E e ikulu eo ia e a e ep esen azio
eo emak
G adu Amaie ako Lana
Ma ema ikako G adua
Unax Ca˜na e as
I aide Ma dones
I akasleak zuzendu ako lana
Leioa, 2025eko Api ila en 30a
Gaien Au kibidea
Sa e a
Hausna ke a ii
1 E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 1
1.1 Egi u a aljeb aikoa i e ekina a e a zen . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko zen . . . . . . . . 10
1.3 O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko de inizio ba-
zuk ................................ 14
2 E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 21
3 E ep esen azio eo emak 31
3.1 E ep esen azio opologikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A a ike ak 43
B Topologia 49
Bibliog a ia 53
iii
Sa e a
Egungo egoe an, o denagailuek du en nonahiko asuna ikusi a, logika az-
e zea beha handia da. Xede ho ekin au kez u zuen 1845ean Geo ge
Boole ma ema ika iak Boole aljeb a be e “The Ma hema ical Analysis o
Logic”a ikuluan. Gau egun, eo ia ho en o oko pen handia egin da e a
e e ikulu eo ia de i zo. Gaine a, opologian, mul zo eo ian, aljeb an e a
bes e zenbai a lo an oki ba i abazi du eo ia be i honek.
Lan hone an e e ikulu eo ia en nondik no akoak az e uko di ugu; gu-
e helbu ua e e ikuluen egi u a nolakoa den az e zea izango da. Hala,
ezagunak di ugun e e ikulue a ik abia u, esa e ako, zenbaki e ealak ohi-
ko o dena ekin e a mul zoen pa een amilia pa e iza ea en o dena ekin,
e a o oko e a joko dugu. Ge o, gu e azken helbu u an z joko dugu e a
e ep esen azio eo ema pa e ba ikusiko di ugu. E ep esen azio eo emek
zubiak e aiki zen di uz e. Haue ako bi an zen a uko da lana: Bi kho en
eo eman, zeinak mul zo eo ia ako zubia e aiki zen digun, e e ikulu bana-
ko ba mul zo ba en pa een amilian nolabai sa dai ekeela oga uz, e a
S one en eo eman, zeinak opologia ekin zubi ba e aiki zen digun Boole
e e ikuluei opologia ba eza iz.
E ep esen azio eo emek ga an zi handia du e bi alde a a e abil dai-
ezkeelako. Alde ba e ik opologian e a mul zo eo ian oga u izan di en
hainba e a hainba eo ema e e ikulue a a i zul zea ahalbide zen digu e;
e a, bes e ik, e e ikulu eo ian, e a e aiki zaile ba ean, opologiako edo-
a mul zo eo iako hainba e a hainba oga egin dai ezke e a ge o eu en
mundu a i zuli.
Au eko pa ag a oe an au kez u di ugun helbu uak lo zeko, hi u a a-
lez osa u ako hu engo egi u a du lan honek: lehenengo a ala, “E e ikulu
eo ia en oina izko kon zep uak”izenbu uduna. A al hone an ezagunak di-
ugun e e ikulue a ik abia uz e e ikulu eo ia en oina izko esnak au -
kez en di a, no azioa e a lan egi eko e a inka zeaz gain. Hi u azpia al di u,
“Egi u a aljeb aikoa i e ekina a e a zen”, “Zenbaki e ealen hainba p o-
pie a e o oko zen”e a “O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko
de inizio ba zuk”izenbu udunak. Biga en a ala, “E e ikulu banako ak
e a Boole e e ikuluak” i uluduna da. A al hau an sizio a ala da: au e-
ko a alean au kez u ako esnak e abiliz, hi uga en a alean e abiliko di en
e e ikulu mo ak au kez en di a; hain zuzen e e, e e ikulu banako ak e a

i
Boole e e ikuluak. Hauen az e ke a ez denez lan honen helbu u nagusia,
e ep esen azio eo emak kendu ik, ez da asko sakondu. Hala e e, adizio
gehien duen a ala da e a asko dago hemen au e an zean sakon zeko. Hi-
uga en a ala, “E ep esen azio eo emak”izenbu uduna da. A al honek bi
za i nagusi di u Bi koh en eo ema en oga e a S one ena, hain zuzen e e;
biga ena, ”E ep esen azio opologikoak”azpia ala en ba nean doala ik.
Azkenik e a buka zeko, aipa u beha ekoa da lan hone an au kez u di en
eo emak hu engo hi u libu u klasikoe a ik a e a akoak di ela: G. G ¨a ze-
en “La ice heo y: Founda ion”, G. Bi kho en “La ice heo y”, e a S.
Bu is e a H. P. Sankappana a en “A cou se in uni e sal algeb a”.
Hausna ke a
Lan hau guz iz eo ikoa da. Honenbes ez, ez die G.J.H helbu uei zuzenki
e agi en. Behin hau esanda, e e ikulu eo iak hainba aplikazio izan di za-
keela ikusi da konpu azioan. Gau egun da uen analisiak ga an zi handia
ha u du, e a ho ekin ba e a u gas u oso handiak e e edonon au ki dai ez-
ke. A gi dago, da uen e abilpenak ikusi ik, ezin diogula da uak az e zea i
u zi, baina e e ikuluen az e ke ak da uen analisia op imiza zen lagun de-
zake.
6. e a 12. G.J.H helbu uekin le oka zen da u xahupena ekidi eko
edozein ja e a ha zea. Helbu u honekin, da uak lan zeko esna egokiak
au ki zea beha beha ezkoa da. U gas ua konpu azio denbo a ekin igo zen
bai a. Ho sa zen di a e e ikulu osoak e a kon zep u e e ikuluak.
Hala e e, lan honen anke ako lan eo ikoek esna ma ema iko uga i
jo a zen di uz e. Asko an ga an zia ken zen zaie aplikazio zuzenik ez bai-
u e. Baina G.J.H e an au e a egi eko, in aes uk u ak hobe u beha di a
bai gas ua mu iz eko, edo e eku soak nonahi hel dai ezen be ma zeko.
Esa e ako, p og amazio ma ema ikoak asko hobe u du anbulan zien koka-
pena Alemanian edo u hodien sa ea hainba oki an.
E e ikulu eo iak halako a lo aplika uei oina iak ema en dizkio, bes e
edozein gai eo ikok bezala. Ondo ioz, e a jasanga ian bizi ze ako bidean
edozein lan eo ikok lagundu lezake. Bai zuzenean kon zep u e e ikuluek
da uen analisian lagun zen du en bezala, da uen analisia azka uz, e a u a
au ez uz; edo bai zeha ka bes elako ezagu za ma ema iko e a zien i ikoa i
esnak emanez G.J.Hen alde egi eko esnak ga a di za en.
ii
1. Kapi ulua
E e ikulu eo ia en
oina izko kon zep uak
E e ikulu eo iak, Rmul zoko o dena e lazioa, sup emoa e a in imoa o o-
ko zen di u. Hauek az e zeko lehenik e a behin o dena de ini uko dugu,
e a be e p opie a eak az e uko.
1.0.1 de inizioa. Biz Xmul zoa e a ρ⊆X×Xe lazioa. Esango du-
gu ρo dena e lazioa (edo soilik o dena) dela hu engo baldin zak be e zen
badi u:
(e e l) (x, x)∈X2x∈X⊆ρ,
(an i) (x, y)∈ρe a (y, x)∈ρ=⇒x=y,
(i ag) (x, y)∈ρe a (y, z)∈ρ=⇒(x, z)∈ρ.
Egoe a hone an (X, ρ) biko ea i mul zo o dena u edo pa zialki o dena ua
de i zogu.
O dena ba az e zen dugunean, o oko ean (x, y)∈ρ,x ρ y ida ziko
dugu, e a ≤,⊆moduko iku ekin izenda uko di ugu; bes alde, x≤ybada
e a be din za be e zen ez bada <, ⊂iku ak e abil zen di ugu. Behin o dena
de ini u ik ikus dezagun adibide ba :
1.0.2 adibidea. Lehenik e a behin ha dezagun X={1,2,3}mul zoa
e a ≤be iko o dena. Hau desk iba zeko, esan beha ko genuke zein den ≤
mul zo moduan:
≤={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}.
hain zuzen e e. Hemen da uak sobe an daudela a gi dago. O dena dela ja-
kinda (1,2),(2,3) ∈ ≤ badaude bes e pun u ho iek guz iak ba nean daudela
jakin dezakegu. Ho ega ik ema en da hu engo de inizioa.
