Fo schung am i wKöln
Band 7/2017
Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus
eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine Ve allgemeine ung
des linea en Ansa zes
Ral Knobloch
Fo schung am i wKöln, Band 7/2017
Ral Knobloch
Fo schungss elle FaRis
Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine
jäh lichen Ma ko
-Ke e - Eine Ve allgemeine ung des
linea en Ansa zes
Zusammen assung
In de o liegenden A bei wi d ausgehend on eine jäh lichen inhomogenen Ma ko -Ke e eine
un e jäh liche bewe e e inhomogene
Ma ko -Ke e kons uie . Die Kons uk ion de un e jäh lichen
Übe gangsma izen basie au de Taylo eihe de Po enz unk ion bzw. de en Pa ialsummen.
Diese Ansa z is eine Ve allgemeine ung des Falls, dass die un e jäh lichen Übe gangsma izen
du ch
In e pola ion de jäh lichen Übe gangsma izen und de Einhei sma ix de inie we den.
Anschließend lieg de Fokus de A bei au de Ve eilung de Zu alls a iablen „Ba we des
Zahlungss oms“ bzw. au de zugehö igen cha ak e is ischen Funk ion, einem
EDV- echnischen
Ve ah en zu Be echnung de Momen e de Zu alls a iablen und dessen Anwendung in zwei
Fallbeispielen.
Abs ac
In he p esen pape i will be shown how a p iced inhomogeneous Ma ko chain wi h pe iods less
han a yea can be designed om a gi en
inhomogeneous Ma ko chain wi h annual ime pe iods.
The cons uc ion is based on he Taylo se ies and hei pa ial sums o he powe unc ion. This
app oach is a gene aliza ion o he case, whe e he ansi ion ma ices a e gi en by linea
in e pola io
n o he yea ly ansi ion ma ices and he iden i y ma ix. A e wa ds we ocus on he
dis ibu ion o he andom a iable “p esen alue o he cash
-
low” and on he associa ed
cha ac e is ic unc ion, espec i ely, as well as an IT me hod o calcula in
g he momen s o he
andom a iable and i s applica ion o wo case s udies.
Schlagwö e
:
Ma ko
-Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Ba we , cha ak e is ische Funk ion
Keywo ds
:
Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, P esen Value, Cha ac e is ic Func ion
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................ 2
2. DAS JÄHRLICHE MODELL ............................................................................................................... 4
3. SPEZIELLE PARTIALSUMMEN UND REIHEN VON MATRIZEN ................................................. 5
4. KONSTRUKTIONSVORAUSSETZUNGEN .................................................................................... 15
5. KONSTRUKTION DES UNTERJÄHRLICHEN MODELLS ........................................................... 16
6. BEWERTETE INHOMOGENE MARKOV-KETTEN ....................................................................... 17
7. FALLBEISPIEL 1: KREDITAUSFALL ............................................................................................. 24
8. FALLBEISPIEL 2: BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ..................................................... 27
9. FAZIT .................................................................................................................................................. 30
LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................................................... 31
- 2 -
1. Einlei ung
S ochas ische P ozesse haben in den Wi scha swissenscha en die iel äl igs en
Anwendungen. Sie we den zu Modellie ung sowohl bei klassischen
be iebswi scha lichen Sach e hal en als auch bei speziellen F ages ellungen in
den Be eichen Insu ance und Finance eingese z . Eine de wich igs en Modellklasse
bilden die Ma ko -Ke en, d.h. gedäch nislose s ochas ische P ozesse mi disk e em
Zus ands aum. Die Zei achse de Ma ko -Ke en kann dabei en wede disk e ode
s e ig modellie we den. Bezüglich de zei lichen Dynamik we den in den
Wi scha swissenscha en sowohl homogene als auch inhomogene Modelle
eingese z . Als Beispiele ü die Anwendung on Ma ko -Ke en bei klassischen
be iebswi scha lichen F ages ellungen seien hie die Themen Wa eschlangen-
sys eme, Lage hal ung und (Ma ko sche) En scheidungsp ozesse genann ( gl.
[14]). In de Pe sonen e siche ungsma hema ik we den Ma ko -Ke en zu
Kalkula ion on Ba we en, Rese en und P ämien e wende ( gl. [12], [13], [6], [7],
[8], [10], [11]).
Die in den Wi scha swissenscha en e wende en Modelle basie en o au
jäh lichen Beobach ungen und we den dahe i.d.R. zunächs als s ochas ische
P ozesse in disk e e Zei modellie , bei denen de Abs and zwischen zwei
Zei punk en als ein Jah in e p e ie wi d. Die Modelle we den anschließend
e eine und bei un e jäh lichen F ages ellungen angewende . Ein Beispiel da ü is
die Modellie ung on Zahlungss ömen in de Finanz- und in de Ve siche ungs-
ma hema ik. Die Zahlungen im Kon ex on Banken und Ve siche ungen e olgen in
de P axis, z.B. bei Ren enzahlungen ode bei de Tilgung eines K edi s, meis
un e jäh lich (z.B. mona lich ode qua alsweise).
Bei de Anwendung au un e jäh liche F ages ellungen is es wich ig, wie die
u sp ünglich jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en au das Jah e eil we den.
Sei z.B.
Q
die Übe gangsma ix des
- en Jah es und
[ ]
α
+−− 1
,1
mi
( )
1,0∈α
ein
zum Jah esan ang beginnendes Teilin e all des
- en Jah es, so wä e – in Analogie
zu den Zinsmodellen de Finanzma hema ik – die Po enz
α
Q
ein sinn olle Ansa z
ü die Ma ix de Übe gangswah scheinlichkei en dieses Teilin e alls. Diese Po enz
kann abe nu in Sonde ällen de inie we den. Und selbs in ein achen Fällen, in
denen
α
Q
de inie we den kann, is nich gewäh leis e , dass es sich dann um eine
s ochas ische Ma ix handel . So exis ie zwa ü s ochas ische Ma izen mi de
O dnung
3x3
, die zugleich obe e D eiecksma izen sind, die Wu zel (d.h. die Po enz
mi
5,0
=α
), diese muss abe keine s ochas ische Ma ix sein ( gl. [9]). Eine ande e
Möglichkei bes eh da in, die Übe gangswah scheinlichkei en linea übe das Jah zu
e eilen, d.h. die Übe gangsma ix des In e alls
[ ]
α+−− 1 ,
1
du ch In e pola ion
de jäh lichen Übe gangsma ix und de Einhei sma ix anzuse zen ( gl. [11]).
