La transferencia de contenidos matemáticos a contextos científicos: el concepto de función

Tesis doc o al
La ans e encia de con enidos ma emá icos a con ex os cien í icos:
el concep o de unción
Mi en Begoñe Bu goa E xabu u
Depa amen o de Didác ica de la Ma emá ica y de las Ciencias Expe imen ales
P og ama de doc o ado de Psicodidác ica
Uni e sidad del País Vasco (UPV-EHU)
Di ec o as:
D a. Te esa Nuño Angós
D a. Neus Sanma í Puig
Leioa, ab il, 2014
En ecue do de Ama y Ca les, quienes ya no pueden compa i la aleg ía de
es e día, muchas g acias a ambos po que es mucho lo que habéis legado
U ak daka ena
u ak da oa,
Zuk emandakoa
gu ekin geldi zen da
El siguien e abajo de in es igación es el esul ado de la in e esan e expe iencia que esul a
in es iga , pa a lo cual ha sido undamen al la ayuda, paciencia y apoyo de bas an es pe sonas
ce canas y lejanas en dis ancia.
En p ime luga quisie a da las g acias a mis dos di ec o as de Tesis, Te esa Nuño y
Neus Sanma í po sus o ien aciones, apoyos, cons ancia y las ho as que me han dedicado
a hace posible es e p oyec o y sueño, ya que pa a mí ha supues o eso, un sueño hecho
ealidad.
A las dos p o eso as compañe as Isabel y Ma i José, quienes es u ie on dispues as desde
el p ime momen o a pa icipa en es a labo un an o complicada. Así mismo a la
di ección del cen o IES Mungia que me pe mi ió ealiza dicha in es igación.
A odos los alumnos y alumnas que pa icipa on en la in es igación.
A mi compañe a Ma i Paz Balagué con la cual u e que in e cambia bas an es ho a ios
pa a hace las g abaciones de audio y en e is as.
A odas las pe sonas que han sabido o ien a me en las dudas sob e las cues iones que les
he plan eado , Ca men Azcá a e, Jo di Deulo eu, Luis Zaballos, Rodol o Ál a ez, José
Manuel Almudí, Raimundo Rubio y San iago Fe nández.
A las pe sonas que además me han ayudado en a eas di e sas Eide Goñi y Txomin
Villa oel con el sis ema SPSS y la es adís ica, Robe o Manjón en las co ecciones de los
ex os, Lei e Go do esc ibiendo al o denado , Amaia Bu goa ansc ibiendo y Ai o
Sanchez en la maque ación.
A mis alumnos y alumnas de di e si icación cu icula po que sin una i encia con ellos y
ellas, nunca hubie a sido posible hace es a in es igación.
A mi amilia (Joseba, Lei e, Olaia), pa a la cual es a in es igación ha supues o un g an
es ue zo en el día a día.
A odos ellos y ellas, muchas g acias po habe me apoyado en es a di ícil ca e a.
Mila eske !!!!
i
Tabla de con enido
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1
PARTE I: MARCO TEÓRICO
1.CAPÍTULO. ¿QUÉ SE ENTIENDE POR TRANSFERENCIA? ...................................... 9
1.1 La ans e encia como componen e de la in eligencia .......................................... 10
1.2 Teo ías his ó icas sob e la ans e encia del ap endizaje ...................................... 13
1.2.1 Teo ías ambien ales (en i onmen al heo ies) ............................................... 15
1.2.2 Teo ías cogni i as (Cogni i es heo ies) ........................................................ 17
1.2.3 Teo ías sociocogni i as (Sociocogni i es heo ies) ....................................... 19
1.3 La ans e encia desde la pe spec i a P epa a ion o u u e lea ning (PFL) ..... 22
1.4 Dis in os ipos de ans e encia pa a una misma expe iencia ............................... 24
1.5 Ac o -o ien ed T ans e (AOT) ............................................................................ 29
1.6 La eo ía de uzzi- ace (huella di usa) ................................................................. 33
1.7 La na u aleza on ológica del conocimien o ans e ible ....................................... 34
1.8 Dis in os conocimien o p esen an dis in os ipos de ans e encias ...................... 36
1.9 ¿El alumnado ans ie e? ...................................................................................... 39
1.9.1 ¿Qué a iables obs aculizan la ans e encia? ................................................ 40
1.9.2 ¿Qué condiciones a o ecen la ans e encia? ............................................... 41
1.10 Inno ación y e icacia ............................................................................................ 44
1.11 Sín esis .................................................................................................................. 46
2.CAPÍTULO. CONOCIMIENTO COTIDIANO s CONOCIMIENTO CIENTÍFICO,
CAMBIO CONCEPTUAL .................................................................................................. 47
2.1 Cons ucción del conocimien o cien í ico ............................................................ 48
2.2 La esolución de p oblemas .................................................................................. 55
2.3 La ans e encia en la Educación cien í ica basada en con ex os ......................... 60
2.4 Géne o y enseñanza-ap endizaje en ma emá icas y en ciencias ........................... 65
2.4.1 Di e encias po sexo en ma emá icas ............................................................. 65
2.4.2 Pa ones de géne o y endimien o en ma emá icas ........................................ 69
2.4.3 Di e encias po sexo en ciencias .................................................................... 78
2.4.4 Pa ones de géne o y endimien o en ciencias ............................................... 80
2.5 Expec a i as del p o eso ado e In e acciones p o eso ado- alumnado ................. 84
2.6 Sín esis .................................................................................................................. 86
3CAPÍTULO. EL CONCEPTO DE TRANSFERENCIA EN LA PRESENTE
INVESTIGACIÓN .............................................................................................................. 88
3.1 Sín esis .................................................................................................................. 91
4. CAPÍTULO. TRANSFERENCIA DESDE LAS DIDÁCTICAS ................................... 92
4.1 Al abe ización cien í ica-ma emá ica y compe encias cien í ica y ma emá ica ... 93
4.2 Los nue os cu iculos o ien ados hacia el desa ollo de compe encias ............... 97
4.3 Relación en e ans e encia y compe encia ....................................................... 102
4.4 Sín esis ................................................................................................................ 105
ii
5. CAPÍTULO . EL CONCEPTO DE FUNCIÓN Y SU USO EN LAS CIENCIAS ....... 106
5.1 Las ep esen aciones en ma emá icas ................................................................. 107
5.2 Concep o de unción ........................................................................................... 112
5.3 El p oceso de o mación del concep o unción................................................... 114
5.4 La cons ucción del lenguaje algeb aico............................................................. 117
5.5 In e p e ación de g á icas ................................................................................... 118
5.6 Ni eles a alcanza po el alumnado de 15 años en el concep o de unción ........ 120
5.7 Ta eas y acciones elacionadas con el concep o unción.................................... 122
5.7.1 Ta eas ........................................................................................................... 122
5.7.2 Acciones ....................................................................................................... 123
5.7.3 Si uación....................................................................................................... 124
5.7.4 Va iables y su na u aleza ............................................................................. 124
5.7.5 En oque ........................................................................................................ 125
5.8 Di icul ades en el ap endizaje del concep o unción y p opues as de mejo a .... 125
5.8.1 Las in uiciones ............................................................................................. 126
5.8.2 Fo mas al e na i as de pensa ...................................................................... 126
5.8.3 Di icul ades y concepciones cien í icas al e na i as y su elación con el
concep o unción ........................................................................................ 137
5.8.4 Relaciones en e las di icul ades desde las ma emá icas y desde las ciencias
................................................................................................................... 141
5.9 Sín esis ................................................................................................................ 143
PARTE II: ESTUDIO EMPÍRICO
6.CAPÍTULO. METODOLOGÍA ...................................................................................... 145
6.1 Plan eamien o del p oblema y obje i os ............................................................. 146
6.1.1 Obje i os ...................................................................................................... 146
6.2 Con ex o de la in es igación ............................................................................... 148
6.2.1 Pa icipan es ................................................................................................. 148
6.2.2 Desa ollo de la in es igación ...................................................................... 150
6.2.3 P oceso de ecogida de da os ....................................................................... 154
6.2.4 Diseño de la Unidad Didác ica (UD) ........................................................... 155
6.3 Da os y ca ego ías de análisis ............................................................................. 157
6.3.1 Ins umen os de ecogida de da os ............................................................... 157
6.3.2 Ca ego ías de análisis ................................................................................... 162
6.3.3 Va iables ...................................................................................................... 170
6.4 Validación de esul ados y e i icación de conclusiones ................................... 172
7.CAPÍTULO DE RESULTADOS .................................................................................... 174
7.1 Conocimien os del alumnado al aplica el concep o de unción ........................ 176
7.1.1 Resul ados ob enidos a a és del examen ................................................... 178
7.1.2 Resul ados ob enidos median e el con a o de au oe aluación .................... 193
7.1.3 Resul ados ob enidos a a és de las en e is as .......................................... 202
7.1.4 Resumen de las di icul ades al aplica el concep o de unción .................... 241
7.1.5 Ni eles de ma emá icas en elación al concep o de unción ........................ 244
7.2 Desa ollo de la unidad didác ica en el aula ....................................................... 253

iii
7.2.1 Si uación de pa ida ...................................................................................... 253
7.2.2 Aplicación de la UD ..................................................................................... 260
7.3 Di icul ades al in e p e a g á icos uncionales desde las ciencias ..................... 296
7.3.1 Di icul ades en conocimien o de cinemá ica ................................................ 296
7.3.2 Di icul ades en el conocimien o del concep o de solubilidad ...................... 304
7.4 Indicios de ans e encia obse ados .................................................................. 308
7.4.1 En elación a las di icul ades ma emá icas y cien í icas .............................. 309
7.4.2 En elación con las a eas ............................................................................. 313
7.4.3 En elación al modelo didác ico ................................................................... 320
7.4.4 En elación a los es ilos de ans e encia ..................................................... 330
7.4.5 En elación a la ges ión mo i acional del alumnado .................................... 333
7.4.6 En elación a las ac i idades p e ias que in luyen en el modelo de unción 335
7.4.7 En elación a las debilidades y o aleza de la Unidad Didác ica ................ 336
7.5 In luencia de la a iable sexo en la ans e encia ............................................... 337
7.5.1 En cuan o a ni el de ma emá icas ................................................................ 338
7.5.2 Respec o a la elación con los ni eles de ciencias ....................................... 352
7.5.3 E olución de los esul ados del alumnado po sexo .................................... 358
7.5.4 Relación en e los esul ados de ma emá icas y ciencias y la ges ión
mo i acional ............................................................................................... 360
7.5.5 Resul ados de ma emá icas y ciencias y gus o po dichas á eas .................. 362
7.5.6 P e e encia po ipo de a ea y su o ganización ........................................... 363
7.5.7 En cuan o al g ado de ans e ibilidad en los cuales des aca cada sexo ....... 364
8.CAPÍTULO DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES ........................................................... 366
8.1 Discusión de los esul ados ................................................................................. 367
8.1.1 Relación en e la ans e encia y el con ex o de aplicación ......................... 368
8.1.2 Relación en e el es ilo de ap endizaje y la ans e encia p oducida .......... 391
8.1.3 Relación en e el es ilo docen e y la ans e encia p oducida ...................... 392
8.1.4 Relación en e una con ex ualización del ap endizaje y la ans e encia ..... 407
8.1.5 Relación en e conocimien o ma emá ico y cien í ico ................................. 409
8.1.6 Ac i idades que p omue en la ans e encia ............................................... 413
8.1.7 Relación en e las aspec os mo i acionales y ac i udinales y la ans e encia
.................................................................................................................... 416
8.1.8 In luencia de la a iable sexo y pe spec i a de géne o en la ans e encia .. 418
8.2 Conclusiones gene ales ....................................................................................... 422
8.3 Limi aciones de la In es igación ........................................................................ 424
8.4 Pe spec i as de u u o ......................................................................................... 426
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ………………………………………………….428
ÍNDICE DE TABLAS…………………………………………………………………...453
ÍNDICE DE FIGURAS ………………………………………………………………….455
ÍNDICE DE ANEXOS (en sopo e digi al)……………………………………………..458
In oducción 1
INTRODUCCIÓN
Es a in es igación pa e de la necesidad de p o undiza sob e las elaciones en e
las ciencias y las ma emá icas en elación a la ans e encia de conocimien os en e ambas
á eas. Tal inquie ud su ge de los años de expe iencia de la doc o anda (más de 12)
abajando con alumnado de di e si icación cu icula (se abaja en el ámbi o cien í ico
ecnológico: ciencias, ma emá icas y ecnología) y comp oba las g andes di icul ades que
pa ecen elaciona las ciencias y las ma emá icas. Además, se une a las nume osas quejas
que se escuchan en e los compañe os y compañe as docen es de ciencias en el sen ido de
que la ca encia ma emá ica es una de las g andes causas que explican el acaso en
ciencias.
Con al in, la p esen e esis abo da la p oblemá ica de la ans e encia en e los
con enidos de es as dos disciplinas sepa adas en el cu ículum, pe o que es án
in e elacionadas, ya que los conocimien os ma emá icos y los cien í icos se equie en
biuní ocamen e pa a el desa ollo de ambos. La ciencia necesi a de los sabe es
ma emá icos pa a modeliza la ealidad y las ma emá icas adquie en mayo sen ido en
an o y cuan o son ú iles pa a es a inalidad.
La unción social que se a ibuye a la enseñanza en nues os días conlle a el
abandono de la escuela de ca ác e p opedéu ico y selec i o, que omen a la ep oducción
de las desigualdades sociales (Pe enoud, 1997), y la búsqueda de una enseñanza pa a odo
el alumnado, supe ado a de dichas desigualdades. Se a a de conside a la o mación
in eg al de la pe sona como obje i o básico de la educación, en luga de una unción
me amen e p opedéu ica. Pa a ello, uno de los p oblemas más impo an es al que iene que
hace en e el sis ema educa i o es la con adicción en e una enseñanza conside ada
básica y obliga o ia pa a odo el alumnado, y los esul ados inales ob enidos al é mino del
pe íodo obliga o io.
Si bien los da os a ni el es a al indican que, as diez años de escola ización, una
cua a pa e del alumnado del Es ado Español no concluye con éxi o sus es udios y no
ob iene el í ulo de g aduado, en la Comunidad Au ónoma Vasca la si uación pa ece bien
dis in a ya que un 90.86% del alumnado en el cu so 2012-2013 (92.5% de chicas y un
88.0% de chicos) ob u o el Tí ulo de Secunda ía, eso sí, con un 70.16% de la población
2
que había ap obado odas las á eas. Las ma emá icas ue on ap obadas po un 84.4% del
alumnado, la Biología y la Geología po un 92.0% y po un 88.0% la Física y Química.
Además, se ha cons a ado a pa i de es os esul ados que buena pa e de la
ciudadanía escola izada no es capaz de u iliza los conocimien os que eó icamen e posee
en si uaciones o an e p oblemas eales, sean co idianos o p o esionales. Es os hechos, que
no son especí icos de nues o sis ema educa i o, jun o con o as azones de odo ipo, han
p opiciado la implan ación en muchos países de un cu ículo que iene como inalidad el
desa ollo de compe encias (LOE, Ley O gánica 2/2006; Real dec e o 1513/2006), en e
las que se incluyen las compe encias ma emá ica y cien í ica, que se analizan en es a esis.
Un obje i o cen al y pe manen e de la educación es p o ee expe iencias de
ap endizaje que sean ú iles más allá de las condiciones especí icas de la escuela; el
p o eso ado quie e que el alumnado mues e p uebas de ans e encia en una a iedad de
si uaciones: de un p oblema a o o den o de un cu so, de un cu so a o o, de un cu so
escola al siguien e, y de sus años en la escuela a su abajo. Así pues, la c eencia en la
ans e encia es á en el co azón del sis ema educa i o po que cuando se p oduce el ans e
se ga an iza un ap endizaje u u o y además conlle a un aho o de iempo y ene gía en el
ap endizaje (Co mie y Hagman, 1987). En el con ex o de la enseñanza obliga o ia el
é mino compe encia alude al capi al cul u al mínimo que un ciudadano o una ciudadana
iene que habe adqui ido al é mino de su escola ización obliga o ia pa a pode
desen ol e se adecuadamen e en la sociedad ac ual, e in eg a de mane a uncional los
conocimien os y habilidades en con ex os sociocul u ales a iados y uncionales. Pa a la
adquisición de es a uncionalidad es imp escindible que lo ap endido se ans ie a
( ans e ) desde la si uación del ap endizaje has a el con ex o donde se equie a su uso.
El pasado siglo llegaba a su in cuando la Ame ican Educa ional Resea ch
Associa ion (Schoen eld, 1999) iden i icó la ans e encia como uno de los seis campos
más básicos y u gen es en los que la in es igación educa i a debía a anza a lo la go del
siglo XXI. Mues a de ello son los núme os especiales de 2012 de las e is as Educa ional
Psychologis y Jou nal o he Lea ning Sciences dedicados a la ans e encia, donde se
incluyen nue os plan eamien os eó icos, basados en da os empí icos, sob e la posibilidad
y el modo de alcanza la ans e encia del conocimien o. Es a cues ión ambién es á
adqui iendo un in e és c ecien e en la comunidad in es igado a de didác ica de las ciencias
en el es ado español, como se e leja en la e is a Didác ica de las ciencias expe imen ales
y sociales, en el 2012. Sin emba go, una opo una e isión de las in es igaciones ealizadas
¿Qué se en iende po ans e encia? 9
1 CAPÍTULO. ¿QUÉ SE ENTIENDE POR TRANSFERENCIA?
1. La ans e encia como componen e de la in eligencia
2. T eo ías his ó icas sob e la ans e encia del ap endizaje
3. La ans e encia desde la pe spec i a P epa a ion o u u e lea ning (PFL)
4. Dis in os ipos de ans e encia pa a una misma expe iencia
5. Ac o -o ien ed T ans e (AOT)
6. La eo ía de uzzi- ace (huella di usa)
7. La na u aleza on ológica del conocimien o ans e ible
8. Dis in os conocimien o p esen an dis in os ipos de ans e encias
9. ¿El alumnado ans ie e?
10. Inno ación y e icacia
11. Sín esis

10
En es e capí ulo se de ine el concep o de ans e encia desde su iden i ación como
componen e de la in eligencia has a nues os días, pasando po las dis in as eo ías
his ó icas que han a ado de desc ibi la desde muy di e sos pun os de is a ( eo ías
ambien alis as, eo ías cogni i as y eo ías sociocogni i as). Así mismo, se exponen
dis in as apo aciones como la de la ans e encia desde la pe spec i a P epa a ion o
u u e Lea ning, la pe pec i a Ac o -o ien ed T ans e (AOT), la eo ía de Fuzzi- ace que
ayudan a una in e p e ación más dinámica y pe sonal de la ans e encia. A con inuación se
des aca la na u aleza on ológica del conocimien o y en unción de ella los dis in os ipos de
ans e encia posibles. Finalmen e se incluyen las a iables que obs aculizan y a o ecen la
ans e encia y qué papel iene la inno ación y la e icacia en la ans e encia.
1.1 La ans e encia como componen e de la in eligencia
La u ilización del conocimien o ap endido en una nue a si uación, la ans e encia,
es uno de los asgos cen ales del buen ap endizaje y, po an o, cons i uye uno de sus
p oblemas más habi uales, a juzga po los esul ados ob enidos en dis in as e aluaciones,
del P og am o In e na ional S uden Assessmen conocido como e aluación PISA, po
ejemplo. Sin capacidad de ans e i lo ap endido a nue os con ex os, lo ap endido es
ine e y muy poco e icaz. Es e hecho pa ece se debido a que, en con a de lo que una
mayo ía de ap endices y docen es c een, la ans e encia no es un p oceso au omá ico que
se p oduce necesa iamen e cada ez que se ap ende algo.
La ans e encia a ni el cogni i o ha sido es udiada po S e nbe g du an e muchos
años (S e nbe g, 1984a, 1985, 1986, 1987; S e nbe g, Ke on y Powel, 1982; S e nbe g y
Powel, 1983a, 1983b) quien pos ula una o ganización je á quica de la in eligencia
compues a po dos ipos componen es: los mac ocomponen es y los mic ocomponen es
(S e nbe g, 1984b). De ine los p ime os como aquellos aspec os gene ales del
p ocesamien o de la in o mación (la in eligencia gene al, la in eligencia académica, la
in eligencia p ác ica, la in eligencia luida, la in eligencia c is alizada y la mo i ación), y
los segundos como los elemen os implicados di ec amen e en la ac uación in elec ual
(me acomponen es, componen es de ac uación (Pe o mance componen s) y componen es
de adquisición, e ención y ans e encia) (S e nbe g, 1984b, 1985). Cada uno de es os
mic ocomponen es supone un g ado di e en e de abs acción.
¿Qué se en iende po ans e encia? 11
Los me acomponen es p esen an el g ado más amplio de globalidad y po ello se
ubican en la je a quía más al a del p ocesamien o. Son el ni el ges o -ejecu i o de la
in eligencia. Reciben la in o mación ecogida po el es o de los mic ocomponen es y, en
unción de la misma, o ganizan es os componen es más conc e os a endiendo a las
exigencias de las a eas. Los me acomponen es ienen, no obs an e, una capacidad limi ada
de p ocesamien o que puede e se supe ada po las exigencias de la a ea.
Los componen es de ac uación son los que p esen an un g ado meno de
gene alidad, y suponen p ocesos conc e os que se emplean en la ejecución de la a ea
(S e nbe g, 1984b). Los componen es de adquisición, e ención y ans e encia se
encuen an asociados a es as a eas cogni i as, pe o en meno medida que los componen es
de ejecución. La impo ancia especial de es os mic ocomponen es eside en su e ec o sob e
la gene alización y la ans e encia de la in o mación y de lo ap endido a si uaciones
nue as.
Cada mac ocomponen e se in e elaciona de un modo especí ico con los
mic ocomponen es ecogiendo la in o mación que és os p oducen y se nu e de la
obse ación de la ac uación de los mic ocomponen es. Su obje o es gene a un mayo
g ado de ampli ud y abs acción.
En es e sen ido, S e nbe g en iende po ans e encia la u ilización de una acción,
con enido, in o mación o concep o, ap endida en una de e minada condición, en
si uaciones di e en es y dispa es de la si uación en la que ue ap endida; en suma, se a a
de la capacidad de emplea lo ap endido an e io men e en nue as si uaciones: “… he eal
unc ion o lea ning is he ans e o wha is lea ning in old si ua ions o new si ua ions”
(S e nbe g, 1988, p. 286).
Tal de inición se puede in e p e a en base a dos concep os de ans e encia:
a) La aplicación de lo ap endido en si uaciones análogas a aquellas en que se
p odujo el ap endizaje. En es os é minos se en iende po ans e encia el
man enimien o de lo ap endido a lo la go del iempo en si uaciones simila es.
b) El empleo del ma e ial ap endido pa a a on a y supe a si uaciones y
p oblemas di e en es de aquel en el que se adqui ió al ma e ial. És e es el
concep o de ans e encia más ex endido.
En e ec o, a pa i de es e análisis sob e la o ganización de la in eligencia exis en
muchas y a iadas de iniciones de ans e encia (Beach, 1999; B ans o d, B own y
Cocking, 2000; De e man, 1993; Lee,1998; Roye , Mes e y Du esne, 2005) que ienen
12
po undamen o el uso ap opiado de conocimien os p e ios en nue os con ex os pe cibidos
como simila es po la pe sona expe a: docen e o in es igado a, quien a su ez los ha
elegido p e iamen e po conside a los semejan es a las si uaciones en que ha enido luga
el ap endizaje.
Sin emba go, el concep o de ans e encia de endido en es a esis compa e una
pe spec i a mode na basada en los ipos de conocimien os que el alumnado apo a al
azona sob e una si uación conc e a y en la denominada ans e encia dinámica. Es a
apo ación en absolu o desca a el pun o de is a an e io — an ampliamen e adop ado en
las in es igaciones—, pe o a a de a e igua no sólo si la ans e encia se ha p oducido
con éxi o en los é minos exp esados en el pá a o an e io , sino, sob e odo, en qué medida
el alumnado ha sido capaz de en en a se a si uaciones nue as con una adap ación y
lexibilidad adecuadas. En es e sen ido, se inco po an elemen os de pe spec i as
p oceden es p incipalmen e de in es igaciones ealizadas en el campo de la enseñanza de
la Física (Beach, 1999; G eeno Smi h y Moo e, 1993; Loba o, 2003; Rebello e al., 2005),
así como o as apo aciones que se i án p esen ando a lo la go de es e apa ado (diSessa y
She in, 1998; diSessa y Wagne , 2005; Du esne, Mes e, Thaden-Koch, Ge ace, y
Leona d, 2005; Hamme e al., 2005; Rebello e al., 2005; Redish, 2004; Schwa z,
B ans o d, y Sea s, 2005; Schwa z, Taylo , y P a man, 2005). Cie amen e, ha quedado
demos ado que, desde una pe spec i a ac ual, una de inición de ans e encia que sólo
a ienda a la aplicación en nue os con ex os de conocimien os adqui idos en si uaciones
an e io es — al como y es habi ual en la li e a u a adicional— es insu icien e pa a su
análisis (B ans o d y Schwa z, 1999; Gick y Holyoak, 1980; Rebello e al., 2005;
Schwa z, Lin, B ophy, y B ans o d, 1999). Schwa z e al., 2005). Po o o lado, ambién
se ha p oducido un cambio me odológico en el modo de medi la ans e encia. Se ha
pasado de la medida di ec a de las decla aciones explíci as del alumnado sob e la
co espondencia en e dominios de las medidas implíci as, a medidas indi ec as, eniendo
en cuen a que los y las es udian es pueden se sensibles a la elación en e las si uaciones
sin se capaces de e baliza explíci amen e la base de dicha conexión. Es a isión más
amplia de lo que cuen a como e idencia pa a el es udio de la ans e encia se ha
desa ollado po di e sos caminos. Algunas in es igaciones se han cen ado en cómo
ap ende el alumnado a pe cibi los acon ecimien os como mani es ación de los p incipios,
y cómo es e ap endizaje le p epa a pa a e e en os u u os en é minos de los mismos
p incipios (B ans o d y Schwa z, 1999). O as in es igaciones han buscado indicios de
¿Qué se en iende po ans e encia? 13
cómo in e p e a el alumnado las si uaciones como simila es con ac i idades an e io es bajo
la in luencia de es as mismas ac i idades (Loba o, 2003, 2012; Loba o y Seibe , 2002b).
Del mismo modo, en algunas las in es igaciones se ha a gumen ado a a o del alumnado,
pos ulando que la ans e encia ocu e al in e ac ua con una segunda/nue a si uación
u ilizando el mismo sesgo in e p e a i o desa ollado en las in e p e aciones pe cep uales
de una si uación inicial (Day y Golds one, 2012).
Po ello, ac ualmen e las in es igaciones ienen en cuen a que el compo amien o
ac i o del alumnado, su pe spec i a y pos u a en el ap endizaje, son ac o es c í icos de la
ans e encia. La ans e encia no se p oduce simplemen e po la simili ud en e las
si uaciones o iginales y las nue as, sino que depende undamen almen e de la inclinación
de la pe sona que es á ap endiendo a conec a si uaciones (Loba o, 2003, 2012). El
en oque AOT se cen a en el bene icio que una pe sona puede ob ene de lo p e iamen e
ap endido pa a su ans e encia. En es e sen ido, los es udios de Schwa z, Chase, y
B ans o d (2012) ponen la a ención en la impo ancia de que el alumnado enga una
men alidad o ien ada hacia la adap ación de sus conocimien os y no sólo a su aplicación.
También en es e sen ido Chi y VanLehn (2012) y Loba o (2012) indican que la
ans e encia, implica, li e almen e, la adopción de nue as pe spec i as, el desa ollo de
nue as o mas de e si uaciones amilia es.
1.2 Teo ías his ó icas sob e la ans e encia del ap endizaje
El é mino ans e encia ha sido acuñado pa a designa la u ilización del
conocimien o adqui ido en una si uación especí ica en una nue a si uación. Es a de inición
puede pa ece demasiado simple y gene al, y sin emba go, las dis in as de iniciones y los
análisis co espondien es a cada una de ellas han susci ado una di e sidad de pun os de
is a.
La li e a u a sob e la ans e encia incluye una a iedad de pe spec i as
apa en emen e con adic o ias (Ba ne y Ceci, 2002; Beach, 1999; E ans, 1998; G eeno,
1997; Labo a o y o Compa a i e Human Cogni ion, 1983, La e, 1991; Packe , 2001;
Toumi-G öhn, T. y Enges öm, 2003). Mien as algunas mani ies an la di icul ad de
encon a p uebas de la exis encia e ec i a de la ans e encia, como es el caso de
De e man (1993), o as la conside an omnip esen e, siemp e que se sepa dónde di igi la
a ención (Dyson, 1999). No al an quienes en en ella un concep o in iable (Hamme e
14
al., 2005), ni ampoco quienes en ienden que el ap endizaje y la ans e encia son
concep ualmen e indis inguibles, po lo que hab ía qué dedica una a ención especial al
ans e (Campione, Shapi o y B own, 1995).
Desde comienzos del siglo XX se han expues o dis in os pun os de is a sob e cuál
se ía el en oque adecuado pa a abo da el es udio de la ans e encia, que con sus nue as
de iniciones, me á o as y mé odos han hecho posible un eplan eamien o del concep o:
a) Teo ía de elemen os idén icos (Tho ndike y Woodwo h, 1901),
b) Teo ía de gene alización de p incipios (Judd, 1908)
c) T ans e encia de las ansiciones eme gen es (Beach, 1999, 2003),
d) Posibilidades y limi aciones de en oque (G eeno, 1997; G eeno e al., 1993),
e) P epa ación pa a el u u o ap endizaje (B ans o d y Schwa z, 1999)
) Modelo de ans e encia o ien ada al ac o (Loba o, 2003),
g) Dis in as pe spec i as de la eo ía de la ac i idad (Toumi-G öhn, T. y Enges öm,
2003)
Desde los inicios de la Psicología como disciplina cien í ica a mediados de la p ime a
década de 1800, la ans e encia ha sido un ema cen al du an e más de 100 años, y aún
sigue siéndolo hoy en día. Una de las p ime as p egun as de la Psicología de aquella la
época inicial ue la cues ión de cómo la in o mación ap endida en un de e minado
momen o llega a in lui en el ap endizaje pos e io (Hø ding, 1892). Se llegó a la
conclusión de que el modo en que se conec a la nue a si uación po pa e de la pe sona
pensan e con la si uación p e ia esul a se muy peculia y pa icula (Pea, 1989). En el
p esen e abajo, ealizado desde la didác ica de las ciencias y de la ma emá ica, se plan ea
la siguien e p egun a de in es igación: ¿De qué modo a ec a el ap endizaje del concep o
unción ealizado a a és de múl iples con ex os a la mane a en que lo u iliza el alumnado
en el dominio cien í ico cuando se en en a a si uaciones no abajadas en el aula? La
e olución has a llega a la o mulación de es a p egun a ha sido complicada, po que el
é mino ans e encia ha sido obje o de múl iples en oques, debido a dis in os ac o es. Po
un lado, la escasez de es udios sob e ans e encia en el ámbi o de las ciencias cogni i as
—–los abajos al espec o no han supe ado el 1% en la e is as más p es igiosas (Chen y
Klah , 2008), además las me odologías u ilizadas pa a su es udio u iliza on p ác icamen e
una sola mi ada de es udio has a p incipios del siglo XX, y, po o o lado, po que las
posibles in e elaciones en e dis in os dominios ampoco han supues o un peso impo an e

¿Qué se en iende po ans e encia? 15
en las in es igaciones has a la ac ualidad. Po úl imo, cabe eseña que los es udios con
población adolescen e no son nume osos y que exis e la necesidad de in es igaciones de
es e ipo con alumnado de educación secunda ia obliga o ia po el ca ác e uni e sal de la
educación en es as edades. A ello se añade la pe spec i a de géne o po su anscendencia
en odo ipo de es udio sociológico.
Has a p incipios del siglo XX, la eo ía dominan e sob e la ans e encia e a
denominada «doc ina de la disciplina o mal». Es a eo ía se o iginó en la época clásica y
conside aba que la p ác ica de algunos eje cicios o ma e ias enía e ec os gene ales, es
deci , que exis ían cie as disciplinas que acili aban a la men e ans e i lo ap endido. De
es e modo, se pensaba que su es udio y eje cicio desa olla ían las unciones men ales
básicas p o ocando una mejo a en el uncionamien o in elec ual. El la ín y la geome ía, y
pos e io men e el g iego y las ma emá icas, con o maban es as disciplinas o males. En el
caso del la ín, la es uc u a in e na de la lengua se ans e i ía a o as lenguas; el es udio de
cu sos de lógica enseña ía a pensa mejo . Así, desde es a eo ía se conside aba la men e
como un músculo que se eje ci aba con el en enamien o.
F en e a es as a i maciones, y jun o al nacimien o de la nue a ciencia de la
Psicología educa i a a p incipios del siglo XX, su ge una nue a isión de la ans e encia
basada en la eo ía asociacionis a. Así pues, las eo ías his ó icas del ap endizaje se pueden
di idi en es ca ego ías: las que hacen hincapié en el análisis de acon ecimien os ex e nos
al alumno o alumna, las que hacen hincapié en el análisis de los acon ecimien os in e nos
en el alumno o alumna y las que inciden an o en aspec os cogni i os como sociocul u ales.
A las p ime as se las ha denominado eo ías ambien ales (en i onmen al heo ies), a las
segundas cogni i as (cogni e heo ies) y a las e ce as sociocogni i as (sociocogni i e
heo ies).
1.2.1 Teo ías ambien ales (en i onmen al heo ies)
La p ime a eo ía ambien al de la ans e encia de ap endizaje ue p opues a po
Tho ndike y Woodwo h (1901), y ue llamada Teo ía de elemen os idén icos. La
pe spec i a adop ada consis ía en de ini / iden i ica alguna simili ud común a a és de
dos a eas y luego busca p uebas (o al a de ellas) pa a su ans e encia (Reed, 1993;
Singley y Ande son, 1989). Es a pe spec i a ha es ado basada en la de inición dada po
De e man (1993, pág. 4) "el g ado en que el compo amien o se epi a en una si uación
nue a". Así, la ans e encia del ap endizaje se p oduci ía cuando el ap endizaje p oducido
16
en un con ex o es u ilizado en o o nue o y es o se p oduci ía sólo cuando ambas a eas
compa ie an elemen os idén icos. Cuando el núme o de elemen os compa idos
aumen a a, se obse a ía un aumen o en la can idad de ans e encia que se p oduce en las
a eas, o una p obabilidad cada ez mayo de que la ans e encia se p oduje a de o ma
absolu a. Pa a ello e a necesa io que la pe sona que ap ende ue a agen e ac i o en hace lo
y mos a a una ac i ud conscien e al aplica la, ya que e a necesa ia la iden i icación de
elemen os idén icos en e las dos si uaciones, ac i a el conocimien o ap opiado y aplica lo
a la si uación nue a plan eada. Así, Tho ndike y sus colegas ue on quienes p ime o
u iliza on las p uebas de ans e encia pa a examina suposiciones ace ca de los bene icios
de las expe iencias de ap endizaje (Tho ndike y Woodwo h, 1901).
Es a pe spec i a guió un g an núme o de en oques educa i os especialmen e
popula es desde 1940 a 1970 y conlle ó la modi icación del cu ículo educa i o hacia
con enidos más especí icos, conside ando que las habilidades básicas debían enseña se
an es que las habilidades más complejas, ya que és as incluyen a las p ime as (Ca pin e o,
2002).
Pe o los esul ados sob e es a base de análisis ue on decepcionan es. Mues a de
ello ue la publicación de 1993 i ulada T ans e on ial: in elligence, cogni ion and
ins uc ion, donde De e man (1993) a i ma:
P ime o, la mayo ía de los es udios no encuen an ans e encia. Segundo, los
es udios que a i man habe encon ado ans e encia, solo lo hacen en base a
ci e ios muy amplios y no encuen an ans e encia en el sen ido clásico de la
misma (de inida po De e man como “el g ado en que un compo amien o se
epe i á en una nue a si uación”, p.4…En esumen, an o los es udios que a i man
encon a ans e encia como los que no la encuen an no apo an e idencias que
con adigan la conclusión gene al de Tho ndike: la ans e encia es a a, y la
posibilidad de que se p oduzca es á di ec amen e elacionada con la simili ud en e
dos si uaciones., (pp. 15).
Debido a la al a de p uebas de ans e encia de la que adolecen muchos es udios
basados en modelos adicionales, son a ias las c í icas que ponen de mani ies o las
limi aciones de la Teo ía de elemen os idén icos, po un lado, no ene en cuen a la ac i ud
del alumnado, su mo i ación (Haskell, 2001), las es a egias o p incipios gene ales con los
que és os se ans ie en (Judd, 1908), y po o o, po que ienen poco que deci sob e una
se ie de o mas de ans e encia, como las que se p oducen en si uaciones en las que
¿Qué se en iende po ans e encia? 17
ob iamen e no se compa en ca ac e ís icas del es ímulo en e los acon ecimien os, como
es el caso de la ans e encia la e al, la ans e encia lejana,la ans e encia igu a i a y la
ans e encia analógica o ans e encia de ipo C.
1.2.2 Teo ías cogni i as (Cogni i es heo ies)
Las eo ías cogni i as ienen en cuen a la Teo ía de Gene alización de P incipios
de Judd (1908) y plan ean la ans e encia desde la pe spec i a de cómo se es uc u a y
cómo abaja el sis ema cogni i o humano. Judd analizó la ans e encia de un p incipio
gene al (Ley de Shell) de una si uación a o a, llegando a la conclusión de que el g upo
ins uido supe ó al no ins uido. Po su pa e, o os in es igado es (Hend ickson y
Scho oede , 1941) ambién llega on a idén icos esul ados, y po lo an o, se puso en
e idencia la posibilidad de ans e encia de un conocimien o gene al a una a ea más
especí ica, algo no admi ido has a en onces.
A medida que la e olución cogni i a se a ianza a inales del siglo XX, el concep o
de elemen os idén icos se e o mula como ep esen aciones simbólicas men ales; es deci ,
las pe sonas cons uyen ep esen aciones simbólicas de ap endizaje inicial y en si uaciones
de ans e encia. Así, pa a las eo ías cogni i as la ans e encia en luga de depende de la
simili ud del es ímulo depende de la simili ud concep ual (Cox, 1997). Como
consecuencia, dos e en os de ap endizaje pueden pa ece muy di e en es uno de o o, pe o
si ienen simili udes concep uales subyacen es, uno bien pod ía in lui en el desempeño del
o o (B ans o d e al., 2000). La ans e encia se p oduce si es as dos ep esen aciones son
idén icas, si se supe ponen, o si una aplicación que se pueda cons ui se elaciona con las
ca ac e ís icas de las dos ep esen aciones (Maye , 1989; Reed, 1993; Roye e al., 2005;
S e nbe g y F ensch, 1993).
A mediados de la década de los 80 del siglo XX, los análisis se ealizan desde la
pe spec i a del esquema que iene p eceden es en la ob a de Piage (1977). Los esquemas
son es uc u as de da os que ep esen an e en os ecuen es que con ienen los elemen os
iguales o simila es y que se almacenan en la Memo ia a la go plazo (MLP); po ello, ienen
ca ác e es á ico y ijo. Ac i a el esquema no sólo acili a la adquisición de la nue a
in o mación que pod ía se codi icada en el esquema, sino que ambién "se añadi ía a" la
in o mación que se había p esen ado. G acias a es a eo ía, se incluyen nue os é minos en
la in es igación de la ans e encia, ales como elaciones isomó icas, azonamien o
me a ó ico, azonamien o analógico, ans e analógico, e c. (Ca ambone, 1998; Gen ne ,
18
1983; Gick y Holyoak, 1987; Vosniadou y O ony, 1989).
Sin emba go, el concep o de esquema no pa ece adecuado pa a explica las
di e encias en e acon ecimien os muy ecuen es y acon ecimien os menos ecuen es. Po
ello, su ge una nue a eo ía que incluye la cons ucción de si uaciones singula es de
sucesos y episodios que no ienen po qué se epe idos. Desde es a pe spec i a se de iende
la cons ucción del modelo men al (Jonson-Lai d, 1983; Gu ie ez, 2005) como
ep esen ación episodódica que incluye pe sonas, obje os y sucesos enma cados en unos
pa áme os espaciales, empo ales, in encionales y causales muy simila es a los u ilizados
pa a codici ica si uaciones eales (Jonson-Lai d, 1983; San ana, de Vega y Gómez, 1999).
La es uc u a del modelo men al, a di e encia de la de un esquema, mime iza la
es uc u a de los pa áme os espacio- empo ales, p ese a el o den se ial de los sucesos y
se almacena en la Memo ia a co o plazo (MCP); iene un ca ác e dinámico e inc emen al.
En gene al, es os modelos se basan en la causalidad ísica en e obje os o en e pe sonas y
obje os y los compo amien os de las sus ancias ma e iales aunque ambién los hay de
con enidos más abs ac os.
Hoy día las mode nas eo ías ep esen acionales han desplazado el én asis desde lo
es uc u al y es á ico hacia lo uncional y dinámico. Los p ocesos no se conciben como una
ecupe ación de esquemas pasi a ( ealizada au omá icamen e), comple a (del esquema en
bloque) y es á ica (sin ajus a se a las demandas). Al con a io, la ans e encia consis e en
una ecupe ación ac i a, pa cial y lexible de los ozos esquemá icos guiada po las
condiciones de la si uación y las demandas de la a ea. Ello ga an iza el ajus e máximo de
las ep esen aciones del mundo a las condiciones si uacionales.
Los au o es y au o as que de ienden es as eo ías sub ayan la impo ancia de los
p ocesos de me acognición, es o es, el econocimien o, egulación y moni o ización de los
p ocesos cogni i os que se u ilizan pa a esol e una si uación de e minada.Así, la
ans e encia del ap endizaje se p oduce cuando la pe sona es capaz de econoce los
eque imien os de un nue o p oblema, selecciona las habilidades y el conocimien o
ap endido p e iamen e y aplica lo al nue o p oblema (Toumi-G öhn, T. y Enges öm
2003)
A medida que se a conociendo mejo el p oceso de in eg ación en e esquemas y
modelos men ales (Johnson-Lai d, 1983)se a iendo más cla o que los cambios a co o
plazo no se p oduci ían en los esquemas, sino en los modelos men ales que se nu en de
és os. Po ello, el obje i o inal del cambio de esquemas pasa ía po p opicia cambios
¿Qué se en iende po ans e encia? 25
anscon ex ual. El p ime ni el, la ans e encia no especí ica, es el más sencillo y común
en odos los ap endizajes. El úl imo ni el, la ans e encia c ea i a, es el más complejo, y
di ícilmen e se consigue en los con ex os académicos con encionales (Gómez, Sanjosé y
Solaz-Po alés , 2012).
In acon ex ual
T ans e encia no especí ica
Lo que se ap ende se conec a con el conocimien o p e io
(mecanismo in e no).
+ > Complejidad > -
T ans e encia de aplicación
Se aplica lo que se ap ende en el mismo con ex o
T ans e encia de con ex o
Se aplica lo que se ap ende en un con ex o no muy di e en e.
T ans e encia p óxima
Se ans ie e conocimien o p e io a si uaciones simila es,
pe o no idén icas.
In e con ex ual o
anscon ex ual
T ans e encia lejana
Se ans ie e conocimien o p e io a si uaciones o con ex os
muy di e en es
T ans e encia c ea i a
La ans e encia a más allá de la analogía simple y se c ean
(o u ilizan) nue os concep os
Figu a 1-2. Ni eles de ans e encia de Haskell (2001).
Las c í icas y desacue dos susci ados en la li e a u a ace ca de los esul ados
ob enidos se deben, según Ba ne y Ceci (2002), a la al a de una es uc u a común en el
deba e sob e la ans e encia, y ambién a un acaso en la especi icación de di e en es
dimensiones que se ían ele an es pa a de e mina si e ec i amen e exis e ans e encia y
en qué ipo de si uaciones ocu e és a. Es e hecho hace que es imen necesa ia una
axonomía de la ans e encia. En es e sen ido, indican la di icul ad de alcanza un acue do
espec o a lo qué signi ica ans e i o sob e qué se en iende po nue o con ex o. Así, su
axonomía p esen a dos pila es undamen ales: el con enido de la ans e encia y el
con ex o de ans e encia. El con enido de la ans e encia consis e en a) la especi icidad-
gene alidad del conocimien o y/o habilidad ap endida; b) la na u aleza del desempeño que
se á e aluado; c) la demanda de memo ia de la a ea. El con ex o de la ans e encia, es o
es, dónde y cuándo ocu e és a, incluye seis aspec os: 1) El ámbi o de conocimien o; 2) el
con ex o ísico; 3) el con ex o empo al; 4) el con ex o uncional; 5) el con ex o social; 6)
la modalidad. La igu a 3 ilus a las di e en es dimensiones de es a axonomía de la
ans e encia (ce cana-lejana).
Las habilidades ap endidas, se e ie en a la especi icidad-gene alidad del con enido;
po ejemplo, un p ocedimien o especí ico pod ía se la u ilización de un algo i mo pa a
esol e un p oblema; una o ma de ep esen ación pod ía se el uso de un diag ama

