Leioan, 2020ko i aila en 3an
G adu Amaie ako Lana
Fisikako G adua
LANDAUREN TEORIAREN BERRIKUSKETA
φ4 hamil onda ak e eduz a u ako sis ema en
ase- an sizioen az e ke a konpu azionala
Egilea:
Malen E xebe ia E xaniz
Zuzenda ia:
Iñigo E xeba ia Al zaga
Zuzenda ikidea:
Hegoi Manzano Mo o
Au kibidea
1 Sa e a e a helbu uak 1
2 Oina izko hainba kon zep u 3
2.1 Fase- an sizioe a ako sa e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Landau en eo ia ................................ 5
2.3 φ4hamil onda a ................................ 7
2.4 Biga en mailako o dena pa ame oak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Landau en eo ia ............................ 8
2.4.2 φ4hamil onda a ............................ 10
3 Oina i konpu azionala 11
3.1 Mon e Ca lo me odoen un sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Me opolisen algo i moa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 Algo i moa en un sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Algo i moa en inplemen azioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Fase- an sizioen simulazioak 17
4.1 O dena pa ame o baka eko kasua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Neu ke a-me odoa ........................... 17
4.1.2 Emai zak e a ez abaida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Bi o dena pa ame oko kasua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1 Neu ke a-me odoa ........................... 22
4.2.2 Emai zak e a ez abaida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Emai zen ingu uko zenbai oha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Ondo ioak 29
1. Kapi ulua
Sa e a e a helbu uak
Landau- en eo iak [1] ase- an sizio ja ai uen az e ke a ako esna inda sua dela e a-
ku si du 1937an p oposa ua izan zene ik eguno a a a e. Teo ia enomenologiko ho ek
eskain zen duen aban aile ako ba po en zial e modinamikoen singula i a eak e a anali-
ikoan desk iba zeko auke a da. Halabe , az e gai di uen sis emen sime ia e a p opie-
a e mak oskopikoen a eko e lazioa eza zen du, ase- an sizioan ema en den sime ia-
apu ke an a e a be ezia ja iz.
Landau en lehenengo p oposamenaz ge oz ik, eo iak ga apen handia izan du e a be-
e aplikazio-espa ua naba men zabaldu da. Ho ela, azken u eo an Landau en eo ia
ma e ial e omagne iko, e oelas iko e a e oelek ikoen p opie a e e a be ezi asunen
ingu uko ike ke e an e abilia izan da [2, 3, 4], bai a ma e ial mul i e oikoen az e ke e an
e e [5]. Ho ez gain, Ginzbu g-Landau eo ia enomenologikoa en ai zinda ia da, zeinak
supe e oanko asun- an sizioa duen az e gai za [6]. Ho az, Landau en eo ia en bi a -
ez az e dai ezkeen kasuak e a i eki dai ezkeen ike ke a-bideak ani zak di a.
Lan hone an φ4hamil onda a en bidez e eduz a u ako sis ema ba en ase- an sizioa
az e uko da Landau en eo ia en bi a ez. Bi di a be e helbu u nagusiak. Landau en
eo ia az e zea da lehenengoa, be e i ismena, izan di zakeen mugak edo aplika ze ako
o duan sue a dai ezkeen a azoak zehaz uz. Ho e a ako, sis ema isiko ba konpu azio-
nalki e eduz a u e a ha en ase- an sizioak simula uko di a, lo u ako emai zen bidez
eo ia en ingu uko ondo ioak a e a ahal iza eko. Sis ema isikoa e eduz a zeko φ4hamil-
onda a e abiliko da, ase- an sizio es uk u alen oina izko isika ain za ha zen duen
e edu mik oskopikoa [7], e a ase- an sizioak Mon e Ca lo me odoen bidez simula uko
di a, zehazki, Me opolis-en algo i moa e abiliz.
Bi kasu analogo az e uko di a: o dena pa ame o baka eko sis ema i dagokiona, ba-
e ik, e a bi o dena pa ame oko sis ema i dagokiona, bes e ik. Az e ke a en abiapun ua
Landau en ene gia askea izango da, e a ho i lo u ahal iza eko ene gia aske ho en de-
inizio es a is ikoan oina i u ako me odo ba ja ai uko da [7]. Ho i o dena pa ame o
baka eko kasu a aplika ua izan da li e a u an, baina ez bi o dena pa ame oko a e a,
ho enbes ez, lana en biga en helbu ua aipa u ako me odoa en hedapen ba p oposa u
e a inplemen a zea da, bi o dena pa ame oko kasuan e e Landau en eo ia en az e ke a
egin ahal iza eko.
2
A al hau amai u za jo au e ik, lana en egi u a azalduko da. Lehenik e a behin,
lana en oina i eo ikoa eza iko da 2. kapi uluan, hu engo kapi ulue an sa i an e epi-
ka uko di en kon zep uak azalduko di a be an, bes eak bes e, Landau en eo ia edo φ4
hamil onda a en ingu uko zenbai o oko asun. Lan honekin zuzenean lo u a ez dauden
zenbai gai e e aipa uko di a ase- an sizioen ingu uko ikuspegi o oko ago ba ema ea-
en, hala nola be e zaile k i ikoena edo unibe sal asuna ena. Ondo en, 3. kapi uluan
Mon e Ca lo me odoen e a Me opolisen algo i moa en un sezko eo ia au kez uko da,
bai a azken ho en bidez φ4e edua inplemen a zeko ja ai u beha eko u a sak azaldu
e e. Aipa u ako bi kapi uluek lana en za i eo ikoa osa zen du e.
Beha ezko kon zep u guz iak azaldu a, lana en za i p ak ikoa i ekingo zaio 4. kapi-
uluan. E abili ako neu ke a-me odoa e a ja ai u ako p ozedu ak azalduko di a lehenik,
e a ho en bidez lo u ako emai zak au kez uko di a ondo en. Landau en eo ia apli-
ka uko da simula u ako ase- an sizioen enpe a u a k i ikoa kalkula zeko, e a ho ela
eo ia en ingu uko ondo ioak a e a ahal izango di a. Kapi ulu hone ako simulazio e a
neu ke ak egi eko so u di en p og amen kodeak ez di a memo ia hone an gehi u, baina
Gi Hub pla a o mako malene xebe ia/G ALa-Fis e eposi o ioan daude esku aga i.
2. Kapi ulua
Oina izko hainba kon zep u
Kapi ulu hone an lan osoan zeha jo a uko di en gaiak au kez u e a labu ki azaldu-
ko di a. Gehienba e a kuali a ibo edo eo ikoan hi z egingo da e a beha ezkoa den
kasue an baka ik emango da azalpen ma ema ikoa. Ho ela, lehenik e a behin, ase-
an sizioe a ako sa e a ba egingo da, ja aian ho ien az e ke a ako e abiliko den Lan-
dau en eo ia au kez uko da e a, azkenik, konpu azionalki inplemen a uko den φ4e edua
azalduko da, au kez u ako kon zep uak simulazioen bidez az e zea ahalbide uko duena.
2.1 Fase- an sizioe a ako sa e a
Sis ema ba ek ase- an sizio ba jasa en du be e ene gia askean edo ha en de iba ue a-
ko ba ean singula i a e ba age zen denean. Ho elakoe an sis ema en p opie a ee an
aldake a zo o z ba ikusi ohi da, hala nola egoe a likido ik gaseoso ako edo ase pa a-
magne iko ik e omagne iko ako an sizioe an ge a zen den moduan [8].
