Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes

Fo schung am i wKöln Band 7/2017 Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes Ral Knobloch Fo schung am i wKöln, Band 7/2017 Ral Knobloch Fo schungss elle FaRis Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes Zusammen assung In de o liegenden A bei wi d ausgehend on eine jäh lichen inhomogenen Ma ko -Ke e eine un e jäh liche bewe e e inhomogene Ma ko -Ke e kons uie . Die Kons uk ion de un e jäh lichen Übe gangsma izen basie au de Taylo eihe de Po enz unk ion bzw. de en Pa ialsummen. Diese Ansa z is eine Ve allgemeine ung des Falls, dass die un e jäh lichen Übe gangsma izen du ch In e pola ion de jäh lichen Übe gangsma izen und de Einhei sma ix de inie we den. Anschließend lieg de Fokus de A bei au de Ve eilung de Zu alls a iablen „Ba we des Zahlungss oms“ bzw. au de zugehö igen cha ak e is ischen Funk ion, einem EDV- echnischen Ve ah en zu Be echnung de Momen e de Zu alls a iablen und dessen Anwendung in zwei Fallbeispielen. Abs ac In he p esen pape i will be shown how a p iced inhomogeneous Ma ko chain wi h pe iods less han a yea can be designed om a gi en inhomogeneous Ma ko chain wi h annual ime pe iods. The cons uc ion is based on he Taylo se ies and hei pa ial sums o he powe unc ion. This app oach is a gene aliza ion o he case, whe e he ansi ion ma ices a e gi en by linea in e pola io n o he yea ly ansi ion ma ices and he iden i y ma ix. A e wa ds we ocus on he dis ibu ion o he andom a iable “p esen alue o he cash - low” and on he associa ed cha ac e is ic unc ion, espec i ely, as well as an IT me hod o calcula in g he momen s o he andom a iable and i s applica ion o wo case s udies. Schlagwö e : Ma ko -Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Ba we , cha ak e is ische Funk ion Keywo ds : Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, P esen Value, Cha ac e is ic Func ion - 1 - Inhal s e zeichnis 1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................ 2 2. DAS JÄHRLICHE MODELL ............................................................................................................... 4 3. SPEZIELLE PARTIALSUMMEN UND REIHEN VON MATRIZEN ................................................. 5 4. KONSTRUKTIONSVORAUSSETZUNGEN .................................................................................... 15 5. KONSTRUKTION DES UNTERJÄHRLICHEN MODELLS ........................................................... 16 6. BEWERTETE INHOMOGENE MARKOV-KETTEN ....................................................................... 17 7. FALLBEISPIEL 1: KREDITAUSFALL ............................................................................................. 24 8. FALLBEISPIEL 2: BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ..................................................... 27 9. FAZIT .................................................................................................................................................. 30 LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................................................... 31 - 2 - 1. Einlei ung S ochas ische P ozesse haben in den Wi scha swissenscha en die iel äl igs en Anwendungen. Sie we den zu Modellie ung sowohl bei klassischen be iebswi scha lichen Sach e hal en als auch bei speziellen F ages ellungen in den Be eichen Insu ance und Finance eingese z . Eine de wich igs en Modellklasse bilden die Ma ko -Ke en, d.h. gedäch nislose s ochas ische P ozesse mi disk e em Zus ands aum. Die Zei achse de Ma ko -Ke en kann dabei en wede disk e ode s e ig modellie we den. Bezüglich de zei lichen Dynamik we den in den Wi scha swissenscha en sowohl homogene als auch inhomogene Modelle eingese z . Als Beispiele ü die Anwendung on Ma ko -Ke en bei klassischen be iebswi scha lichen F ages ellungen seien hie die Themen Wa eschlangen- sys eme, Lage hal ung und (Ma ko sche) En scheidungsp ozesse genann ( gl. [14]). In de Pe sonen e siche ungsma hema ik we den Ma ko -Ke en zu Kalkula ion on Ba we en, Rese en und P ämien e wende ( gl. [12], [13], [6], [7], [8], [10], [11]). Die in den Wi scha swissenscha en e wende en Modelle basie en o au jäh lichen Beobach ungen und we den dahe i.d.R. zunächs als s ochas ische P ozesse in disk e e Zei modellie , bei denen de Abs and zwischen zwei Zei punk en als ein Jah in e p e ie wi d. Die Modelle we den anschließend e eine und bei un e jäh lichen F ages ellungen angewende . Ein Beispiel da ü is die Modellie ung on Zahlungss ömen in de Finanz- und in de Ve siche ungs- ma hema ik. Die Zahlungen im Kon ex on Banken und Ve siche ungen e olgen in de P axis, z.B. bei Ren enzahlungen