Erretikulu teoria eta errepresentazio teoremak

E e ikulu eo ia e a e ep esen azio eo emak G adu Amaie ako Lana Ma ema ikako G adua Unax Ca˜na e as I aide Ma dones I akasleak zuzendu ako lana Leioa, 2025eko Api ila en 30a Gaien Au kibidea Sa e a Hausna ke a ii 1 E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 1 1.1 Egi u a aljeb aikoa i e ekina a e a zen . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko zen . . . . . . . . 10 1.3 O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko de inizio ba- zuk ................................ 14 2 E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 21 3 E ep esen azio eo emak 31 3.1 E ep esen azio opologikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 A a ike ak 43 B Topologia 49 Bibliog a ia 53 iii Sa e a Egungo egoe an, o denagailuek du en nonahiko asuna ikusi a, logika az- e zea beha handia da. Xede ho ekin au kez u zuen 1845ean Geo ge Boole ma ema ika iak Boole aljeb a be e “The Ma hema ical Analysis o Logic”a ikuluan. Gau egun, eo ia ho en o oko pen handia egin da e a e e ikulu eo ia de i zo. Gaine a, opologian, mul zo eo ian, aljeb an e a bes e zenbai a lo an oki ba i abazi du eo ia be i honek. Lan hone an e e ikulu eo ia en nondik no akoak az e uko di ugu; gu- e helbu ua e e ikuluen egi u a nolakoa den az e zea izango da. Hala, ezagunak di ugun e e ikulue a ik abia u, esa e ako, zenbaki e ealak ohi- ko o dena ekin e a mul zoen pa een amilia pa e iza ea en o dena ekin, e a o oko e a joko dugu. Ge o, gu e azken helbu u an z joko dugu e a e ep esen azio eo ema pa e ba ikusiko di ugu. E ep esen azio eo emek zubiak e aiki zen di uz e. Haue ako bi an zen a uko da lana: Bi kho en eo eman, zeinak mul zo eo ia ako zubia e aiki zen digun, e e ikulu bana- ko ba mul zo ba en pa een amilian nolabai sa dai ekeela oga uz, e a S one en eo eman, zeinak opologia ekin zubi ba e aiki zen digun Boole e e ikuluei opologia ba eza iz. E ep esen azio eo emek ga an zi handia du e bi alde a a e abil dai- ezkeelako. Alde ba e ik opologian e a mul zo eo ian oga u izan di en hainba e a hainba eo ema e e ikulue a a i zul zea ahalbide zen digu e; e a, bes e ik, e e ikulu eo ian, e a e aiki zaile ba ean, opologiako edo- a mul zo eo iako hainba e a hainba oga egin dai ezke e a ge o eu en mundu a i zuli. Au eko pa ag a oe an au kez u di ugun helbu uak lo zeko, hi u a a- lez osa u ako hu engo egi u a du lan honek: lehenengo a ala, “E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak”izenbu uduna. A al hone an ezagunak di- ugun e e ikulue a ik abia uz e e ikulu eo ia en oina izko esnak au - kez en di a, no azioa e a lan egi eko e a inka zeaz gain. Hi u azpia al di u, “Egi u a aljeb aikoa i e ekina a e a zen”, “Zenbaki e ealen hainba p o- pie a e o oko zen”e a “O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko de inizio ba zuk”izenbu udunak. Biga en a ala, “E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak” i uluduna da. A al hau an sizio a ala da: au e- ko a alean au kez u ako esnak e abiliz, hi uga en a alean e abiliko di en e e ikulu mo ak au kez en di a; hain zuzen e e, e e ikulu banako ak e a i Boole e e ikuluak. Hauen az e ke a ez denez lan honen helbu u nagusia, e ep esen azio eo emak kendu ik, ez da asko sakondu. Hala e e, adizio gehien duen a ala da e a asko dago hemen au e an zean sakon zeko. Hi- uga en a ala, “E ep esen azio eo emak”izenbu uduna da. A al honek bi za i nagusi di u Bi koh en eo ema en oga e a S one ena, hain zuzen e e; biga ena, ”E ep esen azio opologikoak”azpia ala en ba nean doala ik. Azkenik e a buka zeko, aipa u beha ekoa da lan hone an au kez u di en eo emak hu engo hi u libu u klasikoe a ik a e a akoak di ela: G. G ¨a ze- en “La ice heo y: Founda ion”, G. Bi kho en “La ice heo y”, e a S. Bu is e a H. P. Sankappana a en “A cou se in uni e sal algeb a”. Hausna ke a Lan hau guz iz eo ikoa da. Honenbes ez, ez die G.J.H helbu uei zuzenki e agi en. Behin hau esanda, e e ikulu eo iak hainba aplikazio izan di za- keela ikusi da konpu azioan. Gau egun da uen analisiak ga an zi handia ha u du, e a ho ekin ba e a u gas u oso handiak e e edonon au ki dai ez- ke. A gi dago, da uen e abilpenak ikusi ik, ezin diogula da uak az e zea i u zi, baina e e ikuluen az e ke ak da uen analisia op imiza zen lagun de- zake. 6. e a 12. G.J.H helbu uekin le oka zen da u xahupena ekidi eko edozein ja e a ha zea. Helbu u honekin, da uak lan zeko esna egokiak au ki zea beha beha ezkoa da. U gas ua konpu azio denbo a ekin igo zen bai a. Ho sa zen di a e e ikulu osoak e a kon zep u e e ikuluak. Hala e e, lan honen anke ako lan eo ikoek esna ma ema iko uga i jo a zen di uz e. Asko an ga an zia ken zen zaie aplikazio zuzenik ez bai- u e. Baina G.J.H e an au e a egi eko, in aes uk u ak hobe u beha di a bai gas ua mu iz eko, edo e eku soak nonahi hel dai ezen be ma zeko. Esa e ako, p og amazio ma ema ikoak asko hobe u du anbulan zien koka- pena Alemanian edo u hodien sa ea hainba oki an. E e ikulu eo iak halako a lo aplika uei oina iak ema en dizkio, bes e edozein gai eo ikok bezala. Ondo ioz, e a jasanga ian bizi ze ako bidean edozein lan eo ikok lagundu lezake. Bai zuzenean kon zep u e e ikuluek da uen analisian lagun zen du en bezala, da uen analisia azka uz, e a u a au ez uz; edo bai zeha ka bes elako ezagu za ma ema iko e a zien i ikoa i esnak emanez G.J.Hen alde egi eko esnak ga a di za en. ii 1. Kapi ulua E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak E e ikulu eo iak, Rmul zoko o dena e lazioa, sup emoa e a in imoa o o- ko zen di u. Hauek az e zeko lehenik e a behin o dena de ini uko dugu, e a be e p opie a eak az e uko. 1.0.1 de inizioa. Biz Xmul zoa e a ρ⊆X×Xe lazioa. Esango du- gu ρo dena e lazioa (edo soilik o dena) dela hu engo baldin zak be e zen badi u: (e e l) (x, x)∈X2x∈X⊆ρ, (an i) (x, y)∈ρe a (y, x)∈ρ=⇒x=y, (i ag) (x, y)∈ρe a (y, z)∈ρ=⇒(x, z)∈ρ. Egoe a hone an (X, ρ) biko ea i mul zo o dena u edo pa zialki o dena ua de i zogu. O dena ba az e zen dugunean, o oko ean (x, y)∈ρ,x ρ y ida ziko dugu, e a ≤,⊆moduko iku ekin izenda uko di ugu; bes alde, x≤ybada e a be din za be e zen ez bada <, ⊂iku ak e abil zen di ugu. Behin o dena de ini u ik ikus dezagun adibide ba : 1.0.2 adibidea. Lehenik e a behin ha dezagun X={1,2,3}mul zoa e a ≤be iko o dena. Hau desk iba zeko, esan beha ko genuke zein den ≤ mul zo moduan: ≤={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}. hain zuzen e e. Hemen da uak sobe an daudela a gi dago. O dena dela ja- kinda (1,2),(2,3) ∈ ≤ badaude bes e pun u ho iek guz iak ba nean daudela jakin dezakegu. Ho ega ik ema en da hu engo de inizioa. 