- 3 -
Die in dem o liegenden A ikel gewähl e Me hode zu Ve eilung basie ü
( )
1,0∈α
au de Taylo en wicklung de eellwe igen Funk ion
α
→xx
an de S elle
1x
0
=
.
Die Übe gangsma ix ü das In e all
[ ]
α+−
−1
,1
wi d du ch das Einse zen de
jäh lichen Übe gangsma ix in die Taylo eihe bzw. al e na i in die
m
- e
Pa ialsumme de inie . Es zeig sich, dass die Ve wendung de
1
- en Pa ialsumme
de oben besch iebenen linea en Ve eilung de Übe gangswah scheinlichkei en
en sp ich . Bei de hie da ges ell en Vo gehensweise muss abe – insbesonde e bei
de Ve wendung de Taylo en wicklung – nachgewiesen ode o ausgese z we den,
dass es sich dann bei den E gebnissen um s ochas ische Ma izen handel .
Die so kons uie e un e jäh liche Ma ko -Ke e wi d im zwei en Teil des A ikels mi
eine Bewe ung e sehen, d.h. zu jedem Zei punk wi d in Abhängigkei des
jeweiligen Zus ands eine Leis ung de inie . Im Mi elpunk des In e esses s eh
anschließend de Ba we diese Bewe ung bezogen au ein endliches Zei in e all.
Somi be inde man sich z.B. im Kon ex de klassischen inanzma hema ischen
Au gabens ellung „Be echnung des Ba we s eines endlichen Zahlungss oms“. Da
de Ba we hie als Zu alls a iable im Sinne de Wah scheinlichkei s heo ie
angese z wi d, s ell sich die F age nach de Ve eilung. Es is zwa nich möglich,
die Ve eilungs unk ion da zus ellen, es kann abe eine Fo mel ü die
cha ak e is ische Funk ion he gelei e we den. Gemäß Eindeu igkei ssa z is dies als
E gebnis gleichwe ig, da die cha ak e is ische Funk ion eine Zu alls a iablen de en
Ve eilung eindeu ig es leg ( gl. [3]).
Das hie o ges ell e Modell wi d in de Li e a u auch als bewe e e Ma ko -Ke e
bezeichne . Es ha in den Wi scha swissenscha en eine Vielzahl on
Anwendungen. Beispielsweise wi d es bei Lage hal ungsmodellen eingese z , dabei
s eh die Bewe ung ü die mi de Lage hal ung e bundenen Kos en (Bes ellkos en,
Lage kos en und Fehlmengenkos en). In ande en ökonomischen Anwendungen
modellie die Bewe ung zus andsabhängige Gewinne ( gl. [14] S.45 ). In de
Finanz- und Ve siche ungsma hema ik we den bewe e e Ma ko -Ke en zu
Modellie ung isikobeha e e Zahlungss öme e wende .
Analog zu cha ak e is ischen Funk ion kann auch eine Fo mel ü die
momen ene zeugende Funk ion des Ba we s de Bewe ung he gelei e we den.
Mi hil e de Di e en ial echnung können aus de momen ene zeugenden Funk ion
die höhe en Momen e diese Zu alls a iablen be echne we den. Zum Abschluss
dieses A ikels we den dahe in zwei Fallbeispielen bei den un e schiedlichen
un e jäh lichen Ve eilungen die Momen e „E wa ungswe “ und „S anda dab-
weichung“ analysie bzw. e glichen.
- 4 -
2. Das jäh liche Modell
Gegeben sei eine Ma ko -Ke e
( )
,...
2
,1
,0
X=
mi dem endlichen Zus ands aum
}N,...,2,1,0{S =
. Dabei s eh de Zei punk
ü den Beginn des
)1 ( +
- en Jah es
bzw. die Zu alls a iable
X
ü den Zus and zu Beginn des
)1 ( +
- en Jah es,
,...2,
1
,0
=
. Die Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk
1 −
zum Zei punk
seien gegeben du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix
( )
S k,j
jk ) (q) (Q ∈
=
,
d.h.
,...2,1 ,Sk,j ),jX|kX(P:) (q 1 jk =∈=== −
( gl. [6]). Da die Übe gangsma izen explizi on dem Zei pa ame e
abhängen,
heiß die Ma ko -Ke e inhomogen ( gl. [12] S.16 , [14] S.11).
Die Ve eilung de Zu alls a iablen
X
,
,...2
,1
,
0 =
, sei gegeben du ch den
Zeilen ek o
( )
S
j
j
,
PP
∈
=
, d.h.
Sj ,P)jX(
Pj,
∈==
.
Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass
0
P
o gegeben is und alle
Wah scheinlichkei en, Ve eilungen und Momen e gegeben diese An angs e eilung
be echne we den. Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü
Ma ko -Ke en ( gl. [12] S.14) e gib sich ü
,...2,1,0 =
∏
=
⋅=
1s
0 )s(QPP
( gl. [6]).
- 5 -
3. Spezielle Pa ialsummen und Reihen on Ma izen
Im Ve lau des A ikels we den basie end au dem jäh lichen Modell – wie in de
Ein üh ung ausge üh – un e jäh liche Ma ko -Ke en kons uie . Von en -
scheidende Bedeu ung is dabei die Ve eilung de jäh lichen Übe gangswah -
scheinlichkei en au das Jah . Mi Blick au die Po enz
α
Q
,
( )
1,0∈α
, eine
s ochas ischen Ma ix
Q
we den die un e jäh lichen Übe gangsma izen – analog zu
Neumannschen Reihe – übe eine Reihe bzw. übe eine endliche Summe de inie .
Wi be ach en zunächs ü
( )
1,0∈α
die Taylo eihe de eellwe igen Funk ion
IRx,x)x( ∈= α
an de S elle
1x
0
=
. Diese e gib sich mi
( ) ( ) ( ) ( )
∑∑ ∏∑
∞
=
∞
=
−
=
∞
=
−⋅
α
=−⋅−α⋅=−
⋅
0u
u
0u
u
1u
0 0u
u
)u( 1x
u
1x
!u
1
1x
!u
)1(
,
dabei is
∏
=
+−α
=
α
u
1
1
:
u
de e allgemeine e Binomialkoe izien . Fü
2x0 ≤≤
gil
( )
α
∞
=
=−
⋅
α
∑
x
1x
u
0u
u
.