26
je á quico y un p incipio gene al pod ían se habilidades me a-cogni i as o p incipios de
es adís ica (Ba ne y Ceci, 2002).
Con enido. ¿Qué se ans ie e?
Habilidades ap endidas
Desempeño
Memo ia
P ocedimien os
Velocidad
Ejecución
Rep esen ación
P ecisión
Reconocimien o y
ejecución
P incipios
Abo daje
E ocación
econocimien o y
ejecución
Con ex o: ¿cuándo y dónde ocu e la ans e encia?
Ce ca Lejos
Ámbi o de
conocimien o
Con ex o ísico
Con ex o
empo al
Con ex o de
uncionamien o
Con ex o social
Modalidad
Ra ón s. Ra a
En la misma clase
en la escuela
En la misma
sesión
Ámbos
académicos
Ambos indi idual
Ambos en el
mismo o ma o
Biología s.
Bo ánica
En di e en es
clases en la
escuela
Al día siguien e
Ámbos
académicos pe o
no e alua i os
Indi idual s. En
pa eja
Mismo o ma o,
di e en e ipo
(esc i o s
elección múl iple)
Biología s.
Economía
De la escuela a un
labo a o io
T anscu idas
a ias semanas
Académico s.
Llena o mula ios
Indi idual s.
pequeños g upos
Lec u a s.
examen o al
Ciencias s.
His o ia
De la escuela a
casa
T anscu idos
a ios meses
Académico s. Un
cues iona io
in o mal
Indi iduales s.
g andes g upos
Lec u a s.
examen p ác ico
Ciencias s. A e
De la escuela a la
ida co idiana
T anscu ido un
año
Académico s. Un
juego
Indi idual s.
sociedad
Lec u a s.
ejecución
Figu a 1-3. Taxonomía de la asn e encia de Ba ne y Ceci (2002).
El con enido de la ans e encia es la na u aleza del desempeño, es deci , de qué
o ma se p e é que se p oduzca la conduc a espe ada. Ba ne y Ceci conside an que una
conduc a ap endida puede ans e i se en é minos de elocidad de ejecución, p ecisión o
calidad de la ac i idad. Añaden que la mayo ía de los es udios se cen an en obse a con
cuán a p ecisión o elocidad de ejecución se p oduce una conduc a pa a conside a la una
e idencia de la ans e encia, pe o que se conoce poco del ipo de abo daje que se pone en
juego.
La e ce a dimensión del con enido se e ie e al ipo de memo ia que demanda la
ealización de la a ea, es deci , si la a ea de ans e encia equie e que la pe sona
solamen e ejecu e una ac i idad o si la a ea implica algún ipo de selección de la conduc a
¿Qué se en iende po ans e encia? 27
y luego su aplicación o si la selección implica algún ipo de es imación de cuál es el
abo daje ap opiado pa a esol e la.
Del mismo modo, especi ican el con ex o, a ando de esponde a las p egun as
sob e cuán lejos o ce ca se encuen an, es deci , dónde y cuándo ocu e la ans e encia.
Pa a ello iene en cuen a el ámbi o de conocimien o, el con ex o ísico, el con ex o
empo al, el con ex o uncional, el con ex o social y la modalidad de dicho con ex o (Ren ,
2013) (Gagné, 1966; Rebello, Cui, Benne , Zollman y Ozimek, 2007).
En la siguien e igu a 4 se p opone, a modo de sín esis, una compa a i a en e los
dis in os ipos de ans e encia que des acan en la educación.
Campione e al., (1995), en e o os, no en cla o que una sola eo ía pueda cub i
oda la gama de enómenos a los que el é mino as e encia puede hace e e encia o a los
que se ha sido aplicado. No obs an e, la co ien e cogni i a compa e muchos pun os
comunes sob e la pe spec i a de la ans e encia. En p ime luga , la su icien e o mación
de ep esen aciones abs ac as es una condición necesa ia pa a la ans e encia (de mane a
que las p opiedades y elaciones se puedan econoce en las si uaciones iniciales y en las
de ans e encia), concebida la abs acción como un p oceso de descon ex ualización
(Fuchs, Mock, Mo gan, y Young, 2003; Gen ne , 1983; Singley y Ande son, 1989). En
segundo luga , las explicaciones pa a que se p oduzca la ans e encia se basan en la
in a iancia de ep esen aciones men ales simbólicas psicológicas (Bassok y Holyoak,
1993; Nokes, 2009; S e nbe g y F ensch, 1993).
Po úl imo, la ans e encia se p oduce si las ep esen aciones que la pe sona
cons uye a pa i del ap endizaje inicial y las si uaciones de ans e encia son idén icas,
hay solapamien o, o pueden elaciona se a a és de la ca og a ía (Gen ne , Loewens ein y
Thompson, 2003; Gick y Holyoak, 1983, 1987; Mo ley, Lawless y B idgeman, 2005;
No ick, 1988; Reed, 1993). Po lo an o, desde un pun o de is a cogni i o, la ans e encia
se ca ac e iza como "el conocimien o adqui ido a pa i de una a ea o si uación que se
puede aplica a una di e en e" (Nokes, 2009, p. 2).
28
Figu a 1-4. Tipos de ans e encia según di e sos au o es.
T ans e encia
Explicación
Au o /a
T ans e encia posi i a
El ap endizaje p e io acili a la esolución del nue o p oblema.
No ick
(1988)
T ans e encia nega i a
El ap endizaje o la expe iencia p e ia ,di icul ano en o pece o o nue o ap endizaje.
T ans e encia la e al o
T ans e encia ce cana
T ans e encia que se p oduce cuando el conocimien o adqui ido p e iamen e y la
nue a a ea o p oblema son de la misma na u aleza y ni el de di icul ad.
Gagné
(1971
Roye (1978)
T ans e encia e ical
T ans e encia que iene luga cuando el conocimien o p e iamen e adqui ido pe mi e
comp ende una nue a a ea de na u aleza o ni el de complejidad dis in o al del
ap endizaje p e io.
T ans e encia especí ica
T ans e encia en e si uaciones con elemen os simila es e iden es.
Roye
(1978)
T ans e encia no
especí ica
T ans e encia en e si uaciones que no compa en elemen os simila es e iden es.
T ans e encia li e al
Aplicación de conocimien os y habilidades de o ma exac a y comple a.
(B oudy,
1977)
T ans e encia igu a i a
Aplicación de conocimien os y habilidades po medio de la analogía en base al
conocimien o in e p e a i o
T ans e encia de escaso
eco ido (low ans e )
T ans e encia basada en la au oma ización, que se consigue g acias a la in ensidad y
a iedad de la eje ci ación de una conduc a y su pos e io u ilización en un nue o
con ex o.
Salomon y
Pe kins
(1989)
T ans e encia de la go
eco ido (high ans e )
T ans e encia basada en la abs acción conscien e de p incipios gene ales adqui idos
en un con ex o pa a esol e p oblemas de o o con ex o. Se ha p oducido la
descon ex ualización conscien e y me acogni i amen e guiada llegando a la
abs acción del concep o; la acumulación de p ác ica a iada y lexible en con ex os
a iados amplía y elaciona es os a odas las si uaciones. Es ans e encia de las
pe sonas expe as.
T ans e encia analógica
Van Lehn, ,
(1990).
T ans e encia
in acon ex ual
T ans e encia den o del mismo con ex o (especí ica,
de aplicación, de con ex o, p óxima).
Haskell
(2001)
T ans e encia
anscon ex ual
T ans e encia en o o con ex o (lejana, c ea i a).
T ans e encia ce cana
T ans e encia en e con ex os con g an simili ud según de e minadas dimensiones
(ámbi o de conocimien o, con ex os: ísico, empo al, uncional, social y modalidad)
Ba ne y
Ceci (2002)
T ans e encia lejana
T ans e encia en e con ex os con poca simili ud según de e minadas dimensiones
(ámbi o de conocimien o, con ex os: ísico, empo al, uncional, social y modalidad).
T ans e encia de éplica
y aplicación
G ado en que una conduc a se epi e en nue as si uaciones.
Schwa z
e ., al
(2005)
T ans e encia como
p epa ación pa a un
nue o ap endizaje
La ans e encia es una nue a opo unidad pa a desa olla habilidades y adqui i
conocimien os.
T ans e encia de clase A
T nas e encia de clase B
La ans e encia ealizada po una pe sona su icien emen e p epa ada.
La ans e encia que u iliza ecu sos de ap endizaje y de o os disponibles en el
con ex o de lap ueba de ans e encia.
DiSessa y
Wagne
(2005)
T ans e encia de ipo C
La ans e encia que depende de con ex o y a a de esponde a la cues ión de cómo
u ilizan las pe sonas el conocimien o p e io.
T ans e encia ho izon al
T ans e encia que se p oduce cuando se ex ae explíci amen e la in o mación del
enunciado de un p oblema y és a ac i a di ec amen e algún esquema de p oblema
comple o (que albe ga odas las he amien as necesa ias pa a la esolución del
p oblema) con enido en la memo ia.
Rebello
e al. (2007)
T ans e encia e ical
T ans e encia que se p oduce cuando se econocen las ca ac e ís icas de la si uación
que in ui i amen e ac i an elemen os de su conocimien o p e io, pe o al con a io
que en el ans e ho izon al, en es e ipo de ans e , la pe sona no posee un
esquema comple o pa a asocia al p oblema a esol e . Cons uye, en onces, un
modelo men al ‘in si u de la si uación, median e sucesi as cons ucciones y
decons ucciones de asociaciones en e la in o mación del enunciado y su
conocimien o disponible.
T ans e encia emo a
( emo e ans e )
T ans e encia e e ida a la aplicación de concep os y es a egias en di e en es
con ex os as un pe iodo la go de iempo.
Chem y
Klah
(2008)
¿Qué se en iende po ans e encia? 29
1.5 Ac o -o ien ed T ans e (AOT)
Dis in as in es igaciones han des acado que la cues ión de la ans e encia del
ap endizaje o ma pa e de la p oblemá ica gene al de las eo ías del ap endizaje (De Co e,
2003; Ha ano y G eeno, 1999; Toumi-G öhn, T. y Enges öm 2003). En es e sen ido, la
noción de ans e encia a ia á según la concepción gene al de ap endizaje que se adop e.
Teniendo en cuen a pun os de is a ac uales elacionados con las eo ías
sociocogni i as, sin desca a los an e io es, Loba o (2003) plan ea el modelo de
ans e encia o ien ada al ac o , ac o -o ien ed ans e (AOT) donde se de ine la
ans e encia como la gene alización del ap endizaje, en endida és a como la in luencia de
las ac i idades p e ias de la pe sona que ap ende en su ac i idad en si uaciones nue as
(Loba o, 2008). Desde es e modelo, en la in es igación se in en a iden i ica cómo los y las
pa icipan es en una a ea de ans e encia, es deci , las y los agen es, en di e en es
si uaciones como simila es o di e en es, desplazando así el én asis de de iniciones
cen adas en quien in es iga y/o en la pe sona expe a hacia de iniciones cen adas en cada
es udian e. Es a nue a pe spec i a concibe la ans e encia como dinámica y iene sus
an eceden es en Hø ding (1892) y La e, 1991).
Es a in es igado a (Loba o, 1996) pudo demos a que si había ans e encia desde
el pun o de is a del alumnado en una in es igación sob e el es udio de algeb a y unciones
lineales, mien as que no se había obse ado ans e encia cuando el pun o de is a
u ilizado había sido el de la pe sona expe a; a pesa de que el alumnado in es igado había
ob enido pun uaciones al as en las a eas iniciales de ap endizaje elacionadas con la
pendien e de los obje os, como escale as y líneas que ma can las escale as.
En la ci ada in es igación de Loba o (1996) se u ilizaba una unidad didác ica que
comenzaba con una ex ensa explo ación de escale as eales, y culminaba con en el uso de
ma emá icas de "escale as" pa a de e mina la pendien e de una línea y o os obje os.
Se encon ó que una alumna y un alumno espondie on que iban a encon a la
pendien e di idiendo el aumen o de la "ca e a ( un)" con espec o a la longi ud o anchu a.
Ja ek eligió la al u a de la escale a como la subida y la longi ud de la pla a o ma como la
ca e a ( un). Po el con a io, Alison se cen ó en la escale a y halló la subida como la
longi ud de una diagonal que se supe pone en e dos peldaños en la escale a y la ca e a
como la anchu a de la escale a. Aunque pa e de dichas ejecuciones no ue on co ec as, en
ambos casos, habían gene alizado sus expe iencias de la unidad didác ica hacia la a ea de
ans e encia a a és de su conexión de la pendien e con imágenes de escale as. En
30
conc e o, las opciones de Ja ek de ascenso y ca e a se encon aban basadas en un paso de
la escale a mos ado en una diaposi i a. Alison explicó que pa a encon a la pendien e,
enía que "medi los pasos", lo que indicaba que ella pe cibía anclajes a o dances pa a
"p esen a una escale a/escalina a " di ec amen e con los peldaños de la escale a.
En o a in es igación ealizada po Loba o (2006) de nue o ol ió a demos a se la
conexión en e el ipo de in e p e aciones ealizadas po el alumnado en cuan o a la
ecuación lineal y el a amien o didác ico u ilizado en la ins ucción.
El análisis de la ans e encia desde la pe spec i a de ans e encia o ien ada al
ac o (AOT) e eló e idencia signi ica i a de la ans e encia y de cómo el sis ema de
iluminación de nue as si uaciones pod ía es a conec ado con imágenes que el alumnado
ha adqui ido en si uaciones an e io es. La búsqueda de e idencia de la ans e encia AOT
hizo necesa io cambia la pe spec i a de in es igación desde la conside ación de la
comp ensión desde el pun o de is a de la pe sona expe a sob e la pendien e hacia la
conside ación del ipo de concepciones que los y las es udian es pod ían habe desa ollado
eniendo en cuen a el a amien o didác ico aplicado.
Desde es a pe spec i a, el éxi o o el acaso de la ans e encia en cualquie a ea
dada es inma e ial: lo que impo a es comp ende cómo las y los es udian es hacen
conexiones en e el ap endizaje que u o luga en si uaciones an e io es con las nue as
si uaciones donde se encuen an aho a.
La ans e encia es un p oceso dinámico en el que las elaciones y simili udes se
cons uyen de nue o en el con ex o de ans e encia y no se anspo an simplemen e a
pa i del con ex o de ap endizaje. Po ello, Loba o p opone p egun a se qué elación de
simili ud se plan ea y cómo es apoyada po el ambien e.
Pe o, el modelo de Loba o y o os pun os de is a ecien es de la ans e encia, an
más lejos al conside a ambién las in luencias sociocul u ales en la ans e encia (Beach,
1999; G eeno e al., 1993; La e, 1991; La e y Wenge , 1991), ya que no es simplemen e
algo que una pe sona hace de modo aislado, sino que más bien depende de ac o es
ambien ales y sociales. El ap endizaje es si uado y, po lo an o, consis e en el p oceso de
con e i se en pa icipan e de una comunidad p ác ica y el conocimien o se encuen a
ligado a la si uación de pa icipación en esa comunidad p ác ica. En es e sen ido, lo que se
ans ie e no es conocimien o sino pa ones de pa icipación a a és de di e en es
comunidades p ác icas (G eeno, 1997).
Loba o (2003) esal a ocho dimensiones a ene en cuen a pa a pode con as a la

¿Qué se en iende po ans e encia? 31
pe spec i a adicional y la ans e encia o ien ada al ac o : (1) la na u aleza del
conocimien o y la ep esen ación del mismo, (2) el pun o de is a de quien iden i ica dicha
simili ud de semejanza, (3) lo que se ans ie e, (4) los mé odos u ilizados pa a el es udio
de la ans e encia y (5) los obje i os y me a, buscados.
Dimensión
T ans e encia adicional
T ans e encia AOT
1. De inición
La aplicación de los conocimien os adqui idos
en una si uación a una nue a si uación.
La cons ucción pe sonal de las elaciones de
simili ud en odas las ac i idades, (es deci , a a de
e las si uaciones desde su p opia pe spec i a).
2. Pe spec i a
Pe spec i a del obse ado /a (de la pe sona
expe a)
Pe spec i a del ac o (del alumnado).
3. Mé odo de
in es igación
Quien in es iga buscamejo a el endimien o
en e el ap endizaje y las a eas de
ans e encia.
Quien in es iga busca la in luencia de la ac i idad
an e io sob e la ac i idad ac ual y cómo los ac o es
in e p e an si uaciones cómo simila es
4. Cues iones de la
in es igación
¿Se ob u o la ans e encia? ¿Qué condiciones
acili an la ans e encia?
¿Qué elaciones de simili ud se c ean en e el
ap endizaje y la ans e encia? ¿Qué ha sido
a o ecido po el ambien e?
5. Ta eas de
ans e encia
Ap endizaje de pa es y las a eas de
ans e encia compa en ca ac e ís icas
es uc u ales, pe o se di e encian po las
ca ac e ís icas supe iciales.
Quien in es iga econoce que lo que las pe sonas
expe as conside an una ca ac e ís ica supe icial
puede /se una es uc u a p o unda pa a un o una
es udian e.
6. Localización de la
in a ianza
Las medidas de ans e encia son un enómeno
de ca ác e psicológico.
La ans e encia se dis ibuye a a és del plano
ma e ial, men al, social, y cul u al.
7. P ocesos de
ans e encia
La ans e encia se p oduce cuando dos
ep esen aciones men ales simbólicas son
idén icas o se supe ponen, o si se puede
con iui una co espondencia en e ellas.
Los múl iples p ocesos, como una iniciación a las
posibilidades y limi aciones, la asimilación del
lenguaje, el uso, y el "cen a se en enómenos," lo
que se denomina ans e encia in luenciada.
8. Me á o a
Aplicación es á ica de conocimien os.
P oducción dinámica de iden idades.
Figu a 1-5. Supues os eó icos de la T ans e encia AOT en compa ación con la
ans e encia adicional (Loba o, 2003).
G eeno e al., (1993) ede inie on la ans e encia pa a hace la consis en e con la
pe spec i a de la cognición si uada, cen ándose en las cues iones de la in a iancia y en los
p ocesos al e na i os de la ans e encia (dimensiones 6 y 7 en la igu a 1-5). Bajo es a
ede inición, la ans e encia implica una a monización de las posibilidades y limi aciones
de los a e ac os ma e ialesy en o nos sociales, que son in a ian es en e el ap endizaje y la
ans e encia de las si uaciones. Ambas pe spec i as cogni i as, la AOT y la co ien e
p incipal sob e la ans e encia, en ienden que la base pa a la ans e encia es la simili ud
psicológica, en luga de las ca ac e ís icas simila es ísicas o de los en o nos de abajo.
32
Sin emba go, la pe spec i a AOT pone mayo én asis en la na u aleza de la
in e p e ación del conocimien o, conside ada ambién en muchos es udios ealizados en el
ma co de la co ien e p incipal de la pe spec i a cogni i a. La AOT dis ingue en e el
pun o de is a del ac o /ac iz y el de la pe sona obse ado a. Adop a el pun o de is a de
la pe sona obse ado a implica p ede e mina la es a egia en pa icula , es deci , el
p incipio o heu ís ico que el alumnado debe demos a pa a que su abajo, en una a ea
nue a, pueda conside a se como ans e encia. Pa a que la o el es udian e ealice
co ec amen e las a eas que una pe sona obse ado a in e p e a como es uc u almen e
simila es a las a eas de ap endizaje inicial, se e ec úan in e encias pa a que el o la
es udian e iden i ique la misma simili ud que la pe sona obse ado a.
Cuando se oma el pun o de un de is a del ac o /ac iz, la pe sona in es igado a no
busca la ans e encia en e a un obje i o cogni i o conc e o o de conduc a, sino que
in es iga los casos en que las expe iencias p e ias del alumnado con o man su ac i idad en
la si uación de ans e encia, aunque el esul ado no sea un endimien o no ma i o o
inco ec o.
Con el in de p opo ciona es e ipo de in o mación, la pe spec i a AOT se apoya
en mé odos cuali a i os que le pe mi en iden i ica la na u aleza del azonamien o del
alumnado en si uaciones de ans e encia y su comp ensión de las ac i idades de
ap endizaje an e io es, de modo que la pe sona in es igado a puede así iden i ica lo que se
ans ie e desde el pun o de is a del ac o /ac iz (Loba o, 2008). A menudo, se u ilizan los
códigos induc i os que eme gen de los da os en luga de u iliza un código de inido a
p io i, ya que los signi icados pa icula es que el alumnado desa olla du an e la
ins ucción son a menudo inespe ados.
Un obje i o impo an e de la in es igación gene al de la ans e encia cogni i a es
documen a su ocu encia —o explica su acaso—, que incluye la in es igación de los
ipos de conocimien o que la mejo an, las condiciones que la a o ecen o di icul an y los
mé odos de enseñanza que la apoyan (Bu le , 2010; Gen ne , e al., 2003; Ri le-Johnson,
2006). Po el con a io, la in es igación AOT supone que las pe sonas egula men e
gene alizan sus expe iencias de ap endizaje, y encuen an comp ensible la al a de
ans e encia desde la pe spec i a cogni i a con encional, pues o que muchas
in es igaciones demues an que las pe sonas no a as a a ez ealizan las mismas
conexiones que las pe sonas expe as (B ans o d e al., 2000). Po consiguien e, el obje i o
¿Qué se en iende po ans e encia? 33
de los es udios de AOT no es ob ene la ans e encia —conside ada un hecho—, sino más
bien comp ende la na u aleza in e p e a i a de las conexiones que cons uyen las pe sonas
en e si uaciones de ap endizaje y de ans e encia, así como los p ocesos socialmen e
si uados que dan luga a esas conexiones (Loba o, 2012).
La pe spec i a AOT implica abandona un es ánda p ede e minado pa a juzga la
exis encia de la ans e encia y los supues os de la pe sona obse ado as con espec o a la
dis inción en e la supe icie y la es uc u a, ya que lo que cons i uye una ca ac e ís ica de
supe icie pa a una pe sona expe a pod ía supone una complejidad es uc u al pa a la
pe sona p incipian e, a lo la go de una dimensión que no es aba p e is a du an e el p oceso
de diseño de las a eas (Loba o, 2012).
1.6 La eo ía de uzzi- ace (huella di usa)
El uso de es a egias no siemp e es conscien e; en ocasiones puede se de g an
impo ancia el papel de los p ocesos no conscien es y ela i amen e au omá icos en el
uncionamien o cogni i o en gene al y en la esolución de p oblemas en pa icula . En es e
sen ido, la eo ía de la huella di usa, o ussy- ace heo y (B aine d y Reyna, 1993; Wol e,
Reyna y B aine d, 2005), plan ea que la ep esen ación de de e minada in o mación en la
memo ia puede a ia en un con inuo que a desde una huella di usa, que conse a sólo
algunas ca ac e ís icas esenciales, a una huella li e al y p ecisa. Las pe sonas somos
capaces de gene a y abaja con ep esen aciones en o ma de esencias, ep esen aciones
di usas, y sólo comp ende los aspec os undamen ales de una de e minada in o mación o
expe iencia. En la o mación de ales ep esen aciones aplicamos una egla de educción a
la esencia, po la que des ilamos de la in o mación aquellos pa ones y aspec os
undamen ales, conse ando es as esencias e igno ando los de alles más p ecisos. Es as
ep esen aciones en o ma de esencias (gis ) pueden elabo a se en di e sos ni eles de
abs acción que se si úan en un con inuo que a de lo más esencial y di uso a lo más li e al.
Así, de una misma in o mación se pueden ob ene ep esen aciones independien es, unas
más enden es a lo di uso, o as más a lo li e al. El sis ema cogni i o iende a p e e i
ope a con ep esen aciones o huellas di usas cuando és as es án disponibles, po que las
ep esen aciones di usas —o esenciales— no sólo di ie en de las li e ales en la can idad de
de alles que incluyen y en el ni el de abs acción que implican, sino ambién en o os
aspec os impo an es, que son de más ácil acceso y equie en menos es ue zo po pa e del
34
sis ema cogni i o, a la ez que esul an ambién menos ulne ables al ol ido y a la
in e e encia que las ep esen aciones li e ales. Sin emba go, la ejecución de espues as
p o oca in e e encias en el p ocesamien o que sigue a esa emisión debidas a la apidez del
p ocesamien o en la emisión y a que el eedback puede p oduci o os ipos de in o mación
(Wol e e al., 2005).
Desde la eo ía de la huella di usa (Wol e e al., 2005) cab ía un ipo de
ans e encia que u ie a simili ud li e al con el con ex o de ap endizaje (és e pod ía se el
caso de la aplicación de algo i mos donde pa es de una ecuación se an sus i uyendo po
los núme os co espondien es), y además una ans e encia basada en las ep esen aciones
esenciales (incluida el ni el bajo de la ans e encia analógica) que, sin llega oda ía a se
ep esen aciones es uc u ales abs ac as, posibili a ían un ipo de ans e encia. La
ep esen ación de lo esencial no es lo mismo que un esquema abs ac o o ep esen ación
es uc u al; el con enido esencial cap u aen una o ma con usa, inexac a, pe o acili a
puen es a a és de con ex os que di ie en desde el ni el supe icial-li e al has a llega al
ni el abs ac o. La capacidad de econoce el con enido simila esencial –gis – de los
con ex os apa en emen e di e en es es undamen al pa a la ans e encia analógica.
Desde la eo ía AOT se analizan los indicios que el alumnado obse a conec ados o
asociados a una ep esen ación, bien po que o man pa e de ella, bien po que es u ie on
p esen es en el con ex o en que se cons uyó la ep esen ación. Cuan os menos indicios
haya más di ícil se á la ecupe ación y, a su ez, cuan os más indicios es án p esen es en
ambos con ex os, más p obable esul a á és a, pues o que se ace ca á más a una si uación
de econocimien o que a una a ea de e ocación. De es e hecho esul a que un mayo
núme o de con ex os de ap endizaje y dis in as pe spec i as con ibuyen a un mayo
ecue do.
El es ado emocional en el que se encuen a el alumnado ambién a ec a al momen o
de ecupe ación, cuan o más semejan es sean en ambos con ex os mayo se á la
ecupe ación.
1.7 La na u aleza on ológica del conocimien o ans e ible
La li e a u a sob e la ans e encia ha solido adop a un en oque enomenológico,
cen ado en la explo ación de p egun as sob e si la ans e encia acon ece ealmen e y
cuándo sucede, y en es e supues o, en cómo econoce el enómeno. Po ello, en los
¿Qué se en iende po ans e encia? 41
ma e ia y de conocimien os pedagógicos, p o oca un empleo mínimo o inexis en e
de iempo en el ap endizaje-enseñanza de es a egias en p o undidad, y como
consecuencia de ello, se p oduce una supe icialidad en el a amien o de la ma e ia
“menciona s. enseña ” p oduciendo desánimo en el alumnado.
5. Pa ece exis i un acue do áci o en e docen es y es udian es, de modo que las
cali icaciones al as pa ecen depende de que las a eas se ealicen adecuadamen e
—a menudo mecánicamen e y descon ex ualizadas—, y no an o del es ue zo
es a égico (Ca pin e o, 2002).
6. La elación que se es ablece en e los con enidos de un á ea y o a es mínima, así
como las elaciones en e los concep os y los p ocedimien os (Dienes y Be y,
1997). Po es e mo i o, el alumnado puede comple a sus ciclos educa i os
ob eniendo un diploma que lo ac edi e, sin sabe el alo eal de sus ap endizajes.
7. Los conocimien os no se encuen an si uados en los con ex os, y si exis en, a eces
es a ni el anecdó ico, sin des aca la ele ancia en el ap endizaje pa icula .
8. El alumnado no iden i ica como simila es dos si uaciones dis in as, no aplica un
mé odo de esolución en un con ex o di e en e al ap endido, po que los con enidos
se p esen an de o ma aislada, en gene al ajenos a la ida co idiana.
9. La al a de mo i ación y una ac i ud pasi a hacia el ans e encia (Ca pin e o y
Bel án, 2005).
10. El alumnado no iene una pe cepción de la exis encia de ans e encia po pa e
del p o eso ado en el momen o del ap endizaje (Ca pin e o, 2002).
11. El alumnado no c ee que el concep o cien í ico es ele an e, y
po consiguien e, no a a de de e mina lo, po que no e ningún ma co concep ual
pe inen e, o bien po que c ee que el concep o sí es ele an e pe o no puede
de e mina la in o mación necesa ia pa a lle a a cabo la ans e encia; el con ex o
de e mina la in o mación inco ec a.
1.9.2 ¿Qué condiciones a o ecen la ans e encia?
Las dis in as in es igaciones sob e la ans e encia ambién han ayudado a
isualiza las condiciones que la a o ecen.
Según Alexande y Mu phy (1999) los siguien es ac o es a o ecen la
ans e encia:

42
- Dispone de un cue po de conocimien o ico y con ex ualizado, jun o con un
epe o io de es a egias bien es ablecido. P esen a los concep os en múl iples
con ex os inc emen a las posibilidades de la ans e encia. Es o implica que no debe
limi a se a p esen a un concep o en un á ea de e minada, sino que deben a o ece
las in e elaciones con o as á eas (B ans o d y Schwa z, 1999; Gick y Holyoak,
1983). Conoce los p incipios básicos de los conocimien os y del ma e ial. Es a es
una a ea de cada docen e, quien debe domina su á ea de conocimien o pa a sabe
selecciona cuáles son los conocimien os p incipales y enseña los de modo
adecuado, e i ando cae en la supe icialidad.
- Modela y p emia la ans e encia. El p o eso ado debe se modelo de
ans e encia, pa a que así el alumnado sepa en qué consis e y la desa olle. En el
aula deben p opone se ac i idades que a o ezcan la ans e encia, y és a ha de se
iden i icada y econocida.
Pa a B own (1990) las condiciones adecuadas equie en:
- Mos a al alumnado la semejanza en e un p oblema y o o.
- Di igi la a ención del alumnado hacia la es uc u a undamen al de ambos
p oblemas.
- Familia iza al alumnado con el dominio del p oblema o p oblemas.
- P esen a ejemplos acompañados de eglas, especialmen e los gene ados po el
p opio alumnado
- Con ex ualiza socialmen e el ap endizaje, donde los p incipios, las explicaciones y
las jus i icaciones es én con as adas, y c eadas.
Según Cox (1997), la ans e encia debe se enseñada y ap endida, pa a lo cual el
p o eso ado debe de es a p epa ado.
Haskel (2001), po su pa e, p opone once p incipios pa a alcanza la ans e encia:
1. Adqui i g an can idad de conocimien o o al o ni el de expe iencia en el á ea en
que la que se a a ealiza la ans e encia.
2. Adqui i conocimien os undamen ales en o as ma e ias, pues a o ece los enlaces
con el á ea p incipal.
3. Comp ende qué es la ans e encia y cómo ope a.
¿Qué se en iende po ans e encia? 43
4. Conoce la his o ia de las á eas en las que se busca la ans e encia. Si no se posee
al menos una isión gene al del á ea a la que se ealiza la ans e encia, és a puede
acasa .
5. Tene mo i ación o ene “espí i u de ans e encia”.
6. Desa olla un es ilo o modo de codi icación del ap endizaje en é minos de
ans e encia, pues el modo de codi icación de e mina la mane a de ecupe a la.
7. C ea cul u as de ans e encia que la apoyen.
8. Comp ende la eo ía undamen al del á ea a la que se ans ie e.
9. Realiza p ác icas y hace eje cicios. Pa a que la ans e encia c ea i a ocu a es
undamen al habe p ac icado p e iamen e.
10. Deja iempo pa a el desa ollo del ap endizaje. La ans e encia signi ica i a
equie e un pe iodo de incubación, pues no ocu e de o ma ins an ánea.
11. Obse a y lee los abajos de las pe sonas que han sido ejemplos y maes as de la
ans e encia del pensamien o.
O os es udios ecogen pa e de las condiciones ya expues as y algunas o as; así
des acan:
1. La mo i ación y la ac i ud son ac o es disposicionales, po enciado es y
acili ado es de la ans e encia. Además del ya ci ado es udio de Haskell
(2001), lo ema can ambién las in es igaciones (He old, Da is, Fedo , y
Pa sons, 2002). Es o se p oduce cuando el alumnado pe cibe la ans e encia en
el p oceso de enseñanza. Cuan o mayo sea la pe cepción de la ans e encia en
el p oceso de enseñanza mayo se á la disponibilidad hacia la misma
(Ca pin e o, 2006).
2. Un g ado su icien e de ap endizaje o iginal (Lee, 1998).
3. La o ma en que se adquie en la in o mación (Judd, 1908; (Ca pin e o, 2002),
el ap endizaje y la comp ensión (Chi, Slo a, y DeLeeuw, 1994).
4. La in o mación p esen ada en el con ex o de solución de p oblemas pa ece se
más u ilizada de o ma espon ánea que la in o mación p esen ada en o ma de
simples hechos (Lockha , Lamon y Gick, 1988).
5. Un én asis en la me acognición (B own, 1997; Fla ell, 1976) ayuda al alumnado
a igila , e lexiona y mejo a sus es a egias pa a el ap endizaje, la
44
esolución de p oblemas y la ans e encia (Whi e y F ed ickson, 1998) 6. El
uso de ejemplos conc e os de ap endizaje y ans e encia puede mejo a el
ap endizaje inicialmen e po que pueden se elabo ados y ayudan al alumnado
a ap ecia la pe inencia de la nue a in o mación (B ans o d y Schwa z,
1999); sin emba go, cuando hay demasiada in o mación con ex ualizada és a
puede impedi la ans e encia po que la in o mación es á excesi amen e
inculada a su con ex o o iginal (Gick y Holyoak, 1980).
5. 7. La p esen ación de concep os en múl iples con ex os puede aumen a su
pos e io ans e encia (B ans o d y Schwa z, 1999; Gick y Holyoak, 1983),
así como obse a en o nos de p oblemas desde múl iples pe spec i as
(B ans o d y Schwa z, 1999).
8- Ayuda a las pe sonas a ep esen a los p oblemas y las soluciones ap opiadas a
los ni eles de abs acción ayuda a la ans e encia posi i a e i ando la excesi a
con ex ualización (Chen y Daehle , 1989; Singley y Ande son, 1989).
1.10 Inno ación y e icacia
Schwa z e al. (2005) después de analiza di e en es ejemplos de ans e encia de
acue do al ipo de conocimien o que es á en juego, indican que pueden es ablece se dos
dimensiones de ap endizaje en las si uaciones de ins ucción: una dimensión de e iciencia
(dimensión ho izon al) y una dimensión de inno ación (dimensión e ical). En cada una
de ellas hay di e en es p ocesos po lo que no deben conside a se excluyen es.
La e iciencia iene como núcleo cen al el g ado de consis encia en el que el éxi o
es máximo y se minimiza el acaso. Las pe sonas que con al a e iciencia pueden ecupe a
ápidamen e y aplica con p ecisión adecuada los conocimien os, habilidades pa a esol e
un p oblema o comp ende una explicación. Es a dimensión si e pa a si uaciones es ables
pe o, en cambio, no lo es an o pa a si uaciones cambian es como las del mundo eal. En
los ejemplos ípicos se incluyen pe sonas expe as que ienen una g an expe iencia con
cie o ipo de p oblemas. La e iciencia pa ece se impo an e en odos los dominios po que
incluye un al o g ado de cohe encia, maximiza el éxi o, minimiza el acaso y libe a
capacidad de a ención pa a ealiza o as a eas. La mayo ía de las in es igaciones en
educación y o mación se han cen ado p incipalmen e en los esul ados de e iciencia
(Schwa z, e al., 2005). La mejo mane a de aumen a la e iciencia es median e pa es
¿Qué se en iende po ans e encia? 45
p ác icos y abajando componen es de a eas pa a que esul en u ina ias y áciles de
esol e más a de. No obs an e, exis e bas an e li e a u a donde se obse a que pe sonas
muy expe as en cie os emas no lo son an o cuando el ipo de p oblemas que iene que
a on a du an e su ida no son los habi uales. La ins ucción que conduce a la
ans e encia e icien e es impo an e, pe o ambién puede el es ilo docen e puede p omo e
lo que Schwa z e al., (2012) denominan "exceso de celo" de ans e encia,
o e zealous ans e (OZT), cuando las pe sonas se cen an p incipalmen e en e lo iejo
en lo nue o po que las iejas u inas han enido éxi o an es. Como esul ado, OZT puede
obs aculiza las opo unidades de ap endizaje nue o, y es o puede disminui la
ans e encia adap a i a más adelan e. Una u ina de enseñanza común es el mé odo " eo ía
y p ac ica" (T y P). Richland, S igle , y Holyoak (2012) sos ienen que un uso excesi o de
T y P en las escuelas puede ayuda a explica po qué sus esul ados en ma emá icas son
ela i amen e malos en Es ados Unidos en las compa aciones in e nacionales en el
ap endizaje de ma emá icas.
Po o o lado, la inno ación consis e en la c eación de algo nue o a pa i de una
combinación o iginal de elemen os nue os y iejos. Po ejemplo, exis en pe sonas que son
capaces de eo ganiza su mane a de azona pa a esol e nue os p oblemas o comp ende
nue a in o mación (Schwa z e al., 2005). La inno ación supone la dimensión e ical y
las pe sonas con una ele ada dimensión en inno ación, pueden eo ganiza sus en o nos y
su o ma de pensa pa a mejo a an e nue os ipos de p oblemas o de in o mación. La
inno ación a eces equie e un iempo más ex enso y debe libe a se p e iamen e de a eas
u ina ias. Po ello, según B ans o d y S ein (1993) es necesa io comple a la e iciencia de
o ma óp ima. Es e ipo de ap endizaje pod ía es a elacionado con la denominada de
ans e encia lejana.
Desde la pe spec i a de es os mismos los au o es, la o mación o ien ada solamen e
hacia la e iciencia es ingi ía la ans e encia a si uaciones simila es, mien as que es
necesa io, además, acili a la ans e encia lejana en é minos de inno ación, es deci , de
c ea i idad y esolución de p oblemas po medio de la comp ensión. Es a o ma de
ans e encia puede conside a se como la ans e encia c ea i a de inida po Haskell
(2001), que se basa en la c eación de nue os concep os. Las in e acciones inno ado as son
di e en es de las in e acciones dedicadas a la e iciencia po que implican i más allá de lo
inmedia amen e conocido. Pa a ello, el diseño de en o nos de inno ación equie e que se
p opo cione una opo unidad pa a que las pe sonas p ueben ideas y se dejen i cuando sea
46
necesa io, acili ando las in e acciones que puedan e ela nue a in o mación y o ien a al
alumnado a da se cuen a de ello.
La mayo pa e de las in es igaciones han examinado la e iciencia en la
ans e encia, es deci , la apidez y la p ecisión con las que las pe sonas pueden eco da y
aplica los conocimien os adecuados en un nue o con ex o a a és de p uebas de
eplicación y aplicación con núcleo de p oblema secues ado (SPS). Si bien es a dimensión
del ap endizaje es muy impo an e, no es la única que debe se analizada con espec o a la
ans e encia, ya que si así ue a se es a ía abaja ía poco en a o de un ap endizaje
lexible y c ea i o u u o, al como el que se ha p esen ado en el apa ado 1.3 La
ans e encia desde la pe spec i a PFL p epa ación pa a el u u o ap endizaje, p epa a ion
o u u e lea ning). Así, la ins ucción que a e de equilib a la e iciencia y la inno ación,
necesa ia según Schwa z e al. (2005), debe además de inclui ac i idades de comp ensión
y desa olla habilidades de dominio, inclui opo unidades pa a expe imen a con ideas;
den o de un ap endizaje lexible. Es e ipo de expe iencias equie en a menudo la
opo unidad de in e ac ua ac i amen e con obje os y pe sonas ya que algunas o mas de
conocimien o su gen sólo a a és de la in e acción (Vygo sky, 1962).
1.11 Sín esis
A lo la go de es e capí ulo se han expues o di e sos pun os de is a an o de la
p oblemá ica de la ans e encia como del módo en el cual es necesa a io abo da su
es udio. La isión his ó ica p esen ada sugie e hoy día una pe spec i a dinámica de la
ans e encia en e a aquella es á ica que ha ca ac e izado la mayo ía de las
in es igaciones a lo la go del siglo pasado. Los nue os pun os de is a además, incluyen
ene en cuen a la pe spec i a de la pe sona que ans ie e, ya que es ella la que ac i a
piezas de conocimien o en con ex os de e minados, bajo la in luencia de las si uaciones
p e ias i idas. En es e sen ido el conocimien o ans e ible no es conside ado de ca ác e
on ológico uni a io. Po úl imo se exponen condicionan es que obs aculizan o in luyen
posi i amen e en la ans e encia y el papel que en ello ienen la inno ación y la e icacia.

Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 47
2 CAPÍTULO. CONOCIMIENTO COTIDIANO s CONOCIMIENTO
CIENTÍFICO, CAMBIO CONCEPTUAL
1. Cons ucción del conocimien o cien í ico
2. La esolución de p oblemas
3. La ans e encia en la Educación cien í ica basada en con ex os
4. Géne o y enseñanza-ap endizaje en ma emá icas y en ciencias
5. Expec a i as del p o eso ado e In e acciones p o eso ado-alumnado
6. Sín esis
48
Du an e muchos años se ha a ado de in es iga las conexiones y di e encias en e
el conocimien o co idiano y el cien í ico y cómo in luye el p ime o en la cons ucción del
segundo. El p ime pun o de es e capí ulo a a de aden a se en es a p oblemá ica,
mien as el segundo lo hace con un en oque más especí ico, el de la esolución de
p oblemas, donde la ans e encia juega un papel des acado. Pa a ello, el es udian e debe á
ac i a a ios modelos men ales, an o del con ex o como de la ep esen ación ex e na, que
hagan posible pasa desde la si uación con ex ualizada has a el modelo ma emá ico
abs ac o. Así, el con ex o, se á de e minan e en muchas ocasiones pa a que se p oduzca la
ans e encia deseada. Además si se conside a la ans e encia como p oceso dinámico, la
pe sona adquie e un papel des acado; de aquí que la pe spec i a de géne o haya sido enida
en cuen a. Po úl imo, a la pe sona que ap ende se encuen a in luenciada po sus
elaciones con el p o eso ado y se desea analiza si ambién lo es la ans e encia ealizada.
2.1 Cons ucción del conocimien o cien í ico
En la epis emología co idiana la cons ucción de eo ías no es un eje cicio
in elec ual de ap oximación a la exac i ud o a la e dad pa a gene a explicaciones y
p edicciones sob e enómenos habi uales de nues o en o no y pode diseña planes de
acción. Los esquemas del conocimien o co idiano se cons uyen a a és de la inducción, lo
que conlle a su ca ác e implíci o y, po lo an o, que no sean ácilmen e accesibles a
nues a conciencia, y menos aun espon áneamen e e balizables. El alumnado no sabe que
posee ales concepciones al e na i as o p e ias, a pesa de que se si e con inuamen e de
ellas en sus in e p e aciones del mundo. Po ello, las eo ías implíci as no se cambian
median e p ocesos de comp obación de hipó esis.
Algunas in es igaciones conside an que es as concepciones o eo ías son
ep esen aciones más o menos complejas, cohe en es e in eg adas, que o man pa e de
modelos men ales o eo ías que, a pesa de se inco ec as desde el pun o de is a
cien í ico, ienen un cie o pode explica i o y p edic i o. Po ello, en luga de conside a
que el conocimien o co idiano es e óneo o cien í icamen e des iado, se des aca su alo
p agmá ico y su ca ác e enomenológico y adap a i o (Clax on, 1987; diSessa, 1993;
Pozo, 1999; Pozo, Pé ez, Sanz, y Limón, 1992).
En gene al, exis en cie os aspec os comunes en es as ideas p e ias del alumnado
sob e los enómenos cien í icos: (1) son especí icas de dominio y, con ecuencia,
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 49
dependen de la a ea u ilizada pa a iden i ica la; (2) la mayo ía de es as ideas no son áciles
de iden i ica , po que o man pa e del conocimien o implíci o de cada pe sona; (3) son
cons ucciones pe sonales, si bien se ha encon ado cie o g ado de simili ud en e las
ep esen aciones de pe sonas p oceden es de dis in os medios cul u ales (D i e , 1989); (4)
muchas de ellas es án guiadas po la pe cepción y po la expe iencia de cada es udian e en
su ida co idiana; (5) es as ideas p e ias no ienen odas el mismo ni el de
especi icidad/gene alidad y po lo an o, las di icul ades de comp ensión que ocasionan a
los y las es udian es no ienen la misma impo ancia; (6) con ecuencia es as ideas son
muy esis en es y, en consecuencia, di íciles de modi ica (Ca e e o 1997) y (7) mues an
un g ado de cohe encia y solidez a iable, pues o que pueden cons i ui ep esen aciones
di usas y más o menos aisladas, o bien pueden o ma pa e de un modelo men al
explica i o con cie a capacidad de p edicción. Es a posición, aunque con ma ices
di e en es, es man enida, en e o os y o as, po Pozo, (2003); Sama apunga an (1992);
Vosniadou (1994) y Vosniadou y B ewe (1992).
Po su pa e, el conocimien o cien í ico o disciplina cuen a con eo ías, leyes y clases
de coo dinación, complejas po na u aleza, que equie en un p oceso de e lexión sob e el
p opio conocimien o en una cons ucción explíci a y delibe ada de modelos, que se aleja
bas an e de los p ocesos de adquisición de las eo ías implíci as (Pozo, 1989). El
ap endizaje explíci o se ige no sólo po p ocesos asocia i os sino sob e odo po
cons uc i os, y se pe ciben las di e encias es uc u ales en e ambos ipos de
conocimien os, po que gene a ep esen aciones complejas, con ines explica i os e
in e p e a i os. Así, la cons ucción del conocimien o cien í ico esponde a un p oceso
complejo, donde los ac o es acionales, empí icos y sociales se in e elacionan
ue emen e (Ganda a, de la Gil y Sanma í, 2002). Se sabe que la pe cepción del mundo es
subje i a, las obse aciones es án in luenciadas po las p opias eo ías, el pun o de is a
adicional del mé odo cien í ico no se co esponde con la p ác ica cien í ica y en és a
in luyen de o ma impo an e ac o es sociales.
Du an e bas an es décadas se ha a ado de elaciona el cambio desde el
conocimien o co idiano al cien í ico; pa a ello se han desa ollado g an can idad de
modelos de cambio concep ual, desde los que se ha in en ado explica cómo son las
ans o maciones que se gene an en la es uc u a de conocimien o de las pe sonas cuando
ap enden, en la igu a 2-1 se esumen dis in os modelos de cambio concep ual según
Rod íguez (2007)
50
diSessa (1993, 2002) concibe la cons ucción de nociones o concep ualizaciones de
las pe sonas como es uc u a complejas, donde los mismos concep os cien í icos son
in e p e ados como sis emas complejos en sí (diSessa, 2002; diSessa y She in, 1998)
denominados p imi i os enomenológicos (p-p ims) y clases de coo dinación
(coo dina ion classes). Los p imi i os enomenológicos cons i uyen las ideas ísicas
in ui i as. Con el cambio conep ual se consigue una es uc u a de los p-p ims que se
coo dinan en o no a leyes ísicas, eo ías o p incipios, de modo que o man pa e de un
sis ema más complejo e in eg ado (Rod íguez, 2007). Las clases de coo dinación son
concep os que dan cuen a de la in e p e ación de odo un dominio enomenológico, de
ca ác e no in ui i o y que equie en de un p oceso de cons ucción la go, que si bien es
dependien e del con ex o, es ans o mable y el cambio concep ual implica su
ans o mación.
Modelos íos
(Posne , S ike, Hewson y Ge zog, 1982).
Modelos neo-inna is as
Modelos me acogni i os
Modelos cen ados en la pe ipecia
Modelos calien es
(Pin ich, Ma x y Boyle,
1993)
Modelos si uados
(B own, Collins y Duguid, 1989)
Desc iben el cambio concep ual desde el ca ác e
de acionalidad que a ibuyen a la pe sona, así
como po la desc ipción de un p oceso de cambio
cen ado en la ans o mación del conocimien o
decla a i o.
El con lic o es uno de los mecanismos cen ales
pa a explica el cambio concep ual.
Desc iben el cambio concep ual
desde el cambio de las es uc u as
del conocimien o decla a i o y
ienen en cuen a pa a ello
elemen os a ec i os y
mo i acionales., incluidos és os
en el con ex o men al
Desc iben el cambio concep ual dando
menos impo ancia al conocimien o
decla a i o a a o del uso del conocimien o
y la in luencia del con ex o en el ap endizaje
de las pe sonas.
En iquecen el ámbi o del cambio concep ual
al conside a el uso del conocimien o y el
e ec o del con ex o.
En el cambio meno ( ees uc u ación débil o
asimilación) se p oduce la inco po ación de
nue os ap endizajes sin cambia sus ancialmen e
el signi icado o el núcleo du o de las concepciones
exis en es.
En el cambio mayo ( ees uc u ación ue e o
acomodación) se p oduce una ans o mación
adical de la es uc u a concep ual, un cambio
eó ico que a ec a al núcleo du o y, po lo an o, al
signi icado cen al de las concepciones exis en es.
El “sis ema cogni i o” y “el
sis ema mo i acional” se
in luyen mu uamen e.
Cuando las pe sonas
ap enden un con enido
especí ico en un con ex o
ísico y social de e minado,
se ac i an una se ie de
elemen os del p oceso
mo i acional: la me a, las
au o-pe cepciones de la
pe sona, sus expec a i as de
éxi o…
El cambio concep ual se p oduce median e la
aplicación mul icon ex ual Se econoce el
alo adap a i o de las concepciones
al e na i as y la acep ación de su
man enimien o jun o a las concepciones
cien í icas.
Con espec o al conocimien o p ocedimen al,
el cambio concep ual supone,
undamen almen e, una ampliación y
di e enciación (disc iminación) de los
mismos que pe mi e la adecuada aplicación
de las concepciones de las pe sonas.
Figu a 2-1. Resumen de dis in os modelos de cambio concep ual según Rod íguez (2007).
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 57
El éxi o en la esolución de p oblemas de ciencias con enunciado ma emá ico se
log a cuando las pe sonas cons uyen ínculos en e las es uc u as de los p oblemas uen e
y de los p oblemas diana, cuando las pe sonas ap enden a cons ui isomo ismos al ni el
de las ep esen aciones MP (modelo de p oblema) de ambos p oblemas y, además, conocen
los modos ma emá icos de p ocede pa a llega al esul ado co ec o. Es la ans e encia
analógica (Van Lehn, 1990) es ambién llamada ans e encia la e al (Gagné, 1971),
ans e encia ho izon al (Rebello e al., 2007) o de aplicación o de con ex o (Haskell,
2001).
En dis in as in es igaciones se ha obse ado que las di icul ades en la esolución de
p oblemas p oceden de los p ocesos de cons ucción de las ep esen aciones de los
mismos, bien po la al a de comp ensión p o unda de la si uación desc i a en el enunciado
(cons ucción del modelo de la si uación, MS) o bien del p oceso de aducción en e el
lenguaje na u al del enunciado y el lenguaje ma emá ico (cons ucción del MP) (Gen ne e
al., 2003; Rebello e al., 2007; Solaz-Po alés, y Sanjosé, 2007) .
La cons ucción de un modelo de p oblema, sin emba go, no esul a se una a ea
ácil, ya que si un conjun o de p oblemas p esen a simili udes supe iciales, como los
p oblemas de un mismo ema, sus di e encias es uc u ales pueden queda enmasca adas
pa a el alumnado. En onces, incluso den o de un mismo dominio emá ico, la ans e encia
en e p oblemas de es uc u a di e en e esul a di ícil (Rebello e al., 2007). Po el
con a io, si el núme o de con ex os es ele ado pod ía dis o siona la ex apolación de la
es uc u a del modelo, según han demos ado es udios que indican que la ans e encia
analógica es á in luenciada po los elemen os supe iciales desca ando ac o es
es uc u ales de mayo ele ancia.
Todo ello lle a a deduci que la ans e encia analógica es un p oceso bas an e
complejo. No obs an e, las pe sonas expe as, quienes mejo esuel en los p oblemas,
mues an capacidad de econocimien o de di e encias es uc u ales en p oblemas con el
mismo ema, pe o ambién simili udes es uc u ales en p oblemas con emas di e en es; sus
modelos men ales son p edominan emen e simbólicos (con ienen símbolos que se
ap oximan a la ealidad ísica). En cambio, quienes peo los esuel en, c ean menos
modelos y son p edominan emen e e bales.
Po lo an o, el ni el de comp ensión, pa ece es a elacionado con la ac i ación de
modelos. La elabo ación de és os end á de e minada po : el enunciado del
co espondien e p oblema, el conocimien o p e io de cada es udian e y las a iables

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ins uccionales in oluc adas. Las a iables de conocimien o p e io, es a egias de es udio
y conocimien o concep ual in luyen de mane a es adís icamen e signi ica i a en la
esolución de p oblemas, siendo el conocimien o concep ual el que más lo hace en aquellas
si uaciones donde no se equie e un modelo men al en la esolución o bien el núme o de
modelos a ac i a es demasiado al o, mayo a cua o (Solaz-Po alés y Sanjosé, 2006). Ello
hace pensa que el alcance de es a pe icia pa a la ans e encia in e -dominios equie e
diseños ins uccionales que omen en la o mación de eglas gene alizadas (Bassok y
Holyoak, 1989) basadas, necesa iamen e, en aquello que es común a di e en es dominios,
ya que esol e un au én ico p oblema (Gil y Ma ínez-To eg osa, 1983) equie e
comp ensión y es o signi ica cons ui una ep esen ación men al de la si uación desc i a en
el enunciado.
Según la eo ía de comp ensión de ex os de y Van Dijk y Kin sch (1983), en el
p oceso de esolución de un p oblema (con es uc u a ma emá ica subyacen e) con
enunciado exis en al menos es ni eles (Hega y, Maye y Monk, 1995) cada uno de los
cuales puede p esen a obs áculos pa a el alumnado:
a) Comp ensión a un ni el conc e o, no abs ac o, de la si uación desc i a en el
enunciado, con sus en idades, sus elaciones y sus a ibu os. Es deci , la pe sona
que esuel e un p oblema debe cons ui las ep esen aciones del ex o del
enunciado en é minos del con enido léxico, semán ico o Base de Tex o (BT) o
e e encial (MS). Ello incluye las eglas y las no mas que igen el uncionamien o
del mundo que la pe sona conoce, y que si en pa a que la si uación desc i a sea
plausible una ez en endida ( ep esen ada). El conocimien o gene al del mundo que
la pe sona posee debe se ac i ado pa a subsumi la si uación desc i a en un
esquema de uncionamien o conocido.
b) T aducción de esa si uación del lenguaje na u al al ma emá ico y ice e sa. La
pe sona debe pasa de un modelo men al de la si uación desc i a en é minos
conc e os (obje os y e en os; a ibu os y ca ac e ís icas espacio- empo ales) a una
ep esen ación abs ac a o modelo del p oblema que in oluc a magni udes y
enómenos; can idades y elaciones ma emá icas; eo emas, leyes y axiomas.
También en sen ido con a io, a la ho a de in e p e a el esul ado de un p oblema:
las can idades y abs acciones esul an es (MP) deben incula se de nue o con
obje os y e en os del mundo (MS). El MS se cons uye median e la in eg ación del
con enido ex ual en los esquemas de conocimien o p e io, que el lec o o la lec o a
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 59
ha desa ollado en sus expe iencias an e io es con el mundo, y puede inclui
imágenes, con ex os espacio- empo ales, modelos analógicos de enómenos y
cadenas causales.
Según es udios de Solaz-Po olés e al., (2013), la amilia idad del con ex o
pa ece a ec a al núme o de compa aciones es uc u ales en e el p oblema diana y
el p oblema uen e, y a su ez, el núme o de compa aciones es uc u ales co ec as
ambién pa ece a ec a al núme o de ecuaciones co ec as seleccionadas po el
alumnado en la selección de ecuaciones. Sin emba go, aunque la compa ación de
es uc u as esul a se un buen p edic o de éxi o en la selección de ecuaciones,
pa ece que no sucede lo mismo al e és; po lo an o, la compa ación de es uc u as
pa ece una condición su icien e pe o no necesa ia pa a el éxi o en la selección de
ecuación en p oblemas de es uc u a algeb aica.
c) Manejo de las he amien as ma emá icas necesa ias pa a llega al esul ado,
asociado con un conocimien o p ocedimen al de los esquemas a i mé icos,
algeb aicos, e c. de esolución.
Los p oblemas algo í micos –que implican únicamen e aplicación de de iniciones,
ó mulas o eglas-, no equie en pa a su esolución de elabo ación de modelo men al
alguno, y pueden se esuel os simplemen e a pa i de una ep esen ación men al
p oposicional, lo que jus i ica el ele ado núme o de es udian es que los hacen bien, sin
necesidad de ayudas ins uccionales especí icas. Así, muchos de los p oblemas de ciencias
se pueden soluciona median e la sus i ución de a iables o elemen os de una ecuación; en
la esolución de és os al alumnado le es su icien e con la cons ucción de un modelo
men al y po lo an o, la asociación es ablecida co esponde a la asignación de la
in o mación leída del p oblema a elemen os del conocimien o p e io. En es e caso se
p oduce la ans e encia ho izon al.
Po el con a io, en la ans e encia e ical la o el es udian e, no malmen e, no
iene una es uc u a de conocimien o p econcebida que se alinea con el p oblema de la
in o mación. Es una asociación que se p oduce en e un elemen o de conocimien o de
lec u a del p oblema con un elemen o es uc u al del conocimien o in e no de cada
es udian e, que, a su ez, se basa en sus conocimien os p e ios. Po ello, en es e ipo de
ans e encia, cada es udian e cons uye un modelo men al in si u a a és de sucesi as
cons ucciones y decons ucciones de las asociaciones en e los elemen os de
conocimien o. En es e caso, p ime o debe econoce lo que sucede en la si uación –modelo
60
men al cien í ico- y debe elegi en e las ep esen aciones in e nas o cons ui una nue a
pa a es a si uación. La elección de la ep esen ación in e na a ía, dependiendo de la
si uación del p oblema y de las ca ac e ís icas del con ex o gene al de ap endizaje. Po su
ca ác e no es á ico, Rebello e al. (2007) la denominan ans e encia dinámica. Es e ipo
de ans e encia es más compleja que la ans e encia ho izon al; así lo a es iguan
in es igaciones como la ealizada en un es udio de la ans e encia del álgeb a a la ísica
(Bassok y Holyoak, 1989), donde se encon ó asime ía en e es as dos á eas de dominio,
poniéndose de elie e el e ec o de los ac o es con ex uales en la ans e encia del
ap endizaje.
En la mayo ía de los lib os de ciencias y de ma emá icas, son pocos los p oblemas,
si hay alguno, que equie an la ans e encia e ical; sin emba go, la mayo ía de los
p oblemas del mundo eal equie en es e ipo de ans e encia. La esolución de p oblemas
del mundo eal equie e que el alumnado decida qué a iables pueden deja se de lado y
ambién decida qué esquema o modelo men al es aplicable en los supues os, o si es
necesa ia la c eación de uno especialmen e pa a la si uación. Además, pa a ello, se equie e
que el alumnado conozca las limi aciones del modelo que ha decidido u iliza y en qué
condiciones hipo é icas el modelo deja ía de se aplicable.
2.3 La ans e encia en la Educación cien í ica basada en con ex os
Según G eeno (1998), el conocimien o se dis ibuye en e las pe sonas, en el medio
social y simbólico, en di e sos obje os y a e ac os que componen el uni e so donde és as
se desen uel en y ap enden y, asimismo, en las comunidades. Desde es e pun o de is a, la
ans e encia no depende de la pe cepción de las p opiedades ísicas de las si uaciones o de
los p oblemas que se deban esol e , sino de las condiciones acili ado as o inhibido as en
las que es án embebidas es as si uaciones o p oblemas y de los ecu sos disponibles
necesa ios pa a esol e los (G eeno, 1997). G eeno en iende el con ex o como la
in e p e ación más o menos compa ida de un sólo o de un conjun o de episodios po pa e
de un g upo de pe sonas implicadas. Cada pe sona iene su ex o o in e p e ación de lo que
sucede, que con as a con los ex os explíci os o implíci os del es o, y po ello, pueden
exis i dis in os con ex os en un mismo escena io. En el seno de los con ex os que se
cons uyen en cada escena io se gene a conocimien o con ca ac e ís icas epis emológicas
di e en es, pues o que esponden a suje os, obje os, ins umen os mediado es, esul ados,
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 61
eglas, comunidades y oles di e en es y, como hemos is o, ambién en con ex os
men ales di e en es. En escena ios educa i os, po ejemplo, el conocimien o es explíci o,
mien as que en escena ios amilia es o de ocio es implíci o; en escena ios p o esionales
iene elemen os combinados implíci os-explíci os. Es e hecho ha lle ado a a i ma a la
comunidad in es igado a que asume el con ex o como concep o socio-cul u al que no es á
cla o que lo que se ap ende en un con ex o escola se ans ie a de o ma au omá ica a los
o os con ex os, po que el con ex o es i epe ible.
Pa a Du an i y Goodwin (1992) un con ex o es un escena io o suceso inc us ado en
su en o no cul u al sob e el que ponemos la a ención. Dicho concep o iene cua o
ca ac e ís icas: (1) el escena io, ma co social, espacial y empo al del episodio; (2) las
acciones como se lle an a cabo las a eas asociadas; (3) el lenguaje, el uso de sis emas
semió icos pa a compa i con o as pe sonas los aspec os del episodio y (4) el
conocimien o (cien í ico o co idiano) que pueda asocia se al episodio.
En la enseñanza de las ciencias, el é mino con ex os de ap endizaje es u ilizado
pa a e e i se a si uaciones ocalizadas y complejas que ecogen hechos impo an es y
ele an es socialmen e (con alo es asociados). Fo man pa e del en o no cul u al del
alumnado y pe mi en cap a su in e és po comp ende los y explica los. También se
ca ac e izan po su po encialidad pa a p oduci un conocimien o su icien emen e gene al y
signi ica i o desde la pe spec i a de la ciencia, es deci , un conocimien o ú il pa a
in e p e a los hechos elacionados con es e con ex o y con o os muchos más (Sanma i,
Bu goa y Nuño, 2011).
Ac ualmen e, el diseño cu icula basado en compe encias conside a de g an
impo ancia los en oques basados en el con ex o po que exis e una demanda pa a hace
en e a cinco p oblemas p incipales de la educación cien í ica y la educación ma emá ica
(Gilbe , 2006): (1) la sob eca ga cu icula gene alizada con demasiados hechos aislados e
inclusión de concep os de impo ancia a iable (Milla y Osbo ne, 2000), (2) el con enido
del plan de es udios es á an agmen ado que exis e incohe encia en y en e las
concep ualizaciones alcanzadas po el alumnado, no llegando a consegui un mapa men al
que alga la pena, (3) el alumnado a menudo no puede ans e i conocimien o a o as
si uaciones, excep o a aquella en la que lo adqui ie on (4) el conocimien o que se impa e
no es a menudo muy impo an e pa a la ida dia ia del alumnado (Laugksch, 2000) y (5)
hay con usión ace ca de las azones de po qué el alumnado debe ap ende ciencia .
En es udios sob e enseñanza-ap endizaje de la química basados en el con ex o
62
(Bul e, Wes b oek, de Jong y Pilo , 2006). Pilo y Bul e, 2006) ha quedado demos ado
que exis en dos g andes e os al en en a se a los cinco p oblemas p oblemas plan eados:
o mula cómo se c ea el conocimien o y cómo es adap ado pa a su uso pos e io . Sin
emba go, no exis e su icien e conocimien o basado en e idencias ace ca de cómo se puede
acili a el desa ollo de un mapa men al cohe en e de conocimien o sob e un ema
cien í ico, y hay una necesidad de comp ensión más p o unda sob e cómo la ans e encia
de conocimien os en e los con ex os se lle a a cabo as el ap endizaje inicial. Además no
exis en es udios con alumnado de la ESO que elacionen es as cues iones en e dis in as
á eas buscando la ans e encia in e dominio, y menos aún que hayan enido en cuen a la
pe spec i a de géne o a la ho a de abo da lo. Po odo ello, es a in es igación a a á de
ace ca se a los dos e os an es mencionados.
Una p o undización de las elaciones en e los con ex os, el desa ollo de una buena
comp ensión de los concep os y la ans e encia de esos conocimien os, es undamen al
pa a que los en oques basados en con ex o se abo den e icazmen e en los p oblemas
ecu en es de la educación cien í ica. Sólo con una mejo comp ensión de los emas de
concep ualización cohe en e y conocimien os ans e ibles (p oblemas nº 2 y 3) se pod á
abo da la cues ión de la sob eca ga cu icula (p oblema nº 1). Po ello, la selección
adecuada de con ex os pod á hace en e a los p opósi os del cu ículo (p oblema nº. 5)
(Gilbe , As id y Albe , 2011).
Gilbe e al., (2011) mani ies an que si bien la concep ualización y la ans e encia
se han discu ido ampliamen e (Chi, 2008; Van Oe s, 2004), es necesa io un en oque
sis emá ico de la ans e encia desde la pe spec i a pa icula del ap endizaje basado en el
con ex o. En es e sen ido, en los plan emien os aco des con la in es igación ac ual según
es os au o es y basado en la eo ía socio-cul u al (G eeno, 1998), el con ex o se e ie e al
análisis de la si uación o p oblema complejo, ele an e socialmen e y basado en el en o no
del alumnado, que se ealiza du an e un la go pe iodo de iempo (en gene al semanal). Es
deci , el con ex o escogido no es una excusa pa a «mo i a » al alumnado, sino que su
sen ido se de i a de su po encialidad pa a cons ui an o sabe es p opios de la ciencia
como o os p opios del ipo de con ex o escogido. Po an o, en la selección de con ex os es
an impo an e alo a su po encialidad pa a ap ende un de e minado modelo eó ico de la
ciencia o ma emá ico como pa a ap ende sob e el ipo de con ex o.
Aunque el con ex o debe ía cons i ui el eje cen al que guia a y es uc u a a la
secuencia de enseñanza–ap endizaje, hoy en día oda ía los diseños didác icos u ilizados

Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 63
en las aulas no alcanzan lo p esen ado an e io men e. Son a ios los modelos ac ualmen e
u ilizados (Gilbe , 2006; Gilbe e al., 2011): (1) el con ex o como aplicación di ec a de
los concep os, (2) el con ex o como la ecip ocidad en e los concep os y aplicaciones, (3)
el con ex o como p omo ido po la ac i idad men al, pe sonal, (4) el con ex o como las
ci cuns ancias sociales.
Modelo 1: El con ex o como la aplicación di ec a de los concep os (Con ex as he Di ec
Applica ion o Concep s)
Los concep os se p esen an como abs acciones. Al inal de ese p oceso, po
cualquie azón, se p esen a su aplicación en los p ocesos ecnológicos y / o la ida
co idiana. Es as p esen aciones son po lo gene al b e es, a menudo ajenas a la
conside ación de su impo ancia cul u al, y no es án en ninguna e aluación inal de los
exámenes del cu so. Los con ex os son p opósi os deco a i os solamen e. Es e modelo es
ampliamen e u ilizado. El a amien o de la aplicación suele se an ago que no cons i uye
una a ea de ap endizaje de al a calidad, el a amien o no se lle a a cabo de al mane a y
du an e un iempo su icien e que pe mi a al alumnado explo a el signi icado de los
concep os en la si uación que se le p esen an, y lo que se hace, po lo gene al, no se
elaciona con su conocimien o gene al de ondo, más allá de los concep os que es án bajo
conside ación inmedia a. En gene al los modelos men ales c eados son débiles –si los hay-
sin elaciones en e los concep os y en e és os y los p ocedimien os y su ans e encia.
Sólo se e ie e a la esolución de eje cicios que no equie en pa a su esolución de
elabo ación de modelo men al alguno, pueden se esuel os simplemen e a pa i de una
ep esen ación men al p oposicional.
Modelo 2: El con ex o como ecip ocidad en e concep os y aplicaciones (Con ex as
Recip oci y be ween Concep s and Applica ions)
En es e modelo, exis e una si uación que se ha seleccionado (po el o la docen e que
diseña el cu so) como un ehículo a a és del cual los concep os cla e se pueden enseña .
El supues o es que exis e una elación cíclica en e los concep os y el con ex o a a és de
la enseñanza, es deci , se les enseñan los concep os, después se p esen a su aplicación en el
con ex o, a con inuación, un nue o aspec o del con ex o se mues a como un p eludio a la
enseñanza de nue os concep os. Es e modelo iene el pelig o de que se pie da el oco de
a ención du an e la secuencia y los concep os se con ie en en el único oco de a ención.
64
Además, el signi icado de los concep os cambia a medida que se u iliza en sus aplicaciones
a con ex os especí icos (Lay on, 1993), es deci , cualquie concep o puede adqui i a ios
signi icados di e en es, a menudo su iles, en di e en es si uaciones. Po lo an o, la
selección de la si uación pa a el es udio se á undamen al si se p e ende que el alumnado
aya, pos e io men e, a pode ans e i lo ap endido a nue as si uaciones imp e is as. Los
nue os conocimien os adqui idos pueden o no elaciona se abie amen e con el
conocimien o p e io del alumnado. Pod ía da luga a la c eación de una a iedad de
modelos men ales como esul ado del ap endizaje de dis in os con ex os que si no son
coo dinados pod ían da p oblemas en la ans e encia. El modelo de con ex o escogido en
la p opues a didác ica diseñada y aplicada en es a in es igación pod ía si ua se en es e ipo.
Modelo 3: Con ex o p opo cionado po la ac i idad men al pe sonal (Con ex as P o ided
by Pe sonal Men al Ac i i y)
Es e modelo se undamen a en el hecho de que el desa ollo del conocimien o po
una pe sona eside exclusi amen e en ella misma. Una pe sona se conside a que iene una
comp ensión de un concep o cuando se ha exp esado -po ejemplo a a és del habla- o ha
pe mi ido a o a pe sona o ma la suya p opia al ez di e en e in e p e ación de la misma.
Es e modelo de ap endizaje ha quedado en desuso en e a la c ecien e popula idad
conseguida po los modelos que con emplan los pun os de is a socio-cul u ales del
ap endizaje, con su p incipio básico de que el conocimien o es cons uido po las y los
agen es.
Modelo 4: Con ex o como ci cuns ancias sociales (Con ex as Social Ci cums ances)
Es e modelo se ealiza cuando las condiciones pa a la cons ucción social del
conocimien o, señaladas an e io men e, se cumplen plenamen e ( ele ancia social y del
en o no del alumnado). Es e modelo se ía el modelo a segui en pos e io es plan eamien os
didác icos y es á apoyado en los plan eamien os de B own e al., (1989) cuando hablan de
encul u ación amplia del ap endizaje, modelización de concep os-cla e, lenguaje, oma de
decisiones. Un con ex o se si úa como una en idad cul u al en la sociedad. A a és de es e
en oque se c ean modelos eó icos cla e de las ciencias. Sin emba go, es e ipo de con ex o
es el menos u ilizado en los cen os educa i os en pa e po su di icul ad y en pa e po que
el p o eso ado ocaliza simplemen e en los concep os a enseña .
Desde las ma emá icas la u ilización del con ex o ambién es necesa ia po que son
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 65
en los con ex os donde los nue os concep os adquie en sen ido. La ans e encia es más
p obable cuando los es udian es han is o la idea dada en al menos dos con ex os
di e en es, o cuando eciben andamios me acogni i os (B ans o d e al., 1999).
2.4 Géne o y enseñanza-ap endizaje en ma emá icas y en ciencias
Las pe sonas que en la ac ualidad se esponsabilizan de las polí icas educa i as
conceden una no o ia p io idad a los asun os elacionados con la igualdad de opo unidades
en e alumnos y alumnas en la educación y, así, suelen sub aya las des en ajas a las que se
en en an las niñas, las jó enes y las muje es adul as en su desa ollo ma emá ico y
cien í ico. Pa a p og esa hacia la igualdad de esul ados en el desempeño ma emá ico y
cien í ico, es necesa io iden i ica los ac o es implíci os en la p ác ica educa i a y la
mane a en que la condicionan las ep esen aciones de géne o del p o eso ado, sus
c eencias, los modelos emeninos/masculinos y las expec a i as que ellos gene an. Es
asimismo necesa io iden i ica aquellas ca ac e ís icas de la in e acción en e docen es y
alumnado que po encian su desempeño y desa ollo.
Son muy escasos los es udios que hayan conside ado la pe spec i a de géne o en la
in es igación sob e la ans e encia. Sin emba go exis en nume osas in es igaciones que
han in eg ado el en oque de géne o en la in es igación educa i a. A con inuación se
analizan las elacionadas con la enseñanza-ap endizaje en ma emá icas y en ciencias.
2.4.1 Di e encias po sexo en ma emá icas
Du an e las úl imas décadas en dis in os países se han enido ealizando es udios
con el obje o de conoce cómo se elacionan las di e encias de géne o con el ap endizaje
de las ma emá icas. En pa icula , se ha in es igado si exis en di e encias de géne o en los
log os, en el desempeño y en la ac i ud hacia las ma emá icas y, de exis i , a que son
debidas. (Figuei as, Mole o, Sal ado y Zuas i, 1998; Fo gasz y Lede , 2000; Hanna, 1989;
Lede , 1992; Lede 1996; Lede , 2001). También se han in es igado las di e encias de
géne o en las a ibuciones causales y se ha a ado de es ablece una elación en e és as y
el log o en ma emá icas (Kloos e man, 1990) así como la elación en e log o y mo i ación
(Middle on y Spanias, 1990).
En la úl ima década del siglo XX se comenzó a es udia cómo in luía la educación
di e encial que eciben los niños y las niñas en la mayo ía de las cul u as en el desa ollo
66
de las di e encias de géne o, es deci , cómo a ec a el a o di e enciado que da el
p o eso ado a alumnos y alumnas, y el desempeño en ma emá icas (Koehle , 1990; Kuype
y Van de We , 1990). En es a línea, algunas in es igaciones (Boale 1996); Ch onaki y
Pec elidis 2012; U sini, Sanchez, O edain y B u o (2004) han analizado si los dis in os
en oques en la enseñanza de las ma emá icas a ec an de mane a di e en e a alumnos y
alumnas. Po o o lado, du an e años se ha cons a ado la exis encia de una endencia a
conside a las ma emá icas como un dominio especí icamen e masculino, si bien es udios
pos e io es (Fo gasz, 2001) han indicado que es a ac i ud es á cambiando y que el
alumnado ya no pe cibe la ma emá icas como dominio esencialmen e masculino.
En lo que espec a a es udios de ámbi o in e nacional en los In o mes TIMMS
(T ends in In e na ional Ma hema ics and Science S udy) y PISA (P og am o
In e na ional S uden Assessmen ) se iene obse ando una endencia al equilib io en el
endimien o ma éma ico en e alumnas y alumnos. La e aluación TIMSS es
undamen almen e cu icula , mien as que la e aluación PISA e alúa el ni el del
alumnado con espec o a los conocimien os y des ezas pa a la ida. La e alución TIMSS
e alúa al alumnado de 2º cu so de la ESO mien as que PISA e alúa a alumnado de 15
años independien emen e del cu so en que se encuen e en el momen o de ealiza la
p ueba.
- In o me TIMMS
En 1994-1995 el in o me TIMSS de la In e na ional Associa ion o he E alua ion
o Educa ional Achie emen (IEA), ealizado en 16 países miemb os de la OCDE, e eló la
exis encia de di e encias po sexo es adís icamen e significa i as en e el alumnado de
nue e años en es países (Japón, Co ea y Holanda). En odos los casos, la di e encia
a o ecía a los chicos. Es e mismo es udio e eló que en el ámbi o de las ma emá icas y en
es udian es de 3 años las di e encias significa i as po sexo a ec aban a seis países, y que
en odos los casos a o ecían igualmen e a los chicos. También se encon a on amplias
di e encias es adís icamen e significa i as po sexo en la compe encia ma emá ica del
alumnado del úl imo cu so de enseñanza secunda ia supe io en odos los países
pa icipan es, excep o en Hung ía y Es ados Unidos, y una ez más, siemp e a a o de los
chicos. Un pano ama simila , o incluso más acusado, se obse ó en el campo de las
ciencias (Bea on e al., 1996; Mullis e al., 1998)
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 73
p e ios, mien as que en las alumnas el p oceso de ap endizaje social de la in ancia y
adolescencia e a de e minan e en la cons ucción de los asgos de la au oe icacia. Es e
esul ado concue da con los ob enidos en a ios es udios en los que se ha obse ado que
las chicas, a pesa de consegui mejo es cali icaciones en ma emá icas o ísica, se
conside an menos e icaces en es as mismas ma e ias (Ma sh y C a en, 2006; Sulli an y
Mahalik, 2000; Whis on y Bouwkamp, 2003).
Las c eencias de la pe sona sob e sí misma se desc iben en é minos de
au ocon ianza, segu idad an e las a eas e c., y se da po supues o que ales c eencias son
de signo posi i o. La au ocon ianza iene e ec os bene iciosos en dos sen idos: p ime o,
po que es un elemen o impo an e de mo i ación hacia el ap endizaje de una ma e ia
conc e a; segundo, po que acili a que las a eas de ap endizaje se abo den de o ma más
e icaz. Además, hab ía que añadi el e ec o de au o e ue zo posi i o y de con ianza y
segu idad que p opo ciona al alumnado el hecho de ob ene buenos esul ados. A
conclusiones simila es se llega a pa i de los da os ob enidos en la e aluación PISA 2003,
que u o como á ea de es udio monog á ico las ma emá icas, pe o es os da os no pueden
se con as ados con los de in o mes pos e io es, ya que no han abo dado es as cues iones.
1) Con ianza y segu idad en Ma emá icas
La au ope cepción de la compe encia an e a eas especí icas —mayo o meno
segu idad y con ianza en sí misma/o— a ec a a la ac i ud y disposición del alumnado pa a
en en a se a a eas conside adas di íciles, lo que se aduce en un cie o g ado de es ue zo
y pe sis encia.
Se p egun ó al alumnado pa icipan e en PISA 2003 has a qué pun o con iaba en su
p opia des eza pa a esol e de o ma e icaz p oblemas ma emá icos y supe a las
di icul ades. En odos los casos el endimien o en ma emá icas aumen aba en la medida en
que c ecía el índice de con ianza y segu idad del alumnado. De es e modo, la Con ianza y
Segu idad en las a eas de ma emá icas se e ela como uno de los índices más in luyen es
en los esul ados, mos ándose asimismo muy egula en odos los países. Dicho índice, en
escola es de Euskadi se si úa en la media de la OCDE, exac amen e en .00. El alumnado
español mues a alo es medios simila es.. La a iación de un pun o en el alo de es e
índice llega a cambia 47.2 pun os en los esul ados en la media de la OCDE. En Euskadi
iene una in luencia lige amen e meno , aun cuando puede llega a cambia 37.7 pun os.
Las chicas ascas de 15 años mues an una con ianza y segu idad an e las ma emá icas