1 8 Honekin mul zo o dena ua dela oga u dugu, o ain ikus dezagun ze ge a zen den sup emo e a in imoa ekin. Ha di zagun x, y ∈Aedozein bi elemen u ikusiko dugu x∨y=x∗1ydela. A gi dago x≤x∗1ye a y≤ x∗1ybe e zen di ela ∗1e agike ak uka ze, elka ze e a idempo en zia legeak be e zen bai i u. O ain, demagun exis i zen dela x≤ze a y≤z desbe din zak be e zen di uen z∈A. O duan, (x∗1y)∗1z(elka ) =x∗1(y∗1z)y≤z =x∗1zx≤z =c . Be az x∗1y≤zlo zen dugu. E a hone an, oga ua ge a zen da sup emoa dela bi baldin zak be e zen bai i u. O aindik ez dugu biga en e agike a e abili; o ain beha ko dugu. Ikusi beha dugu in imoa ekin ze ge a zen den. Ha di zagun x, y ∈Aedozein bi elemen u; o duan haien in imoa x∧y=x∗2ydela ikusiko dugu. Lehenik e a behin, ikusi beha dugu x∗2y≤xe a x∗2y≤ybe e zen di ela. Baina ∗1e a ∗2e agike ek xu gapen legea be e zen du enez, (x∗2y)∗1x=x be e zen da. yelemen ua ekin egi eko ∗2e agike ak uka ze be e zen duela e abili beha da baina gauza be a da. O ain demagun exis i zen dela z≤x e a z≤ybe e zen di uen z∈A; o duan, z∗1(x∗2y)=(z∗2(z∗1y)) ∗1(x∗2y) (xu g) = (z∗2y)∗1(x∗2y) (z≤y) = ((z∗2(z∗1x)) ∗2y)∗1(x∗2y) (xu g) = ((z∗2x)∗2y)∗1(x∗2y) (z≤x) = (z∗2(x∗2y)) ∗1(x∗2y) (elka ) =x∗2y. (xu g) Hau da, z≤x∗2ye a ondo ioz x∧y=x∗2y. 1.0.15 oha a. Desbe din zak egoki o de ini dai ezkeen a en lan hone an ez dugu egingo. Desbe din za diogunean hu engoa izango di a: e e ikuluko elemen uak e a e agike ak konbina u ik so u ako bi adie azpen e a haien a eko o dena e lazio ba . 1.0.16 oha a. In imoa zein den oga u dugunean e abili ako e agike ak; hasie a ba ean, ez di a ba e e in ui iboak. Hala e e, a ike a ba egingo dugu hauek lan zeko. Hemen doa e agike ak egi eko egi en den a azoike a kasu 1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 9 hone an: lehenik e a behin, oha u di ugun a auekin bi me odo baka ik di- ugula adie azpenak mu iz u e a haz eko, (xu g) edo (idem) aplika zea hain zuzen e e. Kasu hone an, oga u nahi badugu z∗1(x∗2y) = x∗2ydela, hau oga zeko modu baka a, adie azpena ga a u e a nolabai (xu g) e abil zea da. Be az, logikoa di udi znola be ida zi pen sa zen has ea. Bes alde, c elemen ua i bu uz dakigun guz ia da z∗1x=xe a z∗1y=ydi ela; be az bi adie azpen ho iek sa u nahi di ugu sinpli ika dai ezkeelako. Bi gauza hauek ba e a zen badi ugu emandako u a sak ez di a hain a o zak. 1.0.17 oha a. (L, ≤) e e ikulu ba daukagunean a, b ∈Lha u ik a≤b⇐⇒ a∨b=b da. Be az, (L, ∨,∧) egi u a aljeb aikoak de ini u iko e e ikulua (L, ≤) da. 1.1 Egi u a aljeb aikoa i e ekina a e a zen Azpia al hone an egi u a aljeb aiko ik a e a dai ezkeen hainba de inizio emango di ugu soilik. De inizio o oko hauek [2] libu uan ema en di a edo- zein egi u a aljeb aiko ako (hemen e e ikulue a ako eman di ugu). 1.1.1 de inizioa. Bi a (L, ≤L) e a M, ≤M) e e ikuluak e a :L→M aplikazioa. Esa en dugu e e ikulu-homomo ismoa dela baldin e a soilik baldin, x, y ∈Lguz ie a ako hu engoa be e zen bada: (i) (x∨Ly) = (x)∨M (y), (ii) (x∧Ly) = (x)∧M (y). E a be i bezala de ini zen di ugu monomo ismo, epimo ismo e a isomo - ismoak. Ho ez gain, Le a Me e ikuluen a ean isomo ismo ba badago isomo oak di ela esango dugu e a L∼ =Mida ziko. 1.1.2 de inizioa. Bi a ∅ =B⊆Lbe e zen du en (B, ∧B,∨B) e a (L, ∧L,∨L) e e ikuluak. Esa en dugu (B, ∧B,∨B) mul zoa (L, ∧L,∨L) mul zoa en az- pi e ikulua dela e a B≤Lida zi; baldin e a soilik baldin, (∧L)B2=∧Be a (∨L)|B2=∨B badi a. 1.1.3 de inizioa. Biz {(Li,∧i,∨i)|i∈ {1. . . n} } e e ikuluen amilia ini- ua. O duan haien bide kadu a zuzena n Y i=1 Li,∧,∨! 10 1.2. Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko zen e e ikulu ba da; ∧,e a ∨e agike ak p oiekzioak e e ikulu-homomo ismoak di ela be ma zeko de ini zen di ela ik. Oha u de inizio hau egokia dela, x, y ∈Qn i=1 Liha u a x∧y= (πi(x∧y))n i=1 = (πi(x)∧iπi(y))n i=1 da, e a x∨y= (πi(x∨y))n i=1 = (πi(x)∨iπi(y))n i=1 πiiga en p oiekzioa dela ik. 1.1.4 adibideak. E epa a u diezaiogun X={a, b }mul zoa i e a de ini u hu engo o dena ≤= an {(a, b)}o duan X×Xbide kadu a e e ikulua da e a hu engo diag ama dauka. (b, b) (a, b)(b, a) (a, a) (a, a)=(a, b)∧(b, a) (b, b)=(a, b)∨(b, a) 1.2 Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko - zen Zenbaki e ealen mul zoa e e ikulu ba bada e e ohiko o dena ekiko, bes e p opie a e ba e e be e zen du. Hu engoa hain zuzen e e: x, y ∈R=⇒x≤yedo y≤x. O oko ean (L, ≤) e e ikulu ba daukagunean esa en dugu C⊆Lka ea dela, goiko baldin za be e zen badu. Hau da: x, y ∈C=⇒x≤yedo y≤x. Be eziki e e ikulu ba (L, ≤) ka ea dela esango dugu, Lka ea bada. 1.2.1 eo ema. Biz (C, ∨,∧) e e ikulua Cez-hu sa izanik. O duan ka ea da baldin e a soilik baldin edozein azpimul zo azpi e ikulua bada. F ogapena. Edozein azpimul zo azpi e ikulua bada, be eziki x, y ∈Cha - u ik {x, y} ⊆ Cazpi e ikulua da. Dei u diezaiogun {x, y}mul zoa i A. E e ikulua denez ge oz ik, badago de ini ua ∨Ae agike a Amul zoan. Hau da, x∨Ay∈Ada. E a azpi e ikulua iza eaga ik x∨y=x∨Ay 1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 11 denez; x∨y∈Ada. Azken hau be ida ziz ge o, x∨y=xedo x∨y=y be e zen dela lo zen dugu. Hau da, x≤yedo y≤x da. Bes e inplikazio ako, biz (C, ∨,∧) ka ea, e a B⊆Cedozein azpimul zo e a b , bh∈Bedozein bi elemen u. De ini uko dugu b ∨Bbh=b ∨bh e a b ∧Bbh=b ∧bh. A gi dago, ondo de ini u a egonez ge o, e e ikulua izango dela e a azpi e- ikulua iza eko baldin za be eko duela. Ondo de ini u a dagoela ikus eko, o oko asunik galdu gabe, b ≤bhsuposa uko dugu (hau egin dai eke C ka ea delako). Ikusi beha dugu b ∨Bbh∈Be a b ∧Bbh∈Bdi ela. E a b ∨Bbh=b ∨bh=bh∈B e a b ∧Bbh=b ∧bh=b ∈B di enez, hala da. Bes alde, zenbaki e ealekin lan egi en dugunean asko an desbe din zak aska u edo e alda u nahi di ugu e a ho i egi eko un zio mono onoak e a an i onoak de ini zen di ugu. E e ikulue an be dina egi en dugu, a, b ∈L badi ugu o duan ϱ:L→Kmono onoa da a≤bbe ez ge o, ϱ(a)≤ϱ(b) bada e a an i onoa da ϱ(b)≤ϱ(a) bada. Hemendik au e a eze esa en ez bada aplikazio ba ek le a g ekoa badu mono onoa da e a e oma a a badu homomo ismoa. 