In den Fällen
2x >
und
0x <
di e gie die Reihe. Beides olg aus dem
Kon e genz e hal en de Binomial eihe ( gl. [5] S.382 ).
Se z man
q1
x−=
, so e häl man insbesonde e ü
1q0 ≤≤
die Gleichung
( )
α
∞
=
−
=−⋅
α
∑)q1(
q
u
0
u
u
.
Fü
1
q0 <
≤
is die Kon e genz absolu , dies e gib sich du ch Anwendung des
Quo ien enk i e iums ü Reihen ( gl. [5] S.205 ).
Im Folgenden sei
Q
eine s ochas ische Ma ix und
E
die Einhei sma ix. Beide
Ma izen seien on de O dnung (N+1)x(N+1). Dabei we den die Zeilen und Spal en
de beiden Ma izen in Anlehnung an den Zus ands aum des jäh lichen Modells mi
N,,1,0
du chnumme ie .
Zunächs se zen wi die beiden Ma izen in die
m
- e Pa ialsumme de Taylo eihe
ein und e hal en die Ma ix
( )
∑
=
α−⋅
α
=m
0u
u
m, EQ
u
:Q
,
( )
1,0∈α
,
INm∈
.
- 6 -
Die Ein äge de Ma ix
Q
m,α
we den mi
ij
m,
q
α
bezeichne .
Beispiele:
a) Es sei
()
1
,0
∈
α
und
1
m=
. Es gil
( ) ( ) ( )
E)1(QEQEEQ
1
EQ
0
QQ 10
1,m, ⋅α−+⋅α=−⋅α+=−⋅
α
+−⋅
α
==αα
,
d.h.
Q
und
E
we den linea in e polie . Da
Q
und
E
beides s ochas ische
Ma izen sind, ha auch
Q
1,α
keine nega i en Ein äge. Fü die Zeilensumme de
i
- en Zeile e gib sich
( )
1e)1(qe)1(qq
N
0j ij
N
0j ij
N
0j ijij
N
0j ijm,
=⋅α−+⋅α=⋅α−+⋅α=
∑∑∑∑ ====
α
.
Somi is
Q
1,α
imme eine s ochas ische Ma ix.
b) Es sei
2N =
, d.h. be ach en 3x3-Ma izen. Fe ne
2
1
=α
und
2m =
. Die
s ochas ische Ma ix
Q
sei gegeben du ch
−
−−
=
10
0
c
c1
0
ba
ba
1
Q
mi
]1
,
0
[
c
,
b,a ∈
und
1b
a≤+
. Somi e gib sich
()
( )
( )
−
⋅+⋅−−⋅
−⋅−−
+
=−
−
−−
=−
=−
0
00
cc0
ca
ba
bca
baa)b
a
(
E
Q
000
cc
0
ba
ba
EQ
EEQ
22
222
2
1
0
und man e häl
- 7 -
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+−−
⋅−⋅+
+
⋅+⋅+
+
+
−
+
−
=
=−⋅−−⋅+=
=−⋅
+−⋅
+−⋅
==
α
100
8
c
2
c
8
c
2
c
10
8
cabab
2
b
8
cabaa
2
a
8
)ba(
2
ba
1
EQ
8
1
EQ
2
1
E
EQ
22
1
EQ
12
1
EQ
02
1
QQ
22
222
21
210
2,
2
1m,
Wie be ach en zwei Fälle:
5,
0
c
,1
b
,
0
a=
==
:
==
α
100
28125,071875,00
625,00375,0
QQ 2,
2
1m,
5,
0c
,0b
,1
a=
==
:
−
==
α
100
28125,071875,
00
0625,06875,0375,0
QQ 2,
2
1m,
Im e s en Fall is
Q
2,
2
1
eine s ochas ische Ma ix, im zwei en Fall nich .
Somi is selbs bei s ochas ischen Ma izen, die als obe e D eiecksma izen gegeben
sind, nich gewäh leis e , dass
Q
m
,α
eine s ochas ische Ma ix is . Da dies abe zu
de Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke en no wendig is , wi d spä e u.a.
o ausgese z , dass
Q
m,α
eine s ochas ische Ma ix is .
Se z man die s ochas ische Ma ix
Q
und die Einhei sma ix
E
in die Taylo eihe
ein, so e gib sich o mal de Ausd uck
( )
∑
∞
=
∞
α
−⋅
α
=
0u
u
,
EQ
u
:Q
,
( )
1,0∈α
.
Die Ein äge de Ma ix
Q
,∞
α
we den mi
ij,q
∞α
bezeichne . Es s ell sich dann di ek
die F age nach de Kon e genz de Reihe bezogen au die Ein äge in den Ma izen.
Die olgenden Beispiele zeigen, dass die Kon e genz nich imme gegeben is .
Beispiele: Es sei
()
1
,0∈α
.
a) Fü
EQ =
is die Kon e genz i ial, da
( )
u
EQ −
ü
1u ≥
die Nullma ix is .
b) Es sei
−
=10
qq1
Q
mi
1q0 ≤≤
. Dann gil ü
INu∈
- 14 -
Beme kung:
Es sei
INm∈
. Analog zu De ini ion de Ma ix
Q
m,
α
mi
( )
1,0∈α
läss sich auch
hie die Ma ix
Q
m
,α
mi
( )
0,1−∈α
du ch
( )
∑
=
α−
⋅
α
=m
0u
u
m, EQ
u
:Q
de inie en. Alle dings gel en die analogen Aussagen zu Sa z 2 in diesem Fall nich ,
wie das olgende ein ache Beispiel zeig .
Es seien
1
m=
und
)1,0(∈α
. Es gil :
( ) ( )
,E)EQ(E
)EQ()EQ()EQ(E)EQ(E)EQ(EQ Q
22
22
1,1,
≠−⋅α−=
=−⋅α−−⋅α+−⋅α−=−⋅α+⋅−⋅α−=⋅αα−
so e n
2
)E
Q( −
nich die Nullma ix is . Somi is
Q
m
,
α−
im Allgemeinen nich die
in e se Ma ix zu
Q
m,
α
.