1
8
Honekin mul zo o dena ua dela oga u dugu, o ain ikus dezagun ze
ge a zen den sup emo e a in imoa ekin. Ha di zagun x, y ∈Aedozein bi
elemen u ikusiko dugu x∨y=x∗1ydela. A gi dago x≤x∗1ye a y≤
x∗1ybe e zen di ela ∗1e agike ak uka ze, elka ze e a idempo en zia
legeak be e zen bai i u. O ain, demagun exis i zen dela x≤ze a y≤z
desbe din zak be e zen di uen z∈A. O duan,
(x∗1y)∗1z(elka )
=x∗1(y∗1z)y≤z
=x∗1zx≤z
=c
. Be az x∗1y≤zlo zen dugu. E a hone an, oga ua ge a zen da sup emoa
dela bi baldin zak be e zen bai i u.
O aindik ez dugu biga en e agike a e abili; o ain beha ko dugu. Ikusi
beha dugu in imoa ekin ze ge a zen den. Ha di zagun x, y ∈Aedozein
bi elemen u; o duan haien in imoa x∧y=x∗2ydela ikusiko dugu. Lehenik
e a behin, ikusi beha dugu x∗2y≤xe a x∗2y≤ybe e zen di ela. Baina
∗1e a ∗2e agike ek xu gapen legea be e zen du enez,
(x∗2y)∗1x=x
be e zen da. yelemen ua ekin egi eko ∗2e agike ak uka ze be e zen duela
e abili beha da baina gauza be a da. O ain demagun exis i zen dela z≤x
e a z≤ybe e zen di uen z∈A; o duan,
z∗1(x∗2y)=(z∗2(z∗1y)) ∗1(x∗2y) (xu g)
= (z∗2y)∗1(x∗2y) (z≤y)
= ((z∗2(z∗1x)) ∗2y)∗1(x∗2y) (xu g)
= ((z∗2x)∗2y)∗1(x∗2y) (z≤x)
= (z∗2(x∗2y)) ∗1(x∗2y) (elka )
=x∗2y. (xu g)
Hau da, z≤x∗2ye a ondo ioz
x∧y=x∗2y.
1.0.15 oha a. Desbe din zak egoki o de ini dai ezkeen a en lan hone an
ez dugu egingo. Desbe din za diogunean hu engoa izango di a: e e ikuluko
elemen uak e a e agike ak konbina u ik so u ako bi adie azpen e a haien
a eko o dena e lazio ba .
1.0.16 oha a. In imoa zein den oga u dugunean e abili ako e agike ak;
hasie a ba ean, ez di a ba e e in ui iboak. Hala e e, a ike a ba egingo dugu
hauek lan zeko. Hemen doa e agike ak egi eko egi en den a azoike a kasu

1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 9
hone an: lehenik e a behin, oha u di ugun a auekin bi me odo baka ik di-
ugula adie azpenak mu iz u e a haz eko, (xu g) edo (idem) aplika zea hain
zuzen e e. Kasu hone an, oga u nahi badugu z∗1(x∗2y) = x∗2ydela, hau
oga zeko modu baka a, adie azpena ga a u e a nolabai (xu g) e abil zea
da. Be az, logikoa di udi znola be ida zi pen sa zen has ea. Bes alde, c
elemen ua i bu uz dakigun guz ia da z∗1x=xe a z∗1y=ydi ela; be az
bi adie azpen ho iek sa u nahi di ugu sinpli ika dai ezkeelako. Bi gauza
hauek ba e a zen badi ugu emandako u a sak ez di a hain a o zak.
1.0.17 oha a. (L, ≤) e e ikulu ba daukagunean a, b ∈Lha u ik
a≤b⇐⇒ a∨b=b
da. Be az, (L, ∨,∧) egi u a aljeb aikoak de ini u iko e e ikulua (L, ≤) da.
1.1 Egi u a aljeb aikoa i e ekina a e a zen
Azpia al hone an egi u a aljeb aiko ik a e a dai ezkeen hainba de inizio
emango di ugu soilik. De inizio o oko hauek [2] libu uan ema en di a edo-
zein egi u a aljeb aiko ako (hemen e e ikulue a ako eman di ugu).
1.1.1 de inizioa. Bi a (L, ≤L) e a M, ≤M) e e ikuluak e a :L→M
aplikazioa. Esa en dugu e e ikulu-homomo ismoa dela baldin e a soilik
baldin, x, y ∈Lguz ie a ako hu engoa be e zen bada:
(i) (x∨Ly) = (x)∨M (y),
(ii) (x∧Ly) = (x)∧M (y).
E a be i bezala de ini zen di ugu monomo ismo, epimo ismo e a isomo -
ismoak. Ho ez gain, Le a Me e ikuluen a ean isomo ismo ba badago
isomo oak di ela esango dugu e a L∼
=Mida ziko.
1.1.2 de inizioa. Bi a ∅ =B⊆Lbe e zen du en (B, ∧B,∨B) e a (L, ∧L,∨L)
e e ikuluak. Esa en dugu (B, ∧B,∨B) mul zoa (L, ∧L,∨L) mul zoa en az-
pi e ikulua dela e a B≤Lida zi; baldin e a soilik baldin,
(∧L)B2=∧Be a (∨L)|B2=∨B
badi a.
1.1.3 de inizioa. Biz {(Li,∧i,∨i)|i∈ {1. . . n} } e e ikuluen amilia ini-
ua. O duan haien bide kadu a zuzena
n
Y
i=1
Li,∧,∨!
10 1.2. Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko zen
e e ikulu ba da; ∧,e a ∨e agike ak p oiekzioak e e ikulu-homomo ismoak
di ela be ma zeko de ini zen di ela ik.
Oha u de inizio hau egokia dela, x, y ∈Qn
i=1 Liha u a
x∧y= (πi(x∧y))n
i=1 = (πi(x)∧iπi(y))n
i=1
da, e a
x∨y= (πi(x∨y))n
i=1 = (πi(x)∨iπi(y))n
i=1
πiiga en p oiekzioa dela ik.
1.1.4 adibideak. E epa a u diezaiogun X={a, b }mul zoa i e a de ini u
hu engo o dena ≤= an {(a, b)}o duan X×Xbide kadu a e e ikulua
da e a hu engo diag ama dauka.
(b, b)
(a, b)(b, a)
(a, a)
(a, a)=(a, b)∧(b, a)
(b, b)=(a, b)∨(b, a)
1.2 Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko -
zen
Zenbaki e ealen mul zoa e e ikulu ba bada e e ohiko o dena ekiko, bes e
p opie a e ba e e be e zen du. Hu engoa hain zuzen e e:
x, y ∈R=⇒x≤yedo y≤x.
O oko ean (L, ≤) e e ikulu ba daukagunean esa en dugu C⊆Lka ea
dela, goiko baldin za be e zen badu. Hau da:
x, y ∈C=⇒x≤yedo y≤x.
Be eziki e e ikulu ba (L, ≤) ka ea dela esango dugu, Lka ea bada.
1.2.1 eo ema. Biz (C, ∨,∧) e e ikulua Cez-hu sa izanik. O duan ka ea
da baldin e a soilik baldin edozein azpimul zo azpi e ikulua bada.
F ogapena. Edozein azpimul zo azpi e ikulua bada, be eziki x, y ∈Cha -
u ik {x, y} ⊆ Cazpi e ikulua da. Dei u diezaiogun {x, y}mul zoa i A.
E e ikulua denez ge oz ik, badago de ini ua ∨Ae agike a Amul zoan. Hau
da, x∨Ay∈Ada. E a azpi e ikulua iza eaga ik
x∨y=x∨Ay
1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 11
denez; x∨y∈Ada. Azken hau be ida ziz ge o,
x∨y=xedo x∨y=y
be e zen dela lo zen dugu. Hau da,
x≤yedo y≤x
da.
Bes e inplikazio ako, biz (C, ∨,∧) ka ea, e a B⊆Cedozein azpimul zo
e a b , bh∈Bedozein bi elemen u. De ini uko dugu
b ∨Bbh=b ∨bh
e a
b ∧Bbh=b ∧bh.
A gi dago, ondo de ini u a egonez ge o, e e ikulua izango dela e a azpi e-
ikulua iza eko baldin za be eko duela. Ondo de ini u a dagoela ikus eko,
o oko asunik galdu gabe, b ≤bhsuposa uko dugu (hau egin dai eke C
ka ea delako). Ikusi beha dugu b ∨Bbh∈Be a b ∧Bbh∈Bdi ela. E a
b ∨Bbh=b ∨bh=bh∈B
e a
b ∧Bbh=b ∧bh=b ∈B
di enez, hala da.
Bes alde, zenbaki e ealekin lan egi en dugunean asko an desbe din zak
aska u edo e alda u nahi di ugu e a ho i egi eko un zio mono onoak e a
an i onoak de ini zen di ugu. E e ikulue an be dina egi en dugu, a, b ∈L
badi ugu o duan ϱ:L→Kmono onoa da a≤bbe ez ge o, ϱ(a)≤ϱ(b)
bada e a an i onoa da ϱ(b)≤ϱ(a) bada.