Fase- an sizioen lehenengo sailkapena Eh en es -ek p oposa u zuen 1933an, Keesom
e a kideek helio likidoa en λ- an sizioa au ki u os ean [9]. Fase- an sizioak o dena des-
be dine an bana zen di a be an, o dena ho i singula i a e en ba duen ene gia askea en
de iba u xikiena izanik. Ho ela, lehenengo o denako ase- an sizioek ez-ja ai asun
ba du e ene gia askea en lehenengo de iba uan; e a be ean, biga en o denako ase-
an sizioen lehenengo de iba ua ja ai ua da, baina biga ena ez. Esa e ako, ase liki-
do ik solido ako an sizioa lehenengo o denakoa da, e a ase- an sizio e omagne ikoa
biga en o denakoa [10]. Sailkapen eskema ho ek o dena al uagoak ona zen badi u e e,
Eh en es ek lehenengo e a biga en o denak soilik az e u zi uen.
Sailkapen ho ek jauzi ini uak baino ez zi uen kon uan ha zen, e a las e ondo ioz a u
zen jauzi in ini uak ain za ha zea beha ezkoa zela [8, 9]. Ho az, egun bi ase- an sizio
mo a bes e ik ez da kon side a zen: lehenengo o denakoak — un sean, be o so a daka -
enak, sis ema en en opia ez-ja ai ua delako— e a ja ai uak, Eh en es -en sailkapenean
biga en, hi uga en e a o dena al uagoko ase- an sizioak bil zen di ela ik [10].
Sime ia en ikuspun u ik e e egin ohi da az e ke a, ase- an sizioek sis ema en sime ia-
apu ke a daka elako —sa i an, baina ez be i [10]—. Ohiko adibidea likido ik solido ako
ase- an sizioa da. Sime ia-apu ke a dago likidoan pun u guz iak baliokideak di elako,
ez dago ez no abide ez a da z be ezi ik, e a sis emak anslazio e a e o azio sime ia osoa
42.1. Fase- an sizioe a ako sa e a
du; egoe a solidoan, aldiz, sime ia-e agike a kopu ua mu iz u egi en da, e a a da z e a
no abide be eziak age u [10]. Fase- an sizio e omagne ikoan be din, 2.1. i udian ikus
dai ekeen moduan: enpe a u a k i iko ik behe a1ma e ialak be ehalako magne izazioa
age zen du — enpe a u a k i iko ik go a nulua dena—, magne izazioa ekiko pe pendi-
kula a den a da zean e o azio sime ia galduz. Sis emak sime ia ba edo bes ea du,
ez dago “ a eko sime ia ik”, e a, be az, ezinezkoa da aldake ak e a ja ai uan ge a zea
[10, 11]. Ho en ondo io di a ase- an sizioe ako ez-ja ai asunak, bai ene gia askea en
lehenengo de iba uan, bai o dena al uagokoe an.
Ho ekin lo u a, o dena pa ame oa de i-
ni zen da, sis ema en o dena e a deso dena-
i bu uz be i ema en duena nolabai . Fun-
sean, ase- an sizioan nulua iza e ik balio
ez-nulu ba iza e a pasa zen den aldagaia da
(ikus 2.1. i udia). Ho enbes ez, enpe a-
u a k i iko ik go a sis emak sime ia osoa
du e a o dena pa ame oa nulua da; ase-
an sizioa en os ean, sime ia apu u egi-
en da e a o dena pa ame oak balio ez-nulu
ba ha zen du. Sis ema magne ikoen adibi-
dean, o dena pa ame oa magne izazio bek-
o ea da, e a sis emak sime ia zein no abi-
de an apu u duen adie az en du [12].
2.1. I udia: Sis ema magne ikoa en mag-
ne izazioa en balio absolu ua enpe a u a en
menpe adie azi a, kanpoko e emu magne ikoa
nulua den kasuan. Magne izazioa en balio ne-
ga iboei dagokien ku ba i udika u ako en ho-
izon ala ekiko sime ikoa da, e emua nulua
izanik balio posi ibo e a nega iboak guz iz ba-
liokideak bai i a.
Fase- an sizio ja ai uen az e ke a hone an ga an zia handia du po en zial e modi-
namikoe an ema en di en singula i a een o ma e a po ae a ule zeak. Ho ek be e zaile
k i ikoen de inizio a da ama: po en zial e modinamikoek pun u k i ikoa en ingu uan du-
en o ma be e u a moduan adie az ea ahalbide zen du en pa ame oak [13]. Adibide
moduan, izan bedi F( ) un zio o oko ba ,
F( )∼ | |λ,non ≡T−Tc
Tc
,(2.1)
ekuazioa en bi a ez adie az dai ekeena. Be e zaile k i ikoa λda be an. Azpima a u
beha a dago (2.1) ekuazioak F( )- en po ae a asin o ikoa adie az en duela soilik e a,
ho enbes ez, →0 denean baino ez dela izango hu bilke a egokia [8].
Ho ela, adibide bezala sis ema magne ikoa ha uz, e emu nuluko magne izazioa en
modulua m∼(− )βmoduan adie az en da, non β eo iko zein espe imen alki kalkula
dai ekeen. Kalkulu eo ikoa en kasuan, sis ema en e edu ba e abili beha ko da, e a
ondo ioz a u ako balioa ho en menpe egongo da; hi u dimen sioko Ising-en e eduan,
esa e ako, β= 0.33 lo zen da [8]. Balio espe imen ala, be iz, 0.30 e a 0.36 a ekoa dela
beha u da [13]. Bes alde, magne izazioaz gain, bes e hainba po en zial e modinamiko en
be e zaileak e e de ini zen di a, hala nola suszep ibili a e e a be o espezi ikoa enak, γe a
αdei uak, hu enez hu en.
1Fase- an sizioa ge a zen den enpe a u a enpe a u a k i ikoa da, Tciku az adie azi ohi dena.
Te modinamikako lege ba ez bada e e, ezagunak di en ase- an sizio ja ai u gehiene an sime ia handiko
asea enpe a u a al ua i dagokio, e a sime ia mu iz ukoa enpe a u a baxua i [11].
2.2. Landau en eo ia 5
Hona hemen be e zaile ho ien ingu uko kon zep u ik in e esga iena: zenbai sis ema
ezbe dinek be e zaile k i iko be dinak di uz e, hau da, sis ema ekiko menpeko asun oso
xikia du e. Unibe sal asuna de i zo ho i e a Guggenheim-ek a gi oga u zuen 1945ean
zo zi luido ezbe dinen ase- an sizioen koexis en zia ku bek ba egi en zu ela —e a,
hala, denek β= 1/3 be e zaile2be a zu ela— e akus ean [14]. A e gehiago, izae a
desbe dineko sis emen a ean e e be e zaile be dinak beha zen di a, hala nola magne iko
e a gas-likido sis eme an; e a, be az, be e zaile k i ikoak unibe salak di ela esan ohi da.
2.2 Landau en eo ia
Landauek 1937an p oposa ua, eo ia enomenologiko honen helbu ua ase- an sizio ja-
ai uak desk iba uko di uen adie azpen anali iko ba eskain zea da. Po en zial e modi-
namikoak o dena pa ame oa en be e u a-se ie moduan adie az ean da za, se ie ho e an
sis ema en sime iak baimendu ako gaiak baka ik ha uz. Esa e ako, sis ema magne iko
ba i dagokion ene gia askea —kanpoko e emua nulua izanik—
F(T, m) = F0(T) + a2(T)m2+a4(T)m4+... (2.2)
ekuazioa en3bidez ida z dai eke, non mmagne izazioa den e a F0,a2e a a4 enpe a-
u a en menpeko koe izien eak. Be e zaile bikoi idun gaiak soilik age zea en a azoia
sis ema en sime ia da: haiek baino ez du e ahalbide zen Fmagne izazioa en zeinu alda-
ke a en au ean aldaezina iza ea [8]; ho i hala izan beha da magne izazio balio posi ibo
e a nega iboak baliokideak di elako e emua nulua denean.