1.2.2 eo ema. Bi a (L, ≤L),(K, ≤K) e e ikuluak e a :L→Ke e ikulu- homomo ismoa. O duan, un zio mono onoa da. F ogapena. Ha u x≤Lybe e zen du en x, y ∈Lelemen uak, o duan y= x∨Lyda. e e ikulu homomo ismoa denez, (y) = (x∨Ly) = (x)∨K (y) da, edo bes e e a ba e a ida zi a (x)≤K (y). 12 1.2. Zenbaki e ealen hainba p opie a e o oko zen 1.2.3 eo ema. Bi a (L, ≤L),(K, ≤K) e e ikuluak e a ψ:L→Kapli- kazio mono onoa, bijek iboa, e a alde an zizko mono onoduna. O duan, ψ e e ikulu-isomo ismoa da. F ogapena. Ha u x, y ∈Ledozein bi elemen u, ikusi nahi genukeena hu- engoa da: (i) ψ(x∨Ly) = ψ(x)∨Kψ(y), (ii) ψ(x∧Ly) = ψ(x)∧Kψ(y). Be az has gai ezen (i) be din za oga zen, ohikoa den bezala bi desbe - din zak oga zen. ψmono onoa denez e a x≤Lx∨Lybe e zen denez ψ(x)≤Kψ(x∨Ly) (1.8) ondo ioz a dezakegu; gaine a a azoi be a dela e a ψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.9) e e ondo ioz a dai eke. (1.8) e a (1.9) inekuazioak ba e a uz ge o hu engoa e a o dezakegu: ψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.10) (1.10) e abiliz hu engo bi ka eak lo di zakegu: ψ(x)≤Kψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.11) ψ(y)≤Kψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.12) ψ−1mono onoa denez (1.11) e a (1.12) desbe din za ka ee ako gai guz- ie an aplika zen badugu hu engo bi desbe din zak lo zen di ugu: x≤Lψ−1ψ(x)∨Kψ(y)≤Lx∨Ly(1.13) y≤Lψ−1ψ(x)∨Kψ(y)≤Lx∨Ly(1.14) (1.13) e a (1.14) ba e a zen badi ugu e a p opie a e an isime ikoa e a- bil zen ψ−1ψ(x)∨Kψ(y)=x∨Ly lo zen dugu. Buka zeko be din zan ψaplika uz nahi genuena lo zen dugu. ψ(x)∨Kψ(y) = ψ(x∨Ly) Bes e baldin za ez dugu oga uko, a gumen u analogoa ja ai uz lo bai ai eke. 1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 13 Ta eak (i xiak in e esa zen zaizkigu ba ez e e) de ini u ik di ugu Rmul- zoan. Bi mo a akoak di ugu a, b ∈Redozein izanda a≤bbe e zen du e- la ik: (i) [a, ∞) edo (−∞, a] e akoak, non [a, ∞) = {x∈R|a≤x}e a [−∞, a) = {x∈R|x≤a} di en. (ii) [a, b] e akoak non [a, b]=[a, ∞)∩(−∞, b] den. E e ikulu o oko ba ha u ik e e bi kon zep u hauek o oko u dai ezke hu engo de inizioen bidez: 1.2.4 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a X⊆Lmul zoa. Hu engoak di a Xmul zoa en goi-mul zo e a behe-mul zoa hu enez hu en: ↑X={l∈L| ∃x∈X:x≤l} ↓X={l∈L| ∃x∈X:l≤x}. E a D⊆Lgoi-mul zoa (edo behe-mul zoa) dela esa en badugu ze ena den esan gabe, ho ek esan nahiko du exis i zen dela X⊆Lnon D=↑Xden (edo D=↓X). Oha u, honekin lehen a e mo a o oko u dugula, [a, ∞) zenbaki e ea- len gaineko ↑ { a}bes e ik ez bai a. No azio alde ik, ↑{ a}mul zoa ↑a idaz en da. Behe-mul zoa ekin e e be dina ge a zen da. Gaine a, o ain (ii) mo ako a eak e e de ini di zakegu. 1.2.5 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a a≤bbe e zen du en, a, b ∈L edozein bi elemen u. Esango dugu [a, b]=(↑a)∩(↓b) mul zoa aelemen u ik belemen u ainoko a ea dela. Behin hau de ini u ik, sue a dakigukeen galde a hu engoa da. 1.0.10 adibide an ikusi genuen (P(L),⊆) e e ikulua zela. O ain de ini u dugu modu ba Le e ikulu ik P(L) e e ikulu a pasa zeko. Nolakoa da aplikazio ho i? 1.2.6 eo ema. Bi a (L≤) e e ikulua e a ↑:L→ P(L) a7→↑a aplikazioa. O duan ↑injek iboa da e a an i onoa. 14 1.3. O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko de inizio ba zuk F ogapena. Bi a x, y ∈Ledozein bi elemen u. Suposa dezagun i udi be a du ela. O duan, ↑x=↑y=⇒x∈↑x=↑ye a y∈↑y=↑x=⇒y≤xe a x≤y=⇒x=y be e zen da; be az, ↑injek iboa da. Bes alde, x≤ybada e a z∈↑yha zen badugu x≤y≤zdaukagu be az ↑y⊆↑xda. 1.2.7 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a B≤Lazpi e ikulua. Esa en dugu B konbexua dela baldin e a x, y ∈B=⇒[x, y]⊆B be e zen bada. 1.3 O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be- ezko de inizio ba zuk 1.3.1 de inizioa. Bi a (L, ≤) mul zo o dena ua e a ¯: L→Laplikazioa. Esa en dugu ¯ i xi u a e agilea dela baldin e a, hu engo hi u baldin zak be e zen badi u: •x≤x, ∀x∈L, •¯ mono onoa da, •x=x, ∀x∈L(hau da,¯ idempo en ea da ). 1.3.2 adibidea. ↓i xi u a e agilea da P(L) gainean, non (L, ≤) mul zo o dena ua den. Hau ikus eko oha u X⊆Lha uz ge o X⊆↓Xdela. Bes alde, bi a Lmul zoko X, Y edozein bi azpimul zo X⊆Ybe e zen du ela ik e a a∈↓X. O duan, exis i zen da a≤xbe e zen duen xelemen ua Xmul zoan. Baina Xmul zoa Y en azpimul zoa denez; exis i zen da a≤x be e zen duen xelemen ua Ymul zoan. Hau da, a∈↓Yda e a ho ega ik ↓X⊆↓Y. Buka zeko, ikus dezagun idempo en ea dela. (i) p opie a ea aplika uz ba- dakigu ↓X⊆↓↓X dela. Ho enbes ez, ikusi beha duguna bes alde ako pa eko asuna da. Ho- e a ako, ha u x∈↓↓Xedozein. De inizioz exis i zen da x≤ybe e zen duen y∈↓X. Bes alde yelemen ua Xmul zoa en behe-mul zoan ego eaga- ik exis i zen da z∈Xelemen ua y≤zbe e zen duela ik. I aganko asu- na i eske , x≤zdela e a o dezakegu, e a be az x∈↓Xda. 1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 15 (Adibide hau, goi-mul zoekin e e egin zi ekeen) 1.3.3 ondo ioa. Fbehe-mul zoa da baldin e a soilik baldin ↓F=Fbada e a goi-mul zoa da baldin e a soilik baldin ↑F=Fbada. 