Hemendik au e a eze esa en ez bada aplikazio ba ek le a g ekoa badu
mono onoa da e a e oma a a badu homomo ismoa.
1.2.2 eo ema. Bi a (L, ≤L),(K, ≤K) e e ikuluak e a :L→Ke e ikulu-
homomo ismoa. O duan, un zio mono onoa da.
F ogapena. Ha u x≤Lybe e zen du en x, y ∈Lelemen uak, o duan y=
x∨Lyda. e e ikulu homomo ismoa denez,
(y) = (x∨Ly) = (x)∨K (y)
da, edo bes e e a ba e a ida zi a (x)≤K (y).
12 1.2. Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko zen
1.2.3 eo ema. Bi a (L, ≤L),(K, ≤K) e e ikuluak e a ψ:L→Kapli-
kazio mono onoa, bijek iboa, e a alde an zizko mono onoduna. O duan, ψ
e e ikulu-isomo ismoa da.
F ogapena. Ha u x, y ∈Ledozein bi elemen u, ikusi nahi genukeena hu-
engoa da:
(i) ψ(x∨Ly) = ψ(x)∨Kψ(y),
(ii) ψ(x∧Ly) = ψ(x)∧Kψ(y).
Be az has gai ezen (i) be din za oga zen, ohikoa den bezala bi desbe -
din zak oga zen. ψmono onoa denez e a x≤Lx∨Lybe e zen denez
ψ(x)≤Kψ(x∨Ly) (1.8)
ondo ioz a dezakegu; gaine a a azoi be a dela e a
ψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.9)
e e ondo ioz a dai eke.
(1.8) e a (1.9) inekuazioak ba e a uz ge o hu engoa e a o dezakegu:
ψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.10)
(1.10) e abiliz hu engo bi ka eak lo di zakegu:
ψ(x)≤Kψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.11)
ψ(y)≤Kψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.12)
ψ−1mono onoa denez (1.11) e a (1.12) desbe din za ka ee ako gai guz-
ie an aplika zen badugu hu engo bi desbe din zak lo zen di ugu:
x≤Lψ−1ψ(x)∨Kψ(y)≤Lx∨Ly(1.13)
y≤Lψ−1ψ(x)∨Kψ(y)≤Lx∨Ly(1.14)
(1.13) e a (1.14) ba e a zen badi ugu e a p opie a e an isime ikoa e a-
bil zen
ψ−1ψ(x)∨Kψ(y)=x∨Ly
lo zen dugu. Buka zeko be din zan ψaplika uz nahi genuena lo zen dugu.
ψ(x)∨Kψ(y) = ψ(x∨Ly)
Bes e baldin za ez dugu oga uko, a gumen u analogoa ja ai uz lo
bai ai eke.
1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 13
Ta eak (i xiak in e esa zen zaizkigu ba ez e e) de ini u ik di ugu Rmul-
zoan. Bi mo a akoak di ugu a, b ∈Redozein izanda a≤bbe e zen du e-
la ik:
(i) [a, ∞) edo (−∞, a] e akoak, non
[a, ∞) = {x∈R|a≤x}e a [−∞, a) = {x∈R|x≤a}
di en.
(ii) [a, b] e akoak non
[a, b]=[a, ∞)∩(−∞, b]
den.
E e ikulu o oko ba ha u ik e e bi kon zep u hauek o oko u dai ezke
hu engo de inizioen bidez:
1.2.4 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a X⊆Lmul zoa. Hu engoak
di a Xmul zoa en goi-mul zo e a behe-mul zoa hu enez hu en:
↑X={l∈L| ∃x∈X:x≤l}
↓X={l∈L| ∃x∈X:l≤x}.
E a D⊆Lgoi-mul zoa (edo behe-mul zoa) dela esa en badugu ze ena den
esan gabe, ho ek esan nahiko du exis i zen dela X⊆Lnon D=↑Xden
(edo D=↓X).
Oha u, honekin lehen a e mo a o oko u dugula, [a, ∞) zenbaki e ea-
len gaineko ↑ { a}bes e ik ez bai a. No azio alde ik, ↑{ a}mul zoa ↑a
idaz en da. Behe-mul zoa ekin e e be dina ge a zen da. Gaine a, o ain (ii)
mo ako a eak e e de ini di zakegu.
1.2.5 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a a≤bbe e zen du en, a, b ∈L
edozein bi elemen u. Esango dugu
[a, b]=(↑a)∩(↓b)
mul zoa aelemen u ik belemen u ainoko a ea dela.
Behin hau de ini u ik, sue a dakigukeen galde a hu engoa da. 1.0.10
adibide an ikusi genuen (P(L),⊆) e e ikulua zela. O ain de ini u dugu
modu ba Le e ikulu ik P(L) e e ikulu a pasa zeko. Nolakoa da aplikazio
ho i?
1.2.6 eo ema. Bi a (L≤) e e ikulua e a
↑:L→ P(L)
a7→↑a
aplikazioa. O duan ↑injek iboa da e a an i onoa.

14 1.3. O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko de inizio ba zuk
F ogapena. Bi a x, y ∈Ledozein bi elemen u. Suposa dezagun i udi be a
du ela. O duan,
↑x=↑y=⇒x∈↑x=↑ye a y∈↑y=↑x=⇒y≤xe a x≤y=⇒x=y
be e zen da; be az, ↑injek iboa da.
Bes alde, x≤ybada e a z∈↑yha zen badugu x≤y≤zdaukagu
be az ↑y⊆↑xda.
1.2.7 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a B≤Lazpi e ikulua. Esa en
dugu B konbexua dela baldin e a
x, y ∈B=⇒[x, y]⊆B
be e zen bada.
1.3 O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be-
ezko de inizio ba zuk
1.3.1 de inizioa. Bi a (L, ≤) mul zo o dena ua e a ¯: L→Laplikazioa.
Esa en dugu ¯ i xi u a e agilea dela baldin e a, hu engo hi u baldin zak
be e zen badi u:
•x≤x, ∀x∈L,
•¯ mono onoa da,
•x=x, ∀x∈L(hau da,¯ idempo en ea da ).
1.3.2 adibidea. ↓i xi u a e agilea da P(L) gainean, non (L, ≤) mul zo
o dena ua den. Hau ikus eko oha u X⊆Lha uz ge o X⊆↓Xdela.
Bes alde, bi a Lmul zoko X, Y edozein bi azpimul zo X⊆Ybe e zen
du ela ik e a a∈↓X. O duan, exis i zen da a≤xbe e zen duen xelemen ua
Xmul zoan. Baina Xmul zoa Y en azpimul zoa denez; exis i zen da a≤x
be e zen duen xelemen ua Ymul zoan. Hau da, a∈↓Yda e a ho ega ik
↓X⊆↓Y.
Buka zeko, ikus dezagun idempo en ea dela. (i) p opie a ea aplika uz ba-
dakigu
↓X⊆↓↓X
dela. Ho enbes ez, ikusi beha duguna bes alde ako pa eko asuna da. Ho-
e a ako, ha u x∈↓↓Xedozein. De inizioz exis i zen da x≤ybe e zen
duen y∈↓X. Bes alde yelemen ua Xmul zoa en behe-mul zoan ego eaga-
ik exis i zen da z∈Xelemen ua y≤zbe e zen duela ik. I aganko asu-
na i eske , x≤zdela e a o dezakegu, e a be az x∈↓Xda.
1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 15
(Adibide hau, goi-mul zoekin e e egin zi ekeen)
1.3.3 ondo ioa. Fbehe-mul zoa da baldin e a soilik baldin ↓F=Fbada
e a goi-mul zoa da baldin e a soilik baldin ↑F=Fbada.
1.3.4 adibidea. Ha u dezagun Xmul zoa, τha en gaineko opologia e a
de ini u dezagun hu engo e agilea (P(X),⊆) mul zo o dena ua en gainean:
¯ :P(X)→ P(X)
A→A={x∈X| ∀N∈ Nx, N ∩A=∅ } ,
non Nxiku ak x elemen ua en ingu uneen amilia adie az en duen (ikus
B.0.6 de inizioa).
E agile honi opologian Ku a owski en i xi u a e agile de i zo e a i xi u a
opologikoa en p opie a eak kon uan ha u a, be ehalakoa da 1.3.1 de ini-
zioko baldin zak be e zen di uela oga zea, e a, be az, i xi u a e agilea dela.
1.3.5 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a ¯: L→Li xi u a e agilea.