O ekako magne izazioa ene gia askea minimiza zen4duena da. Ho az, sis ema mag-
ne ikoa en adibidean ∂F
∂m = 2 a2(T)m+ 4 a4(T)m3= 0 (2.3)
ekuazioa en ebazpenak o ekako magne izazioa en balioak emango di u, hau da,
m01 = 0 , m02 =±s−a2(T)
2a4(T).
Bi balio ho ien a ean sis ema i dagokiona a2koe izien eak zehaz en du: a2posi iboa
bada, ene gia askeak minimo baka a du m01 pun uan (m02 i udika ia bai a) e a, be az,
ho i izango da magne izazioa; aldiz, a2nega iboa denean, bi minimo sime iko daude
±m02 pun ue an e a bi ho ie ako ba da magne izazioa, 2.2. i udian adie azi den moduan.
Ho ek a2koe izien e soil ba baino gehiago dela e akus en du, be e zeinuak sis ema en
asea zehaz en bai u. Hala, enpe a u a k i iko ik go a o ekako magne izazioa nulua da
e a a2(T > Tc) posi iboa; enpe a u a baxuko asean, aldiz, magne izazioak ±m02 balioa
2Gas-likido sis eme an βhu engo moduan de ini zen da: (ρl−ρg)∼(− )β, non ρden si a ea den.
3Be e u a-se iea ez da halabeha ez lauga en gaian amai zen, e a o oko ean maila al uagoko gaiak
e e age dai ezke ene gia askean. Hala e e, m xikia bada [11] e a enpe a u a Tcingu ukoa [8], hu bilke a
egoki za ha zen da se iea lauga en gaian ebaki zea.
4Oha u a4(T)>0 baldin za be e beha dela sis ema en egonko asun e modinamikoa be ma dadin
edo, bes ela esanda, ene gia askea minimiza zen duen o dena pa ame oak balio ini u en ba izan dezan,
ez in ini ua [13].
12 3.2. Me opolisen algo i moa
M=1
M
M
X
i=1
µ i (3.2)
ekuazioa en bidez kalkula dai ekeela; noski, zenba e a handiagoa izan Mmik oegoe a
kopu ua o duan e a zeha zagoa izango da Mbalioa.
Ho enbes ez, mul zoa osa uko du en mik oegoe a ho iek au ki zea da o ain gakoa,
e a Ma ko ka ea en bidez egi en da ho i [23]. Xehe asunak alde ba e a u ziz, mekanismo
ho ek hasie ako mik oegoe a edo kon igu azio ba e ik abia uz bes e ba so zen du, guz iz
ausazkoa dena; ondo en, kon igu azio be i ho e an oina i uz bes e ba so zen da, e a
p ozesu hau behin e a be i o e epika uz mik oegoe a segida ba lo zen da. So e a
ausazkoa bada e e, baldin za e a a au jakin ba zuk be e beha di a mik oegoe a segida
edo mul zoa Bol zmann banake a en a abe akoa izan dadin.
Hainba baldin za be e beha di u Ma ko ka eak2baina esangu a suena balan ze
xeha ua ena da, un sean, mul zoa Bol zmann banake a en a abe akoa dela ziu a zen
duena [23], e a ma ema ikoki
pµP(µ→ν) = pνP(ν→µ) (3.3)
ekuazioa en bi a ez adie az dai ekeena, non P(µ→ν) sis emak µmik oegoe a ik abia-
uz νmik oegoe a a iga o zeko duen p obabili a ea den. Ho az, pµe a pνBol zmann
banake ak zehaz u ako p obabili a eak izanik, hu engo ekuazioa ondo ioz a dai eke:
P(µ→ν)
P(ν→µ)=pν
pµ
= e−β(Eν−Eµ),(3.4)
zeinak bi mik oegoe en a eko an sizio p obabili a ea haien a eko ene gia-di e en zia ekin
e laziona zen duen. Oha u ho ek ez di uela an sizio p obabili a eak guz iz muga zen,
e a haien auke ake an nolabai eko aska asuna dagoela, be az. Ho ela, (3.4) baldin za
be e zen duen edozein an sizio p obabili a e kon side a uz, Ma ko ka eak mik oegoe a
mul zo egokia so uko du, e a i xa o ako balioa (3.2) ekuazioa en bidez kalkula u ahal
izango da. Kasu hone an Me opolisen algo i moak p oposa u ako an sizio p obabili a-
eekin egingo da lan, hu engo a alean azaldu den moduan.
3.2 Me opolisen algo i moa
3.2.1 Algo i moa en un sa
Me opolisen algo i moak zuzenean an sizio p obabili a eekin lan egin beha ean hu-
engo be eizke a kon side a zen du:
P(µ→ν) = g(µ→ν)A(µ→ν),(3.5)
2Bes eak bes e, µmik oegoe a ba e ik abia uz bes e νmik oegoe a ba lo zeko p obabili a ea den-
bo a ekiko independen ea izan beha da, e a µe a νegoe en menpekoa soilik; bes alde, e godiko asun
baldin za e e be e beha da, abiapun u za edozein mik oegoe a izanik bes e edozein mik oegoe a lo
dai ekeela ziu a zen duena. Lan hone an ez da gai ho ien ingu uan sakonduko, baina in o mazio gehiago
nahi duen o o i Newman e a Ba kema- en Mon e Ca lo Me hods in S a is ical Physics [23] libu uko 2.
kapi ulua gomenda zen zaio.
3.2. Me opolisen algo i moa 13
non g(µ→ν) gaia auke ake a p obabili a ea —ho s, algo i moak µmik oegoe a ik abia-
uz νso zeko duen p obabili a ea— den, e a A(µ→ν)ona pen a ioa. Azken ho ek
ze a adie az en du: µmik oegoe an dagoen sis emak algo i moak so u ako νmik oe-
goe a a iga o zeko duen p obabili a ea, hau da, sis emak egoe a be ia ona zeko duen
p obabili a ea.
Balan ze xeha ua en baldin za (3.5) ekuazioa en bidez be ida z dai eke; bes alde,
algo i moak mik oegoe a edo kon igu azio be iak ausaz so zen di uela kon uan izanik,
g(µ→ν) auke ake a p obabili a e guz iak be dinak di ela ondo ioz a dai eke, µe a ν
edozein izanda e e. Ha a a, (3.4) ekuazioa ona pen a ioen menpe soilik ida z dai eke
e a, be az, Me opolisen algo i moak ho i bes e ik ez du ain zako za ha uko; zeha zago,
p oposa u ako ona pen a ioa
A(µ→ν) = (e−β(Eν−Eµ)Eν−Eµ>0 bada
1 bes ela (3.6)
da [23]. Ho enbes ez, algo i moak µ→ν an sizioa ona zeko bi auke a daude: Eν≤Eµ
bada, an sizioa be i ona uko da; e a au kako kasuan, aldiz, an sizioa ona zeko p o-
babili a ea e−β(Eν−Eµ)da. Hauxe da, be az, Me opolisen algo i moa en oina ia: (3.6)
ekuazioaz balia zen da Ma ko ka ea inplemen a u e a neu u beha eko p opie a e ma-
k oskopikoa (3.2) ekuazioa en bidez kalkula zeko. Ho az, helbu ua algo i moa inple-
men a uko duen p og ama ba idaz ea da o ain, e a ho e a ako eman beha eko pausu
nagusiak ja aian azaldu di a.