- 15 -
4. Kons uk ions o ausse zungen
Es seien
INT∈
und
{ }
∞∪∈INm
es . Dabei s eh
T
ü die Anzahl de
un e jäh liche Zei punk e des im nächs en Kapi el einge üh en Modells. Ein
endliches
m
bedeu e , dass die im le z en Kapi el einge üh e
m
- e Pa ialsumme
zu Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke en e wende wi d. Im Falle
∞=m
wi d die Po enz eihe zug unde geleg . Fü beide Ansä ze we den die
Vo ausse zungen wie olg o mulie we den:
(B1)
) (Q
m
,α
is ü alle
IN ∈
und alle
−
∈α T
1T
,,
T
2
,
T
1
eine in e ie ba e
s ochas ische Ma ix.
(B2)
( )
) (Q) (Q
m,
1
m, α
−
β
⋅
is ü alle
IN ∈
und alle
−
∈βα T
1T
,,
T
2
,
T
1
,
mi
10 <α<β<
eine s ochas ische Ma ix.
Bishe wu de
) (Q
m,α
gemäß dem o he igen Kapi el lediglich ü
)1,
0(∈
α
de inie .
Benö ig we den die Ma izen abe auch ü
0
=α
und
1
=α
. Se z man
E
:) (
Q
m
,0
=
,
so sind i iale weise (B1) ü
0
=
α
und (B2) ü
0=β
e üll . Fe ne wi d (B2) du ch
die Se zung
) (Q:) (Q
m,1
=
ausgewei e . Insgesam we den die Vo ausse zungen wie
olg modi izie :
(B1)
) (
Q
m,α
is ü alle
IN ∈
und alle
−
∈α T
1T
,,
T
2
,
T
1
,0
eine in e ie ba e
s ochas ische Ma ix.
(B2)
( )
) (Q) (Q
m,
1
m, α
−
β
⋅
is ü alle
IN ∈
und alle
−
∈
βα T
T
,
T
1T
,
,
T
2
,
T
1
,0
,
mi
1
0≤α<β≤
eine s ochas ische Ma ix.
- 16 -
5. Kons uk ion des un e jäh lichen Modells
Es seien
INT∈
und
{ }
∞∪∈INm
. Dabei gib de Pa ame e
m
o , ob die un e -
jäh lichen Übe gangsma izen au Basis de
m
- en Pa ialsumme ode im Fall
∞=m
au Basis de Po enz eihe angese z we den. De Pa ame e
T
gib die Anzahl de
un e jäh lichen äquidis an en Zei punk e an. Die Kons uk ions o ausse zungen (B1)
und (B2) seien e üll . Die Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke e e olg mi
Sa z 4 aus ([9]). Danach is aus eichend, ein Sys em on un e jäh lichen
Übe gangsma izen zu de inie en, so dass das P oduk de un e jäh lichen
Übe gangsma izen die jeweilige jäh liche Übe gangsma ix e gib . De Beweis ü
dieses Kons uk ionsp inzip basie au dem Sa z on Kolmogo o ([3] S.257 ).
Vo gegeben sei ein äquidis an es un e jäh liches Zei as e :
T
2
2,
T
1
2,
T
0
2
2,
T
1T
1
,
T
2
1
,
T
1
1
,
T
0
1
1,
T
1
T
,,
T
2
,
T
1
,
T
0
0+++=
−
++
++
=
−
=
Die Menge de Zei punk läss sich wie olg pa ame isie en:
==
−
+
−
,
2
,1
;
T,
1s
T
1
s
1
De inie e in Anlehnung an die No a ion on [9] Sa z 4 ü
T,,
2,1
s=
und
,2,1 =
die olgenden Übe gangsma izen:
) (Q) (Q:)m,T, ,s(R m,
T
s
1
m,
T
1s ⋅
=
−
−
Dann gil ü alle
,2,1 =
:
) (Q) (QE) (Q) (Q) (Q) (Q)m,T, ,s(R
1
m,
T
T
1
m,
T
0
T
1s m,
T
s
1
m,
T
1s
T
1s
=⋅=⋅
=⋅
=
−
−
=
−
−
=
∏∏
Somi exis ie eine un e jäh liche Ma ko -Ke e
,Y,Y,Y,,Y,Y,Y,,Y,Y,Y T
1
2
2
T
)1T(
1
T
1
1
1
T
)1T(
T
2
T
10 +
−
+
+
−
mi de An angs e eilung
0
P
und den un e jäh lichen Übe gangsma izen
( )
( )
m,T, ,s )m,T, ,s(R
j,i
=
, d.h.
)m,
T, ,s( lYk
YP k,l
T
1
T
s
1
T
s
1 =
==
−+−
+−
ü alle
{ }
N,...,2,1,0k,l ∈
,
T,,2,1
s=
und
,2,1 =
.
- 17 -
6. Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en
Es seien wie im le z en Kapi el
INT∈
und
{ }
∞∪∈INm
. Gegeben sei e ne die im
le z en Kapi el kons uie e un e jäh liche Ma ko -Ke e
T,1,s , ,...2,1
T
)1s(
1
Y
==
−
+−
. Fü
diesen s ochas ischen P ozess wi d nun du ch die Spal en ek o en
N,...,2,1,0j
j,
T
)1s(
1
T
)1s(
1
LL
=
−
+−
−
+−
=
,
,...2,1 =
,
T,...,2,1s =
,
eine Bewe ung de inie , d.h. jede Kombina ion aus Zus and
N,,2,1,0j =
und
Zei punk
T
)1s(
1 −
+−
,
,...
2
,1
=
,
T,...,2,1s =
, wi d eine eelle Zahl zugeo dne . De
s ochas ische P ozess
T,1,s , ,...2,1
T
)1s(
1
Y
==
−
+−
wi d dann als bewe e e inhomogene
Ma ko -Ke e bezeichne .
De Ba we de Bewe ung ü die e s en
n
Jah e, wi d du ch
∑∑∑
==
−
+−
−
=
=⋅−⋅⋅=
−
+−
n
1
T
1s j,
T
)1s(
1
1
N
0j jY
0L)1s( 1:)n,T(B
T
)1s(
1
de inie .
Dabei sei
de Diskon ie ungs ak o ü ein Jah gegeben du ch
1
1
+
=
und
0 >
de zei lich kons an e Rechnungszins p o Jah . Fe ne sei
)1s( −
de
Diskon ie ungs ak o ü das un e jäh liche In e all
−
+T
1s
,
. Fü den un e jäh -
lichen Diskon ie ungs ak o gib es die un e schiedlichs en Ansä ze. Die beiden
Geb äuchlichs en sind die linea e Ve zinsung, d.h.
T
1s
1
1
)
s(
⋅
−
+
=
,
und die exponen ielle Ve zinsung, d.h.