Hu engo mul zoa ¯ e agilea ekiko i xien mul zoa dela esa en da:
Cl(L) = l∈Ll=l
1.3.6 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a C ⊆ Lazpimul zoa. Esango
dugu Ce agile en ba en i xien mul zoa dela baldin e a hu engoa be e zen
badu:
(i) x, y ∈ C =⇒x∧y∈ C.
(ii) Edozein z∈Lelemen u ako exis i zen da z∗∈Celemen ua non
z≤z∗den e a z≤lbe e zen du en l∈Cguz ie a ako z∗≤l.
Azken de inizio hone a ik e agilea e ekupe a u nahi badugu nahikoa da
z=z∗de ini zea.
1.3.7 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulua, ¯ : L→Li xi u a e agilea, e a
Cl(L) mul zoa ¯ e agilea ekiko i xien mul zoa. O duan, (Cl(L),≤) e e iku-
lua da. (oha u ez duela ze an izan azpi e ikulua)
F ogapena. O dena dela a gi dago. Ikusi beha dugun baka a da in imoa
e a sup emoa zein zuk di en. In imoa i dagokionez, oha u x, y ∈Cl(L)
ha u a,
x∧y≤x∧y≤x=x(1.15)
e a
x∧y≤x∧y≤y=y(1.16)
16 1.3. O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko de inizio ba zuk
be e zen di a, lehen desbe din zen lehen za iak (i) p opie a ea be e zen dela-
ko e a biga enak mono onoa iza eaga ik hain zuzen e e. Buka zeko oha u
(1.15) e a (1.16) ba e a uz
x∧y=x∧y
lo zen dugula. Hau da, xe a yelemen uen in imoa i xia denez, be eziki
i xien ba uko in imoa in imo be a da.
Sup emoa i dagokionean oga uko dugu x∨Cl(L)y=x∨ydela. Ho i
ikus eko oha u x≤x∨ydela e a y≤x∨ydi ela; be az, x∨yelemun uak
sup emoa iza eko lehen baldin za be e zen du. Bes alde, oha u x≤zbada
e a y≤zbada z∈Cl(L) izanik, o duan x∨y≤zda e a ho ega ik,
x∨y≤z=zbe az, biga en baldin za e e be e zen du.
1.3.8 ondo ioa. 1.3.2 adibidean ikusi akoa en ondo ioz, behe-mul zoen a-
milia e e ikulua da in imo za ebakidu a duena e a sup emo za bildu ak
so u ako behe-mul zoa duena, baina kasu hone an bildu a en behe mul zoa
bidu a be a da. Ho ez gain, goi-mul zoen amilia e e e e ikulua da. In i-
mo za ebakidu a du bai a e a sup emo za bildu ak so u ako goi-mul zoa
duena, e a lehen bezala bildu a en goi-mul zoa bildu a be a da kasu hone-
an. Oha u gaine a sup emo e a in imoak bildu a e a ebakidu a di enez
hu enez hu en, (P(L),⊆) e e ikulua en azpi e ikulua dela.
Sup emo e a in imoa en de inizioak nolanahiko mul zoe a a o oko di-
zagun o ain. E e ikulue an, mul zoa ini ua ez bada hauen exis en zia ez
dago be ma u a, baina au e ago ikusiko di ugun e e ikulu osoe an exis-
en zia be ma u a izango dugu.
1.3.9 de inizioa. Bi a (L, ≤) mul zo o dena ua e a H⊆Lazpimul zoa.
Esango dugu, exis i zeko an, c=WHelemen ua Hmul zoa en sup emoa
dela hu engo bi baldin zak be e zen badi u:
(i) ∀x∈H, x ≤cda.
(ii) Exis i zen bada (i) be e zen duen d∈L, o duan c≤dda.
De inizio honen duala i Hmul zoa en in imo de i zogu, e a VHadie aziko
dugu.
1.3.10 p oposizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua, x∈Le a X, Y ⊆L.Xe a
Ymul zoen sup emo e a in imoek, exis i zeko an, hu engo p opie a eak
di uz e:
(i) W(X∪Y) = WX∨WY,
(ii) V(X∪Y) = VX∧VY,
1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 17
(iii) W{x}=V{x}=x.
Be eziki, X ini ua bada e e ikulu ba ean be i exis i zen da be e sup emoa
e a in imoa
P opie a e hauek e ez oga u dai ezke; hala e e, gu xi e abiliko di u-
gunez ez di ugu oga uko, ogak ez bai igu asko ik gehi uko.
1.3.11 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulua. Esa en dugu F≤Lazpi e iku-
lua il oa dela baldin e a hu engo baldin za be e zen badu:
a∈Fe a x∈L=⇒a∨x∈F. (1.17)
Lgaineko il oen amilia F(L) adie aziko dugu.
1.3.12 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulua. Esa en dugu I≤Lazpi e iku-
lua ideala dela baldin e a hu engo baldin za be e zen badu:
a∈Ie a x∈L=⇒a∧x∈I. (1.18)
Lgaineko idealen amilia I(L) adie aziko dugu
1.3.13 oha a. Ikusi di ugun de inizio ba zuk elka en dualak di a; esa-
e ako behe e a goi mul zoak, e a idealak e a il oak. Bes e asko haien
bu ua ekiko dualak di a; esa e ako, mono onoa, an i onoa, azpi e ikulua,
ka ea.
1.3.14 eo ema. (Fil oen Ka ak e izazioa) Bi a (L, ≤) e e ikulua
e a F⊆Lazpimul zo ez-hu sa. O duan, hu engo baliokide asuna daukagu:
F il oa da ⇐⇒ ∀x, y ∈F, x ∧y∈F, e a Fgoi-mul zoa da.(1.19)
F ogapena. Has gai ezen F il oa dela suposa uz. Ha di zagun, bada x, y ∈
Fe a a∈↑Fedozein hi u elemen u; o duan a gia da x∧yelemen ua F
mul zoan dagoela Fazpi e ikulua bai a, e a exis i zen denez b∈F, non
b≤aden; a=b∨aelemen ua F il oan dago. Ho az, F=↑Fda.
Bes e alde a oga zeko, demagun goian age zen di en baldin zak be e-
zen di ela e a ha u x, y ∈Fe a l∈Ledozein hi u elemen u. Ikusiko dugu
hi u baldin za hauek be e zen di ela:
(i) x∧y∈F,
(ii) x∨y∈F,
(iii) l∨x∈F.
24
:X→L
a7→ lh∧l
b7→ l ∨(lh∧l)
c7→ l
d7→ lh∧(l ∨l)
e7→ l ∨l.
Aplikazio hau e e ikulu-homomo ismoa dela ez dugu oga uko e az
ikus en bai a. I udi a mu iz uko dugunean su jek iboa izango da, e a
injek ibo asuna ikus eko nahikoa da bi i udi posible ha zea, be din zea,
l , lhe a lelemen uek be e zen du en e lazioan sa zea e a ja aian kon ae-
sane a hel zea. Egin dezagun adibide ba , demagun (a) = (c) dela, o -
duan l≤lhli za eke e a, be az, l ∨l≤lhedukiko genuke. Ondo ioz,
l ∨(l∧lh) = l ∨l= (l ∨l)∧lh
e a o iko genuke. Hau, noski, kon aesana da.
2.0.8 ko ola ioa. Diaman ea e e ikulu modula a da.
2.0.9 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu modula a e a (X, ≤X) diaman-
ea. O duan, Lbanako a da, baldin e a soilik baldin ez bada exis i zen
:X→Le e ikulu-homomo ismoa non g= |X, (X)e e ikulu-isomo ismoa
den.
F ogapena. Demagun eo emako baldin za be e zen duen exis i zen dela
e a enun zia uko e a a de ini zen dugula g. 2.0.6 adibideko (iii) a alean
oga u dugu Xez dela banako a, hau da, exis i zen di ela b, c, d ∈X, ezen
hu engoa be e zen du en:
b∧(d∨c)= (b∧d)∨(b∧c).
ghomomo ismo injek iboa denez, elemen u ezbe dinak oki ezbe dine-
a a e ama en di u. Ondo ioz, exis i zen di a g(b), g(c), g(d)∈Lelemen uak
g(b)∧(g(d)∨g(c)) = (g(b)∧g(d)) ∨(g(b)∧g(c))
be e zen du ela ik. Ho enbes ez, Lez da banako a.
Demagun o ain Lmodula a dela, baina ez dela banako a, e a ha di-
zagun l1, l2, l3∈L, non ez du en (ban) be e zen. Bes e e a ba e a esanda,
hu engoa be e zen du e elemen uek:
l1∧(l3∨l2)= (l1∧l3)∨(l1∧l2).

2. Kapi ulua. E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 25
Hauek e abiliz de ini dezagun hu engo homomo ismoa:
:X→L
a7→ (l1∧l2)∨(l1∧l2)∨(l2∧l3)
e7→ (l1∨l2)∧(l1∨l3)∧(l2∨l3)
b7→ (l1∧ (e)) ∨ (a)
c7→ (l2∧ (e)) ∨ (a)
d7→ (l3∧ (e)) ∨ (a).
Lehen bezala a azoi uz. Homomo ismoa dela ikus ea e eza da, su -
jek iboa izango da mu izke a egi ean e a edozein elemen u pa e ha u ik
be dinak di ela suposa zen badugu l1, l2e a l3elemen uek hasie ako baldin-
za be e zen ez du ela e a o dai eke be i (agian (mod) e abiliz noski).
2.0.10 ko ola ioa. Biz (L, ≤) e e ikulua. (L, ≤) banako a da baldin e a
soilik baldin I, J ∈id Ledozein bi ideale a ako
I∨J={i∨j∈L|i∈I, j ∈J}
bada.
F ogapena. Has eko, demagun Lbanako a dela e a ha dezagun ∈I∨J=
id(I∪J). Ikus dezagun lehenik exis i zen di ela i∈Ie a j∈Jelemen uak
≤i∨jdela ik. Hu engo p ozedu a ja ai uko dugu:
1.3.19 ko ola ioko azken pun uan ikusi genuen bezala exis i zen da T⊆
I∪J ini ua ≤WTdela ik. O ain,
T= (T∩I)∪(T∩J)
denez,
i=_(T∩I) e a j=_(T∩J)
ha zen badi ugu a gi dago beha genuena be e zen dela.
O ain, ≤i∨jdesbe din za bes e e a ba e a ida ziko dugu:
= ∧(i∨j)=( ∧i)∨( ∧j).
Lo u duguna i e epa a zen badiogu, Ie a Jidealak di enez elemen ua
Ie a Jideale ako bi elemen u en sup emoa dela oga u dugu. Honekin,
I∨J⊆ { i∨j∈L|i∈I, j ∈J}
26
oga u dugu dugu e a bes e pa eko asuna idealen ka ak e izazioa en apli-
kazio zuzena da.
Bes e inplikazioa oga zeko, demagun Lez dela banako a. O duan,
exis i zen da :X→Ldiaman e ik Lespazio ako homomo ismoa e a
i udi a mu iz ean isomo ismoa dena. Egoe a hone an, id( (b)) ∨id( (c))
ezin da ida zi eo emak ema en duen e an. Os e an zean, (d)∈id( (b)) ∨
id( (c)) denez (d≤b∨cdelako e a be az, (d)≤ (b∨c) = (b)∨ (c))
exis i u beha ko li a eke l1∈id( (b)) e a l2∈id( (c)), ezen (d) = l1∨l2
be e zen den. Ikus dezagun hau ezin dela ge a u. Ge a uko bali z,
l2= (d)∧l2≤ (d)∧ (c) = (d∧c) = (a)
li za eke. Ondo ioz,
(d) = l1∨l2≤l1∨ (a)≤ (b)∨ (a) = (b∨a) = (b)
e a (d)≤ (b) kon aesana da (X) mul zo a mu iz u a un zioak alde-
an zizko mono onoa duelako e a d≤ bdelako.
2.0.11 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a Iha en ideala. Esango dugu
Iideal nagusia dela baldin e a exis i zen bada x∈L
I= id(x)
dela ik.
2.0.12 ko ola ioa. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a I, J bi ideal. Egoe-
a hone an, I∨Je a I∧Jideal nagusiak badi a Ie a Je e nagusiak di a.
F ogapena. Ha u I∨J= id(x) e a I∧J= id(y) be ea az en du en x, y ∈L.
F oga u be i duguna i eske exis i zen di a i∈Ie a j∈Jnon x=i∨j
den. Hu engo bi be din zak oga zea dugu helbu u:
1) I= id(i∨y),
2) J= id(j∨y).
Oha u i∨y∈Ie a j∨y∈Jbe e zen di ela y∈I∧J=I∩Jdelako, e a
id i xi u a e agilea denez, id(i∨y)⊆id(I) = Ie a id(j∨y)⊆id(J) = J
di ela.
Buka zeko, oga dezagun bes e pa eko asuna 1) be din za ako bes ea
e a be din suan oga zen bai a. Hau u a∈Iedozein, dakigunez a≤xda
a∈I⊆I∨J= id(x) =↓x
2. Kapi ulua. E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 27
delako. Ondo ioz,
a=a∧x
=a∧(x∨y)
=a∧(i∨j∨y)
=a∧(i∨y)∨(j∨y)
=a∧(i∨y)∨a∧(j∨y)
da. a∈Idenez, a∧(j∨y)∈Ida Iideala bai a. E a be ean, j∨y∈J
denez, a∧(j∨y)∈Jda bai a. ho ek esan nahi du
a∧(j∨y)∈I∩J=I∧J= id(y) =↓y
dela.
Hau eko ka ea ekin ja ai uz hu engoa ondo ioz a dezakegu:
a=a∧(i∨y)∨a∧(j∨y)
=a∧(i∨y)∨a∧(j∨y)∧y
=a∧(i∨y)∨a∧y
=a∧(i∨y∨y)
=a∧(i∨y).
Hau da, a≤i∨yda, e a, ondo ioz, a∈id(i∨y) da.
Ja ai zeko e e ikulu (banako ) ba ean de ini dai ezken elemen u be ezi
ba zuk emango di ugu e a buka zeko, Boole e e ikuluak de ini uko di ugu.
2.0.13 de inizioa. Biz (L≤) e e ikulua. Esango dugu (L, ≤)bo na ua
dela baldin e a soilik baldin 0 = W∅e a 1 = V∅exis i zen badi a.
2.0.14 p oposizioa. Biz (L, ≤) e e ikulu bo na ua e a x∈Ledozein.
Hauek di a 0,1 elemen uen p opie a eak:
(i) x∧1 = x,
(ii) x∨0 = x.
Bi p opie a e hauei xu ga ze unibe sal de i ze e a (xu gu) bezala adie aziko
di ugu.
F ogapena. (i) baka ik egingo dugu (ii) be e duala delako, (oha u 1 ele-
men ua en duala 0 elemen ua dela).
(i) ikus eko oha u 1 = V∅dela e a hu engo baldin za be e zen duela
edozein x∈Lelemen uk:
∀a∈ ∅, x ≤a.
28
mul zo ba en in imoa en de inizioa dela e a xelemen uak au eko baldin za
be e zen badu nahi e a nahi ez x≤1 desbe din za be e beha du.
2.0.15 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulu bo na ua. Esango dugu a∈L
elemen ua osaga iduna dela exis i zen baldin bada hu engo bi be din zak
be e zen di uen b∈Lelemen ua:
(i) a∨b= 1,
(ii) a∧b= 0.
Hau ge a zen denean belemen ua aelemen ua en osaga ia dela esango
dugu e a a′adie aziko dugu.
2.0.16 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu bo na u e a banako a, e a a∈L
elemen ua. O duan, aelemen ua en osaga ia, exis i zeko an, baka a da.
F ogapena. Demagun aelemen ua en bi osaga i exis i zen di ela a′e a a′′.
F oga dezagun o duan be dinak di ela:
a′=a′∧1 = a′∧a∨a′′=a∧a′∨a′∧a′′= 0 ∨(a′∧a′′) = a′∧a′′
denez, a′≤a′′ da; gaine a a′′ e a a′elemen uen pape ak uka dai ezkeenez,
a′=a′′
da.
2.0.17 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a bo na ua e a a, b ∈L
edozein bi elemen u osaga idun. Egoe a hone an ondoko bi be din zak
be e zen di a:
(i) (a∨b)′=a′∧b′,
(ii) (a∧b)′=a′∨b′.
F ogapena. Duali a e p in zipioa i eske bie ako ba soilik ikusi beha dugu
(i) ikusiko dugu esa e ako. (i) be e dadin bi baldin za hauek be e beha
di a:
1) (a∨b)∨(a′∧b′) = 1,
2) (a∨b)∧(a′∧b′) = 0.
Hauek be ez ge o, osaga ia en baka asunaga ik a′∧b′elemen ua a∨b
elemen ua en osaga ia li za eke.
Lehena ga a zen badugu hu engoa lo zen dugu:
2. Kapi ulua. E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 29
(a∨b)∨a′∧b′=a∨b∨a′∧a∨b∨b′(ban)
= (1 ∨b)∧(a∨1) (osaga iak)
= 1 ∧1=1.(xu gu)
Biga ena ga a zean, aldiz, hu engoa:
(a∨b)∧a′∧b′=a∧a′∧b′∨b∧a′∧b′(ban)
=0∧b′∨a′∧0(osaga iak)
= 0 ∨0=0.(xu gu)
2.0.18 p oposizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulu bo na ua e a banako a e a
x, y ∈Losaga idunak. O duan, hu engo p opie a eak be e zen di a:
(i) (x′)′=x,
(ii) x≤y=⇒y′≤x′.