3.2.2 Algo i moa en inplemen azioa
Lehenik e a behin, sis ema so u beha a dago. Au eko ka-
pi uluan esan bezala, φ4hamil onda a ekin lan egi eko sa e
egi u a ba kon side a zen da, sa e-pun u bakoi zean φalda-
gai lokal ba izanik. Ho i konpu azionalki adie az eko zenbaki
e ealen bek o e ba e abiliko da, non elemen u bakoi za sa e-
pun u bakoi zeko aldagai lokala den; e a ho ela, adibidez, L×L
bi dimen sioko sis ema ka a u ba L2luze ako bek o e ba en
bidez adie aziko da. Nahiz e a ohiko auke a ez izan —izan
e e, in ui iboagoa da sis ema en dimen sio be eko ma ize ba
e abil zea dimen sio baka eko bek o e ba baino— adie azpen
ho ek mugalde baldin za helikoidalak (ikus 3.1. i udia) e a-
bil zea ahalbide zen du, e a ho i aban aila ba da konpu azio-
denbo a naba men mu iz en bai u [23].
3.1. I udia: Mugalde bal-
din za helikoidalen adie az-
pen g a ikoa 4 ×4 neu iko
sa e ka a u ba en kasuan.
Ho ela, algo i moa inplemen a zeko ja ai u beha eko u a sak hu engoak di a:
i. Sis ema en hasie ako kon igu azioa auke a u e a hu a adie aziko duen bek o ea
(Φk=0 iku a en bidez izenda uko dena) ho en a abe a hasie a zen da. Kon igu azio
ho i edozein izan dai eke —φaldagai guz iak 1, 0 edo −1 kon side a zen di uena,
edo ausazkoa—, Ma ko ka ea ho en a abe akoa izango da baina ez du bukae ako
emai za guz iz baldin za uko.
14 3.2. Me opolisen algo i moa
ii. Oina i za au eko Φkkon igu azioa izanik, Φk+1 kon igu azio be ia so zen da.
Ho e a ako Φkbek o eko elemen u ba (φi) ausazko e an auke a u e a balio be i
ba eslei zen zaio zo izko zenbaki e eal ba (∆φ) gehi uz,
φi←φi+∆φ , non ∆φ ∈[−δ, δ].
Hemen δzabale a pa ame oa da, ∆φ zenbakiak izan di zakeen balioak muga zen
di uena; e a, φ4e edua en kasuan, 0.3 e a 0.7 a ean auke a u ohi da algo i moa
op imoa izan dadin [24].
iii. Kon igu azio zaha e a be ia en a eko ene gia-di e en zia kalkula zen da φ4hamil-
onda ean oina i uz,
∆E =Ek+1 −Ek.
i . ∆E ze o edo nega iboa bada, kon igu azio be ia ona u e a bek o ea egune a u
egi en da Φk←Φk+1 esleipena en bi a ez. ∆E posi iboa bada, o dea, e−β∆E
p obabili a ea kalkula zen da lehenik, e a [0,1) a eko zo izko zenbaki ba so u
ondo en. Ha a a, < e−β∆E bada, kon igu azio be ia ona u e a Φk←Φk+1
esleipena egi en da; bes ela, kon igu azio be ia baz e u e a Φkdagoen moduan
uz en da.
. Neu u beha eko p opie a e edo magni udea Φkbek o ean oina i uz kalkula zen
da, e a be e balioa go de. Lan honen kasuan magni ude ho i o dena pa ame oa da,
(2.6) ekuazioa en bidez kalkula zen dena, Φkbek o eko φgai guz iak ba u e a N
elemen u kopu u o ala ekin za i uz, alegia.
i. Azkenik, kkon agailua ink emen a u e a ii. u a se a i zul zen da; p ozesua beha
bes e an e epika zen da, mul zo edo segidan nahikoa kon igu azio izan a e. Bu-
ka zeko, kon igu azio bakoi zean neu u ako Qko dena pa ame o guz ien a eko
ba ezbes ekoa kalkula zen da, (3.2) ekuazioak adie azi duen moduan.
Ho ela kalkula zen da, be az, T enpe a u a jakin ba ean3sis ema en Qo dena pa a-
me oa —be e i xa o ako balioa, zeha zago esanda—. P ak ikan, kon igu azio bakoi zean
lo u ako Qkbalioak indibidualki az e uz, ze a beha dai eke: Ma ko ka ea en hasie an
neu u ako balioak nahiko aldako ak di a, baina ka ea en pun u ba ean egonko u egi-
en di a e a, ho ik au e a, ba ezbes eko balio ba en ingu uan luk ua zen du e; sis ema
o eka egoe a a i i si dela esan ohi da o duan.
Lo u ako kon igu azio mul zoa es a is ikoki esangu a sua izan dadin —e a, ondo ioz,
amaie ako neu ke a zuzena—, beha ezkoa da sis ema o eka egoe a a i i si4e a be an
denbo a nahikoa i aga ea, o eka egoe ako kon igu azioe an neu uko bai i a Qkbalio ego-
kiak. Ho enbes ez, ho i kon uan izan beha ko da algo i moak egin beha eko i e azio
edo Mon e Ca lo u a s kopu ua hau a zean.
3Fase- an sizio ba simula zeko p ozesu be a ja ai zen da, baina Tjakin ba e ako baka ik egin
beha ean, a e ba eko zenbai enpe a u a balio a ako.
4Sis emak ho e a ako beha duen denbo a a ea i —edo, hobe o esanda, e epikapen edo i e azio
kopu ua i— e malizazioa de i zo. P ak ikan, Mon e Ca lo simulazioe an e malizazio u a s kopu u ba
inka u ohi da sis ema o eka egoe a a i i si dadin, e a ez da inolako Qkbalio ik neu zen algo i moak
i e azio ho iek egin a e, hau da, sis ema o eka u a e.
3.2. Me opolisen algo i moa 15
Dena dela, sis ema en po ae a enpe a u a en a abe akoa da, ase- an sizioko en-
pe a u a k i ikoa en ingu uko eskualdean be eziki in e esga ia izanik. Xehe asunak alde
ba e a u zi a5, neu u beha eko p opie a ea en luk uazio handiak nagusi zen di a es-
kualde ho e an, luk uazio k i iko dei u ohi di enak. Ho ek neu ke a en e o e es a is i-
koa naba men handi zen du e a, ondo ioz, Me opolisen algo i moak zehaz asuna gal zen
du aipa u ako eskualdean [23]. P ak ikan, komeniga ia izan ohi da eskualde ho e an
bu u u ako simulazioen e malizazio e a Mon e Ca lo u a s kopu ua handi zea luk ua-
zio k i ikoen e agina xiki zeko, baina kon uan izan beha da neu ke a zeha zak lo zeko
beha ezkoa den i e azio kopu ua —e a konpu azio-denbo a, be az— oso bizko haz en
dela ase- an sizio a ge u a u ahala.
Neu ke a en zehaz asunean e agina duen bes e ak o e ba sis ema en neu ia da.