74
signi ica i amen e meno (-.10) que los chicos (.11). Sin emba go, se sien en
signi ica i amen e más segu as que las chicas de la OCDE (-.17).
2) Au oconcep o en Ma emá icas
El au oconcep o posi i o es un elemen o impo an e pa a el ap endizaje e icaz.
Con ia en las p opias ap i udes es un ac o que, además de inc emen a los buenos
esul ados, es en sí mismo un obje i o educa i o, po lo que suele plan ea se como una de
las me as pe seguidas po la polí ica educa i a. El au oconcep o co elaciona de o ma
posi i a con los esul ados del ap endizaje en ma emá icas.
En PISA 2003, el alo del Au oconcep o en ma emá icas en el alumnado de
Euskadi u o una media de -.15, esul ado signi ica i amen e más bajo que la media de los
países de la OCDE. En e ec o, Euskadi y España son quienes que p esen an los alo es
más bajos. El alumnado con au oconcep o más ele ado ob iene en ma emá icas 80 pun os
más que quienes ni el más bajo en au oconcep o. En Euskadi, la a iación de un pun o en
el alo de es e índice llega cambia más de 31.7 pun os los esul ados. En odos los países
los alumnos ienen una pe cepción de mayo au oe icacia y au oconcep o que las alumnas
aunque és as ob engan mejo es esul ados. En odos los países los alumnos ienen una
pe cepción de mayo au oconcep o que las alumnas aunque és as ob engan mejo es
esul ados que ellos.
c) Fac o es emocionales (g ado de ansiedad en Ma emá icas)
Algunas in es igaciones abo dan es e indicado como pa e de las ac i udes
gene ales hacia las ma emá icas, aunque gene almen e se conside a que los ac o es
emocionales son aspec os dis in os de las a iables ac i udinales, que me ecen se
obse ados de o ma especí ica. La ansiedad en ma emá icas exp esa la sensación de
incapacidad y es és emocional que puede su gi an e es as a eas, y gene almen e se asocia
de o ma nega i a con el log o académico. El echazo a las ma emá icas debido a
si uaciones de es és emocional es un hecho ex endido en muchos países. El miedo y la
ansiedad de las pe sonas a hace ma emá icas, más allá de la capacidad eal que se posean
en dicha ma e ia, pueden se un impedimen o pa a su endimien o en ma emá icas. Así, en
un es udio lle ado a cabo en Es ados Unidos po Beilock, Gunde son, Rami ez y Le ine
(2010) se mues a que la ansiedad an e las ma emá icas de las docen es in es igadas que
impa ían es a asigna u a en la escuela p ima ia, enían consecuencias nega i as pa a el
endimien o en ma emá icas de sus es udian es. Las maes as socializaban la c eencia "los
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 75
chicos son buenos en ma emá icas y las niñas son buenas en lec u a", es deci , adop aban
una pe spec i a nega i a en elación con el desempeño en es e ámbi o po pa e de las
chicas. Tan o es así que al inal de cu so las niñas que asumie on es e es e eo ipo u ie on
un endimien o signi ica i amen e peo que las que no lo hicie on y que el conjun o de los
niños.
En la escuela p ima ia emp ana, donde el p o eso ado es mayo i a iamen e
emenino, la ansiedad del p o eso ado de ma emá icas iene e ec os pa a el endimien o de
las niñas, in luyendo en las c eencias de és as ace ca de quién es bueno/a o malo/a en la
ma e ia. También o as in es igaciones han demos ado que la ac i ud de las pe sonas
adul as in luye pode osamen e en el alumnado de p ima ia y que es a in luencia es mayo
cuando se a a de pe sonas de su mismo sexo. Según Beilock e al., (2010), es posible que
las niñas de p ime y segundo g ado sean más p opensas a se in luidas po la ansiedad de
sus maes as que sus compañe os de clase, dado que la mayo ía del p o eso ado de la
escuela p ima ia emp ana son muje es.
Asimismo, o os es udios (E ekin, 2010; Gleason, 2007; Sánchez, Sego ia y
Miñán, 2011) han pues o de mani ies o que la ansiedad hacia las ma emá icas es una
ac i ud p esen e en el p o eso ado en o mación. E ekin (2010) analiza la co elación en e
las c eencias sob e las ma emá icas y la ansiedad en su enseñanza en el u u o p o eso ado
de p ima ia. En es e es udio se encon a on co elaciones signi ica i as en e la ansiedad en
la o mación docen e y la ansiedad hacia la enseñanza de las ma emá icas. En un es udio
ealizado en España (Sánchez e al. 2011) se ha hallado ansiedad hacia las ma emá icas en
un 84.51% del u u o p o eso ado, que mues a emo an e es a ma e ia y no se mani ies a
a a o de amplia sus conocimien os ma emá icos. En gene al, sien en incomodidad
cuando se elacionan con la ma e ia, lo que pone de mani ies o la exis encia de ac i udes
nega i as. E ekin (2010) es udian las posibles di e encias en e las c eencias sob e las
ma emá icas y la ansiedad hacia ellas en e u u o p o eso ado de la ma e ia en educación
p ima ia y en elación a la a iable sexo, concluyen que el en oque del ap endizaje de las
ma emá icas es más ins umen alis a en caso de las u u as maes as.
Po o o lado, según los ci ados es udios, las u u as maes as ienen más ansiedad
que los u u os maes os. Beilock e al., (2010) indican que la ansiedad de las u u as
maes as puede ene su o igen en los es e eo ipos nega i os que se ansmi en en el
en o no social. Es os au o es sugie en que los p og amas de o mación de docen es de
p ima ia pod ían e o za se pa a exigi les una mayo p epa ación ma emá ica y pa a
76
obliga les a hace en e a sus p oblemas de ac i ud y a la ansiedad. Es in e esan e ene en
cuen a es e da o, ya que ambién en Euskadi la g an mayo ía del p o eso ado de
ma emá icas en p ima ia son muje es.
En PISA 2003 el alumnado asco se sien e más ansioso cuando ealiza a eas de
Ma emá icas y lo hacen de o ma signi ica i a con un alo de .16. Es e índice co elaciona
de o ma nega i a con el endimien o, es deci , a mayo g ado de ansiedad, peo es son los
esul ados que se ob ienen en ma emá icas. La di e encia en esul ados de una pe sona que
mues a g ado de ansiedad bajo y o a al a es de 64 pun os en Euskadi, mien as que en la
OCDE es de 92 pun os. Po o o lado, la a iación de un pun o en es e índice hace baja los
esul ados has a 25.9 pun os en Euskadi en e a los 35.4 pun os en la OCDE. Las chicas
ascas ienen un g ado de ansiedad signi ica i amen e más al o (.32) que los chicos (-.32)
cuando se en en an a es as a eas.
Figu a 2-3. In luencia en los esul ados de Ma emá icas po cada pun o de a iación del índice de
a ianza, PISA 2003(A egi e al.; 2003).
Según PISA 2003, en Euskadi al igual que en los paises de la OCDE, la “con ianza
y segu idad” an e las Ma emá icas es la a iable que iene un mayo alo en los
esul ados, ya que explica el mayo po cen aje de la a ianza o a iablilidad de los
esul ados (22.7% en la OCDE y 7% en Euskadi) el “au oconcep o” se encuen a en
segundo luga an o en la OCDE como en Euskadi y la “ansiedad” lo hace en úl imo luga
y explica un 12.7% de la a ianza, mien as que en Euskadi es el que menos impac o iene
de los es, llegando a explica el 7.7% de los esul ados.
-40
-20
0
20
40
60
OCDE Euskadi
Con ianza y segu idad
Au oconcep o
Ansiedad
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 77
d) Es a egias de ap endizaje
En las si uaciones de ap endizaje se equiei e el desa ollo y la aplicación de
di e en es ipos de es a egias que pe mi e al alumnado alcanza sus obje i os de
ap endizaje. En e las es a egias cogni i as se encuen an la memo ización, la elabo ación
y las es a egias de con ol.
1) Memo ización y con ol de la in o mación
Las es a egias de memo ización, median e la ep esen ación de ejemplos,
ap endizaje de hechos, e c. ayudan al alumnado en muchas de las a eas encomendadas en
el aula, pe o no malmen e sólo conducen a la ep esen ación e bal de conocimien os de
o ma li e al, con poco p ocesamien o de la nue a in o mación. La e aluación PISA 2003
indica que el alumnado de Euskadi u iliza es a es a egia de modo simila a la que lo hace
el de la OCDE. El impac o de un pun o en es e ac o disminuye el alo de esul ados de
Ma emá icas en la OCDE en 4.5 pun os, mien as en Euskadi pueden aumen a o disminui
los esul ados en 8.3 pun os (ISEI-IVEI, 2004)..
2) Es a egias de elabo ación
Es as es a egias suelen inclui elaciona la in o mación nue a con o os
conocimien os ap endidos en o os con ex os. Así el alumnado debe busca ías pa a
elaciona el nue o conocimen o con o os disponibles que ha ap endido a a és de o os
con ex os. Es as es a egias se conside an que son imp escindibles pa a que no se p oduzca
un ap endizaje supe icial.
En alumnado asco, a di e encia de lo que sucede con el de la OCDE, ob iene
mejo es esul ados cuando u iliza es a es a egia. Mien as que en la OCDE al aumen a un
pun o el índice del mismo disminuyen los esul ados en 5.3 pun os, en Euskadi aumen an
en 12.9 pun os (PISA 2003).
3) Es a egias de con ol
Las es a egias de con ol ayudan al alumnado a di igi y con ola su p opio
ap endizaje, comp obando si és e es el adecuado, y adop ando medidas si se de ec a alguna
debilidad.
PISA 2003 mues a que el alumnado con mayo ansiedad an e es a ma e ia, u ilizan
en mayo medida las es a egias de con ol como un modo de ayuda. En Euskadi, el uso de
es a egias de con ol iene un alo signi ica i amen e más bajo que la media de la OCDE
(-.05). Mien as que po cada pun o que aumen a su alo los esul ados de Ma emá icas
suben .06 pun os en la OCDE, en Euskadi lo hacen signi ica i amen e en 17.8 pun os.
78
Según es a e aluación las chicas ascas u ilizan signi ica i amen e en mayo medida las
es a egias de memo ización y de con ol, mien as los chicos emplean las es a egias de
elabo ación signi ica i amen e en mayo medida (ISEI-IVEI, 2004)..
Po lo an o, como conclusión en elación a las es a egias de con ol puede deci se
que mien as és as in luyen muy poco en los países de la OCDE, en Euskadi, las es a egias
de con ol llegan a explica el 4.4 % de los esul ados.
2.4.3 Di e encias po sexo en ciencias
La li e a u a cien í ica ha señalado con ecuencia que el alumnado de ambos sexos
ob iene simila es pun uaciones en las ma e ias de ciencias y que las muje es siguen
ob eniendo un endimien o académico supe io en las humanidades (Go a d, Rees y
Salisbu y, 1999).
Al igual que se hicie a con los esul ados de ma emá icas se analizan a con inuación las
e aluaciones TIMMS y PISA.
- In o me TIMMS
Los da os del es udio TIMSS 1995 señala on que en sie e países eu opeos no
exis ían di e encias po sexo signi ica i as en el endimien o en ciencias en e los alumnos
y alumnas de 4º cu so, mien as que en cinco países los chicos p esen aban un endimien o
supe io (Mullis e al., 2000). Sin emba go, en 8ºcu so se obse a on di e encias po sexo
en la mayo ía de los países. El endimien o de los chicos e a supe io , especialmen e en
ísica, química y ciencias de la ie a. En el úl imo cu so de secunda ia, el ni el de
conocimien os cien í icos de los chicos e a signi ica i amen e supe io al de las chicas en
odos los países. No obs an e, es os esul ados a iaban según las á eas: ellos ob enían
mejo es esul ados en ciencias de la ie a, ísica y química, pe o no así en biología o
ciencias de la ida y en educación ambien al. En el es udio TIMSS-R1999, en ocho países
eu opeos los chicos de 8º cu so ob u ie on un endimien o supe io al de las chicas,
mien as que en sie e países no se halla on di e encias (Mullis e al., 2000). Con odo, el
p og eso de las chicas es, de media, supe io al de los chicos, especialmen e a pa i de
1999 (Ma in e al., 2004). Así, en TIMSS 2007 la media in e nacional es seis pun os
a o able a las chicas —469 en e a 463 de los chicos, pe o hay impo an es a iaciones
en e los di e en es países. Las alumnas ob ienen mejo esul ado en cinco países; sin

Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 79
emba go, los alumnos las supe an en muchos de los países más desa ollados, en e ellos
Euskadi, donde ob ienen 15 pun os más que ellas (490 en e a 505).
Re i iéndonos especí icamen e a Euskadi y a las á eas de con enido, según el
úl imo TIMMS 2007 el alumnado de la Comunidad Au ónoma del País Vasco ob iene
pun uaciones in e io es a la media en biología, ísica y química —en es a úl ima es
es adís icamen e signi ica i a la di e encia—, sin emba go en ciencias de la ie a consigue
alo es supe io es. En elación con la di e encia po sexo, las chicas ob ienen peo es
esul ados en odas las á eas, y de mane a signi ica i a en es de ellas (biología, ísica y
ciencias de la ie a), da os que di ie en no ablemen e de los obse ados en el ámbi o
in e nacional, donde las chicas ob ienen alo es signi ica i amen e supe io es en biología y
química, y los chicos de modo signi ica i o en ísica.
Al examina la e olución TIMSS 2003-2007, cabe esal a que en Euskadi, la
di e encia en e ambos sexos e a de 15 pun os a a o de los ellosal inicio de ese pe iodo
(2003), y que es a di e encia se man iene en la e aluación del 2007. Es o indica que los
esul ados de Euskadi, son di e gen es espec o a la media in e nacional. Asimismo, an o
las chicas como los chicos inc emen an sus esul ados en 9 pun os en ese mismo pe íodo, y
en ambos g upos la mejo a es es adís icamen e signi ica i a.
- In o ma PISA
Tal como se ha ealizado en ma emá icas, se exponen los esul ados de las cua o
úl imas e aluaciones PISA en la igu a 2-4.
Figu a 2-4. Resul ados en Compe encia Cien í ica po sexo (PISA 2003-2012).
Las di e encias en la Compe encia Cien í ica ue on a o ables a las chicas en las
dos p ime as ediciones de PISA (2003 y 2006), mien as que en el 2009 y 2012 son los
460
470
480
490
500
510
520
2003 2006 2009 20012
chicos Euskadi
chicos OCDE
chicas Euskadi
chicas OCDE
80
chicos quienes ob ienen mejo es esul ados. La mayo di e encia es de 9 pun os en PISA
2012. Es as di e encias no ue on es adís icamen e signi ica i as en las es p ime as
ediciones, PISA 2003 PISA 2006 y PISA 2009; sin emba go, en PISA 2012 los chicos
ob ienen una pun uación signi ica i amen e más al a que la de sus compañe as.
2.4.4 Pa ones de géne o y endimien o en ciencias
El ap endizaje de las ciencias es á de e minado po ac o es pe sonales, como la
au oeficacia, que se ponen de manifies o du an e el es udio de ma e ias como ísica,
química, biología, ciencias de la ie a y ciencias del ambien e. Ainley y Daly (2002)
dis inguen en e ciencias du as, ales como química, ísica y ecnología, y ciencias
blandas, que incluyen disciplinas como la biología o una asigna u a de ciencias en gene al.
En la ci ada in es igación cons a a on que el in e és po el p ime g upo de ma e ias ue
mayo en e los chicos, mien as que las chicas se in e esaban p incipalmen e po el
segundo.
Tales ac o es son:
- ac o es de mo i ación en ciencias (in e és y gus o; mo i ación ins umen al)
- ac o es de au oconcep o en ciencias (con ianza y segu idad; au oconcep o)
- ac o es emocionales (ansiedad)
- es a egias de con ol
a) Fac o es de mo i ación en Ciencias
Al igual que se hicie a con el ac o de mo i ación en Ma emá icas, a con inuación
se exponen in es igaciones y esul ados en elación con las Ciencias.
1) In e és y gus o po las Ciencias
Tal y como se ha indicado en un apa ado an e io , la mo i ación o el in e és hacia
cie as á eas de es udio suele conside a se como ac o p edic o del endimien o
(Renninge , Hidi y K app, 1992). En un es udio lle ado a cabo con alumnado de úl imo
cu so de secunda ia obliga o ia (Vázquez y Manasse o, 2008, se concluyó que la
pe cepción de las clases de ciencias po el alumnado no es cla amen e nega i a, pe o
cie amen e ampoco es posi i a; la ac i ud global es in e media. Los asgos de la ciencia
escola más posi i amen e alo ados son: su u ilidad pa a un abajo u u o, el hecho de
que gus a como ópico escola , el a a se de una ma e ia in e esan e y su capacidad pa a
Conocimien o co idiano s conocimien o cien í ico, cambio concep ual 81
aumen a la cu iosidad po conoce . En e los asgos más nega i os apa ecen la escasa
in ención de elegi una p o esión elacionada con la ciencia y la ecnología y, po an o, el
exiguo deseo de es udia ciencia en la escuela, la poca incidencia de la ciencia en la
educación del sen ido c í ico y la di icul ad pe cibida como asigna u a. La limi ada
disposición pa a ealiza es udios cien í icos o écnicos e ela que la ocación cien í ica no
esul a a ac i a al alumnado en gene al y menos aún a las chicas. Pa ece se es a una
nega i idad ex endida, pues es ambién compa ida po el alumnado inglés (Vázquez y
Manasse o, 2008). Aún así, el alumnado pe cibi ía en la ciencia escola un alo gene al
pa a su u u o labo al, independien emen e de su al a de deseo pa a abaja en p o esiones
cien í icas o ecnológicas.
En PISA 2006 el g ado de in e és hacia la ciencia e a simila en e chicos y chicas,
y no se ap ecia on di e encias en ambos g upos en su in ención de hace uso de la ciencia
en sus u u os es udios o abajos (OECD, 2007b).
2) Mo i ación ins umen al hacia las Ciencias
Son nume osos los es udios que señalan que el modelo de ciencia occiden al
ma gina a las muje es y a las pe sonas op imidas, ya que ansmi e la c eencia de que los y
las cien í icas se dedican a expe imen a sin ningún ipo de pasión ni sesgo, y que median e
el mé odo cien í ico descub en la e dad de la na u aleza. Es e modelo de ciencia no
econoce los in e eses pe sonales, polí icos, económicos, p ejuicios… implicados en la
cons ucción y p oducción de la ciencia. En la enseñanza ecno-cien í ica el modelo de
ciencia y ecnología escola que se ansmi e en clases y labo a o ios se p esen a a las
ciencias como ámbi os impe sonales, y a quien las p oducen como se es ca en es de
c ea i idad, impe sonales, lib es de sen imien os, compe i i os, ca ac e ís icas que se
co esponden con el es e eo ipo masculino. De es e modo se p oduce una asociación en e
la na u aleza de la ecnociencia, es deci , en e su epis emología, y la pe cepción social de
lo masculino. Es a pe spec i a no oma en conside ación los sabe es y la expe iencia de las
muje es, que, indi idualmen e y de o ma colec i a, han pe mi ido el sos enimien o y
desa ollo de la ida a lo la go de la his o ia. Una pa e de es os sabe es o man pa e del
con ex o de la ida co idiana y es án elacionados con las a eas del cuidado amilia y los
abajos domés icos, siemp e in a alo ados en el mundo académico (Al a ez-Li es, Nuño
y Solsona, 2003).. Todo ello se e e o zado po el p o eso ado, los ma e iales cu icula es
y las ac i idades desa olladas en las clases de ciencia y ecnología (Nuño y Ruipé ez,
1996; Nuño y Ruipé ez, 1997). Es e modelo masculino de la epis emología de la
82
ecnociencia ansmi ido en la enseñanza a ec a a la pe cepción indi idual sob e las me as
y obje i os del conocimien o cien í ico, al ol de los expe imen os cien í icos, al modo en
que cambian las ideas cien í icas con el iempo y a lo que se econoce como conocimien o
alidado y alioso (Sando al, 2003), lo que p o oca echazo en g an pa e del alumnado,
especialmen e en e la mayo ía de las alumnas.
Smail (1991) encon ó que a los 11 años no hay g an di e encia en e alumnas y
alumnos en el endimien o en ciencias; sin emba go, a las chicas no les in e esaban las
ciencias ísicas y a los chicos no les in e esaban las biológicas. Po o o lado, ambos sexos
que ían sabe más sob e el es udio del cue po. Los dis in os in e eses desde edades an
emp anas en e chicas y chicos hacia emas de ciencia no han a iado con el paso del
iempo, a juzga po los simila es esul ados ob enidos po Reid y Sk yabina (2003). Sin
emba go, los p og amas de ísica siguen cen ándose en á eas adicionalmen e
conside adas masculinas, como la mecánica, la elec icidad o el magne ismo, y p es an
menos a ención a á eas más suscep ibles de a ae a las alumnas, como la ene gía nuclea ,
los enómenos me eo ológicos o las aplicaciones de la ísica en medicina o en el a e.
Cuando se p egun a po el in e és po la ciencia al alumnado, la e aluación
empo al de las espues as demues a un descenso global de las ac i udes con la edad y el
sexo. El in e és llega a educi se d ás icamen e has a un 47% (Vázquez y Manasse o,
2008).
b) Fac o es de au oconcep o en Ciencias
Los esul ados de PISA 2006 al igual que los de PISA 2003 analizan cues iones no
slo de ca ác e cien í ico sino ambién de índole pe sonal académico.
1) Con ianza y segu idad en Ciencias
En PISA 2006, se analiza el ni el de au oe icacia en el alumnado asco; el alo
medio en es e ac o es de -.22, es deci , el alumnado que iene mayo con ianza, con una
a iación de un pun o en la a ianza, al ealiza a eas elacionadas con las Ciencias
ob iene 76 pun os más en los esul ados de es a á ea, siendo es e esul ado es adís icamen e
signi ica i o. Ellos las supe an ambién en au oe icacia, es deci , con ían más en su
capacidad pa a esol e a eas cien í icas conc e as, y lo hacen en odos los países a
excepción de Aus ia, Polonia y Po ugal. Sin emba go, las chicas, de media, se mues an
supe io es a la ho a de iden i ica cues iones cien í icas, mien as que los chicos son
mejo es en la explicación cien í ica de los enómenos. No se encon a on di e encias de
El concep o de ans e encia en la p esen e in es igación 89
in lui en g an medida en la ac i ación de lec u as y expec a i as u u as, pudiendo algunas
de ellas se modi icadas o desac i adas. De esul as de ello, la o mación de una
ep esen ación de con ex o es dinámica y luida po que es un es ado cogni i o eme gen e
que su ge en espues a al con ex o y que es sensible a los de alles con ex uales. Po ello, la
elación exac a en e el con ex o (es ímulos ex e nos) y la ep esen ación de con ex o es
sumamen e compleja. En gene al, la ep esen ación de con ex o puede a ia
conside ablemen e de una ez a la siguien e y el conocimien o de un a pe sona usua ia a
o a.
La ans e encia es inhe en emen e no lineal y caó ica. La consecuencia
enomenológica de la no-linealidad es que, en p incipio, una supe posición (simple
combinación) de ca ac e ís icas con ex uales no da luga a una supe posición de los
esul ados de ans e encia; además, bajo algunas condiciones -pequeños cambios en el
con ex o- pueden conduci a esul ados de ans e encia o almen e di e en es. No se
en ende á po caó ico que la ac i ación y la aplicación de piezas de conocimien o en
espues a al con ex o sea alea o ia, sino más bien que la ex ema sensibilidad de
ans e encia se e á in luenciada po la his o ia pe sonal y el con ex o. Es o hace di ícil
p edeci de an emano qué conocimien o se á ac i ado y aplicado en un episodio de
ans e encia de e minado.
El p oceso de ans e encia, en an o que es impulsado po el sen ido de hace llega a
un es ado de equilib io, es pa a odos los e ec os p ác icos incomple o. Una ez que exis e
compa ibilidad su icien e, se es ablece un es ado de cuasiequilib io, que no p opo ciona
nue as lec u as o expec a i as. Al inal de un episodio signi ica i o, la pe sona usua ia del
conocimien o iene muchas más piezas de conocimien o a su disposición que pod ían
aplica se al con ex o, pe o no exis e ningún desequilib io pa a impulsa la ans e encia
dinámica.
La ans e encia dinámica es á ue emen e in luenciada po el lenguaje, ya que las
palab as y las ases ienen múl iples signi icados en di e en es con ex os. Algunos
é minos cien í icos como po ejemplo ue za no son exclusi os (si bien ienen un
signi icado uní oco a ni el cien í ico, no lo ienen en la ida co idiana) y dependen del
con ex o. Po ejemplo, el alumnado puede indica con es e mismo é mino a la po encia, a
la elocidad, al ímpe u que posee el obje o,… y no se plenamen e conscien e de que
u iliza la misma palab a con di e en e signi icado en di e en es con ex os, que a su ez
pueden ene un impac o signi ica i o sob e la enomenología de la ans e encia. Cuando

90
la pe sona usua ia del conocimien o cambia los signi icados de los é minos, pe o deja
in a ian e las conexiones en e ellos, pueden p oduci se inconsis encias in e nas en el
p oceso de ans e encia.
El concep o de unción, como clase de coo dinación es á o mado po unidades más
pequeñas de conocimien o y la coo dinación de las piezas de conocimien o se á una
cues ión undamen al de la ans e encia.
Además el papel cen al de los sis emas de ep esen ación en el p og eso de la
ciencia mode na ha lle ado a de ende la idea de que una de las ca ac e ís icas de los
concep os cien í icos es que siemp e adop an un egis o simbólico y necesa iamen e se
comunican y obje i an a a és de di e en es sis emas de ep esen ación. Es o sugie e que
el dominio de las ep esen aciones simbólicas es impo an e pa a un ap endizaje u u o en
si uaciones cien í icas. Jan ie (1987b) sugie e que una de inición con una ep esen ación
única no puede aba ca odo el signi icado de una idea, que el alumnado debe se capaz de
aduci median e las di e en es ep esen aciones pa a ob ene un conocimien o más ico.
Así, en la p esen e in es igación se da po álida la p opues a de Ma í y Ga cía-
Mila (2007) po la que una de las mane as de a o ece el cambio concep ual en ciencias es
abajando sob e es os egis os simbólicos, lo cual cons i uye un mecanismo de
explici ación a duo y complejo. Po lo que se conside a opo una la con e sión de un
egis o a o o pa a la comp ensión de enómenos ep esen ados an o a ni el esc i o como
a ni el de modelo men al.
En es a línea, en la p esen e esis se analiza cómo el concep o unción an o desde la
abs acción del modelo, como a a és de sus dis in as ep esen aciones simbólicas ayudan
al alumnado a in e p e a si uaciones de con ex os cien í icos, a explici a el pensamien o
exis en e sob e la si uación o a halla da os ele an es a la ho a de pode a gumen a la
si uación plan eada desde un pun o de is a más cien í ico. En es e sen ido, el concep o
unción y sus ep esen aciones son en endidos en g an medida como lenguaje ma emá ico.
Es e nue o en oque no se ha abo dado en los exámenes y, po lo an o, da pie a in es iga
las di e encias en e ambos ipos de ans e encia.
Desde es e pun o de is a se conside a que la ans e encia ha de se un p oceso
cons uc i o y dinámico. La ac i ación y la aplicación de piezas de conocimien o es
al amen e dependien e de los de alles del con ex o y del es ado inicial del conocimien o
(conocimien os p e ios) de cada es udian e (B ans o d y Schwa z ,1999; Schwa z e al.
2005). Es en es e sen ido, en la ans e encia de clase C es posible obse a cómo el
El concep o de ans e encia en la p esen e in es igación 91
alumnado eu iliza siemp e sus conocimien os p e ios, sea de o ma p oduc i a o
imp oduc i a y es aquí, donde en an en juego las clases de coo dinación. Po lo an o, se
de iende que la ans e encia declase C es un enómeno muy común (diSessa y Wagne ,
2005) y adecuado pa a el log o de la ans e encia an o A como B.
Cada conjun o de decisiones es único ya que, se eúnen como piezas de conocimien o,
es deci , se c ean nue os conocimien os a a és de p ocesos men ales ales como la
asociación, la clasi icación, la combinación y el e inamien o. Po ello, un ma co pa a la
ans e encia se cen a ía en el p oceso conducen e a la ac i ación y aplicación de
conocimien os y a la ep esen ación esul an e del con ex o. Po el con a io, un ma co de
ap endizaje se cen a á en los p ocesos de p oducción de cambios en los es ados men ales,
en la na u aleza de los cambios que se p oducen, y en cómo esos cambios a ec an la u u a
ac i ación y aplicación del conocimien o. P esumiblemen e, es e cambio de es ado ambién
da ía luga a una ep esen ación di e en e y a la comp ensión del con ex o. La al a de
opo unidades pa a el eje cicio de es e p oceso asegu a á una baja p obabilidad de
ac i ación u u a y una capacidad in e io pa a coo dina piezas de conocimien o. En la
p ác ica, la línea en e ap endizaje y ans e encia puede esul a di usa. Dado que la
ac i ación y la aplicación de conocimien os son muy sensibles al con ex o y se elacionan
ue emen e con la ep esen ación sob e el con ex o de la pe sona usua ia del
conocimien o, puede se di ícil medi la magni ud de los cambios en el es ado que de i an
de las ac i idades del ap endizaje (B ans o d y Schwa z, 1999; Schwa z e al. 2005).
3.1 Sín esis
La ans e encia en es a esis es conside ada como un p oceso complejo, dinámico
donde los dis in os conocimien os deben coo dina se –coo dinación de clases- pa a que se
p oduzca una cohe encia en e la in e p e ación de la nue a si uación y los p ocedimien os
p e ios – ans e encia de clase C-. Es a ac i ación no es alea o ia y ni caó ica.
92
4 CAPÍTULO. TRANSFERENCIA DESDE LAS DIDÁCTICAS
1. Al abe ización cien í ica-ma emá ica y compe encias cien í ica y ma emá ica
2. Los nue os cu ículos o ien ados hacia el desa ollo de compe encias
3. Relación en e ans e encia y compe encia
4. Sín esis
T ans e encia desde las didác icas 93
Uno de los g ades obje i os de la Educación es p epa a pe sonas an o
cien í icamen e como ma emá icas pa a que puedan desempeña abajos de modo
adecuado en un u u o. Po ello, han sido muchas las po pues as que se han ealziado a lo
la go de la his o ia pa a llega a es e come ido. A inales del siglo pasado se consensúa en
qué debe consi i la al abe ización cien í ico-ma emá ica y el papel que desempeña
compe encia en ello. La compe encia lle a inhe en e la ans e encia, ya que sin és a no se
p oduce la aplicación de lo ap endido.
4.1 Al abe ización cien í ica-ma emá ica y compe encias cien í ica y
ma emá ica
La inalidad del p oceso educa i o no es inmedia a, sino que iene el p opósi o de
que aquello que aho a se enseña y se ap ende en un con ex o escola , pueda se u ilizado en
su día en la ealidad, en el momen o en que es os conocimien os, habilidades o ac i udes
ap endidas se hagan necesa ias; consecuen emen e, a amen e o nunca se emplea án al
como ue on enseñadas en el aula.
Una de las inalidades del ap endizaje de conocimien os cien í icos es p opo ciona
es a egias y ecu sos que posibili en su u ilización pa a analiza c í icamen e hechos que
suceden en nues o en o no y ac ua de modo indi idual y colec i o cien í icamen e
undamen ado. El desa ollo del pensamien o ma emá ico con ibuye a la compe encia en
cul u a cien í ica, ecnológica y de la salud po que hace posible una mejo comp ensión y
una desc ipción más ajus ada del en o no. La des eza en la u ilización de ep esen aciones
g á icas pa a in e p e a la in o mación apo a una he amien a muy aliosa pa a conoce y
analiza mejo la ealidad, y, po úl imo, la po encialidad de modeliza ma emá icamen e, a
a és del álgeb a, enómenos ísicos, químicos, biológicos y geológicos pe mi e analiza ,
in e p e a y p edeci su e olución o desa ollo.
Es a simbiosis en e los conocimien os ma emá icos y los conocimien os cien í icos
es necesa ia si se quie en esol e p oblemas ac uales y u u os. Ac ualmen e es a
in e acción en e ambas disciplinas se encuen a englobada bajo el é mino compe encia y
en cómo cada una de ellas ayuda a la adquisición de la o a.
Hoy día, u o de más de ein a años de in es igaciones, se sabe que el cómo
ap endemos es á es echamen e elacionado con el cómo u ilizamos lo ap endido, es deci ,
con cómo lo ans e imos. La memo ización es insu icien e pa a la comp ensión, po
94
consiguien e, la ans e encia del conocimien o cien í ico-ma emá ico adqu ido a o as
si uaciones dis in as sólo es posible si, al mismo iempo, se han lle ado a cabo las
es a egias de ap endizaje necesa ias pa a que dicha ans e encia se p oduzca.
El concep o de compe encia en el ámbi o educa i o, al como se concep ualiza
ac ualmen e, su ge a inales del siglo XX, cuando en los países indus ializados la
educación llega a se obliga o ia pa a odos los chicos y chicas como mínimo has a los 16
años. Sin emba go, como exis e un al o acaso escola ins i uciones de índole muy di e sa
alo an que la escuela no p epa a pa a las necesidades de la sociedad ac ual.
Los an eceden es sob e el é mino compe encia se encuen an en el documen o
elabo ado en el año 1994 a pe ición de la O ganización de las Naciones Unidas pa a la
Educación, la Ciencia y la Cul u a (UNESCO), po una comisión p esidida po J. Delo s
(1996), en el cual se habla de los cua o pila es de la educación (ap ende a conoce ,
ap ende a hace , ap ende a con i i , y ap ende a se ). El ap ende a hace alcanza g an
p opagonismo en es os plan eamien os como consecuencia de la disociación obse ada
en e la eo ía y la p ác ica, que se e co obo ada cuando se analizan las p uebas y
c i e ios de e aluación de la mayo ía de los exámenes y oposiciones. El ap endizaje a
di igido a la memo iazación a co o plazo y no a que pueda se aplicado a dis in as
si uaciones o con ex os.
Como se ha desc i o en apa ados an e o ies de es a in es igación, exis en muchos
más ma cos eó icos que se elacionan con el é mino compe encia (aunque no se e ie an
explíci amen e al concep o de compe encia). Po ejemplo, la isión del conocimien o como
esul ado de una ac i idad que iene luga en un con ex o cul u al, en el ma co en el cual se
desa olla y se u iliza eo ía del conocimien o si uado (B own e al., 1989), o la eo ía del
conocimien o dis ibuido (Gie e y Mo a , 2003), según la cual el sabe no es indi idual
sino que es á dis ibuido en pe sonas, ep esen aciones, obje os, ins umen os, lenguajes...,
que con o man una de e minada cul u a.
Aunque no hay una acepción uni e sal del concep o compe encia cla e o básica,
exis e una coincidencia gene alizada en conside a como compe encias cla e, esenciales,
undamen ales o básicas, aquellas que son necesa ias y bene iciosas pa a cualquie pe sona
y pa a la sociedad en su conjun o, así como un cie o acue do común en en ende las como
el conjun o de conocimien os, des ezas y ac i udes esenciales pa a que odas las pe sonas
puedan ene una ida plena como miemb os ac i os de la sociedad.