T
1s
) 1(
1
)s( −
+
=
.
De linea e Ansa z üh in Kombina ion mi de jäh lichen Ve zinsung mi Zinseszins
zu ela i gemisch en Ve zinsung, de exponen ielle Ansa z zu kon o men
Ve zinsung ( gl. [1]).
- 18 -
Wi be ach en nun die cha ak e is ische Funk ion de Zu alls a iable
)n,T(B
0
und
üh en da ü die olgende No a ion ein:
( )
( )( )
IRx , )n,T(BxiexpE:m,n,T,x
0
∈⋅⋅=ϕ
Dabei sei
1i −=
die imaginä e Einhei . Es gil de olgende Haup sa z:
Haup sa z:
Die Ma ix
)x,1 ,1s(V −−
sei ü
,2,1 =
,
T,,1s =
und
IRx∈
de inie als
(N+1)x(N+1)-Diagonalma ix mi den Diagonalelemen en
⋅−⋅⋅⋅
−
+−
−
j,
T
)1s(
1
1
L)1s( xiexp
,
N,
,2
,
1,
0j
=
.
Dann gil ü alle
IRx∈
,
INn∈
,
INT∈
und
{ }
∞∪∈INm
:
( )
( )( )
( )
( )
)x,1n,1T(V)m,T,n,s(R)x,1n,1s(V
)m,T, ,s(R)x,1 ,1s(V P
)n,T(BxiexpEm,n,T,x
j
N
0j 1T
1s
1n
1
T
1s
0
0
∑∏
∏ ∏
=−
=
−
= =
−−⋅⋅−−
⋅⋅−−⋅
=⋅⋅=ϕ
Dabei sind die un e jäh lichen Übe gangsma izen gemäß le z em Kapi el gegeben
du ch
)
(Q)
(Q
)
m
,
T,
,
s
(R
m
,
T
s
1
m,
T
1s
⋅
=
−
−
.
Fü den Beweis wi d das olgende elemen a e E gebnis de Ma izen echnung
benö ig .
Hil ssa z:
Es seien gegeben die (N+1)x(N+1)-Ma izen
( )
}N,...,1,0{k,j
jk ) (a) (A ∈
=
,
,3,2,1 =
und de Vek o
( )
N10
zzzz =
.
Fü
{ }
,3,2n∈
gil :
∑ ∏∏ =
−
=
−
=
−
+
⋅=
⋅N
0l,,l
1n
1 lll
l
1n
1
1n1
1kk1
n
) (az) (Az
.
Beweis: Induk ion nach
n
- 19 -
:2n =
()
()
∑∏ =
−
=
⋅=
⋅=
⋅
=
⋅N
0l ll
l
l
NN
0N
N000
N10
l
l
12
1
1
2
11
1
2
2
)1
(a
z
)
1
(a
)
1(
a
)1(a
)1
(a
zz
z
)1
(
Az
)
(
Az
:1nn +→
⋅⋅=+⋅⋅=
=+⋅
⋅=
⋅⋅=
⋅
∑ ∏∑ ∑ ∏
∑ ∏∏∏
= == =
−
=
=
−
=
−
==
−
++
−
+
+
++
N
0l,l,,l
n
1 lll
N
0l ll
N
0l,,l
1n
1 lll
N
0l ll
l
1n
1
l
1n
1
l
n
1
n1n1
1kk1
n
1nn
1n1
1kk1
n
1nn
n1n1n
) (az)1n(a) (az
)1n(a) (Az)n(A) (Az) (Az
□
Beweis des Haup sa zes:
Im Fall
1Tn =⋅
, d.h.
1n =
und
1T =
, is die Behaup ung i iale weise e üll . Es sei
also
1Tn >⋅
. Zunächs wi d die Menge ele an en un e jäh lichen Zei punk e
du chnumme ie , d.h. wi be ach en s a de Pa ame isie ung
==
−
+− T,1
s;n,
,2,
1
T
1s
1
als Menge de Zei punk e
{}
Tn
,1T
n,
,2
,1 ⋅
−⋅
.
Gib man den Zei punk in de du chnumme ie en Va ian e an, so läss sich wie olg
die pa ame isie e Da s ellung be echnen:
Es sei
{ }
Tn,1Tn,,2,1k ⋅−⋅∈
, dann en sp ich dies
T
1)k(s
1
)k(
−
+−
mi
1
T
1k
)k
(
+
−
=
und
1
T
T
1k
T
1
k
)k(s +⋅
−
−
−
=
.
Dami we den olgende No a ionen einge üh :
( )
T
1)k(s
1)k(
k
Y:Z
−
+−
=
(Ma ko -Ke e)
)m,T),k( ),k(s(R:
)k(Q
~=
(Übe gangswah scheinlichkei en)
( )
T
1)k(s
1)k(
k
L:L
~
−
+−
=
(Bewe ung)
)1)k(s( :)k(w 1)k( −⋅= −
(Abzinsungs ak o en)
)x,1)k( ,1)k(s(V:)x,k
(V
~−−=
- 20 -
()
()
()
{ }
()
()
()
()()
()
()
( )
()
( )
()
)x,
1n,
1T(
V)m,
T,n
,s(R
)x,
1n,
1s(V
)
m,
T,
,s
(R
)x,1
,
1s(
V
P
)x
,T
n(
V
~
)k
(Q
~
)
x,
k(
V
~
P
)
x,
T
n
(
V
~
)k
(
Q
~
)
x
,k
(
V
~
P
)
x,
Tn
(
V
~
)
k
(
Q
~
)x
,
k(
V
~
P
)
x,
Tn
(
V
~
)
k
(
Q
~
)
x
,
k
(
V
~
P
L
~
)
T
n
(
w
x
iexp
)
k
(
q
~
L
~
)
k
(
w
x
i
exp
P
)k
(
q
~
PL
~
)k
(w
x
iexp
l
Z,
,
lZ
,l
Z
PL
~
)
k
(w
x
iexp
L
~
)
k
(
w1
xi
exp
E
L
)
1
s
(
1x
iexp
E
)
n,
T(
B
xi
exp
E:
m,
n
,T
,x
Tn
l
Tn
T
nT
n
T
n
Tn
Tn
Tn
T
n
T
n
T
n
1
T
n2
1
1
kk
1
T
n
Tn
T
n
2
1
1k
k
1
T
n
T
n
2
1
1
k
k
k
1
1
k
k1
T
n2
1
k
T
n2
1
k
k
T
)
1s
(
1
N
0l 1T
1
s
1
n
1
T
1s
0
N
0l l
1
Tn
1k
0
N
0
lll
l
1
T
n
1
k
0
N
0
ll
l
N
0
l,
,
l,
l
1
T
n
1
kll
l
,
0
l
l
N
0
l
,
,
l
,
l
1T
n
1
kl
l
l
,
0
l
,
T
n
N
0
l
,
,
l
,
l
1
T
n
1
kl
l
l
,
k
l,
0
1T
n
1k ll
l
,0
N
0l
,,
l
,l
Tn
1
kl
,k
N
0
l,
,
l,
lT
n
Tn
22
1
1
Tn
1k l,
k
Tn
1
kj,
k
N
0j j
Z
n
1
T
1
sj,
T
)
1
s(
1
1
N
0
jj
Y
0
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
−
+
−
∑∏
∏∏
∑∏
∑ ∏
∑ ∑ ∏
∑∏
∑∏
∏
∑∏
∑∑
∑∑
∑∑∑
=−
=
−
= =
=
−⋅
=
=
−
⋅
=
= =
−
⋅
=
=
−⋅
=
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
==
=
==
−
+−
−
=
=
−
−⋅⋅−
−
⋅⋅−
−⋅
=
=
⋅
⋅⋅
⋅=
=
⋅
⋅
⋅⋅
=
=⋅
⋅
⋅
⋅=
=
⋅⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=⋅
⋅
⋅⋅
⋅=
=
=
=
=⋅
⋅
⋅
⋅=
=
⋅
⋅⋅
⋅=
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅⋅
=
=
⋅⋅
=ϕ
□
- 21 -
Mi hil e des Haup sa zes lassen sich Folge ungen ü die momen ene zeugende
Funk ion und den E wa ungswe de besch änk en Zu alls a iablen
)n,T(B
0
o mulie en.
Folge ung 1:
Es sei seien
IRu∈
,
INn∈
,
INT∈
und
{ }
∞∪∈INm
. Fü die momen ene zeugende
Funk ion de Zu alls a iablen
)n,T(B0
gil mi den No a ionen des Haup sa zes:
( )
( )( )
( )
( )
)ui,1n,1T(V)m,T,n,s(R)ui,1n,1s(V
)m,T, ,s(R)ui,1 ,1s(V P
)n,T(BuexpE:m,n,T,uM
j
N
0j 1T
1s
1n
1
T
1s
0
0
∑∏
∏ ∏
=−
=
−
= =
⋅−−−⋅⋅⋅−−−
⋅⋅⋅−−−⋅
=
⋅=
Beweis:
Wegen de Besch änk hei on
)
n,
T(
B
0
exis ie die Funk ion
)m
,
n,
T,
u
(M
ü alle
IRu∈
. De Beweis de Behaup ung e olg analog zum Beweis des Haup sa zes.
Wei e man den De ini ionsbe eich de cha ak e is ischen Funk ion au die komplexen
Zahlen aus, so olg die Behaup ung aus
() ( )
m,
n,T,uim,n,T,u
M⋅−ϕ=
.
□
Folge ung 2:
Es seien
IRu∈
,
IN
n∈
,
INT∈
und
{}
∞
∪∈INm
. Fü den E wa ungswe de
Zu alls a iablen
)n,T(B
0
gil :
( )
( )
L) (Q )k(QP)1
s( )n,
T(BE n
1
T
1s T
1s
1
m,
T
1s
1
1k
0
1-
0∑∑ ∏
= =
−
+−
−
−
=
⋅⋅⋅⋅−
⋅=
Beweis:
Mi den No a ionen aus dem Beweis des Haup sa zes gil :
( )
( )
∏∑ ∏ −⋅
==
⋅
=
+
⋅
⋅⋅⋅⋅= 1
Tn
1k lll,0
N
0l,,l,l
T
n
1k l,k
) (q
~
PL
~
)k(wuexpm,n,T,
uM
1kk1
Tn21
k
- 22 -
Dami olg :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∑∑ ∏
∑∑ ∏
∑∑ ∏∏∏
∑ ∏∑ ∑ ∏
∑ ∑ ∑ ∏∏
∑ ∑ ∑ ∏∏
∑ ∑ ∏∑ ∑∏
∑ ∏∑∏
= =
−
+−
−
−
=
−
= =
−
+−
−
−
−
=
−
= =
−
+−
−
=
−
=
−
=
−
⋅
=
−
=
⋅
= =
−
=
⋅
= = =
−⋅
=
−
=
⋅
= = =
−⋅
=
−
=
⋅
= =
−⋅
==
⋅
=
−⋅
=
==
⋅
=
⋅
=
−⋅
=
⋅⋅⋅⋅−⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅=
=⋅⋅⋅⋅−⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
=
⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=
′
=
+
⋅⋅
+
⋅+
++
⋅
+
⋅
+
⋅
+
n
1
T
1s T
1s
1
m,
T
1s
1
1k
0
1
n
1
T
1s T
1s
1
m,
T
1s
1
m,0
1
1k
0
1
n
1
T
1s T
1s
1
1s
1j
1
1k
1T
1j
0
1
Tn
1j j
1j
1k
0
Tn
1j
N
0l,,l,l l,j
1j
1k lll,0
Tn
1j
N
0l,,l,l
N
0l ll
1Tn
jk
l,j
1j
1k lll,0
Tn
1j
N
0l,,l,l
N
0l,,l
1Tn
jk lll,j
1j
1k lll,0
Tn
1j
N
0l,
,l,l
1Tn
1k lll,jl,0
N
0l,,l,l
Tn
1j l,j
1Tn
1k lll,0
N
0l,,l,l 0u
Tn
1k l,k
Tn
1j l,j
1Tn
1k lll,0
0
L) (Q )k(QP)1s(
L) (Q) (Q)k(QP)1s(
L)m,T, ,j(R)m,T,k,j(RP)1s(
L
~
)k(Q
~
P)j(w1L
~
)k(q
~
P)j(w
)k(Q
~
L
~
)k(q
~
P)j(w
)k(q
~
L
~
)k(q
~
P)j(w
)k(q
~
L
~
P)j(wL
~
)j(w)k(q
~
P
L
~
)k(wuexpL
~
)j(w)k(q
~
P
m,n,T,0M)n,T(BE
j21
j1kk1
j21 Tn Tnj
j1kk1
j21 Tn1j
1kkj1kk1
Tn21
1kkj1
Tn21
j1kk1
Tn21
kj1kk1
□
Beme kungen:
a) Du ch Ablei en de momen ene zeugende Funk ion können auch höhe e
Momen e be echne we den. Allgemein gil
( )
( )
( )
m,n,T,0M )n,T(BE
(k)
k
0
=
.
In konk e en Anwendungen können dahe mi hil e de nume ischen Ablei ung
höhe e Momen e EDV- echnisch be echne we den. Dies gil insbesonde e ü
die Va ianz bzw. die S anda dabweichung ([10], [11]).
- 23 -
b) Wähl man eine ande e als die hie o ges ell en un e jäh lichen Ve eilungen de
jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en, so müssen ü die Gül igkei des
Haup sa zes zum einen die P oduk e de un e jäh lichen Übe gangsma izen die
en sp echenden jäh lichen Übe gangsma izen e geben und zum ande en
Bedingungen analog zu (B1) und (B2) e üll sein.
- 30 -
9. Fazi
Geh man on eine jäh lichen inhomogenen Ma ko -Ke e aus, so e schein zu
De ini ion on un e jäh lichen Übe gangsma izen ein linea e Ansa z am
Ein achs en, d.h. die In e pola ion de jäh lichen Übe gangsma izen und de
Einhei sma ix. In de o liegenden A bei wi d gezeig , dass diese Me hodik
e allgemeine we den kann. Von zen ale Bedeu ung is dabei die Taylo eihe de
Po enz unk ion
α
→xx
ü
[ ]
1,0∈α
bzw. de en Pa ialsummen.
Du ch Einse zen de Übe gangsma izen in diese Taylo eihe bzw. diese
Pa ialsummen e geben sich wei e e Möglichkei en zu De ini ion un e jäh liche
Übe gangsma izen. De oben genann e Fall de linea en In e pola ion en sp ich
dann de Ve wendung de e s en Pa ialsumme, d.h. dem Fall dass de Pa ame e
m
den We
1
annimm .
In den beiden Beispielen zeig sich, dass de Fall
2m ≥
EDV- echnisch umgese z
we den kann, dass abe die wi scha liche Bedeu ung seh ge ing is . De Ba we
de Zahlungss öme e ände sich sowohl bei de Anwendung K edi aus all als auch
bei de Anwendung Be iebliche Al e s e so gung nu minimal.
- 31 -
Li e a u e zeichnis
[1]
A enbe g, Ju a
Finanzma hema ik, 3. Au lage, De G uy e Oldenbou g
Ve lag, Be lin 2015.
[2]
Fo s e ,O o
Analysis 1, 4. Au lage, F ied ich Vieweg & Sohn
Ve lagsgesellscha mbH, B aunschweig 1983.
[3]
Gänssle , Pe e ;
S u e, Win ied
Wah scheinlichkei s heo ie, Sp inge -Ve lag, Be lin
Heidelbe g New Yo k 1977.
[4]
Heubeck, Klaus
Rich a eln 2005G,Tex band und P og amm Heu ika
2,Ve lag: Heubeck-Rich a eln-GmbH, Köln 2005.
[5]
Heuse , Ha o
Leh buch de Analysis Teil 1, 7. Au lage, B. G. Teubne ,
S u ga 1990.
[6]
Knobloch, Ral
Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e
on Ma ko -Ke en, In: Fo schung am IVW Köln, Band
3/2011, Köln 2012, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-98
(S and 01. Augus 2017).
[7]
Knobloch, Ral
Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in
de be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -
Ke e, In: Fo schung am IVW Köln, Band 4/2011, Köln
2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-100
(S and 01. Augus 2017).
[8]
Knobloch, Ral
Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e
on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise, In:
Fo schung am IVW Köln, Band 6/2012, Köln
2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204
(S and 01. Augus 2017).
[9]
Knobloch, Ral
Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine
jäh lichen Ma ko -Ke e, In: Fo schung am IVW Köln,
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esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-816
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esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-3416
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(S and 01. Augus 2017).
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“.
Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese
Publika ion und kann
hie abge u en we den.
Fo schung am i w
Köln, 7/2017
ISSN (online) 2192
-8479
Ral Knobloch:
Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -
Ke e
- Eine Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes
Köln,
Ok obe 2017
Sch i lei ung /
edi o ’s o ice:
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha s
- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Technische Hochschule Köln /
Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann
-U e 54
50968 Köln
Tel.
+49 221 8275-3270
Fax +49 221 8275
-3277
Mail
jue gen.s obel@ h-koeln.de
Web www. h
-koeln.de
He ausgebe de Sch i en eihe /
Se ies
Edi o ship:
P o . D . Lu z Reime s
-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
Kon ak Au o / Con ac au ho :
P o . D . Ral Knobloch
S
chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en /
Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion
Fakul ä ü Wi scha s
- und Rech swissenscha en /
Facul y
o Business, Economics and Law
Technische Hochschule Köln /
Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann
-U e 54
50968 Köln
Mail al .knobloch@ h
-koeln.de
Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“
Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479)
we den übliche weise übe Cologne Open Science (Publika ionsse e de TH Köln) e ö en lich . Die
Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge,
Suchmaschinen sowie ande e Nachweisins umen e e schlossen.
Alle Publika ionen sind auch kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de.
2017
6/2017
Goecke, Oska (H sg.): Risiko und Resilienz. P oceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9.
Dezembe 2016 in Köln
5/2017
G undhö e ,
D euw, Quin , S egemann
: Bewe ungspo ale -
eine neue Quali ä de
Konsumen enin o ma ion?
4/2017
Heep-Al ine , Meh ing, Rohl s: Bewe ung des e ügba en Kapi als am Beispiel des Da enmodells
de „IVW P i a AG“
3/2017
Mülle -Pe e s, Völle : Insu Tech Ka e i wKöln 1/2017 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2017
Heep-Al ine , Mülle -Pe e s, Schimikowski, Schnu (H sg.): Big Da a ü Ve siche ungen. P oceedings
zum 21. Kölne Ve siche ungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln
1/2017
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2016
2016
13/2016
Völle : E olgs ak o en eines Online-Po als ü Akademike
12/2016
Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung
on All ags isiken in de Ö en lichkei (e schein 2017)
11/2016
Heep-Al ine , Penzel, Rohl s, Voßmann: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des
du chgängigen Da enmodells de „IVW Leben AG“
10/2016
Heep-Al ine (H sg.): Big Da a. P oceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium
am 10. Juni 2016 in Köln
9/2016
Ma e ne, Pü z, Engling: Die An o de ungen an die E eignisde ini ion des Rück e siche ungs e ags:
Eindeu igkei und Konsis enz mi dem zug undeliegenden Risiko
8/2016
Rohl s (H sg.): Quan i a i es Risikomanagemen . P oceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium
am 4. Dezembe 2015 in Köln
7/2016
E emuk, Heep-Al ine : In e nes Modell am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a
AG“
6/2016
Heep-Al ine , Rohl s, Dağoğlu, Pulido, Ven e : Be ich sp lich en und P ozessan o de ungen nach
Sol ency II
5/2016
Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans - Back es ing based on Ge man capi al ma ke da a
1955 - 2015
4/2016
Knobloch: Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle
3/2016
Völle (H sg.): Sozialisie du ch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundene wa ungen
und –
e ah ungen in de Asseku anz. P oceedings zum 20. Kölne Ve siche ungssymposium am 5.
No embe 2015 in Köln
2/2016
Ma e ne (H sg.): Jah esbe ich 2015 des Fo schungsschwe punk s Rück e siche ung
1/2016
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2015
2015
11/2015
Goecke (H sg.): Kapi alanlage isiken: Economic Scena io Gene a o und Liquidi ä smanagemen .
P oceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln
10/2015
Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen
Da enmodells de „IVW P i a AG“ – Teil 2
9/2015
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
8/2015
S obel (H sg.): Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7. FaRis & DAV
Symposium am 5.12.2014 in Köln
7/2015
Völle , Wunde : En e p ise 2.0: Konzep ion eines Wikis im Sinne des p ozesso ien ie en
Wissensmanagemen s
6/2015
Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen
Da enmodells de „IVW P i a AG‘‘
5/2015
Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen
4/2015
Heep-Al ine , Rohl s, Beie : E neue ba e Ene gien und ALM eines Ve siche ungsun e nehmens
3/2015
Dolgo : Calib a ion o Hes on's s ochas ic ola ili y model o an empi ical densi y using a gene ic
algo i hm
2/2015
Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen
1/2015
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014
2014
10/2014
Mülle -Pe e s, Völle (beide H sg.): Inno a ion in de Ve siche ungswi scha
9/2014
Knobloch: Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we
8/2014
Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel
eines ik i en S o nobes andes
7/2014
G undhö e , Rö ge , Sche e : Wozu noch Papie ? Eins ellungen on S udie enden zu E-Books
6/2014
Heep-Al ine , Be g (beide H sg.): Ka as ophenmodellie ung - Na u ka as ophen, Man Made Risiken,
Epidemien und meh . P oceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln
5/2014
Goecke (H sg.): Modell und Wi klichkei . P oceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6.
Dezembe 2013 in Köln
4/2014
Heep-Al ine , Hoos, K ah o s : Fai Value Bewe ung on zedie en Rese en
3/2014
Heep-Al ine , Hoos: Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu Rück e siche ungsop imie ung
2/2014
Zimme mann: F auen im Ve siche ungs e ieb. Was sagen die P i a kunden dazu?
1/2014
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2013
2013
11/2013
Heep-Al ine : Ve lus abso bie ung du ch la en e S eue n nach Sol ency II in de
Schaden e siche ung, N . 11/2013
10/2013
Mülle -Pe e s: Kunden e hal en im Umb uch? Neue In o ma ions- und Abschlusswege in de K z-
Ve siche ung, N . 10/2013
9/2013
Knobloch: Risikomanagemen in de be ieblichen Al e s e so gung. P oceedings zum 4. FaRis &
DAV-Symposium am 14. Juni 2013
8/2013
S obel (H sg.): Rechnungsg undlagen und P ämien in de Pe sonen- und Schaden e siche ung -
Ak uelle Ansä ze, Möglichkei en und G enzen. P oceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7.
Dezembe 2012
7/2013
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich -
Back es ing
6/2013
Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e
5/2013
Heep-Al ine e al. (H sg.): Value-Based-Managemen in Non-Li e Insu ance
4/2013
Heep-Al ine : Ve ein ach es Fo melwe k ü den MCEV ohne Renewals in de Schaden e siche ung
3/2013
Mülle -Pe e s: De e ne z e Au o ah e – Akzep anz und Akzep anzg enzen on eCall,
We ks a e ne zung und Meh we diens en im Au omobilbe eich
2/2013
Maie , Schimikowski (beide H sg.): P oceedings zum 6. Diskussions o um Ve siche ungs ech am
25. Sep embe 2012 an de FH Köln
1/2013
Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2012
2012
11/2012
Goecke (H sg.): Al e na i e Zinsga an ien in de Lebens e siche ung. P oceedings zum 2. FaRis &
DAV-Symposiums am 1. Juni 2012
10/2012
Kla , Schiegl: Quan i a i e Risikoanalyse und -bewe ung echnische Sys eme am Beispiel eines
medizinischen Ge ä es
9/2012
Mülle -Pe e s: Ve gleichspo ale und Ve b auche wünsche
8/2012
Füllg a , Völle : Social Media Rei eg admodell ü die deu sche Ve siche ungswi scha
7/2012
Völle : Die Social Media Ma ix - O ien ie ung ü die Ve siche ungsb anche
6/2012
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en bei
un e jäh liche Zahlweise
5/2012
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ions echnungen
4/2012
Gün he (H sg.): P i a e sus S aa - Schuss ah zu Zwangs e siche ung? Tagungsband zum 16.
Kölne Ve siche ungssymposium am 16. Ok obe 2011
3/2012
Heep-Al ine /K ause: De Embedded Value im Ve gleich zum ökonomischen Kapi al in de
Schaden e siche ung
2/2012
Heep-Al ine (H sg.): De MCEV in de Lebens- und Schaden e siche ung - geeigne ü die
Un e nehmenss eue ung ode nich ? P oceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011
in Köln
1/2012
Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2011
2011
5/2011
Reime s-Rawcli e: Eine Da s ellung on Rück e siche ungsp og ammen mi Anwendung au den
Komp essionse ek
4/2011
Knobloch: Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen
Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -Ke e
3/2011
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en
2/2011
Heep-Al ine : Pe o manceop imie ung des (B u o) Neugeschä s in de Schaden e siche ung
1/2011
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