ode bei de Tilgung eines K edi s, meis un e jäh lich (z.B. mona lich ode qua alsweise). Bei de Anwendung au un e jäh liche F ages ellungen is es wich ig, wie die u sp ünglich jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en au das Jah e eil we den. Sei z.B. Q die Übe gangsma ix des - en Jah es und [ ] α +−− 1 ,1 mi ( ) 1,0∈α ein zum Jah esan ang beginnendes Teilin e all des - en Jah es, so wä e – in Analogie zu den Zinsmodellen de Finanzma hema ik – die Po enz α Q ein sinn olle Ansa z ü die Ma ix de Übe gangswah scheinlichkei en dieses Teilin e alls. Diese Po enz kann abe nu in Sonde ällen de inie we den. Und selbs in ein achen Fällen, in denen α Q de inie we den kann, is nich gewäh leis e , dass es sich dann um eine s ochas ische Ma ix handel . So exis ie zwa ü s ochas ische Ma izen mi de O dnung 3x3 , die zugleich obe e D eiecksma izen sind, die Wu zel (d.h. die Po enz mi 5,0 =α ), diese muss abe keine s ochas ische Ma ix sein ( gl. [9]). Eine ande e Möglichkei bes eh da in, die Übe gangswah scheinlichkei en linea übe das Jah zu e eilen, d.h. die Übe gangsma ix des In e alls [ ] α+−− 1 , 1 du ch In e pola ion de jäh lichen Übe gangsma ix und de Einhei sma ix anzuse zen ( gl. [11]). - 3 - Die in dem o liegenden A ikel gewähl e Me hode zu Ve eilung basie ü ( ) 1,0∈α au de Taylo en wicklung de eellwe igen Funk ion α →xx an de S elle 1x 0 = . Die Übe gangsma ix ü das In e all [ ] α+− −1 ,1 wi d du ch das Einse zen de jäh lichen Übe gangsma ix in die Taylo eihe bzw. al e na i in die m - e Pa ialsumme de inie . Es zeig sich, dass die Ve wendung de 1 - en Pa ialsumme de oben besch iebenen linea en Ve eilung de Übe gangswah scheinlichkei en en sp ich . Bei de hie da ges ell en Vo gehensweise muss abe – insbesonde e bei de Ve wendung de Taylo en wicklung – nachgewiesen ode o ausgese z we den, dass es sich dann bei den E gebnissen um s ochas ische Ma izen handel . Die so kons uie e un e jäh liche Ma ko -Ke e wi d im zwei en Teil des A ikels mi eine Bewe ung e sehen, d.h. zu jedem Zei punk wi d in Abhängigkei des jeweiligen Zus ands eine Leis ung de inie . Im Mi elpunk des In e esses s eh anschließend de Ba we diese Bewe ung bezogen au ein endliches Zei in e all. Somi be inde man sich z.B. im Kon ex de klassischen inanzma hema ischen Au gabens ellung „Be echnung des Ba we s eines endlichen Zahlungss oms“. Da de Ba we hie als Zu alls a iable im Sinne de Wah scheinlichkei s heo ie angese z wi d, s ell sich die F age nach de Ve eilung. Es is zwa nich möglich, die Ve eilungs unk ion da zus ellen, es kann abe eine Fo mel ü die cha ak e is ische Funk ion he gelei e we den. Gemäß Eindeu igkei ssa z is dies als E gebnis gleichwe ig, da die cha ak e is ische Funk ion eine Zu alls a iablen de en Ve eilung eindeu ig es leg ( gl. [3]). Das hie o ges ell e Modell wi d in de Li e a u auch als bewe e e Ma ko -Ke e bezeichne . Es ha in den Wi scha swissenscha en eine Vielzahl on Anwendungen. Beispielsweise wi d es bei Lage hal ungsmodellen eingese z , dabei s eh die Bewe ung ü die mi de Lage hal ung e bundenen Kos en (Bes ellkos en, Lage kos en und Fehlmengenkos en). In ande en ökonomischen Anwendungen modellie die Bewe ung zus andsabhängige Gewinne ( gl. [14] S.45 ). In de Finanz- und Ve siche ungsma hema ik we den bewe e e Ma ko -Ke en zu Modellie ung isikobeha e e Zahlungss öme e wende . Analog zu cha ak e is ischen Funk ion kann auch eine Fo mel ü die momen ene zeugende Funk ion des Ba we s de Bewe ung he gelei e we den. Mi hil e de Di e en ial echnung können aus de momen ene zeugenden Funk ion die höhe en Momen e diese Zu alls a iablen be echne we den. Zum Abschluss dieses A ikels we den dahe in zwei Fallbeispielen bei den un e schiedlichen un e jäh lichen Ve eilungen die Momen e „E wa ungswe “ und „S anda dab- weichung“ analysie bzw. e glichen. - 4 - 2. Das jäh liche Modell Gegeben sei eine Ma ko -Ke e ( ) ,... 2 ,1 ,0 X= mi dem endlichen Zus ands aum }N,...,2,1,0{S = . Dabei s eh de Zei punk ü den Beginn des )1 ( + - en Jah es bzw. die Zu alls a iable X ü den Zus and zu Beginn des )1 ( + - en Jah es, ,...2, 1 ,0 = . Die Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk 1 − zum Zei punk seien gegeben du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix ( ) S k,j jk ) (q) (Q ∈ = , d.h. ,...2,1 ,Sk,j ),jX|kX(P:) (q 1 jk =∈=== − ( gl. [6]). Da die Übe gangsma izen explizi on dem Zei pa ame e abhängen, heiß die Ma ko -Ke e inhomogen ( gl. [12] S.16 , [14] S.11). Die Ve eilung de Zu alls a iablen X , ,...2 ,1 , 0 = , sei gegeben du ch den Zeilen ek o ( ) S j j , PP ∈ = , d.h. Sj ,P)jX( Pj, ∈== . Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass 0 P o gegeben is und alle Wah scheinlichkei en, Ve eilungen und Momen e gegeben diese An angs e eilung be echne we den. Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü Ma ko -Ke en ( gl. [12] S.14) e gib sich ü ,...2,1,0 = ∏ = ⋅= 1s 0 )s(QPP ( gl. [6]). - 5 - 3. Spezielle Pa ialsummen und Reihen on Ma izen Im Ve lau des A ikels we den basie end au dem jäh lichen Modell – wie in de Ein üh ung ausge üh – un e jäh liche Ma ko -Ke en kons uie . Von en - scheidende Bedeu ung is dabei die Ve eilung de jäh lichen Übe gangswah - scheinlichkei en au das Jah . Mi Blick au die Po enz α Q , ( ) 1,0∈α , eine s ochas ischen Ma ix Q we den die un e jäh lichen Übe gangsma izen – analog zu Neumannschen Reihe – übe eine Reihe bzw. übe eine endliche Summe de inie . Wi be ach en zunächs ü ( ) 1,0∈α die Taylo eihe de eellwe igen Funk ion IRx,x)x( ∈= α an de S elle 1x 0 = . Diese e gib sich mi ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∏∑ ∞ = ∞ = − = ∞ = −⋅        α =−⋅−α⋅=− ⋅ 0u u 0u u 1u 0 0u u )u( 1x u 1x !u 1 1x !u )1( , dabei is ∏ = +−α =        α u 1 1 : u de e allgemeine e Binomialkoe izien . Fü 2x0 ≤≤ gil ( ) α ∞ = =− ⋅        α ∑ x 1x u 0u u . In den Fällen 2x > und 0x < di e gie die Reihe. Beides olg aus dem Kon e genz e hal en de Binomial eihe ( gl. [5] S.382 ). Se z man q1 x−= , so e häl man insbesonde e ü 1q0 ≤≤ die Gleichung ( ) α ∞ = − =−⋅        α ∑)q1( q u 0 u u . Fü 1 q0 < ≤ is die Kon e genz absolu , dies e gib sich du ch Anwendung des Quo ien enk i e iums ü Reihen ( gl. [5] S.205 ). Im Folgenden sei Q eine s ochas ische Ma ix und E die Einhei sma ix. Beide Ma izen seien on de O dnung (N+1)x(N+1). Dabei we den die Zeilen und Spal en de beiden Ma izen in Anlehnung an den Zus ands aum des jäh lichen Modells mi N,,1,0  du chnumme ie . Zunächs se zen wi die beiden Ma izen in die m - e Pa ialsumme de Taylo eihe ein und e hal en die Ma ix ( ) ∑ = α−⋅        α =m 0u u m, EQ u :Q , ( ) 1,0∈α , INm∈ . - 6 - Die Ein äge de Ma ix Q m,α we den mi ij m, q α bezeichne . Beispiele: a) Es sei () 1 ,0 ∈ α und 1 m= . Es gil ( ) ( ) ( ) E)1(QEQEEQ 1 EQ 0 QQ 10 1,m, ⋅α−+⋅α=−⋅α+=−⋅        α +−⋅        α ==αα , d.h. Q und E we den linea in e polie . Da Q und E beides s ochas ische Ma izen sind, ha auch Q 1,α keine nega i en Ein äge. Fü die Zeilensumme de i - en Zeile e gib sich ( ) 1e)1(qe)1(qq N 0j ij N 0j ij N 0j ijij N 0j ijm, =⋅α−+⋅α=⋅α−+⋅α= ∑∑∑∑ ==== α . Somi is Q 1,α imme eine s ochas ische Ma ix. b) Es sei 2N = , d.h. be ach en 3x3-Ma izen. Fe ne 2 1 =α und 2m = . Die s ochas ische Ma ix Q sei gegeben du ch           − −− = 10 0 c c1 0 ba ba 1 Q mi ]1 , 0 [ c , b,a ∈ und 1b a≤+ . Somi e gib sich () ( ) ( )           − ⋅+⋅−−⋅ −⋅−− + =−           − −− =− =− 0 00 cc0 ca ba bca baa)b a ( E Q 000 cc 0 ba ba EQ EEQ 22 222 2 1 0 und man e häl - 7 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   +−− ⋅−⋅+ + ⋅+⋅+ + + − + − = =−⋅−−⋅+= =−⋅         +−⋅         +−⋅         == α 100 8 c 2 c 8 c 2 c 10 8 cabab 2 b 8 cabaa 2 a 8 )ba( 2 ba 1 EQ 8 1 EQ 2 1 E EQ 22 1 EQ 12 1 EQ 02 1 QQ 22 222 21 210 2, 2 1m, Wie be ach en zwei Fälle: 5, 0 c ,1 b , 0 a= == :           == α 100 28125,071875,00 625,00375,0 QQ 2, 2 1m, 5, 0c ,0b ,1 a= == :          − == α 100 28125,071875, 00 0625,06875,0375,0 QQ 2, 2 1m, Im e s en Fall is Q 2, 2 1 eine s ochas ische Ma ix, im zwei en Fall nich . Somi is selbs bei s ochas ischen Ma izen, die als obe e D eiecksma izen gegeben sind, nich gewäh leis e , dass Q m ,α eine s ochas ische Ma ix is . Da dies abe zu de Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke en no wendig is , wi d spä e u.a. o ausgese z , dass Q m,α eine s ochas ische Ma ix is . Se z man die s ochas ische Ma ix Q und die Einhei sma ix E in die Taylo eihe ein, so e gib sich o mal de Ausd uck ( ) ∑ ∞ = ∞ α −⋅        α = 0u u , EQ u :Q , ( ) 1,0∈α . Die Ein äge de Ma ix Q ,∞ α we den mi ij,q ∞α bezeichne . Es s ell sich dann di ek die F age nach de Kon e genz de Reihe bezogen au die Ein äge in den Ma izen. Die olgenden Beispiele zeigen, dass die Kon e genz nich imme gegeben is . Beispiele: Es sei () 1 ,0∈α . a) Fü EQ = is die Kon e genz i ial, da ( ) u EQ − ü 1u ≥ die Nullma ix is . b) Es sei        − =10 qq1 Q mi 1q0 ≤≤ . Dann gil ü INu∈ - 14 - Beme kung: Es sei INm∈ . Analog zu De ini ion de Ma ix Q m, α mi ( ) 1,0∈α läss sich auch hie die Ma ix Q m ,α mi ( ) 0,1−∈α du ch ( ) ∑ = α− ⋅        α =m 0u u m, EQ u :Q de inie en. Alle dings gel en die analogen Aussagen zu Sa z 2 in diesem Fall nich , wie das olgende ein ache Beispiel zeig . Es seien 1 m= und )1,0(∈α . Es gil : ( ) ( ) ,E)EQ(E )EQ()EQ()EQ(E)EQ(E)EQ(EQ Q 22 22 1,1, ≠−⋅α−= =−⋅α−−⋅α+−⋅α−=−⋅α+⋅−⋅α−=⋅αα− so e n 2 )E Q( − nich die Nullma ix is . Somi is Q m , α− im