T ans e encia desde las didác icas 95
Se compe en e en un ámbi o o ac i idad signi ica, desde es e en oque, se capaz de
ac i a y u iliza conjun amen e conocimien os ele an es y de odo ipo pa a a on a
de e minadas si uaciones y p oblemas elacionados con dicho ámbi o. El sabe hace
supone la mo ilización de capacidades cogni i as de o den supe io , ales como analiza ,
in e p e a , aplica , p edeci , e c. Pe o esas habilidades no pueden des incula se de los
con enidos y de los ap endizajes especí icos en los que se apoyan, ya que sin dicho
conocimien o concep ual, la aplicación del nue o en oque en un con ex o escola esul a,
desde el pun o de is a de los p ocesos men ales, simplemen e in iable. Y ampoco de la
capacidad de aplica las con las demás pe sonas, en el ma co de g upos sociales di e sos, y
a pa i de un pensamien o c í ico.
La compe encia compo a siemp e la ealización de una acción e icaz, in eg ada,
que esponda a una demanda compleja y di e sa (imp e isible), y que ambién a a de
combina o in eg a sabe es muy di e en es –incluido el conocimien o disciplina – en la
ac uación y se capaz de mo iliza los adecuadamen e, no de conoce los sólo de mane a
sepa ada. En es e sen ido, supone una e olución espec o al plan eamien o habi ual de los
an e io es cu ículos, que endían a sepa a los sabe es concep uales, los p ocedimen ales y
los ac i udinales.
Po ello, las p opues as ac uales en educación plan ean una educación basada en
compe encias cuyas ca ac e ís icas p incipales son la complejidad, la uncionalidad y
ans e ibilidad, el ca ác e au ónomo y la e aluabilidad. El uso del é mino compe encia es
una consecuencia de la necesidad a ni el social de supe a una enseñanza que, en la
mayo ía de los casos, se ha educido al ap endizaje memo ís ico de conocimien os, que
p o oca que és os no puedan se aplicados, ans e idos en la ida eal.
Di e sos es udios ecogidos po Solaz-Po alés y Sanjosé (2012) hablan de dis in os
aspec os en el es udio de la ans e encia en ciencias. En e las cues iones des acables al
espec o en dichos es udios se encuen an: (1) la escasa ans e encia a o os ámbi os de
conocimien os y habilidades cien í icas que supues amen e se han ap endido en el aula
(Keile , 2007), (2) la necesidad de p omo e an o una ans e encia ho izon al como la
e ical pa a el ap endizaje de la Biología (Schönbo n y Bögeholz, 2009), (3) la necesidad
de enseña de o ma explíci a a o mula hipó esis undamen adas, omando como bases
odas las posibles a iables in e inien es en la si uación p oblemá ica (Keselman, 2003),
(4) la necesidad de diseña cu ículos basados en el con ex o de ap endizaje, con ex -based
cou ses, ya que las es uc u as men ales que se elabo an en un de e minado con ex o de
96
ap endizaje son más ú iles pa a comp ende y abo da nue os con ex os (Gilbe , Bul e y
Pilo , 2011), (5) el hecho de que las simulaciones e isadas es imulan la ans e encia (Day
y Gold sone, 2012), (6) el hecho de que las ayudas, consejos, ex os desc ip i os y
e oalimen ación en p oblemas de Física ayudan en la ans e encia (Wa nakulasoo iya y
P i cha d, 2005); así po ejemplo, la apo ación de imágenes explíci as de la solución de un
p oblema uen e mejo a la ans e encia de la solución de un p oblema diana, (7) la
p esen ación de un mismo o ma o en el p oblema uen e y diana ayuda en la ans e encia
análoga en p oblemas de Química con base algeb aica, la po ación de ecuaciones,
símbolos, ca ego ización y consejos bien en el p oblema uen e o en el diana acili a el
mapping o es ablecimien o de co espondencias y po lo an o, la ans e encia analógica
(Ngu y Yeung, 2012) y los e ue zos an o ex e nos como in e nos pa a ecupe a y gene a
in o mación abs ac a a pa i de análogos, acili an el p oceso de ans e encia, (8) el
hecho de que el abajo colabo a i o y en g upo mejo a los esul ados en la esolución de
p oblemas y (9) el hecho de que las di icul ades en p oblemas de ciencias con base
ma emá ica pueden eni dadas en el p oceso de aducción del lenguaje na u al al lenguaje
algeb aico; es o es, en la cons ucción de un modelo de si uación o del modelo de p oblema
(Sanjosé, Valenzuela, Fo es del Valle, y Solaz-Po alés, 2007) o en dé ici s del
conocimien o ma emá ico y no en los p ocesos de ans e encia del dominio ma emá ico al
dominio químico (Po gie e , Ha ding yEngelb ech , 2008)
Desde ámbi os in e nacionales, como el de los In o mes PISA, se insis e en el
in e és po las comp encias de iniendo la al abe ización en dis in as compe encias. He aquí
las dos incluidas en es a in es igación:
PISA 2003 (ISEI-IVEI, 2004, Pág. 26)de ine lo que se conside a la al abe ización
ma emá ica y cien í ica como:
la capacidad indi idual pa a iden i ica y comp ende la unción que desempeñan
las ma emá icas en el mundo ac ual, emi i juicios undamen ados y se capaz de
u iliza las en las necesidades de la ida pe sonal, labo al y social, ac ual y u u a,
como ciudadano cons uc i o, comp ome ido y capaz de azona
la al ebe ización cien í ica (como “la capacidad pa a emplea el conocimien o
cien í ico, iden i ica p egun as y ob ene conclusiones basadas en p uebas, con el in de
comp ende y ayuda a oma decisiones sob e el mundo na u al y los cambios que la
ac i idad humana p oduce en él.
T ans e encia desde las didác icas 97
Las didác icas no son ajenas a las necesidades sociales y educa i as. Las didác icas
de las ciencias y de las ma emá icas -al igual que o as- ienen como obje o de es udio la
enseñanza-ap endizaje de los con enidos especí icos y el ealiza p opues as de mejo a
espec o al ap endizaje de los mismos. En es os momen os nos encon amos en una
e olución cul u al ya que los conocimien os se ponen a expensas del hace ; es deci ienen
sen ido po que con ibuyen a una inalidad que no es la de acumula leyes, da os, e c.
Además dicha u ilización ha de se dinámica y lexible po que los cambios que se
p oducen son a iados y di íciles de p edeci . El é mino compe encia y el de ans e encia
an unidos ya que sin el segundo es imposible de ini el p ime o y, de ahí, la necesidad de
que las dis in as didác icas in es iguen en p o undidad el an complejo p oceso de la
ans e encia. Sin emba go, exis e una g an desmo i ación en los cen os educa i os, que
demanda una necesidad de plan ea nue as mi adas y pis as de mejo a.
Es po ello, que desde las didác icas an o de las ma emá icas como de las ciencias
iene especial ele ancia el p oblema de la ans e encia po que ya no es su icien e con
sabe una ley ísica o un concep o ma emá ico, lo que in e esa es la capacidad de u iliza
es e conocimien o, ans e i lo, a la esolución de si uaciones o p oblemas eales.
4.2 Los nue os cu iculos o ien ados hacia el desa ollo de compe encias
Los sis emas educa i os de la mayo ía de los países del mundo, sin dis inción de
ideologías, se han mo ilizado pa a ans o ma sus cu ículos o iciales en cu ículos
basados en compe encias, a suge encia de ins ancias in e nacionales como la O ganziación
de Naciones Unidas (ONU), la O ganización de las Naciones Unidas pa a la Educación, la
Ciencia y la Cul u a (UNESCO) y la O ganización pa a el Come cio y el Desa ollo
Económico (OCDE).
A pa i de aquí jun o a la Es a egia de Lisboa y a a és del Ma co de Re e encia
Eu opeo común se de inen las ocho compe encias cla e que se conc e an a ni el de paises
y comunidades au ónomas, como es el caso de la Comunidad Au ónoma Vasca (CAV).
La Ley O gánica 2/2006 de 3 de mayo, de Educación (LOE) se plan ea bajo el
pa aguas compe encial y pos e io men e la CAV en el uso de sus compe encias elabo a los
dec e os co espondien es, in eg ando las enseñanzas mínimas es ablecidas con ca ác e
básico pa a odo el Es ado. A pa i del cu so 2007-08 comienza la implan ación de la
LOE.
98
En el documen o ma co pa a el Cu ículo Vasco (AA.VV., 2005) al p ecisa qué
en iende po compe encia es ablece la es ablecida po DeSeCo (2013):
la capacidad de esponde a demandas complejas y lle a a cabo a eas di e sas de
o ma adecuada. Supone una combinación de habilidades p ác icas, conocimien os,
mo i ación, alo es é icos, ac i udes, emociones y o os componen es sociales y de
compo amien o que se mo ilizan conjun amen e pa a log a una acción e icaz
Apoyados en dicha de inición en el cu iculum asco (AA.VV., 2005) se indican
dos ma ices especí icos: uno semán ico y o o es uc u al. El p ime o indica: la capacidad
pa a en en a se con ga an ías de éxi o a las a eas simples o complejas en un con ex o
de e minado .Mien as que el segundo expone que “…una compe encia se compone de una
ope ación (una acción men al) sob e un obje o (que es lo que habi almen e llamamos
conocimien o) pa a el log o de un ín de e minado”
La CAV dis ingue ocho compe encias en las e apas de educación obliga o ia
(Dec e o 175/2007, modi icado en 2010):
1. Compe encia en comunicación lingüís ica.
2. Compe encia ma emá ica.
3. Compe encia en cul u a cien í ica, ecnológica y de la salud.
4. T a amien o de la in o mación y compe encia digi al.
5. Compe encia pa a ap ende a ap ende .
6. Compe encia social y ciudadana.
7. Au onomía e inicia i a pe sonal.
8. Compe encia en cul u a humanís ica y a ís ica.
La compe encia ma emá ica,
consis e en la habilidad pa a u iliza y elaciona los núme os, sus ope aciones
básicas, los símbolos y las o mas de exp esión y azonamien o ma emá ico, an o
pa a p oduci e in e p e a dis in os ipos de in o mación, como pa a amplia el
conocimien o sob e aspec os cuan i a i os y espaciales de la ealidad, y pa a
esol e p oblemas elacionados con la ida co idiana y el mundo labo al”. La
compe encia cien í ica, ecnológica y de la salud consis e en “la habilidad pa a
in e ac ua con el mundo ísico, an o en sus aspec os na u ales como en los
gene ados po la acción humana, de al modo que se acili a la comp ensión de
sucesos, la p edicción de consecuencias y la ac i idad di igida a la mejo a de las
T ans e encia desde las didác icas 105
lo an o, no se es en e amen e compe en e o comple amen e incompe en e. Se p oducen
dis in os g ados que ienen que e con las condiciones que in e ienen en el p opio
p oceso de ap endizaje (los esquemas de conocimien o y los conocimien os p e ios, la
inculación p o unda en e los nue os con enidos y los conocimien os p e ios, el ni el de
desa ollo, la zona de desa ollo p óximo, la disposición pa a el ap endizaje, la
signi ica i idad uncional de los nue os con enidos, la ac i idad men al y el con lic o
cogni i o, la ac i ud a o able, el sen ido y la mo i ación, la au oes ima, el au oconcep o,
las expec a i as, la e lexión sob e el nue o ap endizaje, la me acognición).
El abajo po compe encias es á basado en dos cons a aciones: (1) la ans e encia
y la mo ilización de las capacidades y conocimien os no son dadas en ma cha, es
necesa io abaja las, in oluc a se, pa a lo cual se necesi a iempo, ges iones didác icas y
si uaciones ap opiadas; (2) en la escuela, no se abajan su icien emen e la ans e encia y
la mo ilización. El alumnado acumula conocimien os, pasa exámenes, pe o no llega a
mo iliza es os ace os en las si uaciones de la ida, en el abajo y ue a (en la amilia, la
ciudad, el ocio, e c.). Po consiguien e, el en oque po compe encias es una mane a de
abo da una p oblemá ica an igua, la de la ans e encia de conocimien os (Pe enoud,
1997).
4.4 Sín esis
En es e capí ulo se han expues o los concep os an o de la al abe ización cien í ica
como de la ma emá ica, ambos obje i os p io i a ios pa a una Educación del siglo XXI.
Además se han de inido los concep os de compe encia ma emá ica y cien í ica según el
cu iculum asco y en qué modo los p ime os y los segundos se encuen an elacionados.
Se des aca que pa a que una pe sona sea conside ada como compe en e debe á se capaz de
ans e i , p oceso complejo que equie e un mecanismo de ac i ación de ecu sos pa a
pode aplica lo ap endido e incluso ap ende en la nue a si uación. Pa a ello es necesa io
que desde la escuela se p opicie es e p oceso de modo ac i o, ya que no hay compe encia
sin ans e encia.

106
5 CAPÍTULO . EL CONCEPTO DE FUNCIÓN Y SU USO EN LAS
CIENCIAS
1. Las ep esen aciones en Ma emá icas
2. Concep o de unción
3. El p oceso de o mación del concep o unción
4. La cons ucción del lenguaje algeb aico
5. In e p e ación de g á icas
6. Ni eles a alcanza po el alumnado de 15 años en el concep o de unción
7. Ta eas y acciones elacionadas con el concep o unción
8. Di icul ades en el ap endizaje del concep o unción y p opues as de mejo a
9. Sín esis
El concep o de unción y su uso en las ciencias 107
El desa ollo de la ciencia adicionalmen e se ha is o acompañado po c eación de
dis in os concep os ma emá icos con sus di e sos o ma os ep esen acionales o lenguajes.
En e los concep os indispensables pa a el a ance de la ciencia se encuen a el modelo
eó ico de unción, que ha des acado en la his o ia de g andes campos de in es igación y
juega un papel undamen al en el desa ollo de muchos concep os ma emá icos, como es el
caso del cálculo. Un ejemplo pa adigmá ico del papel desempeñado po es e modelo
ma emá ico y el lenguaje asociado a él pa a la c eación de modelos cien í icos y lenguaje
asociados a los mismos, es la es echa elación en e la e olución de la ísica y de las
ma emá icas. Las ma emá icas se han con e ido, po an o, en el lenguaje de la ciencia po
excelencia o al menos en uno de los sis emas ep esen acionales más impo an es de las
di e sas ciencias.
5.1 Las ep esen aciones en ma emá icas
El concep o de unción es ans e sal desde los cu sos de a enseñanza secunda ia
has a los es udios uni e si a ios, donde con ecuencia se u iliza pa a modela p ocesos
ísicos, químicos, biológicos, sociales, de ingenie ía, e c. Po o a pa e, di e sas
in es igaciones indican se ias di icul ades en el alumnado sob e la comp ensión de es e
concep o.
La in es igación en Didác ica de las Ma emá icas hoy día iene en e sus obje i os
el es udio p o undo de los p ocesos cogni i os implicados en la cons ucción de
conocimien o; se obse a una e olución desde el es udio de los e o es y las di icul ades
del alumnado hacia las in es igaciones más ecien es que a an de explica el
conocimien o del alumando que subyace a dichas di icul ades, po que el ac o de
comp ende es inhe en e a cada es udian e (Azcá a e, 1995; Azcá a e y Camacho 2003).
Tal como indica es a au o a, los p ocesos cogni i os implicados en el pensamien o
ma emá ico se ían: ep esen a , isualiza , gene aliza , clasi ica , conje u a , induci ,
analiza , sin e iza , demos a , abs ae , y o maliza (Azcá a e y Camacho, 2003). Las
publicaciones que se han e e ido a la impo ancia de las ep esen aciones en la educación
ma emá ica han sido abundan es. La azón de ello es iba en que habla de ep esen ación
equi ale a habla de conocimien o, signi icado, comp ensión y modelización, en e o os
aspec os. Según Jan ie (1987b), el ap endizaje ma emá ico consis e en la capacidad de
maneja un conjun o de ep esen aciones. Es as ep esen aciones deben se conside adas
108
como una combinación de es componen es: símbolos esc i os, obje os eales e imágenes
men ales, y el lenguaje adquie e un papel impo an e en dicha conjugación.
Los é minos ep esen ación y sis ema de ep esen ación pa a Goldin y Jan ie (1998)
ienen las siguien es in e p e aciones:
1. Una ex e na, e e ida a la si uación ísica o al conjun o es uc u ado de si uaciones
del en o no ísico, que se puede desc ibi ma emá icamen e o se is o como la
mezcla de las ideas ma emá icas.
2. Una lingüís ica, o un sis ema de la lengua, donde se plan ea un p oblema o ideas
ma emá icas con én asis en las ca ac e ís icas es uc u ales sin ác icas y semán icas.
3. Una ma emá ica o mal, o un sis ema de cons ucción ma emá ica, que puede
ep esen a si uaciones median e símbolos o a a és de un sis ema de símbolos,
que, po lo gene al, obedece a cie os axiomas o con o me a de iniciones p ecisas -
incluyendo cons ucciones ma emá icas que pueden ep esen a aspec os de o as
cons ucciones ma emá icas-.
4. Una in e na, ya sea una con igu ación cogni i a indi idual o un sis ema complejo
de es e ipo de con igu aciones, deducida a pa i del compo amien o o la
in ospección, y que desc ibe algunos aspec os de los p ocesos de pensamien o
ma emá ico y de la esolución de p oblemas.
En los di e en es p og amas de in es igación en didác ica de las ma emá icas se
pueden encon a dos usos del é mino ep esen ación. Po una pa e, se usa es e é mino
pa a desc ibi la cognición de las pe sonas en cuyo caso suele i acompañado del é mino
men al o in e na. Son las imágenes que se c ean en la men e pa a ep esen a p ocesos u
obje os ma emá icos. Es e ipo de ep esen aciones son más di íciles de desc ibi ya que no
se puede conoce di ec amen e lo que hay en la men e de una pe sona.
Po o a pa e, es no mal u iliza el é mino ep esen ación pa a e e i se a los
sis emas de signos públicos que son las he amien as indispensables pa a la ac i idad
ma emá ica. Cuando el é mino ep esen ación se u iliza con es e obje i o suele i
acompañado del é mino ex e na (g á icas, exp esiones simbólicas, e c). La di e encia
en e las espues as del alumnado pe mi e supone la exis encia de ep esen aciones,
conside adas no malmen e como in e nas, que es án elacionadas con las dis in as
espues as de cada pe sona, ya que la in es igación sugie e que si una pe sona es capaz de
esol e p oblemas, al ez se debe en g an pa e a su habilidad de cons ui
El concep o de unción y su uso en las ciencias 109
ep esen aciones men ales que le ayudan a en ende la in o mación y la elación con la
si uación p oblemá ica.
Pod ía deci se que a mayo iqueza de ep esen aciones men ales de los concep os
ma emá icos se á mayo la capacidad pa a en en a se a si uaciones ma emá icas y, po
consiguien e, ambién a las si uaciones cien í icas que necesi an del ma co e e encial
ma emá ico pa a pode las en ende las globalmen e. En es e abajo se acep a la p opues a
de Azcá a e (1995) en el sen ido de que una ep esen ación men al es ica si e leja muchos
aspec os elacionados con el concep o, y es pob e si iene pocos elemen os, ya que que
exis i á poca lexibilidad a la ho a de a on a la esolución de p oblemas cien í icos. Es a
au o a ambién señala que el éxi o en Ma emá icas se puede elaciona con la iqueza de las
ep esen acioens men ales de los concepo s ma emá icos.
Así Azcá a e (1995) en e e encia a la u ilización de ep esen aciones men ales:
- Ni el 1: u iliza una sola ep esen ación,
- Ni el 2: u iliza más de una ep esen ación,
- Ni el 3: es ablece elaciones en e las ep esen aciones pa alelas,
- Ni el 4: pasa de una ep esen ación a o a con lexibilidad,
- Ni el 5: u iliza esa lexibilidad pa a la complemen a iedad de in o maciones y
conclusiones
- Ni el 6: el modelo g á ico de la unción es is o como un obje o ma emá ico con
en idad independien emen e de la si uación que lo gene ó.
Sin emba go, pa a Fon , Godino y D´Amo e (2007), en e o as in es igaciones que
analizan las ep esen aciones desde el pun o de is a on osemió ico, la di e enciación en e
ep esen aciones men ales o in e nas y ep esen aciones ex e nas no es una clasi icación
anspa en e, ya que obliga a p egun a se qué an ecede a qué, si las ep esen aciones
in e nas a las ex e nas o ice e sa. La mayo ía de las co ien es de la piscología cogni i a
conside an más básicas las ep esen aciones in e nas, pues o que alo an que pa a que las
ex e nas sean ep esen aciones han de se ep esen adas men almen e po quien las usa.
Además, conside an que las ep esen aciones men ales pueden exis i sin un duplicado
público ya que, po ejemplo, muchos de nues os ecue dos no son comunicados jamás.
Pe o la mayo ía de cien í icos y cien í icas sociales y muchas ilóso as y ilóso os no es án
de acue do con ello.
Pa a Du al (1999), las ep esen aciones ex e nas no sólo pe mi en la comunicación
sino que son esenciales pa a la ac i idad cognosci i a del pensamien o. El desa ollo de las
110
ep esen aciones men ales o in e nas es a ía mediado po la in e io ización de dichas
ep esen aciones ex e nas, ya que ello in luye en di e en es unciones cogni i as como la
obje i ación, la comunicación p opiamen e dicha y el a amien o de dichas
ep esen aciones. Pa a Du al, la di e si icación de ep esen aciones ex e nas (semió icas)
de un mismo obje o, aumen a la comp ensión de las pe sonas. Recip ocamen e, las
ep esen aciones ex e nas (enunciados, g á icos, e c.) son el medio median e el cual las
pe sonas ex e io izan sus imágenes y ep esen aciones men ales, haciéndolas accesibles a
o as pe sonas (Fon , 2000). Asi mismo, de e minan la p oducción de conocimien os, pues
pe mi en ep esen aciones adicalmen e di e en es de un mismo obje o en la medida que
pueden hace su gi sis emas semió icos o almen e di e en es. En las di e sas disciplinas
cien í icas la elación en e los dis in os sis emas de ep esen ación es esencial. A menudo,
el ap endizaje en un con ex o se encuen a elacionado con la capacidad de lle a a cabo la
adución en e los dis in os ipos de ep esen aciones.
Las ep esen aciones ex e nas ( abla de da os, g á ico, exp esión algeb aica) ayudan
a la c eación del modelo de la si uación o o ma o ep esen acional. Así las
ep esen aciones ex e nas, como c eaciones cul u ales que son, ienen en e sus unciones
las de cambia la na u aleza y la o ma en que uncionan nues as ep esen aciones sob e
cie os ámbi os o con enidos del mundo (Pozo, 2003; Pozo y Rod igo, 2001).
Po lo an o, los lenguajes ma emá icos, como lenguajes de las ciencias, cumplen
una unción epis émica de ca ác e me a ep esen acional ya que pe mi en pensa sob e el
p opio conocimien o median e códigos o malizados y, po lo an o, ab en la pue a a
nue as o mas de conocimien o que de o a mane a no se ían posibles. Cuando se lle a a
cabo una ac i idad ma emá ica –con iniciación de lec u a de enunciado-, el núme o de
imágenes men ales es más y, po ello, pa a pode esol e el p oblema con ex ualizado es
necesa ia una cohe encia o al en e los di e sos modelos men ales c eados an o desde el
pu no de is a ma emá ico como del cien í ico.
Po ello el ap endizaje de un concep o ma emá ico pudie a es a elacionado con la
ep esen ación ex e na y el lenguaje u ilizados en la in oducción de dicho concep o.
Di e sos es udios han pues o de elie e que, en de e minados casos, la al a de
signi icación de lenguaje u ilizado es un obs áculo insal able pa a la adquisición de un
de e minado concep o o pa a el desa ollo de cie o p oceso.
Tall y Vinne (1981) den o del Pensamien o Ma emá ico A anzado (PMA), a an
de es ablece una elación en e dos aspec os in e conec ados del concep o, la de inición

El concep o de unción y su uso en las ciencias 111
del concep o (concep de ini ion) y la imagen del concep o (concep image). Cuando
escuchamos o emos el momb e de un obje o, algo es e ocado en nues a memo ia; lo
e ocado no es la de incición del concep o sino la imagen del concep o de ese obje o
(Vinne , 1991). La de inición concep ual es aquella secuencia de palab as que explica el
concep o y cuya p ecisión a ía desde las de iniciones o males acep adas po la
comunidad cien í ica, has a las de inicines pe sonales que se u ilizan pa a cons ui o
econs ui la de inición o mal. La imagen del concep o (concep image), es algo no
e bal asociado en nues a men e con el nomb e del concep o. Puede se una
ep esen ación isual del concep o, en el caso de que el concep o con enga
ep esen aciones inusuales; ambién puede se una colección de imp esiones o
expe iencias. Las ep esen acioens, las igu as men ales, las imp esiones y las expe iencias
asociadas con el nomb e del concep o pueden se aducidas e balmen e.- la aducción
e bal no iene po que se la p ime a-. Así, cuando se excucha la palab a unción puede
e ocaca se una exp esión y= (x) o un ipo de unción y=3x.
La p opues a de Vinne (1991) ha sido enida en cuen a en las in es igaciones
ealizadas en la Uni e sidadd Au ónoma de Ba celona (UAB) den o del p oyec o
P ocesos de pensamien o a anzado, si bien Azcá a e (1995) u iliza el é mino esquema
concep ual, en luga de imagen concep ual pa a e e i se a la es uc u a cogni i a que una
pe sona iene de un concep o ma emá ico, y se de ine como el conjun o de odas las
imágenes men ales, donde ambién se incluye cualquie ep esen ación ex e na: o ma
simbólica, diag ama, g á ica, e c. asociada al concep o, conjun amen e con odas las
p opiedades y p ocedimien os que la ca ac e izan. Po lo an o, se desc ibe el esquema
concep ual como algo no e bal que se asocia en nues a men e con el nomb e del
concep o, es deci aquello que se ecue da cuando se escucha o se e el nomb e del
concep o. Se cons uye a lo la go de los años a a és de la de expe iencias de odo ipo y
a cambiando según la pe sona madu a y halla nue os es ímulos (Tall y Vinne (1981;
Azcá a e y Camacho, 2003).
Es impo a ne eco da que las exp esiones e bales no son siemp e la p ime a
e ocación de un concep o, así la exp esión y=x puede isualiza una g á ica o puede
isualiza un ipo de unción de e minado.
Sin emba go, las imágenes men ales sob e el concep o ma emá ico, así como el
p oceso de su manipulación, es án sus en adas en las expe iencias p e ias (ma emá icas o
no) de cada es udian e. Así, muchas de dichas expe iencias p e ias ienen elación o se
112
gene an en el p opio p oceso de enseñanza en el cual se p esen a en ocasiones, el
conocimien o ma emá ico sólo como un p oduc o inal y e inado. En g an medida, la
clasi icación del alumnado de di e en es ipos de elaciones depende an o de la de inición
o mal de la unción que se le ha enseñado, como de las imágenes del concep o o men ales
que ha desa ollado basándose en ejemplos que se le han p esen ado (Vinne , 1983). La
in es igación en didác ica de la ma emá ica ha mos ado que algunas de las di icul ades en
el ap endizaje de concep os -como el de las g á icas- son p o ocadas po un mé odo de
enseñanza basado en u inas (Leinha d , Zasla sky y S ein (1990).
5.2 Concep o de unción
A pesa de los nume osos es udios sob e la his o ia de las ma emá icas, exis en
pocos abajos dedicados especí icamen e al o igen del concep o unción y además las
opiniones de sus au o es y au o as son dis in as e incluso con adic o ias. Así, mien as
algunas in es igaciones admi en cie o ca ác e uncional en algunas ope aciones
ma emá icas de la an igüedad (especialmen e en abajos de as onomía de la comunidad
cien í ica babilónica, de P olomeo o de la comunidad cien í ica á abe), es en la época de
Desca es, Fe ma , New on y Leybni z (mediados del siglo XVII) cuando puede deci se
con ce eza que dicho concep o adquie e en idad aunque bas an e es ingida, ya que se
educía a unciones analí icas y poco más. Du an e es a época se en iende la unción como
dependencia en e dos can idades a iables. Se conside aba p ác ica pa a calcula alo es
de enómenos es udiados. Sin emba go, es a de inción enía algunas limi aciones, ya que
exp esiones dis in as pueden a oja los mismos alo es y no odas las dependencias en e
dos can idades pueden exp esa se de la misma mane a. A pa i del siguien e siglo, con
Eule , las gene alizaciones se suceden has a llega a las de iniciones más ecien es del
concep o.
Así, en 1837 Di ichle ya p opuso la de inición mode na de unción númé ica como
cualquie co espondencia en e dos conjun os numé icos, que asocia a cada núme o en el
p ime conjun o un único núme o en el segundo.
En el siglo XIX y XX se cons uye la de inción ac ual de unción como
co espondencia en e dos conjun os de obje os cualesquie a, no necesa iamen e
numé icos.
El concep o de unción y su uso en las ciencias 113
Hoy día, desde el pun o de is a cogni i o, la comp ensión de un concep o
ma emá ico pasa po la in eg ación de ep esen aciones men ales, ambién de las
ep esen aciones ex e nas asociadas al obje o (Fon e al., 2007). Po ello, es impensable
disocia el concep o de unción de sus ep esen aciones ex e nas ya que és as u ilizan
dis in os lenguajes p ecisos, y son conside adas he amien as epis émicas undamen ales,
po que además de pe mi i explica algunos elemen os del conocimien o, pe mi en
con e i el conocimien o en obje o.
Sin emba go muchas de las di icul ades en el ap endizaje de las ma emá icas se
encuen an elacionadas con la a iculación en e las di e en es mane as de ep esen a el
concep o. En es e sen ido, Jan ie (1987a) plan ea la necesidad del es udio de la aducción
( a ea de anslación) en e los dis in os ipos de ep esen ación ( e bal, abla, g á ica y
exp esión algeb aica). A ello cabe añadi que Leinha d e al. (1990) señalan di icul ades
en dos ipos de acciones elacionadas con dichas a eas: de in e p e ación, en las que el o la
es udian e ob iene un signi icado (o in o mación) o de cons ucción, en la cual debe
gene a una cosa nue a. Pa a dichos au o es, las di icul ades en es as dos acciones en
cuan o a g á icos se e ie e ienen incidencia en el p oceso de ap endizaje del concep o de
unción, has a el pun o de que pueden con e i se en un obs áculo pa a el alumnado.
La p ime a ep esen ación ex e na es la más ce cana al enómeno es udiado, la
menos simbólica y, la segunda, da una isión desc ip i a y gene almen e cuali a i a de la
elación uncional. La abla de alo es da una isión cuan i a i a – ácilmen e in e p e able
desde la óp ica de la co espondencia- pe o en la mayo ía de los casos pa cial e insu icien e
pues o que de ella di ícilmen e se pueden ex ae las ca ac e ís icas globales de la unción
(Azcá a e y Deulo eu, 1996; Deulo eu, 1991).
Los dos lenguajes de mayo abs acción y po lo an o más di íciles de in e p e a -
la g á ica y la ó mula o exp esión algeb aica-, pe mi en ob ene una isión gene al y
comple a de la unción es udiada ( a iaciones, pe iodos cons an es, c ecimien o,
con inuidad, conca idad, máximos y mínimos, pe iodicidad, e c.), an o cuali a i a como
cuan i a i a -ap oximada en el caso de la g á ica-, p opo cionando mayo y mejo
in o mación que los lenguajes an e io es, al mismo iempo que posibili an la
ca ac e ización de modelos eó icos.
La ecuación es un o ma o de ep esen ación ex e no más complejo que los
an e io es ya que su de e minación a a és del lenguaje algeb aico p esupone, po un lado,
el conocimien o del signi icado de los símbolos u ilizados y, po o o, la in e p e ación a
114
a és de ellos de subconcep os abs ac os (pendien e, o denada en el o igen), que es
posible in ui más ácilmen e a a és de la g á ica. Po o o lado, la ecuación pe mi e
de e mina alo es de ambas a iables con p ecisión, siemp e que se conozca el algo i mo
de esolución de la ecuación co espondien e.
Po lo an o, las dis in as ep esen aciones cons i uyen pa e de la cons ucción del
concep o de unción. Desde la p esen e in es igación se sugie e que dicho concep o es una
clase de coo dinación (diSessa y She in, 1998; diSessa, 2002) que engloba o a se ie de
concep os que se án denominados como subconcep os en es a in es igación. Los
subconcep os que se han endio en cuen a en es a esis son: a iable, pendien e y o denada
en el o igen.
5.3 El p oceso de o mación del concep o unción
Han sido a ias las p opues as que a an de analiza cómo se lle a a cabo el
p oceso de adquisicón de un concep o ma emá ico. En e ellas se puede des aca la de dos
secuencias de desa ollo, dis in as y simul áneas, que empiezan una po la pe cepción de
los obje os y la o a con la acción sob e ellos. La ac i idad ma emá ica comienza, en
gene al, po la pe cepción de los obje os en o ma isoespacial, con inúa con la e bal,
seguida de la clasi icación y po úl imo las deducciones e bales. En es e sen ido Tall
(1997) de ine el é mino p ocep o (p ocedimie o y concep o) como “el obje o men al
combinado que consis e en un p oceso, un concep o p oducido po dicho p oceso, y un
símbolo que se puede usa pa a signi ica cualquie a de los dos o los dos” (Azcá a e y
Camacho, 2003 pág 139). Un ejemplo de ello, se ía la unción (x)=3x, que ep esen a
simul áneamen e el p oceso de cómo calcula la unción (x) pa a un alo pa icula de x,
y el obje o, es deci el concep o de unción pa a un alo gene al de x. Vinne y D ey us
(1989) se han e e ido a dos pe spec i as (la pe spec i a p oceso y la pe spec i a obje o)
pa a analiza lo que signi ica comp ende lo. Desde la pe spec i a p oceso se conside a que
las unciones conec an los alo es de x e y, es deci , a cada alo de x le co esponde un
alo de y. Desde la pe spec i a obje o, la unción se con empla de o ma global, como un
odo.
La dis inción de las unciones como un p oceso o como un obje o ayuda a en ende
el p oceso de o mación del concep o unción. Si se concibe como un p oceso es una
concepción ope acional, mien as que cuando se conside a como un obje o es una
El concep o de unción y su uso en las ciencias 121
obs an e se ap ecia una al a de conexión con los aspec os de ipo ma emá ico, po ejemplo
con el ni el algeb aico, excep o en p oblemas de ísica donde a menudo se educen a la
u ilización de algo i mos.
Desde dis in as in es igaciones se insis e en la g an impo ancia de la in e p e ación
de g á icos y de su ca ác e g adual; sin emba go, la enseñanza de las ma emá icas se ha
cen ado a menudo en la manipulación o mal de símbolos. Es o ha lle ado, en e o os
mo i os, a que el alumnado no incule dichas o malizaciones con su conocimien o
in o mal, bloqueando el acceso al signi icado de los con enidos ma emá icos (Gómez-
G anell, 1993; Resnick, 1987).
En cuan o a en ende pa ones, elaciones y
unciones
 gene aliza pa ones usando unciones
de inidas explíci amen e;
 en ende las elaciones y las unciones y
selecciona , con e i de mane a lexible
en e, y usa a ias ep esen aciones de ellas;
 in e p e a las ep esen aciones de unciones
de dos a iables.
En cuan o a ep esen a y analiza si uaciones
y es uc u as ma emá icas u ilizando símbolos
algeb aicos
 desa olla una comp ensión concep ual sob e
di e en es usos de las a iables;
 explo a elaciones en e exp esiones
simbólicas y g á icos de líneas, p es ando
especial a los signi icados de in e cep o y la
pendien e;
 usa álgeb a simbólica pa a ep esen a
si uaciones y esol e p oblemas,
especialmen e aquellos que in oluc an
elaciones lineales;
 en ende el signi icado de o mas equi alen es
de exp esiones, ecuaciones, desigualdades y
las elaciones.
En cuan o a usa modelos ma emá icos pa a
ep esen a y en ende elaciones cuan i a i as
 iden i ica elaciones esenciales cuan i a i as
en una si uación y de e mina la clase o clases
de unciones que pod ían modela las
elaciones;
 llega a conclusiones azonables sob e una
si uación que se es á modelizando.
En cuan o a analiza el cambio en a ios
con ex os
 ap oxima e in e p e a las asas de a iación
de los da os g á icos y numé icos.
Figu a 5-6. Ni eles a alcanza en el ap endizaje de las unciones (Na ional Council o Teache s o
Ma hema ics, 2000).
El concep o de unción incluye ambién aplicaciones al mundo eal y al mundo
cien í ico pe o, en gene al, en la disciplina de ma emá icas los ejemplos con ex ualizados