F ogapena. (i) be ehalakoa da osaga ia en de inizioa sime ikoa delako e a
osaga ia en baka asuna oga u dugulako.
(ii) oga zeko, demagun exis i zen di ela x≤ybe e zen du en x, y ∈L
osaga idunak. O duan, x∧y=xiza eaga ik, x′∨y′= (x∧y)′=x′da e a,
be az, y′≤x′da.
2.0.19 de inizioa. Esa en dugu (L, ≤)Boole e e ikulua dela bo na ua e a
banako a bada, e a, ho ez gain, edozein elemen uk osaga ia badu.
2.0.20 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulu banako a e a Ibe e gaineko idea-
la. Iideala en il o osaga ia I′={i′∈L|i∈I}da (de inizio honen
duala ideal osaga ia li za eke ).
2.0.21 eo ema. Au eko de inizioko baldin ze an I′ il oa da.
F ogapena. Ha u a′, b′∈I′o duan a′∧b′= (a∨b)′da e a I ideala denez
e a a, b ∈Idi enez a∨b∈Idugu. Ho i dela e a, a′∧b′∈I′da. Gaine a,
demagun exis i zen di ela x′∈Le a a′∈I′a′≤x′dela ik; o duan x≤a
da. Be az, x∈Ida, e a x′∈I′dela oga u dugu.
An zeko a gudioek oga zen du e oga zen du e F il oa bada F′ideal
osaga ia ideala dela.

3. Kapi ulua
E ep esen azio eo emak
Lan hone an zeha hainba e a hainba esna eman di ugu e e ikuluak
desk iba zeko e a ikusi di ugu e e ikulu mo a desbe dinak. Hala e e, haien
egi u a az e zeko edo a klasi ikazioa egi eko ez dugu gauza handi ik ikusi.
Xede ho e an lagun zeko e e ikuluei bu uzko gauzak bes e e a ba e a ikusi
beha ko di ugu, e a a al honen helbu ua ho i ahalbide zen du en zubiak
e aiki zea izango da, e ep esen azio eo emak hain zuzen.
Bidean opologia ekin e laziona uko di ugu e e ikuluak e a bai a o de-
na eo ia ekin e a mul zo eo ia ekin, baina lehenik e a behin lema ba zuk
oga uko di ugu.
3.0.1 lema. Biz (P, ≤) mul zo o dena u ini ua. O duan, (Down P, ⊆)
e e ikulu banako a e a ini ua da, non Down P,Pmul zoa en gainean
de ini u iko behe-mul zoen amilia den.
F ogapena. Fini ua dela a gi dago Down P⊆ P(P) delako e a P ini ua de-
lako hipo esiz. 1.3.8 ko ola ioan ikusi genuenez e e ikulua e e bada. A e
gehiago, P(P) e e ikulu banako a en azpi e ikulua da, e a be az, bana-
ko a. Os e an zean, exis i uko li za eke :X→Down Pdiaman e ik edo
pen agono ik Down Pe e ikulu a doan homomo ismoa, non i udi a mu-
iz u a isomo ismoa den, baina o duan de ini u ik legoke :X→ P(P)
baldin za be dine an, e a hau kon aesana da P(P) banako a bai a.
3.0.2 oha a. Oha u e e ikulu ini u guz iak bo na uak di a. Be az P
ini ua bada, Down P ini ua e a bo na ua da 0Down P=∅e a 1Down P=P
izanik.
3.0.3 lema. Bi a, (P, ≤) e a (Q, ≤) bi mul zo o dena u e a haien a eko ψ
un zio mono onoa. O duan, de ini dai eke Down(ψ) : Down Q→Down P,
aplikazioa non
(Down(ψ)) (X) = ψ−1(X)
31
32
den. Gaine a, aplikazio hau e e ikulu-homomo ismoa da e a 1, e a 0 ele-
men uak e espe a zen di u ({1,0}-homomo ismo esango diogu).
F ogapena. Ha u X, Y ∈Down Qikusi beha duguna hu engoa da:
(i) ↓Down(ψ)(X) = Down(ψ)(X) (ondo de ini u a dago)
(ii) Down(ψ)(X∪Y) = Down(ψ)(X)∪Down(ψ)(Y)
(iii) Down(ψ)(X∩Y) = Down(ψ)(X)∩Down(ψ)(Y)
(i ) Down(ψ)(∅) = ∅
( ) Down(ψ)(Q) = P
(ii), (iii), (i ) e a ( ) pun uak au ei udia en oina izko p opie a eak
bes e ik ez di a. (i) ikus eko ha di zagun ψ:P→Q un zio mono onoa,
X∈Down Q, ∈Pe a x∈Down(ψ)(X) elemen u ba ≤xdela ik.
Ikus dezagun ∈Down(ψ)(X) dela. ≤xdenez e a ψmono onoa denez
ψ( )≤ψ(x)∈Xda; ondo ioz, ψ( )∈↓X=X. Hau da, ∈ψ−1(X) =
Down(ψ)(X) da.
Ja ai zeko, gu e xedea Bi kho en eo ema oga zea izango da. Baina
ho e a ako zenbaki lehenak e e ikulue a a o oko uko di ugu, deskonposi-
zioek lagunduko digu elako.
3.0.4 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a a∈L. Esango dugu ago en-
i eduziblea edo sup emo-i eduziblea dela baldin e a a=c∨dbe ea aziko
luke en edozein c, d ∈Lbaleude, o duan a=cedo a=dbe eko bali z.
Go en-i eduziblen mul zo o dena ua i Ji Ldei uko diogu (ingeleseko join-
i eduzible izene ik) e a Le e ikulua en o dena du.
3.0.5 oha a. 0 exis i zen deneko e e ikulue an 0 ez da i eduzible za
jo zen.
3.0.6 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a ini ua e a x∈L { 0}
elemen ua. O duan exis i zen da {xi}n
i=1 ⊆Ji L, non
x=
n
_
i=1
xi
den.
F ogapena. Demagun ez dela ho ela, hau da exis i zen dela x∈L { 0}
zeina ezin den ja i i eduzibleen sup emoa bezala. Gu e helbu ua, ka e
in ini u ba osa zea izango da. Hau kon aesana izango da L ini ua bai a.
3. Kapi ulua. E ep esen azio eo emak 33
c0=xezin denez deskonposa u lasai asko esan dezakegu ez dela i e-
duziblea; be az exis i u beha di a bc1e a ¯c1, non bc1,¯c1< c0di en e a
c0=x=bc1∨¯c1den. A gi e a ga bi, ¯c1edo bc1ezin da deskonposa u.
Os e an zean, xe e deskonposa uko li za eke. bc1e a ¯c1a ean deskonposa
ezina den ho i izango da c1e a o mula e eku sibo be a aplika uz a e a
dai eke c2, c3. . . segida in ini ua.
3.0.7 ko ola ioa. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a ini ua, {xi}n
i=1 ⊆
L amilia, e a ∈Ji Lelemen ua. O duan, ≤
n
W
i=1
xibada exis i zen da
i∈ { 1, . . . , n }, non ≤xiden.
F ogapena. Has eko, ≤
n
W
i=1
xibada, o duan
= ∧
n
_
i=1
xi=
n
_
i=1
xi∧
e a i eduziblea denez, de inizioz (p in zipioz indukzioa beha ko genuke
hau ikus eko baina nahiko a gia da.) exis i u beha da sup emo honen gai
ba xi∧ = be e zen dela ik, edo bes e e a ba e a esanda, ≤xida.
F ogapena. Lehenik e a behin, xez da 0; os e an zean, (x) = (0) = 0 ∈
Ji K. O duan exis i zen da {xi}n
i=1 ⊆Ji L, non
x=
n
_
i=1
xi
den. Egoe a hone an,
k= (x) = n
_
i=1
xi!=
n
_
i=1
(xi)
da. Au eko ko ola ioa e abiliz k go en-i eduziblea delako, exis i u beha
da xinon (xi) = kden.
3.0.8 eo ema. (Bi kho -en e ep esen azio eo ema) Biz (L, ≤)
e e ikulu banako a e a ini ua. O duan, L∼
=Down Ji Lda hu engo ho-
momo ismoa en bidez:
spec :L→Down Ji L
l7→ spec(l)=(↓l)∩Ji L.
3.0.9 oha a. spec esa en zaio un zio honi elemen u bakoi za be e espek-
o a da amalako. espek oko elemen uen sup emoa ha u ik elemen ua be-
a e ekupe a zen da. Zenbakien kasuan, espek o de i zo deskonpozizioan
pa e ha zen du en zenbaki lehenei.