Allgemeinen nich die in e se Ma ix zu Q m, α . - 15 - 4. Kons uk ions o ausse zungen Es seien INT∈ und { } ∞∪∈INm es . Dabei s eh T ü die Anzahl de un e jäh liche Zei punk e des im nächs en Kapi el einge üh en Modells. Ein endliches m bedeu e , dass die im le z en Kapi el einge üh e m - e Pa ialsumme zu Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke en e wende wi d. Im Falle ∞=m wi d die Po enz eihe zug unde geleg . Fü beide Ansä ze we den die Vo ausse zungen wie olg o mulie we den: (B1) ) (Q m ,α is ü alle IN ∈ und alle      − ∈α T 1T ,, T 2 , T 1 eine in e ie ba e s ochas ische Ma ix. (B2) ( ) ) (Q) (Q m, 1 m, α − β ⋅ is ü alle IN ∈ und alle      − ∈βα T 1T ,, T 2 , T 1 , mi 10 <α<β< eine s ochas ische Ma ix. Bishe wu de ) (Q m,α gemäß dem o he igen Kapi el lediglich ü )1, 0(∈ α de inie . Benö ig we den die Ma izen abe auch ü 0 =α und 1 =α . Se z man E :) ( Q m ,0 = , so sind i iale weise (B1) ü 0 = α und (B2) ü 0=β e üll . Fe ne wi d (B2) du ch die Se zung ) (Q:) (Q m,1 = ausgewei e . Insgesam we den die Vo ausse zungen wie olg modi izie : (B1) ) ( Q m,α is ü alle IN ∈ und alle      − ∈α T 1T ,, T 2 , T 1 ,0  eine in e ie ba e s ochas ische Ma ix. (B2) ( ) ) (Q) (Q m, 1 m, α − β ⋅ is ü alle IN ∈ und alle      − ∈ βα T T , T 1T , , T 2 , T 1 ,0 , mi 1 0≤α<β≤ eine s ochas ische Ma ix. - 16 - 5. Kons uk ion des un e jäh lichen Modells Es seien INT∈ und { } ∞∪∈INm . Dabei gib de Pa ame e m o , ob die un e - jäh lichen Übe gangsma izen au Basis de m - en Pa ialsumme ode im Fall ∞=m au Basis de Po enz eihe angese z we den. De Pa ame e T gib die Anzahl de un e jäh lichen äquidis an en Zei punk e an. Die Kons uk ions o ausse zungen (B1) und (B2) seien e üll . Die Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke e e olg mi Sa z 4 aus ([9]). Danach is aus eichend, ein Sys em on un e jäh lichen Übe gangsma izen zu de inie en, so dass das P oduk de un e jäh lichen Übe gangsma izen die jeweilige jäh liche Übe gangsma ix e gib . De Beweis ü dieses Kons uk ionsp inzip basie au dem Sa z on Kolmogo o ([3] S.257 ). Vo gegeben sei ein äquidis an es un e jäh liches Zei as e :  T 2 2, T 1 2, T 0 2 2, T 1T 1 , T 2 1 , T 1 1 , T 0 1 1, T 1 T ,, T 2 , T 1 , T 0 0+++= − ++ ++ = − = Die Menge de Zei punk läss sich wie olg pa ame isie en:      == − + − , 2 ,1 ; T, 1s T 1 s 1 De inie e in Anlehnung an die No a ion on [9] Sa z 4 ü T,, 2,1 s= und ,2,1 = die olgenden Übe gangsma izen: ) (Q) (Q:)m,T, ,s(R m, T s 1 m, T 1s ⋅         = − − Dann gil ü alle ,2,1 = : ) (Q) (QE) (Q) (Q) (Q) (Q)m,T, ,s(R 1 m, T T 1 m, T 0 T 1s m, T s 1 m, T 1s T 1s =⋅=⋅         =⋅         = − − = − − = ∏∏ Somi exis ie eine un e jäh liche Ma ko -Ke e  ,Y,Y,Y,,Y,Y,Y,,Y,Y,Y T 1 2 2 T )1T( 1 T 1 1 1 T )1T( T 2 T 10 + − + + − mi de An angs e eilung 0 P und den un e jäh lichen Übe gangsma izen ( ) ( ) m,T, ,s )m,T, ,s(R j,i = , d.h. )m, T, ,s( lYk YP k,l T 1 T s 1 T s 1 =       == −+− +− ü alle { } N,...,2,1,0k,l ∈ , T,,2,1 s= und ,2,1 = . - 17 - 6. Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en Es seien wie im le z en Kapi el INT∈ und { } ∞∪∈INm . Gegeben sei e ne die im le z en Kapi el kons uie e un e jäh liche Ma ko -Ke e T,1,s , ,...2,1 T )1s( 1 Y == − +−       . Fü diesen s ochas ischen P ozess wi d nun du ch die Spal en ek o en N,...,2,1,0j j, T )1s( 1 T )1s( 1 LL = − +− − +−       = , ,...2,1 = , T,...,2,1s = , eine Bewe ung de inie , d.h. jede Kombina ion aus Zus and N,,2,1,0j = und Zei punk T )1s( 1 − +− , ,... 2 ,1 = , T,...,2,1s = , wi d eine eelle Zahl zugeo dne . De s ochas ische P ozess T,1,s , ,...2,1 T )1s( 1 Y == − +−       wi d dann als bewe e e inhomogene Ma ko -Ke e bezeichne . De Ba we de Bewe ung ü die e s en n Jah e, wi d du ch ∑∑∑ == − +− − =     =⋅−⋅⋅= − +− n 1 T 1s j, T )1s( 1 1 N 0j jY 0L)1s( 1:)n,T(B T )1s( 1 de inie . Dabei sei de Diskon ie ungs ak o ü ein Jah gegeben du ch 1 1 + = und 0 > de zei lich kons an e Rechnungszins p o Jah . Fe ne sei )1s( − de Diskon ie ungs ak o ü das un e jäh liche In e all      − +T 1s , . Fü den un e jäh - lichen Diskon ie ungs ak o gib es die un e schiedlichs en Ansä ze. Die beiden Geb äuchlichs en sind die linea e Ve zinsung, d.h. T 1s 1 1 ) s( ⋅ − + = , und die exponen ielle Ve zinsung, d.h. T 1s ) 1( 1 )s( − + = . De linea e Ansa z üh in Kombina ion mi de jäh lichen Ve zinsung mi Zinseszins zu ela i gemisch en Ve zinsung, de exponen ielle Ansa z zu kon o men Ve zinsung ( gl. [1]). - 18 - Wi be ach en nun die cha ak e is ische Funk ion de Zu alls a iable )n,T(B 0 und üh en da ü die olgende No a ion ein: ( ) ( )( ) IRx , )n,T(BxiexpE:m,n,T,x 0 ∈⋅⋅=ϕ Dabei sei 1i −= die imaginä e Einhei . Es gil de olgende Haup sa z: Haup sa z: Die Ma ix )x,1 ,1s(V −− sei ü ,2,1 = , T,,1s = und IRx∈ de inie als (N+1)x(N+1)-Diagonalma ix mi den Diagonalelemen en      ⋅−⋅⋅⋅ − +− − j, T )1s( 1 1 L)1s( xiexp , N, ,2 , 1, 0j  = . Dann gil ü alle IRx∈ , INn∈ , INT∈ und { } ∞∪∈INm : ( ) ( )( ) ( ) ( ) )x,1n,1T(V)m,T,n,s(R)x,1n,1s(V )m,T, ,s(R)x,1 ,1s(V P )n,T(BxiexpEm,n,T,x j N 0j 1T 1s 1n 1 T 1s 0 0 ∑∏ ∏ ∏ =− = − = =               −−⋅⋅−− ⋅⋅−−⋅ =⋅⋅=ϕ Dabei sind die un e jäh lichen Übe gangsma izen gemäß le z em Kapi el gegeben du ch ) (Q) (Q ) m , T, , s (R m , T s 1 m, T 1s ⋅         = − − . Fü den Beweis wi d das olgende elemen a e E gebnis de Ma izen echnung benö ig . Hil ssa z: Es seien gegeben die (N+1)x(N+1)-Ma izen ( ) }N,...,1,0{k,j jk ) (a) (A ∈ = , ,3,2,1 = und de Vek o ( ) N10 zzzz = . Fü { } ,3,2n∈ gil : ∑ ∏∏ = − = − = − + ⋅=        ⋅N 0l,,l 1n 1 lll l 1n 1 1n1 1kk1 n ) (az) (Az  . Beweis: Induk ion nach n - 19 - :2n = () () ∑∏ = − = ⋅=                     ⋅= ⋅ =        ⋅N 0l ll l l NN 0N N000 N10 l l 12 1 1 2 11 1 2 2 )1 (a z ) 1 (a ) 1( a )1(a )1 (a zz z )1 ( Az ) ( Az      :1nn +→ ⋅⋅=+⋅⋅= =+⋅        ⋅=        ⋅⋅=        ⋅ ∑ ∏∑ ∑ ∏ ∑ ∏∏∏ = == = − = = − = − == − ++ − + + ++ N 0l,l,,l n 1 lll N 0l ll N 0l,,l 1n 1 lll N 0l ll l 1n 1 l 1n 1 l n 1 n1n1 1kk1 n 1nn 1n1 1kk1 n 1nn n1n1n ) (az)1n(a) (az )1n(a) (Az)n(A) (Az) (Az  □ Beweis des Haup sa zes: Im Fall 1Tn =⋅ , d.h. 1n = und 1T = , is die Behaup ung i iale weise e üll . Es sei also 1Tn >⋅ . Zunächs wi d die Menge ele an en un e jäh lichen Zei punk e du chnumme ie , d.h. wi be ach en s a de Pa ame isie ung      == − +− T,1 s;n, ,2, 1 T 1s 1  als Menge de Zei punk e {} Tn ,1T n, ,2 ,1 ⋅ −⋅ . Gib man den Zei punk in de du chnumme ie en Va ian e an, so läss sich wie olg die pa ame isie e Da s ellung be echnen: Es sei { } Tn,1Tn,,2,1k ⋅−⋅∈  , dann en sp ich dies T 1)k(s 1 )k( − +− mi 1 T 1k )k ( +      − = und 1 T T 1k T 1 k )k(s +⋅             − − − = . Dami we den olgende No a ionen einge üh : ( ) T 1)k(s 1)k( k Y:Z − +− = (Ma ko -Ke e) )m,T),k( ),k(s(R: )k(Q ~= (Übe gangswah scheinlichkei en) ( ) T 1)k(s 1)k( k L:L ~ − +− = (Bewe ung) )1)k(s( :)k(w 1)k( −⋅= − (Abzinsungs ak o en) )x,1)k( ,1)k(s(V:)x,k (V ~−−= - 20 - () () () { } () () () ()() () () ( ) () ( ) () )x, 1n, 1T( V)m, T,n ,s(R )x, 1n, 1s(V ) m, T, ,s (R )x,1 , 1s( V P )x ,T n( V ~ )k (Q ~ ) x, k( V ~ P ) x, T n ( V ~ )k ( Q ~ ) x ,k ( V ~ P ) x, Tn ( V ~ ) k ( Q ~ )x , k( V ~ P ) x, Tn ( V ~ ) k ( Q ~ ) x , k ( V ~ P L ~ ) T n ( w x iexp ) k ( q ~ L ~ ) k ( w x i exp P )k ( q ~ PL ~ )k (w x iexp l Z, , lZ ,l Z PL ~ ) k (w x iexp L ~ ) k ( w1 xi exp E L ) 1 s ( 1x iexp E ) n, T( B xi exp E: m, n ,T ,x Tn l Tn T nT n T n Tn Tn Tn T n T n T n 1 T n2 1 1 kk 1 T n Tn T n 2 1 1k k 1 T n T n 2 1 1 k k k 1 1 k k1 T n2 1 k T n2 1 k k T ) 1s ( 1 N 0l 1T 1 s 1 n 1 T 1s 0 N 0l l 1 Tn 1k 0 N 0 lll l 1 T n 1 k 0 N 0 ll l N 0 l, , l, l 1 T n 1 kll l , 0 l l N 0 l , , l , l 1T n 1 kl l l , 0 l , T n N 0 l , , l , l 1 T n 1 kl l l , k l, 0 1T n 1k ll l ,0 N 0l ,, l ,l Tn 1 kl ,k N 0 l, , l, lT n Tn 22 1 1 Tn 1k l, k Tn 1 kj, k N 0j j Z n 1 T 1 sj, T ) 1 s( 1 1 N 0 jj Y 0 ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + − ∑∏ ∏∏ ∑∏ ∑ ∏ ∑ ∑ ∏ ∑∏ ∑∏ ∏ ∑∏ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑ =− = − = = = −⋅ = = − ⋅ = = = − ⋅ = = −⋅ = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ == = == − +− − =     =               − −⋅⋅− − ⋅⋅− −⋅ = =        ⋅ ⋅⋅ ⋅= = ⋅ ⋅        ⋅⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= = = = =⋅        ⋅ ⋅ ⋅= =                ⋅ ⋅⋅ ⋅= =                ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ =ϕ       □ - 21 - Mi hil e des Haup sa zes lassen sich Folge ungen ü die momen ene zeugende Funk ion und den E wa ungswe de besch änk en Zu alls a iablen )n,T(B 0 o mulie en. Folge ung 1: Es sei seien IRu∈ , INn∈ , INT∈ und { } ∞∪∈INm . Fü die momen ene zeugende Funk ion de Zu alls a iablen )n,T(B0 gil mi den No a ionen des Haup sa zes: ( ) ( )( ) ( ) ( ) )ui,1n,1T(V)m,T,n,s(R)ui,1n,1s(V )m,T, ,s(R)ui,1 ,1s(V P )n,T(BuexpE:m,n,T,uM j N 0j 1T 1s 1n 1 T 1s 0 0 ∑∏ ∏ ∏ =− = − = =               ⋅−−−⋅⋅⋅−−− ⋅⋅⋅−−−⋅ = ⋅= Beweis: Wegen de Besch änk hei on ) n, T( B 0 exis ie die Funk ion )m , n, T, u (M ü alle IRu∈ . De Beweis de Behaup ung e olg analog zum Beweis des Haup sa zes. Wei e man den De ini ionsbe eich de cha ak e is ischen Funk ion au die komplexen Zahlen aus, so olg die Behaup ung aus () ( ) m, n,T,uim,n,T,u M⋅−ϕ= . □ Folge ung 2: Es seien IRu∈ , IN n∈ , INT∈ und {} ∞ ∪∈INm . Fü den E wa ungswe de Zu alls a iablen )n,T(B 0 gil : ( ) ( ) L) (Q )k(QP)1 s( )n, T(BE n 1 T 1s T 1s 1 m, T 1s 1 1k 0 1- 0∑∑ ∏ = = − +− − − = ⋅⋅⋅⋅− ⋅= Beweis: Mi den No a ionen aus dem Beweis des Haup