
mi dem eduzie en Ziel unk ional
104 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
au . De einzige Un e schied is , dass wi diesmal den G adien en mi übe geben, d.h.
wi lösen zusä zlich inne halb des Ziel unk ionals nach den Zus andsgleichungen noch
die adjungie en Gleichungen und o men den (disk e isie en) G adien en. Wi u en
mincon
au zu Minimie ung des eduzie en Ziel unk ionals. Die Un e unk ion des e-
duzie en Ziel unk ionals üh zu einem übe eich en S eue ek o olgende Sch i e in
Reihen olge aus:
1. Zus andsgleichungen lösen
2. Ziel unk ional pe Quad a u o mel be echnen
3. Adjungie e Gleichungen lösen
4. G adien o mie en
5. Ziel unk ionswe und G adien zu ückgeben
Abbildung 4.6: Ablau eine Funk ionsauswe ung de Un e unk ion des Quasi-New on-
Ve ah ens.
Beim di ek en Ve ah en elen die Sch i e 3, 4 weg und lediglich de Ziel unk ionswe
wu de zu ückgegeben.
mincon
p oduzie e die nö igen Ablei ungen dann mi els nume-
ische Die en ia ion.
Die Ak i e-Mengen-S a egie und das Inne e-Punk e-Ve ah en on
mincon
e wenden
dann eine Quasi-New on-Me hode mi BFGS-Upda e und kubische Liniensuche.
Eine höhe e Genauigkei e ziel man, wenn man nach Kon e genz des Quasi-New on-
Ve ah ens ein paa Sch i e eine Fixpunk i e a ion anschlieÿ . Dahe besch eiben wi
zule z die Me hode de Fixpunk i e a ion.
Fixpunk i e a ion
Nich e gessen soll e man die naheliegens e Me hode, die Fixpunk i e a ion. Falls die
Auswahl de S eue ungen es e laub , die Va ia ionsungleichungen als P ojek ions o meln
ode geschach el e P ojek ions o meln (ode als noch allgemeine e Fixpunk o men) zu
o mulie en, dann lau e die Fixpunk i e a ion zu Lösung des KKT-Sys ems wie olg :
Algo i hmus 4.6.3 (Fixpunk i e a ion)
1. Sei
uk
gegeben.
2. Be echne
yk
aus den Zus andsgleichungen zu
uk
.
3. Be echne
pk
aus den adjungie en Gleichungen zu
(yk, uk)
.
4. Be echne
uk+1
aus den P ojek ions o meln zu
(yk, uk, pk)
.
5. I e ie e Sch i e 2.  4. bis kon e gen .
4.6. INDIREKTE VERFAHREN DER OPTIMALSTEUERUNG 105
Alle dings kon e gie die Fixpunk i e a ion bekann lich nu , alls die Kos en ak o en
λi
in gewisse Weise g oÿ genug sind, siehe [60, Sec . 3.5]. Da sich die Kon ak ions-
bedingung beim o liegneden P oblem schwe angeben läss , besch änken wi uns au
nume ische S udien.
Die Fixpunk i e a ion lieÿe sich seh ezien mi de a ia ionellen Disk e isie ung aus
Hinze [57] kombinie en. Do is o geschlagen, die S eue ung nich zu disk e isie en,
sonde n ih e Disk e isie ung anhand de P ojek ions o mel aus den Disk e isie ungen
de ande en Va iablen zu e hal en. Inne halb eine ges ael en Me hode läss sich dies
besonde s ezien einbauen: Man lös beide PDAE-Sys eme adap i und o m die neue
S eue ung, wobei das zugehö ige Gi e aus de P ojek ion und den Disk e isie ungen on
y
,
p
olg . Einen solchen P ojek ionssch i soll e man s e s am Ende seine Op imie ung
aus üh en, um on de ges eige en Fehle o dnung zu p o ie en ( gl. [71]).
4.6.2 Adjungie e Sol e und Wahl des Zei gi e s
Um ein ges ael es indi ek es Ve ah en au se zen zu können, b auch man zunächs
einen adjungie en Sol e . D.h. man muss in de Lage sein, die adjungie en Gleichungen
ü gegebene S eue ungen und Zus ände zu simulie en. Da man an diese S elle be ei s
einen angepass en Zus andssol e gesch ieben hab , kann man sein Vo wissen nu zen:
Die adjungie en Gleichungen we den dahe analog zu den Zus andsgleichungen disk e-
isie , also mi de Linienme hode un e Anwendung on Upwind-Ve ah en wie denen
aus Kap. 4.2.1.
Nach Abschni 4.4.7 sind die Fluss ich ungen in den adjungie en Gleichungen genau
en gegengese z zu denen de Zus andsgleichungen. Die Techniken aus Abschni 4.2.1
sind en sp echend angepass anzuwenden. De haup sächliche P og ammie au wand lieg
an de ( ehle eien) Be ei s ellung de länglichen ech en Sei en und de Umse zung de
komplexen Kopplungss uk u aus Abb. 4.5.
Anschlieÿend möch en wi die adjungie en Gleichungen mi
ode15s
lösen. Da
ode15s
leide keine ückwä s ge ich e en Gleichungen e a bei en kann, müssen wi die in e se
Zei ans o ma ion
τ= −
,
τ∈[0, ]
anwenden und die Vek o en konsis en umso -
ie en. Als E gebnis e hal en wi einen in de Zei adap i en adjungie en Sol e .
In [90] haben wi das Einschwing e hal en de Zus ände eingehend un e such . Es zeig
sich, dass zu Beginn und di ek nach einem Las wechsel seh iele Zei sch i e nö ig
sind, zu Ende hin dann imme wenige . Die adjungie en Zus ände b auchen dagegen ein
g undlegend ande es Gi e : De adap i e DAE-Sol e
ode15s
wähl bei de adjungie en
MCFC zusä zlich iele Zei sch i e um die S a zei
=
he um. Dies lieg da an, dass
das adjungie e PDAE-Sys em ebenso e schiedene Zei skalen wie die Zus andsgleichun-
gen zeig . Alle dings üh hie die Endbedingung zu Schwingungen, welche im Lau e de
( ückwä s lau enden) Zei sich dann ausgleichen. Das un e schiedliche Einschwingen on
Zus änden und adjungie en Zus änden sieh man exempla isch in Abbildung 4.7. Wäh-
end Zus ände au g und de An angsbedingung und dem Las wechsel (hie bei
= 300
)
ins Schwingen kommen, so g bei den adjungie en Zus änden die Endbedingung ü
Schwingungen.

106 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
Ucell( )
χH2,a(z, )
z
˜
ϑm( )
˜χCO,a(z, )
z
Abbildung 4.7: Links: Typisches Einschwing e hal en on Zus änden (
Ucell( )
,
χH2,a(z, )
) bei kons an en S eue ungen und einem Las wechsel bei
= 300
. Rech s:
Typisches Einschwing e hal en on adjungie en Zus änden (
˜
ϑm( )
,
˜χCO,a(z, )
) bei kon-
s an en S eue ungen, sowie zei lich kons an en Zus änden und Sollzus änden.