122
se diseñan pa a ahonda en el en endimien o del alumnado de concep os ma emá icos más
abs ac os y, quizás, pa a inc emen a su mo i ación. Así, en las aplicaciones que el
p o eso ado de ma emá icas o ece en sus clases no siemp e p opo ciona p oblemas eales
en é minos de cómo la ma emá ica o la ciencia de ini ía un p oblema eal ni del modo en
el que lo pe cibe el alumnado.
5.7 Ta eas y acciones elacionadas con el concep o unción
Pa a es a in es igación se ha enido en cuen a el abajo ealizado po Jan ie
(1987a) ecogido ampliamen e po Leinha d e al., 1990). En los ci ados abajos se indica
que el análisis de las unciones y g á icas puede ealiza se a a és de las dis i nas a eas
encomendadas al alumnado, las cuales a su ez son de inidas po cua o pe spec i as que
se solapan pa cialmen e: la acción de la alumna o alumno, la si uación, las a iables y su
na u aleza, y el en oque.
5.7.1 Ta eas
Las a eas hacen e e encia a la labo o abajo a ealiza po el alumnado en un
iempo de e minado. Son cua o las a eas des acadas po Leinha d e al. (1990)
- T anslación: se e ie e p incipalmen e a: (a) el ac o de econoce la misma unción
en ep esen aciones de o mas dis in as, (b) iden i ica en una ep esen ación pa a
una ans o mación especí ica de una unción su co espondien e ans o mación en
o a ep esen ación, (c) cons ui una ep esen ación de una unción dando o a
ep esen ación (cons ucción de ablas, g á icos y ecuaciones). Así las a eas de
anslación pueden depende an o de la in e p e ación como de la cons ucción.
- P edicción: se e ie e a la acción de hace conje u as a pa i de una pa e de la
g á ica donde o os pun os (no dados o no azados explíci amen e) puedan se
localizados, o ambién a cómo debe ían se o as pa es de la g á ica. Mien as
algunas a eas de p edicción dependen de habilidades de cálculo o de in e polación,
o as dependen de la de ección de pa ones an o de la si uación cien í ica
con ex ualizada como de una si uación abs ac a, según S ein y Leinha d y Bickel
(1989). El modo en el que cada es udian e cons uye el es o de la g á ica depende
eno memen e en como él o ella c ee que debe ía pa ece la g á ica (qué es y qué no
es una unción).
El concep o de unción y su uso en las ciencias 123
- Clasi icación: se e ie e a las acciones que implican (a) decidi si una elación
pa icula es una unción (la elación puede p esen a se de cualquie o ma; (b)
iden i ica una unción en e o as elaciones y (c) iden i ica un ipo de especial de
unción en e o as unciones ( unción p opo cional, a ín y unción cons an e).
- Escalas: equie en a ención pa icula a los ejes y a sus escalas y a las unidades que
se miden. Puede sucede que, debido a que la escala se asume o se da en las
ins ucciones ma emá icas (no malmen e la escala es la misma en cada eje), se
con ie a en di ícil de u iliza o accede en pos e io es clases de ciencias donde la
pe sona es quien iene que decidi la escala con enien e pa a la obse ación del
enómeno. Además las a eas de escala es án elacionadas con la unidad sob e odo
en con ex o cien í ico (po ejemplo la elocidad, la solubilidad), es deci , con cuál
puede se la unidad más idónea pa a la ep esen ación de las a iables pa icipan es.
Las a eas de escala son una de las mayo es uen es de ilusiones g á icas
isuales (Leinha d e al., 1990), con i iéndose en obs áculos en el p oceso de
abs acción desde g á icas como ep esen aciones conc e as isuales a g á icas
como ep esen aciones simbólicas. Selecciona y cons ui escalas ap opiadas es un
ema pa icula de los con ex os de labo a o io cien í icos, donde una g á ica que
desc ibe una si uación se aza basándose en las obse aciones que se asladan en
da os numé icos.
5.7.2 Acciones
La acción se e ie e al eje cicio de la posibilidad de hace algo. Son muchas las
acciones eque idas an o e e idas a g á icos como a unciones. Dichas acciones pueden
clasi ica se en dos ca ego ías: in e p e ación y cons ucción –es as ca ego ías no se
excluyen mu uamen e-. La mayo ía de los es udios a an gene almen e de a eas
elacionadas con la in e p e ación.
- In e p e ación se e ie e a la acción median e la cual cada es udian e da sen ido o
consigue nue os signi icados a pa i de una g á ica (o una pa e de la g á ica), una
ecuación uncional o una si uación. La in e p e ación ambién se p oduce ue a de la
g á ica cuando és a desc ibe una si uación conc e a, ya que equie e pasa de la
ep esen ación g á ica a la si uación en sí. La in e p e ación cuali a i a en su sen ido
más comple o equie e obse a la g á ica en e a (o una pa e de ella) y en ende las
elaciones en e las dos a iables y, en pa icula , su pa ón de co- a iación.
124
Cons ucción: se e ie e al ac o de gene a algo nue o, una g á ica o a aza
pun os desde unos da os (o desde una egla de unción o abla). La cons ucción
puede se simple (po ejemplo una ez que se han es ablecido los ejes y la escala,
inco po a da os a pa i de una abla de da os o denados) o compleja (po ejemplo,
cons ui una ecuación que ep esen e una g á ica p e iamen e dada). En és e
úl imo caso, an o el en oque como la elección de da os pa a es ablece la ecuación
no suelen es a cla os (Ma ko i s, Eylon y B uckheime , 1986; S ein e al., 1989;
Ye ushalmy, 1989).
Las acciones de in e p e ación y la cons ucción pueden se de ca ác e local o
global. Además compa en una se ie de ca ac e ís icas comunes, en el sen ido de que la
acción puede ene luga en cualquie a de los espacios (g á ico, algeb aico o de la
si uación), o mo e se de un espacio a o o. La acción de in e p e ación no suele eque i la
cons ucción; sin emba go, és a muchas eces se basa en algún ipo de in e p e ación.
5.7.3 Si uación
Cada a ea se puede ep esen a en una g an a iedad de si uaciones en las cabe
des aca el en o no de la a ea y el con ex o del p oblema.
- En o no: se e ie e a la si uación en la cual se p esen a la unción o la g á ica. La
mayo ía de es udios que se cen an en el es udio de las unciones lo hacen desde la
pe spec i a de la educación en ma emá icas o, en meno medida, englobando a las
disciplinas de Física y Ma emá icas. Las in es igaciones desde la pe spec i a de
in e acciones en e los enómenos ísicos, químicos y sus ep esen aciones g á icas
son escasas y más aún el análisis de la ans e encia del concep o ma emá ico a los
con ex os cien í icos, como se ha abo dado en es a in es igación.
- Con ex o: se e ie e a la si uación del p oblema y puede se más o menos
con ex ualizado o abs ac o.
5.7.4 Va iables y su na u aleza
Las a iables son los obje os de las unciones y de las g á icas; son los da os, an o
los conc e os como los abs ac os. En g á icas bidimensionales las a iables pueden ene
o mas igulaes o di e en es, en endiéndose po o ma la p opiedad de unidad, an o si es
ca egó ica como o dinal o de in e alo.
El concep o de unción y su uso en las ciencias 125
5.7.5 En oque
El en oque se e ie e a la localización de la a ención den o de una a ea especí ica,
po ejemplo, la di ección de la g á ica o los de alles de los ejes. El en oque puede i
cambiando desde un emplazamien o a o o, po ejemplo, encon a un pun o y luego
in e p e a lo. Po lo an o, el en oque abo da cues iones de a ención y exposición,
des acando las in e secciones (pun o de encuen o) y las elaciones de o igen (o denada en
el o igen). El en oque es una cues ión pa icula men e c í ica.
Las a eas de p edicción equie en en oca en la pa e isible o en una pa e dada de
la unción o g á ica que se señalan en el p oblema con espec o a lo que al a. Las a eas de
clasi icación equie en en oca en la ecuación o g á ica como un odo con espec o a un
c i e io conocido (una de inición). Las a eas de anslación a aen el en oque desde un
asgo pa icula de una unción a una ep esen ación del mismo asgo en o as
ep esen aciones (po ejemplo, la in e sección y y b de una g á ica en la ecuación
y=mx+b). Las a eas de escala es án conec adas di ec amen e con los ejes, y equie en que
el en oque se cen e casi po comple o en el sis ema de coo denadas.
5.8 Di icul ades en el ap endizaje del concep o unción y p opues as de
mejo a
Un de e minado concep o ma emá ico a amen e apa ece aislado de o os ya que, en
muchos casos, bajo el concep o subyacen dis in os obje os. El concep o de unción (en su
o ma más a anzada) es ex emadamen e complejo debido a a ios ac o es:
(a) no malmen e es á asociado con o os concep os ma emá icos complejos (po ejemplo,
las a iables, el desa ollo, los lími es, los ex emos, los signi icados pic o iales),
(b) es in eg a i o po na u aleza, aunando a ios subconcep os y campos de las
ma emá icas,
(c) apa ece en múl iples ep esen aciones (D ey us y Eisenbe g, 1982).
Es posible abo da la idea de unción desde cada uno de es os concep os, con lo
cual se pond án de elie e dis in as ca ac e ís icas, di e en es isiones de lo que se en iende
po unción. Es os dis in os en oques, llamados dominios semán icos (Jan ie , 1983) ienen
una g an impo ancia pa a el ap endizaje, pues o que el abajo en cada uno de ellos iene
unas ca ac e ís icas de e minadas y su ans e encia a o os dominios es muy di ícil de
ealiza .
126
5.8.1 Las in uiciones
Las in uiciones son asgos del conocimien o de cada es udian e sob e una pa e
especí ica de las ma emá icas que su gen p incipalmen e po las expe iencias dia ias,
aunque en el alumnado más a anzado pueden implica una mezcla de conocimien o dia io
y conocimien o o mal p o undo. Se poseen en gene al an es de llega a las escuela (el
conocimien o puede habe sido ins uido o no).
Según los es udios de Piage (1977) la exis encia de un en endimien o implíci o de
unción se si úa a la edad de 3 años y medio; o os los si úan en e los 5 o 6 años de edad,
las y los escola es comp enden la na u aleza de dependencias uncionales, es deci ,
solucionan p oblemas que aba can la na u aleza de dependencias uncionales,
solucionando p oblemas que incluyen es as elaciones en una a iedad de ámbi os
concep uales.
En e las ca ac e ís icas del conocimien o in ui i o según Malik leído Leinha d e
al., (1990), se incluyen las nociones sob e la dependencia, causalidad y a iación. Las y los
escola es desde emp ana edad se dan cuen a de que algunas cosas “ an jun as” en el
mundo eal y espe an que las cosas cambien con el iempo y que haya algún pa ón sob e
ese cambio. Mien as que es as nociones in an iles de las unciones se basan en un sen ido
implíci o de las a iables (és as poseen a ibu os de se conc e as, dinámicas y con inuas),
la de inición o mal de la unción es “algeb aica en espí i u, que llama a una ap oximación
disc e a y ca ece de un sen ido pa a las a iables”
En gene al las si uaciones del mundo eal, ope an exi osamen e a la ho a de azona
en el ámbi o de la ealización de las g á icas. El alumnado ecu e a sus expe iencias sob e
cosas que cambian simul áneamen e con base pa a in e p e a las g á icas; pe o a eces,
con unden asgos g á icos que co esponden a ni eles pic o iales con aspec os de la
si uación (Jan ie , 1987a; Ke slake, 1981; Leinha d e al., 1990; McDe mo , Rosenquis y
Van Zee, 1987).
5.8.2 Fo mas al e na i as de pensa
Las ideas al e na i as se de inen como los asgos inco ec os desde el pun o de
is a del conocimien o o mal, epe ibles y explica i os del alumnado. Una idea al e na i a
puede desa olla se como esul ado de la sob egene alización de un concep o conc e o o
puede se debido a la in e e encia del conocimien o co idiano.

El concep o de unción y su uso en las ciencias 127
Las ideas al e na i as en el á ea de unciones y g á icos son di e en es de aquellas
que se han documen ados en los ex os cien í icos. Mien as que las ideas al e na i as en la
ciencia se o iginan mayo i a iamen e en las obse aciones e in e p e aciones de
acon ecimien os del mundo eal, las ideas al e na i as (e óneas) sob e las unciones y
g á icas a menudo se en elazan con el ap endizaje p e io o mal. Po ejemplo, el concep o
de unción puede e se limi ado debido a la ca encia de ejemplos educacionales a iados, o
puede ealiza se una anslación sin p ecisión debido a la con usión sob e la no ación
simbólica (Schoen eld, 1999). Po ello, las di icul ades e ideas es án asociadas en gene al a
p oblemas de ap endizaje.
En e las di icul ades e ideas dis in as a las o males (cien í icas) se des acan las
siguien es:
- Qué es y qué no es una unción: el alumnado iene un pun o de is a demasiado
es ingido de las o mas que pueden oma las g á icas de las unciones debido a
que las a eas de clasi icación ealizadas en el aula no amplían los ipos exis en es.
Ello puede conlle a a que el alumnado aunque posea la de inición ce e a y o mal
de la unción, puede alla al aplica la cuando iene que deduci si una g á ica
ep esen a una unción.
Vinne (1983) conside a que se p oduce una di isión en e la imagen de
concep o del alumnado y el concep o de de inción p opiamen e dicho. La mayo ía
de los ejemplos que se mues an al alumnado, suelen se unciones con eglas de
co espondencias ob ias o áciles de de ec a a la ho a de se azadas. Po ello, el
alumnado desa olla la idea de que sólo las g á icas con pa ones de e minados
ep esen an unciones; las o as pa ecen ex añas, a i iciales o no na u ales (po
ejemplo el caso de unciones del con ex o biológico).
Algunas in es igaciones (Leinha d e al., 1990; Ma ko i s e al., 1986)
indican que hay es udian es que a menudo asumen que las unciones deben
consis i en can idades cambiables, es deci , las unciones cons an es no se oman
como unciones. De hecho, la unción cons an e es la o ma más ex ema de
co espondencia de a ias-a-una, debido a que odos los elemen os de un conjun o
se co esponden en o o elemen o de o o conjun o.
128
En muchas ocasiones el alumnado compa a el concep o de dependencia con
el concep o de conexión causal po que al ez se ha c eado una sob edependencia
de las in uiciones.
- Co espondencia: exis e la c eencia de que las unciones aba can la co espondencia
de uno-a-uno y se p oduce una con usión en e las co espondencias de a ias-a-uno
y de una-a- a ias. Es a di icul ad ambién iene dada po el ipo de ins ucción
seguido, bas an e limi ado en cuan o a co espondencias posibles. Es e hecho a
unido a si el alumnado conside a la unción cons an e como unción.
- Linealidad: los es udios sugie en que el alumnado iende a di igi se hacia la
linealidad en a ias si uaciones. Lo ell (1971) encon ó que cuando el alumnado
ealiza g á icas iende a de ini la unción como una elación que p oduce un pa ón
lineal. Las y los es udian es, an o en si uaciones con ex ualizadas como abs ac as,
ienden a conec a cada pun o con el pun o consecu i o en línea ec a, no
cues ionando dicha decisión También en las a eas de anslación se ha obse ado
es a endencia hacia los asgos de la linealidad .Es a endencia hacia la linealidad
puede es a in luenciada po la popula ac i idad de la escuela in an il de “conec a
pun os” además del uso de la misma écnica en g á icas elemen ales y po a a se
de las p ime as unciones abajadas.
- G á icas con inúas e sus disc e as: decidi si una g á ica es o debe ía ep esen a se
de un modo con inuo o disc e o no es un asun o nada i ial. El alumnado ha
mos ado que con unde el signi icado que puede a ibui se a una línea no-
in e umpida de una g á ica con inua. Va ios es udios han apun ado que el
alumnado iende a e sólo los pun os ma cados en ales g á icas (Jan ie , 1983;
Mans ield, 1985; S ein, e al., 1989). Es o se elaciona con los hallazgos de
Mans ield (1985), donde el alumnado a menudo in e p e aba los pun os como si
u ie an una masa ísica, más que como en idades abs ac as. En o as ocasiones se
unen pun os disc e os cuando es inap opiado hace lo. Las líneas, aunque son
acep adas como pa es legí imas de las unciones, pa ecen se i como una unción
conec o a más que posee un signi icado p opio. La endencia del alumnado a
en oca en pun os indi iduales puede elaciona se con lo que Jan ie (1987a) llamó
El concep o de unción y su uso en las ciencias 129
la endencia a disc e iza g á icas. Es a endencia es á en con a de la isión de e
la g á ica como obje o o como en idad concep ual (Leinha d e al., 1990).
- Rep esen ación de las unciones: se pueden u iliza a ios sis emas
ep esen acionales pa a expone una unción (pa es o denados, ecuaciones, g á icas
y desc ipciones e bales de las elaciones). Jan ie (1987b) sub aya la a ención al
p oceso psicológico implicado en el mo imien o, anslación, de una ep esen ación
a o a, ya que dichos mo imien os ienen di eccionalidad; po ejemplo mo e se de
una ecuación a una g á ica implica un p oceso psicológico di e en e al de mo e se
de una g á ica a una ecuación. Así el mo imien o desde las g á icas a sus
ecuaciones esul a se una a ea más di ícil, debido a que implica pa ones de
de ección (sob e odo en unciones cons an es, p obablemen e po que una de las
a iables es á pe dida), mien as que aza una g á ica de una unción implica una
se ie de pasos sencillos, es deci , gene a pa es o denados, aza los en la cuad ícula
ca esiana, y conec a los con una línea. Además la mayo pa e de la ins ucción en
el aula se p oduce en la di ección ecuación-a-g á ica.
- Lec u a e in e p e aciones ela i as: cuando se analizan es as a eas se obse a que
el alumnado es inge su en oque a un pun o indi idual o g upos de pun os que se
oponen a asgos gene ales de la g á ica, como su o ma gene al, in e alos de subida
y bajada (Bell y Jan ie , 1981; Jan ie , 1993). Según Jan ie es e hecho ambién
iene in luenciado po el ipo de a eas abajadas en el aula.
- Con usión en e el in e alo y el pun o: la al a de con inuidad e incluso densidad de
pun os de una ec a ep esen a un obs áculo impo an e en es udian es de 14 años,
pa a pode llega a in e p e a una g á ica como la ep esen ación de una unción, en
la que cada pun o de la cu a de e mina un pa de alo es, y puede a o ece la idea
de que la g á ica es un dibujo que si e pa a uni unos pun os de e minados. Es os
pun os es a ían dados po la abla, si se a a de la cons ucción de la g á ica, o po
los pun os ele an es de una de e minada si uación, en el caso de la in e p e ación
de la misma. A menudo, el alumnado es echa su en oque a un solo pun o, cuando lo
más ap opiado es en oca en una escala de pun os (o in e alo).
130
- Con usión en e pendien e y al u a: el alumnado pa ece con undi es os dos asgos
an o en a eas de in e p e ación como en las de cons ucción (Bell y Jan ie , 1981;
Jan ie , 1987a). Po ejemplo, es de des aca la asociación en e la mayo elocidad
media con la ep esen ación g á ica de la o denada de mayo al u a, o con el
in e alo al que le co esponden las o denadas de mayo al u a (Dolo es, Ala cón y
Alba acín, 2002; Dolo esy Vale o, 2004). Sin emba go, no hay consenso sob e la
causa de es os e o es.
- Di icul ad en la cons ucción del concep o pendien e dinámico: Azcá a e (1990)
señala la cons ucción de es ipos de concep o de pendien e (a) geomé ico, la
pendien e es in e p e ada como o ien ado de la ec a, se posee una imagen men al
g á ica en la que apa ece la ec a con una cie a posición con espec o a unos ejes de
e e encia; (b) algo í mico u ope a i o, se de ine la pendien e como un núme o; la o
el es udian e explica el p ocedimien o que u iliza pa a econoce la como el núme o
que acompaña o mu iplica la a iable o bien el é mino independien e o da el
algo i mo que pe mi e calcula la. Las pe sonas si uadas en es e pe il no explican lo
que es la pendien e sino lo que se ob iene en una ecuación algeb aica; además los
p ocedimien os ci ados de ob ención de los coe icien es no es án elacionados con
una imagen men al ep esen a i a de su signi icado g á ico; y (c) uncional: cuando
hay más e e encias a la pendien e que a la exp esión algeb aica. En algunos casos
la de inen como una elación cons an e en e las a iaciones de las a iables, lo cual
supone una cie a complejidad en su esquema concep ual y una ep esen ación
men al de su signi icado g á ico. Las exp esiones sugie en que el esquema de es e
alumnado es á cons uido sob e una idea ciné ica de la pendien e. Además las ases
se componen de dos pa es que pa ecen indica una elación uncional de causa-
e ec o conside ada como cons an e (Azcá a e, 1990, 1993).
En la unción y=mx+c en es udian es de 19 años se des aca (Ba , 1980): (a)
con usión en la idea de que la pendien e es la azón; (b) con usión en e m
(pendien e) y c (o denada en el o igen) cuando se da la ecuación; (c) con usión
en e “x sob e y” o “y sob e x” en el cálculo de la pendien e a pa i de los pun os
dados; ( ) al a de habilidad en calcula la pendien e a pa i de dos pun os; y (g)
al a de dominio de la su ileza de los concep os. Todo pa ece indica , según Ba ,
El concep o de unción y su uso en las ciencias 137
5.8.3 Di icul ades y concepciones cien í icas al e na i as y su elación con el concep o
unción
A medida que se han desa ollado dis in os ipos de ep esen ación pa a explici a
los descub imien os cien í icos, es as mismas ep esen aciones son las que han posibili ado
a anza a la ciencia mode na. Lemke (1997) de iende que la ciencia no puede habla del
mundo sólo con el lenguaje de las palab as. El lenguaje de la ciencia es una combinación
de palab as, diag amas, imágenes, g á icas, ecuaciones, ablas y o as o mas de exp esión
isual. Los concep os cien í icos no se co esponden con los enómenos eales de mane a
uní oca. Es la in e p e ación de es os enómenos, median e di e sos ipos de
ep esen aciones ex e nas, lo que pe mi e comp ende el enómeno median e un abajo de
cons ucción de equi alencias en e ellas. Un ejemplo des acado de ello son los apun es de
Galileo en el cual se obse an múl iples g á icos de pa ábolas cons uidas u ilizando
mé odos muy dis in os pa a en ende el i o pa abólico (Renn y Dame ow, 2003).
Las si uaciones cien í icas pod án en ende se mejo a medida que el ni el de
in e p e ación g á ica o de unción sea mayo . Es deci , desde la iden i icación de las
a iables, su alo y con ex o en el ni el explíci o, has a de e mina qué ipo de elación se
p oduce en e las a iables. De es e modo pod á ealiza se una explicación, p edicción o
gene alización del enómeno es udiado.
Además cabe añadi ambién la impo ancia en los con ex os cien í icos de la
delimi ación de la si uación en el espacio y el iempo, así como del espacio p opio del
g á ico y su di e enciación con el de la si uación, pa a pode luego compa a los e
iden i ica coincidencias o con adicciones en e ambos.
5.8.3.1 Concepciones al e na i as y di icul ades elacionadas con la cinemá ica
En es e apa ado se hace e e encia an o a las ideas p e ias del alumnado sob e
cinéma ica como a las di icul ades elacionadas con el mo imien o y la ep esen ación del
mismo a a és de g á icos. Finalmen e se exponen concepciones que elacionan el
conocimien o en ísica con el conocimien o ma emá ico.
En los muchos es udios dedicados al mo imien o se han cons a ado concepciones
al e na i as en e las cuales se des acan dos po su elación di ec a con la p esen e
in es igación (Mo a y He e a, 2009):

138
- La idea de ímpe us, noción p e-Galileana pa a explica el mo imien o de los
cue pos según la cual la acción sob e un obje o les comunica un ímpe us que
man iene el mo imien o y que poco a poco se a pe diendo.
- La idea de que es necesa ia que se eje za una ue za pa a que un obje o se
man enga en mo imien o.
Po o o lado, la ep esen ación de mo imien os median e g á icas que elacionan
a iables cinemá icas equie e p ocesos de abs acción y el desa ollo de habilidades de
ep esen ación. Beichne (1994) indica la al a co elación en e la capacidad de u iliza
indis in amen e las di e en es o mas de ep esen ación de un mo imien o ( ex o esc i o u
o al y g á icas de posición, elocidad y de acele ación e sus iempo) y el dominio del
manejo de g á icas de cinemá ica. No obs an e, la ep esen ación de mo imien os median e
g á icas de a iables cinemá icas equie e p ocesos de abs acción y el desa ollo de
habilidades de ep esen ación (Guidugli, Fe nández y Benegas, 2004); además ha podido
demos a se el ni el pob e de concocimien o concep ual sob e cinéma ica y su
ep esen ación g á ica en es udian es que ing esan a ca e as de ipo cien í ico- ecnológico
(Guidugli e al., 2004).
Algunas di icul ades de ec adas en dis in os es udios son:
- Di icul ad en la comp ensión de los concep os de posición, iempo, elocidad y
acele ación, en pa e, po que se encuen an suje os a múl iples concepciones
p e ias que in e ie en en el p oceso de ap endizaje (Guidugli e al., 2004).
- Con usión gene alizada en e posición y cambio de posición, po lo cual el
ap endizaje concep ual del mo imien o no esul a una a ea i ial (Guidugli e al.,
2004)
- Di icul ad en la asimilación y di e enciación de la idea de alo de la posición en
un ins an e dado y el cambio de posición en un in e alo de iempo.
- Di icul ad en la comp ensión de los concep os elocidad y acele ación, ya que
in oluc an p ocesos de abs acción e in e p e ación de cocien es (Guidugli e al.,
2004).
- No se disc imina en e elocidad y cambio de elocidad (McDe mo , 1984)
- No se asocia elocidad ins an ánea con un ins an e de iempo (McDe mo , 1984)
- Las di icul ades desc i as elacionadas con las a iables –posición, iempo,
elocidad, acele ación- son ansladas a la ep esen ación de las mismas de o ma
g á ica, dando luga a las siguien es con usiones o di icul ades: (1) con usión
El concep o de unción y su uso en las ciencias 139
gene alizada po pa e del 65% del alumnado al in e p e a como equi alen e la
g á ica (x, ) con la opog a ía seguida po el mó il, (2) las g á icas posición y
elocidad e sus iempo son conside adas equi alen es po un 77% del alumando,
(3) el 60% del alumnado conside a que un mo imien o iene iguales g á icas de x,
y a e sus iempo y (4) en g á icas de elocidad, un 25% del alumnado con unde la
pendien e con el alo de la magni ud en un ins an e dado (Guidugli e al., 2004) y
(5) es di ícil di e encia en e pendien e a la cu a en un pun o y el alo de la
o denada (al u a) en ese pun o de la g á ica (6) es di ícil e in e p e a los cambios
de pendien e y los cambios en la al u a (McDe mo e al., 1987)
Asimismo, Hoz y Go ode sky (1983) iden i ican seis modelos obse ando las
espues as del alumnado al a a de esol e dos p oblemas simples de mo imien o
uni o me, an ando de elaciona los conocimien os cien í ico y ma emá ico:
- Modelo con usión que alla en los dos aspec os ísico y ma emá ico.
- Modelo conc e o que alla en la ep esen ación ísica pe o iene un modelo
ma emá ico in ui i o.
- Modelo compensación donde se p oduce una manipulación de los da os en la que
ambién son in ui i os la ep esen ación ísica y los modelos ma emá icos.
- Modelo u ina en el que an o la ep esen ación ísica como el modelo ma emá ico
son in ui i os.
- Modelo in ui i o con una ep esen ación ísica comple a y un modelo in ui i o, ya
que los símbolos no se aplican con consis encia, las ó mulas no se explican y los
cálculos a i mé icos u ilizan implíci amen e la ó mula =e/ .
- Modelo o mal, con un ep esen ación ísica comple a ya que el alumnado econoce
y se e ie e explíci amen e a los aspec os ísicos de la si uación, así como a los
concep os ísicos y a su in e elación; po o o lado exis e una o malización
ma emá ica, con un simbolismo ap opiado y unos mé odos co ec os.
Todos es os es udios mues an, pues, que en la in e p e ación de g á icos
uncionales que ep esen an mo imien os se en emezcla án las di icul ades p opias de la
aplicación del concep o de unción y las de la concepción de mo imien o.
140
5.8.3.2 Concepciones al e na i as y di icul ades elacionadas con la solubilidad
En elación a los concep os de disolución y solubilidad ambién se han ealizado
nume osos es udios sob e concepciones al e na i as y di icul ades del alumnado pa a
u iliza los de la o ma en que ac ualmen e se de inen desde la ciencia, pe o no se han
encon ado an os e o es que se e ie an a la in e p e ación de g á icos en los que se
ep esen en a iaciones en la solubilidad.
Una de las di icul ades de base iene dada po el hecho de que se sus ancializan las
p opiedades de la ma e ia, es deci , se conside a que si un ma e ial iene una p opiedad se
debe a que se le ha añadido una sus ancia que la iene. Po ejemplo, si el azúca es dulce es
po que a una ma e ia de base sin ninguna p opiedad, se le ha añadido alguna sus ancia (o
á omos o moléculas) que son dulces (Sanma í, Izquie do y Wa son, 1995). Es a idea, que
ambién o ma pa e de la his o ia de la ciencia, condiciona muchas o as di icul ades
obse adas al habla de disoluciones y solubilidad, ya que impide concep ualiza la idea de
p opiedad ca ac e ís ica de una sus ancia. Po ejemplo, el colo azul del sul a o de cob e
hid a ado no se conside a una p opiedad ca ac e ís ica de dicha sus ancia, sino que se debe
al in e azul que se le ha añadido. En es a in es igación es a di icul ad es impo an e ya que
la solubilidad es una p opiedad ca ac e ís ica.
Se ha cons a ado ambién que el alumnado incula e óneamen e los concep os de
concen ación con los de solución sa u ada o diluida (Pa olo, Ba bie i y Ch obak, 2004) ya
que p esupone que si una solución es muy concen ada es a á sa u ada y ice e sa.
Además iene di icul ades pa a imagina cambios en la concen ación de una disolución
cuando aumen a la can idad de disol en e, ya que su expe iencia más habi ual es la de
aumen a la concen ación a pa i de añadi solu o (po ejemplo, más azúca a la leche) y
no la de disminui la añadiendo disol en e Po ello ienen di icul ades pa a in e p e a que
la solubilidad es una p opiedad que elaciona la can idad de solu o que se puede disol e
en una de e minada can idad de disol en e a una empe a u a de e minada y que ello sea
una p opiedad ca ac e ís ica que di e encia una sus ancia de o a. Pa a el alumnado más
jó en, si una sus ancia es soluble, la can idad de solu o que se puede disol e no iene
lími e.
Lomba di, Caballe o y Mo ei a (2009) analizan las es a egias que se equie en pa a
lee desde las ciencias una ep esen ación ex e na, como es un g á ico. En conc e o, lee un
g á ico de a iación de la solubilidad con la empe a u a equie e:
- Dispone de ma cos eó icos:
El concep o de unción y su uso en las ciencias 141
o Concep o de solubilidad
o La solubilidad depende de la na u aleza del solu o
o La solubilidad depende de la empe a u a
o La solubilidad depende de la can idad de disol en e
o No odos los solu os aumen an la solubilidad al aumen a la empe a u a
- Iden i ica “pis as” en el g á ico
o Al obse a las ep esen aciones de las a iaciones de la solubilidad con la
empe a u a en solu os dis in os posibili a econoce que no odos se
compo an igual.
- O ganización de la in o mación
o Las a iables en un g á ico se o ganizan en los ejes xy, y es a o ganización
pe mi e a) iden i ica elaciones en e el cambio de solubilidad pa a una
sus ancia con la empe a u a y b) compa a cuando el aumen o de la
empe a u a p oduce mas o menos cambios en la solubilidad.
En la lec u a se han de aplica dis in os ecu sos pa a lee las e ique as, las escalas,
las unidades, los pun os y las líneas, y es a pa i de ellos que se puede con ex ualiza la
in o mación del g á ico. Todo ello nos mues a la complejidad que compo a dicha lec u a
y que son eglas a ap ende .
5.8.4 Relaciones en e las di icul ades desde las ma emá icas y desde las ciencias
Las di icul ades expues as an e io men e en cuan o a la in e p e ación de las
g á icas y a la p opia cons ucción del concep o unción acompañadas po la al a de
modelo o mal cien í ico de las si uaciones plan eadas en es a in es igación du an e la
en e is a, dan luga a un en amado complejo en cuan o a la ans e encia se e ie e. Si el
concep o ma emá ico es á bas an e alcanzado pe o no el cien í ico, el alumnado u iliza á el
lenguaje ma emá ico pa a explici a sus ideas cien í icas al e na i as. En cambio, si
ninguno de los dos es á cla o, la mezcla en e ambos da á esul ados pa icula es, al como
se ha expues o en el apa ado de cinemá ica con los modelos o mulados po Hoz y
Go ode sky (1983).
La in e p e ación de g á icas en con ex o cien í ico, pasa la u ilización de p ocesos
cogni i aos supe io es implicados en la isualización, ya que es e p oceso in luye
posi i amen e en el ap endizaje de los concep os ma emá icos. Di e sos es udios han
demos ado que sin es e p oceso, no se puede comunica o ex ae in o mación del g á ico,
así como aplica lo ap endido sob e g á icas en las clases de ma emá icas a la ísica o a
o as ma e ias (Dolo es, e al., 2002), y po lo an o su u ilización en ciencias es bas an e
de ici a ia.
142
La p eponde ancia de un de e minado ipo de ac i idad de ap endizaje elacionado
con las g á icas suele se en gene al descon ex ualizada –a a és de una exp esión
algeb aica, median e abla de alo es-; po lo an o, los dis in os concep os no son
cons uidos den o del con ex o y con ello el alumnado mues a g andes di icul ades a la
ho a de in e p e a , po ejemplo, que la o ma de la g á ica de ine una elación de
dependencia en e las a iables –hecho és e de suma impo ancia en las ciencias-.
Median e es e ipo de ac i idad di ícilmen e pod án ap ende se concep os ma emá icos
ans e ibles a dis in os con ex os.
Po o o lado, en los lib os de ex o de ciencias son muy pocas las ac i idades
elacionadas con la elabo ación e in e p e ación de g á icas (Ma ínez y Ga cía, 2003; de
P o, 2007), hay una escasa conexión en e ex o e imágenes (Ga cía y Pe ales, 2007), la
mayo ía de las g á icas p esen an de iciencias es uc u ales, an o en el in e io de las
mismas como en el con ex o en el cual se encuen an (Ga cía y Ce an es, 2004), y su
inclusión en los lib os de ex o es á mucho más elacionada con la desc ipción/ilus ación
de in o mación que con su enseñanza y ap endizaje como ins umen o ligado al
plan eamien o y esolución de p oblemas (Ga cía, 2005).
Las in es igaciones que han a ado de analiza la u ilización de ep esen aciones
g á icas ca esianas en lib os de ex o de ísica y química de bachille a o en el Es ado
Español, han llegado a la conclusión de que la u ilización en la mayo ía de ellos se limi a a
la exposición de hechos, es deci , se hace un uso educido de ellas pa a plan ea p oblemas
o como he amien as den o de los p ocesos expe imen ales (Ga cía, 2005). Ga cia des aca
en e las consecuencias de dicho uso, el que se p esen an las ep esen aciones g á icas
como obje os o p oduc os acabados, más que como u o de la ac i idad cien í ica; y en
segundo luga que se limi a el uso de es as ep esen aciones sólo a la exposición del hecho
y po lo an o no o ece posibilidades pa a que el alumando puede ealiza p ác icas de
in e p e ación y cons ucción.
Ga cía ambién indica que pa ece obse a se un uso cien í ico eó ico de los
g á icos, es deci , no se encuen an elacionados con g upos especí icos de da os que
pe enezcan a un dominio na u al de e minado. Así, p e alece en ellos una o ien ación
didác ica que los mues a como he amien as ma emá icas más que como ins umen os
ú iles pa a la comp ensión cien í ica de hechos. Ello puede lle a al alumnado a pensa que
la ep esen ación g á ica –cuyo uso eó ico es la modelización eó ica- ep esen a el
compo amien o eal de un g upo de da os y no el compo amien o ideal espe ado sob e el

El concep o de unción y su uso en las ciencias 143
enómeno y que, po lo an o, la p edicción del compo amien o de un enómeno es udiado
no equie a p oceso de ajus e a la ep esen ación g á ica.
El au o concluye que el olúmen de in o mación que se p esen a den o y ue a de
las ep esen aciones g á icas a ía de o ma impo an e de acue do al uso didác ico o
cien í ico que los au o es o au o as les asignen. Así, se e idencia una endencia a aumen a
el olumen de in o mación incluida – an o den o como ue a de la g á ica- cuando és a
p esen a un uso didác ico ins umen al; se obse a una endencia a inclui un olumen bajo
de in o mación – an o den o como ue a- cuando el g á ico o ma pa e de una si uación
p oblema, como si pa a esol e un p oblema los únicos equisi os necesa ios ue an
econoce las a iables implicadas y la ealción que exis e en e ellas. Finalmen e se
iden i ica una endencia a esquema iza y simpli ica al máximo las ep esen aciones
g á icas cuyo uso cien í ico es eó ico, al ez pa a p omo e un ele ado ni el de
abs acción. Pa a ello se u ilizan símbolos, di e en es ipos de o malizado es (Ga cía,
2005).
Po o a pa e, el ni el de desempeño del alumnado de bachille a o e incluso de
licencia u a en química en las a eas ealizadas con g á icas mues a que si bien el
alumnado de es os ni eles no mues a di icul ad en a eas de iden i icación de a iables,
lec u a de da os y clasi icación de elación en e las a iables, sí p esen an di icul ad en
a eas de iden i icación de la elación en e las a iables, el econocimie o de los é minos
incluidos en la g á ica o en la elabo ación de conclusiones, explicaciones y p edicciones a
pa i de la in o mación g á ica (Ga cía y Pe ales, 2007).
5.9 Sín esis
En es e capí ulo se elacionan los modelos men ales o ep esen aciones con los
modelos de ep esen ación, ya que la elación en e ambos es undamen al pa a una
cons ucción an o del conocimien o ma emá ico como del cien í ico. La elación en e
ambos hace que se cons uya una imagen del concep o de unción que es más amplia que la
de inición del mismo. Además se in oducen las e apas del p oceso de cons ucción del
concep o de unción, el azonamien o co a iacional in e iozado en dicha cons ucción. Po
o a pa e, se incluyen la in e p e ación de g á icos y las a eas y acciones asociadas al
concep o de unción. Po úl imo se incluyen las di icul ades y concepciones cien í icas
al e na i as y su elación con el concep o de unción.
144
PARTE II
ESTUDIO EMPÍRICO
-
Me odología 145
6 CAPÍTULO. METODOLOGÍA
1. Plan eamien o del p oblema y obje i os
2. Con ex o de la in es igación
3. Da os y Ca ego ías de análisis
4. Validación de esul ados y e i icación de conclusiones
146
En es e capí ulo se desc ibe la me odología de la in es igación. Pa a ello, se
conc e an los apa ados co espondien es plan eamien o del p oblema y obje i os, el
con ex o de la in es igación, da os y ca ego ías de análisis y la alidación de esul ados y
e i icación de conclusiones.
6.1 Plan eamien o del p oblema y obje i os
En una enseñanza basada en compe encias la cues ión de la ans e ibilidad de
conocimien os adquie e ele ancia pe se. Hoy día son bas an es las e aluaciones ex e nas
que miden el ni el compe encial del alumnado (po ejemplo PISA), pe o son escasas las
in es igaciones que a an de p o undiza sob e las causas que lle an a ales esul ados a
excepción de las sociológicas p opiamen e dichas.
En es a in es igación se p e ende apo a conocimien o didác ico que ayude a
comp ende y plan ea p opues as de ac uación en el aula que a o ezcan, en el ma co de
una ciencia escola , la aplicación de conocimien os ma emá icos en el desa ollo
signi ica i o de conocimien os cien í icos. La ans e encia en e es as dos á eas pocas
eces se p oduce en el ámbi o escola , po lo que es necesa io conoce sus causas pa a
pode a anza hacia p ác icas educa i as más e icaces, con las que se ob engan mejo es
esul ados de ap endizaje.
6.1.1 Obje i os
El obje i o gene al de la in es igación es:
- Iden i ica causas de las di icul ades del alumnado de 3º de Educación Secunda ia
Obliga o ia pa a ans e i con enidos ap endidos en clases de ma emá icas -
elacionados con el es udio de las unciones- a la esolución de p oblemas
cien í icos, así como es udia las es a egias didác icas que a o ecen dicha
ans e ibilidad.
Se pa ía de la hipó esis de que la escasa ans e ibilidad de la compe encia
ma emá ica – unciones- al con ex o cien í ico puede se debida al modelo de ins ucción
seguido po el alumnado en las clases de ma emá icas, ya que no p io iza habi ualmen e
la con ex ualización de los ap endizajes.
Resul ados 249
Cuad o de ni eles globales de
ma emá icas (M1, M2, M3, M4)
M4
1A1***, 1A13**, 1A14***
2A5**, 2A7***, 2A14***
M3
1A11**(b)
M2
1A7*, 1A9**, 1A10**,
2A11*, 2A19**
M1
1A16*
2A2*, 2A6**, 2A15**,
Figu a 7-34.Ni eles de Ma emá icas (en po cen ajes) po g upo.
Se incluye a la alumna 1A1*** en el ni el M4, ya que si no se con abiliza a halla
el pun o de encuen o –no lo ha log ado nadie- su pun uación se ía la co espondien e a ese
ni el.
Pa a ealiza las compa aciones en e las ma emá icas I y ma emá icas II y pode
ca ego iza a ni el global al alumnado, se op a po halla las medias ( e anexos 20 pa a
más de alles). La abla 7-16 mues a los da os compa ados.
Tabla 7-16
Resumen de esul ados de ma emá icas I y ma emá icas II po g upo
To al de pun os
Ma emá icas I
To al de pun os
Ma emá icas II
To al de pun os
Ma emá icas I y II
Media
Ma emá icas I
Media
Ma emá icas II
Media
Ma emá icas
I y II
1A
120 pun os
175 pun os
295 pun os
X1= 2.50
X2= 2.44
X1,2= 2.47
2A
98 pun os
164 pun os
262 pun os
X1= 2.04
X2= 2.24
X1,2=2.14
3B
88 pun os
X= 1.83
Tal como e a p e isible, los esul ados del alumnado que ha abajado las unciones
con la aplicación de la UD, son mejo es a los del g upo 3B.. No obs an e, sob esale el
hecho de que las di e encias del g upo 2A espec o al g upo 3B son meno es que las que
posee con espec o al g upo 1A. Es e hecho hace pensa que el ap endizaje lle ado a cabo
po el g upo 2A en el aula no ha ayudado su icien emen e en la in e p e ación de
si uaciones.
Es os esul ados pa ecen aco des con lo mos ado po los g upos 1Ay 2A en los
exámenes –mayo ni el de conocimien o ma emá ico po pa e del g upo 1A-.
0
20
40
60
80
100
1A 2A
M 4
M 3
M2
M1

250
Po o o lado, el g upo 2A mejo a los esul ados en ma emá icas II y po lo an o,
pod ía deci se que el abajo de aula ha es ado en mayo medida di igido a las cues iones
que se ecogen en dicha ca ego ía –ac i idades en endidas como más ma emá icas. El
g upo 1A man iene las medias en ambas ca ego ías, lo que ha ía pensa en un abajo más
equilib ado en el aula, aba cando acciones de dis in a índole.
Respec o al ni el académico de ma emá icas se p esen a la abla 7-17. Tal
como e a espe able los esul ados se encuen an elacionados con el ni el académico, a
mayo ni el académico mejo es esul ados.
Tabla 7-17
Resumen de esul ados (medias) en ma emá icas I y II con espec o al ni el académico de
ma emá icas y g upo
Ni eles
Media
Ma emá icas I
Media
Ma emá icas II
Media
Ma emá ica I y II
*
X1A,2A =1.53
X1A=1,75
X2A=1.42
X1A,2A = 1.83
X1A=1.67
X2A=2
X1A,2A = 1.75
X1A=1.67
X2A=1.70
X3B= 1.42
**
X1A,2A =2.04
X1A=2.63
X2A=1.75
X1A,2A = 2.29
X1A=2.47
X2A=2.11
X1A,2A= 2.23
X1A=2.54
X2A=1.92
X3B= 1.75
***
X1A,2A =2.89
X1A=3
X2A=3.25
X1A,2A =2.94
X1A=3.17
X2A=2.72
X1A,2A= 3.06
X1A=3.08
X2A=3.06
X3B= 2.42
Si se iene en cuen a que el alo mínimo in oducido pa a ealiza los cálculos es
de 1 y el máximo de 4, es e elado que el alumnado del ni el académico bajo de los
g upos que ha abajado las unciones du an e la in es igación, no log e la media de 2;
ampoco lo alcanza el del ni el académico medio del g upo 2A –cues ión impo an e-. Es o
signi ica que sólo el 50% del alumnado o al que aplica la UD, mues a un ni el po lo
menos medio du an e la en e is a, y de ese po cen aje el 75% co esponde al g upo 1A.
En cuan o a las subca ego ías englobadas en ma emá icas I sucede lo mismo que lo
ya indicado pa a las ma emá icas en gene al. Además, es e elado que el alumnado de
ni el académico bajo y medio del g upo 3B iguale los esul ados del g upo 2A en a eas
que equie en de la in e p e ación. Po lo an o, pa ece cla o que son los ni eles bajos y
medios del g upo 2A los que lle an a que los esul ados de es os dos g upos sean an
simila es. Cabe eco da que ya en los exámenes se han iden i icado di icul ades
des acables en es os ni eles académicos, y que en con a de lo sucedido en el g upo 1A, la
au oe aluación ealizada po es e alumnado no ha sido aco de a su ni el en las
subca ego ías de análisis elacionadas con la anslación.
Resul ados 251
En cuan o a ma emá icas II el 25% de la población –co esponde a ni el académico
bajo- no alcanza el mínimo ga an izado pa a esponde adecuadamen e a las a eas
incluidas en dicha ca ego ía.
No obs an e, a di e encia de lo que sucede en el g upo 1A, las pe sonas de ni el
académico bajo y medio del g upo 2A mejo an sus esul ados en ma emá icas II, lo cual
hace pensa que la ac i idades que han eque ido de la cons ucción de modelos men ales
de ep esen ación de unciones, han sido mejo abajas que aquellas que eque ían de la
cons ucción del modelo de la si uación. La di e encia en e los ni eles académicos bajo y
medio pudie a hace supone que el alumnado de es os ni eles ac úa en mayo medida a
ni el memo ís ico y ope a i o con di icul ades pa a en en a se, con cie a lexibilidad, a
con ex os donde las a eas eque idas no se asemejan las habi uales de aula. Además, es a
luc uación pod ía suge i que en es e g upo las ac i idades de aula han enido que e más
con las a as de ca ác e “más ma emá ico” y ope a i o, en e a las de ca ác e
in e p e a i o.
En el aula 1A, los ni eles bajo y medio pa ecen bene icia sede aquellas ac i idades
-ya analizadas- que ayudan a la e lexión sob e las a iables. Sin emba go, pa ece que las
ac i idades de cons ucción, al no habe se ca ac e izado an o po la e lexión sino po el
ap endizaje de algo i mos y el ap endizaje de p ocedimien os ma emá icos conc e os han
podido lle a a es e alumnado a no posee los ins umen os necesa ios pa a esol e
cues iones más ma emá icas. Cabe eco da que en es e alumnado exis en di icul ades al
despeja la incógni a, lo que conlle a no pode cons ui adecuadamen e una ecuación.
Po o o lado, el alumnado de ni el académico al o del g upo 2A mues a esul ados
mejo es a su homólogo -1A- en ma emá icas I, debido a que la alumna 1A1*** ealiza una
in e p e ación icónica de las si uaciones con ex ualizadas en ísica. Po o a pa e, el
alumno 2A14*** ue el p ime alumno en e is ado y no abajó en la cons ucción de las
ecuaciones aco des a las unciones de la si uación de solubilidad du an e la en e is a.
Los esul ados más homogéneos en el g upo 1A en los es ni eles académicos
pod ían indica un abajo de aula más equilib ado en cuan o a ac i idades an o a ni el de
in e p e ación como de cons ucción.
Los esul ados globales necesi an un análisis más de allado sob e qué ipo de
e olución -desde las ma emá icas I a ma emá icas II- ha enido cada es udian e.
252
Figu a 7-35.G upos en unción de la compa a i a en e los esul ados de ma emá icas I y II
A la is a de los esul ados pod ía deci se, que exis e un ipo de alumnado,
independien emen e del ni el académico en ma emá icas, que ealiza mejo las a eas que
equie en la in e p e ación, en e a o o g upo que lo hace mejo en las a eas que
sob e odo necesi an las ope aciones algo í micas. Es e hecho pod ía explica po qué unas
pe sonas aun eniendo buenos esul ados en ma emá icas no des acan en ciencias, a no se
que el único eque imien o sea la sus i ución en una ó mula –ya memo izada- de las
a iables que muchas eces pa ecen muy de inidas en la desc ipción de la si uación. Po
con a, se encon a ía el o o ex emo, el alumnado que posee mayo acilidad en la
cons ucción de las si uaciones, pe o que su conocimien o ma emá ico no es su icien e, no
pod ía lle a a cabo la cons ucción has a la exp esión algeb aica.
En cuan o a los da os gene ales de los g upos, la endencia pa ece indica que el
alumnado del g upo 1A iende a ealiza las ac i idades elacionadas con la in e p e ación
algo mejo de aquellas conside adas como de cons ucción -dos de las pe sonas si uadas en
esul ados simila es en ma emá icas I y II egis an ambién endencia en es e sen ido-. Es e
hecho se e leja en el suma o io de las medias en cada g upo (el g upo 1A –.44 y el g upo
2A 1.88). Es os esul ados pod ían es a elacionados con los ipos de a eas ealizados en
el aula – algo más de in e p e ación en el g upo 1A y bas an e más de cons ucción en el
g upo 2A-.
La di e encia de esul ados po sexo, se analiza en p o undidad en el apa ado
In luencia de la a iable sexo en la ans e encia.
ob ienen mejo es esul ados
en ma emá icas I que en
ma emá icas II
•1A10**
•1A13**
•1A16*
•2A5**
•2A7***
•2A14***
ob ienen esul ados muy
simila es en ma emá icas I y
II
• 1A7*
•1A11**
•1A14***
ob ienen mejo es esul ados
en ma emá icas II que en
ma emá icas I
•1A1***
•1A9**
•2A2*
• 2A6**
•2A11*
•2A15**
• 2A19**
Resul ados 253
7.2 Desa ollo de la unidad didác ica en el aula
En es e apa ado se analizan algunos ac o es que han in luido en la aplicación de la
unidad didác ica en el aula en cada uno de los dos los g upos que han abajado las
unciones: 1A y 2A.
Cabe eco da que a las p o eso as se les ha p opo cionado un ma e ial didác ico
con dis in as ac i idades que han podido u iliza en mayo o meno g ado en la
con igu ación de su UD. Uno de los obje i os de la p opues a didác ica plan eada es la
cons ucción con ex ualizada del concep o unción y, pa a ello, se p oponen una mul i ud
de con ex os cien í icos a pa i de los que abaja . Po o o lado, ambién se ha que ido
inno a a ni el me odológico, especialmen e en aspec os como la o ganización de aula y la
coe aluación y e aluación –aspec os que se han conside ado débiles en las g abaciones de
aula ealizadas p e iamen e al abajo sob e unciones-.
Los esul ados de los análisis de los esul ados expues os has a aho a indican un
mejo ni el de la u ilización del con enido ma emá ico po pa e del alumnado del g upo
1A. Po ello, pa ece necesa io p egun a se si exis e alguna elación con el ipo de abajo
ealizado en el aula po cada una de las p o eso as y con las dis in as es a egias y
me odologías u ilizadas. En es e apa ado se busca da espues a a es a p egun a.
7.2.1 Si uación de pa ida
Meses an es de la pues a en p ác ica de la UDse g aban clases de ma emá icas de
los dos g upos con el obje i o de ene una isión de los modelos didác icos habi uales
u ilizados en las aulas y, ambién, pa a que el alumnado y la p o eso a se amilia icen con
la p esencia de la in es igado a (y de la cáma a) den o del aula. Los g upos na u ales 1A y
2A se desdoblan en las ho as de ma emá icas, dando como esul ados 4 subg upos 1AA,
1AB, 2AA y 2AB. En la in es igación ealizada se han analizan los da os de los subg upos
1AA y 2AA. El subg upo 1AA ha es ado o mado po 4 chicas y 5 chicos. El subg upo
2AA ha es ado o mado po 7 chicas y 3 chicos, aunque uno de los chicos, si bien pe mane
algunos días en el aula, ya ha desis ido en los es udios pa a cuando comenza la
in es igación.
Han sido g abadas cua o sesiones en el g upo 1AA y es sesiones en el g upo
2AA. Pa a pode compa a ambos subg upos se op a po escoge una de cada subg upo,
co espondien e en ambos casos a los momen os de co ección de ac i idades (el ema de
254
es udio son las ecuaciones). En el caso del subg upo 2AA además, se enseña un
p ocedimien o –de cabeza- pa a halla el alo de x en ecuaciones median e la u ilización
de un algo i mo. Es as ansc ipciones po lo an o co esponden en el subg upo 1AA
090112 6.o dua (anexo 18), 1AA 090112 6.o dua (anexo 18) y 2AA 090123 4.o dua
(anexo 18). El análisis de los da os se ealiza en e e encia a: a) cómo se o ganiza el aula,
b) cuáles son los es ilos comunica i os de las p o eso as, c) cómo es la pa icipación del
alumnado, d) cuál es ni el de uso del euske a, e) cómo se u ilizan con ex os de ap endizaje
y ) qué ipo de e aluación de los ap endizajes se lle a a cabo.
Los esul ados de es e análisis son u ilizados pa a incidi en posibles cambios
me odológicos a in oduci en la unidad didác ica, y son alo ados jun o con las p o eso as
pa a que los engan en cuen a pos e io men e.
7.2.1.1 La o ganización del aula
Desde los p ime os momen os llama la a ención la dis ibución an o del espacio
como de alumnado en el aula. En ambas aulas, en una misma a ea se obse a alumnado
abajando indi idualmen e, en pa ejas, en alguna ocasión en g upo o incluso un alumno o
alumna si uado donde él o ella escoge; sólo cuando el compo amien o es obje o de
ec iminación po pa e de la p o eso a, en onces es ella la que indica donde debe si ua se
el ci ado alumno o la alumna. Se deduce, po an o, que no se han compa ido no mas de
abajo, ni indi idual ni en g upo.
2AA
1AA
Figu a 7-36. O ganización habi ual del aula an es de comenza a aplica la UD.
7.2.1.2 Los es ilos comunica i os
Tal como se ha indica en el apa ado de me odología, el análisis de los es ilos
didác icos se basa an o en las apo aciones ealizadas po Mon ime y Sco (2003) como
en las ealizadas po Sco y Ame lle (2007).

Resul ados 255
En la igu a 7-38 se mues an los es ilos didác icos u ilizados po cada p o eso a
eniendo en cuen a el olumen de iempo u ilizado pa a ello (se ha enido en cuen a el
núme o de líneas en la ansc ipción.
Figu a 7-37.Es ilos didác icos empleados po las p o eso as en los subg upos.
Los da os ecogidos co esponden a la ansc ipción ealizada del día 12 de ene o
de 2009 (090112) en el g upo 1AA con 1839 palab as ansc i as y a la ansc ipción
ealizada del día 23 de ene o del 2009 (090123) del subg upo 2AA con 2737 palab as
ansc i as. Ambas sesiones co esponden a la ealización de p oblemas y eje cicios, no son
po lo an o clases eó icas ( e anexo 18).
Los g á icos indican un es ilo bas an e dis in o po pa e de las dos p o eso as, de
ca ác e ma cadamen e in e ac i o e incluso dialógico po pa e de la p o eso a del g upo
1AA en oposición a su compañe a, con un es ilo mayo i a iamen e no
in e ac i o/au o i a io a la ho a de a on a el abajo con el alumnado.
7.2.1.3 La pa icipación del alumnado
Los dis in os es ilos comunica i os ienen un e lejo en la pa icipación del
alumnado y en las in e acciones en el aula.
El análisis de las de las in e acciones se ealiza desde dos pe spec i as: a) las
in e acciones de la p o eso a con las alumnas y alumnos y b) el p o agonismo y
pa icipación del alumnado po sexo.
0
20
40
60
80
100
1AA 2AA
Di e sas ó denes
No
in e ac i o/au o i a io
In e ac i o/au o i a io
No in e ac i o/dialógico
In e ac i o/dialógico
256
Ambos ipos de análisis co esponden a los esul ados ponde ados po subg upo ya
que no pa icipan el mismo núme o de chicas y de chicos.
-Los esul ados b u os de las in e acciones de la p o eso a con las alumnas y
alumnos se ag upan en cua o ca ego ías: a) p egun as ealizadas al alumnado, b) e ue zos
posi i os ecibidos po el alumnado, c) e ue zos nega i os ecibidos po el alumnado y d)
explicaciones ecibidas po el alumnado. Las in e acciones egis adas no incluyen el
núme o de in e acciones que las p o eso as han ealizado con el g upo clase en conjun o
( e igu a 7-39).
En el subg upo 1AA pa ece exis i un núme o simila de p egun as ealizadas al
alumnado al igual que de explicaciones y e ue zos posi i os dados po la p o eso a; sin
emba go, des aca el po cen aje ele ado de los e ue zos nega i os ecibidos po los
alumnos.
En el subg upo 2AA el ni el de p egun as ealizado a los chicos ha sido supe io al
de las ealizadas a las chicas; sin emba go las explicaciones ealizadas po la p o eso a han
sido equilib adas en núme o pa a los dos sexos. Des aca no obs an e los esul ados an o en
el e ue zo posi i o ecibido –bas an e más ele ado en el caso de las chicas-, como el
e ue zo nega i o ecibido po los chicos –bas an e más ele ado-.
1AA
2AA
Figu a 7-38.Es ilos didác icos empleados po las p o eso as en los subg upos.
56
46,7
77,8
57
44
53,3
22,2
43
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas a
Re ue zos posi i os ecibidos po
Re ue zos nega i os ecibidos po
Explicaciones ecibidas po
alumnos
alumnas
60
30
74,3
46,2
40
70
25,7
53,8
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas a
Re ue zos posi i os ecibidos po
Re ue zos nega i os ecibidos po
Explicaciones ecibidas po
alumnos
alumnas
Resul ados 257
Pa ece que el e ue zo nega i o a los chicos en ambos g upos ha sido muy
des acado en compa ación con el ecibido po las chicas.
-La pa icipación y el p o agonismo del alumnado se ag upan en cua o ca ego ías:
a) iempo u ilizado po las p o eso as y el alumnado, b) las p egun as ealizadas po el
alumnado, c) las espues as co ec as del alumnado y d) las espues as inco ec as del
alumnado.
El p o agonismo y pa icipación de las alumnas y los alumnos en el g upo 1AA ha
sido simila an o en elación al po cen aje de p egun as ealizadas, como en el po cen aje
de espues as co ec as y e óneas emi idas ( e igu a 7-39).
El p o agonismo y pa icipación de las alumnas y los alumnos en el g upo 2AA, ha
sido simila en elación al po cen aje de p egun as que ealizan. El ni el de espues as
co ec as ha sido lige amen e supe io en el caso de los chicos, mien as que se han
encon ado g andes di e encias en elación con las espues as e óneas, siendo el 90.3% de
ellas espues as de los chicos ( e igu a 7-39).
1AA
2AA
Figu a 7-39.P egun as y espues as ealizadas po el alumnado
Po o a pa e, la igu a 7-40, ecoge la pa icipación de cada pe sona.
45,9
56
54,5
54,1
44
45,5
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas po
Respues a co ec as de
Respues as e óneas de
alumnos
alumnas
50,8
56,8
90,3
49,2
43,2
9,7
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas po
Respues a co ec as de
Respues as e óneas de
alumnos
alumnas
258
1A15 chico, 2A1 chica.
Figu a 7-40.Pa icipación de cada es udian e
Tal como puede obse a se el p o agonismo se encuen a algo desequilib ado en el
g upo 1A y muy desequilib ado en el g upo 2A. En el g upo 1A, la alumna 1A9 mues a
bas an e insegu idad y ne iosismo –incluso en cie o momen o se le ha p egun ado si se
sien e incómoda con la g abación; esponde que no, que no a el cambio de colegio-. El
alumno 1A17 mues a un ni el al o de conocimien o ma emá ico y ambién de dinamismo
en el aula; a eces se lle a a eas ex a a casa pa a p o undiza , lo que se aduce en un al o
ni el de p o agonismo den o del aula. .
En cuan o al g upo 2A se e ie e, las dos alumnas 2A4 y 2A6 mues an el mayo
p o agonismo a ni el gene al, y la p o eso a e oalimen a ese p o agonismo.
7.2.1.4 El uso del euske a
La cons ucción de concep os no puede deja de lado el ni el de compe encia
lingüís ica del alumnado, y és e necesi a en p ime luga se hablado. Así, se ha
cuan i icado el uso del euske a como lengua ehicula en es os dos g upos de modelo D
(modelo que abaja odas las asigna u as en euske a excep uando las de cas ellano e
inglés).
Es necesa io des aca que la u ilización del cas ellano, ha es ado supedi ada en g an
medida, a la in e ención de cie as pe sonas que poseen un g an peso en sus
in e enciones en el aula.
0
5
10
15
20
25
30
1AA
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2A1 2A2 2A3 2A4 2A5 2A6 2A7 2A8 2A9 2A20
2AA
Resul ados 265
Figu a 7-44.Es ilos didác icos empleados po las p o eso as en los subg upos al aplica la
UD.
No obs an e si se compa an los da os egis ados du an e la aplicación de la UD a
los momen os p e ios puede des aca se cie a endencia de las p o eso as al cambio,
aunque den o del mismo es ilo. Así se ap ecia una su il p esencia mayo del es ilo
in e ac i o-dialógico. Mien as que el es ilo no in e ac i o –au o i a io se man iene en el
g upo 1AA, desciende de modo muy impo an e en el subg upo 2AA; en cambio mien as
que en el subg upo 1AA el es ilo in e ac i o –au o i a io desciende, en el subg upo 1AA
aumen a de modo impo an e,. Po úl imo el descenso en el es ilo no in e ac i o-dialógico
es más des acado en el subg upo 1AA al ealizado en el subg upo 2AA.
7.2.2.3 La pa icipación del alumnado
Los dis in os es ilos comunica i os ienen un e lejo en la pa icipación del
alumnado y en las in e acciones en el aula.
El análisis de las de las in e acciones se ealiza desde dos pe spec i as: a) las
in e acciones de la p o eso a con las alumnas y alumnos y b) el p o agonismo y
pa icipación del alumnado po sexo.
-Los esul ados b u os de las in e acciones de la p o eso a con las alumnas y
alumnos se ag upan en cua o ca ego ías: a) p egun as ealizadas al alumnado, b) e ue zos
posi i os ecibidos po el alumnado, c) e ue zos nega i os ecibidos po el alumnado y d)
explicaciones ecibidas po el alumnado. Las in e acciones egis adas no incluyen el
núme o de in e acciones que las p o eso as ealizan con el g upo clase en conjun o.
0
20
40
60
80
100
1AA 2AA
Di e sas ó denes
No
in e ac i o/au o i a io
In e ac i o/au o i a io
No
in e ac i o/dialógico
In e ac i o/dialógico

266
1AA
Figu a 7-45.In e acciones de las p o eso as con el alumnado al aplica la UD
2AA
En cuan o al g upo 1A se pod ía deci que las in e acciones de la p o eso a con el
alumnado en unción del sexo son simila es –se equilib a el balance de las p egun as
ealizadas a cada sexo-, excep o en lo ela i o a los e ue zos nega i os, ya que el
po cen aje de e ue zos nega i os a los chicos e a bas an e supe io (77.85%) al de las
chicas en las sesiones iniciales sob e ecuaciones, mien as que la endencia se in ie e en la
sesiones sob e unciones, donde son ellas las que eciben el mayo po cen aje de e ue zos
nega i os (68.2%).
En cuan o al g upo 2A se pod ía deci que las in e acciones de la p o eso a en
unción del g upo no son simila es, excep o en lo ela i o a los e ue zos nega i os, ya que
el po cen aje de e ue zo nega i o a los chicos aunque ha disminuido con espec o a los
da os de las sesiones de ecuaciones sigue siendo impo an e (74.3% en sesiones de
ecuaciones y de 63.6 % en las sesiones de unciones). La p o eso a en cie os momen os
pa ece ol ida a los chicos, llegando incluso a no p es a a ención a alguna in e ención de
uno de ellos y algo simila ocu e cuando se cen a en el colec i o de las es alumnas que
más pa icipan en la clase.
-La pa icipación y el p o agonismo del alumnado se ag upa on en cua o
ca ego ías: a) iempo u ilizado po las p o eso as y el alumnado, b) las p egun as ealizadas
44,4
51,6
31,8
42,6
55,6
48,4
68,2
57,4
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas a
Re ue zos posi i os ecibidos po
Re ue zos nega i os ecibidos po
Explicaciones ecibidas po
alumnos
alumnas
48,1
47,7
63,6
53,8
51,9
52,3
36,4
46,2
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas a
Re ue zos posi i os ecibidos po
Re ue zos nega i os ecibidos po
Explicaciones ecibidas po
alumnos
alumnas
Resul ados 267
po el alumnado, c) las espues as co ec as del alumnado y d) las espues as inco ec as
del alumnado.
1AA
2AA
Figu a 7-46. P egun as y espues as ealizadas po el alumnado al aplica la UD
En el g upo subg upo 1AA el p o agonismo y pa icipación de las alumnas y los
alumnos una ez ponde ados los esul ados es simila an o en elación al po cen aje de
p egun as, como en el po cen aje de espues as co ec as emi idas po el alumnado y de
espues as e óneas. No se hallan di e encias sus anciales espec o a los da os ob enidos
an es de la pues a en p ác ica de la UD.
En el g upo 2AA, las chicas alcanzan mayo p o agonismo que los chicos si se
compa a con lo egis ado en el ema de ecuaciones. Po o o lado, los esul ados son
simila es en el po cen aje de espues as co ec as y e óneas emi idas po el alumnado. Es e
úl imo da o es des acado ya que el po cen aje de espues as e óneas en el ema de
ecuaciones ha sido de un 90.3% po pa e de los chicos y de 9.7% po pa e de las chicas.
Po o o lado, una ez analizados los da os del subg upo 2AA, la p incipal
conclusión se ía que no se encuen an di e encias sus anciales en e chicas y chicos, ni en
las in e acciones de la p o eso a, ni en la pa icipación de alumnado. Sin emba go,
des acan los e ue zos nega i os a las chicas en el g upo 1AA y los e ue zos nega i os a
los chicos en el subg upo 2AA, en ambos casos muy supe io es a los ob enidos po el o o
sexo.
43,3
51,3
54,5
56,7
48,7
45,5
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas po
Respues a co ec as de
Respues as e óneas de
alumnos
alumnas
39,2
52,8
52,5
60,8
47,2
47,5
0% 20% 40% 60% 80% 100%
P egun as ealizadas po
Respues a co ec as de
Respues as e óneas de
alumnos
alumnas
268
En cuan o a la pa icipación de cada es udian e se ha ob enido el siguien e
esul ado.
La pa icipación del alumnado sigue siendo algo desequilib ada en el g upo 1A y
muy desequilib ada en el g upo 2A.
En el g upo 1A, la alumna 1A12 adquie e mucho p o agonismo, le gus a di igi las
ac i idades; incluso en algún momen o, la p o eso a le indica que no ac ué de maes a con
su compañe a –la alumna 1A16 de ni el académico ma emá ico bajo-, ya que es és a la que
iene que e lexiona . En cuan o a los chicos de ni el académico al o -1A14 y 1A17-
llaman la a ención de la p o eso a con p opues as dis in as a la ho a de esol e
ac i idades.
El alumno 2A20 abandonó el cen o du an e la in es igación
Figu a 7-47. Pa icipación de cada es udian e du an e la aplicación de la UD.
En el g upo 2A la alumna 2A4 sigue man eniendo p o agonismo y la alumna 2A7
pa icipa siemp e apo ando soluciones a las ac i idades –sin ánimo de p o agonismo-. La
alumna 2A6 pa ece no en ende en algunas ocasiones lo que se abaja y la p o eso a, en
es e sen ido, se di ige bas an e a ella pa a p egun a le sob e sus dudas. Po o o lado, el
alumno 2A5 pa icipa bas an e –es epe ido -, pa ece ene conocimien os sob e las
unciones. Sin emba go, la elación en e la p o eso a y los chicos al pa ece ya se
encon aba bas an e de e io ada an es de la in es igación. Du an e cie os momen os de la
pues a en p ác ica de la de la UD se p oducen algunas escenas ensas en e la p o eso a y
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
1AA
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
2A1 2A2 2A3 2A4 2A5 2A6 2A7 2A8 2A9
2AA
Resul ados 269
los alumnos. El alumno 2A5 po su pa e, en una en e is a ealizada apa e, admi e que el
ema de las unciones es el que más le ha gus ado du an e el cu so -po cómo es aba
plan ado-, pe o que a medida que las elaciones en e la p o eso a y ellos an siendo
peo es, su in e és adecayendo.
Como conclusión gene al, eniendo en cuen a ambos g upos pod ía deci se que el
hecho de que no haya di e encias sus anciales, es un da o posi i o, en elación a o as
in es igaciones p e ias. Aunque la mues a es muy pequeña, po se un es udio de caso,
pe o es lo que se obse a.
En gene al la p o eso a del g upo 1A in i a al alumnado a sali a la piza a e i
co igiendo los eje cicios y explica las azones de sus decisiones; la p o eso a del g upo
2A decide co egi ella misma la mayo ía de los eje cicios y son con adas las ocasiones en
los que el alumnado sale a la piza a ( e igu a 7-49).
Mien as que la p o eso a del g upo 1A op a po que sea el alumnado quien decida
cuál de las a iables con ex ualizadas co esponde a cada a iable ma emá ica, la p o eso a
del g upo 2A lo ealiza ella misma y po lo an o, el alumnado de es e g upo, iene menos
opo unidades de e lexiona sob e es e come ido.
1AB 1AA 2AA
Figu a 7-48. Imágenes habi uales en los g upo 1AA (es udian es co igiendo) y
2AA (p o eso a co igiendo).
7.2.2.4 El uso del euske a
En la aplicación de la UDno se ha obse a un mayo abajo del lenguaje po pa e
ni de las p o eso as ni del alumnado. Po lo an o, el ni el de compe encia lingüís ica sigue
siendo bajo y abundan exp esiones co idianas como hacia a iba, hacia abajo o algunas
270
que han mezclado el euske a y el cas ellano (en el mío se elka ua, anexo 18, 090528; línea
66). Es e ni el ya se ha p esen ado al analiza las a eas encomendadas en la en e is a.
7.2.2.5 El con ex o de ap endizaje
Uno de los obje icos p io i a ios de la UD es la es la u ilización de con ex os
cien í icos pa a la cons ucción de concep os ma emá icos; sin emba go, como ya se ha
indicado, un núme o impo an e de ac i idades (po ejemplo ac i idades 15, 17, 18, 20, 22,
29, 36, 48, 51, 56, 62, 64) no se aplican en el aula, y po o o lado, se in oducen o as
nue as, con ex ualizadas en el g upo 1A y más académico-ma emá icas en el g upo 2A.
Pa a la in oducción de la unidad, den o de la in e p e ación de g á icos, la
p o eso a del g upo 1A incluye ac i idades de con ex os co idianos y ce canos ( e anexo
18, 1AA 090527; línea 14 y anexo 18, 1AA 090528); no obs an e, al como se ha expues o,
es a p o eso a no u iliza los con ex os cien í icos p opues os cuando iene que explica la
pendien e o la o denada en el o igen ni el concep o de unción. Así pues, el con ex o
co idiano (i a pa ina , coge un axi o el p ecio de una academia) se emplea ( e anexo 18.
1A, 090520, anexo 18. 1A, 090528 y anexo 9) pa a la cons ucción del subconcep o
a iable -den o de las ep esen aciones abla de alo es y g á ica, no así en la exp esión
algeb aica-, y pa a la compa ación en e las unciones p opo cional y a ín.
En cuan o al con ex o cien í ico, pa ece que ha a ade e i a lo en la medida de lo
posible, y mues a de ello pod ía habe sido no habe que ido co egi la cues ión b de la
ac i idad 71 (pág. 46 de la UD), que busca halla la elocidad de la en ada y salida del
agua de los depósi os -la pendien e de la unción-. El alumnado insis e en que e co egi lo
ya que lo ien esuel o, pe o ella ehusa hace lo ( e anexo 18, 090603; línea 34).
La p o eso a del g upo 2A ha u iliza el con ex o en meno núme o de ocasiones que
su compañe a, y cuando lo hace, no siemp e indica las a iables con ex ualizadas, ni en la
abla de alo es. En o as ocasiones, cuando la p o eso a ha emplea con ex os co idianos
pa a ejempli ica ideas, ha op a po coloca ella misma en la abla de da os, las a iables e
indica cuál de ellas co esponde a la a iable x y cuál a la a iable y (anexo 9). También en
dos ac i idades nue as in oducidas, p opo ciona al alumnado las a iables
con ex ualizadas y ma emá icas ya iden i icadas - odo lo con a io a lo ealizado po su
homóloga, que busca exp esamen e que el alumnado e lexione sob e el ipo de a iable a
iden i ica -. Po o o lado, en gene al cuando in oduce ac i idades insis e en el lenguaje
p opiamen e ma emá ico. Los máximos y mínimos en con ex os –si exis en-, los elaciona

Resul ados 271
con el cambio obse able en el g á ico; no con el cambio de la elación en e las a iables
con ex uales.
Es a al a de elación en e los subconcep os ma emá icos y el con ex o du an e el
ap endizaje, pudie a in lui en que el alumnado no sea capaz de conec a los. Así, po
ejemplo en la ac i idad 71 (pág. 56 de la UD) se plan ea la siguien e si uación: Dos
depósi os de agua A y B uncionan de la siguien e mane a: cuan o más se llene A más se
acía B como lo e leja la g á ica. A pesa de que el alumnado del g upo 2A, indica la
ó mula de la elocidad (s/ ), mues a di icul ad pa a con ex ualiza lo en el sen ido de
li os/ iempo ( e anexo 18, 2AA, 090603; línea 35). Es o pod ía indica que el cambio de
una sola magni ud supone pa a el alumnado una di icul ad añadida al concep o de
elocidad an habi ualmen e u ilizado.
7.2.2.6 La e aluación
La p o eso a del g upo 1A además de ealiza alguna ac i idad de coe aluación -
plan eada en la UD p opues as muy in e esan es de abajo coope a i o ( e anexo18, 1AA
090549; líneas 5-6 y anexo 18, 1AA 090520; línea 21), coe aluación ( e anexo18, 1AA
090520; líneas 1-8) y au oe aluación ( e anexo 18, 1AA 090520; línea 21). Pa a ello, ha
compa eo con sus es udian es los siguien es c i e ios de e aluación: (1) ha ealizado un
modelo de si uación adecuado, indicando además las a iables desc i as, (2) ha ealizado la
abla de alo es co ec amen e indicando las magni udes y sus a iables homólogas x e y,
ha hallado la pendien e, (3) se ha ep esen ado g á icamen e de modo co ec o, (4) se ha
hallado la exp esión algeb aica y (5) se ha ealizado de o ma cla a, limpia y como ha
es ado pensada. Cada c i e io de e aluación se cali ica con un máximo de 2 pun os ( e
igu a 7-49).
Figu a 7-49. Ta ea de coe aluación del alumnado del subg upo 1AA.
272
La p o eso a del g upo 2A po su pa e, no ha abaja ninguna ac i idad de
au oe aluación o coe aluación de las plan eadas en la UD, ni ampoco ha p opues o alguna
po su pa e.
Es os da os pod ían suge i que el g upo 1A, aunque a ni el muy elemen al, ha
abajado la au oe aluación y es o pudie a habe in luido en la e lexión lle ada a cabo en
el con a o de au oe aluación, que pa ece habe sido más aco de con los esul ados
ob enidos - an o en el examen como en la en e is a-. A modo de ejemplo, se indica el
í em b que se e ie e a ansc ibi en e dis in os modos de ep esen ación (esc i o, abla,
g á ico, algeb aico). El alumnado del subg upo 1AA mani ies a en un 12.5% no ene
di icul ad en dicha a ea, el 37.5% indica poca di icul ad, el 37. 5% bas an e y el 12.5%
di icul ad al a; po con a, en el g upo 2AA, el 87.5% indica no ene di icul ad y el 12.5%
acusa poca di icul ad. De los análisis de los exámenes como de las en e is as, sin
emba go, se concluye que el ni el de ap endizaje del g upo 1AA es supe io al del g upo
2AA en las subca ego ías de análisis elacionadas con es e í em b.
7.2.2.7 Análisis de las p o eso as
En es e apa ado se a a de especi ica con mayo de alle las ca ac e ís icas
iden i icadas a lo la go de la aplicación de la UD espec o a cada p o eso a.
7.2.2.7.1 La p o eso a del g upo 1A
En es e g upo se u ilizan 16 sesiones pa a la pues a en p ác ica de la UD. De las
cuales se g aban y ansc ibie on 11, ya que la in es igado a no iene posibilidad, po
cues iones de ho a ios, de g aba el es o.
Es a p o eso a, al comienzo de la UD, conc e a los modos de ag upamien o pa a
abaja las ac i idades; en cambio, no dedica iempo a compa i los obje i os plan eados
en la UD.
Pa a explica los dis in os modos de ep esen ación de la unción escoge una
si uación ce cana al alumnado (ma icula se), y dinamiza el g upo, pa a que sea el
alumnado el que obse e las en ajas de cada ipo de ep esen ación a la ho a de ob ene
in o mación. Pos e io men e, sin habe abajado la in e p e ación de algún g á ico, plan ea
la ac i idad de clasi icación de g á icas - al como se encuen a es ablecida en la UD-. La
p o eso a ha dinamizado adecuadamen e la a ea, que es no edosa pa a el alumnado. En
gene al, las in e p e aciones solici adas necesi an de un en oque local en luga de global
( e anexo 18, 1AA 090430; líneas 68 y 91).
Resul ados 273
A con inuación sea analiza po pa e de la p o eso a el abajo ealizado en el aula en
elación a las a eas de anslación, p edicción y clasi icación.
7.2.2.7.1.1 En las a eas de anslación
En es e apa ado se incluye el análisis de cómo se ha abaja la aducción desde la
desc ipción de la si uación al g á ico y desde el g á ico a la exp esión algeb aica, la
iden i icación de a iables ealizada en dichas aducciones, y el ocabula io u ilizado.
a. T aducción desde la desc ipción de la si uación a la ep esen ación g á ica
Han sido a ios los momen os en los cuales la p o eso a anima a que el alumnado
e ise la adecuación en e la desc ipción ealizada de la si uación, siemp e con ex ualizada,
y el g á ico ( e igu a 7-50). En es e ipo de aducción, además, se impulsa la
coe aluación en e el alumnado ( e anexo 18). Se pueden des aca los siguien es aspec os
del p oceso de enseñanza-ap endizaje aplicado:
- Pa a abaja la aducción desde la desc ipción de la si uación al g á ico se u ilizan en
a ias ocasiones con ex os co idianos y ce canos al alumnado. Se plan ea una si uación
nue a no p e is a en la UD., i desde casa al ins i u o de es modos dis in os: despacio,
pausadamen e y dep isa, o i a la comp a. El alumnado ha enido que ep esen a es as es
si uaciones ( e anexo 18, 090504: líneas 41-51) o i a la comp a ( e anexo 18, 090506:
líneas 1-8). Además la p o eso a plan ea o a ac i idad nue a y o iginal no incluida en la
UD: cada pe sona debe pensa en cómo desc ibi una si uación acompañada de la abla de
da os co espondien e y, pos e io men e po pa ejas, explica la a una compañe a o
compañe o que, una ez, mien as escucha la desc ipción, iene que cons ui un g á ico
que e leje la si uación. Pos e io men e ( e igu a 7-50), ambos comp ueban si el g á ico y
los da os apo ados en la abla coinciden( e anexo 18, 090504 líneas 6-25; líneas 41-51 y
anexo 18, 05006 líneas 1- 18).
En es a a ea, desde una pe spec i a cuali a i a, se insis e en que se iden i ique la
pa e ascenden e y descenden e del g á ico con dis in os colo es ( e anexo 18, 1A 090504;
líneas 25-26). Es a alusión a las pa es ascenden es y descenden es del g á ico
pos e io men e ha sido iden i icado en la alumna 1A11** cuando dice (598-637)
“En onces és e ambién es á mal. No sé. Descenden e. ¡Cla o! Es e es descenden e po lo
an o minus y és a ascenden e”. Pa ece po lo an o, que al menos es a alumna ha ido
in e io izando si el g á ico o unción es ascenden e o descenden e ( e anexo 18, 1A
274
090527; líneas 6-7) y lo ha ans e ido a la a ea que ha conside ado opo una, que po o o
lado, pa ece ene una ipología pa ecida a la ealizada en el aula.
Figu a 7-50.Es udian es del g upo 1AA comp obando la cohe encia en e la desc ipción de
la si uación y el g á ico ( abajo coope a i o, sesión 090504).
Po o a pa e, no pa ece que en la p ác ica de aula insis a en una e lexión en
elación a las desc ipciones e e idas a la ayec o ia, al como se p opone en la p ime a
ac i idad de la UD ( e anexo 18, 1AA 090430; línea 66). Así, cuando el alumno 1A13**
indica que en e el amo 2 y 3 “no se a anza”, la p o eso a le con es a que el iempo si
pe o que la al u a no cambia ( e anexo 18, 1AA 090430; línea 100). En ningún momen o
se impulsa la e lexión cuando el alumnado ealiza una in e p e ación icónica del g á ico,
hecho que ya se de ec ó en la p ime a ac i idad UD cuando los chicos y chicas hablan en
sus a gumen aciones de subidas y bajadas pa a clasi ica los g á icos. Po an o, no pa ece
in e osímil que an o en el examen como en las en e is as, los es udian es u ilicen las
mismas ideas y lenguaje al desc ibi g á icos. Po ejemplo, en el examen el alumno
1A14*** indica que una pa e del g á ico es cons an e po que “no cambia de al u a, ni
sube ni baja” ( e anexo 18, 1AA 090603; líneas 5-6 y 17-18).
El esquema de abajo seguido en el aula a pa i de las si uaciones con ex ualizadas
es el siguien e: a) abla de alo es, b) g á ico, c) exp esiones algeb aicas de las unciones
d) halla el pun o de encuen o; y e) in e p e ación del pun o de encuen o. Es e
p ocedimien o ha sido indicado po la alumna 1A9** du an e la en e is a ( e anexo 18,
1A9; líneas 1544-1714). Po lo an o, pa ece que ha habido una ans e encia impo an e en
cuen o a esquema de p ocedimien o seguido.
Resul ados 281
7.2.2.7.1.2 En las a eas de p edicción
Las a eas de p edicción lle adas a cabo en el aula han enido como obje i o: a)
in e encia del pun o de encuen o y b) la cons ucción del pun o de encuen o. No obs an e,
ambién se analiza la ac i idad con ex ualizada de “la somb a p oducida po un á bol” po
su ca ác e singula en cuan o a p ocedimien o u ilizado se e ie e.
-La in e encia del pun o de encuen o ha es ado supedi ada a la di ección ma cada po la
p o eso a. Ya desde un inicio ( e anexo 18, 1AA 090528; a pa i de la línea 56) cuando
se ha abajado en una si uación con ex ualizada –compa a dos academias, la p ime a con
un cos e de 3 € de ma ícula más 9 € mensuales y la segunda con un cos e de 5€ de
ma ícula y 95€ mensuales-, la p o eso a ha solici ado en p ime luga , halla las
exp esiones algeb aicas pa a cada unción, pos e io men e ep esen a los g á icos y po
úl imo ha p egun ado si se jun an los g á icos. No ha dinamizado al alumnado en la
e lexión ace ca de qué e a necesa io halla pa a compa a las dos academias, sino que lo
ha di igido hacia un pun o en conc e o. Es ella la que indica al alumnado que aya
señalando en cada momen o cuál es la academia que más con iene escoge . En gene al
es e ha sido el modo en el que se ha lle ado a cabo la in e encia del pun o de encuen o en
las ac i idades que lo han eque ido. Du an e el abajo en el aula, una ez hallado el pun o
de encuen o, la p o eso a p egun a ocalizando localmen e momen os an e io es y
pos e io es al pun o de encuen o y en dicho pun o.
Sin emba go, en la si uación de solubilidad, en p ime luga se les ha p egun ado si
en algún momen o dos subs ancias end ían la misma solubilidad y en espues a a es a
p egun a es cuando el es udian e hace una e lexión sob e lo que sucede y la impo ancia
del pun o de encuen o. Po lo an o, pod ía deci se que el p oceso exigido en es a ocasión
es in e so al abajado en el aula. No obs an e, odo el alumnado de es e g upo ha in e ido
el pun o de encuen o, algo muy posi i o, sin duda. Po lo an o hab ía habido ans e encia
lejana ambién en es a a ea.
En gene al, se han ealizado pocas ac i idades sob e el pun o de encuen o; no
obs an e, las abajadas lo han sido en si uaciones con ex ualizadas.
- La cons ucción pa a halla el pun o de encuen o ha es ado bas an e di igida po la
p o eso a, es quien di ige de alladamen e el log o de dicho pun o. Es ella quien indica
cómo halla lo analí icamen e y pa a ello, insis e en el mé odo de igualdad como