sa zes gil : ( ) ( ) ∏∑ ∏ −⋅ == ⋅ = + ⋅ ⋅⋅⋅⋅= 1 Tn 1k lll,0 N 0l,,l,l T n 1k l,k ) (q ~ PL ~ )k(wuexpm,n,T, uM 1kk1 Tn21 k  - 22 - Dami olg : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∏ ∑∑ ∏ ∑∑ ∏∏∏ ∑ ∏∑ ∑ ∏ ∑ ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∑ ∏∑ ∑∏ ∑ ∏∑∏ = = − +− − − = − = = − +− − − − = − = = − +− − = − = − = − ⋅ = − = ⋅ = = − = ⋅ = = = −⋅ = − = ⋅ = = = −⋅ = − = ⋅ = = −⋅ == ⋅ = −⋅ = == ⋅ = ⋅ = −⋅ = ⋅⋅⋅⋅−⋅= =⋅⋅⋅⋅⋅−⋅= =⋅⋅⋅⋅−⋅= =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= =         ⋅⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= =        ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= = ′ = + ⋅⋅ + ⋅+ ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ + n 1 T 1s T 1s 1 m, T 1s 1 1k 0 1 n 1 T 1s T 1s 1 m, T 1s 1 m,0 1 1k 0 1 n 1 T 1s T 1s 1 1s 1j 1 1k 1T 1j 0 1 Tn 1j j 1j 1k 0 Tn 1j N 0l,,l,l l,j 1j 1k lll,0 Tn 1j N 0l,,l,l N 0l ll 1Tn jk l,j 1j 1k lll,0 Tn 1j N 0l,,l,l N 0l,,l 1Tn jk lll,j 1j 1k lll,0 Tn 1j N 0l, ,l,l 1Tn 1k lll,jl,0 N 0l,,l,l Tn 1j l,j 1Tn 1k lll,0 N 0l,,l,l 0u Tn 1k l,k Tn 1j l,j 1Tn 1k lll,0 0 L) (Q )k(QP)1s( L) (Q) (Q)k(QP)1s( L)m,T, ,j(R)m,T,k,j(RP)1s( L ~ )k(Q ~ P)j(w1L ~ )k(q ~ P)j(w )k(Q ~ L ~ )k(q ~ P)j(w )k(q ~ L ~ )k(q ~ P)j(w )k(q ~ L ~ P)j(wL ~ )j(w)k(q ~ P L ~ )k(wuexpL ~ )j(w)k(q ~ P m,n,T,0M)n,T(BE j21 j1kk1 j21 Tn Tnj j1kk1 j21 Tn1j 1kkj1kk1 Tn21 1kkj1 Tn21 j1kk1 Tn21 kj1kk1       □ Beme kungen: a) Du ch Ablei en de momen ene zeugende Funk ion können auch höhe e Momen e be echne we den. Allgemein gil ( ) ( ) ( ) m,n,T,0M )n,T(BE (k) k 0 = . In konk e en Anwendungen können dahe mi hil e de nume ischen Ablei ung höhe e Momen e EDV- echnisch be echne we den. Dies gil insbesonde e ü die Va ianz bzw. die S anda dabweichung ([10], [11]). - 23 - b) Wähl man eine ande e als die hie o ges ell en un e jäh lichen Ve eilungen de jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en, so müssen ü die Gül igkei des Haup sa zes zum einen die P oduk e de un e jäh lichen Übe gangsma izen die en sp echenden jäh lichen Übe gangsma izen e geben und zum ande en Bedingungen analog zu (B1) und (B2) e üll sein. - 30 - 9. Fazi Geh man on eine jäh lichen inhomogenen Ma ko -Ke e aus, so e schein zu De ini ion on un e jäh lichen Übe gangsma izen ein linea e Ansa z am Ein achs en, d.h. die In e pola ion de jäh lichen Übe gangsma izen und de Einhei sma ix. In de o liegenden A bei wi d gezeig , dass diese Me hodik e allgemeine we den kann. Von zen ale Bedeu ung is dabei die Taylo eihe de Po enz unk ion α →xx ü [ ] 1,0∈α bzw. de en Pa ialsummen. Du ch Einse zen de Übe gangsma izen in diese Taylo eihe bzw. diese Pa ialsummen e geben sich wei e e Möglichkei en zu De ini ion un e jäh liche Übe gangsma izen. De oben genann e Fall de linea en In e pola ion en sp ich dann de Ve wendung de e s en Pa ialsumme, d.h. dem Fall dass de Pa ame e m den We 1 annimm . In den beiden Beispielen zeig sich, dass de Fall 2m ≥ EDV- echnisch umgese z we den kann, dass abe die wi scha liche Bedeu ung seh ge ing is . De Ba we de Zahlungss öme e ände sich sowohl bei de Anwendung K edi aus all als auch bei de Anwendung Be iebliche Al e s e so gung nu minimal. - 31 - Li e a u e zeichnis [1] A enbe g, Ju a Finanzma hema ik, 3. Au lage, De G uy e Oldenbou g Ve lag, Be lin 2015. [2] Fo s e ,O o Analysis 1, 4. Au lage, F ied ich Vieweg & Sohn Ve lagsgesellscha mbH, B aunschweig 1983. [3] Gänssle , Pe e ; S u e, Win ied Wah scheinlichkei s heo ie, Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g New Yo k 1977. [4] Heubeck, Klaus Rich a eln 2005G,Tex band und P og amm Heu ika 2,Ve lag: Heubeck-Rich a eln-GmbH, Köln 2005. [5] Heuse , Ha o Leh buch de Analysis Teil 1, 7. Au lage, B. G. Teubne , S u ga 1990. [6] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en, In: Fo schung am IVW Köln, Band 3/2011, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-98 (S and 01. Augus 2017). [7] Knobloch, Ral Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko - Ke e, In: Fo schung am IVW Köln, Band 4/2011, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-100 (S and 01. Augus 2017). [8] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise, In: Fo schung am IVW Köln, Band 6/2012, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204 (S and 01. Augus 2017). [9] Knobloch, Ral Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e, In: Fo schung am IVW Köln, Band 6/2013, Köln 2013, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-402 (S and 01. Augus 2017). [10] Knobloch, Ral Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e-Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen, In: Fo schung am IVW Köln, Band 5/2015, Köln 