1.3.4 adibidea. Ha u dezagun Xmul zoa, τha en gaineko opologia e a de ini u dezagun hu engo e agilea (P(X),⊆) mul zo o dena ua en gainean: ¯ :P(X)→ P(X) A→A={x∈X| ∀N∈ Nx, N ∩A=∅ } , non Nxiku ak x elemen ua en ingu uneen amilia adie az en duen (ikus B.0.6 de inizioa). E agile honi opologian Ku a owski en i xi u a e agile de i zo e a i xi u a opologikoa en p opie a eak kon uan ha u a, be ehalakoa da 1.3.1 de ini- zioko baldin zak be e zen di uela oga zea, e a, be az, i xi u a e agilea dela. 1.3.5 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a ¯: L→Li xi u a e agilea. Hu engo mul zoa ¯ e agilea ekiko i xien mul zoa dela esa en da: Cl(L) = l∈Ll=l 1.3.6 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a C ⊆ Lazpimul zoa. Esango dugu Ce agile en ba en i xien mul zoa dela baldin e a hu engoa be e zen badu: (i) x, y ∈ C =⇒x∧y∈ C. (ii) Edozein z∈Lelemen u ako exis i zen da z∗∈Celemen ua non z≤z∗den e a z≤lbe e zen du en l∈Cguz ie a ako z∗≤l. Azken de inizio hone a ik e agilea e ekupe a u nahi badugu nahikoa da z=z∗de ini zea. 1.3.7 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulua, ¯ : L→Li xi u a e agilea, e a Cl(L) mul zoa ¯ e agilea ekiko i xien mul zoa. O duan, (Cl(L),≤) e e iku- lua da. (oha u ez duela ze an izan azpi e ikulua) F ogapena. O dena dela a gi dago. Ikusi beha dugun baka a da in imoa e a sup emoa zein zuk di en. In imoa i dagokionez, oha u x, y ∈Cl(L) ha u a, x∧y≤x∧y≤x=x(1.15) e a x∧y≤x∧y≤y=y(1.16) 16 1.3. O dena eo ia en e a e e ikulu eo ia en be ezko de inizio ba zuk be e zen di a, lehen desbe din zen lehen za iak (i) p opie a ea be e zen dela- ko e a biga enak mono onoa iza eaga ik hain zuzen e e. Buka zeko oha u (1.15) e a (1.16) ba e a uz x∧y=x∧y lo zen dugula. Hau da, xe a yelemen uen in imoa i xia denez, be eziki i xien ba uko in imoa in imo be a da. Sup emoa i dagokionean oga uko dugu x∨Cl(L)y=x∨ydela. Ho i ikus eko oha u x≤x∨ydela e a y≤x∨ydi ela; be az, x∨yelemun uak sup emoa iza eko lehen baldin za be e zen du. Bes alde, oha u x≤zbada e a y≤zbada z∈Cl(L) izanik, o duan x∨y≤zda e a ho ega ik, x∨y≤z=zbe az, biga en baldin za e e be e zen du. 1.3.8 ondo ioa. 1.3.2 adibidean ikusi akoa en ondo ioz, behe-mul zoen a- milia e e ikulua da in imo za ebakidu a duena e a sup emo za bildu ak so u ako behe-mul zoa duena, baina kasu hone an bildu a en behe mul zoa bidu a be a da. Ho ez gain, goi-mul zoen amilia e e e e ikulua da. In i- mo za ebakidu a du bai a e a sup emo za bildu ak so u ako goi-mul zoa duena, e a lehen bezala bildu a en goi-mul zoa bildu a be a da kasu hone- an. Oha u gaine a sup emo e a in imoak bildu a e a ebakidu a di enez hu enez hu en, (P(L),⊆) e e ikulua en azpi e ikulua dela. Sup emo e a in imoa en de inizioak nolanahiko mul zoe a a o oko di- zagun o ain. E e ikulue an, mul zoa ini ua ez bada hauen exis en zia ez dago be ma u a, baina au e ago ikusiko di ugun e e ikulu osoe an exis- en zia be ma u a izango dugu. 1.3.9 de inizioa. Bi a (L, ≤) mul zo o dena ua e a H⊆Lazpimul zoa. Esango dugu, exis i zeko an, c=WHelemen ua Hmul zoa en sup emoa dela hu engo bi baldin zak be e zen badi u: (i) ∀x∈H, x ≤cda. (ii) Exis i zen bada (i) be e zen duen d∈L, o duan c≤dda. De inizio honen duala i Hmul zoa en in imo de i zogu, e a VHadie aziko dugu. 1.3.10 p oposizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua, x∈Le a X, Y ⊆L.Xe a Ymul zoen sup emo e a in imoek, exis i zeko an, hu engo p opie a eak di uz e: (i) W(X∪Y) = WX∨WY, (ii) V(X∪Y) = VX∧VY, 1. Kapi ulua. E e ikulu eo ia en oina izko kon zep uak 17 (iii) W{x}=V{x}=x. Be eziki, X ini ua bada e e ikulu ba ean be i exis i zen da be e sup emoa e a in imoa P opie a e hauek e ez oga u dai ezke; hala e e, gu xi e abiliko di u- gunez ez di ugu oga uko, ogak ez bai igu asko ik gehi uko. 1.3.11 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulua. Esa en dugu F≤Lazpi e iku- lua il oa dela baldin e a hu engo baldin za be e zen badu: a∈Fe a x∈L=⇒a∨x∈F. (1.17) Lgaineko il oen amilia F(L) adie aziko dugu. 1.3.12 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulua. Esa en dugu I≤Lazpi e iku- lua ideala dela baldin e a hu engo baldin za be e zen badu: a∈Ie a x∈L=⇒a∧x∈I. (1.18) Lgaineko idealen amilia I(L) adie aziko dugu 1.3.13 oha a. Ikusi di ugun de inizio ba zuk elka en dualak di a; esa- e ako behe e a goi mul zoak, e a idealak e a il oak. Bes e asko haien bu ua ekiko dualak di a; esa e ako, mono onoa, an i onoa, azpi e ikulua, ka ea. 1.3.14 eo ema. (Fil oen Ka ak e izazioa) Bi a (L, ≤) e e ikulua e a F⊆Lazpimul zo ez-hu sa. O duan, hu engo baliokide asuna daukagu: F il oa da ⇐⇒ ∀x, y ∈F, x ∧y∈F, e a Fgoi-mul zoa da.(1.19) F ogapena. Has gai ezen F il oa dela suposa uz. Ha di zagun, bada x, y ∈ Fe a a∈↑Fedozein hi u elemen u; o duan a gia da x∧yelemen ua F mul zoan dagoela Fazpi e ikulua bai a, e a exis i zen denez b∈F, non b≤aden; a=b∨aelemen ua F il oan dago. Ho az, F=↑Fda. Bes e alde a oga zeko, demagun goian age zen di en baldin zak be e- zen di ela e a ha u x, y ∈Fe a l∈Ledozein hi u elemen u. Ikusiko dugu hi u baldin za hauek be e zen di ela: (i) x∧y∈F, (ii) x∨y∈F, (iii) l∨x∈F. 24 :X→L a7→ lh∧l b7→ l ∨(lh∧l) c7→ l d7→ lh∧(l ∨l) e7→ l ∨l. Aplikazio hau e e ikulu-homomo ismoa dela ez dugu oga uko e az ikus en bai a. I udi a mu iz uko dugunean su jek iboa izango da, e a injek ibo asuna ikus eko nahikoa da bi i udi posible ha zea, be din zea, l , lhe a lelemen uek be e zen du en e lazioan sa zea e a ja aian kon ae- sane a hel zea. Egin dezagun adibide ba , demagun (a) = (c) dela, o - duan l≤lhli za eke e a, be az, l ∨l≤lhedukiko genuke. Ondo ioz, l ∨(l∧lh) = l ∨l= (l ∨l)∧lh e a o iko genuke. Hau, noski, kon aesana da. 2.0.8 ko ola ioa. Diaman ea e e ikulu modula a da. 2.0.9 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu modula a e a (X, ≤X) diaman- ea. O duan, Lbanako a da, baldin e a soilik baldin ez bada exis i zen :X→Le e ikulu-homomo ismoa non g= |X, (X)e e ikulu-isomo ismoa den. F ogapena. Demagun eo emako baldin za be e zen duen exis i zen dela e a enun zia uko e a a de ini zen dugula g. 2.0.6 adibideko (iii) a alean oga u dugu Xez dela banako a, hau da, exis i zen di ela b, c, d ∈X, ezen hu engoa be e zen du en: b∧(d∨c)= (b∧d)∨(b∧c). ghomomo ismo injek iboa denez, elemen u ezbe dinak oki ezbe dine- a a e ama en di u. Ondo ioz, exis i zen di a g(b), g(c), g(d)∈Lelemen uak g(b)∧(g(d)∨g(c)) = (g(b)∧g(d)) ∨(g(b)∧g(c)) be e zen du ela ik. Ho enbes ez, Lez da banako a. Demagun o ain Lmodula a dela, baina ez dela banako a, e a ha di- zagun l1, l2, l3∈L, non ez du en (ban) be e zen. Bes e e a ba e a esanda, hu engoa be e zen du e elemen uek: l1∧(l3∨l2)= (l1∧l3)∨(l1∧l2). 2. Kapi ulua. E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 25 Hauek e abiliz de ini dezagun hu engo homomo ismoa: :X→L a7→ (l1∧l2)∨(l1∧l2)∨(l2∧l3) e7→ (l1∨l2)∧(l1∨l3)∧(l2∨l3) b7→ (l1∧ (e)) ∨ (a) c7→ (l2∧ (e)) ∨ (a) d7→ (l3∧ (e)) ∨ (a). Lehen bezala a azoi uz. Homomo ismoa dela ikus ea e eza da, su - jek iboa izango da mu izke a egi ean e a edozein elemen u pa e ha u ik be dinak di ela suposa zen badugu l1, l2e a l3elemen uek hasie ako baldin- za be e zen ez du ela e a o dai eke be i (agian (mod) e abiliz noski). 2.0.10 ko ola ioa. Biz (L, ≤) e e ikulua. (L, ≤) banako a da baldin e a soilik baldin I, J ∈id Ledozein bi ideale a ako I∨J={i∨j∈L|i∈I, j ∈J} bada. F ogapena. Has eko, demagun Lbanako a dela e a ha dezagun ∈I∨J= id(I∪J). Ikus dezagun lehenik exis i zen di ela i∈Ie a j∈Jelemen uak ≤i∨jdela ik. Hu engo p ozedu a ja ai uko dugu: 1.3.19 ko ola ioko azken pun uan ikusi genuen bezala exis i zen da T⊆ I∪J ini ua ≤WTdela ik. O ain, T= (T∩I)∪(T∩J) denez, i=_(T∩I) e a j=_(T∩J) ha zen badi ugu a gi dago beha genuena be e zen dela. O ain, ≤i∨jdesbe din za bes e e a ba e a ida ziko dugu: = ∧(i∨j)=( ∧i)∨( ∧j). Lo u duguna i e epa a zen badiogu, Ie a Jidealak di enez elemen ua Ie a Jideale ako bi elemen u en sup emoa dela oga u dugu. Honekin, I∨J⊆ { i∨j∈L|i∈I, j ∈J} 26 oga u dugu dugu e a bes e pa eko asuna idealen ka ak e izazioa en apli- kazio zuzena da. Bes e inplikazioa oga zeko, demagun Lez dela banako a. O duan, exis i zen da :X→Ldiaman e ik Lespazio ako homomo ismoa e a i udi a mu iz ean isomo ismoa dena. Egoe a hone an, id( (b)) ∨id( (c)) ezin da ida zi eo emak ema en duen e an. Os e an zean, (d)∈id( (b)) ∨ id( (c)) denez (d≤b∨cdelako e a be az, (d)≤ (b∨c) = (b)∨ (c)) exis i u beha ko li a eke l1∈id( (b)) e a l2∈id( (c)), ezen (d) = l1∨l2 be e zen den. Ikus dezagun hau ezin dela ge a u. Ge a uko bali z, l2= (d)∧l2≤ (d)∧ (c) = (d∧c) = (a) li za eke. Ondo ioz, (d) = l1∨l2≤l1∨ (a)≤ (b)∨ (a) = (b∨a) = (b) e a (d)≤ (b) kon aesana da (X) mul zo a mu iz u a un zioak alde- an zizko mono onoa duelako e a d≤ bdelako. 2.0.11 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a Iha en ideala. Esango dugu Iideal nagusia dela baldin e a exis i zen bada x∈L I= id(x) dela ik. 2.0.12 ko ola ioa. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a I, J bi ideal. Egoe- a hone an, I∨Je a I∧Jideal nagusiak badi a Ie a Je e nagusiak di a. F ogapena. Ha u I∨J= id(x) e a I∧J= id(y) be ea az en du en x, y ∈L. F oga u be i duguna i eske exis i zen di a i∈Ie a j∈Jnon x=i∨j den. Hu engo bi be din zak oga zea dugu helbu u: 1) I= id(i∨y), 2) J= id(j∨y). Oha u i∨y∈Ie a j∨y∈Jbe e zen di ela y∈I∧J=I∩Jdelako, e a id i xi u a e agilea denez, id(i∨y)⊆id(I) = Ie a id(j∨y)⊆id(J) = J di ela. Buka zeko, oga dezagun bes e pa eko asuna 1) be din za ako bes ea e a be din suan oga zen bai a. Hau u a∈Iedozein, dakigunez a≤xda a∈I⊆I∨J= id(x) =↓x 2. Kapi ulua. E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 27 delako. Ondo ioz, a=a∧x =a∧(x∨y) =a∧(i∨j∨y) =a∧(i∨y)∨(j∨y) =a∧(i∨y)∨a∧(j∨y) da. a∈Idenez, a∧(j∨y)∈Ida Iideala bai a. E a be ean, j∨y∈J denez, a∧(j∨y)∈Jda bai a. ho ek esan nahi du a∧(j∨y)∈I∩J=I∧J= id(y) =↓y dela. Hau eko ka ea ekin ja ai uz hu engoa ondo ioz a dezakegu: a=a∧(i∨y)∨a∧(j∨y) =a∧(i∨y)∨a∧(j∨y)∧y =a∧(i∨y)∨a∧y =a∧(i∨y∨y) =a∧(i∨y). Hau da, a≤i∨yda, e a, ondo ioz, a∈id(i∨y) da. Ja ai zeko e e ikulu (banako ) ba ean de ini dai ezken elemen u be ezi ba zuk emango di ugu e a buka zeko, Boole e e ikuluak de ini uko di ugu. 2.0.13 de inizioa. Biz (L≤) e e ikulua. Esango dugu (L, ≤)bo na ua dela baldin e a soilik baldin 0 = W∅e a 1 = V∅exis i zen badi a. 2.0.14 p oposizioa. Biz (L, ≤) e e ikulu bo na ua e a x∈Ledozein. Hauek di a 0,1 elemen uen p opie a eak: (i) x∧1 = x, (ii) x∨0 = x. Bi p opie a e hauei xu ga ze unibe sal de i ze e a (xu gu) bezala adie aziko di ugu. F ogapena. (i) baka ik egingo dugu (ii) be e duala delako, (oha u 1 ele- men ua en duala 0 elemen ua dela). (i) ikus eko oha u 1 = V∅dela e a hu engo baldin za be e zen duela edozein x∈Lelemen uk: ∀a∈ ∅, x ≤a. 28 mul zo ba en in imoa en de inizioa dela e a xelemen uak au eko baldin za be e zen badu nahi e a nahi ez x≤1 desbe din za be e beha du. 2.0.15 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulu bo na ua. Esango dugu a∈L elemen ua osaga iduna dela exis i zen baldin bada hu engo bi be din zak be e zen di uen b∈Lelemen ua: (i) a∨b= 1, (ii) a∧b= 0. Hau ge a zen denean belemen ua aelemen ua en osaga ia dela esango dugu e a a′adie aziko dugu. 2.0.16 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu bo na u e a banako a, e a a∈L elemen ua. O duan, aelemen ua en osaga ia, exis i zeko an, baka a da. F ogapena. Demagun aelemen ua en bi osaga i exis i zen di ela a′e a a′′. F oga dezagun o duan be dinak di ela: a′=a′∧1 = a′∧a∨a′′=a∧a′∨a′∧a′′= 0 ∨(a′∧a′′) = a′∧a′′ denez, a′≤a′′ da; gaine a a′′ e a a′elemen uen pape ak uka dai ezkeenez, a′=a′′ da. 2.0.17 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a bo na ua e a a, b ∈L edozein bi elemen u osaga idun. Egoe a hone an ondoko bi be din zak be e zen di a: (i) (a∨b)′=a′∧b′, (ii) (a∧b)′=a′∨b′. F ogapena. Duali a e p in zipioa i eske bie ako ba soilik ikusi beha dugu (i) ikusiko dugu esa e ako. (i) be e dadin bi baldin za hauek be e beha di a: 1) (a∨b)∨(a′∧b′) = 1, 2) (a∨b)∧(a′∧b′) = 0. Hauek be ez ge o, osaga ia en baka asunaga ik a′∧b′elemen ua a∨b elemen ua en osaga ia li za eke. Lehena ga a zen badugu hu engoa lo zen dugu: 2. Kapi ulua. E e ikulu banako ak e a Boole e e ikuluak 29 (a∨b)∨a′∧b′=a∨b∨a′∧a∨b∨b′(ban) = (1 ∨b)∧(a∨1) (osaga iak) = 1 ∧1=1.