282
p ocedimien o pa a esol e el sis ema plan eado. Tal ez po el escaso iempo disponible,
el alumnado no consige una des eza su icien e pa a el log o de dicho pun o, algo que que
se man iene an o en el examen como en la en e is a.
Además, no se insis e su icien emen e en la cons ucción de una escala adecuada
pa a la cons ucción g á ica, y consecuen emen e es e ap endizaje no ha quedado asen ado.
Ya en los exámenes se ha is o e lejado es a debilidad en el ap endizaje (po ejemplo en el
alumno 1A13**). La di icul ad en la escala lle a a que el alumnado –cuyo base de
o ien ación pa a halla el pun o de encuen o se encuen a en el g á ico- no pueda halla el
pun o de encuen o. Además, las des ezas ma emá icas (despeje de incógni a, halla
pendien e, e c.) ampoco han sido su icien emen e adqui idas (alumno 1A13** y alumnas
1A9**, 1A11**, 1A16*).
-La ac i idad denominada La somb a p oducida po el á bol (ac i idad 39, pág. 41) ha
esul ado singula , ya que el alumnado pa a p edeci la misma u ilizala egla de es en
luga del p ocedimien o algeb aico y la p o eso a además, lo ha dado po álido. Debido
al ca ác e especial de es e hecho han sido compa ados odos los exámenes de ambos
g upos (subg upos elegidos más el es o del alumnado) y se ha iden i icado un caso de
u ilización de egla de es en el g upo 1A en e a 6 del g upo 2A ( ambién se ha u ilizado
es e mé odo pa a ealiza la misma ac i idad). En el plan eamien o de dicho p ocedimien o
se ap ecian unidades y no magni udes y po úl imo al despeja la incógni a no se egis a la
a iable con ex ual.
Figu a 7-54. U ilización de la egla de es pa a halla la somb a del á bol (imagen
co espondien e al ideo 1AA 090513, día 6) (anexo, 18.1)
Resul ados 283
7.2.2.7.1.3 En a eas de clasi icación
Las a eas de clasi icación aglu inan odas las ac i idades que han enido po
obje i o la es uc u ación del modelo unción como obje o ma emá ico y la iden i icación
de dis in os ipos de unciones.
El día 4, la p o eso a una ez eco dados los ipos de ep esen ación que se han
abajado has a ese momen o, da la de inición de unción indicando que es una elación de
dependencia en e dos magni udes; pa a ello p egun a al alumnado qué en ienden po
dependencia ( e anexo 18, 1AA 090507, a pa i de la línea 4). Insis e en es a elación de
dependencia, en e la magni ud independien e y la dependien e, y que además, a cada alo
de la magni ud independien e le co esponde un alo de la magni ud dependien e. Es e
sen ido ha sido e lejado po es alumnos du an e la en e is a (1A1***, 1A13** y
1A14***). A modo de ejemplo se expone al a gumen ación de la alumna cuando dice
(645-646) “Yo c eo que no, po que puedes pone po ejemplo kilog amos y eu os y…
(653-654) Po ejemplo comp as algo y depende cuan o pesen end án un p ecio”. El uso
del é mino “depende” no se ha iden i icado en el alumnado del g upo 2AA.
Pos e io men e la p o eso a indica cómo se ep esen a es a elación. Es a de inición no ha
englobado ningún con ex o abajado has a esos momen os; po lo an o, si bien se habla de
a iables independien e y dependien e, no se cons uye el concep o de unción den o de un
con ex o. A pa i de ese momen o, al ealiza las ac i idades, la p o eso a solici a que sean
iden i icadas las a iables independien e y dependien e, las unidades, la abla de alo es y
el g á ico (anexo 18, 1AA 090507, líneas 39-52) y además, cuando es necesa io, la
compa ación en e los dis in os ipos de ep esen ación (eje cicio 41, pág. 42 de la UD).
- Las de iniciones de la pendien e y la o denada en el o igense asladan al alumnado
desde su ca ác e abs ac o ma emá ico, aunque englobadas en una ac i idad
con ex ualizada ( e anexo 18, 1AA 090511; líneas 20-21, anexo 18, 1AA 090527; líneas
20-21). No obs an e en alguna ocasión ( e anexo 18, 1AA 090513) ambién hay e e encia
al con ex o cuando se halla el coe icien e que elaciona la al u a del á bol y la somb a
p oducida ( e anexo 18, 1AA 090513, líneas 18-33.). Sin emba go, al pa ece el alcance
de es e abajo se ha is o e lejado en las en e is as ya que en el 62,5% del alumnado
pa ece in ui un azonamien o co a iacional de azón p omedio. Un ejemplo des acado ha
sido el indicado po la alumna 1A1*** cuando se le p egun a po un ejemplo elacionado
con la pendien e (710-713) “Pues en cuan o iempo se a da; si a das más la pendien e es
284
más pequeña, si el mo imien o es más ápido la pendien e es más g ande”.
-Los ipos de unciones p opo cional y a ín se abajan den o de si uaciones co idianas (se
incluye den o de las ac i idades nue as plan eadas po la p o eso a, e anexo 9). Pa a
ello, la p o eso a ha plan ea una si uación, i a pa ina . El alumnado iene que compa a dos
posibilidades dis in as; en la p ime a, sólo es necesa io paga po cada ho a u ilizada en
pa ina ; en la segunda, se paga un p ecio inicial –como en ada-, y el cos e po ho a es
meno . En la igu a 7-56, se mues a dicha a ea.
Figu a 7-55. T abajo compa a i o de la unción p opo cional y a ín del g upo 1AA
7.2.2.7.2 La p o eso a del g upo 2A
Es a p o eso a señala an o los obje i os de la UDcomo la de los dis in os
ag upamien os p opues os a a és de la lec u a de las mismos.
Desde un inicio no ha consige dinamiza las a eas en g upo, en pa e po que el
g upo ampoco ha mues a g an in e és ni po la a ea en g upo, ni po las p opues as. Po
ello, iene que di igi mucho los ag upamien os cuando se lle a a cabo la in e p e ación de
g á icos –p ime a ac i idad-, así como du an e la ealización de las clasi icaciones
p opues as po cada g upo. Ella incluye ha incluido g á icos es adís icos en los ya
p opues os y la clasi icación de odos ellos ha esul ado complicada pa a el alumnado.
En cuan o a la p ime a ac i idad p opues a, al igual que lo hicie a su homóloga,
in i a al al alumnado clasi ica las g á icas aídas al aula; a ea sin una p e ia
in e p e ación de ninguna de las g á icas. No ha llega a explici a la en aja del concep o
unción -igual que la p o eso a del g upo 1A- en e a o a se ie de concep os ma emá icos
conocidos po el alumnado.
Resul ados 285
Mues a una a ención excesi a hacia una alumna en pa icula ( e anexo 18, 2AA
090513; línea 28, anexo 18, 2AA 090515; línea 45). Sin emba go, pa ece que no es
conscien e de la di icul ad de una alumna -mues a de iciencia audi i a- al da las
explicaciones, ya que su mi ada en gene al no a di igida a ella du an e las explicaciones.
7.2.2.7.2.1 En a eas de anslación
Al igual que du an e el análisis del g upo 1A, se conc e an las cues iones
e e en es a a) aducción desde la desc ipción de la si uación a la ep esen ación g á ica
y b) la aducción desde la ep esen ación g á ica a la ep esen ación algeb aica.
i. T aducción desde la desc ipción de la si uación a la ep esen ación g á ica
En es e apa ado se ienen en cuen a dis in osaspec os que ayuda án a en ende lo
mos ado pos e io en e en el examen y en e is a.
-Pa a in oduci la aducción desde la desc ipción de la si uación al g á ico u o o ipo de
ep esen aciones la p o eso a lle a a cabo la lec u a de lo plasmado en la UD y no plan ea
si uaciones con ex ualizadas ce canas, al como lo ha ealizado la p o eso a del g upo 1A.
Sob e los g á icos, la p o eso a explica que se a a de un conjun o de pun os que si se
puede se unen ( e anexo 18, 2AA 090512 líneas 46-47), es deci , la explicación de la
aducción desde una si uación cualquie a al g á ico, no es an elabo ada como la ealizado
po su homóloga. Se di ía que no se ha empleado su icien e iempo analiza cómo se
p oduce es e cambio de ep esen ación- a ea muy complicada, al como se ha in e ido en
los exámenes y en e is as-.
Den o del g á ico, los en oques que solici a al alumnado, en gene al se
ca ac e izan po se sob e odo a ni el local o a lo sumo po pa es ( e anexo 18, 2AA
090506; líneas 40-57). Po ejemplo, cuando se ha abajael eje cicio de la ducha (ac i idad
3 de la UD) la e minología u ilizada es coloquial y el en oque bas an e local (anexo 18,
2AA 090506, líneas 34-57). No obs an e, a comple ando–buscando cohe encia- la
desc ipción del g á ico a la his o ia p opues a po cada es udian e. La p o eso a es la que
p egun a y esponde en gene al.
En el en oque local, la e e encia a los máximos y mínimos se ealiza espec o al
cambio en las pa es ascenden e y descenden e del g á ico ( e anexo 18, 2AA 090512;
línea 87), de minus y plus ( e anexo 18, 2AA 0905199; líneas 33-34), pe o sin una
286
in e p e ación de la elación exis en e en e las a iables ep esen adas, y ampoco se
u iliza ningún con ex o pa a ello. Además, la p o eso a indica cla amen e que son las
cues iones de máximo, mínimo, ascenden e las que hay que comen a al desc ibi un
g á ico; no menciona en es a lis a, la in e p e ación global del g á ico, ni la elación en e
las a iables ( e anexo 18, 2AA 090512; líneas 93-94 y anexo 18, 2AA 0905139; línea
13).
El excesi o en oque local, al ez sea una explicación de po qué es e alumnado ha
ob enido pe o es esul ados en la segunda p egun a de la si uación de la solubilidad, ya que
pa a esponde adecuadamen e son necesa ios ambos ipos de en oque, local y global.
El en oque global a di igido a esal a si se a a de un g á ico ascenden e o
descenden e, casi ya desde un inicio. Es e ipo de a gumen ación ya ha sido egis ada en
mayo medida po es e g upo du an e la en e is a (2A5**, 2A6** y 2A15**); po lo an o,
es as pe sonas ans ie en es e conocimien o.
En alguna ocasión en e las cues iones impo an es a des aca en la in e p e ación
del g á ico, la p o eso a indica en p ime luga los núme os, luego las a iables. En su
exposición, uel e a ema ca la impo ancia de los núme os, pa a sabe lo que da, aunque
pos e io men e uel a a incidi en la impo ancia de las a iables ( e anexo 18, 2AA
090512, líneas 94-99 y 115-119). Analizando es a secuencia, pod ía supone se que los
é minos a iable o magni udes son de impo ancia secunda ia.
Es a p o eso a plan ea dos ac i idades nue as pa a abaja la aducción desde la
desc ipción de la si uación hacia la ep esen ación g á ica; pa a ello, p ime o solici a
ellena la abla de alo es –en ella se encuen an de inidas an o las a iables con ex uales
como las y a iables ma emá icas-. Es e p ocedimien o no pa ece ayuda a una e lexión
sob e cuál de a iables es la independien e y cuál de dependien e po pa e del alumnado.
Han sido con adas las ocasiones en las que se sale del guion de las p opues as
p esen adas en la UD y cuando lo hace, es pa a abaja a ni el ma emá ico las de iniciones
de unción, e c., o pa a plan ea ac i idades pu amen e ma emá icas. Así a excepción de
algún caso pun ual (po ejemplo la ac i idad 3 de la UD) no ha explici a la impo ancia de
la cohe encia que debe exis i en e la desc ipción de la si uación ealizada y la
ep esen ación escogida.
Po o o lado, es la p o eso a la que en gene al, da las espues as a la p egun as que
a ealizando -ac i ud ya comen ada en el apa ado dedicado al análisis del es ilo didác ico-
( e anexo 18, 2AA 090506; líneas 57, 59-60 y 64-65).

Resul ados 287
- En cuan o a la iden i icación de las a iables en la desc ipción del g á ico puede deci se
que el abajo ealizado ha sido escaso. Mues a de ello, ha sido que cuando se cuando una
alumna indica los minu os como a iable dependien e y no como independien e -como es
lo co ec o-, lo ha dado po bueno ( e anexo 18, 2AA 090519; líneas 53-54). También, en
o a ac i idad cuando el alumnado iden i ica los li os en luga del iempo como a iable
independien e (anexo 18,1 2AA 090519, líneas 45-46) ampoco se discu e.. Es os hechos,
que sin un con ex o pod ían incluso admi i se desde el á ea de las ma emá icas, ienen
ele ancia en el ámbi o cien í ico donde la in luencia de una a iable sob e o a es
p io i a ia en el análisis de los enómenos. Po odo ello, pod ía deci se, que no ha habido
insis encia pa a la e lexión sob e el subconcep o a iable. También ha sido signi ica i o
que cuando la p o eso a indica que las unciones se obse an en los expe imen os, hable de
pun os en luga de e e i se a a iables. Ello pod ía in e p e a se como si pa a la p o eso a,
lo p io i a io ue an las co espondencias pun o a pun o, y no la elación en e las a iables.
Den o de es a in e p e ación, po lo an o, no se ía necesa io acla a cuál es la a iable
independien e y la dependien e ( e anexo 18, 2AA 090519; líneas 53-54).
En sus e e encias u iliza la mayo pa e de las eces las a iables x e y. Es a al a
de e lexión en o no a las a iables pod ía explica pa e de lo sucedido en la en e is a;
aunque es e g upo ha iden i icado algo mejo una de las a iables en el con ex o ísico –
elocidad-, la iden i icación de a iables en la si uación de la solubilidad ha p esen ado una
di icul ad impo an e pa a a ias pe sonas del g upo. En cambio, odo el alumnado del
g upo 1A ha iden i icado a ambas a iables co ec amen e en el con ex ode química.
A la ho a de de ini la unción u iliza los é minos a iable inicial y a iable inal;
a con inuación, incluye las co espondencias a las a iables x e y, y, en pa én esis si úa los
é minos a iables independien e y dependien e ( e anexo 18, 2AA 090512; líneas 61-64).
Po ello, en es a ocasión, pod ía deci se que mues a mayo ni el de co espondencia en e
los ipos de a iables al ealizado po su compañe a (g upo 1A), que indica los é minos
independien e y dependien e elacionados median e elación de dependencia ( e anexo 18,
1AA 090507, líneas 4-13).
- En cuan o al uso del lenguaje, puede deci se que el ni el de exp esión lingüís ico de es a
p o eso a es algo más bajo que el de su homóloga. En bas an es ocasiones no e mina las
ases ( e anexo 18, 2AA 090512; línea 28). Además, sus ases no incluyen pa ículas
288
como a abe a (a medidad, espec o) o po ejemplo “luze a ekiko makila en ge izpa en
luze a” (la longi ud de la somb a del palo espec o a la longi ud del palo).
Mues a g an pe misi idad cuando el alumnado se di ige a ella en cas ellano, bien a
la ho a de p egun a o de esponde ( e anexo 18, 2AA 090505; líneas 20-21, anexo 18,
2AA 090505; líneas 51-52 y anexo 18, 2AA 090512; líneas 44-45). Es e hecho sin bien
ambién ha sido de ec ado en alguna ocasión en el g upo an e io , en es e g upo se da muy
ecuen emen e.. En cohe encia con es o, ampoco le daimpo ancia a que el alumnado no
es uc u e ases cuando da alguna explicación.
En cuan o a la e minología se exponen en la igu a 7-56, los esul ados ob enidos.
Es a p o eso a u iliza los é minos a iable, x e y. Además ambién habla de abscisa
y o denada –no conside ados en la igu a ya que no son signi ica i os pa a la
in es igación-. En es a clase, sob e odo, la p o eso a alude al é mino a iable el día 4; sin
emba go, solamen e en una ocasión se u iliza el é mino elación en dicho día. Tal como
ya se ha comen ado, la alusión a la elación en e las a iables no se ha iden i icado
du an e la en e is a en el alumnado de es e g upo.. Su a gumen ación se di ige a indica la
posición de a iables en los ejes. Es a p o eso a al igual que su homóloga deja de u iliza
é minos de ca ác e dinámico a medida que a anza la UDa a o del lenguaje ma emá ico
abs ac o. Ello pod ía se in e p e a como que ambas no asocian a pa i de un momen o
dado las a iables con los con ex os.
Figu a 7-56.Te minología u ilizada en la clase 2AA a lo la go de las sesiones (día 10, a
pa i del minu o 7 la g abación se ha es opeado).
Po o a pa e, es a p o eso a, en con aposición a su compañe a, mues a en gene al
lenguaje de ca ác e es á ico. Sin emba go sus a gumen aciones en e las a iables
0
5
10
15
20
25
30
ho a
1
ho a
2
ho a
3
ho a
4
ho a
5
ho a
6
ho a
7
ho a
8
ho a
9
ho a
10
ho a
11
a iable
a iable independien e
a iable dependien e
magni ud
elación
"inclinación"
pendien e
o denada en o igen
Resul ados 289
esponden a una elación de co espondencia mayo que el de su compañe a. Es es e
sen ido, pod ía deci se que aunque ambas pa ecen posee un modelo de unción algo
dis in o, elación de dependencia po pa e de la p o eso a del g upo 1A y elación de
co espondencia po pa e de la p o eso a del g upo 2A (obse a el é mino elación en las
igu as 52 y 57). Es o pod ía explica po qué cua o pe sonas del g upo 1A en e a dos del
g upo 2A mani ies an una imagen de concep o la imagen de concep o basado en la
dependencia y po el con a, la imagen de concep o basada en una egla ha sido supe io
en el g upo 2A ( e abla 7-15). En es e sen ido, pod ía deci se que el alumnado a a de
ans e i la imagen abajada en el aula, sin llega a consegui el ni el de co espondencia
(la alumna 2A7** al ez se encuen e en ese lími e). Como puede ap ecia se la imagen de
concep o de las p o eso as pa ece in luencia en la imagen que el alumnadoin e io iza. Po
lo an o, pod ía deci se que ha habido un ipo de imagen de unción ans e ido po pa e
del alumnado en la en e is a.
O o de los é minos des acados es el de inclinación asociada al subconcep o
pendien e. Tal como puede obse a se los días 8 y 9 son dedicados a es e concep o y es
cuando dicho ocablo se explici a. Es e hecho ha sido muy ele an e du an e la en e is a
ya que 62.5% del alumnado de es e g upo de ine la pendien e en e e encia a es e é mino
–inclinación de la ec a, inclinación del g á ico- . Po ello, pod ía deci se que ha habido
ans e encia sob e el concep o de pendien e abajado en el aula.
ii. T aducción desde la ep esen ación g á ica a la ep esen ación algeb aica
Al igual que en el análisis del g upo 1A se analizan a con inuación las cues iones
de: a) cohe encia en e las ep esen aciones g á ica y algeb aica y la exp esión algeb aica y
pos e io men e la cons ucción de la ep esen ación algeb aica.
-La cohe encia en e las ep esen aciones g á ica y algeb aica ha sido lle ada a cabo po
la p o eso a. En dicha a ea, la u ilización de a iables de con ex o es escasa. A pesa de
que al halla la pendien e la p o eso a u iliza a iables de con ex o
( =3km/0,5seg=6km/seg.), al cons ui la exp esión algeb aica pasa a las a iables x, y
(y=6x) ( e anexo 18, 2AA 090520; líneas 38-50). Siemp e es la p o eso a la que a
indicando cuáles son los ipos de a iables, incluso en la ac i idad pos e io al examen,
cuando explici a que los minu os son x y los li os son y-. Po ello, ha so p endido que el
alumnado de es e g upo escoja escogido en mayo medida que el alumnado del g upo 1A
290
a iables de con ex o en la si uación de la pelo a -en ambas aulas en la exp esión
algeb aica se u ilizan a iables x e y-. Una de las explicaciones pudie a se que los
es udian es del g upo 1A que escoge a iables ma emá icas –a excepción del alumno
1A14***-, mues a es ilos simila es de ap endizaje -basan su ap endizaje en el esquema
seguido en el aula-, po lo pudie an habe es ado in luenciad en g an medida po la u ina
de aula (en el aula las ecuaciones son de inidas con a iables x e y). Han sido chicas
quienes lo han ealizado.
Figu a 7-57.Ta ea di igida a la cohe encia en e las ep esen aciones g á ica y algeb aica
en el g upo 2AA (sesión 090526).
La imagen de pendien e que abaja la p o eso a co esponde al cambio en la
inclinación del g á ico, la pendien e mide la inclinación de la ec a; si es mayo a ce o la
g á ica es ascenden e y si es meno a ce o descenden e. Sob e es a idea, cuando se abaja
el eje cicio 49 (pág. 46 de la UD) que plan ea si la elocidad del sonido al a a esa
dis in os ma e iales es la misma, la espues a dada es que no po la inclinación de la ec a;
no hay e e encia a la elación en e las a iables. Es a insis encia explica ía en g an
medida po qué la g an mayo ía del alumnado cuando iene que escoge el g á ico en la
si uación de la pelo a o se le p egun a po la pendien e, e oca el ocabula io ma emá ico
u ilizado en si uaciones pa ecidas en el aula –inclinación-(anexo 18, 2AA 0905119, 64-74;
anexo 18, 2AA 090520 l-líneas 8-29); no sucede así en el g upo 1A. Es os da os, pod ía
indica ans e encia en la en e is a po pa e del alumnado del g upo 2A.
En la en e is a el alumnado de es e g upo indica des aca mayo i a iamen e la
pendien e como la inclinación de la ec a, unción, g á ica. De nue o, puede a i mase que
se da una ans e encia ele ada en cuan o a la pendien e como inclinación, se e ie e. Sin
Resul ados 297
7.3.1.1 Si uación de la pelo a
En es a si uación la en e is ado a lanza una pelo a al ai e y se indicado que no se
han de ene en cuen a los dos momen os, el inicial y el inal -momen os en los cuales la
pelo a es á deposi ada en la mano-, pa a escoge la g á ica co espondien e que desc iba el
enómeno. En la abla 7-18 se mues an los esul ados del análisis sob e cómo el alumnado
desc ibe es e mo imien o.
Tabla 7-18
En la si uación de la pelo a, di icul ades iden i icadas desde las ciencias (DF) y ni eles de
conocimien o de ísica asociados (F)
Si uación de la pelo a
Di icul ades iden i icadas desde las ciencias (DF) y ni eles de conocimien o de ísica asociados (F)
Ni el
Di icul ad
Alumnado
Ejemplos del alumnado
F1
DF1. Co esponde a un modelo de
la si uación en el que se iden i ica la
a iación de la posición como
a iación de elocidad, ya que el
modelo co esponde a la ayec o ia
seguida po el mó il.
1A1***,1A7*, 1A9**,
1A10**, 1A11**,
1A16*
2A2*,2A6**,2A7***,
2A11*,2A15**2A19*
*
3B1***,3B2***,
3B4** 3B5**, 3B6*,
3B7*, 3B8**
1A1***, (488) “P ime o, a a iba y luego baja”
2A11*, (513-515) “Po que cuando i as la pelo a a
hacia a iba, luego se queda en un pun o y luego
iene de nue o hacia abajo”.
F2
DF2. El modelo de la si uación
exp esado se ca ac e iza po
conside a que el obje o en
mo imien o posee p opiedades
( ue za, po encia) que co esponden
a ca ac e ís icas obse ables (el
mo imien o) e in ínsecas al obje o
en mo imien o. Dicha ue za,
po encia disminuye a medida que lo
hace el mo imien o y uel e
cuando de nue o hay mo imien o.
1A14***
2A14***
3B3**
1A14***, (498-499) “Po que aquí el iempo y la
po encia, sube pe o no baja po que es á pa ada” y
(512-514) “Po que p ime o la lanzamos, a hacia
a iba, y iene mucha po encia has a llega a un
lími e y ahí ya baja la po encia”
2A14***, (667-671) “Cuando echas la pelo a coge
una elocidad y cuando baja lo hace con la misma
elocidad o mayo y aquí la elocidad es hacia
abajo”.
3B3** (83-85) “Pues cuando a hacia a iba coge
elocidad; pe o cuando a hacia a iba se de iene
pues ya no iene esa elocidad”
.
F3
DF3. El modelo exp esado se
cen a en habla del mo imien o en
unción de un agen e causal
(alguien que empuja o a ae).
2A5**
2A5**, (581-585) “Po que cuando la i amos iene
una g an elocidad, le das ue za a la pelo a y luego
como consecuencia de la g a edad baja con ue za,
con mucha ue za no pe o si con un poco”
DF4. El modelo exp esado de la
si uación pa ece ene en cuen a el
cambio de elocidad du an e el
mo imien o. No se conside a a las
p opiedades ísicas como po encia,
ue za, elocidad como p opiedad
in ínseca del cue po
F4
DF4. Se exp esa un modelo men al
de la si uación donde hay elación
en e y los dis in os momen os
pe o sin hace alusión a la a iable
iempo explíci amen e; Tampoco
plan ea el cambio de la magni ud
elocidad en el ma co de un sis ema
en con inua in e acción.
1A13**
1A13**, (716-718) “Po que la elocidad hacia
a iba, la elocidad disminuye y cuando a hacia
abajo aumen a”.

298
Como puede obse a se en la abla, los es g upos mues an en gene al un ni el de
conocimien o de cinemá ica muy pa ecido, ya que el 75% del alumnado de los g upos que
han abajado las unciones median e la aplicación de la UD y el 87.5% del alumnado del
g upo 3B se si úan en el ni el más bajo. Las pe sonas si uadas en es e ni el pa ecen
cons ui un modelo de si uación iden i icado como de la ayec o ia seguida po la pelo a.
Las pe sonas que den o de es e ni el mani ies an el meno conocimien o ni an siquie a
hablan de elocidad, al ez po que no lo conside en necesa io den o su isualización.
O as pe sonas, en cambio u ilizan el concep o elocidad en sus a gumen aciones, pe o
pa ecen iden i ica a la elocidad como posición. Unas como o as, pueden es a
e i iéndose a la posición en un ins an e o al cambio de posición. La in e p e ación
ealizada del g á ico es de ca ác e iconog á ico, es deci , como si ue a la opog a ía
seguida po la pelo a.
Es e hecho pod ía ene dos explicaciones plausibles; la p ime a de ellas, hace
e e encia a la di icul ad del concep o elocidad y su di e enciación espec o al concep o
posición. Incluso den o de la iden i icación de posición, ambién se ía dis in o si se iene
en cuen a el alo de posición en un ins an e dado o el cambio de posición en un in e alo,
ya que la in e p e ación de los concep os de elocidad y acele ación in oluc a p ocesos de
abs acción e in e p e ación de cocien es. La segunda, iene que e con la conside ación
de una g á ica como un dibujo. Las dos pod ían ene elación con ideas al e na i as del
alumnado, si bien la segunda, además pod ía ene que e con un escaso abajo ealizado
en el aula con espec o a la in e p e ación de g á icos, en el sen ido de ealiza un análisis
en p o undidad sob e la iden i icación e in e p e ación de a iables así como del
azonamien o co a iacional.
El ma e ial didác ico diseñado p e eía un abajo especí ico sob e la in e p e ación
icónica, en el sen ido de elaciona lo con el modelo de si uación c eado, ya que se pa ía de
los es udios que mues an que es a asociación -en e ayec o ia y ep esen ación g á ica-
es una di icul ad pa a ealiza una in e p e ación adecuada de g á icos, como a la ho a de
cons ui modelos de si uación asociados a enómenos cien í icos. Pe o la mayo pa e de
las ac i idades plani icadas pa a p omo e es a e lexión no se han ealizado. Cuando
alguna de ellas se ha lle ado a cabo, simplemen e se ha eque ido la lec u a de pun os, y no
pa ece habe impo ado ni el lenguaje ni la ep esen ación men al del g á ico ealizado, que
el es udian e es u ie a haciendo en ese momen o. Du an e el análisis del abajo en aula, no
ha pa ecido que las p o eso as ue an conscien es de es a di icul ad.
Resul ados 299
Po lo an o, a la is a de los esul ados, es pa en e la g an di icul ad expues a; no
obs an e, es o pod ía hace indica que si no se abaja eniendo en cuen a es a di icul ad, es
di ícil que el alumnado ome conciencia de ella y pueda au o egula se pa a una mejo a.
Puede conclui pues, el ap endizaje lle ado a cabo en el aula en ambos g upos no ha
ayudado a que el alumnado haya c eado, po lo menos, un modelo de ep esen ación
men al más aco de al modelo de la si uación ísica p esen ado. En es e sen ido, pod ía
en ende se po qué el alumnado del g upo 3B no ha ob enido peo es esul ados que los
g upos que han abajado las unciones, que en un p incipio cab ía espe a .
Como puede obse a se, el alumnado se si úa en e las ideas a is o élicas y en algún
caso con e e encia a la eo ía del ímpe us. Ninguna pe sona u ilizaambas a iables en su
desc ipción; consecuen emen e ,pod ía deci se que aunque pa ece que el alumno (1A13**)
posee un conocimien o de elocidad, és e no es iden i icado como el cocien e en e el
espacio eco ido y el iempo empleado en ello. Es e alumno es de na u aleza cu iosa, le
gus a la ciencia y p oba cosas –ha sido el único que ha pedido que se le deja a la pelo a y
ha epe ido expe imen o dos eces-. Tal ez, es e hecho haya podido in lui en su
modelización de la si uación.
Tabla 7-19
Relación en e el ni el de conocimien o de Física y la elección del g á ico en la si uación de la
pelo a
Si uación de la pelo a
Relación en e el ni el de conocimien o de Física y la elección del g á ico
G á ico escogido
Ni eles
F1
1A16*
3B8**
1A1***, 1A9**
2A6**,2A11*, 2A15**, 2A19**,
3B2***, 3B4**, 3B6*, 3B7*
1A7*, 1A10**
1A11**
2A2*, 2A7***
3B1***,3B5**
F2
1A14***
3B3**
2A14**
F3
2A5**
F4
1A13**
Ninguna de las pe sonas ci a el concep o acele ación, si bien han indicado cambio
de elocidad; po lo an o, no han sido capaces de elaciona un é mino an habi ual en la
ida co idiana a una si uación dis in a.
300
No odas las pe sonas si uadas en el mismo ni el de ísica escogen el mismo
g á ico. De las 24 espues as, 13 (54.16%) han op ado po el g á ico ,
mayo i a iamen e, aquellas si uadas en el ni el F1 (58.8.%), que pod ía asemeja se en
mayo medida a un dibujo asociado a la ayec o ia seguida po lal pelo a. El es o de
g á icos escogidos po el alumnado del F1 ambién ha ían e e encia al ayec o aunque
desde una pe spec i a un an o dis in a. Po ejmplo, el modelo de si uación ealizado con el
g á ico pod ía se el del lanzamien o de una pelo a en gene al, es deci , el lanzamien o de
una pelo a con la mano hacia adelan e y no hacia a iba, y en onces el ayec o de la pelo a
se ía de a iba abajo. El g á ico pod ía hace alusión a un modelo de si uación de una sóla
ía de ayec o, de ida y uel a. Ha so p endido que algunas pe sonas que han escogido
es e g á ico hayan indicado que la elocidad siemp e es igual.
Ocho pe sonas si uadas en F1 iden i ican la a iable elocidad, pe o dicha
iden i icación, es in e p e ada como si en el modelo men al cons uido ue a la posición la
que es econs uida. Así, lo mues a la alumna (1A9 cuando dice (978-979) “No po que
cuando lanzas la pelo a empieza de ce o. Sí. Po que empieza de ce o”, o en el caso de la
mon aña usa cuando indica (944-945) “Habe , po la mi ad es así, po que empieza po la
mi ad y luego…” “¡jo es la o ma y odo!” (951) ¡¡ Jo es di ícil!! (958) “Es que es
lógico”).
Pod ía deci se que en o al son 19 las pe sonas escogen en un sen ido u o o una
ep esen ación que hace pensa en la c eación de un modelo de si uación iden i icado como
ayec o ia.
7.3.1.2 Si uación de la mon aña usa
La mon aña usa es una di e sión muy ap eciada y p ac icada po la gen e jo en;
así pues, pod ía pensa se que el habe mon ado en ella alguna ez pod ía acili a el
inclina se hacia una espues a más adecuada desde el pun o de is a del expe o.
En es a si uación la in es igado a o ece al es udian e la imagen de una mon aña
usa, aunque no en su o alidad. Las di icul ades iden i icadas, así como los ni eles
asociados son mos ados en la abla 7-20.
Resul ados 301
Tabla 7-20
En la si uación de la mon aña usa, di icul ades iden i icadas desde las ciencias (DF) y ni eles
de conocimien o de ísica asociados (F)
Si uación de la mon aña usa
Di icul ades iden i icadas desde las ciencias (DF) y ni eles de conocimien o de ísica asociados (F)
Ni el
Di icul ad
Alumnado
Ejemplos
F1
DF1. Co esponde a un modelo
de la si uación en el que se
iden i ica la a iación de la
posición como a iación de
elocidad, ya que el modelo
co esponde a la ayec o ia
seguida po el mó il.
1A1***,1A7*,1A9**,
1A10**1A16*
2A2*, 2A6**, 2A11*,
2A15**, 2A19**
3B2***,3B4** 3B6*, 3B7*,
3B8**
2A2*, (717-718) “Hace p ime o
hacia a iba y luego hacia abajo”
2A19**, (473-474)“Po que según
el dibujo la ayec o ia es la
misma”.
F2
DF2. El modelo de la si uación
exp esado se ca ac e iza po
conside a que el obje o en
mo imien o posee p opiedades
( ue za, po encia) que
co esponden a ca ac e ís icas
obse ables (el mo imien o) e
in ínsecas al obje o en
mo imien o. Dicha ue za,
po encia disminuye a medida que
lo hace el mo imien o y uel e
cuando de nue o hay mo imien o.
1A14***
2A14**
3B3**, 3B5**
2A14***, (791-792) “Y luego cuando
desciende de nue o coge elocidad”
3B5** (117-118) “Po que p ime o a a
poca elocidad y luego cuando llega a iba
coge elocidad”.
F
F3
DF3. El modelo exp esado se
cen a en habla del mo imien o
en unción de un agen e causal
(alguien que empuja o a ae).
DF4. El modelo exp esado de la
si uación pa ece ene en cuen a el
cambio de elocidad du an e el
mo imien o. No se conside a a las
p opiedades ísicas como
po encia, ue za, elocidad como
p opiedad in ínseca del cue po
1A11**
1A11** (556-558) “És e po que aquí se
queda, como baja, la elocidad es mayo ,
en onces necesi a menos iempo pa a
baja . (565) Sí, po eso es así, en ez de
mayo iempo”.
F4
DF4. Se cons uye un modelo
men al donde hay elación en e
y los dis in os momen os sin hace
alusión a la a iable iempo
di ec amen e; además no plan ea
la in e acción en e los sis emas
aunque se elaciona con el
mo imien o.
1A13**
2A5**, 2A7***
3B1***
2A7*** (649-651) “P ime o a bas an e
despacio, luego más despacio po que hay
pendien e y luego pendien e abajo
alcanzando mayo elocidad”.
2A5** (655-658) “Que igual es és e (b) ya
que po aquí ya iene elocidad y al
ascende po aquí disminuye la elocidad y
luego al coge es a ampa (la ampa pa a
descende ) uel e a subi ”.
En es a si uación un meno núme o de pe sonas mues a la di icul ad DF1, aunque
sigue siendo muy impo an e. Es a di e encia pod ía se debida a que el alumnado ha
podido c ean en mayo medida la si uación plan eada.
En el caso de es a in es igación, en e las pe sonas que mani ies an la di icul ad
DF1, un 53.3% de ellas ha mon ado en la mon aña usa, en los que mani ies an la
di icul ad DF2 un 75% ha mon ado, la única alumna con una di icul ad DF3 no ha
mon ado y el 100% del alumnado que mues a di icul ad DF4 ha mon ado. Es os da os
302
pod ían suge i que mon a en la mon aña usa ayuda ía a una cons ucción de modelo más
aco de con el enómeno ciné ico es udiado. Den o de es a hipó esis, pod ía explica se po
qué un mayo núme o de pe sonas ha podido escoge el g á ico adecuado y un meno
núme o de es udian es pod ía habe elegido el g á ico análogo a la ayec o ia del mó il.
No obs an e, ha habido un meno núme o de es udian es en el ni el más bajo –sólo
dos-que u iliza la elocidad en sus exposiciones. Al igual que en la si uación de la pelo a,
pa ecen habe cons uido el modelo de si uación de ayec o ia y po lo an o, hablan de
elocidad cuando se es án e i iendo a la posición. O as es pe sonas se e ie en a la
elocidad en sen ido de ímpe us (F2), la alumna si uada en F3 ambién lo u iliza al igual
que las cua o pe sonas del ni el F4, que se e ie en al cambio de la misma du an e los
dis in os momen os. Pa ece ap ecia se, po lo an o, una mayo u ilización del concep o
elocidad en las a gumen aciones expues as a medida que el ni el de ísica es más ele ado.
A di e encia de lo acon ecido en la si uación de la pelo a, en és a hay un meno
núme o de pe sonas que emplean el concep o de elocidad como posición. Al igual que en
la si uación de la pelo a, es el alumnado de ni el medio en conocimien o ma emá ico quien
des aca posi i amen e en el conocimien o cinemá ica. La abla 7-21 ecoge los esul ados
gene ales de elección de g á ico y ni eles de concocimien o en ísica en es a si uación.
Tabla 7-21
Relación en e el ni el de conocimien o de Física y la elección del g á ico en la si uación de la
mon aña usa
Si uación de la mon aña usa
Relación en e el ni el de ni el de conocimien o de Física y la elección del g á ico
G á ico escogido
*
Ni eles
F1
1A1***,1A7*,1A9**,1A10**, 1A16*
2A2*, 2A6**, 2A11*, 2A15**, 2A19**
3B4**
3B2***
3B6*, 3B7*
3B8**
F2
3B3**, 3B5**
2A14**
1A14***
F3
1A11**
F4
1A13**
2A5**
2A7***
3B1***

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