2015, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-816 (S and 01. Augus 2017). - 32 - [11] Knobloch, Ral Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en – Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle, In: Fo schung am i wKöln, Band 4/2016, Köln 2016, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-3416 (S and 01. Augus 2017). [12] Kolle , Michael S ochas ische Modelle in de Lebens e siche ung, 2. Au lage, Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g 2010. [13] Milb od , Ha mu ; Helbig, Man ed Ma hema ische Me hoden de Pe sonen e siche ung, De G uy e , Be lin New Yo k 1999. [14] Waldmann, Ka l-Heinz; S ocke , Ul ike M. S ochas ische Modelle, 2. Au lage, Sp inge Ve lag, Heidelbe g 2013. [15] Wes e mann, Thomas Ma hema ik ü Ingenieu e 6. Au lage, e gänzende Kapi el, Sp inge Ve lag, Heidelbe g Do d ech London New Yo k 2011, h p://www.home.hs- ka ls uhe.de/~we h0002/bueche /ma he/downloads/kap18.pd (S and 01. Augus 2017). Imp essum Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“. Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese Publika ion und kann hie abge u en we den. Fo schung am i w Köln, 7/2017 ISSN (online) 2192 -8479 Ral Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko - Ke e - Eine Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes Köln, Ok obe 2017 Sch i lei ung / edi o ’s o ice: P o . D . Jü gen S obel Ins i u ü Ve siche ungswesen / Ins i u e o Insu ance S udies Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275 -3277 Mail jue gen.s obel@ h-koeln.de Web www. h -koeln.de He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship: P o . D . Lu z Reime s -Rawcli e P o . D . Pe e Schimikowski P o . D . Jü gen S obel Kon ak Au o / Con ac au ho : P o . D . Ral Knobloch S chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en / Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Mail al .knobloch@ h -koeln.de Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“ Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479) we den übliche weise übe Cologne Open Science (Publika ionsse e de TH Köln) e ö en lich . Die Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge, Suchmaschinen sowie ande e Nachweisins umen e e schlossen. Alle Publika ionen sind auch kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de. 2017 6/2017 Goecke, Oska (H sg.): Risiko und Resilienz. P oceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9. Dezembe 2016 in Köln 5/2017 G undhö e , D euw, Quin , S egemann : Bewe ungspo ale - eine neue Quali ä de Konsumen enin o ma ion? 4/2017 Heep-Al ine , Meh ing, Rohl s: Bewe ung des e ügba en Kapi als am Beispiel des Da enmodells de „IVW P i a AG“ 3/2017 Mülle -Pe e s, Völle : Insu Tech Ka e i wKöln 1/2017 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 2/2017 Heep-Al ine , Mülle -Pe e s, Schimikowski, Schnu (H sg.): Big Da a ü Ve siche ungen. P oceedings zum 21. Kölne Ve siche ungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln 1/2017 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2016 2016 13/2016 Völle : E olgs ak o en eines Online-Po als ü Akademike 12/2016 Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung on All ags isiken in de Ö en lichkei (e schein 2017) 11/2016 Heep-Al ine , Penzel, Rohl s, Voßmann: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW Leben AG“ 10/2016 Heep-Al ine (H sg.): Big Da a. P oceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium am 10. Juni 2016 in Köln 9/2016 Ma e ne, Pü z, Engling: Die An o de ungen an die E eignisde ini ion des Rück e siche ungs e ags: Eindeu igkei und Konsis enz mi dem zug undeliegenden Risiko 8/2016 Rohl s (H sg.): Quan i a i es Risikomanagemen . P oceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium am 4. Dezembe 2015 in Köln 7/2016 E emuk, Heep-Al ine : In e nes Modell am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG“ 6/2016 Heep-Al ine , Rohl s, Dağoğlu, Pulido, Ven e : Be ich sp lich en und P ozessan o de ungen nach Sol ency II 5/2016 Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans - Back es ing based on Ge man capi al ma ke da a 1955 - 2015 4/2016 Knobloch: Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle 3/2016 Völle (H sg.): Sozialisie du ch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundene wa ungen und – e ah ungen in de Asseku anz. P oceedings zum 20. Kölne Ve siche ungssymposium am 5. No embe 2015 in Köln 2/2016 Ma e ne (H sg.): Jah esbe ich 2015 des Fo schungsschwe punk s Rück e siche ung 1/2016 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2015 2015 11/2015 Goecke (H sg.): Kapi alanlage isiken: Economic Scena io Gene a o und Liquidi ä smanagemen . P oceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln 10/2015 Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG“ – Teil 2 9/2015 Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds 8/2015 S obel (H sg.): Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln 7/2015 Völle , Wunde : En e p ise 2.0: Konzep ion eines Wikis im Sinne des p ozesso ien ie en Wissensmanagemen s 6/2015 Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG‘‘ 5/2015 Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen 4/2015 Heep-Al ine , Rohl s, Beie : E neue ba e Ene gien und ALM eines Ve siche ungsun e nehmens 3/2015 Dolgo : Calib a ion o Hes on's s ochas ic ola ili y model o an empi ical densi y using a gene ic algo i hm 2/2015 Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen 1/2015 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014 2014 10/2014 Mülle -Pe e s, Völle (beide H sg.): Inno a ion in de Ve siche ungswi scha 9/2014 Knobloch: Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we 8/2014 Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel eines ik i en S o nobes andes 7/2014 G undhö e , Rö ge , Sche e : Wozu noch Papie ? Eins ellungen on S udie enden zu E-Books 6/2014 Heep-Al ine , Be g (beide H sg.): Ka as ophenmodellie ung - Na u ka as ophen, Man Made Risiken, Epidemien und meh . P oceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln 5/2014 Goecke (H sg.): Modell und Wi klichkei . P oceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezembe 2013 in Köln 4/2014 Heep-Al ine , Hoos, K ah o s : Fai Value Bewe ung on zedie en Rese en 3/2014 Heep-Al ine , Hoos: Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu Rück e siche ungsop imie ung 2/2014 Zimme mann: F auen im Ve siche ungs e ieb. Was sagen die P i a kunden dazu? 1/2014 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2013 2013 11/2013 Heep-Al ine : Ve lus abso bie ung du ch la en e S eue n nach Sol ency II in de Schaden e siche ung, N . 11/2013 10/2013 Mülle -Pe e s: Kunden e hal en im Umb uch? Neue In o ma ions- und Abschlusswege in de K z- Ve siche ung, N . 10/2013 9/2013 Knobloch: Risikomanagemen in de be ieblichen Al e s e so gung. P oceedings zum 4. FaRis & DAV-Symposium am 14. Juni 2013 8/2013 S obel (H sg.): Rechnungsg undlagen und P ämien in de Pe sonen- und Schaden e siche ung - Ak uelle Ansä ze, Möglichkei en und G enzen. P oceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7. Dezembe 2012 7/2013 Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Back es ing 6/2013 Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e 5/2013 Heep-Al ine e al. (H sg.): Value-Based-Managemen in Non-Li e Insu ance 4/2013 Heep-Al ine : Ve ein ach es Fo melwe k ü den MCEV ohne Renewals in de Schaden e siche ung 3/2013 Mülle -Pe e s: De e ne z e Au o ah e – Akzep anz und Akzep anzg enzen on eCall, We ks a e ne zung und Meh we diens en im Au omobilbe eich 2/2013 Maie , Schimikowski (beide H sg.): P oceedings zum 6. Diskussions o um Ve siche ungs ech am 25. Sep embe 2012 an de FH Köln 1/2013 Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2012 2012 11/2012 Goecke (H sg.): Al e na i e Zinsga an ien in de Lebens e siche ung. P oceedings zum 2. FaRis & DAV-Symposiums am 1. Juni 2012 10/2012 Kla , Schiegl: Quan i a i e Risikoanalyse und -bewe ung echnische Sys eme am Beispiel eines medizinischen Ge ä es 9/2012 Mülle -Pe e s: Ve gleichspo ale und Ve b auche wünsche 8/2012 Füllg a , Völle : Social Media Rei eg admodell ü die deu sche Ve siche ungswi scha 7/2012 Völle : Die Social Media Ma ix - O ien ie ung ü die Ve siche ungsb anche 6/2012 Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en bei un e jäh liche Zahlweise 5/2012 Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ions echnungen 4/2012 Gün he (H sg.): P i a e sus S aa - Schuss ah zu Zwangs e siche ung? Tagungsband zum 16. Kölne Ve siche ungssymposium am 16. Ok obe 2011 3/2012 Heep-Al ine /K ause: De Embedded Value im Ve gleich zum ökonomischen Kapi al in de Schaden e siche ung 2/2012 Heep-Al ine (H sg.): De MCEV in de Lebens- und Schaden e siche ung - geeigne ü die Un e nehmenss eue ung ode nich ? P oceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011 in Köln 1/2012 Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2011 2011 5/2011 Reime s-Rawcli e: Eine Da s ellung on Rück e siche ungsp og ammen mi Anwendung au den Komp essionse ek 4/2011 Knobloch: Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -Ke e 3/2011 Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en 2/2011 Heep-Al ine : Pe o manceop imie ung des (B u o) Neugeschä s in de Schaden e siche ung 1/2011 Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich