CENTRO DE POSTGRADO Y
FORMACIÓN CONTINUA
MÁSTER DE PROFESORADO EN EDUCACIÓN SECUNDARIA
OBLIGATORIA, BACHILLERATO, FORMACIÓN PROFESIONAL Y
ENSEÑANZA DE IDIOMAS
EL PENSAMIENTO INDUCTIVO Y LA
GENERALIZACIÓN EN EL ÁLGEBRA ESCOLAR
INDUCTIVE THINKING AND GENERALIZATION IN
SCHOOL ALGEBRA
ESTUDIANTE
Fe nández López, Ainoa
ESPECIALIDAD
Ma emá icas
DIRECTOR
P o . D. F ancisco Ja ie Pe al a Sánchez
CODIRECTOR
P o . D. Manuel Co és Izu diaga
Con oca o ia de: mayo de 2022
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
i
RESUMEN
Hoy en día, en nues as aulas es cada ez más habi ual la necesidad de
inno a y de apos a po nue as o mas de enseñanza. Los docen es buscan
nue as écnicas o es a egias con la in ención de mejo a el endimien o de los
es udian es y de aumen a el in e és y la mo i ación, o eciendo un nue o
en oque del p oceso de enseñanza-ap endizaje. La me odología escogida pa a
lle a a cabo es e T abajo Fin de Más e ha sido las si uaciones p oblema, que
se ca ac e iza po in oluc a de o ma ac i a a los es udian es en p ocesos que
acili en la cons ucción de conocimien os e ideas ma emá icas, y po encia la
au onomía del alumno con el obje i o de desa olla ap endizajes más
signi ica i os. En conc e o, el ema a ado es el de la gene alización y el
pensamien o induc i o en el álgeb a escola .
En la cons ucción de conocimien o ma emá ico y cien í ico, el
azonamien o induc i o posee un papel undamen al; comienza con la
obse ación de si uaciones pa icula es, pa a pos e io men e ad e i
egula idades, y, inalmen e, llega a la gene alización. En el ámbi o educa i o,
es udios que a ienden a es e asun o iden i ican di icul ades signi ica i as en el
alumnado espec o a a eas de gene alización, lo cual se a ibuye al dé ici de
abajo sis emá ico de dicha cues ión en las aulas. El diseño es a égico de
si uaciones p oblema supone un escena io na u al pa a alcanza la
gene alización, po a a se de espacios des inados a a gumen a , pa icula iza ,
conje u a y demos a ; cons i uye la mejo o ma de lle a al aula emas que
in oluc an p ocesos gene ales de pensamien o. Po es e mo i o, en es e
documen o elabo amos una p opues a de in es igación e in e ención aplicada
al cu so 3º ESO de Ma emá icas O ien adas a las Enseñanzas Académicas,
median e la cual buscamos mejo a el desempeño del es udian ado en es a
emá ica.
Palab as cla e: álgeb a, ap endizaje, enseñanza, gene alización, me odología,
si uaciones p oblema.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
ii
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
iii
ABSTRACT
Nowadays, he need o inno a ion and new ways o eaching is becoming
mo e and mo e common in ou class ooms. Teache s a e looking o new
echniques o s a egies wi h he in en ion o imp o ing s uden pe o mance and
inc easing in e es and mo i a ion, o e ing a new app oach o he eaching-
lea ning p ocess. The me hodology chosen o ca y ou his Mas e 's inal p ojec
has been he p oblem si ua ions, which is cha ac e ized by ac i ely in ol ing
s uden s in p ocesses ha acili a e he cons uc ion o ma hema ical knowledge
and ideas, and o imp o e s uden au onomy wi h he aim o de eloping mo e
meaning ul lea ning. Speci ically, he opic co e ed is he gene aliza ion and
induc i e hinking in school algeb a.
In he cons uc ion o ma hema ical and scien i ic knowledge, induc i e
easoning plays a undamen al ole; i begins wi h he obse a ion o pa icula
si ua ions, o subsequen ly no ice egula i ies and, inally, o a i e a
gene aliza ion. In he ield o educa ion, s udies add essing his issue iden i y
signi ican di icul ies in s uden s wi h espec o gene aliza ion asks, which is
a ibu ed o he lack o sys ema ic wo k on his issue in he class oom. The
s a egic design o p oblem si ua ions is a na u al se ing o achie ing
gene aliza ion, as hey a e spaces o a guing, pa icula ising, conjec u ing and
p o ing; hey a e he bes way o b ing issues in ol ing gene al hinking
p ocesses in o he class oom. Fo his eason, in his documen we ha e
de eloped a esea ch and in e en ion p oposal applied o he 3 d ESO cou se
o Ma hema ics O ien ed o Academic Educa ion, h ough which we seek o
imp o e he pe o mance o s uden s in his issue.
Key Wo ds: algeb a, lea ning, eaching, gene aliza ion, me hodology, p oblem
si ua ions.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
i
Índice de con enido
RESUMEN ........................................................................................................ i
ABSTRACT ..................................................................................................... iii
I. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN .............................................................. 1
II. MARCO TEÓRICO .......................................................................................... 4
2.1. Fundamen ación eó ica ........................................................................... 4
2.1.1. In oducción al pensamien o algeb aico ........................................ 5
2.1.2. ¿Qué es el álgeb a escola ? .......................................................... 6
2.1.3. Focos del pensamien o algeb aico: pa ones, gene alización y
sis emas de ep esen ación .......................................................................... 8
2.1.4. El azonamien o induc i o ................................................................. 11
2.1.5. Enseñanza y ap endizaje del álgeb a escola , el pensamien o
algeb aico y el azonamien o induc i o en el aula ...................................... 14
2.1.6. Me odología: las si uaciones p oblema pa a esol e p oblemas de
gene alización ma emá ica ......................................................................... 16
2.2. Fundamen ación legal ............................................................................. 19
2.3. Cómo es abo dada es a cues ión en el cen o y en el aula .................... 21
III. MARCO APLICADO ..................................................................................... 23
3.1. Con ex o, ámbi o de in e ención y des ina a ios ................................... 23
3.2. Obje i os gene ales y especí icos del es udio ........................................ 23
3.3. P ocedimien o de in es igación e in e ención en el aula ...................... 24
E apa 1. P ueba inicial (du ación: 75 minu os) ........................................... 25
E apa 2. In e ención pedagógica (du ación: 2 ho as) ............................... 26
E apa 3. P ueba inal (du ación: 75 minu os) ............................................. 26
3.4. Diseño del ins umen o ........................................................................... 27
3.5. Análisis de los da os ............................................................................... 28
3.6. Resul ados espe ados y conclusiones del es udio ................................. 31
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
IV. CONCLUSIONES FINALES ........................................................................ 31
V. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 33
VI. ANEXOS ...................................................................................................... 41
6.1. Anexo I: P ueba Inicial ............................................................................ 41
6.2. Anexo II: P opues a de In e ención Pedagógica ................................... 43
6.3. Anexo III: P ueba Final ........................................................................... 50
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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Índice de igu as
Figu a 1. Relación en e los obje os de conocimien o, el es udian e y el p o eso
en un en oque de si uaciones p oblema. Fuen e: Múne a (2008). .................... 18
Figu a 2. Dibujo o ien a i o del p oblema con una ila de cinco baldosas blancas.
.......................................................................................................................... 44
Figu a 3. Dibujo o ien a i o del p oblema con una ila de seis baldosas blancas.
.......................................................................................................................... 44
Figu a 4. Dibujo o ien a i o del p oblema con una ila de sie e baldosas blancas.
.......................................................................................................................... 45
Índice de ablas
Tabla 1 .............................................................................................................. 45
Tabla 2 .............................................................................................................. 47
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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“La ma emá ica es el abajo del espí i u humano
que es á des inado an o a es udia como a conoce ,
an o a busca la e dad como a encon a la”.
E. Galois.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
7
• Concepción 2: Funciones.
Es a pe spec i a p opone un es udio del álgeb a basado en el
desa ollo de expe iencias con unciones y amilias de unciones en
ci cuns ancias co idianas donde las elaciones cuan i a i as pueden
desc ibi se median e esos modelos (Heid, 1996). En es e con ex o, sí
in e iene el simbolismo algeb aico que ep esen a dichas elaciones.
De es a o ma, la iden i icación de pa ones y la gene alización
median e dichas elaciones uncionales es p omo ida po el
pensamien o uncional en los es udian es (Cañadas, 2019).
• Concepción 3: Resolución de p oblemas.
La esolución de p oblemas siemp e ha sido el co azón de la ac i idad
ma emá ica e, his ó icamen e, el álgeb a una he amien a p i ilegiada
pa a lle a a cabo dicha a ea, en conc e o pa a aquellos que pueden
se o mulados en é minos de ecuaciones e inecuaciones (Kie an,
2007; ci ado en Molina, 2015).
• Concepción 4: Es udio de es uc u as.
Den o de es a pe spec i a, el álgeb a se concibe como el es udio de
es uc u as a a és de las p opiedades de las ope aciones con
núme os eales y polinomios (Molina, 2015), y se abo da, po ejemplo,
cuando se abaja con el manejo de iden idades algeb aicas. Sin
necesidad de inculación a núme os o can idades como e e en es, las
le as se u ilizan en exp esiones algeb aicas como un obje o a bi a io
en una es uc u a (Usiskin,1998). Es a pe spec i a es á inculada
es echamen e con la concepción del álgeb a como a i mé ica
gene alizada.
• Concepción 5: Lenguaje algeb aico.
Como bien indica el epíg a e, es e úl imo en oque conside a el álgeb a
como un sis ema de ep esen ación, es deci , como un ins umen o
pa a exp esa ideas ma emá icas (Molina, 2015). A ca i (1994) indica
que una en aja de es e en oque es que nos pe mi e sepa a nos del
con ex o inicial pa a p oduci esul ados de mane a más e ec i a, lo
cual a o ece que es e lenguaje sea al amen e aplicable a o as á eas.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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Po su pa e, D ouha d y Teppo (2004) emplean el é mino lenguaje
algeb aico pa a e e i se al lenguaje ma emá ico o mado po
simbolismo algeb aico, lenguaje na u al y ep esen aciones
algeb aicas compues as -como g á icos o ablas-; sin emba go, o os
aluden únicamen e al simbolismo algeb aico, e incluso algunos au o es
como D ouha d (2001) y Ki shne (1987) han mani es ado que puede
conside a se como un lenguaje independien e (Molina, 2015).
2.1.3. Focos del pensamien o algeb aico: pa ones, gene alización y sis emas de
ep esen ación
Pa ones
Como se ha podido e en la sección an e io , uno de los en oques del
álgeb a conside a la ciencia ma emá ica como aquella que es udia las
egula idades. El e mino pa ón se de ine como oda si uación epe ida con
egula idad y que se p e é que pueda ol e a epe i se (Cañadas e al. 2010).
Los pa ones son asociados con el pensamien o algeb aico po la p esencia de
la abs acción y la gene alización en ellos (Cañadas e al., 2018). En Educación
Ma emá ica, la impo ancia o o gada en la enseñanza adica en dos hechos
p incipales: su abundancia en el mundo que nos odea, y que la habilidad pa a
econoce pa ones ma emá icos ayuda a desa olla es a egias de pensamien o
que mejo an las habilidades cogni i as abs ac as de los suje os o las necesa ias
pa a el en endimien o de di e en es ope aciones (Cas o, 1995). Es deci , los
pa ones ienen un peso conside able en el desa ollo del p oceso de
pensamien o de los es udian es. En e ec o, Papic (2007) señala que la des eza
de los alumnos pa a abaja con pa ones po encia posi i amen e su endimien o
ma emá ico. No obs an e, el álgeb a no es la única ía pa a exp esa de o ma
gene al un pa ón (Cañadas e al., 2012).
Gene alización
En ma emá icas, el concep o de gene alización es muy amplio y se
encuen a es echamen e elacionado con la inducción. En conc e o, la
gene alización es indispensable en el álgeb a; conlle a in e encia y en ella juega
un papel p imo dial la conje u a (Cañadas e al., 2018). Den o de lo que
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
9
denominamos álgeb a escola , la gene alización de pa ones es conside ada un
elemen o undamen al del pensamien o algeb aico, y puede exp esa se
median e di e sos sis emas de ep esen ación. De hecho, el cu ículo ac ual de
ma emá icas en Educación Secunda ia do a a p ocesos de azonamien o como
la gene alización de una g an impo ancia. Pólya (1966) a i ma que se habla del
concep o de gene alización cuando, una ez obse ada cie a egula idad, se
busca un pa ón que sea álido pa a más casos. En pa icula , es e au o ilus a
dicha idea a a és del siguien e ejemplo. ¿Podemos ob ene una exp esión
gené ica pa a la suma de los cubos de los
𝑛
p ime os núme os na u ales? Nó ese
que
1!+$2!= 9 =
(
1 + 2
)
"
1!+$2!+$3!=36 =
(
1 + 2 + 3
)
"
Luego, pa ece se que se e i ica la igualdad
1!+$2!+$3!+ ⋯ + 𝑛!=
(
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛
)
",
lo que apa en emen e, a al a de una p ueba o mal y de allada, nos lle a a
cons ui conocimien o ma emá ico ace ca de una p opiedad de los núme os
na u ales. Es deci , nos encon amos an e una conje u a que aún exige una
demos ación pa a cons a a su alidez.
Como podemos dilucida del ejemplo an e io , la gene alización supone la
a i mación de una p opiedad o écnica pa a un g an conjun o de obje os
(Cañadas e al., 2018). Po su pa e, Kapu (1999) de ine la gene alización como
una ex ensión del ango de azonamien o más allá de los casos conside ados a
pa i de la simili ud en e ellos, poniendo el oco en las elaciones exis en es,
pa ones, p ocedimien os y es uc u as.
No malmen e, p ime o se lle a a cabo una gene alización e bal e
“in o mal”, y, pos e io men e, se aduce al lenguaje algeb aico. Aho a bien,
nume osas in es igaciones han pues o de mani ies o que la adquisición del
dominio y la comp ensión del lenguaje algeb aico supone una cues ión
p oblemá ica pa a el alumnado (Cañadas e al., 2012). Aunque, dicho sis ema
de ep esen ación no es la única mane a de exp esa es e enómeno. Rad o d
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
10
(2010), Mason y Pimm (1984) conside an que el lenguaje na u al, las
exp esiones e bales y ges os, cons i uyen pa a los alumnos una pa e esencial
del p oceso de gene alización.
Dö le (1991) apoya la misma idea de gene alización de Pólya, y la
denomina gene alización empí ica; inicia el abajo con casos pa icula es y,
es á elacionada con la iden i icación de pa ones y el azonamien o induc i o
(Cañadas e al., 2012). En conc e o, las au o as Cañadas y Cas o (2007),
basándose en los es udios de Pólya (1965) y Reid (2002), es ablecen un ínculo
en e el azonamien o induc i o y la gene alización: desa ollan un modelo de
azonamien o induc i o pa a some e se a a eas de gene alización, y que se á
a ado con mayo p o undidad en la siguien e sección del abajo.
Sis emas de ep esen ación
Pa a pensa , azona y comunica concep os e ideas ma emá icas, es
p eciso ep esen a las de algún modo; la comunicación exige que esas
ep esen aciones puedan ex e io iza se en o ma de lenguaje o al, símbolos
esc i os, dibujos u obje os ísicos. Además, pa a que la men e pueda ope a con
es as nociones, es necesa io ep esen a las in e namen e (Ca pen e y Hiebe ,
1992). Po odo ello, espec o a las o mas de exp esa el conocimien o en el
ámbi o de la Educación Ma emá ica, se dis ingue en e ep esen aciones
ex e nas e in e nas (Cañadas e al., 2012). Las ep esen aciones ex e nas
cons i uyen la ía po la que los indi iduos hacen accesibles sus
ep esen aciones men ales a los demás, como puede se a a és de ó mulas
algeb aicas, g á icas, enunciados del lenguaje na u al, e c. (Rico, 1997). En es e
abajo nos cen a emos en a a las ep esen aciones ex e nas p oducidas po
es udian es de secunda ia, donde son undamen ales las ep esen aciones del
ipo a i mé ica, abula y pic ó ica. Además, den o de las ep esen aciones
ex e nas, Cañadas y Figuei as (2011) des acan la impo ancia de las
ep esen aciones múl iples, y des acan dos ipos de es as:
• Rep esen aciones combinadas. Hacen alusión al uso de di e en es
ep esen aciones simul áneamen e.
• Rep esen aciones sin é icas. Poseen la condición añadida de que
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
11
ienen que se is as como un odo pa a que la espues a de los
es udian es cob e sen ido.
En la enseñanza, ap endizaje y comunicación del conocimien o
ma emá ico, las ep esen aciones son impo an es po que desempeñan un papel
des acado en los p ocesos de cons ucción de concep os (Rico, 2009);
cons i uyen sis emas con no aciones, eglas y con enios que exp esan cie os
aspec os y p opiedades de una noción ma emá ica. En onces se habla de
sis emas de ep esen ación (Cas o y Cas o, 1997).
Uno de los abajos pione os en el es udio de la conexión en e el álgeb a
y los modos de exp esa la gene alización ue el de Mason e al. (1985), cuyos
esul ados señalan que esa elación no pa ece se di ec a pa a el alumnado de
secunda ia (Cañadas e al., 2012). Comúnmen e, el sis ema de ep esen ación
más u ilizado es el lenguaje algeb aico, y, ambién cabe des aca que nume osas
in es igaciones han pues o de mani ies o que la adquisición del dominio y la
comp ensión del lenguaje algeb aico supone una cues ión p oblemá ica pa a el
alumnado (Cañadas e al., 2012). No obs an e, como ya se ha mencionado
p e iamen e, és e no es la única mane a de exp esa la gene alización; Mason
y Pimm (1984) y Rad o d (2002) apoyan que el lenguaje na u al es de e minan e
en el p oceso de gene alización.
2.1.4. El azonamien o induc i o
El azonamien o es un p oceso de pensamien o median e el cual, a pa i
de p emisas es ablecidas, podemos saca cie as conclusiones (Cañadas e al.,
2010). La dis inción clásica y comúnmen e acep ada en e ipos de azonamien o
son el azonamien o deduc i o y el azonamien o induc i o. El azonamien o
deduc i o pa e de unas p emisas y llega a una conclusión como consecuencia
de es as. Po su pa e, el azonamien o induc i o comienza con sucesos
pa icula es y busca la gene alidad -apoyada po unas p emisas- a pa i de los
hechos que ocu en (Cañadas y Cas o, 2004); en o as palab as, el
azonamien o induc i o es la acción de e lo gene al en lo pa icula .
Como se mencionó en la in oducción, los au o es Pólya, Poinca é y
Whi ehead coinciden en señala el papel i al de la inducción en la cons ucción
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
12
de conocimien o ma emá ico y cien í ico, comenzando po la obse ación de
si uaciones pa icula es, ad i iendo las egula idades y pos e io men e
alcanzando la gene alización (Cañadas e al., 2010). En conc e o, Pólya (1966)
se basa en la idea de “p ime o in ui , luego p oba ”, y es ablece cua o pasos
pa a lle a a cabo un co ec o p ocedimien o de azonamien o induc i o:
1. T abajo con casos pa icula es.
2. Fo mulación de la conje u a.
3. Jus i icación de la conje u a.
4. Comp obación de la p opiedad con nue os casos pa icula es.
Es udios que concie nen a es a cues ión ealizados po Je e y (1978) y
Almeida (1996), iden i ican conside ables di icul ades po pa e de los alumnos
en la ejecución de es os pasos, lo cual lo a ibuyen al dé ici de abajo
sis emá ico del es udian ado -en ni eles p euni e si a ios- sob e la jus i icación
de p opiedades ma emá icas. A su ez, Bake (1996) a i ma que cuando es a
cues ión es abajada en Educación Secunda ia y en los p ime os cu sos de
educación supe io , la búsqueda de pa ones y de la e idencia empí ica es
e lejada en los alumnos.
Pa a subsana la p oblemá ica an e io , Cañadas e al. (2010) se basan
en las ideas de odos los au o es men ados p e iamen e, además de en
mues as de in es igaciones p opias (Cañadas y Cas o, 2004), pa a p opone
un modelo eó ico de azonamien o induc i o exi oso que cons a de los sie e
pasos que exponemos a con inuación:
1. T abajo con casos pa icula es. Es el paso que inicia el p oceso de
azonamien o induc i o y que pa e de casos conc e os o ejemplos que
e i ican una de e minada p opiedad. Habi ualmen e ienden a se casos
simples y/o ácilmen e obse ables.
2. O ganización de casos pa icula es. Consis e en o dena (po
ejemplo, en ablas) los da os ob enidos en el paso an e io de mane a que
se acili e la pe cepción de pa ones o pau as.
3. Iden i icación de pa ones. Cla i ica aquello que se epi e con
egula idad y que se p onos ica que uel a a sucede .
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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4. Fo mulación de conje u as. Se es ablece una p oposición que se
sospecha que es e az pe o que no ha sido supedi ada a análisis pa a
de e mina su acep ación o echazo. Puede exp esa se en lenguaje
na u al.
5. Jus i icación de las conje u as. Son p esen ados a gumen os con el
obje i o de con ence sob e la e acidad de una de e minada a i mación.
6. Gene alización. Es el paso que ex iende el azonamien o más allá de
los casos que se han a ado pa icula men e. La conje u a es exp esada
en é minos que hacen e e encia a odos los casos de una clase o
ca ego ía de e minada. Puede exp esa se de di e sas o mas, como
lenguaje e bal o ges ual y median e ep esen ación simbólica o
algeb aica (Rad o d, 2010).
7. Demos ación. P oceso que es ablece con ce eza la alidez de la
conje u a. Pe mi e conoce si ealmen e se es á ob eniendo nue o
conocimien o o no.
Es de des aca que odos ellos no ienen la misma ele ancia den o del p oceso
de azonamien o induc i o. En conc e o, el sex o paso es el mo o pa a o igina
nue o conocimien o y es el que mayo di icul ad supone pa a el alumnado
(Cañadas y Cas o, 2004). El sép imo y úl imo paso, la demos ación, asegu a la
alidez o e u ación de la p opiedad pa a ga an iza si nos encon amos an e
nue o conocimien o.
Po su pa e, Mason e al. (1985) esumen las e apas, desde el pun o de
is a didác ico (y especialmen e pa a aquellos elacionados con el álgeb a
escola ), necesa ias pa a lle a a cabo un p oceso de gene alización, en los
siguien es pun os (Pé ez, 2005):
• Ve . Obse a lo p opio de cada caso pa icula has a encon a el
pa ón o la egula idad del p oblema.
• Desc ibi . Expone las eglas de o mación de lo obse ado, sin
necesidad de una sin axis o mal.
• Regis a . O ganización de los esul ados: exp esión o mal de la
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
14
p opiedad.
2.1.5. Enseñanza y ap endizaje del álgeb a escola , el pensamien o algeb aico
y el azonamien o induc i o en el aula
En los úl imos años, en Educación Secunda ia, se ha p oducido un cambio
en la o ma de abo da los p ocesos de enseñanza y ap endizaje del álgeb a,
con el obje i o de palia las dis in as di icul ades ligadas a concep os algeb aicos.
Han sido desa ollados en oques que p e enden omen a el pensamien o
algeb aico basándose en las cinco concepciones desc i as en el apa ado 2.1.1.
D ij e s (2011) a i ma que, den o de la enseñanza y ap endizaje del álgeb a,
uno de los emas de deba e ac ual es la elación exis en e en e la comp ensión
concep ual y las habilidades p ocedimen ales; las di e en es ap oximaciones
apo an una a iedad de en oques pa a lle a a cabo dicha a ea (Cañadas,
2019).
El hecho de que el pensamien o algeb aico necesi e iempo pa a
desa olla se ha sido demos ado po nume osos es udios; Cañadas e al. (2016)
de ienden su ins ucción desde los p ime os ni eles educa i os, conside ando
que es posi i o pa a el p og eso del alumnado. En pa icula , España es uno de
los países que ha in oducido en su cu ículo la enseñanza del álgeb a a edades
emp anas, y se des acan las siguien es a eas pa a po encia el pensamien o
algeb aico:
• Comp ensión de pa ones, elaciones y unciones.
• A pa i de símbolos algeb aicos, ep esen a y analiza si uaciones y
es uc u as ma emá icas.
• Uso de modelos ma emá icos.
• Analiza escena ios de cambio en dis in os con ex os.
En di e sas in es igaciones como la de Da ido (1972/1990), igualmen e
se apun a la impo ancia de la gene alización y el azonamien o induc i o en el
ap endizaje. Es o ambién se e e lejado en documen os cu icula es, como en
los es ánda es del N.C.T.M (2003), que apun a que hace ma emá icas implica
descub i , y la conje u a es el camino básico pa a el descub imien o. Mason e
al. (2005) espaldan el abajo de las a eas de gene alización y de azonamien o
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
15
induc i o en las aulas, conside ándolas esencia de la ac i idad ma emá ica y que
a o ecen el manejo de los p ocesos de alidación o males. Sin emba go, no es
habi ual que los au o es de ex os escola es in oduzcan ac i idades que
equie an el azonamien o induc i o pa a su ealización.
T ujillo e al. (2009) exponen en su es udio la eno me di icul ad que
supone incluso pa a los es udian es uni e si a ios exp esa la gene alización de
un pa ón median e elaciones algeb aicas. Como suge encia pa a la enseñanza
y con mo i o de su papel des acado en la ob ención de conocimien o, Cañadas
e al. (2010) sub ayan la impo ancia de que los alumnos abajen
sis emá icamen e desde edades emp anas el azonamien o induc i o median e
a eas, con el obje i o de desa olla habilidades que se po encian con es e
p oceso. Es as au o as señalan que debe comenza se po los pasos más
accesibles, como empeza a ando casos pa icula es en i p og esando en
búsqueda de pa ones, conje u as y inalmen e gene alizaciones, e insis en en
que no siemp e es necesa io segui paso a paso el p oceso desc i o en la sección
2.1.3, sino que en ocasiones bas a únicamen e con ceñi se a algunos pun os del
mismo. Algunos ejemplos de es e ipo de a eas (Cañadas e al., 2010), son:
1. Ta eas que buscan halla un nue o elemen o. El obje i o es que, a pa i
de a ios elemen os que se p esen en, los alumnos iden i iquen uno
nue o que enga una es uc u a de e minada (pa ón) po una elación
numé ica y/o una espacial o isual (disposición de elemen os en el plano).
2. Ta eas que incluyen la gene alización. Son p opo cionados a ios casos
pa icula es que pod ían ene luga en un p oceso induc i o pa a que
de ec en un pa ón de compo amien o, con el p opósi o de que los
alumnos sean capaces de ob ene la gene alización eque ida y que
pos e io men e la exp esen algeb aicamen e.
3. P oblemas que implican gene alización.
Sin emba go, es as ideas de endidas en la li e a u a especí ica no ienen impac o
en la p ác ica, y el obje i o gene al de es e abajo es plan ea una ía de
aplicación de es as ideas.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
16
2.1.6. Me odología: las si uaciones p oblema pa a esol e p oblemas de
gene alización ma emá ica
A dia io, en el ámbi o educa i o, es amos ha os de escucha que hay que
cambia la o ma en la que se enseñan las ma emá icas en el aula. Cie amen e,
si examinamos la si uación ac ual, se puede comp oba cómo con las
me odologías adicionales, que es án basadas en la pasi idad del es udian e y
en memo iza p ocedimien os, es a egias e in o mación acep ados e impues os
de o ma monó ona, la mayo ía del alumnado pie de el in e és y la mo i ación
(Isla, 2004). En consecuencia, es os ac o es con ibuyen a una disminución del
es ue zo po pa e del alumno, limi aciones pa a azona y adop a un
pensamien o c í ico, y di icul ad pa a aplica conocimien os es udiados a
si uaciones de la ida eal. Como espues a a es e asun o, desde di e sos
abajos de in es igación se p oponen en el aula nue as elaciones en e los
conocimien os ma emá icos, el docen e y el alumno, que empiezan a hila se
desde p ác icas p opias de la pedagogía ac i a (Múne a, 2011).
Una al e na i a dinamizado a pa a la enseñanza-ap endizaje de las
ma emá icas escola es es la implemen ación de la me odología denominada
si uaciones p oblema, ca ac e izada po in oluc a de o ma ac i a a los
es udian es en p ocesos que acili en la cons ucción de conocimien os (Múne a
y Obando, 2003), y busca po encia el abajo au ónomo del alumno
consiguiendo así desa olla ap endizajes más signi ica i os. Además, es a
p opues a me odológica ambién iene mo i ada po una de las compe encias
especí icas des acadas en el cu ículo de Ma emá icas de Educación
Secunda ia: la esolución de p oblemas. En el ap endizaje de las ma emá icas,
és a iene un papel cla e debido a que las e lexiones lle adas a cabo du an e
es e p oceso ayudan a la cons ucción de concep os ma emá icos y al
es ablecimien o de elaciones en e ellos.
¿Qué es una si uación p oblema?
En palab as de Múne a y Obando (2003), una si uación p oblema puede
in e p e a se como un con ex o de pa icipación colec i a pa a el ap endizaje,
que p opicia nue as elaciones, desde el abajo coope a i o, en e el docen e,
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
23
III. MARCO APLICADO
“La go es el camino de la enseñanza po medio de eo ías;
b e e y e icaz po medio de ejemplos”
Séneca
3.1. Con ex o, ámbi o de in e ención y des ina a ios
El ma co de in e ención es á cen ado en un aula de Ma emá icas
O ien adas a las Enseñanzas Académicas de 3º ESO, con una mues a de
es udio de 20 alumnos de en e 14 y 16 años, y en ausencia de es udian es con
necesidades especí icas de apoyo educa i o. La p opues a de in es igación es á
en ocada a su aplicación en el úl imo imes e del cu so, donde el docen e
conoce mejo cómo abajan los alumnos y ya han sido abajados cie os
aspec os del cu ículo. Si bien, pod ía lle a se a cabo en cualquie a de los es
o, incluso, adap a se a o os cu sos de ESO y Bachille a o.
El cen o donde se p e ende lle a a cabo es a p opues a de in es igación
es el I.E.S. Bahía de Alme ía, ipi icado como cen o ESO con es líneas (D3)
que impa e las enseñanzas: Educación Especial, Educación Secunda ia
Obliga o ia y Bachille a o (I ine a io de Ciencias e I ine a io de Humanidades y
Ciencias Sociales), cuyo alo ob enido pa a el Índice Socioeconómico y Cul u al
(ISC) en el úl imo es udio ealizado, indica que es 0’29, disminuyendo en más de
la mi ad en los úl imos 5 años.
3.2. Obje i os gene ales y especí icos del es udio
Con es a p opues a me odológica se pe siguen alcanza los siguien es
obje i os gene ales y especí icos:
1. Desa olla ap i udes elacionadas con el pensamien o lógico-ma emá ico
en los alumnos de 3º ESO del I.E.S. Bahía de Alme ía, u ilizando como
es a egia de enseñanza-ap endizaje ac i idades que implican
si uaciones de gene alización.
2. Es ablece el g ado de habilidad pa a ealiza gene alizaciones en el
ámbi o ma emá ico en alumnos de 3º ESO.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
24
3. Iden i ica el modo de azona del alumnado y analiza las es a egias que
los es udian es u ilizan a la ho a de ealiza a eas de gene alización.
4. Examina las o mas de los es udian es de comunica y ansmi i su
azonamien o espec o a a eas de gene alización, y clasi ica las
espues as de los mismos.
5. Co egi los e o es y las ca encias iniciales elacionadas con la
gene alización encon adas en el alumnado.
6. Comp oba la posible mejo ía de esul ados de los alumnos as la
in e ención pedagógica.
7. In e io iza el p oceso de gene alización como he amien a ú il pa a la
esolución de p oblemas.
8. Sabe aplica los con enidos ma emá icos a si uaciones de la ida
co idiana o p oblemas eales.
3.3. P ocedimien o de in es igación e in e ención en el aula
El mundo educa i o es á ecuen ado po una g an can idad de casuís icas
y p oblemas; no podemos limi a nos a desc ibi , necesa iamen e enemos que
plan ea es a egias de in e ención siemp e desde la óp ica de no solo ecoge
in o mación, sino de plan ea al e na i as de mejo a pa a ac ua y sol en a es as
si uaciones. La p opues a que lle amos a cabo en es e T abajo Fin de Más e
se á de ipo gene al, en conc e o de in es igación, e aluación e in e ención
educa i a, que a a el ema de la gene alización y el pensamien o induc i o en
el ma co de las si uaciones p oblema en el alumnado de 3º de Enseñanza
Secunda ia Obliga o ia del I.E.S. Bahía de Alme ía. La na u aleza de és a se á
explo a o ia y desc ip i a, pues se dispone de escasa in o mación de es udios
p e ios sob e el ema.
Las si uaciones p oblema buscan desa olla en el alumnado la capacidad
de es ablece conje u as, aplica algo i mos, de ini a iables, es ablece
elaciones y esol e p oblemas. Basándonos en el abajo de Pé ez (2005),
di idimos la p opues a de in e ención p incipalmen e en es e apas: una
p ueba inicial, una in e ención pedagógica y una p ueba inal. La idea es
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
25
compa a cómo abaja y azona el es udian e an es de la in e ención
pedagógica con cómo se desen uel e después de la misma.
E apa 1. P ueba inicial (du ación: 75 minu os)
La inalidad de es a e apa es obse a los obs áculos y las limi aciones
del alumnado en a eas de gene alización, e indaga en sus conocimien os
p e ios espec o a es a cues ión. Es deci , es ablece un pun o de pa ida del
g upo. Consis e en un es inicial indi idual cons i uido po 3 p oblemas. Cada
cues ión es á a iculada de mane a que se puedan dilucida las es ases que
debe a a esa odo p oceso de gene alización (Pé ez, 2005), de acue do a
Mason (1999):
• Ve . El alumno debe es udia los p ime os casos pa icula es,
median e núme os o ep esen aciones g á icas, has a encon a el
pa ón o la egula idad del p oblema.
• Desc ibi . Consis e en el descub imien o de las eglas de o mación.
El alumno enuncia e balmen e las elaciones encon adas en e los
dis in os casos pa icula es es udiados.
• Regis a . Es a ase co esponde a la o ganización de los esul ados:
de ini las a iables, es ablece las elaciones simbólicas pe inen es y
inalmen e o mula la gene alización.
Nó ese que es os aspec os p ocedimen ales son las habilidades que debe
adqui i el es udian e cuando inalice la in e ención, además de ambién
inco po a es as pau as como un mecanismo p ác ico pa a la esolución de
p oblemas. En pa icula , en cada p oblema de es a p ueba inicial se ealizan
una se ie de p egun as que uncionan como guía pa a llega a la solución.
Des aca que, cada p oblema es a ado y e aluado po pa e del docen e
de una mane a di e en e pa a sabe cómo el alumno lo a on a, ya que el p oceso
de alcanza la solución a ía en cada uno de ellos (cómo se de inen las a iables,
cómo las elaciona, manejo de la simbología, es ablece conje u as, e c.). La
p ueba inicial p opues a se puede e en el anexo I.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
26
E apa 2. In e ención pedagógica (du ación: 2 ho as)
El obje o de es a ase es subsana los e o es más comunes
come idos po los es udian es que ue on de ec ados en la p ueba inicial, y
mejo a el endimien o de los alumnos en a eas de gene alización. Como se ha
podido e en dicha p ueba, en es e ni el nos limi amos a abaja con concep os
a i mé icos y de geome ía elemen al, en conc e o cues iones de sucesiones
numé icas y g á icas, donde se obse an egula idades, pa ones y elaciones.
Pa a lle a a cabo es a e apa, u ilizamos la me odología o es a egia
didác ica de las si uaciones p oblema. En és a, o mulamos un p oblema
complejo a in de que puedan analiza se a a és del mismo odos los aspec os
y ases de la gene alización. La o ma de o ien a a los es udian es se basa en i
p esen ando p egun as p oblémicas pa a que ellos descub an po inicia i a
p opia qué co esponde a cada e apa y aspec o, y o ma así esquemas
gene ales de pensamien o. Segui emos un esquema simila al que es ablece
Pé ez (2005) en su es udio pa a esol e p oblemas de gene alización en el
aula, y que es á di idido en ocho pasos:
1. Mo i ación y p oblema inicial.
2. Es udio de casos pa icula es.
3. Desc ipción e bal del escena io: eglas de o mación.
4. Plan ea las a iables y sus elaciones.
5. Fo mulación gene al del p oblema.
6. Sín esis de los concep os empleados y los adqui idos du an e el
p oceso de gene alización.
7. P opues a de p oblemas que incluyen la gene alización pa a a ianza
lo ap endido.
En el anexo II puede consul a se la sesión p opues a de es a e apa.
E apa 3. P ueba inal (du ación: 75 minu os)
Posee la misma es uc u a que la p ueba inicial, o mada ambién po 3
p oblemas de gene alización, y en con ex os semejan es. Sin emba go, en es a
ocasión el alumnado únicamen e dispond á de los enunciados de cada
p oblema, ya que en ese momen o dispond á de un bagaje ace ca de esol e
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
27
es e ipo de p oblemas adqui ido en la e apa de in e ención pedagógica. El
mo i o de ello es que desa ollen un pensamien o lib e y ác icas de esolución
p opias de cada uno.
Es a e apa si e pa a con as a con los esul ados iniciales la
e olución en el azonamien o del alumno y así e alua el g ado de éxi o de
la in e ención. En es a ocasión, el docen e exige al alumno que aplique odas
las ases de la gene alización y que u ilice la simbología ma emá ica
con enien e. La p ueba inal diseñada se puede e en el anexo III.
3.4. Diseño del ins umen o
En las p uebas, an o inicial como inal, cada una de las cues iones es
seleccionada e i icando una se ie de condiciones:
• No edosas y mo i ado as pa a el alumno (sob e emas o aspec os que
puedan a ae su a ención).
• In e esan es en su con enido y que aba quen aspec os del cu ículo
del cu so 3º ESO.
• Exp esadas en un lenguaje sencillo y accesible pa a el alumnado con
el que se abaja.
• Adap adas al ni el de di icul ad de 3º ESO, pe o que a su ez
supongan un “ e o” pa a el es udian e y desa olle su pensamien o
la e al.
• De o ma que se puedan islumb a las e apas que ue on p opues as
po Mason (1999) cuando se a a de un p oblema de gene alización,
y ambién los dis in os aspec os p ocedimen ales ci ados.
Los con ex os donde se mue en los p oblemas plan eados se án:
• Geomé icos, pa a examina an o cómo pe ciben los alumnos las
ca ac e ís icas del escena io o si uación plan eada median e
ep esen aciones g á icas, como el a amien o de la in o mación.
• A i mé icos, pa a analiza el abajo y la o ganización de los
es udian es espec o a los núme os y sus p opiedades.
Además, en pa icula en la p ueba inicial:
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
28
• Es á cons i uida po 3 p oblemas.
• En cada p egun a se ealizan una se ie de cues iones que si en como
pau as pa a llega a la solución inal del p oblema.
• No se p ecisa á de lenguaje simbólico; pueden u iliza se desde
exp esiones esc i as en lenguaje e bal has a e minología
ma emá ica.
• No hab á indicaciones al alumno sob e cómo de ini las a iables o
es ablece elaciones.
Po o o lado, espec o a la p ueba inal:
• Es á cons i uida po 3 p oblemas con ca ac e ís icas simila es a las del
es inicial.
• Se da án únicamen e los enunciados; no se p opo cionan pau as que
ayuden al es udian e a iden i ica cada e apa de la gene alización, a
di e encia de la p ueba inicial.
• Pe mi e e la mejo a del endimien o del alumnado.
• Se exige que el alumno emplee el lenguaje simbólico adecuado pa a
exp esa la gene alización.
En los anexos I y III pueden e se las p opues as de p uebas inicial y inal.
No a: algunos de los p oblemas u ilizados han sido seleccionados de a ículos
de es udios elacionados con expe iencias en la gene alización y el
azonamien o induc i o, y adap ados al con ex o de nues o expe imen o.
3.5. Análisis de los da os
En es e apa ado de la p opues a de in e ención, in es igación y
e aluación educa i a que concie ne a es e abajo, ponemos de mani ies o cómo
analiza íamos los da os ob enidos en el caso de que pudie a lle a se a cabo el
es udio en un con ex o eal. En conc e o, la p ueba esc i a indi idual es
u ilizada como ins umen o de e aluación pa a el alumnado. És a es
con eccionada, de acue do a los pun os de la sección an e io , de mane a que
se puedan ad e i las o mas de azona de los es udian es, los p ocedimien os
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
29
y es a egias que siguen, y cómo son capaces de expone los a a és del
lenguaje ma emá ico.
El análisis es adís ico que se lle a ía a cabo se ía cuan i a i o y
cuali a i o de los esul ados ob enidos en ambos es , y la compa ación en e
es os da os nos in o ma ía en qué g ado u o éxi o la in e ención pedagógica.
El análisis cuali a i o e alúa cómo azonan los es udian es, qué e o es son los
más comunes al gene aliza , qué es a egias emplean y cómo lo ansmi en. El
análisis cuan i a i o a iende a la pun uación ob enida, el po cen aje de alumnos
que la supe an y po qué. Los pa áme os de e aluación de las p uebas inicial
y inal pa a dicho análisis, son los siguien es:
• Pun uación de los 5 aspec os de cada p oblema: cada cues ión e leja
un aspec o de las e apas del p oceso de gene alización ( e , desc ibi
y egis a ).
o Pa icula iza , co espondien e a la e apa e .
o Es ablecimien o de pa ones e balmen e, co espondien e a la
e apa desc ibi .
o De inición de a iables, es ablece conexiones y o mulación
simbólica de la gene alización, co espondien es a la e apa
egis a .
Cada aspec o es a á alo ado sob e 10 pun os. En consecuencia,
cada de eje cicio es á alo ado sob e 50 pun os.
o Si no hubo espues a o es comple amen e e ónea, la
pun uación es 0.
o Si la espues a p esen a pa cialmen e e o es, como puede se
el allo en algún caso pa icula de la gene alización, pe o en
gene al es medianamen e co ec a, la pun uación es de 5
pun os.
o Si la espues a es o almen e co ec a, es deci , ca ece de allos
y posee explicaciones cla as y azonadas, en onces la
pun uación es 10.
• Pun uación o al de cada e apa de cada p oblema. En el caso de
egis a , al e alua se es aspec os, se suman y se di ide en e 3.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
30
• Pun uación o al de cada p oblema, donde se suman odos los
aspec os y se di ide po 5.
• Pun uación o al de cada aspec o, donde se suma á lo ob enido en
cada aspec o de cada p oblema, y se di idi á po 3.
• Pun uación o al de cada e apa, donde se suma á lo ob enido en cada
e apa de cada p oblema, y se di idi á po 3.
• Pun uación o al de los p oblemas, donde se suma á la media ob enida
de cada p oblema y se di idi á po 3.
Pa a examina los da os ob enidos, se cons ui ían dos ablas:
• En la p ime a, se ecoge ía po columnas la pun uación conseguida (0-
10) po cada alumno en cada aspec o (clasi icado po e apa y
p oblema). En la pa e in e io de la abla, además se mos a ía en dos
englones la suma o al y el p omedio de cali icación de cada aspec o.
• En la segunda, po es udian e, se ecoge ía po columnas la
pun uación o al conseguida (0-50) en:
o Cada uno de los 3 p oblemas de la p ueba inicial o inal.
o Cada uno de los 5 aspec os.
o Cada una de las 3 e apas.
Se ese a la úl ima columna pa a indica el p omedio global del
alumno (la media del o al ob enido po aspec os, p oblemas y e apas).
También, en la pa e in e io de la abla, además se mos a ía en es
englones la suma o al de pun os, el p omedio de cali icación (sob e
50) de cada uno de los apa ados an e io es, y la pun uación o al de
cada p oblema (sob e 10), cada aspec o y cada e apa. En la úl ima
en ada de la abla se e leja el p omedio de pun os (sob e 10) g upal
de la p ueba.
No a: an o en la p ueba inicial como en la p ueba inal, los esul ados son
conside ados de o ma g upal. Es o es, no se analizan po sepa ado las
pun uaciones indi iduales, al no a a se de un obje i o de es a p opues a de
in es igación. El esul ado se á conside ado posi i o si es supe ado po al
menos el 50% del alumnado.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
31
3.6. Resul ados espe ados y conclusiones del es udio
Con aplicación de la me odología si uaciones p oblema o ien ada a los
p oblemas de gene alización en el aula de 3º ESO del I.E.S. Bahía de Alme ía,
se espe an ob ene los siguien es esul ados:
• Mejo a del azonamien o lógico-ma emá ico y la capacidad de
abs acción del alumnado.
• Aumen o del endimien o académico espec o a p oblemas de
gene alización en ma emá icas.
• Aumen o de la au onomía del es udian e en la esolución de
p oblemas: iden i ica qué necesi an sabe del p oblema, cómo
es uc u a la solución y, inalmen e, esol e lo con éxi o.
• Adquisición de una nue a he amien a de esolución de p oblemas.
• Fomen o de la compe encia de abajo en equipo.
• Resul ado posi i o y e icaz la es a egia de las si uaciones p oblema
pa a la cons ucción de ideas ma emá icas.
IV. CONCLUSIONES FINALES
“Los encan os de es a ciencia sublime, las ma emá icas,
solo se les e elan a aquellos que ienen alo de
p o undiza en ella”
Gauss
En p ime luga , lle amos a cabo un balance del g ado de consecución de
los obje i os indicados al inicio del documen o. Haciendo e e encia al p ime y
al e ce obje i o, conside o que es e abajo supone una p opues a in e esan e,
adecuada y dinamizado a pa a mejo a la capacidad de gene alización y del
pensamien o induc i o en el es udian ado de secunda ia, y que además pe mi e
comp oba la e olución p og esi a del alumnado; la gene alización es un aspec o
ma emá ico que no se abaja explíci amen e en ningún cu so de ESO o
Bachille a o, y es a inicia i a o alece las di e en es o mas de abs acción
ma emá ica, que son desa olladas po ap endizaje po descub imien o. En
elación al segundo obje i o, la expe iencia du an e el pe iodo de p ác icas en el
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
32
I.E.S. Bahía de Alme ía sob e la enseñanza del álgeb a, e lejada en la sección
2.3, ue lo que mo i ó y ayudó a la elección de es e ema, al a a se de una
cues ión an impo an e en el ámbi o ma emá ico y po desg acia an
escasamen e abajada en los cen os; la única pega es que no ha podido se
lle ado a la p ác ica en el cen o po mo i os de plani icación. Pa a e mina ,
conside o que los obje i os 4 y 5 ambién han sido log ados, ya que se han
u ilizado uen es de da os cien í icas ecomendadas po mis u o es, y el
documen o ha sido elabo ado de acue do a las o ien aciones es ablecidas po la
Uni e sidad de Alme ía.
A con inuación, es ablecemos en o ma de decálogo los p incipales
hallazgos as la ealización de es e T abajo Fin de Más e :
1. El álgeb a escola ecibe
nume osas concepciones en e las
que exis en di e sas conexiones.
2. Los ocos del pensamien o
algeb aico son los pa ones, la
gene alización y los sis emas de
ep esen ación.
3. Los pa ones son undamen ales en
el desa ollo del pensamien o de los
es udian es.
4. Pa a pensa , azona y comunica
concep os e ideas ma emá icas es
p eciso el uso de sis emas de
ep esen ación.
5. La inducción es la p incipal ía de
cons ucción de conocimien o
ma emá ico y cien í ico.
6. El pensamien o induc i o y la
gene alización son aspec os no
abajados en Educación Secunda ia.
7. La gene alización es una
he amien a e icaz pa a la esolución
de p oblemas.
8. Las e apas necesa ias del p oceso
de gene alización son: e , desc ibi y
egis a .
9. Las si uaciones p oblema son una
al e na i a dinamizado a del
10. Una buena o ma de conoce la
e olución del alumnado es ealiza
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
39
8.
Pé ez, J. J. (2005). La gene alización como p oceso de pensamien o
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El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
41
VI. ANEXOS
6.1. Anexo I: P ueba Inicial
Du ación: 75 minu os.
PROBLEMA 1. Obse a la siguien e secuencia de núme os: 1, 4, 7, 10, …
• ¿Cuál es el siguien e núme o de la sucesión?
• ¿Y el é mino que se encuen a en la posición 10?
• Enuncia la egula idad que se p esen a de o ma e bal.
• Enuncia la egula idad que se p esen a de o ma simbólica. ¿Qué
a iables puedes u iliza ?
• Esc ibe el núme o que es a á en el luga 234 de es a secuencia. Jus i ica
u espues a.
*P oblema ex aído y modi icado de Cañadas e al. (2012).
PROBLEMA 2. El día 28 de mayo se juega la inal de la Champions League que
en en a al Real Mad id y al Li e pool, y el ba “La Sae a Blanca” a a emi i el
pa ido. En el ba hay mesi as cuad adas de 4 plazas, de o ma que uniendo 3
de ellas pueden sen a se has a 8 pe sonas. Los dueños del ba es án discu iendo
sob e cómo o ganiza las mesas pa a sen a a los g upos que ienen ese a.
Ayúdalos espondiendo a las siguien es p egun as:
• ¿Cuán as pe sonas pueden sen a se si unimos 20 mesas?
• ¿Cuán as mesas son necesa ias pa a sen a a 19 pe sonas? ¿Y pa a
sen a a 233?
• Exp esa la egula idad de o ma e bal. ¿Ocu e lo mismo pa a un núme o
de pe sonas pa que de un núme o impa ?
• Da una ó mula que indique el núme o de mesas necesa io pa a sen a a
𝑁
pe sonas.
*P oblema ex aído y modi icado de Donai e e al. (2011).
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
42
PROBLEMA 3: los iángulos de Sie pinski. Obse a las cua o igu as siguien es:
Nó ese que la p ime a es un iángulo equilá e o; cada una de ellas se ob iene
de la an e io epi iendo cie o p oceso.
• ¿Cómo se o ma la siguien e igu a? ¿Y las que le siguen?
• Si el á ea de la zona colo eada es 1u2, ¿cuál es el á ea de la pa e
colo eada en el cua o iángulo? ¿Y en el undécimo?
• ¿Y cuál es el á ea de la zona blanca en el cua o y undécimo iángulo?
• ¿Cuán os iángulos de cada colo hab á en la igu a 1200?
• Si el pe íme o del iángulo g ande es 1u2, ¿cuál se á el pe íme o de la
zona oja en la enésima igu a?
*P oblema ex aído y modi icado de Donai e e al. (2011).
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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6.2. Anexo II: P opues a de In e ención Pedagógica
Du ación: 2 ho as.
Pun o 1. La mo i ación y el p oblema inicial comienza con suge i le a los alumnos
que conside en que el suelo del aula es á o mado po baldosas blancas y g ises
cuad adas del mismo amaño, de mane a que las blancas o man una ila y las
g ises es án si uadas odeando és a. A cada uno se le en ega una hoja en
blanco donde apa ece dibujada es a disposición de las losas pa a que lo
isualicen, analicen y desc iban su composición, además de hace ano aciones
p opias e indi iduales. El iempo es imado pa a ello es de 10 minu os. Algunas
de las p ime as obse aciones que pod ían señala , son:
• Mayo can idad de losas g ises, las cuales odean a las blancas.
• Cada losa g is se encuen a en con ac o con una única losa blanca, a
excepción de las esquinas.
• Cada losa g is es á en con ac o con o as dos losas g ises.
P oblema. Imagina que ienes baldosas cuad adas blancas y baldosas
cuad adas g ises, ambas del mismo amaño. Hacemos una ila con baldosas
blancas:
Después, odeamos las baldosas blancas con baldosas g ises como se
mues a a con inuación:
¿Cuán as baldosas g ises necesi a ías si u ie as 1320 baldosas blancas y
quisie as odea las igual que en el dibujo? Jus i ica u espues a.
*P oblema ex aído de Cañadas e al. (2012).
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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• Cada losa blanca si uada en la esquina es limí o e con es losas g ises
y o a blanca.
• Cada losa blanca si uada en medio de la ila es á en con ac o con dos
losas blancas y dos losas g ises.
Una ez e minado es o, se les plan ea la siguien e cues ión: en un suelo
cualquie a, ¿cuán as losas g ises son necesa ias pa a un de e minado núme o
de losas blancas?
Pun o 2. Seguidamen e, el docen e inci a a los alumnos a pasa al es udio de
casos pa icula es pa a busca la espues a a la p egun a. Es o es, un p oceso
induc i o y empí ico pa a plan ea las p ime as hipó esis de o ma o denada, que
se ealiza á du an e o os 10 minu os. Se les sugie e que ealicen dibujos
acla a o ios.
• Si enemos una ila de 5 baldosas blancas:
Figu a 2. Dibujo o ien a i o del p oblema con una ila de cinco baldosas blancas.
Son necesa ias 16 baldosas g ises.
• Supongamos que enemos 6 baldosas blancas:
Figu a 3. Dibujo o ien a i o del p oblema con una ila de seis baldosas blancas.
Son necesa ias 18 baldosas g ises.
• Supongamos que enemos 7 baldosas blancas:
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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Figu a 4. Dibujo o ien a i o del p oblema con una ila de sie e baldosas blancas.
Son necesa ias 20 baldosas g ises.
Pun o 3. Como los alumnos pueden comenza a obse a , i con ando los
cuad ados de las baldosas g ises se uel e cada ez más edioso a medida que
aumen a el núme o de baldosas blancas. En es e escena io, esul a una buena
idea in en a encon a un sis ema pa a compu a los de una o ma más sencilla.
En onces, se les sugie e a los es udian es que busquen una egla gene al pa a
ello, y la exp esen e balmen e. En conc e o, median e las siguien es cues iones
se les o ien a pa a lle a a cabo es a a ea:
• ¿Qué pa ones de compo amien o se epi en en los casos pa icula es?
• ¿Cómo se con igu a cada caso?
• ¿Qué elación hay en e las baldosas al aumen a en una unidad las
blancas?
Los alumnos deben in en a es ablece una hipó esis de la secuencia. A modo
de ecomendación, el p o eso p opone que cons uyan una abla y comple en
con algunos casos más de los es udiados en el pun o 2. Pa a es a pa e de la
sesión disponen de 35 minu os.
Tabla 1
Ejemplo de abla con casos pa icula es del p oblema.
Núme o de baldosas blancas
Núme o de baldosas g ises
5
5∙2$+$3$+$3$=$16
6
6∙2$+$3$+$3$=$18
7
7∙2$+$3$+$3$=$20
8
8∙2$+$3$+$3$=$22
9
9∙2$+$3$+$3$=$24
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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10
10∙2$+$3$+$3$=$26
Lo siguien e que deben hace busca qué egula idades se obse an en ella. En
es a pa e de la clase, los alumnos pueden o ganiza se lib emen e po g upos
(de máximo 4 pe sonas) y pone ideas en común. Algunas de las ca ac e ís icas
que pod ían ex ae de la abla, son:
• Po cada baldosa blanca que se añade, el o al de baldosas g ises
aumen a en dos unidades.
• El núme o de baldosas g ises siemp e es pa .
• La p ime a y la úl ima columna pe manecen cons an es, siemp e es án
o madas po es baldosas cada una, independien emen e del núme o de
baldosas blancas.
En es e momen o, el alumno ya es á en condiciones de es ablece una conje u a
del p oblema, el cual debe exp esa e balmen e de una o ma simila a la que
sigue:
“El núme o de baldosas g ises necesa ias pa a odea la ila de baldosas
blancas es el doble de baldosas blancas más las de los ex emos.”
T as ello, el p o eso lanza una p egun a al ai e, dejándola como ac i idad: ¿Se
puede calcula así el núme o de baldosas g ises necesa ias pa a 11, 12, 13, 14
y 15 baldosas blancas? ¿Podemos ya esol e el p oblema inicial?
Pun o 4. A con inuación, se plan ea la siguien e p egun a: ¿cuán as baldosas
g ises son necesa ias pa a una ila de
N
losas blancas? Con ello, el docen e
impulsa a los alumnos que exp esen algeb aicamen e la gene alización e bal
del pun o an e io , de o ma indi idual. En es a pa e, deben se capaces de
plan ea las a iables in oluc adas y es ablece elaciones en e ellas. Se les
o ien a a a és de cues iones y apa ados como:
• ¿Qué a iable es la que que emos calcula ? ¿De qué depende?
• ¿Cuán as a iables son necesa ias pa a o maliza la elación? ¿Cuáles
son esas a iables?
• Simboliza cada a iable. Cuando se a a de secuencias de núme os
na u ales, es habi ual u iliza
N
.
El pensamien o induc i o y la gene alización en el álgeb a escola
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Las a iables a de ini , son:
•
N
: núme o de baldosas blancas.
•
G#
: núme o de baldosas g ises.
El iempo dedicado a es e pun o es de 25 minu os. Al é mino de és e, los
alumnos deben se capaces de es ablece la elación:
G#= 2 ∙ N + 6,$$$$$N$
³
$1
.$$
Has a aquí, se han seguido con de enimien o cada una de las e apas p opues as
po Mason en a eas de gene alización.
Pun o 5. El siguien e paso es o maliza
2
la elación de gene alización y
comp oba su alidez a pa i del es udio de más casos pa icula es. Como
suge encia, el docen e indica que cons uyan una nue a abla de acue do a las
a iables es ablecidas y con e minología uncional (pues ya ha sido es udiado
al pe enece al cu ículo del cu so de 3º ESO):
Tabla 2
Ejemplo de abla con casos pa icula es del p oblema exp esados con una
elación uncional.
N
1
2
3
4
5
…
1320
…
N
G(N)
8
10
12
14
16
…
2646
…
2 ∙ N + 6
Se les inci a a ob ene conclusiones de lo abajado has a aho a, como:
• La elación en e las a iables es lineal. La g á ica de la unción ep esen a
una ec a en el plano.
• Puede u iliza se pa a calcula cualquie núme o de baldosas g ises.
Finalmen e, con la pa icipación de la o alidad del g upo se a a de enuncia la
ley gene al del p oblema, semejan e a:
2
No se p e ende es ic amen e demos a la alidez de la exp esión, ya que se ía necesa io
emplea de o ma igu osa el mé odo de inducción pa a ello, y no es cons i uye un obje i o en
es os ni eles educa i os ni en es a p opues a de in es igación. La inalidad de es e apa ado es
comp oba con casos conc e os que la ley gene al unciona.
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“El núme o de baldosas g ises necesa ias pa a odea la ila de$
𝑁
baldosas
blancas es el doble de
𝑁
más seis.”
Y, se esponde a lo pedido en el p oblema pa a conclui : “son necesa ias 2646
baldosas g ises pa a odea una ila de 1320 baldosas blancas.”
El iempo es imado en es a pa e de la sesión es de 25 minu os. Al é mino de
es e pun o, ya se hab ían abajado las e apas de e , desc ibi y o mula .
Pun o 6. Una ez abajada la gene alización ma emá ica desde una pe spec i a
geomé ica y analí ica, lo siguien e de la sesión es lle a a cabo un deba e sob e
la concep ualización du an e ap oximadamen e 15 minu os. Es deci , qué
nociones se han u ilizado y qué se ha ap endido nue o en es a sesión po pa e
del alumnado. De lo p ime o:
• Núme o na u al. Fue el concep o más u ilizado y cla e pa a la
simbolización de las elaciones en las sucesiones y unciones.
• Funciones. Se ha abajado el concep o de a iable dependien e e
independien e, su exp esión y cómo se ep esen a ía la elación en una
g á ica.
De lo segundo puede des aca se el conocimien o de una nue a he amien a pa a
la esolución de p oblemas que in oluc en secuencias y pa ones: cons ucción
elaciones y ó mulas gene ales.
Pun o 7. Después, son p opues as ac i idades pa a ealiza en casa con el
obje i o de abaja y a ianza lo is o du an e la in e ención pedagógica.
Eje cicio 1. Conside emos el conjun o de los núme os na u ales
ℕ
(con ando a pa i de 1). ¿Cuán o suman los diez p ime os núme os
na u ales? ¿Y los 20? Ob én una ó mula gene al pa a calcula la suma
de los
𝑁
p ime os núme os na u ales.
Eje cicio 2. Halla el núme o de palillos necesa ios pa a cons ui una o e
de
𝑁
plan as como las del dibujo.