40 3.1. E ep esen azio opologikoak
3.1.14 eo ema. Biz (X, τ) S one espazioa. O duan X∼
=T(R(X)) da
hu engo homeomo ismoa en bidez:
:X→T(R(X))
x7→ { N∈R(X) : x∈N}.
F ogapena. Lau gauza ikusi beha di ugu:
(i) ongi de ini u a dago, hau da, (x) i udia R(X) e e ikulua en ul a-
il oa da,
(ii) bijek iboa da,
(iii) ja ai ua da,
(i ) i ekia da.
(i) oga zeko, (x) il oa dela ikusi beha dugu e a ge o ul a il oa dela.
Goi-mul zoa dela a gi dago, M∈↑ (x) ha u ik exis i zen bai a N∈ (x)
ezen N⊆Mdela ik, baina o duan x∈Ndagoenez, x∈Me e badugu.
Honenbes ez, M∈ (x) bai a. Gaine a, M, L ∈ (x) ha u ik, x∈M∩L
da, e a be az, M∩L∈ (x) dugu. Fil oa dela e a o i dugu, e a o ain
ul a il oa iza eko baldin za be e zen duela ikusi beha dugu. Hau ikus eko,
bi gauza oga uko di ugu N∈R(X) guz ie a ako:
1) N∈ (x) =⇒X N∈ (x),
2) N∈ (x) =⇒X N∈ (x).
E a hone an, N∈ (x) edo X N∈ (x), baina ez biak be e zen di ela
oga u a ge a uko da, e a, be az (x) ul a il oa izango da.
1) N∈ (x) bada x∈ X Ne a o i dezakegu. Ondo ioz, X N∈ (x)
dugu.
2) Demagun N∈R(X) dugula, non N∈ (x) den, o duan x∈ Nda e a,
ho ega ik, X Ni xi ekia da e a x∈X Nda. Honenbes ez, X N∈ (x)
da e a (x) ul a il oa.
(ii) bijek iboa dela ikus eko ha u di zagun x, y ∈Xelemen u ezbe di-
nak, x, y ezbe dinak di enez, espazioa Hausdo denez e a i xi ekien in-
gu une oina i ba exis i zen denez, be eziki badaude Ux, Uybi i xi eki
x∈Ux, y ∈Uye a Ux∩Uy=∅be e zen di ela ik. Be eziki, (x)= (y)
dugu e a injek iboa da. Bes alde, ha dezagun UR(X) gaineko ul a-
il oa, gu e helbu ua TUez hu sa dela oga zea izango da. Oha u, U
ul a il oa denez ∅ ∈ U dela. Gaine a S ⊆ U ini ua ha u ik TS ∈ U da U
il oa delako. O ain demagun U amilia en ebakidu a hu sa dela. O duan,
hu engoa daukagu:

3. Kapi ulua. E ep esen azio eo emak 41
∅= U=X [
U∈U
X U!
Hau da, {X U}u∈U amilia X espazioa en es alkia da, e a i ekiz osa ua
dago. Be az, X inkoa denez, exis i zen da S ⊆ U ini ua
[
U∈S
X U=X
dela ik. Baina hau ezinezkoa da; osaga iak ha uz,
S=∅∈U
izango genukeelako. Buka zeko, ha u x∈TUe a oha u (x)⊇ U dugula
e a Uul a il oa denez, (x) = U.
(iii) ikus eko ha u T(L(X)) espazioko BNoina iko i ekia N∈R(X)
dela ik.
−1(BN) = {x∈X|N∈ (x)}
={x∈X|x∈N}
=N
e a, noski, Ni ekia da Xespazioan.
(i ) ikus eko ha u N⊆Xi xi ekien oina iko edozein elemen u. O -
duan, honako hau dugu:
(N) = { U ul a il oa |exis i zen den x∈N: (x) = U }
={ U ul a il oa |N∈ U } (*)
=BN.
(*) be din za ule zeko oha u x∈Nguz ie a ako N∈ (x) be e zen
dela. Ondo ioz, (x) = Ubali z x∈Nba e ako N∈ U li za eke nahi aez.
Bes alde, N∈ U be e zen duen Uul a il o ba badaukagu sup ajek iboa
denez, exis i u beha da x∈X, non (x) = Uden, e a be eziki N∈ U
denez, x∈Nbe e beha da.
Teo ema hau ga an zi handikoa da, opologiako hainba eknika i zul-
zea ahalbide zen bai u. Ho e az gain, opologian gauza asko absu do a
e amanez oga u izan di a, hau ez da komeniga ia ez bidean ez bai a as-
ko ondo ioz a zen. Baina zubi honi eske oga e aiki zaileak egin dai ezke.
Azken hauek, askoz e e baliaga iagoak di a, oga u nahi duguna oga zeaz
gain, ha en ze ga ia e a p opie a eak hobe o ule zea ahalbide zen du elako.
A. E anskina
a ike ak
A ike a 1. Biz (L, ≤)e e ikulua. F oga bi ez hu engo desbe din zak x, y, z ∈
Lguz ie a ako.
(i) (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨z).
(ii) x∨(y∧z)≤(x∨y)∧(x∨z).
(iii) (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x).
(i ) (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)).
Ebazpena. (i ) oga uko dugu has eko. Oha u x≤xe a y≤(y∨(x∧
z)) be e zen di a, e e lexio p opie a ea e a sup emoen de inizioa di ela e a
hu enez hu en. x∧y≤xe a x∧y≤ybe e zen di a halabe . P opie a e
an si iboa e abiliz, (x∧y)≤xe a (x∧y)≤(y∨(x∧z)) lo zen di ugu
e a biak ba e a uz e a in imoa en de inizioa e abiliz:
(x∧y)≤x∧(y∨(x∧z)) (A.1)
lo zen da.
Bes e alde ba e ik, x∧z≤xdaukagu in imoa en de inizioa i ja aiki.
Ho az gain, x∧z≤y∨(x∧z) da sup emoa en de inizioaga ik. Biak
ba e a uz e a in imoa en de inizioa e abiliz hu engoa lo zen da:
(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) (A.2)
(A.1) e a (A.2) e abiliz e a sup emoa en de inizioa aplika uz,
(x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z))
daukagu.
(i) ikusiko dugu o ain. (i ) e abiliz badakigu (x∧y)∨(x∧z)≤x∧
(y∨(x∧z)) dela. Be az, x∧(y∨(x∧z)) ≤x∧(y∨z) dela ikusiko dugu.
43
44
x∧z≤z≤y∨ze a y≤y∨zdi enez, sup emoa en de inizioa e abili e a
y∨(x∧z)≤y∨zdela e a o dezakegu. Ondo ioz, x∧(y∨(x∧z)) ≤
y∨(x∧z)≤y∨ze a x≤xdi a. Ho i dela e a,
(x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) ≤x∧(y∨z)
(ii) p opozizioa oga u dugun (i) p opozizioa en duala da.
Buka zeko, (iii) oga uko dugu. Oha u
(x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(y∨z) (A.3)
be e zen dela x∧y≤y≤y∨z, x ∧z≤z≤y∨ze a y∧z≤y≤
y∨zbe e zen di elako, (x∧y)∨(x∧z)≤y∨ze a y∧z≤y∨zbe e zea
ahalbide uz.
Aldagaien izenak uka uko di ugu, e a ezke eko esp esioa guz iz sime-
ikoa denez, bes e bi desbe din za hauek lo uko di ugu:
(x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨z),(A.4)
(x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(y∨x).(A.5)
(A.3) e a (A.4) e abiliz, e a in imoa en de inizioa aplika uz, hu engoa
daukagu:
(x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨z)∧(y∨z) (A.6)
(A.5) e a (A.6) ba e a uz e a in imoa e abiliz bai a hau e e:
(x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x).
A ike a 2. Bi a (L, ≤L),(K, ≤K)e e ikuluak, :L→Ke e ikulu-
homomo ismoa e a F∈ il(L) il oa. F oga u (L)azpi e ikulua dela e a
(F)∈ F( (L)) dela.
Ebazpena. (L) mul zo o dena ua dela a gi dago. (x), (y)∈ (L) ha uz
ge o, hu engo bi egiazko asunak di ugu e e ikulu homomo ismoa delako
e a Le e ikulua:
(x)∧K (y) = (x∧Ly)∈ (L)
(x)∨K (y) = (x∨Ly)∈ (L)
Be az, azpi e ikulua da a gi e a ga bi.