(xu gu) Biga ena ga a zean, aldiz, hu engoa: (a∨b)∧a′∧b′=a∧a′∧b′∨b∧a′∧b′(ban) =0∧b′∨a′∧0(osaga iak) = 0 ∨0=0.(xu gu) 2.0.18 p oposizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulu bo na ua e a banako a e a x, y ∈Losaga idunak. O duan, hu engo p opie a eak be e zen di a: (i) (x′)′=x, (ii) x≤y=⇒y′≤x′. F ogapena. (i) be ehalakoa da osaga ia en de inizioa sime ikoa delako e a osaga ia en baka asuna oga u dugulako. (ii) oga zeko, demagun exis i zen di ela x≤ybe e zen du en x, y ∈L osaga idunak. O duan, x∧y=xiza eaga ik, x′∨y′= (x∧y)′=x′da e a, be az, y′≤x′da. 2.0.19 de inizioa. Esa en dugu (L, ≤)Boole e e ikulua dela bo na ua e a banako a bada, e a, ho ez gain, edozein elemen uk osaga ia badu. 2.0.20 de inizioa. Biz (L, ≤) e e ikulu banako a e a Ibe e gaineko idea- la. Iideala en il o osaga ia I′={i′∈L|i∈I}da (de inizio honen duala ideal osaga ia li za eke ). 2.0.21 eo ema. Au eko de inizioko baldin ze an I′ il oa da. F ogapena. Ha u a′, b′∈I′o duan a′∧b′= (a∨b)′da e a I ideala denez e a a, b ∈Idi enez a∨b∈Idugu. Ho i dela e a, a′∧b′∈I′da. Gaine a, demagun exis i zen di ela x′∈Le a a′∈I′a′≤x′dela ik; o duan x≤a da. Be az, x∈Ida, e a x′∈I′dela oga u dugu. An zeko a gudioek oga zen du e oga zen du e F il oa bada F′ideal osaga ia ideala dela. 3. Kapi ulua E ep esen azio eo emak Lan hone an zeha hainba e a hainba esna eman di ugu e e ikuluak desk iba zeko e a ikusi di ugu e e ikulu mo a desbe dinak. Hala e e, haien egi u a az e zeko edo a klasi ikazioa egi eko ez dugu gauza handi ik ikusi. Xede ho e an lagun zeko e e ikuluei bu uzko gauzak bes e e a ba e a ikusi beha ko di ugu, e a a al honen helbu ua ho i ahalbide zen du en zubiak e aiki zea izango da, e ep esen azio eo emak hain zuzen. Bidean opologia ekin e laziona uko di ugu e e ikuluak e a bai a o de- na eo ia ekin e a mul zo eo ia ekin, baina lehenik e a behin lema ba zuk oga uko di ugu. 3.0.1 lema. Biz (P, ≤) mul zo o dena u ini ua. O duan, (Down P, ⊆) e e ikulu banako a e a ini ua da, non Down P,Pmul zoa en gainean de ini u iko behe-mul zoen amilia den. F ogapena. Fini ua dela a gi dago Down P⊆ P(P) delako e a P ini ua de- lako hipo esiz. 1.3.8 ko ola ioan ikusi genuenez e e ikulua e e bada. A e gehiago, P(P) e e ikulu banako a en azpi e ikulua da, e a be az, bana- ko a. Os e an zean, exis i uko li za eke :X→Down Pdiaman e ik edo pen agono ik Down Pe e ikulu a doan homomo ismoa, non i udi a mu- iz u a isomo ismoa den, baina o duan de ini u ik legoke :X→ P(P) baldin za be dine an, e a hau kon aesana da P(P) banako a bai a. 3.0.2 oha a. Oha u e e ikulu ini u guz iak bo na uak di a. Be az P ini ua bada, Down P ini ua e a bo na ua da 0Down P=∅e a 1Down P=P izanik. 3.0.3 lema. Bi a, (P, ≤) e a (Q, ≤) bi mul zo o dena u e a haien a eko ψ un zio mono onoa. O duan, de ini dai eke Down(ψ) : Down Q→Down P, aplikazioa non (Down(ψ)) (X) = ψ−1(X) 31 32 den. Gaine a, aplikazio hau e e ikulu-homomo ismoa da e a 1, e a 0 ele- men uak e espe a zen di u ({1,0}-homomo ismo esango diogu). F ogapena. Ha u X, Y ∈Down Qikusi beha duguna hu engoa da: (i) ↓Down(ψ)(X) = Down(ψ)(X) (ondo de ini u a dago) (ii) Down(ψ)(X∪Y) = Down(ψ)(X)∪Down(ψ)(Y) (iii) Down(ψ)(X∩Y) = Down(ψ)(X)∩Down(ψ)(Y) (i ) Down(ψ)(∅) = ∅ ( ) Down(ψ)(Q) = P (ii), (iii), (i ) e a ( ) pun uak au ei udia en oina izko p opie a eak bes e ik ez di a. (i) ikus eko ha di zagun ψ:P→Q un zio mono onoa, X∈Down Q, ∈Pe a x∈Down(ψ)(X) elemen u ba ≤xdela ik. Ikus dezagun ∈Down(ψ)(X) dela. ≤xdenez e a ψmono onoa denez ψ( )≤ψ(x)∈Xda; ondo ioz, ψ( )∈↓X=X. Hau da, ∈ψ−1(X) = Down(ψ)(X) da. Ja ai zeko, gu e xedea Bi kho en eo ema oga zea izango da. Baina ho e a ako zenbaki lehenak e e ikulue a a o oko uko di ugu, deskonposi- zioek lagunduko digu elako. 3.0.4 de inizioa. Bi a (L, ≤) e e ikulua e a a∈L. Esango dugu ago en- i eduziblea edo sup emo-i eduziblea dela baldin e a a=c∨dbe ea aziko luke en edozein c, d ∈Lbaleude, o duan a=cedo a=dbe eko bali z. Go en-i eduziblen mul zo o dena ua i Ji Ldei uko diogu (ingeleseko join- i eduzible izene ik) e a Le e ikulua en o dena du. 3.0.5 oha a. 0 exis i zen deneko e e ikulue an 0 ez da i eduzible za jo zen. 3.0.6 eo ema. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a ini ua e a x∈L { 0} elemen ua. O duan exis i zen da {xi}n i=1 ⊆Ji L, non x= n _ i=1 xi den. F ogapena. Demagun ez dela ho ela, hau da exis i zen dela x∈L { 0} zeina ezin den ja i i eduzibleen sup emoa bezala. Gu e helbu ua, ka e in ini u ba osa zea izango da. Hau kon aesana izango da L ini ua bai a. 3. Kapi ulua. E ep esen azio eo emak 33 c0=xezin denez deskonposa u lasai asko esan dezakegu ez dela i e- duziblea; be az exis i u beha di a bc1e a ¯c1, non bc1,¯c1< c0di en e a c0=x=bc1∨¯c1den. A gi e a ga bi, ¯c1edo bc1ezin da deskonposa u. Os e an zean, xe e deskonposa uko li za eke. bc1e a ¯c1a ean deskonposa ezina den ho i izango da c1e a o mula e eku sibo be a aplika uz a e a dai eke c2, c3. . . segida in ini ua. 3.0.7 ko ola ioa. Bi a (L, ≤) e e ikulu banako a e a ini ua, {xi}n i=1 ⊆ L amilia, e a ∈Ji Lelemen ua. O duan, ≤ n W i=1 xibada exis i zen da i∈ { 1, . . . , n }, non ≤xiden. F ogapena. Has eko, ≤ n W i=1 xibada, o duan = ∧ n _ i=1 xi= n _ i=1 xi∧ e a i eduziblea denez, de inizioz (p in zipioz indukzioa beha ko genuke hau ikus eko baina nahiko a gia da.) exis i u beha da sup emo honen gai ba xi∧ = be e zen dela ik, edo bes e e a ba e a esanda, ≤xida. F ogapena. Lehenik e a behin, xez da 0; os e an zean, (x) = (0) = 0 ∈ Ji K. O duan exis i zen da {xi}n i=1 ⊆Ji L, non x= n _ i=1 xi den. Egoe a hone an, k= (x) = n _ i=1 xi!= n _ i=1 (xi) da. Au eko ko ola ioa e abiliz k go en-i eduziblea delako, exis i u beha da xinon (xi) = kden. 3.0.8 eo ema. (Bi kho -en e ep esen azio eo ema) Biz (L, ≤) e e ikulu banako a e a ini ua. O duan, L∼ =Down Ji Lda hu engo ho- momo ismoa en bidez: spec :L→Down Ji L l7→ spec(l)=(↓l)∩Ji L. 3.0.9 oha a. spec esa en zaio un zio honi elemen u bakoi za be e espek- o a da amalako. espek oko elemen uen sup emoa ha u ik elemen ua be- a e ekupe a zen da. Zenbakien kasuan, espek o de i zo deskonpozizioan pa e ha zen du en zenbaki lehenei. 40 3.1. E ep esen azio opologikoak 3.1.14 eo ema. Biz (X, τ) S one espazioa. O duan X∼ =T(R(X)) da hu engo homeomo ismoa en bidez: :X→T(R(X)) x7→ { N∈R(X) : x∈N}. F ogapena. Lau gauza ikusi beha di ugu: (i) ongi de ini u a dago, hau da, (x) i udia R(X) e e ikulua en ul a- il oa da, (ii) bijek iboa da, (iii) ja ai ua da, (i ) i ekia da. (i) oga zeko, (x) il oa dela ikusi beha dugu e a ge o ul a il oa dela. Goi-mul zoa dela a gi dago, M∈↑ (x) ha u ik exis i zen bai a N∈ (x) ezen N⊆Mdela ik, baina o duan x∈Ndagoenez, x∈Me e badugu. Honenbes ez, M∈ (x) bai a. Gaine a, M, L ∈ (x) ha u ik, x∈M∩L da, e a be az, M∩L∈ (x) dugu. Fil oa dela e a o i dugu, e a o ain ul a il oa iza eko baldin za be e zen duela ikusi beha dugu. Hau ikus eko, bi gauza oga uko di ugu N∈R(X) guz ie a ako: 1) N∈ (x) =⇒X N∈ (x), 2) N∈ (x) =⇒X N∈ (x). E a hone an, N∈ (x) edo X N∈ (x), baina ez biak be e zen di ela oga u a ge a uko da, e a, be az (x) ul a il oa izango da. 1) N∈ (x) bada x∈ X Ne a o i dezakegu. Ondo ioz, X N∈ (x) dugu. 2) Demagun N∈R(X) dugula, non N∈ (x) den, o duan x∈ Nda e a, ho ega ik, X Ni xi ekia da e a x∈X Nda. Honenbes ez, X N∈ (x) da e a (x) ul a il oa. (ii) bijek iboa dela ikus eko ha u di zagun x, y ∈Xelemen u ezbe di- nak, x, y ezbe dinak di enez, espazioa Hausdo denez e a i xi ekien in- gu une oina i ba exis i zen denez, be eziki badaude Ux, Uybi i xi eki x∈Ux, y ∈Uye a Ux∩Uy=∅be e zen di ela ik. Be eziki, (x)= (y) dugu e a injek iboa da. Bes alde, ha dezagun UR(X) gaineko ul a- il oa, gu e helbu ua TUez hu sa dela oga zea izango da. Oha u, U ul a il oa denez ∅ ∈ U dela. Gaine a S ⊆ U ini ua ha u ik TS ∈ U da U il oa delako. O ain demagun U amilia en ebakidu a hu sa dela. O duan, hu engoa daukagu: 3. Kapi ulua. E ep esen azio eo emak 41 ∅= U=X [ U∈U X U! Hau da, {X U}u∈U amilia X espazioa en es alkia da, e a i ekiz osa ua dago. Be az, X inkoa denez, exis i zen da S ⊆ U ini ua [ U∈S X U=X dela ik. Baina hau ezinezkoa da; osaga iak ha uz, S=∅∈U izango genukeelako. Buka zeko, ha u x∈TUe a oha u (x)⊇ U dugula e a Uul a il oa denez, (x) = U. (iii) ikus eko ha u T(L(X)) espazioko BNoina iko i ekia N∈R(X) dela ik. −1(BN) = {x∈X|N∈ (x)} ={x∈X|x∈N} =N e a, noski, Ni ekia da Xespazioan. (i ) ikus eko ha u N⊆Xi xi ekien oina iko edozein elemen u. O - duan, honako hau dugu: (N) = { U ul a il oa |exis i zen den x∈N: (x) = U } ={ U ul a il oa |N∈ U } (*) =BN. (*) be din za ule zeko oha u x∈Nguz ie a ako N∈ (x) be e zen dela. Ondo ioz, (x) = Ubali z x∈Nba e ako N∈ U li za eke nahi aez. Bes alde, N∈ U be e zen duen Uul a il o ba badaukagu sup ajek iboa denez, exis i u beha da x∈X, non (x) = Uden, e a be eziki N∈ U denez, x∈Nbe e beha da. Teo ema hau ga an zi handikoa da, opologiako hainba eknika i zul- zea ahalbide zen bai u. Ho e az gain, opologian gauza asko absu do a e amanez oga u izan di a, hau ez da komeniga ia ez bidean ez bai a as- ko ondo ioz a zen. Baina zubi honi eske oga e aiki zaileak egin dai ezke. Azken hauek, askoz e e baliaga iagoak di a, oga u nahi duguna oga zeaz gain, ha en ze ga ia e a p opie a eak hobe o ule zea ahalbide zen du elako. A. E anskina a ike ak A ike a 1. Biz (L, ≤)e e ikulua. F oga bi ez hu engo desbe din zak x, y, z ∈ Lguz ie a ako. (i) (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨z). (ii) x∨(y∧z)≤(x∨y)∧(x∨z). (iii) (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x). (i ) (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)). Ebazpena. (i ) oga uko dugu has eko. Oha u x≤xe a y≤(y∨(x∧ z)) be e zen di a, e e lexio p opie a ea e a sup emoen de inizioa di ela e a hu enez hu en. x∧y≤xe a x∧y≤ybe e zen di a halabe . P opie a e an si iboa e abiliz, (x∧y)≤xe a (x∧y)≤(y∨(x∧z)) lo zen di ugu e a biak ba e a uz e a in imoa en de inizioa e abiliz: (x∧y)≤x∧(y∨(x∧z)) (A.1) lo zen da. Bes e alde ba e ik, x∧z≤xdaukagu in imoa en de inizioa i ja aiki. Ho az gain, x∧z≤y∨(x∧z) da sup emoa en de inizioaga ik. Biak ba e a uz e a in imoa en de inizioa e abiliz hu engoa lo zen da: (x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) (A.2) (A.1) e a (A.2) e abiliz e a sup emoa en de inizioa aplika uz, (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) daukagu. (i) ikusiko dugu o ain. (i ) e abiliz badakigu (x∧y)∨(x∧z)≤x∧ (y∨(x∧z)) dela. Be az, x∧(y∨(x∧z)) ≤x∧(y∨z) dela ikusiko dugu. 43 44 x∧z≤z≤y∨ze a y≤y∨zdi enez, sup emoa en de inizioa e abili e a y∨(x∧z)≤y∨zdela e a o dezakegu. Ondo ioz, x∧(y∨(x∧z)) ≤ y∨(x∧z)≤y∨ze a x≤xdi a. Ho i dela e a, (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) ≤x∧(y∨z) (ii) p opozizioa oga u dugun (i) p opozizioa en duala da. Buka zeko, (iii) oga uko dugu. Oha u (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(y∨z) (A.3) be e zen dela x∧y≤y≤y∨z, x ∧z≤z≤y∨ze a y∧z≤y≤ y∨zbe e zen di elako, (x∧y)∨(x∧z)≤y∨ze a y∧z≤y∨zbe e zea ahalbide uz. Aldagaien izenak uka uko di ugu, e a ezke eko esp esioa guz iz sime- ikoa denez, bes e bi desbe din za hauek lo uko di ugu: (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨z),(A.4) (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(y∨x).(A.5) (A.3) e a (A.4) e abiliz, e a in imoa en de inizioa aplika uz, hu engoa daukagu: (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨z)∧(y∨z) (A.6) (A.5) e a (A.6) ba e a uz e a in imoa e abiliz bai a hau e e: (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x). A ike a 2. Bi a (L, ≤L),(K, ≤K)e e ikuluak, :L→Ke e ikulu- homomo ismoa e a F∈ il(L) il oa. F oga u (L)azpi e ikulua dela e a (F)∈ F( (L)) dela. Ebazpena. (L) mul zo o dena ua dela a gi dago. (x), (y)∈ (L) ha uz ge o, hu engo bi egiazko asunak di ugu e e ikulu homomo ismoa delako e a Le e ikulua: (x)∧K (y) = (x∧Ly)∈ (L) (x)∨K (y) = (x∨Ly)∈ (L) Be az, azpi e ikulua da a gi e a ga bi. (F) e e au eko a gumen ua dela medio azpi e ikulua da. Fil oa dela ikus eko, nahikoa da (x)∈ (F) e a (y)∈ (L) ha u a (x)∨K (y)∈ (F) dagoela be ma zea. Hala da, F il oa denez e a x∈Fdugunez, x∨Ky e e Fmul zoan dago, e a (x∨Ly) = (x)∨K (y) dugu. A. E anskina. a ike ak 45 A ike a 3. Bi a (L, ≤)e e ikulua e a C⊆Lazpi e ikulu konbexua. F oga bedi exis i zen di ela F il oa e a Iideala, non C=F∩Iden. Bes alde, o- ga u Fe a Iedozein il o e a ideal badi a haien ebakidu a mul zo konbexua dela. Ebazpena. Lehenik e a behin, ikusiko dugu edozein F il o e a Iideal ha u- ik, C=F∩Iazpi e ikulu konbexua dela. Azpi e ikulua dela a gi dago, ez dugu ga a uko. Os e a, ikus dezagun bes ea. Ha di zagun x, y ∈C o duan, [x, y]⊆↑x⊆↑F=F(A.7) da F il oa delako, e a [x, y]⊆↓y⊆↓I=I(A.8) da I ideala delako. (A.7) e a (A.8) ba e a uz, [x, y]∈F∩I=Clo zen dugu. Honenbes ez, Ckonbexua da. Biga enik, ha di zagun Cmul zo konbexua, F= il(C) il oa e a I= id(C) ideala. F oga dezagun F∩I=Cdela. C⊆F∩Ia gia da, egin dugun auke ake a dela e a. Be az, oga dezagun kon ako pa eko asuna. a∈F∩Ibada, o duan il oen e a idealen ka ak e izazioei eske a∈[n↑^SS⊆C ini ua o∩[n↓_SS⊆C ini ua o da. Be az, exis i zen di a S, T ⊆Cazpimul zo ini uak, ezen ^S≤a≤_T goi-mul zo e a behe-mul zo ba en pa e delako gu xienez, bi bildu en pa e iza eko. Honenbes ez, Cazpi e ikulua denez, exis i zen di a c1=VSe a c2=WTelemen uak Ckonbexuan, non a∈[c1, c2]⊆C den. A ike a 4. Bi a (L, ≤)e e ikulua e a A⊆Lazpimul zoa, De ini u hu en- go e agileak P(L)gainean, l:P(L)→ P(L) A7→ l(A) = a∈A (↓a), u:P(L)→ P(L) A7→ u(A) = a∈A (↑a). F oga bedi C=l◦ui xi u a e agilea dela, e a az e bedi zein den Cl(P(Q)) 46 Ebazpena. I xi u a en hi u p opie a eak ikusi beha di ugu A∈ P(L) dela- ik: (i) A⊆C(A), (ii) A⊆B=⇒C(A)⊆C(B), (iii) C(C(A)) = C(A). (i) ikus eko ha u b∈Aelemen u ba ; oha u, c∈u(A) guz ie a ako c∈↑bdela. Ondo ioz, c∈u(A) guz ie a ako, b∈↓c. Honenbes ez, b∈C(A). (ii) A⊆Bbada, o duan u(B)⊆u(A) ebakidu a mul zoe an e agile an i onoa delako. A azoi be aga ik, l(u(A)) ⊆l(u(B)) e a ondo ioz C(A)⊆ C(B) da. (iii) ikus eko gauza be ezi ba egingo dugu, lehenik e a behin ikusi- ko dugu A⊆u(l(A)) be e zen dela. Ha u a∈Aedozein. c∈l(A) guz ie a ako, c∈↓ adugu, edo bes e e a ba e a esanda, a∈↑ c. Ondo- ioz, a∈u(l(A)) da e a A⊆u(l(A)). Behin hau jakinda, Amul zoa- en okian u(A) sa uz u(A)⊆u(l(u(A))) = u(C(A)) e a o i dezake- gu. Azkenik, lan i onoa da mul zoen ebakidu a an i onoa delako. Be az, C(A) = l(u(A)) ⊇l(u(C(A))) = C(C(A)). Bes e pa eko asuna i dagokio- nez, (i) bes e ik ez da. Behin i xi u a e agilea dela jakinda, de ini dezagun hu engo aplikazioa: : (Cl(P(Q)),⊆)→(R∪ { −∞,−∞ } ,≤) A7→ _A. (R∪ { −∞,∞ } ,≤) osoa da, o den hone an edozein mul zo bo na ua delako e a e eale an mul zo bo na uek sup emoa bai u e. e e ikulu- homomo ismoa dela ikus ea bai a ez da ba e e zaila: (A∩B) = _A∩B(∗) =_A∧_B= (A)∧ (B) e a (Cl(A∪B)) = _Cl(A∪B)(∗2) =_(A∪B) = _A∨_B= (A)∨ (B) bai a. (∗) ikus eko oha u ≤be e zen dela be i e e ikulu guz ie an. Bes e desbe din za ikus eko, oha u WA∩B < q < WA∧WBbe e zen duen q∈ Q ha u ik, q≤WAdela. Be az, q∈l(u(A)) = C(A) = Ada. A azoi be a dela e a, q∈Bda. Baina, o duan, q∈A∩Bdugu e a hau kon aesana da. Ondo ioz, qez da exis i zen, e a be din za daukagu. A. E anskina. a ike ak 47 (∗2) ikus eko, oha u A⊆C(A) dela; be az, _A≤_C(A) a gia da. O ain, demagun desbe din za he sia dela. O duan, exis i zen da _A < q < _CA) be ea az en duen qa azionala. F oga dezagun, hau kon aesana dela. q∈u(A) dagoela a gi dago. Be az, c∈C(A) guz ie a ako c≤qda. Honenbes ez, _C(A)≤q < _C(A) da. Su jek iboa e e bada, (C(Q)) = ∞, (C(∅)) = −∞ di elako e a ∈R ha uz ge o, CQ∩(−∞, )=_CQ∩(−∞, )=_Q∩(−∞, )= delako. Injek ibo asuna e e oga dai eke: Ho i ikus eko, oga uko dugu A, B ⊆ Qguz ie a ako _A=_B=⇒C(A) = C(B) dela. Demagun, WA=WBdela, e a ha u b∈u(B). nahi aez b≥WB=WA da; ondo ioz, b≥WAdenez, b∈u(A) da. Honenbes ez, u(B)⊆u(A) e a, a azoi be a dela e a, u(A)⊆u(B) denez, u(A) = u(B) da. Buka zeko l aplika uz, C(A) = C(B). Ha u di zagun A, B ∈Cl(P(Q)) e a demagun (A) = (B) dela. Hau da, WA=WBdela, o duan, A=C(A) = C(B) = Bdela oga u be i dugu. Oso a a, (R∪ { −∞,∞ } ,≤)∼ =(Cl(P(Q)),⊆) dela oga u dugu. B. E anskina Topologia A al hone an lanean zeha e abili di ugun kon zep u opologiko e a eo emak emango di ugu. B.0.1 de inizioa. Biz(X, τ) biko e ba , non Xmul zoa den e a τ⊆ P(X) amilia ba den. Esango dugu (X, τ)espazio opologikoa dela baldin e a τ amiliak hu engo baldin zak be e zen badi u: (i) {X, ∅ } ⊆ τ (ii) A, B ∈τ=⇒A∩B∈τ (iii) {Si}i∈I⊆τ=⇒Si∈IS∈τ τmul zoko elemen uei i eki esa en diegu e a C={X U⊆X|U∈τ} mul zoko elemen uei i xi. B.0.2 de inizioa. Bi a (X, τ) espazio opologikoa e a S⊆Xazpimul zoa. Esango dugu, Si xi ekia dela baldin e a i xia e a i ekia bada. B.0.3 de inizioa. Biz (X, τ) espazio opologikoa. Esa en dugu inkoa dela, baldin e a SS=Xdeneko S={Si}i∈I⊆τguz ie a ako exis i zen bada J⊆I ini ua, non Si∈JSi=Xden. B.0.4 de inizioa. Bi a (X, τ) espazio opologikoa e a β⊆τ. Esa en dugu β opologia en i eki-oina ia dela baldin e a U∈τguz ie a ako exis i zen bada B⊆β, non U=SBden. B.0.5 eo ema. Biz Xmul zoa e a β={Bi}i∈I⊆ P(X) amilia hu engo baldin zak be e ik: (i) Si∈IBi=X. (ii) ∀B1, B2∈β, ∀x∈B1∩B2,∃B3∈β:x∈B3⊆B1∩B2. 49