Die adap i en Gi e on Zus änden und adjungie en Zus änden sind olglich auch un e
a iablen S eue ungen in Be eichen kon o e s, siehe Abb. 4.8. Da die S eue ung on Zu-
s änden und adjungie en Zus änden beeinuss wi d, empehl es sich die E kenn nisse
zu kombinie en: Es wi d die Ve einigung de beiden adap i en Gi e als es es Gi e ü
einen Op imie ungsdu chlau e wende . Die S eue ung leb au diesem Gi e . Zus ände
und adjungie e Zus ände we den dennoch adap i gelös , alle dings muss  inne halb de
gewähl en Implemen ie ung  das adap i e Gi e das es e Gi e zumindes en hal en.
Wi d eine Va iable au einem eine en Gi e abge u en, so wi d s e s linea in e polie .
Beme kung 4.6.4 (Disk e e und kon inuie liche adjungie e Zus and)
Da die Zus ands- und adjungie en Gleichungen hie sepa a adap i gelös we den,
s imm de e hal ene adjungie e Zus and i.A. nich exak mi dem disk e en adjungie -
en Zus and übe ein, gl. Ulb ich [98], [103]. In Ziems und Ulb ich [103, Rema k 3.7]
wi d gezeig , dass sich dieses P oblem mi els Gi e e eine ung anhand Fehle schä -
ze n de kon inuie lichen G öÿen in den G i bekommen läss . Dabei we den die Gi e
de Zus ände und de adjungie en Zus ände zugleich e eine .
Die Kon e genz des disk e isie en gegen den kon inuie lichen adjungie en Zus and is
in jedem Falle siche zus ellen, dami das ko ek e E gebnis e hal en wi d, siehe auch
Hage [46] im Falle on OC-ODE.
Bei den nume ischen E gebnissen in Abschni 4.7 wi d dahe eine seh eine Zei disk e-
isie ung gewähl , was möglich is , da de Au wand dank de sch i weisen In eg a ion
4.6. INDIREKTE VERFAHREN DER OPTIMALSTEUERUNG 107
nu linea in den Zei sch i en anwächs . Die Zei gi e de Zus ände und de adjun-
gie en Zus ände we den zugleich en sp echend genau e eine . Dahe is on eine
Kon e genz gegen die kon inuie lichen adjungie en Zus ände auszugehen. Die E gebnis-
se we den dies spä e bes ä igen.
Be ei s e s e Tes s mi dem adjungie en Sol e lie e n ein in e essan es E gebnis: Wi
e kennen zunächs nume isch und dann du ch genaue en Blick au die adjungie en Glei-
chungen, dass de adjungie e Wasse gehal in Ka hode, B ennkamme und Mischkam-
me iden isch e schwinde :
˜χH2O,c≡0,˜χH2O,m≡0,˜χH2O,b≡0.
(4.35)
Bei nähe em Hinsehen e kenn man die U sache:
χH2O,c
is an de Reduk ions eak ion
nich be eilig . De iden isch e schwindende adjungie e Zus and e ä uns, dass die
zugeo dne e Zus andsgleichung sozusagen obsole is ; sie wi k sich nich au die Op i-
mie ung aus. Es gib eine algeb aische Rela ion, mi welche die Zus ands a iable
χH2O,c
aus dem Sys em eliminie we den kann. Und in de Ta könn en wi das Modell an diese
S elle e ein achen, indem wi die Ta sache nu zen, dass die Molenb üche on
N2
und
H2O
in de Ka hode, in B enn- und Mischkamme s e s in einem es en (zei abhängigen)
Ve häl nis s ehen:
χH2O,c(z, )
χN2,c(z, )=χH2O,m( )
χN2,m( )=χH2O,b( )
χN2,b( )=c( )∀z∈[0,1] .
(4.36)
Au bauend au einem adjungie en Sol e können wi nun ges ael e indi ek e Ve ah en
au se zen. Um die Ezienz de Op imie ungs e ah en un e suchen zu können, e p oben
wi sie im nächs en Abschni zunächs an Tes au gaben und im Anschluss am ges ell en
Anwendungsp oblem. Doch wie kons uie man Tes au gaben bei de a ig komplexen
PDAE-Modellen?
4.6.3 Kons uk ion on Tes au gaben
Zu ehle eien P og ammie ung benö ig man i.d.R. Tes au gaben, also Au gabens el-
lungen bei denen man das E gebnis be ei s kenn . Fü akademische Beispiele lassen
sich diese o analy isch e zeugen, siehe [96]. Hil eiche Tes beispiele nde man z.B. ü
ellip ische Rands eue ungsp obleme mi S eue ungsbesch änkungen in [25], ü linea -
ellip ische, e eil e S eue ungsp obleme mi Zus andsbesch änkungen in [70] sowie [72].
Auch Pa abolische Tes beispiele lassen sich so kons uie en, siehe z.B. [6], [83].
Bei Anwendungsp oblemen kann man dagegen au g und de Komplexi ä keine analy-
ischen Tes beispiele meh e wa en. Dahe e zeugen wi uns im Folgenden s uk u ie
nume ische Tes beispiele. Beim o liegenden KKT-Sys em lassen sich nume ische Tes -
beispiele jedoch e s nach Ein üh ung eine wei e en Modellie ungsg öÿe kons uie en.
Um möglichs wenig zu e ände n, üh en wi dahe eine Solls eue ung
~ud= (ud
k)k=1,...,7
ein, d.h. wi ände n die S eue ungskos en in (4.8) zu
1
2
7
X
k=1
λk
Z0
(uk( )−ud
k( ))2
d
.
(4.37)
En sp echend ände sich das KKT-Sys em genau im jeweils e s en Summanden de ein-
zelnen Komponen en des G adien en: Aus
λkuk( )
wi d en sp echend
λk(uk( )−ud
k( ))
.
108 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
Dank diesem wei e en F eihei sg ad können wi seh schnell Tes beispiele gene ie en mi
olgende Me hodik:
1. Wähle die op imale S eue ung
¯
~u
beliebig (abe zulässig)
2. Be echne die op imalen Zus ände aus den Zus andsgleichungen
3. Wähle den Sollzus and
Ucell,soll
20
beliebig und löse
die adjungie en Gleichungen
4. Wähle ein
~ud
, so dass die Va ia ionsungleichungen e üll sind
Die Wahl on
~ud
in Sch i 4 is au inak i en Be eichen o gegeben, au ak i en Be-
eichen ha man dagegen Wahl eihei en. Man beach e, dass sich mi den e zeug en
Tes beispielen Fehle im Zus andssol e ode im adjungie en Sol e i.A. nich e ken-
nen lassen. Die Beispiele dienen haup sächlich de Kon e genzanalyse de e schiedenen
Op imie ungs e ah en.
E p oben wi nun die p og ammie en Ve ah en an de a igen Tes beispielen.
4.7 Nume ische Expe imen e
In diesem Abschni be ach en wi die E gebnisse indi ek e Ve ah en anhand einige
Beispiele. Im Ziel unk ional
J
aus (4.8) wählen wi gene ell
Z3
aus. Als Pa ame e seien
= 2000
sowie ein Las wechsel gemäÿ
Icell =(0.4, < 0.1,
0.5, ≥0.1,
gewähl . Im O wi d mi
N= 41
Linien disk e isie . Die Zei gi e we den adap i
on
ode15s
e s ell gemäÿ Abschni 4.6.2 aus de Simula ion zu S a schä zung de
S eue ungen mi olgenden Tole anzen
ol
,
a ol
21
:
Zei sch i e in
ol a ol
Bsp. 1 Bsp. 2 Bsp. 4
Zus ände 3 6 244 272 343
Adjungie e Zus ände 3 4 280 262 426
Zusammen
22
522 532 767
Tabelle 4.1: Tole anzen und Anzahl Zei sch i e de adap i en Zei disk e isie ung.
Die e hal enen Gi e des 1. Tes beispiels sind da ges ell in Abb. 4.8. Die Zus ände
we den zu kleinen Zei en seh ein au gelös au g und de Ände ungen de schnellen
Va iablen nach de An angsbedingung und nach dem Las wechsel. Zu den beiden Zei en
= 400
und
= 1200
knick
ud
und
Ucell,soll
(siehe Abb. 4.9), weshalb auch hie eine
au gelös wi d.
20
Ode
ϑsoll
 je nach Ziel unk ional.
21
Siehe Dokumen a ion on
ode15s
.
22
An angs- und Endzei zähl nu einmal.
4.7. NUMERISCHE EXPERIMENTE 109
k
k
k
k
Abbildung 4.8: Adap i es Zei gi e
0 = 1<··· < k<··· <
übe Index
k
des 1.
Tes beispiels. Zus ände links, adjungie e Zus ände ech s.
4.7.1 Lösung on Tes beispielen
Wi lösen zue s zwei Tes beispiele und anschlieÿend zwei konk e e F ages ellungen des
Anwendungsp oblems. Als Quasi-New on-Ve ah en das BFGS-Ve ah en on
mincon
ausgewähl , welches man übe den Au u des Inne e-Punk e-Ve ah ens ohne Gleichungs-
nebenbedingungen e häl . Box-Besch änkungen an die S eue ung lassen sich hie güns ig
be ücksich igen.
1. Tes beispiel: S eue ung on
a,in
Im e s en Beispiel wählen wi nu eine S eue ung
~u( ) = u1( ) = a,in( )
mi Kos en ak o
λ1= 0.5
. Alle nich e wende en S eue ungen eines Beispiels we den gene ell au ge üll
mi kons an en S anda dwe en aus olgende Tabelle:
u1u2u3u4u5u6u7
a,in ϑa,in χCH4,a,in χH2,a,in γa,in( )·λai ( )ϑai Rback
4.4 3.0 0.28 0.05 3.3 1.5 0.3
Tabelle 4.2: S anda dwe e de S eue ungen.
Ans elle on
u5
wi d hie eine kons an e Lu zahl
λai = 2.2
e wende . Als S eue-
ungsbesch änkung wählen wi
3.2≤ a,in( )≤5.6
und s a en mi de S a schä zung
a,in( )≡4.4
.
T i man eine Auswahl on S eue ungen, so e ände sich on allen no wendigen Be-
dingungen lediglich de G adien . Mi nu eine S eue ung
a,in
lau e e :
23
0(~u( )) = λ1(u1( )−ud
1( )) + ˜ a(0, ) + λai
ϑa,in χO2,ai 2χCH4,a,in + 0.5χH2,a,in˜γai ( )
23
Le z e Summand komm aus de Gleichung on
γai
, da
γa,in = a,in/ϑa,in
bei Vo gabe de es li-
chen Inpu s zu einem Au e en on
a,in
üh .
116 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
Fi s -o de No m o
I e F-coun (x) op imali y s ep
0 1 1.023003e+03 1.5e-01
1 2 6.792458e+02 7.5e-02 1.5e+00
2 3 1.338197e+02 9.4e-02 4.4e+00
3 4 6.127869e+01 6.4e-02 1.4e+00
4 5 1.888273e+01 4.5e-02 1.3e+00
5 6 6.433656e+00 4.8e-02 9.7e-01
6 8 6.133361e+00 3.3e-02 3.9e-01
7 20 6.133453e+00 7.5e-03 2.7e-02
8 30 6.131543e+00 7.4e-03 8.5e-04
9 54 6.131526e+00 7.5e-03 1.1e-08
10 57 6.131521e+00 7.5e-03 1.3e-08
Abbildung 4.18: 3. Beispiel: Indi ek es Quasi-New on-Ve ah en zu
λ6= 5 ·10−5
.
Ucell,soll
U1
cell,op
U2
cell,op
Abbildung 4.19: 3. Beispiel: Sollzus and
Ucell,soll( )
und op imale Zus and
U1
cell,op ( )
bei
λ6= 5 ·10−5
bzw.
U2
cell,op ( )
bei
λ6= 5 ·10−2
nach jeweils
6
Sch i en des indi ek en
Quasi-New on-Ve ah ens.
E höh man den Kos en ak o au
λ6= 5 ·10−2
, so kon e gie das indi ek e Quasi-
New on-Ve ah en ähnlich schnell, bei einem en sp echend ande en E gebnis: Au g und
de höhe en S eue ungskos en läss sich die Sollzellspannung in Abb. 4.19 nich so genau
e eichen.
4. Beispiel: De schnelle Las wechsel
Als le z es Expe imen soll de schnelle Las wechsel gelös we den. Dazu wi d de Soll-
zus and denie nach [90] zu
Ucell,soll := (Ucell,0.4, < 0.1,
Ucell,0.5, ≥0.1.
(4.38)
Dabei is die ech e Sei e jeweils die s a ionä e Zellspannung, welche sich nach lange
Zei zu
Icell = 0.4
bzw.
Icell = 0.5
und S anda dwe en de S eue ung aus Tabelle 4.2

4.7. NUMERISCHE EXPERIMENTE 117
eins ell . E neu we den obige zwei S eue ungskos en im Ve gleich un e such . Die es -
lichen Pa ame e übe nehmen wi aus dem 2. Tes beispiel.
Das Quasi-New on-Ve ah en kon e gie hie langsame . Nach
50
Sch i en lie e es die
Zellspannungen in Abb. 4.20. Wi sehen, dass bei minimalen S eue ungskos en de Las -
wechsel o z S eue ungsbesch änkungen asan und exak abgeschlossen we den kann.
Dabei wi d de B enns ozellens apel allein anhand de Tempe a u des Lu s oms ge-
s eue , welche in die B ennkamme eingespeis wi d.
Ucell,soll
U1
cell,op
U2
cell,op
Abbildung 4.20: 4. Beispiel: Sollzus and
Ucell,soll( )
und op imale Zus and
U1
cell,op ( )
bei
λ6= 5 ·10−5
bzw.
U2
cell,op ( )
bei
λ6= 5 ·10−2
nach
50
Sch i en des indi ek en
Quasi-New on-Ve ah ens.
Bei de a nied igen S eue ungskos en wie
λ6= 5·10−5
di e gie die Fixpunk i e a ion.
Eine kleine No m des G adien en üh au g und de Di ision du ch
λ6
oensich lich
be ei s zu eine g oÿen Die enz de nächs en S eue ung zu op imalen S eue ung.
Fi s -o de No m o
I e F-coun (x) op imali y s ep
0 1 3.137e+01 5.2e-02
5 6 7.001e+00 1.2e-02 3.6e-01
10 13 6.343e+00 1.1e-02 1.2e-01
15 20 5.861e+00 5.8e-03 1.0e-01
20 27 5.687e+00 2.3e-03 2.9e-02
25 34 5.653e+00 1.2e-03 1.8e-02
30 42 5.488e+00 2.6e-03 1.4e-01
35 47 5.428e+00 1.2e-03 7.3e-03
40 56 5.383e+00 1.5e-03 2.4e-02
45 77 5.374e+00 3.9e-04 4.1e-03
50 129 5.372e+00 3.2e-04 1.8e-10
Abbildung 4.21: 4. Beispiel: Ausgabe des indi ek en Quasi-New on-Ve ah ens zu
λ6=
5·10−5
.
118 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
4.7.3 Ve gleich und Wei e en wicklung du ch AD
Im olgenden we den die e schiedenen Ve ah en de Op imalen S eue ung e glichen
und Wei e en wicklungen we den o geschlagen.
Ve gleich on di ek en und indi ek en Ve ah en
Die Kombina ion eines ges ael en indi ek en Ve ah ens mi de au die S eue ung e-
duzie en Fo mulie ung und eine sch i weisen In eg a ion in de Zei zeig sich als seh
ezien . Inne halb on wenigen Minu en läss sich das komplexe Anwendungsp oblem
mi hohe Genauigkei op imal s eue n. Die indi ek en Me hoden kon e gie en schnell
und zu e lässig. Sie e lauben eine wesen lich eine e Auösung de S eue ungen, da die
Anzahl de Funk ionsauswe ungen je Op imie ungssch i im Ve gleich zu den di ek-
en Ve ah en nich on de Anzahl de S eue punk e abhäng . De G adien is beim
indi ek en Ve ah en gla e , so dass wenige nume ische A e ak e zu beobach en sind.
Alle dings s ell die He lei ung de no wendigen Bedingungen bei komplexen gekoppel-
en Sys emen den Anwende o eine g oÿe He aus o de ung.
Di ek e Ve ah en mi nume ische Die en ia ion können in Genauigkei und Rechen-
au wand nich mi indi ek en Ve ah en konku ie en. De Au wand s eig s a k mi
de Anzahl de F eihei sg ade. Seh eine S eue gi e , e eil e S eue ungen ode die
olle Fo mulie ung (das Ve wenden on Zus änden und S eue ungen als Op imie ungs-
a iablen) e zeugen iele F eihei sg ade und be ei en en sp echend P obleme. Man soll e
die di ek en Ve ah en ü solche P obleme kombinie en mi Me hoden de ins an anen
S eue ung, de modellp ädik i en Regelung, de Modell eduk ion ode de au oma ischen
Die en ia ion.
Vo eil de di ek en Ve ah en is ih e Anwende eundlichkei : De Anwende ha die
Zus andsgleichungen und das Ziel unk ional passend zu disk e isie en. Die au wändige
He lei ung de Op imali ä sbedingungen und de en Lösung en äll dagegen.
Wei e en wicklung du ch AD-Tools
Ziel is es, die Vo eile beide Ve ah en zu kombinie en. Ein Schlüssel hie ü is die Au o-
ma ische Die en ia ion
24
(AD), welche sich inne halb di ek e und indi ek e Ve ah en
nu zen läss . So s eige AD bei di ek en Ve ah en die Genauigkei und eduzie den
Rechenau wand: Analy ische Ablei ungen sind bekann lich nich on de Auslöschung
be oen und e eichen dahe eine hohe Genauigkei . Zudem s eig de Rechenau wand
nich in de Fo m, da AD-Tools mi le weile das Ziel des linea en ges iegenen Au wandes
e eichen, d.h. de Au wand den G adien en zu be echnen soll nu das
c
- ache des Au -
wandes de Funk ionsauswe ung sein  mi einem kleinen, om P oblem unabhängigen
c
.
Besonde s ezien läss sich AD bei de Ve wendung es e Gi e einbauen. Das Rocke -
ca in Kap. 3.5.2 zeig , dass man mi di ek en Ve ah en und AD dann beeind uckende
E gebnisse bei ge ingem Implemen a ionsau wand e zielen kann. Dank de Ve wendung
eines es en Gi e s und eine ollen Disk e isie ung lassen sich soga Zus andsbesch än-
kungen be ücksich igen.
24
Li e a u und Tools nde man un e
www.au odi .o g
.
4.7. NUMERISCHE EXPERIMENTE 119
Das In eg ie en on AD-Tools in di ek e Me hoden, welche au de eduzie en Fo -
mulie ung basie en, benö ig dagegen eine genaue e Be ach ung du ch den Anwende :
AD-Tools lassen sich hie meis nich au das komple e P og ammpake anwenden, son-
de n ezien nu au ausgewähl e Subsys eme. Kons uk e wie Gi e gene a o en ode
Adap i i ä s ou inen s ellen z.B. besonde e He aus o de ungen da [17]. So läss sich
insbesonde e das eduzie e Ziel unk ional de MCFC au g und de adap i en Zei dis-
k e isie ung als Ganzes nich meh au oma isch ablei en. Ande e Kons uk e wie in-
di ek e Löse linea e Gleichungssys eme soll e man nich die enzie en, sonde n sich
sogenann e hie a chische Ansä ze bedienen (siehe z.B. [82, S. 1053] und do genann e
Re e enzen). Dabei s ell man ein abgelei e es Gleichungssys em au und lös dieses bei
Au u des G adien en mi dem o handenen indi ek en Löse . Einige AD-Tools se zen
dies au oma isch um.
Die passende Anwendung on AD au einen g oÿen Code im Be eich de Shapeop imie-
ung in de Ae odynamik nde man bei Gauge , Wal he e al. [40].
Fü die eduzie e Fo mulie ung bei adap i en Gi e n soll e man auch die Kombina-
ion on indi ek en Me hoden mi AD in E wägung ziehen. Fü das MCFC-P oblem
bedeu e dies, dass man die Die en ialope a o en de adjungie en Gleichungen he lei-
e , den Haup au wand de ech en Sei en abe pe AD be echnen läss . AD äg hie
zu Ezienz und ge inge e Fehle an älligkei . Zu P oblemen mi de Die en ia ion de
Adap i i ä s ou ine kann es hie nich kommen, da die adap i e Disk e isie ung e s nach
Anwenden des AD-Tools o genommen wi d.
120 KAPITEL 4. OPTIMALE STEUERUNG VON BRENNSTOFFZELLEN
4.8 Zusammen assung
Die Modellie ung on B enns ozellen mi Die en ialgleichungen lie e meis komplexe
PDAE-Modelle. De op imale Be ieb on B enns ozellenanlagen s ell dahe ein Mu-
s e beispiel eines komplexen OC-PDAE da .
Ein konk e es PDAE-Modell eine Hoch empe a u -B enns ozelle om Typ MCFC e -
ein DAE, nich linea e hype bolische Ad ek ions-Reak ionsgleichungen, pa abolische Di -
usions-Reak ionsgleichungen und in eg ale Kopplungen au g und elek ische Felde .
Zusä zlich besi z das P oblem mul iple Zei skalen. Au g und de de aillie en Model-
lie ung de chemischen Reak ionen weis das PDAE-Sys em eine s a ke Kopplung übe
lange, nich linea e Quell e me au . Aus dem echnischen Hin e g und he aus wi d ein
OC-PDAE mi
7
ein zei abhängigen S eue ungen und S eue ungsbesch änkungen o -
mulie .
Au g und de hohen Komplexi ä des PDAE-Modells lassen sich die no wendigen Bedin-
gungen nu mi de o malen Lag ange-Technik au s ellen. Die ielsei igen und nich li-
nea en Kopplungen e zeugen jedoch eine Vielzahl on Summanden in den adjungie en
Gleichungen. Zusammen mi de hohen Zahl on
67
e schiedenen dualen Va iablen s ell
abe auch die o male Lag ange-Technik be ei s eine seh au wändige Angelegenhei da .
Bei de a komplexen P oblemen soll e man dahe als Al e na i e den Einsa z on Au-
oma ische Die en ia ion in E wägung ziehen.
Die no wendigen Bedingungen bes ehen aus dem PDAE-Modell de B enns ozelle, ei-
nem ebenso g oÿen PDAE-Modell on adjungie en Gleichungen, sowie
7
Va ia ionsun-
gleichungen ü die S eue ungen, welche e zwick sind, da die S eue ungen nich linea
in die Zus andsgleichungen eingehen.
Zu Lösung wi d ein g oÿes So wa e-Pake un e
Ma lab
en wickel . Die Zus andsglei-
chungen we den mi de Linienme hode un e speziell au die hype bolischen E hal ungs-
gleichungen angepass e ni e Die enzen disk e isie . Anschlieÿend we den e ablie e
adap i e und implizi e DAE-Me hoden eingese z , um die e schiedenen Zei skalen des
Modells eend au zulösen. Die Zus andsgleichungen können dami seh schnell und
seh genau gelös we den.
Da die no wendigen Bedingungen au g und de Komplexi ä nich mi eine ollen Dis-
k e isie ung gelös we den können, we den ges ael e Ve ah en en wickel , bei welchen
die beiden PDAE-Sys eme zwa häug, abe s e s unabhängig oneinande gelös we den
müssen. Die adjungie en Gleichungen we den dabei analog zu den Zus andsgleichugnen
mi de Linienme hode und eine adap i en, implizi en DAE-Me hode gelös . Als Op-
imie ungs e ah en se zen sich e ablie e Quasi-New on-Ve ah en mi BFGS-Upda e
du ch.
Die Op imie ungs e ah en we den e glichen anhand nume ische Tes beispiele. Meh-
e e S udien belegen die Ezienz de en wickel en Me hoden. Die indi ek en Quasi-
New on-Ve ah en zeigen dabei einen g oÿen Kon e genzbe eich. Dank ges ael e Ve -
ah en und sch i weise In eg a ion is jede Funk ions- und G adien enauswe ung seh
schnell be echne . Da das e ablie e Quasi-New on-Ve ah en zudem nu wenige Funk i-
onsauswe ungen und nu wenige Sch i e zu Kon e genz benö ig , liegen die E gebnisse
auch bei einen Disk e isie ungen in wenigen Minu en o . Da au au bauend läss sich
zule z das Anwendungsp oblem in ge inge Lau zei und hohe Genauigkei lösen.
Kapi el 5
Schluss
Diese A bei lie e Bei äge zu Op imalen S eue ung pa iell-die en ial algeb aische
Gleichungen. Insbesonde e we den Zus andsbesch änkungen bei de Op imalen S eue-
ung gewöhnliche und pa ielle Die en ialgleichungen sowie gekoppel e Sys eme un-
e such . Die e schiedenen Konzep e diese Gebie e we den e glichen, übe agen und
eingeo dne .
Zen ale E gebnisse sind die Übe agung de no wendigen Bedingungen nach B yson,
Denham und D ey us au ellip ische Op imals eue ungsp obleme mi punk weisen Zu-
s andsbesch änkungen, die Übe agung on Sp ungbedingungen und Maÿda s ellungen
au ein ODE-PDE besch änk es Op imals eue ungsp oblem mi Zus andsbesch änkun-
gen bei niede dimensionalen ak i en Mengen, sowie die En wicklung ezien e nume i-
sche Me hoden ü komplexe Anwendungsp obleme.
Die Bei äge diese A bei gliede n sich in ie Kapi el, de en Aspek e jeweils zusam-
menge ass we den:
Zunächs we den die G undlagen aus OC-ODE wiede hol . Die no wendigen Bedingun-
gen on Op imals eue ungsp oblemen mi gewöhnlichen Die en ialgleichungen un e
(punk weisen) Zus andsbesch änkungen we den im Falle e eil e ak i e Mengen zu
die en ial algeb aischen Gleichungen (DAE), da die Zus andsbesch änkung au de
ak i en Menge eine Gleichung da s ell . Zu nume ischen Lösung ans o mie man
die no wendigen Bedingungen in ein Meh punk -Randwe p oblem und lös dieses mi
de Meh zielme hode ode dem Kolloka ions e ah en. Es gib zwei e ablie e Sys e-
me no wendige Bedingungen, die di ek e Ankopplung nach Jacobson, Lele und Spey-
e (JLS-Ansa z) sowie die indi ek e Ankopplung nach B yson, Denham und D ey us
(BDD-Ansa z). Nume ische Me hoden bauen meis au dem BDD-Ansa z au , da das
Meh punk -Randwe p oblem hie eine DAE on deu lich ge inge em Index (i.d.R. Di -
e en ia ionsindex
1
) is . Bei S anda d-P oblemen lassen sich beim BDD-Ansa z soga
alle algeb aischen Gleichungen besei igen, so dass ein Meh punk -Randwe p oblem bei
gewöhnlichen Die en ialgleichungen en s eh . Das Meh punk -Randwe p oblem nach
dem JLS-Ansa z weis dagegen einen de a hohen Index au , dass es nume isch nich
sinn oll gelös we den kann.
Übe die o male Lag ange-Technik und eine Analyse des Lag ange-Mul iplika o s de
Zus andsbesch änkung lassen sich un e eine S uk u annahme an die ak i e Menge die
Zusammenhänge zwischen dem Bo el-Maÿ und den Sp ungbedingungen he ausa bei en.
Op imals eue ungsp obleme pa ielle Die en ialgleichungen un e Zus andsbesch än-
kungen und e eil en ak i en Mengen üh en analog zu Sys emen pa iell-die en ial
121

122 KAPITEL 5. SCHLUSS
algeb aische Gleichungen. Im Hinblick au ih e Vo eile bei gewöhnlichen Die en ial-
gleichungen we den BDD-Ansä ze e s malig au ellip ische pa ielle Die en ialgleichun-
gen übe agen. Die Zus andsbesch änkung wi d hie zu au de ak i en Menge äqui alen
in ein Randwe p oblem ans o mie . Bei de konsequen en Au eilung de gesam en
P oblems ellung au die ak i e und die inak i e Menge e häl man zusä zliche Nah be-
dingungen an die Zus ände. Un e Siche s ellung de Zowe-Ku cyusz-Bedingung lassen
sich die neuen no wendigen Bedingungen mi eine au ge eil en Lag ange-Technik he lei-
en. Die be eilig en Lag ange-Mul iplika o en weisen höhe e Regula i ä en au e glichen
mi den klassischen no wendigen Bedingungen.
Als Ve allgemeine ung des Meh punk -Randwe p oblems e häl man aus den neuen
no wendigen Bedingungen ein Randwe p oblem au e schiedenen Gebie en mi Übe -
gangsbedingungen. Das In e ace zwischen den e schiedenen Gebie en s ell eine Op-
imie ungs a iable da , welche den Schal zei en des Meh punk -Randwe p oblems im
Falle gewöhnliche Die en ialgleichungen en sp ich . Eine no wendige Bedingung am
In e ace wi d dahe mi Techniken de Shapeop imie ung he gelei e .
Zei abhängige Anwendungsp obleme s ellen uns häug o Op imals eue ungsp obleme
mi gekoppel en Sys emen aus gewöhnlichen und pa iellen Die en ialgleichungen un e
Zus andsbesch änkungen. Da sich im O e eil e S eue ungen sel en in die Reali ä um-
se zen lassen, en hal en iele Modelle nu endlich iele zei e ände liche S eue signale,
welche op imal zu ges al en sind. Als Beispiel denke man an die S eue ung on Posi-
ionen, Geschwindigkei en, Beschleunigungen, Ampli uden, S oms ä ken, Spannungen
ode on Winkeln. Hie sind i.d.R. Me hoden ü niede dimensionale ak i e Mengen zu
en wickeln. Exempla isch un e suchen wi ein de a iges P o o yp-P oblem eines ODE-
PDE besch änk en Op imals eue ungsp oblems mi punk weisen Zus andsbesch änkun-
gen und eie Endzei , das sogenann e Rocke ca -P oblem.
In eine Reihe heo e ische Un e suchungen we den Sp ungbedingungen aus de Op-
imalen S eue ung gewöhnliche Die en ialgleichungen au das ODE-PDE besch änk-
e Op imals eue ungsp oblem übe agen. De Lag ange-Mul iplika o de Zus andsbe-
sch änkung kann e s mals ü niede dimensionale ak i e Mengen olls ändig angegeben
we den. Dies e möglich im P o o yp-Beispiel wei gehende Regula i ä saussagen und eine
Fo mulie ung de no wendigen Bedingungen als Meh punk -An angs andwe p oblem.
Di ek e und indi ek e nume ischen Me hoden we den en wickel und disku ie . E geb-
nisse aus di ek en Ve ah en belegen die heo e ischen Resul a e.
Komplexe Anwendungsp obleme s ellen ü die heo e ische und nume ische Analyse
g oÿe He aus o de ungen da . Bei de Un e suchung eines PDAE-Modells eine B enn-
s ozellen-Anlage i man au ein Sys em aus ODE, pa abolischen und hype bolischen
PDE, DAE sowie in eg alen und nich -lokalen Kopplungs e men und mul iplen Zei ska-
len. Das zugehö ige Op imals eue ungsp oblem such nach
7
ein zei abhängigen S eue-
ungen un e echnisch beding en Box-Besch änkungen.
Zu Lösung dieses P oblems we den di ek e und indi ek e Me hoden en wickel . Das Au -
s ellen de no wendigen Bedingungen e weis sich dank de Vielzahl on
67
e schiede-
nen Lag ange-Mul iplika o en und de e zweig en Kopplungss uk u als äuÿe s dizil.
Die e hal en no wendigen Bedingungen lassen sich jedoch zu seh ezien en Op imie-
ungsme hoden nu zen. Dank ges ael e Ve ah en und de sch i weisen In eg a ion de
Teilsys eme e eich man seh ge inge Lau zei en je Op imie ungssch i . Die sch i weise
In eg a ion e laub zudem eine seh eine, adap i e Zei disk e isie ung, wodu ch die e -
schiedenen Zei skalen au einem langen Zei ho izon seh genau au gelös we den können.
Die da au au gese z en adjungie en-basie en Quasi-New on-Ve ah ens e lauben dahe
in nume ischen S udien eine schnelle und genaue S eue ung des B enns ozellen-Modells.
Anhang A
Zus andsgleichungen de MCFC
A.1 Gaskanäle und Solid
∂χk,a
∂ +γaϑa
∂χk,a
∂z = χk,a:= ϑaX
j=ox1,2, e 1,2
(νk,j −χk,a¯νj)Daj j, k ∈ I,
∂χk,c
∂ −γcϑc
∂χk,c
∂z = χk,c:= ϑc(νk, ed −χk,c¯ν ed)Da ed ed , k ∈ I,
∂ϑa
∂ +γaϑa
∂ϑa
∂z = ϑa:= ϑa
cp
X
j= e 1,2
−∆RhjDaj j+X
j=ox1,2
¯ν+
jDaj j(ϑs−ϑa)cp+qas
,
∂ϑc
∂ −γcϑc
∂ϑc
∂z = ϑkc:= ϑc¯ν−
ed Da ed ed (ϑs−ϑc)
| {z }
=0
+ϑcqcs
cp
,
∂(γaϑa)
∂z = γaϑa:= X
j= e 1,2
−∆RhjDaj j/cp+X
j=ox1,2
¯ν+
jDaj j(ϑs−ϑa),
+qas
cp
+ϑaX
j=ox1,2, e 1,2
¯νjDaj j,
−∂(γcϑc)
∂z = γcϑc:= ϑc¯ν ed Da ed ed + ¯ν−
ed Da ed ed (ϑs−ϑc)
| {z }
=0
+qcs
cp
,
cp,s
∂ϑs
∂ = ϑs:= 1
Pe
∂2ϑs
∂z2+qsolid −qas −qcs
+−(ϑc−ϑs) ¯ν+
ed Da ed ed −X
j=ox1,2
(ϑa−ϑs) ¯ν−
jDaj jcp.
A.2 S omdich en und Po en iale
ia= ia:= FX
j=ox1,ox2
njDaj j,
ic= ic:= −F n ed Da ed ed ,
ie= ie:= (ΦL
a−ΦL
c)κe,
Ia( ) = Z1
0
ia
d
z, Ic( ) = Z1
0
ic
d
z, Ie( ) = Z1
0
ie
d
z,
i= i:= c−1
a+c−1
e+c−1
c−1ia−Ia
ca
+ie−Ie
ce
+ic−Ic
cc+Icell ,
d
Ucell
d
= Ucell := Ia−Icell
ca
+Ie−Icell
ce
+Ic−Icell
cc
,
∂ΦL
a
∂ = ΦL
a:= ia−i
ca
,∂ΦL
c
∂ = ΦL
c:= ia−i
ca
+ie−i
ce
.