Mon e Ca lo simulazioak bu u zeko limi e e modinamiko ik u un dauden neu i ini-
udun sis emak kon side a u ohi di a, e a ho ek neu ke a en zehaz asun eza daka en-
pe a u a k i ikoan ema en di en singula i a eak e ep oduzi zea lo zen ez delako. Noski,
zenba e a handiagoa izan sis ema o duan e a zeha zagoa da neu ke a, baina kon uan
izan beha a dago sis ema handiekin lan egi eak konpu azio-denbo a oso luzeak eska zen
di uela e a, ondo ioz, gai honekin lo u ako e o eak ohikoak di a p ak ikan [23].
5Honek klus e en e ake a e a haien ko elazio luze a en dibe gen zia ekin du ze ikusia. Lan hone an
ez da gai ho ien ingu uan sakonduko, baina in o mazio gehiago nahi duen o o i Newman e a Ba kema- en
Mon e Ca lo Me hods in S a is ical Physics [23] libu uko 3.7 a ala gomenda zen zaio.
4. Kapi ulua
Fase- an sizioen simulazioak
Kapi ulu honen helbu u nagusia Landau en eo ia az e zea da. Ho e a ako, azaldu ako
me odoak e abiliz, φ4hamil onda a inplemen a uko da, sis ema isiko ba e eduz a uko
duena. Azken ho en ase- an sizioa simula uko da, e a dagokion enpe a u a k i ikoa
kalkula u Landau en eo ia en bi a ez; buka zeko, emai za ho i enpe a u a k i ikoa en
zuzeneko neu ke a ekin alde a uko da. Az e ke a o dena pa ame o baka eko kasu ako
egingo da lehenik, e a biga en mailako o dena pa ame oa gehi uko da ondo en.
4.1 O dena pa ame o baka eko kasua
4.1.1 Neu ke a-me odoa
Az e ke a en abiapun ua Landau en ene gia askea da, ho s, soilik Qo dena pa ame o
e a T enpe a u a en menpeko asuna duen po en zial e modinamiko osa ugabea, e a
FL(Q, T) = −kBTln(Z(Q)) (4.1)
ekuazioa en bidez adie az dai ekeena. Be an Z(Q) pa izio- un zio osa ugabea da, hau
da, o dena pa ame oa ena izan ezik, sis ema en aska asun-g adu guz iak in eg a u a
di uen pa izio- un zioa. Landau en ene gia askea en be ezi asuna zuzenean Qo dena
pa ame oa en P(Q) p obabili a e-banake a ik ondo ioz a dai ekeela da, izan e e,
P(Q) = Z(Q)
Z(4.2)
da, Zo eka egoe ako pa izio- un zioa izanik; e a ho ela hu engoa lo dai eke:
∆FL(Q, T) = FL(Q, T)− F =−kBTln(P(Q)) ,(4.3)
non Fo eka egoe ako ene gia askea den [7]. Hauxe da, be az, ja ai u ako p ozedu-
a: enpe a u a jakin ba e ako o dena pa ame oa neu zen da Mon e Ca lo me odoa en
bidez, simulazioa nPbide e epika u e a neu u ako o dena pa ame o guz iak go de
egi en di a, balio ho ie an oina i uz P(Q) p obabili a e-banake a so zen da1e a, azke-
nik, sa e-pun u bakoi zeko Landau en ene gia askea —ha en aldakun za, hobe o esanda—
kalkula zen da (4.3) ekuazioan oina i uz.
1Fun sean, lo u ako Qbalio guz ien his og ama ba e aiki e a ondo en no maliza u egi en da.
18 4.1. O dena pa ame o baka eko kasua
Honako hauek di a simulazioe an e abili ako pa ame oak. Sis ema za L= 10 alde-
dun hi u dimen sioko L×L×Lsa e kubikoa ha u da; (2.5) hamil onda a i dagokionez,
E0= 1.0 e a C= 2.0 pa ame oak hau a u di a; e a Me opolisen algo i moa inplemen a-
zeko δ= 0.45 zabale a pa ame oa, 5 ×104u a seko e malizazioa e a 105Mon e Ca lo
u a s e abili di a. O dena pa ame oa en banake a-p obabili a ea lo zeko nP= 104
neu ke a egin di a, e a neu u ako balioak ja o ia ekiko sime iza u di a [7], o dena pa-
ame oa posi iboa e a nega iboa iza eko p obabili a eak be dinak izan beha bai i a φ4
hamil onda a en sime ia dela e a.
4.1.2 Emai zak e a ez abaida
Has eko, bi enpe a u a balio a ako lo u ako banake a-p obabili a eak 4.1. i udian adie-
azi di a. Be an bi ase an zeman dai ezke: kBT= 3.6 ene gia i2dagokion ku bak
maximo baka ba du ja o ian, e a o dena pa ame oa nulua izango da, be az; bes alde,
kBT= 3.1 denean, ku bak bi maximo sime iko di u ±0.4 balioen ingu uan, e a ho ie-
ako ba izango da sis ema i dagokion o dena pa ame oa p obabili a e handiz. Hau da,
enpe a u a jai si ahala o dena pa ame oa en balioa nulua iza e ik ez-nulua iza e a pasa-
zen da, e a adie azi ako bi enpe a u en a ean ase- an sizioa ge a zen dela ondo ioz a
dai eke, be az. Au e ago zehaz uko da dagokion enpe a u a k i ikoa.
4.1. I udia: P obabili a e-banake a kBT= 3.6
e a kBT= 3.1 kasue a ako. Ku ben maximoek
sis ema en o dena pa ame oa zehaz en du enez,
adie azi ako kasu bakoi za ase desbe din ba i da-
gokiola ondo ioz a zen da. Pun uak Mon e Ca -
lo simulazioen emai zak di a, ja o ia ekiko sime-
iza u a; e a le oek, be iz, pun uen doikun za
adie az en du e.
4.2. I udia: Sa e-pun u bakoi zeko Landau en
ene gia askea kBT= 3.6 e a kBT= 3.1 kasue a a-
ko. Kasu hone an minimoek zehaz en du e o de-
na pa ame oa, e a adie azi ako kasu bakoi za ase
desbe din ba i dagokiola ondo ioz a zen da ho e-
an oina i uz. P obabili a e-banake ako pun ue-
an (4.3) ekuazioa aplika uz lo u di a hemengo
pun uak, e a le oak haien doikun zak di a.
P obabili a e-banake a ik abia u a, sa e-pun uko Landau en ene gia askea kalkula u
da (4.3) ekuazioan oina i uz, 4.2. i udian adie azi den moduan. O dena pa ame oa-
i dagokionez, au eko pa ag a oan a e a ako ondo io be dinak a e a dai ezke o aingoan
ene gia askea en minimoe an oina i uz. Halabe , Landau en eo ia gogo a eka iz, be an
p oposa u ako ene gia askeak (ikus 2.2. i udia) hemen lo u akoa ekin duen an zeko a-
suna ga bia da.
2Nahiz e a pa ame o esangu a sua enpe a u a izan, ez da kBkons an ea o dezka u e a kBTbalioa-
ekin egin da lan, zeinak ene gia en dimen sioa duen.
4.1. O dena pa ame o baka eko kasua 19
An zeko asun ho e az balia uz zehaz uko da enpe a u a k i ikoa. Ho e a ako, simu-
lazioen bidez lo u ako Landau en ene gia askea en ku bak lauga en mailako polinomio
ba en bidez doi u e a enpe a u a bakoi za i dagokion a2koe izien ea (ikus (2.2) ekua-
zioa) lo uko da. Landau en eo iak dioenez, enpe a u a k i ikoan a2(Tc) = 0 da e a,
ha a a, baldin za ho i be e zen duen kasua bila uz Tcau ki uko da.
Ho az, p ozedu a e epika u e a sa e-pun uko Landau en ene gia askea kalkula u da
kBT∈[ 2.9,3.8 ] a eko hainba balio a ako; haie ako ba zuk 4.3. i udian adie azi di a.
Jakina bada e e enpe a u a k i ikoa kBTc∈( 3.1,3.6 ) a ean dagoela, a e handiagoa
az e zea e abaki da ene gia askeak enpe a u a ekiko duen menpeko asuna ike zeko.
4.3. I udia: Sa e-pun uko Landau en ene gia askea hainba kBTbalio a ako (a giago ikusi ahal iza eko,
pun uen doikun za bes e ik ez da i udika u, e a le oak ex apola u e a be ikala ekiko desplaza u di a).
Fase- an sizioa beha dai eke hemen: enpe a u a jai si ahala, pa abolak zabaldu e a minimo baka a
iza e ik bi minimo sime iko iza e a iga o zen di a, ho s, o dena pa ame oa nulua iza e ik ez-nulua
iza e a pasa zen da.
Pun uen lauga en mailako doikun za polinomikoa egin da3os ean, e a bi joe a beha-
u di a o duan: enpe a u a al uko kasue an, kBT∈[ 3.2,3.8] a ean, ene gia askea en
ku ba ondo egoki u da lauga en mailako polinomio a; ez da hala izan enpe a u a baxuko
kasue an, be an lauga en mailako doikun za en e o ea handia izan da e a seiga en mai-
lako gaien eka pena kon side a u beha izan da. Ho i kuan i a iboki adie az eko, doikun-
zen de e minazio-koe izien ea — un sean, doikun za en egoki asuna adie az en duena—
kalkula u da e eg esio-analisian oina i uz, 4.1. aulan ikus dai ekeenez.
Lo u ako emai zen ingu uko hausna ke a ba egingo da enpe a u a k i ikoa en kal-
kulua ekin ja ai u baino lehen. Seiga en mailako gaiak kon side a u beha iza eak ez
du esan nahi Landau en eo ia zuzena ez denik; a e gehiago, oha u (2.2) ekuazioan ez
dela be e u a-se iea lauga en mailako gaie a a muga zen, maila al uagoko gaiak ha -
zeko auke a e e ema en dela. Dagoeneko aipa u da be e u a-se iea lauga en mailan
ebaki zeko baldin ze ako ba o dena pa ame oa —be e balio absolu ua, hobe o esanda—
xikia iza ea dela [11] e a, be az, zen zuzkoa da seiga en mailako gaiak beha iza ea en-
pe a u a jai si ahala, o dena pa ame oa handi u egi en bai a o duan (ikus 4.5. i udia).
3Mon e Ca lo simulazioe an lo u ako da uen kudeake a Py hon p og amazio-lengoaia en bidez egin
da. E aku si ako i udie ako doikun zak egi eko Sa i zy e a Golay- en me odoa e abili da [25], SciPy libu-
u egiko sa gol il e un zioa en bidez [26]; doikun za polinomikoa en koe izien eak lo zeko, be iz,
NumPy libu u egiko poly i un zioa e abili da, ka a u minimoen p in zipioan oina i ua [27].
20 4.1. O dena pa ame o baka eko kasua
Hala e e, enpe a u a k i ikoa kalkula zeko lauga en mailako doikun za ik lo u ako a2
koe izien ea e abiliko da, e a kon uan izan beha ko da koe izien e ho ek oke a iza eko
a iskua duela doikun za en e o ea handia den enpe a u e an.
Lauga en mailako doikun za Seiga en mailako doikun za
kBT R2kBT R2
2.90 0.6195 2.90 0.7182
3.00 0.7439 3.00 0.9763
3.10 0.8267 3.10 0.9858
3.15 0.8778 3.15 0.9665
3.20 0.9935 3.20 0.9966
3.30 0.9853 3.30 0.9883
3.40 0.9937 3.40 0.9937
3.50 0.9894 3.50 0.9896
3.60 0.9932 3.60 0.9942
3.70 0.9960 3.70 0.9963
3.80 0.9990 3.80 0.9990
4.1. Taula: De e minazio-koe izien ea doikun za en maila e a kBTbalioa en a abe a. De e minazio-
koe izien ea ba e ik zenba e a hu bilago egon, hobea da doikun za [28]. Bai lau e a bai seiga en mailako
doikun zen kasuan R2ba e ik alden zen da enpe a u a jai si ahala, e a, be az, o oko ean zailagoa da
ene gia askea en pun u mul zoa 4. edo 6. mailako polinomio ba en bidez hu bil zea enpe a u a baxua
denean. Dena dela, koe izien eak jasandako aldake a askoz bo i zagoa da lauga en mailako doikun zan.
Tenpe a u a k i ikoa ondo ioz a zeko helbu uaz, lauga en mailako doikun za en bidez
lo u ako a2koe izien eak kBTene gia en menpe adie azi di a 4.4. i udian (kBT= 2.9
balioa i dagokion koe izien ea alde ba e a uz ea e abaki da doikun za en e o e handia
dela e a).
4.4. I udia: Lauga en mailako doikun zan lo u ako a2koe izien eak kBTene gia en menpe. Lan-
dau en eo ia en a abe a, enpe a u a k i ikoa ku ba e a a da z ho izon ala en a eko ebaki-pun ua i
dagokio, e a kBTc= 3.22 da, be az.
Oina i eo ikoko 2.2. a alean aipa u ako ideia ba gogo a uko da hemen: a2koe izien-
eak enpe a u a ekiko menpeko asun lineala duela. A gi dago 4.4. i udian adie azi akoa
ez dela inondik ino a lineala be e oso asunean, baina nolabai eko a e lineal ba an ze-
man dai eke kBT= 3.1 e a 3.5 balioen a ean. Ho az, egindako neu ke en a abe a,
4.1. O dena pa ame o baka eko kasua 21
a2koe izien ea en lineal asuna soilik enpe a u a k i ikoa en ingu uko a e xiki ba en
be ma dai eke. Hala e a guz iz e e, kon uan ha u beha a dago doikun zan izandako
e o eek koe izien eengan e agina du ela, e a ho ek bai enpe a u a k i ikoa en kalkulu a
e a bai lineal asuna en ingu uko ondo io a zehaz asun eza eka dezakeela.
A al hau amai u za jo au e ik, ase- an sizioa en Mon e Ca lo simulazio ba egin
da, au eko p ozedu a ja ai u beha ean, enpe a u a bakoi za i dagokion o dena pa a-
me oa zuzenean neu uz. Ho ek enpe a u a k i ikoa en bes e balio ba ondo ioz a zea
ahalbide uko du, ondo en Landau en eo ia en bidez lo u akoa ekin alde a uko dena. Pa-
ame oei dagokienez, 105u a seko e malizazioa e a 5 ×106Mon e Ca lo u a s e abili
di a o aingoan, gaine ako pa ame oak a al honen sa e an azaldu akoak izanik. Ho ela,
sis ema en o dena pa ame oa neu u da kBT∈( 0.0,5.5 ] a ean δT = 0.05 u a sa
kon side a uz, 4.5. i udian ikus dai ekeenez.
4.5. I udia: Sis ema en o dena pa ame oa kBTene gia en menpe i udika u a. Fase- an sizioa ga bi
an zema en da hemen: enpe a u a al ue an o dena pa ame oa nulua da, enpe a u a k i ikoa kBTc=
3.15 da, e a enpe a u a ho i baino baxuagoa denean o dena pa ame oak balio ez-nuluak ha zen di u.
Di e en zia xikia bada e e, enpe a u a k i ikoa en bi balioak ez da oz ba : Landau-
en eo ia en bidez kBTc= 3.22 lo u da, e a zuzeneko neu ke a en bi a ez kBTc= 3.15.
Lauga en mailako doikun za en e o eak e agina izan dezake di e en zia ho e an, bai-
na badi udi e agile nagusia simulazioe a ik lo u ako Landau en ene gia askea en o ma
dela. Ho i age ian ge a zen da 4.3. i udian kBT= 3.15 kasuko ku ba i e epa a zean:
sakonak ez badi a e e, ku bak bi minimo sime iko di u ±0.3 balioe an; ondo ioz, doi-
kun zan lo u ako a2koe izien ea nulua izan beha ean nega iboa da, e a 4.4. i udi ik
ondo ioz a u ako enpe a u a k i ikoa kBT= 3.15 baino go ago dago.
A azo ho i enpe a u a k i ikoa en ingu uko eskualdean baino ez da beha u e a, ho-
enbes ez, o dena pa ame oak eskualde ho e an izandako luk uazio k i ikoen e agina
dela ondo ioz a u da. Zuzeneko neu ke a e a Landau en ene gia askea lo zeko egindako
neu ke en a eko alde nagusia simulazioan e abili ako e malizazio e a Mon e Ca lo u a s
kopu ua da e a, be az, badi udi aipa u ako a azoa azken kasu ho e an u a s kopu ua
handi uz konpon li ekeela. Dena den, e epika u beha a dago enpe a u a k i ikoen a -
eko di e en zia xikia dela; ho az, Landau en eo ia en bi a ez lo u ako balioa guz iz
zeha za ez bada e e, on za emango da.
28 4.3. Emai zen ingu uko zenbai oha
Ho ez gain, Landau en ene gia askea en lo penean ga an zi sua izan den ak o e ba
Mon e Ca lo simulazioen i e azio kopu ua da, zeinak Landau en eo ia e a zuzeneko neu -
ke a en bi a ez ondo ioz a u ako enpe a u a k i ikoen a eko di e en zian e agina izan
duen. Landau en ene gia askea en minimoen kokapenek adie azi ako o dena pa ame oa
—be e balio absolu ua— zuzeneko neu ke ak adie azi akoa baino handiagoa izan da ase-
an sizioa en ingu uko zenbai enpe a u a an, e a ho exega ik izan di a desbe dinak
enpe a u a k i ikoa en bi balioak.
Ho az, e die si ako Landau en ene gia askea ez da guz iz zuzena izan, e a 3.2.2.
azpia alean aipa u ako luk uazio k i ikoen e agina da ho i —bai a sis ema en neu i i-
ni ua ena e e—, a azoa enpe a u a k i ikoa en ingu uko eskualdean beha u bai a ba ez
e e. Simulazioa en i e azio kopu ua xikia denean luk uazio ho ien e agina naba iagoa
da, hau da, neu u ako o dena pa ame oak balio a e handiago ba en luk ua zen du e a,
ondo ioz, p obabili a e-banake ak —e a Landau en ene gia askeak, be az— zabalagoak
di a; ho ek e agi en du au eko pa ag a oan aipa u ako a azoa. Ho az, konponbidea
Landau en ene gia askea lo zeko egindako simulazioen i e azio kopu ua handi zea dela
ondo ioz a u da. Dena dela, 4.5. zein 4.11. i udian ga bi ikus dai eke ase- an sizioa en
ingu uko enpe a u a al ue an o dena pa ame oak luk ua u egi en duela, hau da, zuze-
neko neu ke en kasuan e e luk uazio k i ikoen e agina dagoela, be ako i e azio kopu ua
handiagoa bada e e.
A al honekin amai zeko, bi o dena pa ame oko kasua en ingu uko oha ba aipa u-
ko da. Lehenik, azpima a u beha a dago 4.2.1. azpia alean p oposa u ako neu ke a-
me odoa en bidez lo u ako Landau en ene gia askea e a oina i eo ikoan au kez u ako
(2.7) ekuazioa ba e aga iak di ela, e a neu ke a-me odoa on za eman da, be az. O de-
na pa ame o baka eko kasuan bezala, doikun za en e o ea handi u egin da enpe a u a
jai si ahala, baina kasu hone an maila al uko gaien eka penak ez du hobekun za handi ik
e agin. Noski, e abili ako Q2
1Q2
2,Q3
1Q2e a Q4
1Q2
2gaiez gain, bes e hainba en eka pena
e e kon side a dai eke —hala nola gaine ako lauga en e a seiga en mailako gaiena zein
maila al uagokoena— e a in e esga ia izango li zake, be az, bes e gai ho iek Landau en
ene gia askea en doikun zan du en e agina az e zea.
5. Kapi ulua
Ondo ioak
Lan hone an φ4hamil onda ak e eduz a u ako sis ema en ase- an sizioa az e u da
Landau en eo ia en bi a ez. Az e ke a enpe a u a bakoi zeko Landau en ene gia aske-
en lo penean e a ha en ondo engo doikun zan oina i u da, e a o dena pa ame o baka-
eko zein bi o dena pa ame oko kasue a ako egin da. Azken ho i az e u ahal iza eko,
Landau en ene gia askea lo zea ahalbide zen duen me odoa en hedapen ba p oposa u
da e a, be a ik lo u ako emai zak eo iak au esandakoa ekin ba e aga iak izan di en
heinean, zuzena dela ondo ioz a u da.
Mon e Ca lo simulazioak e abili di a enpe a u a bakoi zeko Landau en ene gia askea
kalkula u zein sis emen ase- an sizioak simula zeko, e a e die si ako emai zek Landau-
en eo ia en ingu uko zenbai xehe asun a gi zeko balio izan du e. O dena pa ame o
baka eko kasuan, a gi ikusi da ene gia askea adie az en duen be e u a-se iea lauga en
gaian ebaki ahal iza eko o dena pa ame oak xikia izan beha duela, seiga en mailako
gaiak ain zako za ha zea beha ezkoa izan bai a ase- an sizioa en os ean enpe a u a
jai si ahala, hau da, o dena pa ame oa en balio absolu ua handi u ahala. Sis ema en
asea zehaz en duen a2koe izien ea en enpe a u a ekiko menpeko asuna e e az e u da,
e a enpe a u a k i ikoa en ingu uan joe a lineala duela beha u.
Bi o dena pa ame oko kasua az e zeko o dena pa ame oen a eko akoplamendu bi-
lineala duen ene gia askea p oposa u da oina i eo ikoan, e a simulazioe a ik lo u ako
Landau en ene gia askea ba e aga ia izan da ho ekin. Espe o bezala, doikun zan izan-
dako e o ea handi u egin da enpe a u a jai si ahala, e a —o dena pa ame o baka eko
kasuan ez bezala— maila al uagoko gaien eka penak ezin izan du e o e ho i xiki u.
Sis ema en asea zehaz en duen a∗
2koe izien ea en menpeko asuna i dagokionez, enpe a-
u a k i ikoa en ingu uko a e es u ba en joe a lineala duela ikusi da, o dena pa ame o
baka eko kasuan ge a u dena en an ze a.
Landau en eo iak ase- an sizioa en enpe a u a k i ikoa kalkula zea ahalbide u du
az e u ako bi kasue an, baina o dena pa ame oa en zuzeneko neu ke ak adie azi akoa-
ekin alde a u denean, e die si ako balioa zuzena ez dela beha u da. Ho i Landau en
ene gia askea lo zeko egindako simulazioe an o dena pa ame oak izandako luk uazio
k i ikoen e agina dela ondo ioz a u da, bai a a azoa ekidi eko enpe a u a k i ikoa en
ingu uko simulazioe an e malizazio e a Mon e Ca lo u a s kopu ua handi u beha ko
li zakeela e e. Ga bi ikusi da, be az, sis ema en po ae a k i ikoak neu ke e an duen
e agina e a, duda ik gabe, hu engo lan ba en kon uan ha u beha eko gaia da.
30
Jakina, sakon zeke ge a u ako gaiak ez di a gu xi izan, e a lana i amaie a ema e-
ko haie ako bi aipa uko di a ja aian. Ba e ik, in e esga ia izango li zake bi o dena
pa ame oko kasuan ene gia askea en bes e aldae a en ba az e zea, hau da, o dena
pa ame oen a eko akoplamendu bilineala en o dez bes e nolabai ekoa kon side a zea,
esa e ako, bikoad a ikoa. Noski, ho e a ako φ4hamil onda eko akoplamendua e e alda-
u beha ko li zake. Bes e ik, Ce a E0pa ame oen a eko za idu a en bi limi eak az e
li ezke o dena-deso dena e a ase- an sizio displaziboak ike u e a alde a u ahal iza eko,
lan hone an ez bai zaio a e a be ezi ik ja i gai ho i.
Dena dela, lana en balioespen o oko a ona da. Landau en eo ia en ingu uko kon-
zep u nagusiak simulazioe a ik lo u ako emai zen bidez egiaz a u ahal izan di a o dena
pa ame o baka eko kasuan, e a kon zep uok bi o dena pa ame oko kasu a e e o oko -
u dai ezkeela beha u da; lana en hasie an inka u ako bi helbu uak be e di a. Ho ez
gain, ase- an sizioen gaia landu da, haien sailkapena, sime ia-apu ke ak, be e zaile
k i ikoak e a unibe sal asuna en ingu uko zenbai o oko asun aipa uz. E a, buka zeko,
isika es a is iko a aplika u ako Mon e Ca lo me odoen un sa ule u e a konpu azioak
alo ho e ako p oblemak —anali ikoki eba z ezin dai ezkeenak— e a sinplean ebaz eko
auke a eskain zen duela a gi ikusi da.
Bibliog a ia
[1] L. D. Landau, Zh. Eksp. Teo . Fiz. 7, 19 (1937). Ingelese a i zulia: L. D. Landau,
Collec ed Pape s (Nauka, Moscow, 1969), 1. bol., 234–252 o .
[2] H. N. Fang, R. Zhang, B. Liu, Z. K. Tao, M. W. Xiao, X. F. Wang, Z. L. Xie, X. Q.
Xiu e a Y. D. Zheng, AIP Ad . 3, 072136 (2013).
[3] F. J. Rome o, M. C. Galla do, S. A. Haywa d, J. Jim´enez, J. del Ce o e a E. K. H.
Salje, J. Phys.: Condens. Ma e 16, 2879 (2004).
[4] V. B. Shi oko e a M. V. Talano , Ac a C ys . Sec. B 75, 978 (2019).
[5] S. A yukhin, K. T. Delaney, N. A. Spaldin e a M. Mos o oy, Na . Ma e . 13, 42
(2014).
[6] V. L. Ginzbu g e a L. D. Landau, Zh. Eksp. Teo . Fiz. 20, 1064 (1950). Ingelese a
i zulia: L. D. Landau, Collec ed Pape s (Pe gamon P ess, Ox o d, 1965), 546-568 o .
[7] S. Radescu, I. E xeba ia e a J. M. Pe ez-Ma o, J. Phys.: Condes. Ma e 7, 585
(1995).
[8] J. Yeomans, S a is ichal Mechanics o Phase T ansi ions (Ox o d Uni e si y P ess,
New Yo k, 1992), 1-63 o .
[9] G. Jaege , A ch. His . Exac Sci. 53, 51 (1998).
[10] S. Blundell e a K. Blundell, Concep s in The mal Physics (Ox o d Uni e si y P ess,
Ox o d, 2010), 320-322 o .
[11] L. Landau e a E. Li shi z, S a is ical Physics, 2. ed. (Pe gamon P ess, Ox o d, 1969),
424-433 o .
[12] J. Se hna, S a is ical Mechanics: En opy, O de Pa ame e s, and Complexi y (Ox-
o d Uni e si y P ess, Ox o d, 2007), 191-194 o .
[13] R. Pa h ia e a P. Beale, S a is ical Mechanics, 3. ed. (Bu e wo h Heinemann Else-
ie , Ams e dam, 2011), 401-460 o .
[14] E. Guggenheim, J. Chem. Phys 13, 253 (1945).
[15] M. Gi e man e a V. Halpe n, Phase T ansi ions: A B ie Accoun Wi h Mode n
Applica ions (Wo ld Scien i ic Publishing, Singapo e, 2004), 25-27 o .
32 Bibliog a ia
[16] T. Malche ek, in EMU No es In Mine alogy, by R. Mile iched (E¨o ¨os Uni e si y
P ess, Budapes , 2005), 139-140 o .
[17] E. K. H. Salje, S. A. Haywa d e a W. T. Lee, Ac a C ys . Sec. A 61, 3 (2005).
[18] R. A. Cowley, Ad . Phy. 29, 1 (1980).
[19] P. Tol´edano, EPJ Web Con . 22, 00007 (2012).
[20] I. E xeba ia, J. M. Pe ez-Ma o e a P. Boullay, Fe oelec ics 401, 1 (2010).
[21] S. Wa anabe e a T. Usui, P og. Theo . Phys. 73, 6 (1985).
[22] E. K. H. Salje, Ac a C ys . Sec. A 47, 453 (1991).
[23] M. Newman e a G. Ba kema, Mon e Ca lo Me hods In S a is ical Physics (Ox o d
Uni e si y P ess, New Yo k, 1999), 3-82 o .
[24] U. Wol , in Compu a ional Physics: Selec ed Me hods, Simple Exe cises, Se ious
Applica ions by K. Ho mann e a M. Sch eibe ed (Sp inge -Ve lag, Be lin, Heidelbe g,
1996), 254 o .
[25] A. Sa i zky e a M. J. E. Golay, Anal. Chem. 36, 1627 (1964).
[26] P. Vi anen, R. Gomme s, T. E. Oliphan , M. Habe land, T. Reddy, D. Cou napeau,
E. Bu o ski, P. Pe e son, W. Weckesse , J. B igh e al.,Na . Me hods 17, 261 (2020).
[27] S. an de Wal , S. C. Colbe e a G. Va oquaux, Compu . Sci. Eng. 13, 22 (2011).
[28] D. La ose e a C. La ose, Da a Mining And P edic i e Analy ics, 2. ed. (John Wiley
& Sons, Hoboken, 2015), 236-241 o .
[29] J. F eund e a G. Simon, Es ad´ıs ica Elemen al, 8. ed. (P en ice-Hall Hispanoame i-
cana, M´exico, 1994), 140 o .
[30] G. M. To ie e a J. P. Valleau, J. Compu . Phys. 23, 187 (1977).