(F) e e au eko a gumen ua dela medio azpi e ikulua da. Fil oa dela
ikus eko, nahikoa da (x)∈ (F) e a (y)∈ (L) ha u a (x)∨K (y)∈
(F) dagoela be ma zea. Hala da, F il oa denez e a x∈Fdugunez, x∨Ky
e e Fmul zoan dago, e a (x∨Ly) = (x)∨K (y) dugu.
A. E anskina. a ike ak 45
A ike a 3. Bi a (L, ≤)e e ikulua e a C⊆Lazpi e ikulu konbexua. F oga
bedi exis i zen di ela F il oa e a Iideala, non C=F∩Iden. Bes alde, o-
ga u Fe a Iedozein il o e a ideal badi a haien ebakidu a mul zo konbexua
dela.
Ebazpena. Lehenik e a behin, ikusiko dugu edozein F il o e a Iideal ha u-
ik, C=F∩Iazpi e ikulu konbexua dela. Azpi e ikulua dela a gi dago,
ez dugu ga a uko. Os e a, ikus dezagun bes ea. Ha di zagun x, y ∈C
o duan,
[x, y]⊆↑x⊆↑F=F(A.7)
da F il oa delako, e a
[x, y]⊆↓y⊆↓I=I(A.8)
da I ideala delako. (A.7) e a (A.8) ba e a uz, [x, y]∈F∩I=Clo zen
dugu. Honenbes ez, Ckonbexua da.
Biga enik, ha di zagun Cmul zo konbexua, F= il(C) il oa e a
I= id(C) ideala. F oga dezagun F∩I=Cdela.
C⊆F∩Ia gia da, egin dugun auke ake a dela e a. Be az, oga
dezagun kon ako pa eko asuna. a∈F∩Ibada, o duan il oen e a idealen
ka ak e izazioei eske
a∈[n↑^SS⊆C ini ua o∩[n↓_SS⊆C ini ua o
da.
Be az, exis i zen di a S, T ⊆Cazpimul zo ini uak, ezen
^S≤a≤_T
goi-mul zo e a behe-mul zo ba en pa e delako gu xienez, bi bildu en pa e
iza eko. Honenbes ez, Cazpi e ikulua denez, exis i zen di a c1=VSe a
c2=WTelemen uak Ckonbexuan, non
a∈[c1, c2]⊆C
den.
A ike a 4. Bi a (L, ≤)e e ikulua e a A⊆Lazpimul zoa, De ini u hu en-
go e agileak P(L)gainean,
l:P(L)→ P(L)
A7→ l(A) =
a∈A
(↓a),
u:P(L)→ P(L)
A7→ u(A) =
a∈A
(↑a).
F oga bedi C=l◦ui xi u a e agilea dela, e a az e bedi zein den Cl(P(Q))

46
Ebazpena. I xi u a en hi u p opie a eak ikusi beha di ugu A∈ P(L) dela-
ik:
(i) A⊆C(A),
(ii) A⊆B=⇒C(A)⊆C(B),
(iii) C(C(A)) = C(A).
(i) ikus eko ha u b∈Aelemen u ba ; oha u, c∈u(A) guz ie a ako
c∈↑bdela. Ondo ioz, c∈u(A) guz ie a ako, b∈↓c. Honenbes ez, b∈C(A).
(ii) A⊆Bbada, o duan u(B)⊆u(A) ebakidu a mul zoe an e agile
an i onoa delako. A azoi be aga ik, l(u(A)) ⊆l(u(B)) e a ondo ioz C(A)⊆
C(B) da.
(iii) ikus eko gauza be ezi ba egingo dugu, lehenik e a behin ikusi-
ko dugu A⊆u(l(A)) be e zen dela. Ha u a∈Aedozein. c∈l(A)
guz ie a ako, c∈↓ adugu, edo bes e e a ba e a esanda, a∈↑ c. Ondo-
ioz, a∈u(l(A)) da e a A⊆u(l(A)). Behin hau jakinda, Amul zoa-
en okian u(A) sa uz u(A)⊆u(l(u(A))) = u(C(A)) e a o i dezake-
gu. Azkenik, lan i onoa da mul zoen ebakidu a an i onoa delako. Be az,
C(A) = l(u(A)) ⊇l(u(C(A))) = C(C(A)). Bes e pa eko asuna i dagokio-
nez, (i) bes e ik ez da.
Behin i xi u a e agilea dela jakinda, de ini dezagun hu engo aplikazioa:
: (Cl(P(Q)),⊆)→(R∪ { −∞,−∞ } ,≤)
A7→ _A.
(R∪ { −∞,∞ } ,≤) osoa da, o den hone an edozein mul zo bo na ua
delako e a e eale an mul zo bo na uek sup emoa bai u e. e e ikulu-
homomo ismoa dela ikus ea bai a ez da ba e e zaila:
(A∩B) = _A∩B(∗)
=_A∧_B= (A)∧ (B)
e a
(Cl(A∪B)) = _Cl(A∪B)(∗2)
=_(A∪B) = _A∨_B= (A)∨ (B)
bai a.
(∗) ikus eko oha u ≤be e zen dela be i e e ikulu guz ie an. Bes e
desbe din za ikus eko, oha u WA∩B < q < WA∧WBbe e zen
duen q∈ Q ha u ik, q≤WAdela. Be az, q∈l(u(A)) = C(A) = Ada.
A azoi be a dela e a, q∈Bda. Baina, o duan, q∈A∩Bdugu e a hau
kon aesana da. Ondo ioz, qez da exis i zen, e a be din za daukagu.
A. E anskina. a ike ak 47
(∗2) ikus eko, oha u A⊆C(A) dela; be az,
_A≤_C(A)
a gia da. O ain, demagun desbe din za he sia dela. O duan, exis i zen da
_A < q < _CA)
be ea az en duen qa azionala. F oga dezagun, hau kon aesana dela.
q∈u(A) dagoela a gi dago. Be az, c∈C(A) guz ie a ako c≤qda.
Honenbes ez, _C(A)≤q < _C(A)
da.
Su jek iboa e e bada, (C(Q)) = ∞, (C(∅)) = −∞ di elako e a ∈R
ha uz ge o,
CQ∩(−∞, )=_CQ∩(−∞, )=_Q∩(−∞, )=
delako.
Injek ibo asuna e e oga dai eke: Ho i ikus eko, oga uko dugu A, B ⊆
Qguz ie a ako _A=_B=⇒C(A) = C(B)
dela.
Demagun, WA=WBdela, e a ha u b∈u(B). nahi aez b≥WB=WA
da; ondo ioz, b≥WAdenez, b∈u(A) da. Honenbes ez, u(B)⊆u(A) e a,
a azoi be a dela e a, u(A)⊆u(B) denez, u(A) = u(B) da. Buka zeko l
aplika uz, C(A) = C(B).
Ha u di zagun A, B ∈Cl(P(Q)) e a demagun (A) = (B) dela. Hau
da, WA=WBdela, o duan, A=C(A) = C(B) = Bdela oga u be i
dugu.
Oso a a, (R∪ { −∞,∞ } ,≤)∼
=(Cl(P(Q)),⊆) dela oga u dugu.
B. E anskina
Topologia
A al hone an lanean zeha e abili di ugun kon zep u opologiko e a eo emak
emango di ugu.
B.0.1 de inizioa. Biz(X, τ) biko e ba , non Xmul zoa den e a τ⊆ P(X)
amilia ba den. Esango dugu (X, τ)espazio opologikoa dela baldin e a τ
amiliak hu engo baldin zak be e zen badi u:
(i) {X, ∅ } ⊆ τ
(ii) A, B ∈τ=⇒A∩B∈τ
(iii) {Si}i∈I⊆τ=⇒Si∈IS∈τ
τmul zoko elemen uei i eki esa en diegu e a C={X U⊆X|U∈τ}
mul zoko elemen uei i xi.
B.0.2 de inizioa. Bi a (X, τ) espazio opologikoa e a S⊆Xazpimul zoa.
Esango dugu, Si xi ekia dela baldin e a i xia e a i ekia bada.
B.0.3 de inizioa. Biz (X, τ) espazio opologikoa. Esa en dugu inkoa
dela, baldin e a SS=Xdeneko S={Si}i∈I⊆τguz ie a ako exis i zen
bada J⊆I ini ua, non Si∈JSi=Xden.
B.0.4 de inizioa. Bi a (X, τ) espazio opologikoa e a β⊆τ. Esa en dugu
β opologia en i eki-oina ia dela baldin e a U∈τguz ie a ako exis i zen
bada B⊆β, non U=SBden.
B.0.5 eo ema. Biz Xmul zoa e a β={Bi}i∈I⊆ P(X) amilia hu engo
baldin zak be e ik:
(i) Si∈IBi=X.
(ii) ∀B1, B2∈β, ∀x∈B1∩B2,∃B3∈β:x∈B3⊆B1∩B2.
49