123
124 ANHANG A. ZUSTANDSGLEICHUNGEN DER MCFC
A.3 Reak ions a en und Ausd ücke
qas =S as (ϑs−ϑa),
qcs =S cs (ϑs−ϑc),
qsolid = (ΦL
a−ΦL
c)ie/F +X
j=ox1,2−∆Rhj−njΦL
aDaj j
+−∆Rh ed +n ed (Ucell −ΦL
c)Da ed ed ,
e 1 = exp A e 1 1
ϑ0
e 1 −1
ϑa· χCH4,aχH2O,a−χ3
H2,aχCO,a
K e 1 !,
e 2 = exp A e 2 1
ϑ0
e 2 −1
ϑa·χCO,aχH2O,a−χH2,aχCO2,a
K e 2 ,
ox1 = exp A ox1 1
ϑ0
ox1 −1
ϑs(ϕH2,aexp α+
ox1 nox1 (−ΦL
a−∆Φ0
ox1)
ϑs
−ϕH2O,aϕCO2,aexp −(1 −α+
ox1)nox1 (−ΦL
a−∆Φ0
ox1)
ϑs),
ox2 = exp A ox2 1
ϑ0
ox2 −1
ϑs(ϕCO,aexp α+
ox2 nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs
−ϕ2
CO2,aexp −(1 −α+
ox2)nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs),
ed = exp A ed 1
ϑ0
ed −1
ϑs(ϕ−2
CO2,cexp α+
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs
−ϕ0.75
O2,cϕ−0.5
CO2,cexp −α−
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs),
∆Φ0
ox1(ϑs) = 28.26 −19.84 ϑs,
∆Φ0
ox2(ϑs) = 20.98 −17.86 ϑs,
∆Φ0
ed(ϑs) = 78.00 −23.06 ϑs,
K e 1(ϑa) = exp(30.19 −90.41/ϑa),
K e 2(ϑa) = exp(−3.97 + 14.57/ϑa),
ϕk,a=χk,a+1
Dk,as X
j=ox1,2
νk,j Daj j, k ∈ I,
ϕk,c=χk,c+1
Dk,cs X
j= ed
νk,j Daj j, k ∈ I.
A.4 B enn- und Mischkamme
Übe gang aus den Gaskanälen:
χk,a,ou ( ) = χk,a(z = 1, ) , ϑa,ou ( ) = ϑa(z = 1, ) , γa,ou ( ) = γa(z = 1, ) ,
χk,c,ou ( ) = χk,c(z = 0, ) , ϑc,ou ( ) = ϑc(z = 0, ) , γc,ou ( ) = γc(z = 0, ) .
A.4. BRENN- UND MISCHKAMMER 125
B ennkamme :
χk,b( ) = χk,b:= γa,ou ( )
γb( )χk,a,ou ( ) + X
j∈I
νk,Cjχj,a,ou ( )
+γc,ou ( )Rback( )
γb( )χk,c,ou ( ) + X
j∈I
νk,Cjχj,c,ou ( )
| {z }
=0

+γai ( )
γb( )χk,ai +X
j∈I
νk,Cjχj,ai
| {z }
=0
, k ∈ I,
ϑb( ) = ϑb:= γa,ou ( )
γb( )cpcp(ϑa,ou ( )−1) −X
k∈I
χk,a,ou ( ) ∆Chk
+γc,ou ( )Rback( )
γb( )cpcp(ϑc,ou ( )−1) −X
k∈I
χk,c,ou ( ) ∆Chk
| {z }
=0

+γai ( )
γb( )cpcp(ϑai ( )−1) −X
k∈I
χk,ai ∆Chk
| {z }
=0
,
γb( ) = γb:= γa,ou ( )1 + X
k∈I
¯νC,k χk,a,ou ( )
+γc,ou ( )Rback( )1 + X
k∈I
¯νC,k χk,c,ou ( )
| {z }
=0

+γai ( )1 + X
k∈I
¯νC,k χk,ai
|{z }
=0
,
γai ( ) = γai := γa,in( )λai ( )
χO2,ai −χO2,a,in( )−X
k∈I
νO2,Ckχk,a,in( )
=γa,in( )λai ( )
χO2,ai 2χCH4,a,in( ) + 1
2χH2,a,in( ).
Mischkamme :
dχk,m
d = χk,m:= γb( )χk,b( )−χk,m( )ϑm( )
Vm
, k ∈ I,
dϑm
d = ϑm:= γb( )ϑb( )−ϑm( )ϑm( )
Vm
−S m(ϑm−ϑu)
cp
ϑm( )
Vm
,
γm( ) = γm:= γb( )ϑb( )
ϑm( )−S m(ϑm−ϑu)
cpϑm( ).
132 ANHANG B. ADJUNGIERTE GLEICHUNGEN DER MCFC
∂ ox2
∂ϑs
=A ox2
ϑ2
s
ox2 + exp A ox2 1
ϑ0
ox2 −1
ϑs·nox2 (ΦL
a+ 20.98)
ϑ2
s
· ϕCO,aexp α+
ox2 nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs·α+
ox2
+ϕ2
CO2,aexp −(1 −α+
ox2)nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs·(1 −α+
ox2)!,
∂ ox2
∂ϕCO,a
= exp A ox2 1
ϑ0
ox2 −1
ϑs·exp α+
ox2 nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs,
∂ ox2
∂ϕCO2,a
=−2ϕCO2,a·exp A ox2 1
ϑ0
ox2 −1
ϑsexp −(1 −α+
ox2)nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs,
∂ ox2
∂ΦL
a
= exp A ox2 1
ϑ0
ox2 −1
ϑs·nox2
ϑs −ϕCO,aexp α+
ox2 nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs·α+
ox2
−ϕ2
CO2,aexp −(1 −α+
ox2)nox2 (−ΦL
a−∆Φ0
ox2)
ϑs·(1 −α+
ox2)!,
∂ ed
∂ϑs
=A ed
ϑ2
s
ed + exp A ed 1
ϑ0
ed −1
ϑs·Ucell −ΦL
c−78.00
ϑ2
s
· −ϕ−2
CO2,cexp α+
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs·α+
ed
−ϕ0.75
O2,cϕ−0.5
CO2,cexp −α−
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs·α−
ed!,
∂ ed
∂ϕCO2,c
= exp A ed 1
ϑ0
ed −1
ϑs·(−2ϕ−3
CO2,cexp α+
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs
+ 0.5ϕ0.75
O2,cϕ−1.5
CO2,cexp −α−
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs),
∂ ed
∂ϕO2,c
=−0.75 ϕ−0.25
O2,cϕ−0.5
CO2,cexp A ed 1
ϑ0
ed −1
ϑsexp −α−
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs,
∂ ed
∂ΦL
c
= exp A ed 1
ϑ0
ed −1
ϑs· ϕ−2
CO2,cexp α+
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs·−α+
ed
ϑs
−ϕ0.75
O2,cϕ−0.5
CO2,cexp −α−
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs·α−
ed
ϑs!,
∂ ed
∂Ucell
= exp A ed 1
ϑ0
ed −1
ϑs· ϕ−2
CO2,cexp α+
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs·α+
ed
ϑs
+ϕ0.75
O2,cϕ−0.5
CO2,cexp −α−
ed (Ucell −ΦL
c−∆Φ0
ed)
ϑs·α−
ed
ϑs!.

B.4. BRENN- UND MISCHKAMMER 133
B.4 B enn- und Mischkamme
˜γb=X
k∈I
χk,m
γb
˜χk,m+ (ϑb−ϑm)ϑm
Vm
˜
ϑm+ϑb
ϑm
˜γm−1
γb ϑb˜
ϑb+X
k∈I
χk,b˜χk,b,
˜χk,b=γbϑm
Vm
˜χk,m,˜
ϑb=γbϑm
Vm
˜
ϑm+γb
ϑm
˜γm,
˜γai = ˜χO2,b
χO2,ai
γb
+˜
ϑb
ϑai −1
γb
+ ˜γb,˜γm=ϑm˜ c,
−
d
˜χk,m
d
= c˜χk,c(1, )−γbϑm
Vm
˜χk,m,
−
d
˜
ϑm
d
= c˜
ϑc(1, )+1
ϑm(X
k∈I
χk,m˜χk,m)+1
ϑm
ϑm−ϑm
Vmγb+S m
cp˜
ϑm
−1
ϑ2
mγbϑb+S mϑu
cp˜γm.
B.5 Übe gangs- und Randbedingungen
a,ou ˜
ϑa(1, ) = − a,ou
ϑ2
a,ou γb

X
k∈Iχk,a,ou ( ) + X
j∈I
νk,Cjχj,a,ou ( )˜χk,b


− a,ou
ϑ2
a,ou γbcp−cp−X
k∈I
χk,a,ou ( ) ∆Chk˜
ϑb
− a,ou
ϑ2
a,ou 1 + X
k∈I
¯νC,k χk,a,ou ( )˜γb,
a,ou ˜χk,a(1, ) = a,ou
ϑa,ou γb˜χk,b+X
j∈I
νj,Ck˜χj,b− a,ou
ϑa,ou γbcp
∆Chk˜
ϑb+ a,ou
ϑa,ou
¯νC,k ˜γb,
˜ a(1, ) = 1
ϑa,ou ( )γb( )

X
k∈Iχk,a,ou ( ) + X
j∈I
νk,Cjχj,a,ou ( )˜χk,b


+1
ϑa,ou γb( )cpcp(ϑa,ou ( )−1) −X
k∈I
χk,a,ou ( ) ∆Chk˜
ϑb
+1
ϑa,ou 1 + X
k∈I
¯νC,k χk,a,ou ( )˜γb,
c,ou ˜
ϑc(0, ) = − c,ou Rback
ϑ2
c,ou γb(X
k∈I
χk,c,ou ( ) ˜χk,b)+ c,ou Rback( )
ϑ2
c,ou γb( )˜
ϑb− c,ou Rback
ϑ2
c,ou
˜γb,
c,ou ˜χk,c(0, ) = c,ou Rback
ϑc,ou γb
˜χk,b,
˜ c(0, ) = Rback
ϑc,ou γb(X
k∈I
χk,c,ou ( ) ˜χk,b)+Rback
ϑc,ou γb
(ϑc,ou ( )−1) ˜
ϑb+Rback
ϑc,ou
˜γb,
∂˜
ϑs
∂z (0, ) = 0 = ∂˜
ϑs
∂z (1, ).
134
135
Symbol e zeichnis
A
ak i e Menge
˚
A
,
¯
A
,
∂A
Inne es, Abschluss und Rand de Menge
A
Ck(Ω)
Menge de
k
-mal s e ig-die enzie ba en Funk ionen au
Ω
C(Ω)
Menge de s e igen Funk ionen au
Ω
C∞
0(Ω)
Menge de
∞
o die enzie ba en Funk ionen mi kompak em T äge
C[0, ]; L2(Ω)
Raum de abs ak en, s e igen Funk ionen mi We en in
L2(Ω)
∇~x
G adien bzgl.
~x
δ(x−x0)
Di ac-Dich e zen ie in
x0
∆
Laplace-Ope a o
δν
äuÿe e No malenablei ung
H
Hamil on-Funk ion
Hk(Ω)
Sobolew-Raum,
Hk(Ω) = Wk,2(Ω)
Hess
Hesse-Ma ix on
L
Lag ange-Funk ion
Lp(Ω)
Lebesgue-Raum
M(¯
Ω)
Raum alle egulä en Bo el-Maÿe au
¯
Ω
ν
äuÿe es Einhei sno malen ek o eld
R
eelle Zahlen
sign(x)
Signum-Funk ion, Vo zeichen on
x
T
,
Txx
pa ielle Ablei ungen on
T(x, )
nach
bzw. zweimal nach
x
V∗
Dual aum on
V
Wk,p(Ω)
Sobolew-Raum
yA
Einsch änkung de Funk ion
y(x)
au die Menge
A
∅
lee e Menge
,→
s e ige Einbe ung
[ (x)]b
a= (b)− (a)
,
[ (x)]c:= (c)
k (x)kL2(Ω) L2
-No m de Funk ion
(x)
au
Ω
h·,·iV∗,V
Duali ä sp oduk au einem Banach aum
V
Abkü zungs e zeichnis
AD au oma ische Die en ia ion
AE algeb aische Gleichungen
a g min S elle, an de eine Funk ion ih Minimum annimm
AWP An angswe p oblem
ARWP An angs-Randwe p oblem
BDD B yson, Denham, D ey us
BFGS-Ve ah en Ve ah en on B oyden-Fle che -Gold a b-Shanno
CFL-Bedingung Cou an -F ied ichs-Lewy-Bedingung
cons kons an
DAE die en ial-algeb aische Gleichungen
FDTO Fi s -Disc e ize-Then-Op imize
FOTD Fi s -Op imize-Then-Disc e ize
.ü. as übe all
IP-Ve ah en Inne e-Punk e Ve ah en
JLS Jacobson, Lele, Speye
KKT-Bedingung Ka ush-Kuhn-Tucke -Bedingung
KWK K a -Wä me-Kopplung
LP linea es P og amm, linea es Op imie ungsp oblem
MCFC Schmelzka bona -B enns ozelle (Mol en Ca bona e Fuel Cell)
max, min maximie e, Maximum
min minimie e, Minimum
NLP nich linea es Op imie ungsp oblem
137

138
OC-ODE Op imals eue ungsp oblem mi gewöhnlichen Die en ialgleichungen
OC-PDAE OC-PDE mi zusä zlichen ODE ode AE
OC-PDE Op imals eue ungsp oblem mi pa iellen Die en ialgleichungen
ODE gewöhnliche Die en ialgleichung (O dina y Die en ial Equa ion)
PDAE pa iell-die en ial algeb aische Gleichungen
PDE pa ielle Die en ialgleichung (Pa ial Die en ial Equa ion)
p.I. pa ielle In eg a ion
RB Randbedingung
RWP Randwe p oblem
SQP sequen ielle quad a ische P og ammie ung
s. . un e de Bedingung (subjec o)
VZ Vo zeichen
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